Мережеві структури та системи: І. Потокові характеристики складних мереж
Structural and functional directions of complex network systems research are considered. The network system is defined as a complex network where flows occur. The classification of network systems is carried out on the basis of continuity and the level of orderliness of flows. Flow characteristics o...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/122250 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334329536872448 |
|---|---|
| author | Polishchuk, Olexandr D. Yadzhak, M. S. |
| author_facet | Polishchuk, Olexandr D. Yadzhak, M. S. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Olexandr D. Polishchuk",
"institution": "Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів"
},
{
"author": "M. S. Yadzhak",
"institution": "Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, Львів"
}
] |
| author_sort | Polishchuk, Olexandr D. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-01-17T13:29:35Z |
| description | Structural and functional directions of complex network systems research are considered. The network system is defined as a complex network where flows occur. The classification of network systems is carried out on the basis of continuity and the level of orderliness of flows. Flow characteristics of network systems are introduced along with the structural characteristics of complex networks. The problem of critical loading of network components is studied. Problems of dimension and adequacy of models of network systems are considered. It is shown how the system's flow characteristics allow us to identify and exclude fictitious nodes and links from its structure and determine the hidden elements of the system. It was investigated how on the basis of the analysis of flows processes in the system the structure of scale-free networks changed not only during the growth stage, but also during the whole life cycle of the corresponding network system. The problem of isolated zones of network systems is considered and the algorithm is proposed for finding alternative ways for flows in order to bypass inaccessible components of the network. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.2.05 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:23:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
О.Д. Поліщук, М.С. Яджак, 2018
42 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2
TIДC
ПРОБЛЕМНО І ФУНКЦІОНАЛЬНО
ОРІЄНТОВАНІ КОМП’ЮТЕРНІ СИСТЕМИ
ТА МЕРЕЖІ
УДК 519.7
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.2.05
МЕРЕЖЕВІ СТРУКТУРИ ТА СИСТЕМИ: І. ПОТОКОВІ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СКЛАДНИХ МЕРЕЖ
О.Д. ПОЛІЩУК, М.С. ЯДЖАК
Анотація. Розглянуто структурний та функціональний напрями дослідження
складних мережевих систем. Мережева система визначається як складна ме-
режа, по якій рухаються потоки. Проведено класифікацію мережевих систем за
ознаками неперервності та рівня впорядкованості руху потоків. Поряд зі стру-
ктурними характеристиками складних мереж уведено потокові характеристики
мережевих систем. Досліджено проблему критичної завантаженості складових
мережі, а також проблеми розмірності та адекватності моделей мережевих си-
стем. Показано, як за допомогою потокових характеристик системи ідентифі-
куються і вилучаються з її структури фіктивні вузли та зв’язки і визначаються
приховані елементи системи. Досліджено, як на основі аналізу потокових про-
цесів у системі змінюється структура безмасштабних мереж не лише на стадії
росту, але і протягом усього життєвого циклу відповідної мережевої системи.
Розглянуто проблему ізольованих зон мережевих систем та запропоновано ал-
горитм пошуку альтернативних шляхів руху потоків в обхід недосяжних скла-
дових мережі.
Ключові слова: складна мережа, мережева система, потік, модель, розмір-
ність, адекватність, альтернативні шляхи, ріст, переважне приєднання.
ВСТУП
Системи різного походження, типу та призначення є чи не найскладнішим
об’єктом наукових досліджень [1, 2]. Це пояснюється необхідністю визна-
чення їх складу та структури, пізнання законів функціонування й особливо-
стей взаємодії між собою та з навколишнім середовищем великої кількості
різнорідних об’єктів, які діють для досягнення спільної і часто недостатньо
зрозумілої досліднику цілі [3, 4]. Складні системи вивчають багато дисцип-
лін, які надалі називатимемо системними (загальна теорія систем, систем-
ний аналіз, дослідження операцій, системотехніка, математичне моделю-
вання та оптимізація та ін.). У кожній із природничих та гуманітарних наук
можна виокремити певний «системний» підрозділ, який стосується її пред-
метної області [5–7]. Одним із напрямів системних досліджень, який почав
бурхливо розвиватися протягом останніх десятиліть [8, 9], стало вивчення
складних мережевих систем (СМС). Мережеві структури є у мікро- та мак-
росвіті [10–12], біологічних системах та людському соціумі [13–15]. Існують
Мережеві структури та системи: I. Потокові характеристики складних мереж
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 43
різні визначення складних мереж (СМ) [16]. У цій роботі вважатимемо, що
СМ — це сукупності вузлів, поєднаних певними зв’язками (ребрами), які
мають нетривіальні топологічні властивості [8]. З-поміж основних понять
теорії складних мереж (ТСМ) можна назвати орієнтованість мережі, локаль-
ні характеристики вузлів та зв’язків, загальні топологічні властивості мере-
жевих підструктур (клік, спільнот тощо) та мережі загалом. Предметом до-
слідження ТСМ [9] є створення універсальних моделей мережевих структур,
визначення статистичних властивостей, які характеризують їх поведінку та
прогнозування поведінки мереж у разі зміни їх структурних властивостей.
Загалом ТСМ реалізовує структурний напрям досліджень СМС. Це зовсім не
применшує її значущості, оскільки причиною неефективного функціонування
багатьох реальних систем є саме вади їх структури. До того ж існували та
існують системи, які можна вивчати, досліджуючи виключно їх структуру.
Серед таких СМС можна назвати мережеві структури Всесвіту, досліджен-
ня яких дозволяє знайти вирішення багатьох космологічних проблем. Ар-
хеологи виявляють численні інфраструктурні мережі зниклих цивілізацій, а
палеонтологи — ареали існування вимерлих тварин та рослин. У свій час це
були достатньо великі та складні системи, досліджувати які тепер можемо
винятково на основі їх викопних «мережевих» залишків.
Природні та штучні, фізичні та біологічні мережі, мережі мікро- та мак-
росвіту мають багато спільного [9]. У кожному великому місті існують сис-
теми електро-, газо- та водопостачання, стаціонарного телефонного зв’язку,
кабельного телебачення, інтернет та поштових послуг тощо. Усі ці системи
мають тотожну мережеву структуру, більшість вузлів якої складають окремі
будинки, офіси та квартири. Однак, незважаючи на практичну ідентичність
структур, це істотно різні системи. Схожість мережевих структур дає змогу
розробляти універсальні методи дослідження цих структур, але не завжди
відповідних систем. Системні дисципліни, які загалом реалізовують функці-
ональний напрям системних досліджень, оперують такими поняттями, як
ціль, функція, стан, процес, поведінка, стійкість, керованість [17] тощо.
Предметом їх дослідження є вивчення різних класів і типів систем, основ-
них принципів та закономірностей їх поведінки, процесів цілеутворення,
функціонування, розвитку та взаємодії із зовнішнім середовищем [2, 18].
У системних дисциплінах структура системи розглядається спільно з функ-
ціями, які реалізовуються складовими цієї структури та системою загалом,
причому функція має пріоритет над структурою. Однією з визначальних
особливостей реально функціонуючих СМС є рух потоків у них. В одних
випадках забезпечення руху потоків є основною метою утворення та функ-
ціонування таких систем, у інших – основним процесом, який забезпечує їх
життєдіяльність. Теорія мережевих потоків, розвиток якої розпочався у се-
редині 50-х років минулого століття [19], вирішує низку практично важли-
вих проблем, які стосуються насамперед можливостей мережі як структури,
щоб забезпечити рух потоків [20], і меншою мірою – особливостей процесу
функціонування системи. Вивчення довільної системи потребує цілісного
погляду на неї, який можна сформувати лише, поєднуючи структурний та
функціональний напрями системних досліджень.
Мета роботи – визначити, як аналіз мережевих потоків дозволяє збли-
зити функціональний та структурний напрями досліджень СМС; вирішити
низку практично важливих проблем, які виникають під час моделювання
поведінки цих систем.
О.Д. Поліщук, М.С. Яджак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 44
ПОТОКОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СКЛАДНИХ МЕРЕЖ
Для розрізнення та класифікації СМС використовуємо тип та рівень упоряд-
кованості руху потоків у мережі [21]. Ці потоки можуть бути дискретними
(потяги), неперервно-дискретними (автотранспортні потоки) та непере-
рвними (газ, нафта). Рух потоків у мережі може бути повністю впорядкова-
ним, частково впорядкованим та невпорядкованим. Під впорядкованим ро-
зумітимемо рух потоків, які пересуваються згідно з певним наперед
установленим графіком. Таким є рух потягів у залізничній транспортній си-
стемі. Під частково впорядкованим розумітимемо рух потоків, частина з
яких пересувається згідно з графіком. Прикладом є рух комунального тран-
спорту у містах та регулярне приміське або міжміське автосполучення. Не-
впорядкованим називаємо рух потоків, пересування яких складно описати за
допомогою детермінованих закономірностей. Прикладом є рух інформацій-
них потоків у Інтернеті. Зрозуміло, що мережі однакової структури з різни-
ми типами потоків та рівнем упорядкованості їх руху породжують різні ме-
режеві системи. Класифікацію потоків у мережі можна поглибити за
ознаками періодичності, рівномірності, керованості, типу матеріального но-
сія тощо. Це дозволяє здійснити більш точну класифікацію СМС.
Структура СМ повністю визначається її матрицею суміжності
N
jiija 1,}{ A , де N — кількість вузлів, які входять до складу мережі [22].
Для найбільш досліджених бінарних мереж значення ija дорівнюють 1, як-
що між вузлами in і jn є зв’язок, і дорівнює 0, якщо такого зв’язку немає.
Очевидно, що для неорієнтованих мереж матриця A є симетричною. Одне
з найважливіших понять ТСМ, а саме ступінь id вузла in для неорієнтова-
них бінарних мереж, визначається через елементи матриці суміжності за
співвідношенням N
j iji ad 1 . Для орієнтованих мереж використовуються
такі поняття, як вихідний ступінь out
id та вхідний ступінь in
id вузла in . Ви-
хідний ступінь вузла визначає кількість зв’язків, які «виходять» з ньо-
го, вхідний ступінь – кількість зв’язків, які «входять» у цей вузол. Легко ба-
чити, що N
j iji ad 1
out , а N
j jii ad 1
in , та для неорієнтованих мереж
iii ddd inout , Nji ,1, .
Розглянемо випадок, коли потоки неперервно розподілені ребрами СМ.
Нехай вузли in і jn сполучені ребром (кривою) )(xyij , ],[ ji xxx . Позна-
чимо через ))(,,( xyxt ijij щільність потоку, який рухається з вузла in у ву-
зол jn у точці ))(,( xyx ij , ],[ ji xxx у момент часу ],0[ Tt . Тоді загальний
об’єм потоку, спрямовленого з вузла in у вузол jn у момент часу t на ребрі
),( ji nn , становитиме
dxxyxyxtdlxyxttv ij
nn
x
x
ijijijijij
ji
j
i
2
),(
))('(1))(,,())(,,()( ,
Мережеві структури та системи: I. Потокові характеристики складних мереж
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 45
а об’єм потоку, який проходить із вузла in у вузол jn за період ],0[ T
T
0
)( dttvV ijij .
Уведемо потокову матрицю суміжності мережевої системи N
jiijf 1,}{ F
за період ],0[ T співвідношенням }{max/
,1,
ml
Nlm
ijij VVf
, ]1,0[ijf , Nji ,1, .
Елементи матриці F визначають потокову силу взаємозв’язку між вузлами
мережі протягом періоду ],0[ T . Беручи послідовно кілька таких періодів,
можна відстежувати динаміку зміни об’ємів потоків у мережі в ча-
сі. Очевидно, що потокові матриці суміжності як для орієнтованих, так і для
неорієнтованих мереж загалом є несиметричними. Якщо матриця суміжнос-
ті A відображає структурну модель СМ, то матриця N
jiij tvt 1,)}({)( V ,
],0[ Tt , — континуальну потокову модель мережевої системи, а матриця
F — її інтегральну потокову модель. Зрозуміло, що це не є математичними
моделями у звичному розумінні, однак вони дають достатньо чітке кількісне
уявлення про процес функціонування СМС, дозволяють аналізувати особ-
ливості та прогнозувати поведінку цього процесу, а також оцінювати його
ефективність [21].
Визначимо вихідний потоковий ступінь вузла in через out
i
NfN
j ij /1 , вхідний потоковий ступінь вузла in через NfN
j jii /1
in ,
а загальний потоковий ступінь вузла in — співвідношенням
2/)( inout
iii , де ]1,0[,, inout iii , Ni ,1 . Очевидно, що зміст при-
йнятого у ТСМ ступеня вузла та зміст визначеного вище потокового ступеня
вузла суттєво різняться. Ми використовуємо однаковий термін «ступінь»,
зважаючи на аналогічність способу їх визначення через елементи відповід-
них матриць суміжності. Надалі для уникнення двозначностей називатиме-
мо визначений у ТСМ ступінь вузла структурним. Згідно з ТСМ усі вузли
бінарної мережі з однаковим ступенем є рівноважливими для структури.
Потокові ступені вносять функціональну впорядкованість пріоритетності
вузлів з однаковими структурними ступенями, тобто значення i визначає
потокову завантаженість (функціональну важливість) вузла in у системі, а
значення 2/)( jiijij ff — функціональну важливість ребра, яке сполу-
чає вузли in і jn відповідно. Таким чином, вузли з меншим структурним,
але більшим потоковим ступенем можуть відігравати важливішу роль
у процесі функціонування системи. Локальною характеристикою
СМС можна вважати параметр iijij / , значення якого можна інтерпре-
тувати як важливість для вузла in зв’язку з вузлом jn , Nji ,1, . Збільшен-
ня або зменшення потокової завантаженості вузлів та зв’язків, які належать
певній зв’язній підмережі вихідної СМ, може свідчити про активізацію
(пришвидшення розвитку) відповідної частини системи або навпаки – про
розгортання депресивних процесів у ній.
О.Д. Поліщук, М.С. Яджак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 46
Для бінарних мереж сила зв’язку між вузлами дорівнює 1, якщо між
ними є ребро, та 0, якщо такого ребра немає. Отже, опосередкована сила
зв’язку між довільними вузлами зв’язної мережі формально також дорів-
нює 1. У випадку незв’язних мереж сила зв’язку між двома довільними вуз-
лами дорівнює 1, якщо існує шлях між ними, та дорівнює 0, якщо такий
шлях відсутній (вузли належать незв’язним складовим СМ). Потокові хара-
ктеристики дають можливість скласти значно адекватнішу картину як пря-
мої, так і опосередкованої сили зв’язку між безпосередньо зв’язаними або
віддаленими вузлами мережі. А саме, дозволяють визначати потокову силу
зв’язку між двома довільними вузлами зв’язної мережі як максимальне
з усіх мінімальних значень елементів потокової матриці суміжності, які ле-
жать на шляхах, що сполучають ці вузли. Таким чином, потокова сила
зв’язку між віддаленими вузлами мережі визначає можливість опосередко-
ваного впливу з боку одного вузла на інший. При цьому віддалений вузол
може впливати сильніше, ніж вузол, з яким існує прямий зв’язок (ребро), і
вплив вузла in на вузол jn може відрізнятися від впливу вузла jn на in .
Сили зв’язку між вузлами мережі, визначені через її потокові характеристи-
ки, дають кількісне вираження функціональної взаємодії елементів мереже-
вих систем. Особливо важливою є точність визначення сили зв’язку для ви-
рішення проблем синхронізації СМ [23].
Важливими характеристиками процесу функціонування СМС є крити-
чна завантаженість її вузлів та зв’язків, окремих підмереж та мережі зага-
лом. Критично завантажені складові системи є потенційною загрозою вини-
кнення збоїв в екстремальних умовах функціонування СМС. Параметри
)2/()( max
1 iji
N
j jii NWVV , де max
iW — пропускна здатність вузла, та
max/ ijijij VV , де max
ijV — пропускна здатність ребра, визначають критичну
завантаженість вузлів та ребер системи відповідно, Nji ,1, . Позначимо
через },...,,{ 21 kk jjjJ послідовність вузлів, що лежать на шляху руху по-
токів, що сполучають вузли
1j
n і
kj
n мережі. Тоді параметр
)1/(/
1
1,
kk
kk
k
Jj
jj
Jj
jJ
визначає усереднену критичну завантаженість цього шляху, а параметр
}}{max},{max{max 1,
max
1
jj
Jj
j
Jj
J
kk
k
ідентифікує найбільш загрозливий його елемент. Аналогічним чином визна-
чаються критична завантаженість окремих підсистем та СМС загалом. Ви-
значення умов критичної завантаженості дозволяє завчасно оцінювати ризи-
ки процесу функціонування системи та уникати їх, зокрема планувати
необхідність збільшення пропускної здатності вузлів та ребер мережі, або
у випадку неможливості це зробити, обирати альтернативні або формувати
нові шляхи руху потоків.
РОЗМІРНІСТЬ ТА АДЕКВАТНІСТЬ МОДЕЛЕЙ МЕРЕЖЕВИХ СИСТЕМ
Вивчаючи реальні складні системи, ми насправді досліджуємо побудовані
на основі спостережень та експериментальних і теоретичних досліджень
Мережеві структури та системи: I. Потокові характеристики складних мереж
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 47
моделі цих систем (інформаційні, структурні, функціональні, математичні
тощо). Для великих систем, які налічують 106–109 елементів, постає пробле-
ма розмірності таких моделей. Якщо процес функціонування кожного еле-
мента такої СМС описується одним рівнянням, у результаті отримуємо сис-
тему рівнянь такої ж розмірності. Складність математичних моделей
породжується багатофакторністю процесів, які перебігають у системі, адже
в реальності одне й те саме явище може бути наслідком багатьох причин та
однакові причини у різних умовах можуть призводити до різних наслідків.
Зазвичай такі особливості призводять до нелінійності математичних моде-
лей. Знаходити розв’язок багатовимірних нелінійних систем — надскладна
проблема навіть для сучасних суперкомп’ютерів [24]. Різноманітні способи
зменшення розмірності моделей часто спричиняють втрату їх адекватності.
Одним з таких способів є ідеалізація, яка нерідко супроводжується надмір-
ним спрощенням структури системи та процесів, які в них перебігають.
Другим способом є декомпозиція, яка часто призводить до нехтування
зв’язків досліджуваної складової з іншими системними та позасистемними
об’єктами. Окрім того, існують системи, які можна досліджувати лише
в цілому (конденсовані середовища [6]), до яких належать і складні мереже-
ві системи. Для багатьох СМС проблемою, яка виникає під час їх дослі-
джень, є неперервна і швидка зміна структури та процесу функціонування.
Для таких систем модель, створення або удосконалення якої потребує пев-
ного часу, також може втратити свою адекватність.
Поняття складності як для мережевих структур та систем, так і для їх
моделей загалом має різний зміст. Складність мережі визначається, зокрема,
наявністю великої кількості вузлів та зв’язків між ними. Мережі з порівняно
невеликою кількістю елементів (сотні, тисячі і навіть десятки тисяч) зазви-
чай складними не вважаються. Наукова лабораторія може налічувати десят-
ки співробітників, опорно-руховий аппарат людини складається з 206 кісток
та 640 м’язів, до складу залізничної транспортної мережі України входить
приблизно 1600 вузлів – станцій, кількість вузлів (населених пунктів) її ав-
тотранспортної мережі не перевищує 40 тисяч і т.ін. Але ці порівняно неве-
ликі за розміром структури породжують безумовно складні системи [25, 26].
Багато задач моделювання СМ, наприклад керованості або спостережувано-
сті, навіть для випадку найпростіших лінійних моделей поки що вдається
розв’язати лише для мереж невеликої розмірності (до сотні елементів)
[27, 28].
Натепер лише в англомовному сегменті Інтернету налічується понад
1 млрд веб-сайтів та понад 5 млрд веб-сторінок. Більшість із них після поча-
ткової стадії активності перестають відвідуватися (архіви великих новинних
сайтів містять сотні тисяч сторінок, однак з часом інтерес до них згасає і
кількість звертань зменшується до нуля). Серед багатомільйонної аудиторії
користувачів соціальних мереж кількість активних не перевищує 10–30%
[29]. Активний словниковий запас пересічної англомовної людини не пере-
вищує 10 тис. слів, хоча загальна їх кількість сягає півмільйона [30]. Google
за запитом може видавати сотні тисяч або мільйони результатів пошуку, але
пересічний користувач зазвичай обмежується переглядом кількох десятків
або сотень результатів. Можна навести ще чимало прикладів вузлів та
зв’язків реальних мереж, які насправді не беруть участі у функціонуванні
О.Д. Поліщук, М.С. Яджак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 48
системи, тобто не забезпечують рух відповідного типу потоків. Такі елемен-
ти СМС називатимемо фіктивними. Потокова матриця суміжності дає мож-
ливість визначати у структурі вихідної СМ (рис. 1, а) фіктивні вузли та
зв’язки (рис. 1, б) та видаляти їх (рис. 1, в). Як випливає з наведених при-
кладів, у багатьох випадках це дозволяє суттєво зменшити розмірність мо-
делі системи без утрати адекватності.
Поряд з величезними обсягами всесвітньої павутини, веб-сторінки якої
індексуються пошуковими системами, існують невидимий і темний Web
[31], розміри яких натепер установити не вдається. Якщо в країні існує ве-
ликий тіньовий сектор, підприємства якого не сплачують податки, це істот-
но обмежує її бюджетні можливості, спотворює уявлення про реальний стан
економіки та перспективи її розвитку. Вузли та зв’язки, які забезпечують
рух певного типу потоків у системі, але формально не включені в її структу-
ру, називатимемо прихованими. Саме наявність руху потоків дозволяє вияв-
ляти такі елементи СМС. Надалі вважатимемо, що до складу СМ включені
лише реальні вузли та зв’язки (рис. 1, г).
Об’єм потоку, який виходить з вузла in у напрямку вузла jn за період
],0[ T , визначаємо за співвідношенням
T
0
out, )))((),(,( dtnxynxtw iijiijij .
Нехай потік рухається ребром ),( ji nn із середньою швидкістю iju та ijl
— довжина ребра ),( ji nn . Тоді об’єм потоку, який повинен надійти у вузол
jn з вузла in за період ],[ ijijijij ulTul , визначаємо за формулою
T
0
in, )))((),(,( dtnxynx
u
l
tw jijj
ij
ij
ijij .
Порівнюючи значення out,ijw і in,ijw , можна аналізувати втрати або зро-
стання об’ємів потоків, які виходять з вузла in і повинні надійти у вузол jn .
Незбіжність цих значень свідчить про наявність прихованих вузлів на ребрі
),( ji nn , які відбирають або додають певні об’єми потоків. Загалом за відсутності
прихованих вузлів та зв’язків виконується нерівність ijijij ww in,out, , де
бa г в
Рис. 1. Фрагмент мережі з фіктивними та прихованими елементами: а —
вихідна мережа; б — фіктивні зв’язки; в — мережа без фіктивних зв’язків;
г — приховані зв’язки
Мережеві структури та системи: I. Потокові характеристики складних мереж
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 49
0ij , Nji ,1, , — природні втрати або набуття (наприклад, зменшення
або збільшення вологості транспортованого продукту) об’ємів потоків.
Нехай in,iW — сумарний об’єм потоків, який надходить за період ],0[ T
у вузол in . Позначимо через },...,,{ 21 ii jjjJ сукупність номерів вузлів,
пов’язаних з in . Тоді виконання нерівності
,0,out,in,
ii
i
JJ
Jj
jii wW
свідчить про наявність прихованих зв’язків вузла in , через які відбувається
надходження додаткових об’ємів потоків, Ni ,1 . Аналогічно можна визна-
чити наявність прихованих елементів, через які відбираються певні об’єми
потоків.
Таким чином, урахування руху потоків дає змогу шляхом вилучення зі
складу мережі формальних вузлів та зв’язків і введенням «прихованих»
елементів скласти більш точне уявлення про структуру системи, водно-
час зменшуючи розмірність та поліпшуючи адекватність відповідних
моделей.
РІСТ ТА ПЕРЕВАЖНЕ ПРИЄДНАННЯ У БЕЗМАСШТАБНИХ МЕРЕЖАХ
Серед СМ різних типів найбільший інтерес з прикладного погляду станов-
лять безмасштабні мережі [9]. Визначальною особливістю цих мереж поряд
зі ступеневим розподілом структурних ступенів вузлів є невелика кількість
вузлів, які мають високий ступінь, та величезна кількість вузлів з невисоким
ступенем (кількість мегаполісів у кожній країні є невеликою порівняно із
загальною кількістю населених пунктів, однак їх значущість у житті країни
важко переоцінити). Із безмасштабними мережами пов’язані два важливі
поняття, які описують процес їх розвитку [32]. Першим поняттям є ріст,
тобто додавання нових вузлів, які пов’язуються з уже існуючими вузлами
мережі. Друге важливе поняття — переважне приєднання, яке визначає, що
новий вузол з більшою ймовірністю пов’язується з існуючими вузлами ме-
режі з високим структурним ступенем. Загалом запропонована А.Л. Бара-
баші та Р. Альберт модель розвитку безмасштабних мереж достатньо адек-
ватно відображає процес освоєння нових територій, упровадження новітніх
технологій, розширення інфраструктурних, транспортних, торговельних,
інформаційних мереж тощо. У той же час у життєвому циклі довільної реа-
льної системи можна виділити принаймні три основні етапи: 1) росту або
«дорослішання», який супроводжується розгортанням структури та налаго-
дженням руху потоків; 2) усталеного функціонування або «дорослості»,
який характеризується злагодженим рухом потоків за майже незмінної стру-
ктури СМ; на цьому етапі основна увага приділяється нарощуванню об’ємів
потоків та підвищенню ефективності функціонування СМС загалом; 3) згор-
тання або «старіння», який характеризується процесами, зворотними до тих,
які відбувалися на стадії росту СМС: спочатку зникає необхідність у забез-
печенні руху потоків у певні вузли системи, а потім ці вузли та ребра, через
О.Д. Поліщук, М.С. Яджак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 50
які ці потоки проходили, поступово «відключаються» до повного припинен-
ня процесу функціонування СМС. При цьому в багатьох системах насампе-
ред «відключаються» не периферійні вузли, які були приєднані до мережі
останніми, а вузли, з яких починався ріст мережі (у пік розвитку такі вузли
зазвичай мають найвищий структурний ступінь). Прикладом є розвиток за-
лізничної транспортної системи, яка замінила гужовий транспорт (першими
будувалися залізничні колії, які сполучали основні міста країни, та зникала
потреба у кінній тязі між ними).
Ріст мережі спонукається необхідністю спрямування потоків у нові ву-
зли. Обставиною, яка доповнює модель Барабаші–Альберт, є той факт, що
переважне приєднання нових вузлів у реальних мережах з більшою ймовір-
ністю здійснюється з тими вузлами, через які проходять більші потоки
(рис. 2, а). Дійсно, вузол А з більшою ймовірністю встановить зв’язок з вуз-
лом В, якщо через нього проходять значно більші потоки, ніж через вузол С.
При цьому структурний ступінь вузла В дорівнює 2, а структурний ступінь
вузла С дорівнює 4. У багатьох країнах існують регіони, які після періодів
інтенсивного розвитку перейшли в стан депресії (вичерпання покладів ко-
рисних копалин, які видобувалися у регіоні; зменшення попиту на продук-
цію, яка вироблялася у регіоні тощо). У таких регіонах зазвичай залишаєть-
ся розвинена інфраструктура, зокрема щільна транспортна мережа та
мережа енергопостачання, але об’єми потоків суттєво скорочуються. Це ро-
бить малоймовірним переважне приєднання до вузлів таких складових ме-
режі незалежно від їх структурного ступеня. Тобто зростання або зменшен-
ня стуктурного ступеня вузла безпосередньо залежить від об’ємів потоків,
які проходять через цей вузол. Таким чином, функціональний підхід дає
змогу прогнозувати напрями розвитку або згортання мережевих структур.
Ріст безмасштабних мереж означає приєднання нових вузлів до вже
введених у структуру мережі. Однак виникає потреба у визначенні того,
який із двох нових вузлів буде першим уведений у цю структуру, адже нала-
годження зв’язку інколи потребує значних витрат (побудова доріг, ліній
електропередач, трубопроводів тощо). Урахування руху потоків дає одно-
значну відповідь на це питання: насамперед буде введений вузол, у який
(або з якого) передбачається спрямувати більші об’єми потоків (вузол В,
рис. 2, б).
Із функціонального погляду важливим є рівень покриття елементів ме-
режі необхідними потоками та можливості мережі таке покриття здійснити.
C
A
A
B
a б
Рис. 2. Ріст та переважне приєднання у безмасштабних мережах (товщина ліній
пропорційна об’ємам руху потоків)
Мережеві структури та системи: I. Потокові характеристики складних мереж
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 51
Уведемо кілька понять, які визначають тенденції розширення та звуження
СМС. Нехай N — кількість вузлів у складі мережі, між якими організовано
рух заданого типу потоків, а N
~
— кількість вузлів, між якими необхідно
забезпечити рух цих потоків. Тоді величина NNPN /
~
визначає рівень по-
криття вузлів рухом потоків заданого типу. Нехай M — кількість зв’язків,
які забезпечують рух заданого типу потоків, а M
~
— кількість зв’язків, не-
обхідних для залучення тих вузлів мережі, які потребують забезпечення ру-
ху цих потоків. Тоді величина MMCM /
~
визначає рівень покриття
зв’язками вузлів мережі, необхідних для організації руху заданого типу по-
токів. Легко бачити, що якщо значення 1NP і 1MC , то СМС перебуває
на стадії росту. Ріст мережі завершується, коли значення NP і MC стають
близькими до 1 і система переходить до стадії «дорослості». Якщо 1NP і
1MC , то СМС перейшла у стадію старіння. Зазвичай процеси, які перебі-
гають у системі, можуть бути значно складнішими, наприклад, звуження
мережі в одному напрямку може супроводжуватись її розширенням
в іншому.
ІЗОЛЬОВАНІ ЗОНИ МЕРЕЖІ ТА ПОШУК АЛЬТЕРНАТИВНИХ
ШЛЯХІВ РУХУ
У реальних мережах часто розгортаються процеси, які необхідно швидко
зупинити: розповсюдження епідемій, лісових пожеж, сільськогосподарських
шкідників, комп’ютерних вірусів, процесів інвазії тощо. Для запобігання
поширенню таких явищ зазвичай використовуються методи теорії перколя-
ції [22], які полягають у послідовному вилученні певної частини вузлів та
зв’язків СМ доти, доки перколяційний кластер не розпадеться на незв’язні
складові, в одній з яких і міститься загроза. Однак існує ще один спосіб ви-
рішення подібних проблем, який полягає в ізоляції певних частин (зон) ме-
режі. Ізольовані зони часто виникають унаслідок стихійних лих, регіональ-
них військових конфліктів, радіоактивного або хімічного забруднення тощо.
Із функціонального погляду ізоляція певної підмережі вихідної СМ означає
повне припинення або суттєве обмеження руху потоків з (у, через) неї. Це
породжує проблеми, які зумовлюються процесом функціонування СМС за-
галом. По-перше, в ізольованій зоні можуть міститися вузли-генератори по-
токів, які потребують свого заміщення. Так, унаслідок землетрусу в Японії
11 березня 2011 р. у районі Фукусіми були зруйнованими майже 40 підпри-
ємств – виробників комплектуючих для автомобільної промисловості. У ре-
зультаті свої конвеєри тимчасово зупинили майже всі японські автовироб-
ники. По-друге, в ізольованій зоні можуть міститися вузли-приймачі
потоків, які також потребують свого заміщення. Економічні санкції, які час
від часу застосовуються до окремих країн, потребують пошуку нових ринків
збуту продукції, яка раніше до них поставлялася. У такому разі країн-
виробників цієї продукції очікують багатомільярдні втрати. Нарешті вини-
кає проблема пошуку альтернативних шляхів руху транзитних потоків, які
проходили через ізольовану зону. Тобто вилучення окремої підмережі вихі-
дної мережі часто призводить до дестабілізації роботи всієї системи.
О.Д. Поліщук, М.С. Яджак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 52
На рис. 3, а схематично зображено залізничну мережу західного регіо-
ну України (відображаються вузли зі структурним ступенем 3 і більшим),
частина якої стала недосяжною (сірі ділянки на рис. 3, б–д). Із наведених
прикладів (рис. 3, б, в) випливає, що ізоляція окремих зон СМ призводить до
втрати зв’язності мережі (перетину перколяційного порога). Інколи такі за-
ходи є вимушеними і є метою ізоляції. Однак у цьому випадку пошук альте-
рнативних шляхів руху потоків істотно ускладнюється. Якщо ізольована
зона не призводить до втрати зв’язності СМ (рис. 3, г, д), альтернативні
шляхи руху визначають, виходячи з таких міркувань.
Зі структурного погляду достатньо знайти принаймні один найкорот-
ший шлях в обхід ізольваної зони, а з функціонального наштовхуємося на
проблему перерозподілу руху потоків. Зазвичай спрямувати всі транзитні
потоки по одному найкороштому шляху фізично неможливо. Це зумовлено
обмеженістю пропускної здатності шляхів. У кожній мережевій системі
окремі потоки мають різний пріоритет. Цей пріоритет може визначатися ти-
пом потоку (міжнародні потяги мають вищий пріоритет ніж приміські), його
призначенням, важливістю генератора або приймача потоку тощо. Тоді по-
токи перерозподіляються за таким алгоритмом: 1) найбільш пріоритетні по-
токи спрямовуються по найкоротшому шляху поки не вичерпана його про-
пускна здатність (досягнуто поріг його критичної завантаженості); 2) у міру
зменшення пріоритетності потоки спрямовуються по інших (довших) шля-
хах або із затримкою. Тобто, чим вища пріоритетність потоку, тим корот-
шим є шлях або меншою затримка його руху. В окремих випадках виникає
потреба виводити певні об’єми потоків за найкоротший час з ізольованої
зони (евакуація) або вводити в цю зону (гуманітарна допомога, силові під-
розділи тощо).
ВИСНОВКИ
Натепер теорія складних мереж та мережевих систем перебуває на стадії
становлення. Вона все ще потребує розвитку й узгодження понятійного апа-
рату, осмислення та строгого математичного формулювання задач, які по-
требують розв’язання та розроблення відповідних методів, розширення і
конкретизації прикладних аспектів застосування. У роботі розглянуто лише
деякі основні поняття ТСМ та введено їх потокові аналоги. Отримані ре-
зультати свідчать, що врахування руху потоків у мережі дозволяє наблизити
проблематику ТСМ до проблематики відомих системних дисциплін: прово-
б a гв д
Рис. 3. Ізольовані зони та пошук альтернативних шляхів руху потоків
Мережеві структури та системи: I. Потокові характеристики складних мереж
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 53
дити класифікацію мережевих систем, ідентифікувати цілі їх утворення та
розвитку, визначати функції, які сприяють реалізації цих цілей тощо. Визна-
чення потокових характеристик мережі дає змогу в кожному конкретному
випадку побудувати потокову модель реальної мережевої системи, своєчас-
но її коригувати та визначати перспективи розвитку СМС. Потокові харак-
теристики мережевих систем дозволяють більш реалістично визначати на-
прями пріоритетного росту і переважного приєднання у безмасштабних
мережах та досліджувати процеси функціонування СМС на всіх етапах їх
життєвого циклу. Вони також дають можливість зменшувати розмірність
моделей СМС та підвищувати їх адекватність, пов’язувати з елементами
структури параметри їх функціонування та визначати критично завантажені
складові системи. Поєднання структурного та функціонального напрямів
дослідження мережевих систем дозволяє розв’язувати важливі задачі, які
проблематично розв’язати з використанням лише можливостей ТСМ: іден-
тифікувати фіктивні та приховані вузли і зв’язки та визначати реальну силу
взаємодії між вузлами мережі, здійснювати пошук альтернативних шляхів
руху потоків поза ізольованими зонами СМС тощо.
ЛІТЕРАТУРА
1. Morin E. On Complexity: Advances in systems theory, complexity, and the human
sciences / E. Morin. — New York: Hampton Press, 2008. — 127 p.
2. Northrop R.B. Introduction to complexity and complex systems / R.B. Northrop. —
Boca Raton: CRC Press, 2011. — 520 p.
3. Laszlo E. The Interconnected Universe: Conceptual foundations of transdisciplinary
unified theory / E. Laszlo. — New Jersey: World Scientific, 1995. — 166 p.
4. Johnson S. Emergence: The Connected lives of ants, brains, cities / S. Johnson. —
New York:Scribner, 2001. — 288 p.
5. Small M. Dynamics of biological systems / M. Small. — Boca Raton: CRC Press,
2012. — 264 p.
6. Spickermann C. Entropies of condensed phases and complex systems / C. Spicker-
mann. — Berlin: Springer, 2011. — 223 p.
7. Валлерстайн И. Исторические системы как сложные системы / И. Валлерстайн
// Философские перипетии: Вестн. Харьков.гос. ун-та. — 1998. — № 409. —
С. 198–203.
8. Boccaletti S. Complex networks: Structure and dynamics / S. Boccaletti, V. Latora,
Y. Moreno et al. // Physics reports. — 2006. — Vol. 424(4). — P. 175–308.
DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.physrep.2005.10.009.
9. Barabási A.-L. Linked: the new science of networks / A.-L. Barabási, J. Frangos. —
New York: Basic Books, 2002. — 280 p.
10. Bianconi G. Bose-Einstein condensation in complex networks / G. Bianconi, A.-L.
Barabási // Physical review letters. — 2001. — Vol. 86(24). — 5632. DOI:
https://doi.org/10.1103/ PhysRevLett.86.5632.
11. Coutinho B.C. The Network Behind the Cosmic Web / B. C. Coutinho, S. Hong,
K. Albrecht et al. // arXiv:1604.03236 [astro-ph.CO], 12 Apr 2016, 7 p.
12. de Regt R. Network analysis of the COSMOS galaxy field / R. de Regt, S. Apunevych,
C. von Ferber et al. // arXiv:1707.00978v1 [astro-ph.CO], 4 Jul 2017, 12 p.
13. Dorogovtsev S.N. Evolution of Networks: From Biological Nets to the Internet and
WWW / S. N. Dorogovtsev, J. F. F. Mendes. — Oxford: Oxford University
Press, 2013. — 280 p.
14. Bornholdt S. Handbook of Graphs and Networks: From the Genome to the Internet /
S. Bornholdt, H.G. Schuster. — New York: Jon Wiley & Sons, 2006. — 396 p.
О.Д. Поліщук, М.С. Яджак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 54
15. Caldarelli G. Large Scale Structure and Dynamics of Complex Networks: From In-
formation Technology to Finance and Natural Science / G. Caldarelli, A. Vespig-
nani. — New York: World Scientific, 2007. — 251p.
16. Евин И.А. Введение в теорию сложных сетей / И.А. Евин // Компьютерные
исследования и моделирование. — 2010. — 2, № 2. — С. 121–141.
17. Антонов В.А. Системный анализ / В.А. Антонов. — М.: Высш. шк., 2004. — 456 с.
18. Scott W.R. Organizations and organizing: Rational, natural and open systems per-
spectives / W.R. Scott, G.F. Davis. — London: Routledge, 2015. — 464 p.
19. Ford L.R. Flows in networks / L.R. Ford, D.R. Fulkerson. — Princeton: Princeton
University Press, 1962. — 152 p.
20. Li B. A survey of network flow applications / B. Li, J. Springer, G. Bebis, M. H.
Gunes // Journal of Network and Computer Applications. — 2013. — Vol. 36(2).
— P. 567–581. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.jnca.2012.12.020.
21. Поліщук Д.О. Комплексне детерміноване оцінювання складних ієрархічно-
мережевих систем: І. Опис методики / Д. О. Поліщук, О. Д. Поліщук, М. С.
Яджак // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1.
— С. 21–31.
22. Головач Ю. Складні мережі / Ю. Головач, О. Олємской, К. фон Фербер та ін. //
Журнал фізичних досліджень. — 2006. — 10, № 4. — С. 247–289.
23. Novikov A.V. Oscillatory neural networks based on the Kuramoto model for cluster
analysis / A.V. Novikov, E.N. Benderskaya // Pattern Recognition and Image
Analysis. — 2014. — Vol. 24(3). — P. 365–371. DOI: https://doi.org/10.1134/
S1054661814030146.
24. Суперкомпьютер несколько месяцев создавал модели спиральных галактик
[Електронний ресурс]. — Режим доступу: http://hyser.com.ua/tehnology/
superkompyuter-neskolko-mesyatsev-sozdaval-modeli-spiralnyh-galaktik-200853.
25. Демидюк М. Задачі математичного моделювання ходи людини з урахуванням
біомеханічних експериментальних даних / М. Демидюк, Б. Литвин // Прикладні
проблеми механіки і математики. — 2012. — Вип. 10. — С. 123–134.
26. Polishchuk D. About evaluation of complex dynamical systems / D. Polishchuk,
O. Polishchuk // Journal of Complex Systems. — 2013, Article ID 204304, 6 p.
— Available at: http://dx.doi.org/ 10.1155/2013/ 204304.
27. Lombardi A. Controllability analysis of networks / A. Lombardi, M. Hörnquist //
Physical Review E. — 2007. — Vol. 75(5). — 056110. DOI: https://doi.org/
10.1103/PhysRevE.75. 056110.
28. Sedoglavic A. A probabilistic algorithm to test local algebraic observability in poly-
nomial time / A. Sedoglavic // Proc. of the 2001 Intern. Symp. on Symbolic and
algebraic computation. — 23–29 July 2001. — P. 309–317. DOI:
https://doi.org/10.1145/384101.384143.
29. Prell C. Social Network Analysis: History, Theory and Methodology / C. Prell. —
New York: SAGE, 2012. — 263 p.
30. Francis W.N. Frequency Analysis of English Usage / W.N. Francis, H. Kucera. —
Boston: Houghton Mifflin, 1982. — 213 p.
31. Price G. The Invisible Web: Uncovering Information Sources Search Engines Can’t
See / G. Price, C. Sherman. — New York: CyberAge Books, 2001. — 147 p.
32. Albert R. Statistical mechanics of complex networks / R. Albert, A.-L. Barabasi //
Review of Modern Physics. — 2002. — Vol. 74 (1). — 47. DOI:
https://doi.org/10.1103/RevModPhys.74.47.
Надійшла 08.02.2018
|
| id | journaliasakpiua-article-122250 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:23:23Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/0e/6fed2e9fbc13c84aed9fe27ef466910e.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1222502019-01-17T13:29:35Z Network structures and systems: I. Flows characteristics of complex networks Сетевые структуры и системы: І. Потоковые характеристики сложных сетей Мережеві структури та системи: І. Потокові характеристики складних мереж Polishchuk, Olexandr D. Yadzhak, M. S. complex network network system flow dimension adequacy alternative ways growth preferential attachment сложная сеть сетевая система поток модель размерность адекватность альтернативные пути рост предпочтительное присоединение складна мережа мережева система потік модель розмірність адекватність альтернативні шляхи ріст переважне приєднання Structural and functional directions of complex network systems research are considered. The network system is defined as a complex network where flows occur. The classification of network systems is carried out on the basis of continuity and the level of orderliness of flows. Flow characteristics of network systems are introduced along with the structural characteristics of complex networks. The problem of critical loading of network components is studied. Problems of dimension and adequacy of models of network systems are considered. It is shown how the system's flow characteristics allow us to identify and exclude fictitious nodes and links from its structure and determine the hidden elements of the system. It was investigated how on the basis of the analysis of flows processes in the system the structure of scale-free networks changed not only during the growth stage, but also during the whole life cycle of the corresponding network system. The problem of isolated zones of network systems is considered and the algorithm is proposed for finding alternative ways for flows in order to bypass inaccessible components of the network. Рассмотрены структурный и функциональный направления исследования сложных сетевых систем. Сетевая система определяется как сложная сеть, по которой осуществляется движение потоков. Проведена классификация сетевых систем по признакам непрерывности и уровня упорядоченности движения потоков. Наряду со структурными характеристиками сложных сетей введены потоковые характеристики сетевых систем. Исследована проблема критической загруженности составляющих сети, а также проблемы размерности и адекватности моделей сетевых систем. Показано, как с помощью потоковых характеристик системы идентифицируются и удаляются с ее структуры фиктивные узлы и связи и определяются скрытые элементы системы. Исследовано, как на основании анализа потоковых процессов в системе изменяется структура безмасштабных сетей не только на стадии роста, но и в течении всего жизненного цикла соответствующей сетевой системы. Рассмотрена проблема изолированных зон сетевых систем и предложен алгоритм поиска альтернативных путей движения потоков в обход недоступных составляющих сети. Розглянуто структурний та функціональний напрями дослідження складних мережевих систем. Мережева система визначається як складна мережа, по якій рухаються потоки. Проведено класифікацію мережевих систем за ознаками неперервності та рівня впорядкованості руху потоків. Поряд зі структурними характеристиками складних мереж уведено потокові характеристики мережевих систем. Досліджено проблему критичної завантаженості складових мережі, а також проблеми розмірності та адекватності моделей мережевих систем. Показано, як за допомогою потокових характеристик системи ідентифікуються і вилучаються з її структури фіктивні вузли та зв’язки і визначаються приховані елементи системи. Досліджено, як на основі аналізу потокових процесів у системі змінюється структура безмасштабних мереж не лише на стадії росту, але і протягом усього життєвого циклу відповідної мережевої системи. Розглянуто проблему ізольованих зон мережевих систем та запропоновано алгоритм пошуку альтернативних шляхів руху потоків в обхід недосяжних складових мережі. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-06-20 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/122250 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.2.05 System research and information technologies; No. 2 (2018); 42-54 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2018); 42-54 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2018); 42-54 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/122250/136749 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | складна мережа мережева система потік модель розмірність адекватність альтернативні шляхи ріст переважне приєднання Polishchuk, Olexandr D. Yadzhak, M. S. Мережеві структури та системи: І. Потокові характеристики складних мереж |
| title | Мережеві структури та системи: І. Потокові характеристики складних мереж |
| title_alt | Network structures and systems: I. Flows characteristics of complex networks Сетевые структуры и системы: І. Потоковые характеристики сложных сетей |
| title_full | Мережеві структури та системи: І. Потокові характеристики складних мереж |
| title_fullStr | Мережеві структури та системи: І. Потокові характеристики складних мереж |
| title_full_unstemmed | Мережеві структури та системи: І. Потокові характеристики складних мереж |
| title_short | Мережеві структури та системи: І. Потокові характеристики складних мереж |
| title_sort | мережеві структури та системи: і. потокові характеристики складних мереж |
| topic | складна мережа мережева система потік модель розмірність адекватність альтернативні шляхи ріст переважне приєднання |
| topic_facet | complex network network system flow dimension adequacy alternative ways growth preferential attachment сложная сеть сетевая система поток модель размерность адекватность альтернативные пути рост предпочтительное присоединение складна мережа мережева система потік модель розмірність адекватність альтернативні шляхи ріст переважне приєднання |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/122250 |
| work_keys_str_mv | AT polishchukolexandrd networkstructuresandsystemsiflowscharacteristicsofcomplexnetworks AT yadzhakms networkstructuresandsystemsiflowscharacteristicsofcomplexnetworks AT polishchukolexandrd setevyestrukturyisistemyípotokovyeharakteristikisložnyhsetej AT yadzhakms setevyestrukturyisistemyípotokovyeharakteristikisložnyhsetej AT polishchukolexandrd mereževístrukturitasistemiípotokovíharakteristikiskladnihmerež AT yadzhakms mereževístrukturitasistemiípotokovíharakteristikiskladnihmerež |