Коваріаційний аналіз лінійних марковських ітерацій
The paper analyzes the behavior of the first and second moments of linear difference equations with Markov coefficients. A convenient for application method of asymptotic stability analysis for equations with close to constant coefficients is proposed. By applying the Kato perturbation theory, we ha...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127644 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334333699719168 |
|---|---|
| author | Tsarkova, V. N. Goldshteine, I. Ya. |
| author_facet | Tsarkova, V. N. Goldshteine, I. Ya. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. N. Tsarkova",
"institution": null
},
{
"author": "I. Ya. Goldshteine",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Tsarkova, V. N. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-11T11:11:15Z |
| description | The paper analyzes the behavior of the first and second moments of linear difference equations with Markov coefficients. A convenient for application method of asymptotic stability analysis for equations with close to constant coefficients is proposed. By applying the Kato perturbation theory, we have developed an algorithm based on the decomposition by the small parameter powers of the specially constructed operator. In the case of independent perturbations, the method proposed makes it possible to write necessary and sufficient conditions for stability in the quadratic mean in the form of inequalities with coefficients. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:23:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Н. Царькова, Й.Я. Голдштейне, 2007
82 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 519.21
КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ МАРКОВСКИХ
ИТЕРАЦИЙ
В.Н. ЦАРЬКОВА, Й.Я. ГОЛДШТЕЙНЕ
Исследуется поведение первых и вторых моментов линейных разностных
уравнений с марковскими коэффициентами. Предлагается удобный для при-
ложений метод анализа асимптотической устойчивости для близких к посто-
янным коэффицентов. Разработан алгоритм, основанный на разложении по
степеням малого параметра специально сконструированного оператора с ис-
пользованием теории возмущений линейных операторов Като. При независи-
мых возмущениях предлагаемый метод позволяет выписать необходимые и
достаточные условия устойчивости в среднем квадратичном в форме нера-
венств с коэффициентами.
ВВЕДЕНИЕ
Стохастические разностные уравнения — один из основных инструментов
анализа временных рядов (см., например, [4, 9]). В большинстве случаев
предполагается, что временной ряд имеет условное гауссовское распределе-
ние с постоянной дисперсией, и поэтому его математическая модель может
быть представлена в форме линейной неоднородной итерационной проце-
дуры в nR вида
ttt FXX η+−1= , (1)
где { ∈tt ,η ℤ} — последовательность одинаково распределенных случай-
ных величин в nR с нулевым средним и ковариационной матрицей Σ (так
называемые остатки). Однако во многих задачах современной эконометрии
предположение о постоянстве матрицы ковариации остатков оказалось не-
адекватным и от него пришлось отказаться, моделируя остатки в форме
произведения ttt ξη Σ= , где { ∈tt ,ξ ℤ} — последовательность одинаково
распределенных случайных величин в nR с нулевым средним и единичной
ковариационной матрицей, а матрицы { ∈Σ tt ,2 ℤ} задаются с помощью раз-
ностного уравнения с коэффициентами, линейно зависящими от tξ (модели
VecGARCH [4]). Так, например, в скалярных моделях типа GARCH ),( qp
условная дисперсия остатков удовлетворяет уравнению
Ковариационный анализ линейных марковских итераций
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 83
jtjtj
q
j
ktk
p
k
t −−− ∑∑ ++ ξσθσϕϕσ 2
1=
2
1=
0
2 = . (2)
Все параметры в приведенных выше уравнениях опредляются, как пра-
вило, по заданной выборке методом наименьших квадратов. Естественно,
что при этом основным предположением является существование асимпто-
тически устойчивых стационарных, имеющих второй момент решений
уравнения для дисперсии, т.е. сходимость матриц }{=:)( 4
4 ttM ΣE при
∞→t к некоторой постоянной матрице 4M . Легко показать, что этот воп-
рос сводится к анализу поведения моментов соответствующего однородно-
го уравнения [1]. Предположение о независимости элементов последовате-
льности { ∈tt ,ξ ℤ} позволяет сравнительно просто получить в удобной для
приложений форме необходимые и достаточные для этого условия (см.,
например, [3]). Однако в последнее время в современной финансовой эко-
нометрии все чаще стали появляться регрессионные модели, в которых ста-
тистическая неопределенность задается в форме случайных последователь-
ностей с дискретным пространством состояний. Например, при анализе
возможности хеджирования опционов в модели Кокса-Рубинштейна [9] ди-
намика рынка определеяется поведением акций, задаваемых в форме итера-
ционной процедуры 1= −ttt SS ζ , где процентные ставки { ∈tt ,ζ ℤ} незави-
симы и в каждый момент времени принимают лишь два значения: либо
вверх, либо вниз. Ясно, что даже в этом простейшем случае управляющая
рынком ценных бумаг последовательность { ∈tSt , ℤ} уже не является по-
следовательностью с независимыми элементами, а лишь обладает марковс-
ким свойством. Если итерпретировать сказанное выше в терминах регресси-
онных моделей с остатками типа GARCH, то это означает моделирование
последовательности условных дисперсий остатков в форме разностных ли-
нейных уравнений в nR с марковскими коэффициентами
1)(= −ttt xAx ξ , (3)
где { ∈tt ,ξ ℤ} — однородная цепь Маркова на фазовом пространстве Y с
переходной вероятностью ),( dzyP . В данной работе выводится операторное
уравнение для первых и вторых моментов решений (3) и предлагаются
асимптотические методы анализа динамики в случае, когда коэффициенты в
этом уравнении близки к постоянным. Если же последовательность
{ ∈tt ,ξ ℤ} составлена из независимых элементов, то предлагаемая методика
позволяет получить необходимые и достаточные условия сходимости вто-
рых моментов уравнений вида (2) в удобной для приложений форме.
АНАЛИЗ ПЕРВЫХ МОМЕНТОВ
В дальнейшем линейное пространство nR n -мерных вектор-столбцов
будем рассматривать как евклидово пространство со скалярным произ-
ведением
vuvuvu Tnn =),(:, RR ∈∈ .
В.Н. Царькова, Й.Я. Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 84
Предположим, что марковская последовательность },{:= Z∈ttξξ за-
дана на фильтрованном вероятностном пространстве ),,,( PtFFΩ , где
}{ tF — минимальная фильтрация, с которой она соглаcована. Кроме этого,
чтобы вывести удобные для приложений формулы, нам понадобятся сле-
дующие предположения:
• матричная функция }),({ Y∈yyA непрерывна;
• фазовое пространство Y цепи Маркова является метрическим ком-
пактом;
• переходная вероятность ),( dzyP обладает феллеровским свойством,
т.е. из непрерывности функции }),({ Y∈yyu следует непрерывность функ-
ции }),)({( Y∈yyPu , определенной равенством
),()(:=))(( dzyPzuyu ∫
Y
P ; (4)
• существует единственная вероятностная мера на Y , удовлетворяю-
щая равенству
),()(=:))(( * dzyPdydz µµ ∫
Y
P ; (5)
• существует такое положительное число 1<ρ , что спектр опреде-
ленного на )(YC оператора P можно представить в форме (экспоненци-
альная эргодичность)
}|<|:{,{1}=)( ρλλσσσ ρρ CP ∈∈∪ . (6)
Обозначим
)(=::>;=:
1=
k
t
sk
t
s
s
s AXstIXs ξ∏
+
∈R . (7)
Легко видеть, что решение уравнения (3) можно записать в форме
s
t
st xXx = при всех sts ≥∈ ,R . Кроме того, в силу марковского свойства
последовательности },{ Z∈ttξ вероятностные характеристики матриц
},{ stX t
s ≥ зависят лишь от вероятностных характеристик sξ . Определим на
пространстве непрерывных n -мерных отображений )(=:)( YCRYC n
n→
оператор
),()()(=))((:)(, dzyPzuzAyuuy T
n ∫∈∈
Y
YCY A . (8)
Поскольку переходная вероятность обладает феллеровским свойством,
то )(YCnu∈A . Кроме того, для всех )(YCnu ∈ из (8) следует неравенство
|)(|sup||)(||sup|)()(|sup|||| zuzAzuzAu
z
T
z
T
z YYY ∈∈∈
≤≤A ,
и поэтому
||)(||sup||||sup=:||||
1||=||
zAu
zu Y∈
≤AA , (9)
Ковариационный анализ линейных марковских итераций
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 85
т.е. оператор A является линейным непрерывным оператором на )(YCn .
Лемма 1. Для любых R∈s , 0>t , )(YCnv∈ и nx R∈
))()(,(=}/))(,{( s
ts
ts
ts
s vxvxX ξξ AE F+
+ . (10)
Доказательство. Воспользуемся методом индукции. При 1=t и лю-
бом R∈s равенство (10) следует из марковского свойства последователь-
ности ξ .
)))((,(=}/))())(,{(=}/))(,{( 111
1
ssss
Ts
s
s
s vxvAxvxX ξξξξξ AEE +++
+ F .
Для того чтобы убедиться в справедливости утверждения леммы для
1= +mt , используем это равенство для ms + вместо s в предположении,
что (10) верно для mt = .
=}/))(,{( 1
1 s
ms
ms
s vxX F++
++ ξE
=}}/))/()(,{({ 11
sms
msms
Tms
s vAxX FF +
++++
+= ξξEE
=}/}/))())(,{({
=11
s
ms
sXz
ms
msms
T
x
vAz FF +
+
++++= ξξEE
)))((,(=))))(((,(}/)))((,{( 1
s
m
s
ms
ms
ms
s vxvxvxX ξξξ +
+
+ == AAAAE F .
Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть элементы последовательности },{ Z∈ttξ независимы
и одинаково распределены. Тогда
(i) оператор A оставляет инвариантным подпространство ⊂nR
)(YCn⊂ и сужение A оператора A на это подпространство задается ра-
венством
vAvv Tn =: AR∈ , (11)
где )}({=
0
ξAEA ;
(ii) для любого Z∈s , любого st > и любого tF -согласованного реше-
ния (3) 0},{ ≥txt имеет место равенство
}{=}{ s
st
t xAx EE − . (12)
Доказательство. Поскольку в условиях теоремы ),( dzyP от y не за-
висит, т.е. )(),( dzPdzyP ≡ , то утверждение (i) следует непосредственно
из (8).
vvAdzvPyAvv TTn AEA =)}({=)()(=:
0
ξ∫∈
Y
R .
Далее, по определению фильтрации в силу независмости элементов
последовательности },{ Z∈ttξ случайная величина tξ не зависит от
1−tF -измеримого случайного вектора 1−tx . Поэтому для любого nv R∈
В.Н. Царькова, Й.Я. Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 86
== −
−
−
− )}}/)({,{(=}}/))(,{({)},{ 1
1
1
1 vAxvAxvxE t
t
T
t
t
t
T
tt FF ξξ EEEE(
)},{(=))}({},{(= 101 vAxvAx T
t
T
t −− EEE ξ .
Остается последовательно применить эту формулу для всех ∈t
1}1,{ −+∈ ts , и теорема доказана.
Одним из наиболее распространенных методов анализа разностных
уравнений в nR вида
1=: −∈ ttt yGyt Z (13)
является замена переменных ttt zy B= , где tB — матрица некоторого пе-
ременного базиса в nR [10] . Если удается найти такую матричную после-
довательность, что 1= −tt Hzz , то говорят, что уравнение (13) приводится к
уравнению с постоянными коэффициентами, и любое его решение можно
представить как
ss
st
ts
st
tttt yHzHzy 1=== −−− BBBB .
Это свойство в теории разностных уравнений называется приводимо-
стью. Мы будем называть уравнение (3) приводимым в среднем , если су-
ществует такая непрерывная матричная функция }),({ Y∈yyB и такая мат-
рица Λ , что для всех R∈s и st > выполняется равенство
ss
sts
tt xx )(=}/)({ ξξ BB −ΛFE . (14)
Рассмотрим возможность приводимости (3) в среднем, когда матричная
функция }),({ Y∈yyA близка к постоянной и может быть представлена в
форме равномерно сходящегося ряда
)(=:),(=)( 1
0=
00 yAAyAAyA k
k
k
+
∞
∑++ εεεε , (15)
где (0,1)∈ε — малый параметр.
Вначале сделаем некоторые вспомогательные построения. Определим
тензорное произведение элементов пространства )(YC и nR как произве-
дение скалярной функции на вектор и представим пространство )(YCn как
тензорное произведение n
n RYCYC ⊗)(=)( . Напомним, что тензорное
произведение линейных пространтв H и G определяется как линейная
оболочка множества тензоров },,{ GH ∈∈⊗ ghgh . Соответствующий мат-
рице (15) оператор (8) можно представить в виде суммы )(=)( 0 εεε AAA + ,
причем оператор 0A оставляет инвариантным подпространство nR , и
его можно представить в виде тензороного произведения операторов
TA00 = ⊗PA .
gAhghgh Tn
00 =)(:),( ⊗⊗∈∈ PARYC ,
Ковариационный анализ линейных марковских итераций
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 87
где P — марковский оператор, определенный равенством (4). Тензорное
представление оператора позволяет упростить нахождение спектра и ре-
зольвенты, используя спектры и резольвенты определяющих его операторов
[6]. Спектр оператора 0A с учетом предположения об экспоненциальной
эргодичности (6) можно представить в форме
ρσσσλσλλλσ ∪∈∈ )(=)}(),(:{=)( 0021210 AAPA , (16)
где }),(:{=:)( 21210 ρρ σλσλλλσ ∈∈ PA . Основным предположением для
приводимости в среднем уравнения (3) является дезъюнктность множеств в
разложении спектра (16), т.е.
∅∩ =)( 0 ρσσ A . (17)
Это позволит нам предложить асимптотический метод, основанный на
разложении спектрального проектора [5] оператора )(εA по степеням мало-
го параметра ε .
Сопряженным пространством к )(YCn является пространство вектор-
но-значных мер *)(YCn , и скалярное произведение элементов )(YCnv∈ и
*)(YCng ∈ определяется равенством [2]
))(),((=:>,< yvdygvg ∫
Y
. (18)
Из определения сопряженного оператора >,>=<,< 0
*
0 vgvg AA , т.е.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∫∫ )(),,()(=),())(),(( 00 zvdzyPdygAdzyPzvAdyg T
YY
,
находим его форму
),()(=))(( 0
*
0 dzyPdygAdzg ∫
Y
A . (19)
Пространство *)(YCn также можно представить как тензорное произ-
ведение пространства скалярных счетно-аддитивных мер )(* YC и про-
странства nR . Отсюда, используя определение тензорного произведения,
имеем равенство
bAdyadybaba n
0
**
0
* ))((=:)())((:),( ⊗⊗∈∈ PARYC . (20)
Лемма 2. Если выполнены описанные выше предположения, то при
достаточно малом 0>ε и при всех εε |<| разностное уравнение приводи-
мо в среднем, причем матричная функция }),,({ Y∈yy εB является базисом
в корневом подпространстве оператора )(εA , соответствующем части спек-
тра )(0 εσ , которая определяется равенством 00
0
=)(lim σεσ
ε→
, а матрица
)(εΛ является матрицей сужения оператора )(εA на это корневое подпро-
В.Н. Царькова, Й.Я. Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 88
странство. При каждом εε |<| базисная nn× -матрица-фунукция ),,({ εyB
}Y∈y и постоянная nn× -матрица )(εΛ однозначно определяются равен-
ством
)(),(=),)()((:|<|, εεεεεε Tyyy Λ∈ BBAY . (21)
Доказательство. В силу предположений об экспоненциальной эрго-
дичности марковского процесса и возможности представления спектра опе-
ратора 0A в форме (17), размерность корневого подпространства этого опе-
ратора, соответствующего части спектра )( 0Aσ , равна n . Кроме того, в
силу предположения о равномерной по Y∈y сходимости матричного ряда
),( εyA найдется такое положительное число ε , что операторное семейство
)(εA аналитически зависит от параметра ε при εε |<| . Следовательно [5],
равенство 00
0
=)(lim σεσ
ε→
однозначно определяет изолированную часть
спектра операторов )(εA при всех εε |<| , а соответствующее этой части
спектра корневое подпространство имеет размерность n . Отсюда следует
возможность выбора базиса в этом корневом подпространстве из n элемен-
тов пространства )(YCn , который можно представить в форме матричной
функции
)},(),...,,(),,({=),( 21 εεεε yyyy nbbbB . (22)
При каждом ),( εεε −∈ после последовательного применения операто-
ра )(εA к элементам базиса (22) и разложения по этому базису получим
матрицу сужения оператора )(εA на это подпространство
{ }=1,2,...,=),,)()((:),)()(( njyy j εεεε bABA =
)(),(=:1,2,...,=),,()(=
1=
εεεε T
jjk
n
k
ynjy Λ
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∑ Bbλ . (23)
Теперь подставим (22) в (14).
=}}/)),(,{(},...,/)),(,{({}/),({ 1
s
nt
s
t
s
tt yxyxx FFF εεεξ bEbEBE =
=))},)()(,{)),...,,)(,{( 1 εεε sn
st
ss
st
s yxyx bA(bA −−=
s
stT
sss
st xyx −− Λ= ))()(,(=),)()(( εεεξε BBA ,
и лемма доказана.
Для описания алгоритма построения матричного базиса (22) и матрицы
)(εΛ воспользуемся разложениями в равномерно сходящиеся ряды по сте-
пеням малого параметра ε этих матриц
)(:=),(,=:)( 1
0=
01
0=
0 yy k
k
k
k
+
∞
+
∞
∑∑ +Λ+ΛΛ BBB εεεε (24)
и оператора )(εA
Ковариационный анализ линейных марковских итераций
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 89
1
0=
0:=)( +
∞
∑+ k
k
k
AAA εεε , (25)
где
),()()(=))(( dzyPzvzAyv T
jj ∫
Y
A . (26)
При каждом достаточно малом ε можно подставить эти разложения в
(23) и, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ε , учитывая
(26), получить последовательность уравнений
T
0000 = ΛBBA , (27)
01100110 = BABBBA −ΛΛ− TT , (28)
112011200220 = BABABBBBA −−Λ+ΛΛ− TTT (29)
и т. д. для определения неизвестных элементов рядов (24). Выбрав единич-
ную матрицу I=:0B в качестве базиса в nR и подставив ее в (27), находим
TT A00 =Λ , т.е. 00 = AΛ . Теперь на элементах пространства Ĉ непрерывных
матричных функций определим оператор
=−=∈∈ :)())((:))((:ˆ, 00
TAyyyy vvAvv LCY
))(())((:)()(),())()((=: 000 yyAyyAdzyPyzA TTT vvvvvv GH
Y
+=−+−∫ . (30)
Рассматривая Ĉ как
2nR , можно, как и в случае пространства )(YCn ,
найти в качестве сопряженного пространство счетно-аддитивных матрично-
значных мер *Ĉ и определить скалярное произведение элементов *Ĉ∈g и
Ĉ∈v формулой
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∫ )()(Sp=>:,< dyyT gvvg
Y
, (31)
где {}Sp — след матрицы. Из этого определения аналогично (19) легко най-
ти сопряженный оператор *L к оператору L .
=:)())((:))(( 0
*
0
* Adzdzdz ggAg −=L
=−+−= ∫ :)()(),())()((: 000 AdzdzAdzyPdzdyA gggg
Y
))(())((=: ** dydy gg GH + . (32)
Как и в случае пространства )(YCn пространство Ĉ можно рассмат-
ривать как тензорное произведение )(YC и пространства постоянных мат-
риц nM , а пространство *Ĉ как тензорное произведение *)(YC и про-
странства постоянных матриц nM . Оператор *L в соответствии с (32)
В.Н. Царькова, Й.Я. Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 90
является тензорной суммой оператора *H , действующего в пространстве
)(* YC , и оператора *G , действующего в пространстве nM . Поэтому ядро
оператора *L состоит из элементов вида
0}=:{,)(=}{Ker 00
* MAMAMMdy n −∈⇔∈ MMM µL . (33)
Теперь можно переписать (28) в форме
)(=)()( 110110 yAyy TTT −Λ− ΛBBA ,
применив теорему Фредгольма о нормальной разрешимости. Для того чтобы
уравнение вида
CBBA =0220
TΛ−
для Ĉ∈C имело решение, необходима и достаточна ортогональность пра-
вой части этого уравнения всем элементам ядра оператора *L . Итак, для
разрешимости (28), учитывая I=0B , нужно обеспечить равенство
0=)()]([ 11 dyMyA T µ−Λ∫
Y
(34)
для всех nn× -матриц, удовлетворяющих равенству 0=00 MAMA − .
Очевидно, что при
)()(=:= 111 dyyAA µ∫Λ
Y
(35)
равенство (34) выполняется для любой постоянной матрицы M . Теперь
можно найти )(1 yB и перейти к анализу следующего уравнения для отыска-
ния 2Λ и )(2 yB . Уравнение (28) имеет много решений. Удобно выбрать
такое решение )(1 yB , что 0=1B . Подставим известные матрицы в (29) и
перепишем это уравнение так:
)()()(= 111120220 yyAAy TTTT BBBBA −+ΛΛ− .
Теперь вновь применим теорему Фредгольма
dyyyAA TTT µ)()(= 11112 BB ∫+−Λ
Y
(36)
и найдем матрицу 2Λ , а затем и )(2 yB . После этого можно выписать сле-
дующее уравнение для отыскания )(, 33 yBΛ и т. д. до достижения нужной
точности в разложении матрицы )(εΛ . В силу компактности пространства
Y и непрерывности матриц 1,2,...}=),({ jyjB элементы найденного базиса
+++ 2
2
1=: BBB εεI при достаточно малом ε линейно независимы.
КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
Проанализируем динамику матриц вторых моментов решений разностного
уравнения (3), т.е. поведение матриц
Ковариационный анализ линейных марковских итераций
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 91
}{=: T
ttt xxQ E (37)
как матричной функции аргумента t . Чтобы упростить выкладки, введем
некоторые обозначения. Прежде всего заметим, что пространство nM дей-
ствительных nn× -матриц можно рассматривать как 2n -мерное евклидово
пространство
2nR со скалярным произведением }{Sp:=],[ Tgqgq . Множе-
ство симметричных nn× -матриц nM̂ вида
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
nnnn
n
n
qqq
qqq
qqq
q
...
...
...
=:
21
22212
11211
(38)
образует в nM линейное замкнутое подпространство. Поскольку при
nq M̂∈ равенство
0=)(=:],[=:|||| 2
1=1=
2
kj
n
j
n
k
qqqq ∑∑
эквивалентно равенству
0=)(:=),(:=|||| 2
=1=
2
kj
n
kj
n
k
qqqq ∑∑ ,
то nM̂ можно отождествить с евклидовым пространством 2
1)( +nn
R с вектор-
столбцами вида
T
nnnnnnnn qqqqqqqqqq );,;,...,,;,...,,(: 1)1)((1)1)((2232211211 −−−−= (39)
и со скалярным произведением gqgq T=:),( . Используя эти обозначения и
уравнение (3), для матричных последовательностей T
ttt xxxx =:)( можно
выписать линейное разностное уравнение в nM
11 )()(:)())((=)( −− = ttt
T
ttt xxAAxxAxx ξξξ (40)
и воспользоваться всеми результатами, приведенными ранее. Определенное
выше семейство линейных операторов )( tA ξ на пространстве nM при каж-
дом фиксированном значении аргумента tξ оставляет инвариантным про-
странство nM̂ симметричных матриц и поэтому, если нам удобно, вместо
(40) будем анализировать соответствующее линейное разностное уравнение
в 2
1)(+n
R .
Обозначим V банахово пространство симметричных nn× -матричных
функций }),({ Y∈yyq с нормой
|),)((|sup:||||
1||=||,
xxyqq
xy Y∈
= .
В.Н. Царькова, Й.Я. Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 92
Используя матричную функцию }),({ Y∈yyA и переходную вероят-
ность марковской цепи, определим на V линейный непрерывный оператор
),()()()(:))(( dzyPzAzqzAyq T∫=
Y
A . (41)
Все результаты предыдущей секции могут быть достаточно просто пе-
реформулированы и для анализа этого оператора. Однако он обладает неко-
торой спецификой, которая позволяет упростить исследования. Легко дока-
зать, что оператор (41) оставляет инвариантным конус неотрицательно
определенных матричных функций [7] , представленный равенством
0}),)((inf:{:
1||=||,
≥∈=
∈
xxyqq
xy Y
VK
с множеством внутренних точек
0}>),)((inf:{:
1||=||,
xxyqq
xy Y
VK
∈
∈=
o
.
Напомним, что в этом случае конус называется телесным [7]. Конус
K позволяет частично упорядочить пространство V , используя «неравен-
ство»
K∈−⇔ 1221 << qqqq .
Очевидно,
o
K∈q тогда и только тогда, когда существует такое поло-
жительное число )(qc , что Iqcq )(>> , где I — матричная единица. Это
упорядочение позволит достаточно просто изучить характер поведения вто-
рых моментов решений (3) при ∞→t . Для упрощения выкладок удобно
ввести обозначение ),,( yxkx kt+ для решения (3), удовлетворяющего на-
чальным условиям yxx kk == ξ, и ),,( ykktX + для матрицы (7) при усло-
вии yk =ξ . Ясно, что xykktXyxkx kt ),,(=),,( ++ . Если безусловный вто-
рой момент решений (37) экспоненциально убывает при ∞→t , т.е.
1}|<|:{0,> zC C∈∃∃ λ ,
22 ||}||),,({||:0,,, xCyxkxtkyx t
kt
n λ≤≥∀∈∀∈∀∈∀ +EZYR , (42)
то говорят [8], что (3) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном.
Покажем, что это свойство позволит достаточно просто установить действи-
тельный положительный спектр оператора (3).
Определим теперь действие оператора A с помощью решений уравне-
ния (3).
Лемма 3. Для любых ,0,>, YV ∈≥∈ yktq и nx R∈
( )( ) { }yyxkxyxkxyqxxyq kktktkt
t =/)),,(),,,()((=,)( ξ+++EA .
Доказательство. Как и (10), эта формула является простым следствием
марковского свойства последовательности },{ ttx ξ .
{ }==/)),,(),,,()(( yyxkxyxkxyq kktktkt ξ+++E
Ковариационный анализ линейных марковских итераций
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 93
{ }==/)),,(),,,()()()(( 11 yyyxkxyxkxyAyqyA kktktktktkt
T
−+−++++= E
=
=),,,(
,)()()()(
1=
1
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−+
−+∫
yyxk
hhdzyPzAzqzA
kktxh
kt
T
ξY
E
{ } =...==/)),,(),,,())((( 111 yyxkxyxkxyq kktktkt ξ−+−+−+= AE
{ } ( )( )xxyqyyxkxyxkxyq t
kkkk
t ,)()==/)),,(),,,())((( 111
1 AAE ξ+++
−= .
Используя обозначение (7), перепишем утверждение леммы в матрич-
ной форме
{ }yykktXyqykktXyq kkt
Tt =/),,()(),,(=))(( ξ++ +EA . (43)
Теорема 2. Следующие утверждения эквивалентны:
(i) уравнение (3) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном;
(ii) существует такая матричная функция
o
K∈q , что
Iqq −− =A ; (44)
(iii) максимальная положительная точка спектра }{Ar оператора A
меньше единицы.
Доказательство. )()( iii → . Используя равенство
{ } { } =),),0,(),0,((sup=),0,(),0,(
1|=|
xxytXytXytXytX T
x
T EE
{ } { }2
1|=|1|=|
|),(0,|sup=)),0,(,),0,((sup yxxxytXxytX t
xx
EE=
и условие экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном, можно
убедиться в существовании матричной функции, определенной равенством
{ }),0,(),0,(=:)(
0=
ytXytXyq T
t
E∑
∞
.
В силу тождества IykkX ≡),,( из равенства
{ } { }),0,(),0,(=),0,(),0,(
1=0=
ytXytXIytXytX T
t
T
t
EE ∑∑
∞∞
+
следует неравенство Iq >> . Следовательно,
o
K∈q . Чтобы завершить дока-
зательство первого утверждения теоремы, можно воспользоваться форму-
лой (43) для матричной функции Iyq ≡)( .
IIIIIyqyq t
t
t
t
t
t
t
t
−=−=−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=− ∑∑∑∑
∞
+
∞∞∞
AAAAAA
0=
1
0=0=0=
)()( .
)()( iiiii → . Прежде всего заметим, что, если
o
K∈q , то в силу компакт-
ности Y и непрерывности этой матричной функции можно найти такое по-
В.Н. Царькова, Й.Я. Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 94
ложительное число )(qc , что IqqIqc ||||<<<<)( . Пусть эта матричная
функция удовлетворяет (44). Тогда должно выполняться неравенство
||||/<< qqqq −−A или qrq tt <<A для любого N∈t , где ∈− −1||||1= qr
(0,1)∈ . Следовательно,
I
qc
rqq
qc
rq
qc
I
tt
tt
)(
||<<||
)(
<<
)(
1<< AA
для всех N∈t , т.е.
I
rqc
qIr
qc
qI t
m
t
t
m
t )(1)(
||||<<
)(
||||<<
0=0= −∑∑A
для всех N∈m и
∞∑
∈∞→
|<),))(((|suplim
0=1,|=|
xxygt
m
tyxm
A
Y
(45)
для любой матричной функции V∈g . Поскольку линейный неперерывный
оператор A оставляет инвариантным телесный конус K , существует такая
положительная точка спектра )(Aρ , что )}(|,{|sup=)( AA σρ ∈zz , и этой
точке спектра соответствует действительная собственная функция (матрич-
ная) K∈ρq , т.е., ρρ ρ qq )(= AA [7]. Поэтому, если 1)( ≥Aρ , то
∞∑
∈∞→
=),))(((suplim
0=1,|=|
xxyqt
m
tyxm
ρA
Y
.
Это противоречит (45).
)()( iiii → . Поскольку оператор A оставляет инвариантным конус K ,
существует положительная точка спектра )(Ar , удовлетворяющая неравен-
ству )}({max=)( AReAr σ [7]. Следовательно, если 1<)(Ar , то ⊂)(Aσ
1}|<|:{ zz C∈⊂ , и тогда существуют такие константы 0>c и (0,1)∈λ , что
tt cλ≤|||| A для всех N∈t [7]. Теперь можно воспользоваться неравенством
22 ||),)()((=|),,(| xcxxyIyxkx tt
kt λ≤+ AE ,
и теорема доказана.
Если матричная функция }),({ Y∈yyA близка к постоянной и может
быть представлена в форме равномерно сходящегося ряда (15), где
(0,1)∈ε — малый параметр, то можно повторить рассуждения для приво-
димости уравнения в среднем квадратичном, изменив размерность матрицы
)(εΛ и матрицы-базиса )(εB с n на
2
1( +nn . К сожалению, это увеличение
размерности существенно усложняет и без того громоздкие вычисления, и
поэтому может оказаться полезным описанный ниже алгоритм анализа по-
ведения вторых моментов решений уравнения (3). Этот алгоритм основан на
применении утверждения (iii) теоремы 2, поскольку в соответствии с (iii)
Ковариационный анализ линейных марковских итераций
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 95
должно существовать изолированное положительное наибольшее по моду-
лю собственное значение )(ˆ ελ оператора (41). Если матрица (15) аналити-
чески зависит от параметра ε , то этот оператор в некоторой окрестности
0|<| εε тоже аналитически зависит от ε , и его изолированное собственное
значение )(ˆ ελ можно представить [Kato] в виде ряда по степеням ε .
Для отыскания разложения ++ 10=:)(ˆ ελλελ понадобится базис
)(ˆ εB в корневом подпространстве этого собственного значения. Если соб-
ственное значение имеет алгебраическую кратность m , то базис состоит из
m элементов пространства V , и его удобно представить строкой
)}(ˆ),...,(ˆ),(ˆ{:=)(ˆ
21 εεεε mbbbB . При достаточно малом ε базис можно пред-
ставить в форме ряда [5] +++ 2
2
10
ˆˆˆ=:)(ˆ BBBB εεε . Поскольку тоталь-
ный проектор в корневое подпространство также является аналитиче-
ской функцией параметра ε , то матрицу )(ˆ εΛ сужения )(ˆ εA оператора
)(εA на это подпространство также можно разложить в ряд +ΛΛ 0
ˆ=:)(ˆ ε
+Λ+Λ+ 2
2
1
ˆˆ εε . С учетом изложенного выше выпишем уравнения для
отыскания jλ , jΛ̂ и jB̂ при всех ...2,1,0,=j
T
0000
ˆˆ=ˆˆ ΛBBA , (46)
01100110
ˆˆˆˆ=ˆˆˆˆ BABBBA −ΛΛ− TT , (47)
112011200220
ˆˆˆˆˆˆˆˆ=ˆˆˆˆ BABABBBBA −−Λ+ΛΛ− TTT . (48)
Сделаем несколько замечаний о возможности упрощения вычислений.
Так, представление матрицы )(εA в виде ряда по степеням параметра ε
можно выбрать в таком виде, чтобы все собственные значения },...,,{ 21 kννν
матрицы 0A , равные по модулю ее спектральному радиусу )(=: 00 Aρρ ,
были простыми. Здесь k — суммарная кратность выписанных выше собст-
венных значений. В силу возможности представления пространства
непрерывных nn× -матричных функций в форме тензорного произведения
nn RRYCV ⊗⊗)(=: и оператора 0A в виде тензорного произведения
00 AA ⊗⊗P , наибольшие по модулю собственные значения этого операто-
ра образуют множество }1,2,...,=;1,2,...,=,{ kjklljνν . А тогда наибольшее
по модулю действительное собственное положительное значение оператора
0Â имеет вид [6] 2
00 =ˆ ρλ и кратность km 2= . Следовательно, в соответст-
вующем собственному значению корневом подпространстве можно выбрать
базис 0B̂ так, чтобы IT 2
00 =ˆ ρΛ , где I — единичная mm× -матрица. Ис-
пользуя этот базис, определим оператор
vvAvL ˆˆ=:))(ˆ( 2
00 ρ−y (49)
В.Н. Царькова, Й.Я. Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 96
и перепишем уравнение (47) в форме
01101
ˆˆˆˆ=))(ˆˆ( BABBL −ΛTy . (50)
Теперь к этому уравнению нужно применить теорему Фредгольма о
нормальной разрешимости, используя сопряженное уравнение в простран-
стве матрично-значных мер, как было описано выше. Для того чтобы это
имело решение, необходимо и достаточно ортогональности правой части
уравнения для всех элементов ядра оператора *L . Итак, для разрешимости
(50), учитывая I=0B , достаточно обеспечить равенство
0=)(]ˆˆˆˆ[ 0110 dyT µBAB −Λ∫
Y
, (51)
откуда находим 1Λ̂ , подставляем в (50) и находим 1B̂ . Затем переходим к
следующему уравнению для определения 2Λ̂ и 2B̂ и т.д. до достижения
нужной точности.
УРАВНЕНИЕ С НЕЗАВИСИМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Если последовательность },{ N∈ttξ состоит из независимых случайных ве-
личин, имеющих одинаковое распределение )(dyp , то ковариационный
анализ (3) упрощается. В этом случае, как и при анализе первых моментов
решений, приведенных выше, можно использовать сужение Â определен-
ного формулой (41) оператора A на пространство постоянных действитель-
ных симметричных nn× -матриц nM
)()()(=)}()({=:ˆ dypyAqyAyAqyAq T
tt
T ∫
Y
EA
и конус положительно определенных матриц
oo
K KM ∩nn ˆ=: .
Следствие 1. Пусть последовательность },{ N∈ttξ состоит из незави-
симых случайных величин и выполнены остальные условия теоремы 2. То-
гда следующие утверждения эквивалентны
(i) уравнение (3) экспоненциально устойчиво в среднем квадратичном;
(ii) существует такая матрица
o
K∈q , что
Iqq −− =A ; (52)
(iii) максимальная положительная точка спектра }{Ar оператора A
меньше единицы.
Утверждение (iii) позволяет достаточно просто анализировать поведе-
ние решений скалярных разностных уравнеий m -го порядка
knknk
m
k
knk
m
k
mn xhcxax ++++
−
++
−
+ ∑∑ + 11
1
0=
1
1
0=
= ξ , (53)
Ковариационный анализ линейных марковских итераций
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 97
где }{ kξ — последовательность одинаково распределенных независимых
случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Это урав-
нение можно переписать в векторной форме в пространстве mR
XHcXAX kkn
m
k
nn 11
1
0=
1 = +++
−
+ ∑+ ξ , (54)
где
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−− 0...00...00
0...000...00
........................
0...000...00
0...000...00
=,
...
1...000
.............
0...100
0...010
=
121 km
k
mmm h
H
aaaa
A .
В соответствии со следствием 1 второй момент любого решениия урав-
нения (54) экспоненциально убывает тогда и только тогда, когда для любого
1<0 ρ≤ существует положительно определенное матричное решение урав-
нения
qqHHcAqA k
T
k
m
k
T ρ=
1=
2∑+ .
Следовательно, если собственные значения матрицы A расположены
внутри круга 1}|<{| z , то существует такое положительное число 22 < rc ,
что второй момент любого решения 2|| nxE уравнения (53) стремится к ну-
лю при ∞→n , но при 22 > rc найдется решение, которое неограниченно
возрастает. Подставим это число 2r в предыдущее матричное уравнение
0=
1=
2 qHqhAqA k
T
k
m
k
T −+ ∑r (55)
и перепишем его в виде системы уравнений для элементов матрицы
}{=: sjqq
ii
m
i
mmm aqqqqqqqq 2
1=
121123122211 =,=...,,=, ∑−= ,
ii
m
i
mmm aqqqqqqqq 3
1=
231234233322 ,=...,,, ∑=== − ,
…………………………………………………….
+++++= mmmmmm qhaqhaq )()( 222
11
2
1
22
1 rr …
…… +++++ −−− 232111121 222 qaaqaaqaa mmmmmm
mmmm qaaqaa 112211 22 −− +++ …… .
Из этих равенств можно найти форму матрицы-решения
В.Н. Царькова, Й.Я. Голдштейне
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 98
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−
−−
−−
−−
mmmmmmmmm
mmmmmmmmm
mmmmmmmmm
mmmmmmmmm
mmmmmmmmm
mmmmmmmmm
qqqqqq
qqqqqq
qqqqqq
qqqqqq
qqqqqq
qqqqqq
q
12321
11432
21543
34512
23411
12321
..................=
…
…
…
…
…
…
…
,
и тогда из (55) легко получить систему m линейных уравнений для чисел
mjq jm ,...1,2,=,
11,2,...,=0,=1)(1
1=
)1(
1=
−−− +−+−−
−
+−− ∑∑ miqaqaq mlmlim
im
l
mliml
i
l
im , (56)
0=2))((1 11
1=
1
1=
2
1
22
1
1=
lmsllm
l
s
m
l
imim
m
i
mm qaahaq +−+−
−
+−+− ∑∑∑ −+− r . (57)
В силу существования числа 2r это уравнение должно иметь нетриви-
альное решение, и поэтому детерминант системы уравнений (56), (57) дол-
жен быть равен нулю. Из формы анализируемой системы уравнений можно
сделать вывод, что ее детерминант является линейной функцией параметра
2r , и найти это число в форме отношения двух определителей. Проиллюст-
рируем приведенный алгоритм на примере анализа существования, имею-
щего второй момент устойчивого стационарного процесса GARCH ),( qp
[3], заданного формулой (2). Пусть 2ˆ tσ — стационарный процесс, удовле-
творяющий (2) и 22 ˆ=: tttx σσ − . Если существует }1){(=: 22
1
4 −εEs , то для
tx можно записать разностное уравнение вида (53), где 22 1)(=: −− stt εξ ,
2= sc , },{max= qpm ,
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
++
++
≤+
,2,...,1,=,=<если,
,2,...,1,=,=<если,
,1,2,...,=,=если,
=
mqqkmpq
mppkmqp
pkmqp
a
k
k
kk
k
θ
φ
θφ
kkh θ= при qk 1,2,...,= и 0=kh при qk > . Ясно, что любой удовлетворя-
ющий (2) процесс сходится к стационарному тогда и только тогда, ко-
гда второй момент решений уравнения (53) стремится к нулю при ∞→t .
Применив следствие 2, можно найти число 2r и сравнить его с 42 := sc .
Если выполняется неравенство 24 < rs , то заданный уравнением (2)
GARCH ),( qp -процесс сходится к стационарному при ∞→t . Можно также
показать, что это условие является и необходимым для существования без-
условного второго момента условной дисперсии 2
tσ . Несмотря на громозд-
кие вычисления, предлагаемый алгоритм достаточно прост и всегда приве-
дет к желаемому результату. Он особенно просто выглядит для малых
Ковариационный анализ линейных марковских итераций
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 99
значений p и q . Например, для модели GARCH )1,2( система уравнений
для отыскания 2r имеет вид
01)( 221212 =+− qaaq ,
0)(1122 22
2
1
22
2
2
121 =−−−− qbaaqaa r .
Подставив 1122111 =,=,= θφθφ baa + и приравняв к нулю определи-
тель этой системы уравнений, находим критическое значение 2r .
)(1
])())[(1(1
=
0
1
12
1
=
2
2
1
2
11
2
22
2
1
12
2
2
2
121
12
2
φθ
θφφφ
−
+−−+
−
−+
−
−
b
aa
aaaa
aa
r .
Следовательно, стационарный GARCH(2,1)-процесс со вторым момен-
том условной дисперсии существует тогда и только тогда, когда четвертый
момент }1){(=: 22
1
4 −εEs случайных возмущений }{ kε удовлетворяет не-
равенству
.
)(1
])())[(1(1
<
2
2
1
2
11
2
224
φθ
θφφφ
−
+−−+
s
ЛИТЕРАТУРА
1. Carkova V., Goldsteine J. On mean square stability of linear Markov difference
equations // Proceedings of the 3rd International conference Aplimat, Slovak
University of Technology, Bratislava, 2004.
2. Dunford N., Schwartz J.T. Linear Operators. Part I: General Theory, Interscience
Publishers. — NY, London. — 1958.
3. Changli H., Teräsvirta T. Fourth moment structure of the GARCH(p,q) process //
Econometric Theory. — 1999. — 15.
4. Hamilton J.D. Time Series Analysis // Princeton University Press. — Princeton. —
1994.
5. Kato T. Perturbations Theory for Linear Operators. — Springer-Verlag, Berlin-
Heidelberg, 1966.
6. Katafygiotis L., Tsarkov Ye. Mean square stability of linear dynamical systems with
small Markov perturbations.II. Diffusion coefficients // Random Oper. and Stoch.
Equ. — 1996. — № 4.
7. Krein M.G.,Ruthman M.A. The linear operators leaving as invariant cone in Banach
space // Russian Math. Survey. — 1947. — 3, № 1–3.
8. Nevelson M.B., Khasminskij R.Z. it Stochastic Approximation and Recurrent Evalua-
tion. — Moscow: Nauka (Russian), 1972.
9. Shiryayev A.N. Basis of Stochastic Finansial Mathematics. Facts. Models. — Mos-
cow: Fazis (Russian), 1998.
10. Tsarkova V. Convergence of Stochastic Iterations. — Riga: Latvian University (Rus-
sian), 1979.
11. Tsarkova V., Berdichevska M. Averaging and stability of linear difference equations
with Markov coefficients // Proceedings of the Latvian Probability Seminar. —
Riga: RTU, 1993.
Поступила 01.06.2006
|
| id | journaliasakpiua-article-127644 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:23:37Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/1b/bfc49aa1ffe7ee1173f322e6057afe1b.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1276442018-04-11T11:11:15Z Covariation analysis of the linean Markov iterations Ковариационный анализ линейных марковских итераций Коваріаційний аналіз лінійних марковських ітерацій Tsarkova, V. N. Goldshteine, I. Ya. The paper analyzes the behavior of the first and second moments of linear difference equations with Markov coefficients. A convenient for application method of asymptotic stability analysis for equations with close to constant coefficients is proposed. By applying the Kato perturbation theory, we have developed an algorithm based on the decomposition by the small parameter powers of the specially constructed operator. In the case of independent perturbations, the method proposed makes it possible to write necessary and sufficient conditions for stability in the quadratic mean in the form of inequalities with coefficients. Исследуется поведение первых и вторых моментов линейных разностных уравнений с марковскими коэффициентами. Предлагается удобный для приложений метод анализа асимптотической устойчивости для близких к постоянным коэффицентов. Разработан алгоритм, основанный на разложении по степеням малого параметра специально сконструированного оператора с использованием теории возмущений линейных опрераторов Като. При независимых возмущениях предлагаемый метод позволяет выписать необходимые и достаточные условия устойчивости в среднем квадратичном в форме неравенств с коэффициентами. Досліджується поведінка перших і других моментів лінійних різницевих рівнянь із марковськими коефіцієнтами. Запропоновано зручний для додатків метод аналізу асимптотичної стійкості для близьких до постійних коефіцієнтів. Розроблено алгоритм, який засновано на розкладанні за степенями малого параметра спеціально сконструйованого оператора із використанням теорії збурень лінійних операторів Като. При незалежних збуреннях запропонований метод дозволяє виписати необхідні та достатні умови стійкості у середньому квадратичному у формі нерівностей із коефіцієнтами. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-04-02 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127644 System research and information technologies; No. 3 (2007); 82-99 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2007); 82-99 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2007); 82-99 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127644/122398 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Tsarkova, V. N. Goldshteine, I. Ya. Коваріаційний аналіз лінійних марковських ітерацій |
| title | Коваріаційний аналіз лінійних марковських ітерацій |
| title_alt | Covariation analysis of the linean Markov iterations Ковариационный анализ линейных марковских итераций |
| title_full | Коваріаційний аналіз лінійних марковських ітерацій |
| title_fullStr | Коваріаційний аналіз лінійних марковських ітерацій |
| title_full_unstemmed | Коваріаційний аналіз лінійних марковських ітерацій |
| title_short | Коваріаційний аналіз лінійних марковських ітерацій |
| title_sort | коваріаційний аналіз лінійних марковських ітерацій |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127644 |
| work_keys_str_mv | AT tsarkovavn covariationanalysisofthelineanmarkoviterations AT goldshteineiya covariationanalysisofthelineanmarkoviterations AT tsarkovavn kovariacionnyjanalizlinejnyhmarkovskihiteracij AT goldshteineiya kovariacionnyjanalizlinejnyhmarkovskihiteracij AT tsarkovavn kovaríacíjnijanalízlíníjnihmarkovsʹkihíteracíj AT goldshteineiya kovaríacíjnijanalízlíníjnihmarkovsʹkihíteracíj |