Оптимальне технічне обслуговування відновленої системи із навантаженим резервуванням з урахуванням напрацювання кожного елемента

A semi-markov model of maintenance of a parallel structure has been constructed taking into account the total prefailure operation time of each element. Stationary indeces of the system operation quality have been found. Optimal values of the operation time for the elements have been determined for...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2018
Автор:	Peschanskii, O. I.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018
Онлайн доступ:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127645
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	System research and information technologies
Завантажити файл:

Репозитарії

System research and information technologies

_version_	1867334333617930240
author	Peschanskii, O. I.
author_facet	Peschanskii, O. I.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "O. I. Peschanskii", "institution": null } ]
author_sort	Peschanskii, O. I.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-04-11T11:11:15Z
description	A semi-markov model of maintenance of a parallel structure has been constructed taking into account the total prefailure operation time of each element. Stationary indeces of the system operation quality have been found. Optimal values of the operation time for the elements have been determined for preventive maintenance.
first_indexed	2025-07-17T10:23:38Z
format	Article
fulltext	© А.И. Песчанский, 2007 100 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 УДК 519.873 ОПТИМАЛЬНОЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ ВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ СИСТЕМЫ С НАГРУЖЕННЫМ РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ И УЧЕТОМ НАРАБОТКИ КАЖДОГО ЭЛЕМЕНТА А.И. ПЕСЧАНСКИЙ Построена полумарковская модель технического обслуживания системы па- раллельной структуры с учетом суммарной наработки на отказ каждого эле- мента. Найдены стационарные показатели качества функционирования систе- мы. Определены оптимальные величины наработок элементов для проведения предупредительного технического обслуживания. ВВЕДЕНИЕ В настоящее время оптимальная организация обслуживания сложных тех- нических систем — актуальная задача. Обзор результатов по различным стратегиям технического обслуживания (ТО) систем содержится, например, в работах [1–4]. В монографии [4] исследована задача оптимального управ- ляющего воздействия на эксплуатацию цепочки последовательно соединен- ных элементов с учетом наработки на отказ всей системы и систем с облег- ченным и ненагруженным резервом. В данной статье исследуются стратегии ТО многокомпонентной восстанавливаемой системы с нагруженным резервированием и учетом суммарной наработки на отказ каждого ее элемента. Относительно длитель- ностей безотказной работы элементов, их восстановлений и ТО предполага- ется, что они являются случайными величинами с распределениями общего вида. Индикация отказа осуществляется мгновенно. Для решения задачи привлекается аппарат полумарковских процессов с дискретно-непрерывным множеством состояний. Находится стационарное распределение вложенной цепи Маркова, определяются стационарные характеристики функциониро- вания системы: коэффициент технического использования, средний удель- ный доход на единицу календарного времени, средние удельные затраты на единицу времени исправного функционирования системы. Решается задача определения оптимальной периодичности обновлений каждого элемента в зависимости от его «возраста жизни» с целью достижения экстремальных значений указанных показателей качества функционирования системы. ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ И ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Рассмотрим N -компонентную восстанавливаемую систему с нагруженным резервом. Время безотказной работы каждого элемента системы — случай- ная величина (СВ) iα с функцией распределения (ФР) )()( tPtF ii ≤= α , Оптимальное техническое обслуживание восстанавливаемой системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 101 Ni ,1= . Индикация отказа элемента осуществляется мгновенно и начинает- ся его восстановление (аварийное), которое длится случайное время iβ с ФР NitPtG ii ,1),()( =≤= β . Предполагается, что в момент, когда суммарная наработка i -го элемента («возраст жизни») достигает уровня iτ , начинается его предупредительное ТО, длительность которого СВ p iβ с ФР =)(tG p i )( tP p i ≤= β . Как после ТО, так и после аварийного восстановления, все на- дежностные характеристики элементов полностью обновляются. Считается, что все СВ независимы, имеют абсолютно непрерывные ФР и конечные ма- тематические ожидания p iii MMM ββα ,, . Обозначим ii cc ,0 и p ic ),1( Ni = соответственно доход за единицу времени исправного функционирования, плату за единицу времени аварийного восстановления и за единицу времени ТО i -го элемента системы. Требуется определить следующие показатели качества функциониро- вания системы: стационарный коэффициент технического использования ),...,( 1 NuK ττ , среднюю удельную прибыль ),...,( 1 NS ττ на единицу кален- дарного времени и средние удельные затраты ),...,( 1 NC ττ на единицу вре- мени исправного функционирования, а также определить величины суммар- ных наработок iτ элементов, при достижении которых следует проводить ТО элементов, для того чтобы указанные показатели качества функциони- рования системы имели оптимальные значения. Функционирование системы опишем полумарковским процессом )(tξ с дискретно-непрерывным фазовым пространством состояний [5,6] ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ == NiuxdiE i ,1, )( , где компоненты вектора ( )Nddd ...,,1= указывают на «физические» состоя- ния элементов: 1=kd — k -й элемент находится в работоспособном состоянии; 0=kd — в состоянии аварийного восстановления; 2=kd — в состоянии ТО; i — номер элемента, изменившего свое «физическое» состояние последним. Компоненты вектора )(i x фиксируют время от по- следнего изменения состояния i -го элемента до ближайших моментов изменения состояний остальных элементов )0( =ix . Причем, если 1=kd , то kx — время до ближайшего аварийного отказа k -го элемента. Компо- ненты вектора ( )Nuuu ...,,1= равны суммарным наработкам соответствую- щих элементов в момент последнего изменения состояния системы. Если 2=kd , то считается, что kku τ= . В момент восстановления работоспособ- ности i -го элемента после его ТО, наработка элемента равна нулю: 0=iu . Времена пребывания системы в состояниях определяются формулами ( )kk k k ik d iuxdi ux d i i −ΛΛ∧= Ω∈≠ τγθ 1)( )( , А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 102 где Λ — знак минимума; 1 dΩ — совокупность номеров компонент вектора d , равных 1, ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = .2, ,0, ,1, )( i p i ii ii d i d d d i β β α γ Опишем вероятности (плотности вероятностей) переходов вложенной цепи Маркова (ВЦМ) { }0, ≥nnξ . Заметим, что i -й элемент из физического состояния 1 может перейти в состояние 0(аварийное восстановление) и в состояние 2 (ТО), а из состояний 0 и 2 — только в состояние 1. Обозначим ( )kk k k ik i uxz d −Λ∧Λ= Ω∈≠ τ 1 , а 0 dΩ , 2 dΩ — совокупность но- меров компонент вектора d , равных соответственно 0 и 2. Из состояния Niuxdi i ,1, )( = , переходы бывают следующих типов: а) в состояния 2, )( ≠′′′ i i duxdi с плотностью вероятности перехода ),()()( )( yzp i d i uxdi uxdi i i i −=′′′ ψ где )(, )( ⋅< id iizy ψ — плотность распределения ве- роятностей СВ )( id iγ , ,),(, ikyzxxdd ikkkk ≠−−=′=′ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ ≠Ω∈ Ω∈−+ =′ ,, ,,, ,, 2 0 1 dk dk dik k k ikku kyzu u τ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∈ Ω∈−+ =′ ;0 , ,, 2 0 1 d di dii i i iu iyzu u б) в состояния 2,1, )( =′=′′′ ii i dduxdi с вероятностью перехода ),( )( )( iii uxdi uxdi uFP i i −=′′′ τ где ,),(, ikuxxdd iikkkk ≠−−=′=′ τ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∈ Ω∈−+ =′ ;, ,, ,, 2 0 1 dk dk diik k k ku kuu u τ τ в) в состояния ijuxdj j ≠′′′ , )( с плотностью вероятности перехода ),()()( )( yzp i d i uxdj uxdi i j i +=′′′ ψ где ikkikk zxxyxjkddy −=′=′≠=′> ,,,,0 , jik ,≠ , . ,, ,, ,, ,,0 ,, ,2,, ,2,, 2 0 1 2 0 1 1 jk k ku kzu u j ju dj djzu u dk dk dik k d dj jdj jdij j ≠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∈ Ω∈+ =′ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∈ Ω∈ =′Ω∈ ≠′Ω∈+ =′ τ τ Оптимальное техническое обслуживание восстанавливаемой системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 103 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ Разобьем фазовое пространство E состояний системы на два непересекаю- щихся подмножества +E и −E : +E — работоспособных состояний; −E — отказовых состояний. Подмножество +E содержит состояния, в которых хотя бы один элемент системы работоспособен, а подмножество −E — со- стояния, в которых все элементы находятся в состоянии аварийного восста- новления либо в состоянии ТО. ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ =∅≠Ω=+ NiuxdiE d i ,1,, 1)( , ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ =∅=Ω=− NiuxdiE d i ,1,, 1)( . Среднюю стационарную наработку на отказ +T , среднее стационарное время восстановления −T и стационарный коэффициент технического ис- пользования (КТИ) uK системы найдем по формулам [5] −+ + Ε + Ε − Ε + Ε + + = Ε =Τ Ε =Τ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − + TT T K zPdz dzzm zPdz dzzm u, ),()( )()( , ),()( )()( ρ ρ ρ ρ , (1) где )(⋅ρ — стационарное распределение ВЦМ { }0, ≥nnξ ; )(zm — средние времена пребывания в состояниях системы; ),( +ΕzP — вероятности пере- ходов ВЦМ { }0, ≥nnξ из отказовых состояний в работоспособные. Предположим, что для ВЦМ { }0, ≥nnξ выполняются условия сущест- вования и единственности стационарного распределения [5]. Докажем сле- дующую теорему. Теорема. Стационарное распределение ВЦМ { }0, ≥nnξ определяется формулами NixGxuvxGuhuxdi ddd k k p k k kkk k kkkk i ,1,)(),()()( 210 )( ==⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ∏∏∏ Ω∈Ω∈Ω∈ ρρ , (2) ( ) ( ) 1 11 )()(1 2 1 − ≠ == ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++= ∏∑ N ik k kkk p kk N i ii HMMH τββττρ , где )(),(1)(),(1)( kk p kk p kkkkk uhxGxGxGxG −=−= — плотность функции восстановления ∑ ∞ = ∗= 1 )( )()( n k n kk uFuH ; ++= )(),( kkkkkk xufxuv dsshsxuf k u kkk k )()( 0 ∫ −++ — плотность прямого остаточного времени вос- становления рекуррентного потока, порожденного СВ kα , 1)0,0( ≡kv . А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 104 Доказательство. По определению стационарного распределения плот- ность )(⋅ρ удовлетворяет следующей системе интегральных уравнений: +⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′′+′+=⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ uuxdmuxfuxdi m m i mmm i )()()( )()( ρρ +⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′+′+ ∫ dtutxditf ii u i m )()( 0 )()( ρ ( )( ) Nidxdtutxdjxt ii ji j N ij j u d j m j ,1,0,0,)( )()( 1 0 ===⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′+′++∑ ∫ ≠ = ′ ρψ , (3) ik k mkki uuuikddd d ∧Λ=≠=′=′ Ω∈ 1 ,,,1 , ( ) +′′+′+=⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∞ i m mmmm i dxuuxdmuxfuxdi 0 )()( )()( ρρ +⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′+′+ ∫ dtutxditF ii u i m )()( 0 )()( ρ ( )( ) ( ) ,,1,2,)( 0 )( 1 0 Niddxutxdjdtxt ii j j N ij j u d j m j ==′+′++ ∫∑ ∫ ∞ ≠ = ′ ρψ ik k mkki uuikddd d τ∧Λ=≠=′=′ Ω∈ 1 ,,,1 , +⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′′+′+=⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ uuxdmuxfuxdi m m i mmm i )()()( )()( ρρ ( ) +⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′+′+ ∫ ′ dtutxdit ii u i m id )()( 0 )()( ρψ ( )( ) ;,1,1,)( )()( 1 0 Niddtutxdjxt i ji j N ij j u j m jd ==⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′+′++∑ ∫ ≠ = ′ ρψ ⎩ ⎨ ⎧ > = =′ ,0,0 ,0,2 i i i u u d {} ∅≠−Ω=≠=′ Λ ≠ Ω∈ iuuikdd dk ik k mkk d 1,,, 1 , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∉ Ω∈− =′ ′ ′ ,, ,, 1 1 dk dk k ku ktu u ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ω∉ Ω∈− =′′ ′ ′ ,, ,, 1 1 dk dmk k ku kuu u ( ) +⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ +′=⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∞ ′ dtutxdituxdi id i i i )()( )( 0 )( ρψρ Оптимальное техническое обслуживание восстанавливаемой системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 105 ( )( ) dtutxdjxt ji j N ij j d j j ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ +′++∑ ∫ ≠ = ∞ ′ )()( 1 0 )(ρψ , ,,1,1 Nidi == ⎩ ⎨ ⎧ > = =′ ,0,0 ,0,2 i i i u u d { } ∅=−Ω≠=′ iikdd dkk 1,, . Непосредственной подстановкой убедимся, что функции (2) удовлетво- ряют первым N уравнениям системы. ( ) ( ) ( ) ( ) ++++−− ∏∏∏∫ ′′′ Ω∈Ω∈ ≠ Ω∈ 201 ,)()( 0 ddd m k k p k k kkkk ik k kkk u iii dttxGtxGuhtxtuvtuhtf ( )×+−−+++ ∏∑ ∫ ≠ Ω∈ ≠ Ω∈ ′′ jik k kkkii ij j u jjjj dd m txtuvttuvxthxtf , 0 11 ,),()()( ( ) ( ) ( ) ×++++× ∑ ∫∏∏ ′′′ Ω∈Ω∈Ω∈ 020 0 )( d m dd j u jj k k p k k kkkk xtgdttxGtxGuh ( ) ( ) ( ) ( ) ++++−× ∏∏∏∏ ′′′′ Ω∈Ω∈ ≠ Ω∈ = Ω∈ 2001 0 , ddd i d k k p k k kk jk k kk x k kkk dttxGuhtxGtxtuv ( ) ( ) ( )×++−++ ∏∏∑ ∫ ′′′ Ω∈ = Ω∈Ω∈ txGuhtxtuvxtg kk k kk x k kkk j u j p j d i dd m 012 0 0 ,)( ( ) ×+++× ∏ ≠ Ω∈ ′ )( 2 mmm jk k k p k uxfdttxG d ( ) ( ) ( ) ( ) =+++−× ∏∏∏ ′′′ Ω∈Ω∈ = ≠ Ω∈ 201 0 , dd i d k mk p kmkk k kk x mk k mkmkk uxGuxGuhuxuuv ( ) ( ) ( ) ( ) + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +++−−= ∏∏∏∫ ′′′ Ω∈Ω∈ = Ω∈ dttxGtxGuhtxtuv dt d dd i d m k k p kkk k kk x k kkk u 201 0 0 , ( ) ( ) ( )×++−++ ∏∏ ′′ Ω∈ = ≠ Ω∈ mkk k kk x mk k mkmkkmmm uxGuhuxuuvuxf d i d 01 0 ,)( А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 106 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ==+× ∏∏∏∏ ′′′′ Ω∈Ω∈ = Ω∈Ω∈ 2012 0 , dd i dd k k p kkk k kk x k kkk k mk p k xGxGuhxuvuxG ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛== ∏∏∏ Ω∈ = Ω∈Ω∈ uxdixGxGuhxuv i k kkkk x k kk k kkk d i dd )( 0 1, 201 ρ ρ . Аналогично можно убедиться, что формулы (2) определяют решения остальных уравнений системы. Постоянная ρ находится из условия норми- ровки. Найдем значения интегралов, входящих в формулы (1). ( ) ( )∏∑∫∫ ≠ == + ++==Ε −− N ik k kkk p k N i ii EE HMMHdzzPdz 11 )()(1)(),()( τββτρρρ . (4) Средние времена пребывания системы в состояниях подмножества −E определяются так: dttM i i i x d iuxdi )( 0 )( )( ∫Ψ=θ , (5) где )(1)( )()( tt ii d i d i Ψ−=Ψ ; )()( tid iΨ — ФР СВ ( )id iγ ; 2,0; 1 =Λ= ≠ = ik N ik k i dxx . Обозначим −D множество векторов d , компоненты которых равны кодам «физических» состояний элементов системы, находящейся в подмно- жестве отказовых состояний −E . { } { }0,0,,1,2,0 0 dkkkk kuuRNkddD Ω∈≤≤==== Ω− ττ . Учитывая формулы (2) и (5), получаем =Ψ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛= ∫∫∑ ∑ ∫∫ +− Ω − ∈ = i i iN x d i R ii Dd N i RE dttxduxdiuddzzm 0 )()()( 1 )()()(1 , 0 ρρ ρ τ ( ) ( ) + ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∫∏∏∑ ∑ ∫ ∏∫ Ω∈ ≠ Ω∈∈ Ω∈ Ω∈− +Ω dttGxdxGxGuhud i ddd iN d x i i k k p k ik k kk Dd i R k kk R 0200 , 0 0 )()()( τ ( ) ( ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ + ∫∏∑ ∫ ∏∫ ≠ Ω∈Ω∈ Ω∈+ Ω dttGxdxGxGuhud i dd iN d d x p i i ik k k p kkk i R k kk R 022 , 0 0 )()()( τ Оптимальное техническое обслуживание восстанавливаемой системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 107 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= ∏ ∫∑ ∏ ∫∫∏ Ω∈ ∞ ∈ Ω∈ ∞∞ Ω∈− dtdxxGdttG dt dH k k t k p k Dd k t k k kk ddd 200 )()()( 0 τ [ ]∑ ∏∏∏ −∈ =Ω∈Ω∈ +== Dd N k kkk p k k p k k kkk HMMMHM dd 1 )()( 20 τβββτβ . (6) Средние времена пребывания системы в работоспособных состояниях вычисляются по формулам dttM ux d iuxdi i i i )( 1 )( 0 )( ∫ ∧ Ψ=θ , где ( )kk k uu d −Λ= Ω∈ τ 1 1 . Аналогично (6) находим ( ) =Ψ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛= ∫∫∑ ∑ ∫∫ ∧ ∈ = +++ 1 , 10 0 )()( 1 )()()(1 ux d i R ii Dd N i RE i i iN dttxduxdiuddzzm ρρ ρ τ ∑ ∏∏∏ +∈ Ω∈Ω∈Ω∈ == Dd k p k k kkk k k ddd MHM 201 )( βτβτ ( ) ( )∏∏ == +−++= N k kkk p k N k kkk p kk HMMHMM 11 )()( τββτββτ , (7) { } { }10 10 1 ,,0, ddkkd kkuRkdD Ω∈Ω∈≤≤=∅≠Ω∈=+ ττ . Формулы (4), (6) и (7) позволяют определить среднюю стационарную наработку на отказ, среднее стационарное время восстановления и стацио- нарный коэффициент технического использования системы. ( ) ( ) ( )( ) ( )∏∑ ∏∏ ≠ == == + ++ +−++ = N ik k kkk p k N i ii N k kkk p k N k kkk p kk HMMH HMMHMM T 11 11 )(1 )()( τββτ τββτββτ , ( ) ( )( ) ( )∏∑ ∏ ≠ == = − ++ + = N ik k kkk p k N i ii N k kkk p k HMMH HMM T 11 1 )(1 )( τββτ τββ , А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 108 ∏ = ++ + −= N k kkk p kk kkk p k Nu HMM HMM K 1 1 )( )( 1),...,( τββτ τββ ττ . (8) Заметим, что КТИ системы ),...,( 1 NuK ττ и ( )iiK τ элементов связаны формулой ( )∏ = −−= N i iiNu KK 1 1 )(11),...,( τττ . Здесь [4] ( ) ( )iii p ii i ii HMM K τββτ τ τ ++ = . (9) Для определения среднего удельного дохода ),...,( 1 NS ττ на единицу календарного времени и средних удельных затрат ),...,( 1 NC ττ на единицу времени исправного функционирования системы используем формулы [7] ∫ ∫ ∫ ∫ +Ε Ε Ε Ε == )()( )()()( , )()( )()()( dzzm dzzfzm C dzzm dzzfzm S cs ρ ρ ρ ρ , (10) где )(zf s , )(zfc — функции, определяющие соответственно доход и затра- ты в каждом состоянии. Функции )(zf s и )(zfc с учетом обозначений, введенных в постано- вочной части статьи, имеют вид ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∅≠Ω= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧∈−− ∅=Ω= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧∈−− = ∑∑∑ ∑∑ Ω∈Ω∈Ω∈ Ω∈Ω∈ ;если,,1,, ,если,,1,, 1)(0 1)( 201 20 d i i p i i i i i d i i p i i i s Niuxdizccc Niuxdizcc zf ddd dd ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∅=ΩΩ= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧∈ ∅≠ΩΩ= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧∈+ = ∑∑ Ω∈Ω∈ .если,,1,,0 ,если,,1,, 20)( 20)( 20 dd i dd i i p i i i c Niuxdiz Niuxdizcc zf dd ∪ ∪ Используя формулы (10), получаем ( ) ( ) ( )i N i i N i iii p ii iiii p i p iii N S HMM HMcMcc S τ τββτ τββτ ττ ∑∑ == = ++ −− = 11 0 1 ),...,( , (11) где ( ) ( ) ( )iii p ii iiii p i p iii ii HMM HMcMcc S τββτ τββτ τ ++ −− = 0 — средний удельный доход i -го элемента на единицу календарного времени, Оптимальное техническое обслуживание восстанавливаемой системы … Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 3 109 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )∏∏ ∏∑ == ≠ == +−++ +++ = N k kkk p k N k kkk p kk N ik k kkk p kk N i iiii p i p i N HMMHMM HMMHMcMc C 11 11 1 ),...,( τββτββτ τββττββ ττ . Средние удельные затраты ),...,( 1 NС ττ системы связаны со средними удельными затратами ( )iiC τ i -го элемента формулой ( ) ( ) ( )( )∏ ∑ = = −− = N j jj ii N i ii N K KC С 1 1 1 11 ),...,( τ ττ ττ , (12) где ( )iiK τ — КТИ i -го элемента (8), ( ) ( ) i iiii p i p i ii HMcMc C τ τββ τ + = . ОПТИМИЗАЦИЯ СРОКОВ ПРОВЕДЕНИЯ ТО ЭЛЕМЕНТОВ Задача определения оптимальных показателей качества функционирования системы сводится к отысканию абсолютных экстремумов функций (8), (11) и (12). Приравнивая нулю частные производные функций ( )NuK ττ ,...,1 , ( )NS ττ ,...,1 и ( )NC ττ ,...,1 , получаем соответственно системы уравнений (13)–(15) для определения оптимальных значений наработок c i s i k i τττ ,, , Ni ,1= . ( ) ( ) ,,1, Ni M MHh i p i iiiii ==− β β τττ (13) ( ) ( ) Ni cc cc M M HM cc cc h ii i p i i p i ii p ip ii p ii iii ,1,0 0 = + + =−⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − + β β τβττ , (14) ( ) ( ) ( )( ) =−+−− ),...,(1),...,()(1)()( 11 NuNiiiiiii KCKcHh ττττττττ ( ) ( )[ ×−+−= )(1),...,(1),...,( 11 iiNuN i p i KKC M M τττττ β β ( )] NihMccc iiii p i p i ,1,)()( =−+× τβ . (15) В случае существования единственных решений этих систем уравнений оптимальные значения показателей качества функционирования системы определяются формулами А.И. Песчанский ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 3 110 ( ) ( )∏ = + −= N i k iii k iii u hM hM K 1 max 1 1 τβ τβ , ( ) ( )∑ = + − = N i s iii s iiiii hM hMcc S 1 0 max 1 τβ τβ , ( ) ( ) ( )c N c u c ii N i c ii K KC С ττ ττ ...,,1 1 min ∑ == . Если системы уравнений имеют несколько решений, оптимальные зна- чения показателей качества находятся подстановкой каждого из них в фор- мулу для случая единственного решения с последующим выбором наилуч- шего из них. Если какая-либо компонента решения системы (13)–(15) равна ∞ , тогда в соответствующих слагаемых формул (8), (11) и (12) следует за- менить )(∞jh и ( ) ∞ ∞jH на jMα 1 . Заметим, что для достижения максимальных значений КТИ ),...,( 1 NuK ττ и среднего удельного дохода ),...,( 1 NS ττ системы необходи- мо и достаточно оптимизировать величину наработки каждого элемента системы, чего нельзя утверждать относительно минимальных средних удельных затрат ),...,( 1 NC ττ . В дальнейшем предполагается исследование стратегий ТО систем с мо- нотонной структурой и учетом суммарной наработки на отказ каждого эле- мента. ЛИТЕРАТУРА 1. Cho D.I., Parlar M. A survey of maintence models for multi-unit systems // Eur.J. Oper.Res. — 1991. — 51. — P. 1–23. 2. Dekker R., Wildeman R.E. A review of multi-component maintence models with economic dependence // Math. Methods of Oper.Res. — 1997. — 45. — P. 411–435. 3. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и техническое обслуживание. Матема- тический подход. — М.: Радио и связь, 1988. — 392 с. 4. Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надежности сложных систем (теория и практика). — М.: Европейский центр по качеству, 2002. — 470 с. 5. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Процессы марковского восстановления в задачах надежности систем. — Киев: Наук. думка, 1982. — 236 с. 6. Полумарковские модели восстанавливаемых систем и систем массового обслу- живания / А.Н. Корлат, В.Н. Кузнецов, М.И.Новиков, А.Ф. Турбин. — Ки- шинев: Штиинца, 1991. — 209 с. 7. Шуренков В.М. Эргодические процессы Маркова. — М.: Наука, 1989. — 336 с. Поступила 14.06.2006
id	journaliasakpiua-article-127645
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Russian
last_indexed	2025-07-17T10:23:38Z
publishDate	2018
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/bd/a659518bb415c107a2b4d236dba6a3bd.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1276452018-04-11T11:11:15Z Optimal maintenance of renewed system with loaded reservation taking into account the operation time of each element Оптимальное техническое обслуживание восстанавливаемой системы с нагруженным резервированием и учетом наработки каждого элемента Оптимальне технічне обслуговування відновленої системи із навантаженим резервуванням з урахуванням напрацювання кожного елемента Peschanskii, O. I. A semi-markov model of maintenance of a parallel structure has been constructed taking into account the total prefailure operation time of each element. Stationary indeces of the system operation quality have been found. Optimal values of the operation time for the elements have been determined for preventive maintenance. Построена полумарковская модель технического обслуживания системы параллельной структуры с учетом суммарной наработки на отказ каждого элемента. Найдены стационарные показатели качества функционирования системы. Определены оптимальные величины наработок элементов для проведения предупредительного технического обслуживания. Побудовано напівмарківську модель технічного обслуговування паралельної структури з урахуванням сумарного напрацювання на відмову кожного елемента. Знайдено стаціонарні показники якості функціонування системи. Визначено оптимальні величини наробіток елементів для проведення попереджувального технічного обслуговування. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-04-02 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127645 System research and information technologies; No. 3 (2007); 100-110 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2007); 100-110 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2007); 100-110 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127645/122401 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Peschanskii, O. I. Оптимальне технічне обслуговування відновленої системи із навантаженим резервуванням з урахуванням напрацювання кожного елемента
title	Оптимальне технічне обслуговування відновленої системи із навантаженим резервуванням з урахуванням напрацювання кожного елемента
title_alt	Optimal maintenance of renewed system with loaded reservation taking into account the operation time of each element Оптимальное техническое обслуживание восстанавливаемой системы с нагруженным резервированием и учетом наработки каждого элемента
title_full	Оптимальне технічне обслуговування відновленої системи із навантаженим резервуванням з урахуванням напрацювання кожного елемента
title_fullStr	Оптимальне технічне обслуговування відновленої системи із навантаженим резервуванням з урахуванням напрацювання кожного елемента
title_full_unstemmed	Оптимальне технічне обслуговування відновленої системи із навантаженим резервуванням з урахуванням напрацювання кожного елемента
title_short	Оптимальне технічне обслуговування відновленої системи із навантаженим резервуванням з урахуванням напрацювання кожного елемента
title_sort	оптимальне технічне обслуговування відновленої системи із навантаженим резервуванням з урахуванням напрацювання кожного елемента
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127645
work_keys_str_mv	AT peschanskiioi optimalmaintenanceofrenewedsystemwithloadedreservationtakingintoaccounttheoperationtimeofeachelement AT peschanskiioi optimalʹnoetehničeskoeobsluživanievosstanavlivaemojsistemysnagružennymrezervirovaniemiučetomnarabotkikaždogoélementa AT peschanskiioi optimalʹnetehníčneobslugovuvannâvídnovlenoísistemiíznavantaženimrezervuvannâmzurahuvannâmnapracûvannâkožnogoelementa

Оптимальне технічне обслуговування відновленої системи із навантаженим резервуванням з урахуванням напрацювання кожного елемента

Репозитарії

Схожі ресурси