Математичні моделі оптимізації для обґрунтування та знаходження ваг об’єктів у методі парних порівнянь
The problem of determination of the weights of objects (alternatives, criteria) from the matrixes of pair comparisons used in the Analytic Hierarchy Process by T. Saaty is analyzed. Here are also proposed and substantiated the criteria of efficiency and appropriate constructive mathematical models o...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127651 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334335672090624 |
|---|---|
| author | Pavlov, A. A. Lishchuk, K. I. Kut, V. I. |
| author_facet | Pavlov, A. A. Lishchuk, K. I. Kut, V. I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "A. A. Pavlov",
"institution": null
},
{
"author": "K. I. Lishchuk",
"institution": null
},
{
"author": "V. I. Kut",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Pavlov, A. A. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-11T11:12:54Z |
| description | The problem of determination of the weights of objects (alternatives, criteria) from the matrixes of pair comparisons used in the Analytic Hierarchy Process by T. Saaty is analyzed. Here are also proposed and substantiated the criteria of efficiency and appropriate constructive mathematical models of finding weights for concordant and discordant matrixes of pair comparisons. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:23:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.А. Павлов, Е.И. Лищук, В.И.Кут, 2007
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 13
TIДC
АВТОМАТИЗОВАНІ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ
УДК 519.5:681:513
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ
ОБОСНОВАНИЯ И НАХОЖДЕНИЯ ВЕСОВ ОБЪЕКТОВ В
МЕТОДЕ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ
А.А. ПАВЛОВ, Е.И. ЛИЩУК, В.И. КУТ
Анализируется проблема нахождения весов объектов (альтернатив, критериев)
по матрицам парных сравнений, используемых в методе анализа иерархий
Саати. Предлагаются и обосновываются критерии эффективности и соответст-
вующие конструктивные математические модели оптимизации нахождения
весов для согласованных и несогласованных матриц парных сравнений.
ВВЕДЕНИЕ
Ключевой проблемой при решении задачи многокритериального выбора с
помощью метода анализа иерархий является нахождение весов nww ,...,1
объектов nAA ,...,1 (альтернатив, критериев) по отношению к некоторому
свойству, цели (критерию). Веса определяются по эмпирической матрице
парных сравнений n
ij 1)(γ , задаваемой экспертом (экспертами). Число ijγ за-
дается экспертом и показывает во сколько раз вес объекта iA больше веса
объекта jA по отношению к заданной цели (критерию). Эксперт задает
лишь
2
)1( −nn коэффициентов ijγ , так как
ji
ij γ
γ 1
= , а на главной диагонали
матрицы парных сравнений (МПС) стоят единицы.
В идеальном варианте
j
i
ij w
w
=γ , и тогда МПС является полностью сог-
ласованной.
Для этого случая Саати [1–3] показал, что в качестве весов jw nj ,1=
можно использовать компоненты собственного вектора МПС, соответст-
вующего максимальному характеристическому числу maxλ матрицы. К со-
жалению, реальные МПС в силу возможной противоречивости проявлений
свойств объектов nAA ,...,1 , а также влияния на эксперта разнообразных
психофизиологических факторов, обычно не являются полностью
согласованными.
А.А. Павлов, Е.И. Лищук, В.И.Кут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 14
Этот факт и порождает проблему нахождения весов niwi ,1, = по несо-
гласованной МПС. Известные подходы решения этой проблемы условно
можно разбить на следующие группы.
1. Введение порога согласованности МПС (обычно эмпирически). Ес-
ли этот порог не превышается, то предлагаются разнообразные методы на-
хождения весов [2–6], которые, в конечном счете, приводят к близким
результатам. Найденные веса не являются следствием решения оптимизаци-
онной задачи.
2. Улучшения согласованности МПС, основанные на получении уточ-
няющей информации от эксперта [4, 8].
3. Получение формально полностью согласованной матрицы парных
сравнений. Наиболее общие результаты в этом направлении получены
В.Д. Ногиным [7].
Известно [4], что по любой строке МПС можно построить полностью
согласованную матрицу (отличную от исходной). В.Д. Ногин [7] определил
все возможные минимальные наборы коэффициентов МПС, по которым
восстанавливаются полностью согласованные матрицы (в общем случае не
совпадающие с исходной). Таким образом, третья группа методов использу-
ет для нахождения весов не всю информацию, содержащуюся в эмпириче-
ской МПС.
Принятие решений методом анализа иерархий на основе эмпирических
МПС является классическим примером органичного объединения качест-
венных и количественных подходов для достижения количественного ре-
зультата. Методы такого рода, применяемые для решения конкретных прак-
тических задач, должны предлагать альтернативные формальные модели
для получения количественного результата в предположении, что одна из
них наиболее адекватно отображает суть решаемой конкретной практиче-
ской задачи. Таким образом, различные подходы к оценке весов объектов по
эмпирическим МПС должны не противоречить, а дополнять друг друга,
расширять область практического применения метода анализа иерархий на
основе МПС.
В данной статье авторы предлагают и обосновывают критерии и эф-
фективные модели оптимизации для нахождения весов объектов по эмпири-
ческим МПС, которые базируются на следующих посылках.
Все эмпирические коэффициенты )1(
ij
jiij γ
γγ = МПС с той или иной
степенью достоверности содержат информацию о весах niwi ,1, = объектов.
Следовательно, все коэффициенты МПС )1(
ij
jiij γ
γγ = должны использо-
ваться для нахождения весов niwi ,1, = объектов.
Примечание. Предполагается, что все возможные итерационные проце-
дуры уточнения мнения эксперта (экспертов) при заполнении МПС уже
проведены.
4. Не вызывает сомнений, что хорошо согласованные МПС соответст-
вуют случаю наиболее эффективного применения на практике метода ана-
Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 15
лиза иерархий. Тем не менее, реальные МПС часто являются плохо согласо-
ванными. Но и в этих случаях задача принятия решений должна быть реше-
на, а результат обоснован.
5. Для весов, полученных по плохо согласованной МПС, должны быть
введены меры их согласованности, минимизация которых позволит сформу-
лировать математические модели нахождения весов объектов по эмпириче-
ским МПС.
В качестве исходных данных для построения и обоснования критериев
и моделей оптимизации для нахождения весов niwi ,1, = используется
множество A коэффициентов njiij ,1,, =γ МПС, удовлетворяющих усло-
виям
1. Aniii ⊂= },1,{γ .
2. Aji ij ∈≠∀ γ , если Ajiij ∈≥ γγ ,1 .
Условие « A содержит 1≥ijγ » вводится для большей устойчивости ре-
шений моделей оптимизации, рассматриваемых ниже.
Если матрица парных сравнений является полностью согласованной, то
для
Aww
w
w
ijjijiij
j
i ∈∀== γγγ , .
Тогда в качестве меры согласованности
j
i
w
w и ijγ можно использовать
2)( jiji ww γ− либо jiji ww γ− , (1)
2
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− ij
j
i
ij w
w
γ
γ
либо ij
j
i
ij w
w
γ
γ
−
1 . (2)
Меры (2) являются более логичными. Однако их непосредственное ис-
пользование приводит к задачам нелинейного программирования, т.е. прак-
тически не эффективным математическим моделям. В некоторых из приве-
денных ниже моделей линейного программирования для нахождения весов
niwi ,1, = удалось использовать меру
ij
j
i
ij w
w
γ
γ
−
1 .
Модель 1.
∑∑
∈
−
)(
2
...
)(min
1 ij A
jijiww
ww
n
γ , (3)
nibwa i ,1 ,1 =≤≤≤ , (4)
где ba, — заданные числа; A — множество пар )(ij , каждая из которых
является индексом при всех Aij ∈γ .
А.А. Павлов, Е.И. Лищук, В.И.Кут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 16
Задача (3) , (4) — задача выпуклого квадратичного программирования.
По модели 1 весовые коэффициенты находятся вне зависимости от степени
согласованности матрицы парных сравнений. Интегральная мера согласо-
ванности найденного решения niwi ,1 ,* = равна
∑∑
∈
−
)(
2** )(
ij A
jiji ww γ .
Коэффициенты согласованности )( *
iwK весовых коэффициентов *
iw
имеют вид
∑
≠
=
−
n
ij
j
ij
j
i
ij w
w
1
*
*1 γ
γ
. (5)
Если для некоторого j 1<ijγ , то соответствующее слагаемое в (5) за-
меняется на ji
i
j
ji w
w
γ
γ
−*
*1 . Иными словами, коэффициент согласованности
)( *
iwK для *
iw определяется по 1≥ijγ .
Модель 2.
∑∑
∈
−
)(...1
min
ij A
jijiww
ww
n
γ , (6)
nibwa i ,1 ,1 =≤≤≤ , (7)
где ba, — заданные числа.
Модель (6) , (7) может быть сведена подстановкой
0 ,0 ,
),(
≥≥−=− −+−+
∈
ijijijij
Aji
jiji yyyyww γ
к следующей модели:
∑∑
∈
−+ +
)(
)(min
ij A
ijij yy , (8)
0 ,0 ,
),(
≥≥−=− −+−+
∈
ijijijij
Aji
jiji yyyyww γ , (9)
nibwa i ,1 ,1 =≤≤≤ ,
где ba, — заданные числа; −+
ijiji yyw , , — переменные задачи линейного
программирования — ЛП (8), (9).
На базисных решениях задачи ЛП (8), (9) либо 0 ,0 => −+
ijij yy , либо
0 ,0 >= −+
ijij yy , так как если ограничения этой задачи представить в виде
матрицы ограничений, то столбцы при +
ijy и −
ijy являются линейно зависи-
Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 17
мыми, т.е. в любое допустимое базисное решение входит только один из них
(либо +
ijy , либо −
ijy ).
Таким образом, ∑∑
∈
−+ +
)(
)(min
ij A
ijij yy соответствует минимуму функ-
ционала (6).
Для задачи ЛП (8), (9) интегральная мера согласованности найденного
решения niwi ,1 ,* = равна
∑∑
∈
−
)(
**
ij A
jiji ww γ ,
а мера согласованности весовых коэффициентов niwi ,1 , = определяется
выражением (5).
Меры согласованности моделей 1 и 2 однотипны. Выбор любой из них
определяется практической целесообразностью. У задачи (3), (4) n пере-
менных niwi ,1 , = , у задачи ЛП (8), (9) переменных nn −2 .
Модель 3.
ymin , (10)
ywwy jiji ≤−≤− γ ,
0 ,,1 ,1
)(
≥=≤≤≤
∈∀
ynibwa
Aij
i , (11)
где ba, — заданные числа; yww ji , , — переменные задачи ЛП (10), (11).
Решению задачи ЛП (10), (11) соответствуют также веса niwi ,1 ,* = ,
для которых
** max jiji
A
ww
ij
γ
γ
−
∈∀
достигает минимально возможного значения.
Модель 4.
Решается задача ЛП (10), (11). Оптимальное значение переменной y
обозначим 0y . После этого решается по выбору одна из двух задач:
1. ∑∑
∈
−
)(
2
...
)(min
1 ij A
jijiww
ww
n
γ , (12)
,0 ,,1 ,1
,),( ,00
≥=≤≤≤
∈∀≤−≤−
ynibwa
Ajiywwy
i
jiji γ
(13)
где ba, — заданные числа.
2. ∑∑
∈
−+ +
)(
)(min
ij A
ijij yy , (14)
0 ,0 ,
),(
≥≥−=− −+−+
∈
ijijijij
Aji
jiji yyyyww γ ,
А.А. Павлов, Е.И. Лищук, В.И.Кут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 18
Ajiywwy jiji ∈∀≤−≤− ),( ,00 γ , (15)
nibwa i ,1 ,1 =≤≤≤ ,
где ba, — заданные числа; Ajiyyw ijiji ∈−+ ),( , , , — переменные задачи
(14), (15).
Задачи (12), (13) либо (14), (15) позволяют находить веса niwi ,1 ,* = ,
оптимизирующие интегральную меру согласованности (12) либо (14), для
которых
** max jiji
A
ww
ij
γ
γ
−
∈∀
достигает минимально возможного значения.
Модель 5 (допустимо согласованное решение).
Как показывалось ранее, наиболее естественной мерой отношения
j
i
w
w
к ijγ является ij
j
i
ij w
w γ
γ
−
1
. Однако ее непосредственное использование
приводит к задаче невыпуклого программирования, т.е. не эффективного в
практической реализации. Тем не менее, эта мера может быть использована
для случая, когда ставится задача нахождения согласованного решения.
Будем считать, что решение niwi ,1 ,* = является допустимо согласо-
ванным, если выполняется условие
0 , доп
),(
доп ≥≤−
∈∀
tt
w
w
Aji
ijij
j
i γγ ,
где допt — заданное пороговое число.
Задание допt является обоснованным, ибо величина ij
j
i
w
w
γ− мало ин-
формативна без учета значения ijγ . Тогда нахождение допустимо согласо-
ванных весов niwi ,1 , = может быть получено в результате решения сле-
дующих задач:
∑∑
∈
−
)(
2
...
)(min
1 ij A
jijiww
ww
n
γ , (16)
nibwa i ,1 ,1 =≤≤≤ ,
Aji
jijjijijij wtwwwt
∈∀
≤−≤−
),(
допдоп γγγ , (17)
где ba, — заданные числа.
Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 19
Модель (16), (17) — задача квадратичного программирования.
Либо
∑∑
∈
−+ +
)(
)(min
ij A
ijij yy , (18)
nibwa i ,1 ,1 =≤≤≤ ,
Aji
jijjijijij wtwwwt
∈∀
≤−≤−
),(
допдоп γγγ ,
−+ −=− ijijjiji yyww γ , (19)
Ajiyy ijij ∈∀≥−+ ),( ,0 , ,
где ba, — заданные числа.
Модель (18), (19) является задачей линейного программирования.
Задачи (16), (17) либо (18), (19) могут не иметь решения, так как огра-
ничения могут быть не совместимы. В этом случае можно либо увеличить
допt , либо решить задачу (10), (11), а затем (12), (13) либо (14), (15). Число
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∈= Aji
w
yt
jij
),( ,max *
0
γ
(20)
может быть принятым как допустимый коэффициент согласованности ре-
шения niwi ,1 ,* = задачи (16), (17) либо (18), (19).
Модель 6.
Может возникнуть ситуация, когда априори ряд объектов klil ,1 , =
считается наиболее перспективным и накладывается требование нахожде-
ния их весов klw
li ,1 , = , удовлетворяющих условию допустимой согласо-
ванности. Такое решение может быть найдено из следующей задачи
линейного программирования:
ymin , (21)
,1 ,,1 ,,1 ,),(
допдоп
njklniAji
jjijijijji
l
lll
wtwwwt
===∈∀
≤−≤− γγγ . (22)
Если Ajil ∈)( , то соответствующее ограничение заменяется на
llllll ijiijijiji wtwwwt γγγ допдоп ≤−≤− , (23)
0 , ≥≤−≤− yywwy jiji γ , 1\ AAij ∈∀γ , ,1 ,1 nibwa i =≤≤≤ , (24)
где 1A — множество ijγ , определяющее все ограничения (22) с учетом (23);
ba, — заданные числа.
Решение задачи (22)–(24) гарантирует согласованность весов
liw ,
kl ,1= относительно всех объектов. Для остальных весов минимизируется
максимальная мера 1\ , AAww ijjiji ∈∀− γγ .
А.А. Павлов, Е.И. Лищук, В.И.Кут
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 2 20
ЗАВЕРШАЮЩИЙ ЭТАП
1. Найденные веса niwi ,1 ,* = по любой из предложенных моделей
(выбирается модель наиболее соответствующая рассматриваемой практиче-
ской задаче) используются в методе анализа иерархий.
Обоснование. Найденные веса *
iw наилучшим образом относительно
выбранной меры согласованности соответствуют априори не достоверным
коэффициентам ijγ эмпирической матрицы парных сравнений. При этом
учитывается, что сам метод анализа иерархий является органическим синте-
зом качественных и количественных подходов.
2. Находятся коэффициенты согласованности niwi ,1 ,* =
∑
≠
=
−
−
=
n
ji
j jij
jiji
i
w
ww
n
wK
1
*
**
*
1
1)(
γ
γ
.
Если Aij ∈γ , то соответствующее слагаемое заменяется на
*
**
iji
ijij
w
ww
γ
γ−
. Далее веса *
iw уменьшаются в зависимости от величины
)( *
iwK . Например, веса *
iw уменьшаются обратно пропорционально вели-
чине *
* )(
1:)( i
i
i w
wK
wK , после чего производится стандартная нормировка:
∑
=
∧
=
n
i i
i
i
i
i
wK
w
wK
w
w
1
*
*
*
*
*
)(
)(
. Либо (упрощенный вариант) веса остаются без изме-
нений, если )( *
iwK принадлежит заданному допустимому интервалу согла-
сованности, в противном случае весовые коэффициенты принимаются рав-
ными нулю, т.е. соответствующий весовой коэффициент *
iw считается
недостоверным.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основании посылки о том, что все эмпирические коэффициенты матрицы
парных сравнений (хорошо либо плохо согласованной) содержат информа-
цию о весовых коэффициентах объектов (альтернатив, критериев), вводятся
интегральные меры согласованности весовых коэффициентов niwi ,1 , = ,
минимизация которых позволяет сформулировать математические модели
линейного либо квадратичного программирования нахождения весовых ко-
эффициентов объектов (альтернатив, критериев). При этом реализуется воз-
можность (если она существует) получения весов niwi ,1 , = , удовлетво-
Математические модели оптимизации для обоснования и нахождения весов объектов …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 2 21
ряющих заданному ограничению на величину введенного и обоснованного
коэффициента их согласованности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Saaty T.L. Multycriteric Decision Making. The Analytic Hierarchy Process. — New
York: McGraw Hill International, 1980. — 300 р.
2. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем / Пер. с
англ. Р.Г. Вачнадзе. Под ред. И.А. Ушакова. — М.: Радио и связь, 1991. —
223 с.
3. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Tomas Saaty. The Ana-
lytic Hierarchy Process / Пер. с англ. Р.Г. Вачнадзе. — М.: Радио и связь,
1993. — 315 с.
4. Тоценко В.Г. Методы и системы поддержки принятия решений. Алгоритмиче-
ский аспект. — Киев: Наук. думка, 2002. — 381 с.
5. Ларичев О.И. Теория и методы принятие решений. — М.: Логос, 2000. — 200 с.
6. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в
экономике. — М: Финансы и статистика. — 2001. — 257 с.
7. Ногин В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелиней-
ной свертки критериев // Журн. вычислит. мат. и мат. физики. — 2004. —
44, № 7. — С. 1259–1268.
8. Основы системного анализа и проектирования АСУ: Учеб. пособие /
А.А. Павлов, С.Н. Гриша, В.Н. Томашевский и др. Под общ. ред.
А.А. Павлова. — Киев: Выща шк., 1991. — 367 с.
Поступила 27.12.2006
|
| id | journaliasakpiua-article-127651 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:23:41Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/b9/ba2d709e42deced1c3aecc4234fd49b9.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1276512018-04-11T11:12:54Z Mathematical models of optimization for substantiating and finding the weights of objects in method of pair comparisons Математические модели оптимизации для обоснования и находжения весов объектов в методе парных сравнений Математичні моделі оптимізації для обґрунтування та знаходження ваг об’єктів у методі парних порівнянь Pavlov, A. A. Lishchuk, K. I. Kut, V. I. The problem of determination of the weights of objects (alternatives, criteria) from the matrixes of pair comparisons used in the Analytic Hierarchy Process by T. Saaty is analyzed. Here are also proposed and substantiated the criteria of efficiency and appropriate constructive mathematical models of finding weights for concordant and discordant matrixes of pair comparisons. Анализируется проблема нахождения весов объектов (альтернатив, критериев) по матрицам парных сравнений, используемых в методе анализа иерархий Саати. Предлагаются и обосновываются критерии эффективности и соответствующие конструктивные математические модели оптимизации нахождения весов для согласованных и несогласованных матриц парных сравнений. Аналізується проблема знаходження ваг об’єктів (альтернатив, критеріїв) за матрицями парних порівнянь, які використовуються у методі аналізу ієрархій Сааті. Пропонуються та обґрунтовуються критерії ефективності та відповідні конструктивні математичні моделі знаходження ваг для узгоджених та неузгоджених матриць парних порівнянь. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-04-02 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127651 System research and information technologies; No. 2 (2007); 13-21 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2007); 13-21 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2007); 13-21 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127651/122417 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Pavlov, A. A. Lishchuk, K. I. Kut, V. I. Математичні моделі оптимізації для обґрунтування та знаходження ваг об’єктів у методі парних порівнянь |
| title | Математичні моделі оптимізації для обґрунтування та знаходження ваг об’єктів у методі парних порівнянь |
| title_alt | Mathematical models of optimization for substantiating and finding the weights of objects in method of pair comparisons Математические модели оптимизации для обоснования и находжения весов объектов в методе парных сравнений |
| title_full | Математичні моделі оптимізації для обґрунтування та знаходження ваг об’єктів у методі парних порівнянь |
| title_fullStr | Математичні моделі оптимізації для обґрунтування та знаходження ваг об’єктів у методі парних порівнянь |
| title_full_unstemmed | Математичні моделі оптимізації для обґрунтування та знаходження ваг об’єктів у методі парних порівнянь |
| title_short | Математичні моделі оптимізації для обґрунтування та знаходження ваг об’єктів у методі парних порівнянь |
| title_sort | математичні моделі оптимізації для обґрунтування та знаходження ваг об’єктів у методі парних порівнянь |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127651 |
| work_keys_str_mv | AT pavlovaa mathematicalmodelsofoptimizationforsubstantiatingandfindingtheweightsofobjectsinmethodofpaircomparisons AT lishchukki mathematicalmodelsofoptimizationforsubstantiatingandfindingtheweightsofobjectsinmethodofpaircomparisons AT kutvi mathematicalmodelsofoptimizationforsubstantiatingandfindingtheweightsofobjectsinmethodofpaircomparisons AT pavlovaa matematičeskiemodelioptimizaciidlâobosnovaniâinahodženiâvesovobʺektovvmetodeparnyhsravnenij AT lishchukki matematičeskiemodelioptimizaciidlâobosnovaniâinahodženiâvesovobʺektovvmetodeparnyhsravnenij AT kutvi matematičeskiemodelioptimizaciidlâobosnovaniâinahodženiâvesovobʺektovvmetodeparnyhsravnenij AT pavlovaa matematičnímodelíoptimízacíídlâobgruntuvannâtaznahodžennâvagobêktívumetodíparnihporívnânʹ AT lishchukki matematičnímodelíoptimízacíídlâobgruntuvannâtaznahodžennâvagobêktívumetodíparnihporívnânʹ AT kutvi matematičnímodelíoptimízacíídlâobgruntuvannâtaznahodžennâvagobêktívumetodíparnihporívnânʹ |