Оцінки розв’язку рівняння типу "реакція–дифузія"
Sub- and super-parabolic barrier functions are built using a superposition method for the semi-linear parabolic "reaction-diffusion" equation. As a result, solution support instartaneous compactification was established. The computing experiment has shown the high precision of the...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127966 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334339721691136 |
|---|---|
| author | Bondarenko, V. G. Selin, O. M. |
| author_facet | Bondarenko, V. G. Selin, O. M. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. G. Bondarenko",
"institution": null
},
{
"author": "O. M. Selin",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bondarenko, V. G. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-04-11T11:13:01Z |
| description | Sub- and super-parabolic barrier functions are built using a superposition method for the semi-linear parabolic "reaction-diffusion" equation. As a result, solution support instartaneous compactification was established. The computing experiment has shown the high precision of the solution approximation with barrier functions. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:23:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Г. Бондаренко, А. Н. Селин, 2007
124 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 1
УДК 517.956
ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА
«РЕАКЦИЯ–ДИФФУЗИЯ»
В.Г. БОНДАРЕНКО, А. Н. СЕЛИН
Построены методом суперпозиции барьерные функции (суб- и суперпараболи-
ческие) для полулинейного параболического уравнения типа «реакция–
диффузия». Как следствие, установлено свойство мгновенной компактифика-
ции носителя решения. Вычислительный эксперимент показал высокую точ-
ность аппроксимации решения барьерными функциями.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Линейное параболическое уравнение как математическая модель процесса
диффузии имеет недостатки. Так, решению ),( xtu задачи Коши
,),(),0(, nfuLu
t
u Rxxx ∈==
∂
∂
где эллиптический оператор
),()(tr)( 2
2
xx
xx
x tuAuaLu kj
jk ∇≡
∂∂
∂
= ,
соответствует бесконечная скорость распространения начальных возмуще-
ний. В последние десятилетия обострился интерес к квазилинейным парабо-
лическим уравнениям: после опубликования обзора [1] число работ на эту
тему значительно возросло. Одно из направлений — исследование свойств
решений полулинейных параболических уравнений
),,( uuLu
t
u
∇Φ+=
∂
∂ x .
Характерным примером является работа [2], посвященная исследова-
нию свойств решения задачи Коши для уравнения «реакция–диффузия»
0),(,10,)(),0(,sgn),( ≥<<=−∆=
∂
∂ xxxx tgpfuuutgu
t
u p ,
в которой приведены условия мгновенной компактификации носителя
(МКН) решения: при некоторых условиях на функции f и g ⊂),( supp xtu
];[ ba⊂ для любого 0>t .
Аналогичные результаты получены и для более общих квазилинейных
уравнений [3].
В настоящей работе для уравнения
nxfububLu
t
u Rxx ∈≥=>−=
∂
∂ ,0)(),0(,0, , (1)
Оценки решения уравнения типа «реакция–диффузия»
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 1 125
строятся барьерные функции — суперпараболическая ),( xtw и субпарабо-
лическая ),( xtv — и доказывается наличие в них МКН. Вычислительный
эксперимент для одномерного уравнения (1) позволяет сравнить решение
),( xtu задачи Коши с барьерными функциями. Матрица диффузии предпо-
лагается ограниченной и дифференцируемой.
КОНСТРУКЦИЯ БАРЬЕРНЫХ ФУНКЦИЙ
Введем обозначения:
),,( yxtp — фундаментальное решение уравнения
;Lu
t
u
=
∂
∂ (2)
),(0 xtu — решение задачи Коши для (2) с начальным условием
0)(),0(0 ≥= xx fu ; f — непрерывна, т. е. ∫=
n
dtpftu
R
yyxyx ),()(),(0 , .
Очевидно, что 0u u< .
Рассматривая (1) как возмущенное уравненние (2), определим две
функции:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
.случаепротивномв0
,
4
),(если,
2
),(),(
22
0
2
0
tbtubttutv xxx
∫ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
tD
dtpbtftw yyxyx ),,(
2
)(),( ,
где множество n
tD R⊂ определено соотношением
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ≥=
2
)(: tyfyDt .
Очевидно, что ).(),0(),0( xxx fwv ==
Идея построения таких функций — метод суперпозиции для пары урав-
нений
ub
dt
duLu
t
u
−==
∂
∂ , ,
рассмотренный ранее для линейных возмущений [4].
Теорема 1. Имеют место неравенства
),(),(),( xxx twtutv ≤≤ .
Доказательство основано на теореме сравнения для параболических
уравнений ([5], стр. 72–74). Покажем, что
В.Г. Бондаренко, А. Н. Селин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 1 126
wbLw
t
wvbLv
t
v
−>
∂
∂
−<
∂
∂ , .
Вычисляя производные, получаем
( ) =∇∇−=+−
∂
∂
0023
0
,)(
4
uuA
u
btvbLv
t
v x
( ) 0,)( 00
0
<∇∇−= uuA
u
bt x
в силу положительной определенности матрицы )(xA .
Далее,
−
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=
∂
∂
∫∫
tt DD
dt
t
pbtfdytpbtfb
t
w yyxyyxy ),,(
2
)(),,(
2
)(
2
,),,(
2
)(1lim
);(
2
0 ∫
+
↓
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
dtttD
dt
dtpbtyf
dt
yyx
где множество
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ +
<<=+
2
)()(
2
:);( dttbfbtdtttD yy .
Применение теоремы о среднем приводит последнее слагаемое к виду
);(,));(,,(
2
)(lim
2
0
dtttDz
dt
dtttDtPbtzf
dt
+∈
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
↓
x ,
где переходная вероятность
∫=
D
dtpDtP yyxx ),,(),,( .
В силу дифференцируемости переходной вероятности как меры предел
равен нулю, т. е.
∫∫ ∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=
∂
∂
tt DD
dt
t
pbtfdtpbtfb
t
w yyxyyyxy ),,(
2
)(),,(
2
)(
2
.
Вычисляя производные по пространственным переменным, приходим к
выражению
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=+−
∂
∂
∫
tD
dtpbtyfbwbLw
t
w yyx ),,(
2
)(
2
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −− ∫
tD
dtpbtf yyxy ),,(
2
)( ,
и последнее выражение неотрицательно в силу неравенства Коши–
Буняковского.
Оценки решения уравнения типа «реакция–диффузия»
Системні дослідження та інформаційні технології, 2007, № 1 127
Замечание. Если ∞→→ xx при0),(0 tu , то для функции ),( xtv
имеет место МКН. Достаточным условием для этого соотношения является
неравенство
( )
0,
1
)( >
+
≤ α
αx
x Cf , (3)
приведенное в работе [2].
Рассмотрим еще одну барьерную функцию
),(),(),( 0 xxx tutvth = ,
невязка которой
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+∇∇−=+−
∂
∂
=
2
,)(
2
),( 04
000
0
u
vubuuA
u
bthbLh
t
htH xx .
Введем дополнительное предположение на начальную функцию f
Cxf <∇ )( . (4)
Тогда для достаточно гладких коэффициентов )(xika норма векторного
поля ),(0 xtu∇ ограничена [6].
Теорема 2. Пусть выполнены условия (3) и (4). Тогда для задачи Коши
(1) имеет место МКН.
Доказательство. В силу ограниченности ),(0 xtu∇ знак невязки по-
ложителен для t δ< , т. е. в интервале (0; )δ
),(),( xx tuth ≥ .
В силу замечания функция ),( xtv обладает свойством МКН, откуда и
следует утверждение теоремы.
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
В качестве примера рассмотрена задача Коши
Rx
x
x ∈
+
=−=
∂
∂ ,
1
1),0(,
2
uubLu
t
u .
Для данного начального условия численно получены значения барьер-
ных функций ),( xtv и ),( xtw , а также решение этого уравнения ),( xtu ме-
тодом конечных разностей (см. рисунок).
Вследствие этого эффекта все три функции за конечное время оказы-
ваются тождественно равными нулю, причем тем быстрее, чем больше зна-
чение параметра b . При 2=b 0)0,( =tw для 1≥t ; 0)0,( =tu для 78,0≥t ,
0)0,( =tv для 73,0≥t . (На рисунке б видно наличие МКН.)
В.Г. Бондаренко, А. Н. Селин
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2007, № 1 128
ЛИТЕРАТУРА
1. Калашников А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных выро-
ждающихся параболических уравнений второго порядка // Успехи матема-
тических наук. — 1987. — 42, № 3. — С. 135–176.
2. Калашников А.С. Об условиях мгновенной компактификации носителей реше-
ний полулинейных параболических уравнений и систем // Математические
заметки. — 1990. — 47, вып. 1. — С. 74–80.
3. Galaktionov V.A., Shishkov A.E. Saint-Venant’s principle in blow-up for higher-
order quasi-linear parabolic equations // Proc. Royal Soc. Edinburgh. — 2003. —
133 A. — P. 1075–1119.
4. Bondarenko V. Construction of the fundamental solution of disturbed parabolic
equation // Bulletin des sciences mathematiques. — 2003. — 127, № 3. —
P. 191–206.
5. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. —
М.: Мир, 1968. — 427 с.
6. Бондаренко В.Г. Логарифмический градиент ядра теплопроводности на рима-
новом многообразии // Математические заметки. — 2003. — 74, № 3. —
С. 471–475.
Поступила 19.10.2006
Графики супер-, субпараболической функций, а также численного решения как
функций от x : а — 5,0=t ; б — 1=t (параметр b взят равным 1)
v(1,x)
w(1, x)
u(1, x)
x
u(0,5;x)
w(0,5; x)
v(0,5; x)
4–4 0
а б
x
|
| id | journaliasakpiua-article-127966 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:23:56Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/df/1b87119600b3ba1f1b59af8fc14a1edf.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1279662018-04-11T11:13:01Z Еstimations of "Reaction-diffusion" equation solution Оценки решения уравнения типа "реакция–диффузия" Оцінки розв’язку рівняння типу "реакція–дифузія" Bondarenko, V. G. Selin, O. M. Sub- and super-parabolic barrier functions are built using a superposition method for the semi-linear parabolic "reaction-diffusion" equation. As a result, solution support instartaneous compactification was established. The computing experiment has shown the high precision of the solution approximation with barrier functions. Построены методом суперпозиции барьерные функции (суб- и суперпараболические) для полулинейного параболического уравнения типа "реакция–диффузия". Как следствие, установлено свойство мгновенной компактификации носителя решения. Вычислительный эксперимент показал высокую точность аппроксимации решения барьерными функциями. Побудовано методом суперпозиції бар’єрні функції (суб- та суперпараболічні) для напівлінійного параболічного рівняння типу "реакція–дифузія". Як наслідок, встановлено властивість миттєвої компактифікації носія розв’язку. Обчислювальний експеримент показав високу точність апроксимації розв’язку бар’єрними функціями. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-04-04 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127966 System research and information technologies; No. 1 (2007); 124-128 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2007); 124-128 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2007); 124-128 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127966/122799 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Bondarenko, V. G. Selin, O. M. Оцінки розв’язку рівняння типу "реакція–дифузія" |
| title | Оцінки розв’язку рівняння типу "реакція–дифузія" |
| title_alt | Еstimations of "Reaction-diffusion" equation solution Оценки решения уравнения типа "реакция–диффузия" |
| title_full | Оцінки розв’язку рівняння типу "реакція–дифузія" |
| title_fullStr | Оцінки розв’язку рівняння типу "реакція–дифузія" |
| title_full_unstemmed | Оцінки розв’язку рівняння типу "реакція–дифузія" |
| title_short | Оцінки розв’язку рівняння типу "реакція–дифузія" |
| title_sort | оцінки розв’язку рівняння типу "реакція–дифузія" |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/127966 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovg estimationsofquotreactiondiffusionquotequationsolution AT selinom estimationsofquotreactiondiffusionquotequationsolution AT bondarenkovg ocenkirešeniâuravneniâtipaquotreakciâdiffuziâquot AT selinom ocenkirešeniâuravneniâtipaquotreakciâdiffuziâquot AT bondarenkovg ocínkirozvâzkurívnânnâtipuquotreakcíâdifuzíâquot AT selinom ocínkirozvâzkurívnânnâtipuquotreakcíâdifuzíâquot |