Про існування та стабілізацію сильного розв’язку автономних стохастичних диференціальних рівнянь Іто–Скорохода в частинних похідних з випадковими параметрами

This paper considers the asymptotic behavior of the strong solution of the linear partial stochastic differential Ito–Skorokhod equation in the corresponding space with random parameters. An existence of the strong solution is proved and sufficient conditions for the asymptotic stability and the mea...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2018
Main Authors:	Yasynskyy, Volodymyr K., Yurchenko, Igor V.
Format:	Article
Language:	English
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018
Subjects:	задача Коші стохастичне диференціальне рівняння в частинних похідних існування розв’язку випадкові збурення
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/138168
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1867334339963912192
author	Yasynskyy, Volodymyr K. Yurchenko, Igor V.
author_facet	Yasynskyy, Volodymyr K. Yurchenko, Igor V.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Volodymyr K. Yasynskyy", "institution": "Yurij Fedkovych Chernivtsi National University, Chernivtsi" }, { "author": "Igor V. Yurchenko", "institution": "Yurij Fedkovych Chernivtsi National University, Chernivtsi" } ]
author_sort	Yasynskyy, Volodymyr K.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-01-17T13:31:43Z
description	This paper considers the asymptotic behavior of the strong solution of the linear partial stochastic differential Ito–Skorokhod equation in the corresponding space with random parameters. An existence of the strong solution is proved and sufficient conditions for the asymptotic stability and the mean square instability of a strong solution of a similar equation are obtained. The stochastic model of complex systems, which is proposed in this paper, is an attempt to take into consideration the full extent of randomness in the studying of real processes, which are described by differential equations in partial derivatives, on the right side of which a diffuse perturbations of the Brownian process type and random perturbations of other types are taken into consideration.
doi_str_mv	10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.07
first_indexed	2025-07-17T10:24:00Z
format	Article
fulltext	 V.K. Yasynskyy, I.V. Yurchenko, 2018 80 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 УДК 519.21 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.07 ON EXISTENCE AND STABILIZATION OF THE STRONG SOLUTION OF THE AUTONOMOUS STOCHASTIC PARTIAL DIFFERENTIAL ITO-SKOROKHOD EQUATION WITH RANDOM PARAMETERS V.K. YASYNSKYY, I.V. YURCHENKO Abstract. This paper considers the asymptotic behavior of the strong solution of the linear partial stochastic differential Ito–Skorokhod equation in the corresponding space with random parameters. An existence of the strong solution is proved and sufficient conditions for the asymptotic stability and the mean square instability of a strong solution of a similar equation are obtained. The stochastic model of complex systems, which is proposed in this paper, is an attempt to take into consideration the full extent of randomness in the studying of real processes, which are described by differential equations in partial derivatives, on the right side of which a diffuse per- turbations of the Brownian process type and random perturbations of other types are taken into consideration. Keywords: stochastic partial differential equation, mean square stability, asymp- totic stability. INTRODUCTION Deterministic partial differential equations were considered by many authors, see, for example [1–3] and bibliography therein. Since the concepts of stochastic differential and integral and change of variables for a stochastic differential have been introduced and a strong solu- tion to a stochastic differential equation (SDE) has been defined in the well- known monographs [4–6] and then propagated to classes of stochastic func- tional differential equations [7–9] (see the extensive bibliography in these studies), it became possible to investigate an asymptotically strong solution for SPDE (see, for example [5, 10–12]). The further analysis of SPDE involves the construction of mathematical models of complicated real systems, which need random parameters to be considered in these equations [6, 7, 12, 13]. In the paper, we will analyze the asymptotic behavior of strong solution of LSPDISE taking into account random parameters in the right-hand side [10, 12]. PROBLEM STATEMENT Consider a stochastic experiment with the basic probability space [1, 4, 5, 7] ,),,,( PFF }0,{  ttFF is filtration, where function 1),,( Rxtu is given, which is measurable with probability one in t and x with respect to the On existence and stabization of the strong solution of the autonomous stochastic … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 81 minimum  -algebra )],,0[( 1RTB of Borel sets on the plane [13, 15] and for which    dxxtu }{E 2 ),,( (1) for all ],0[ Tt , }{E  is expectation [14], and ),0[ T . Denote by T` the space of function )},,({ xtu , which possesses the integrability property (1). Introduce the norms [6, 15]: ;),,(),,( 22 12 dxxtuxtu L     R (2) ;),,(),,( 0 22 2 dtxtuxtu T L T   (3) ,),,()( 2 12        R EE Lu xtut (4) where 12R L and TL2 are spaces of functions )},,({ xtu , which have the cor- responding norms (2)–(4). In space T` , it is necessary to introduce the norm            TT u dtdxxtudttxtu 0 2 2 0 2 ),,()(),,( EE . (5) Denote         n k m j jk kj pqapqAQ 1 1 )(,,)( , (6) where }{ kjaA  is a real mn matrix composed of elements 1Rkja . In space T` with (5), consider a subspace TT `` 1 , for whose ele- ments the inclusion Txtu xt AQ `          ),,(,, (7) takes place. On ),,( PF,F consider the Cauchy problem for the linear stochastic par- tial differential equation (LSPDISE)                                  ),,(,,)(),,(,,)( 21 xtu xt BQxtu xt AQ t                dt tdw xtu xt CQ ),( ),,(,,)(3              V ),(~),,(,,,)(4 dvdtxtuv xt DQ , (8) V.K. Yasynskyy, I.V. Yurchenko ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 82   0 0 1 ][),,(,,)( Quxtu xt AQ t             , (9) where Q is defined by (6), (7) matrices nk jiijbB , 1,2 ))}(({  , 1 2 ))(( Rijb ; nk jiijcC , 1,3 ))}(({  , 1 3 ))(( Rijc ,   )),((,)}),(({ 4 , 1,4 vdvdD ij nk jiij VR  1 , where ,4,3,2,1),(  ii are random value specified by the density ,4,3,2,1),(  ixp i (or by the distribution function xxF ii  )(:)( {P }R1 x , 4,3,2,1i [14]), ),( tw is a one-dimensional Wiener process [11], and )(i , 4,3,2,1i , does not depend on ),( tw .  ),(~ Adt dtAAdt )(),(  is the centered Poisson measure. By a strong solution of the Cauchy problem (8), (9) we will understand function ),,( xtu continuous in ],0[ Tt with probability one, consistent with filtration ]},0[,{ Ttt F , and such that with probability one for each pair ),( xt it satisfies the integral stochastic equation [1, 4, 11]:                         t dsxsu x BQQuxtu xt AQ 0 201 ),,(,)(][),,(,,)(               dssdwxsu xs CQ t ),(),,(,,)( 0 3               t dvdsxsuv xs DQ 0 4 ),(~),,(,,,)( V (10) with the nonrandom initial conditions (9). EXISTENCE OF THE SOLUTION OF THE CAUCHY PROBLEM FOR LSPDISE (8), (9) IN SPACE T1` To establish the existence of a strong solution (10) of the Cauchy problem for (8), (9), we will first prove an auxiliary result. Lemma 1. The Fourier transform in x [1] for function ),,( xtu :        dxxtuetv xi ),,( 2 1 ),,( (11) does not bring it out of the space T` for any finite 1RT . Proof. The existence of the Fourier transform follows from the fact that ),,( xtu lies in 12R L with probability one for an arbitrary ],0[ Tt and 0 )( ),,( 2             N t Ndxxtu uEP as N . According to the Plancherel theorem [16],         dxxtudtv 22 ),,( 2 1 ),,( , i.e.  12R L v On existence and stabization of the strong solution of the autonomous stochastic … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 83 122 1 R L u   ; therefore )( 2 1 )( tt uv EE   . Then according to (11) and the definition of a norm in space T` we get TT uv MM   2 1 , which proves Lemma 1. Theorem 1. Let the following conditions be satisfied for the Cauchy problem (8), (9): (i) the roots of polynomial ),),((),),(()),((  ixBQixAQixP for an arbitrary 1Rx and 0 satisfy the inequality 0)()(Re  x , 0)0(  ; (ii) ],0[ Tt and nkxC  0)( , nkxD  0)( the deterministic equation 0),(~,),(),(~,),(                             xtu xt xBQxtu xt xAQ t (12) has the solution ),(~ xtu of the Cauchy problem in 12R L with the initial con- ditions 0] ~[),(~,),( uQxtu xt xAQ           ; (13) (iii) random variable ,4,3,2,1),(  ii does not depend on ),( tw and ),(~ Adt . Then the stochastic Cauchy problem (8), (9) for nkxC  0)( has a solution in space T1` . Proof. Since the Fourier transform [1] preserves the norm in T1` by Lemma 1, it will suffice to prove the existence of a strong solution of the Cauchy problem of LSDISE for ),,( tv , given by formula (11), namely,                    ),,(,)),((),,(,)),(( 21 tvi dt d BQtvi dt d AQ dt d          dt tdw tvi dt d CQ ),( ),,(,)),(( 3         V ),(~),,(,,))),(( 4 dvdstvvi dt d DQ . (14) Note that for an arbitrary real matrix nk jiij xdxD , 1,)}({)(  and for an arbi- trary 1Rx we get the inclusion Ttvi dt d xDQ 1),,(,),( `       and solution ),,( tv of the LSDE (14) for each 0 exists and is unique up to stochastic equivalence [3, 5, 8]. LSDE (14) should be understood as an integral stochas- tic equation: V.K. Yasynskyy, I.V. Yurchenko ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 84         t svidsBQQvtvi dt d AQ 0 201 ),,(),)),(((][),,(,)),((       ),(),,(,, 0 3 sdwsvidsCQ t               t dvdsvv xs DQ 0 4 ),(~),(s,,,,)( V , for which the conditions are satisfied that guarantee the existence and uniqueness of a strong solution up to stochastic equivalence [7, Theorem 4.1]. Let  ,tH be a fundamental solution of the deterministic homogeneous unperturbed Cauchy problem (12), (13) for the LSPDISE (8), (9) for )(xC nk 0 , then the strong solution of LSDE (14) can be written as the integral equation [9, 19]        ),(),,(,,)(),(),,( 0 30 sdwtvidsCQstHtvtv t      t dvdsiDQsty 0 4 ),(~),()( V , (15) where ),(0 tv is the solution of the homogeneous unperturbed Cauchy problem     0),,(,,)(),,(,,)( 21                    tvi dt d BQtvi dt d AQ dt d . According to [1], the fundamental solution ),( tH has the form        )),((2 1 ),( ixP de tH t , (16) where  is the contour enveloping all the zeroes of the polynomial )),((  ixP . Applying random operator ),)),((( 3  idtCQ to both sides of (15) yields  ),(),)),(((),,(),)),((( 033 tvidtCQtvidtCQ   ),(),,(,)),((,),)),((( 0 33            sdwsvi s CQstHidtCQ t +           t dvdssvvis s DQ 0 4 ),(~),,(,,)),(( . (17) Considering the squared absolute value of the left- and right-hand sides of (17) and using the inequality )(3 2222 cbacba  yield    2 03 2 3 ,),)),(((3),,(),)),((( tvidtCQtvidtCQ On existence and stabization of the strong solution of the autonomous stochastic … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 85 2 0 33 ),(),,(,)),((),(),)),(((3            sdwsvi s CQstHidtCQ t + .),(~),,(,,)),((),(),,)),(((3 0 44 dvdssvvi s DQstHvidtDQ t             V (18) Let   }{E 2 31 ),,(),,)((),(  tvidtCQtz ;   }{E 2 42 ),,(),,,)((),,(  tvvidtDQtz , where }{E  denotes expectation [14]. Applying the operation }{E  to the left- and right-hand sides of inequality (18), considering the property of the Ito integral on the evaluation of }{E  of the squared Ito integral [7, p. 245–249] and taking into account condition (iii) of Theorem 1, we get the following ine- quality:  2 03 ),(),)),(((3),( tvidtCQtz E dsszstHi s CQ t ),(),(,)),((3 1 0 2 3           E +                            t dsszstHvi s DQ 0 2 2 4 ),,(),(,,),(3 V E . 19) Condition (i) of Theorem 1 makes it possible to obtain the inequality [1] ,),(),)),((( 2 3 LstHidtCQ E and condition (ii) defines the uniform boundedness 2 ),(),)),((( 2 03 K tvidtCQ E , 2 ),(),,)),((( 2 04 K tvvidtDQ E . The inequalities obtained above and (19) yield the estimate   T ii dsszL K tz 0 ),( 2 ),( , ,2,1i whence according to the Gronwall inequal- ity [1] we get the exponential estimate 2,1),,0[],0[),(  iTtKetz Lt i . (20) Thus, the inclusion TtvidtCQ ` ),,(),)),((( 3 , TtvvidtDQ ` ),,(),,)),((( 4 (21) V.K. Yasynskyy, I.V. Yurchenko ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 86 is guaranteed. Applying random operator ),)),(((  idtDQ to (16), similarly to the above reasoning, we can write the corresponding inequality for any real matrix nk jiij xdxD , 1,)}({)(  . Therefore, considering estimate (20) and condition (i), we obtain the statement of Theorem 1. ASYMPTOTIC MEAN SQUARE BEHAVIOR OF THE STRONG SOLUTION OF THE LSPDISE First, let us prove an auxiliary statement. Lemma 2. Let conditions of Theorem 1 be satisfied for the LSPDISE (8), (9). Then: (i) for an arbitrary matrix nkxC  0)( the inclusion holds   ,0,2 2 3 ),(),)),((( LtHidtCQE ; (22) (ii) for the corresponding norm of this space, the equality is true 2 3 2 ),(),)),(( TL tHidtQ E         )( ),( ),)),(( 2 1 2 2 3 Sd iiP iiQE ; (23) (iii) for an arbitrary matrix nkxD  0)( the inclusion holds ;)(),(),,)),((( ),0(,2 2 4  LdtHvidtDQ V E (24) (iv) for the corresponding norm of this space, the equality is true  V )(),(),,)),((( 4 dvtHvidtDQ }{E             12 2 4 ),( ),,)),((( 2 1 Sdvd iiP viiDQ V E . (25) Proof. Using condition (i) of Theorem 1 and formula (16), we can calculate ),( ),)),((( 2 1 ]),(),)),((([ 2 1 3 0 3         iiP iiCQ etHidtCQ ti ;         0 4 ]),(),,)),((([ 2 1 V dvetHvidtDQ ti        V dv iiP viiDQ ),( ),,)),((( 2 1 4 and multiplying the left- and right-hand sides of abovementioned equalities by }{E 2 we obtain s tatements (22), (24). To prove (23) and (25), let us apply the Plancherel theorem [1]:            d iiP iiCQ tHidtCQ L 2 2 32 3 ),( ),)),((( 2 1 ),(),)),((( ,02 ; On existence and stabization of the strong solution of the autonomous stochastic … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 87  V )(),(),,)),((( 4 dvtHvidtDQ )( ),( ),,)),((( 2 1 2 2 4 dvd iiP viiDQ         V . Multiplying the left- and right-hand sides of the resultant equality by }{E 2 , we get )(),( 1  SS in formula (23), (25). Theorem 2. Let the conditions of Theorem 1 be satisfied. Then: (i) if   1sup   S , then   0lim   tU t E , where     ),,(,,)(,,            xtu xt RQxtU for an arbitrary real matrix R ; (ii) if 1)( S on the set  of the positive Lebesgue measure, then   )(lim tU t E . Proof. Since the positive kernel tends to zero as t , from inequality (18) it follows that ),( tz tends to zero for 0,1)( S . If the inequality   1S , in (24) holds, then it can be easily seen that as t , the absolute value of the Fourier transform ),,( xtU tends to zero for an arbitrary real matrix 1)( RxxR [19], uniformly with respect to  if 1)(sup   S . It remains to pass to the limit under the sign of the Lebesgue inte- gral to prove the first part of Theorem 2. To prove the second part of Theorem 2, it will suffice to prove that     dtz t ),(lim , since (24) holds. Indeed, let 1)( S on the set  of the positive Lebesgue measure, then   ),(lim tz t , since 0),( tz . Theorem 2 is proved. PROBLEM OF THE LOSS OF STABILITY OF A ROD In [12], the behavior of a rod subject to “white noise” is analyzed. Let the mathematical model of this process be the following stochastic partial differen- tial equation with the derivative of the Wiener process that does not exist with probability one and in the generalized sense the one is a normal "white noise" (see [20]), namely: dt tdw x u t u c t u b x u a x u ),( ))(())(())(( 2 2 32 2 22 2 14 4                , (26) with the initial conditions ),(),0( 1 xfxu  )( ),0( 2 xf t xu    (27) V.K. Yasynskyy, I.V. Yurchenko ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 88 and boundary conditions .0 ),()0,(),()0,( ),()0,( 2 2 2 2              x ltu x tu x ltu x tu ltutu (28) Here 0))((,0))((,0))(( 321  cba with probability 1. Function ),,( xtu is random function, which has no gaps of the second type, i.e., is inte- grable in the sense of paragraph 1. Similarly to the discrete case [12], the statis- tical stability margin 2 aS with respect to the parameter 1)( R xxa , is deter- mined as the most admissible intensity of processes with mutually independent values for which the system is stable in l.i.m., i.e., the solution is stabilized to zero. As a result, we can calculate the statistical stability margin [17] 21kkS of sys- tem (26)–(28)       m k kk k kkkk xt xtu aS 0 212121 ),( )( (29) with respect to parameters  )(121 kka , 21 kkk  . If we denote       m k kk kk iaP 0 1 21 21 ))((,, , then the statistical sta- bility margin )( 21 xS kk of the system can be calculated by the formula   1 ,,2 1 sup)( 21 21                  d xiP xS kk kk . (30) Using the above statements ( 2 9 ) , (30), the statistical stability margin )(xS with respect to the parameters )(),(),( xcxbxa of system (26)–(28) is found:   )()(2 )()()(2 1 sup)( 1 222224 2 xcxa xcxbxa d xS                  , 1Rx . Thus, system (26)–(28) is stable in l.i.m., for which 12,)( R xxS . Let the right-hand side of Eq. (26) in system (26)–(28) be subject to ex- ternal random disturbances )( . This becomes possible if we place the system on a platform whose inching movement can be described by   2,1,)(  ii . Then (26) becomes t u c t u b x u a x u            2 2 2 2 4 4   dt tdw x u ),( )( 2 2 1     . (31) Using the definition of the statistical stability margin for system (31), (27), (28), we get         .2 2 1 sup 2 1 222224 2 2 ac cba d S iii }{E}{E                  On existence and stabization of the strong solution of the autonomous stochastic … Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 89 Applying the sufficient conditions of stability in l.i.m. from Theorem 2, we conclude that system (27), (28) is stable in l.i.m. if 12))}(({ 2 1  acE , (32) and is unstable in l.i.m. otherwise. Let 0))((2  , ))(())((1  ; )( have the distribution law 2 1 }1:{}:{  PP 1 and )())((  . Then 0}{E , 1}{D and condition coincides with (32). Let 0))((2  , ))(())((1  . If for the distribution law of )( we take the Poisson law   e k k k ! : }{P and    , тоді  DE . Therefore, the condition of stability in l.i.m. of system (31), (27), (28) be- comes 12 ac , and that of instability, respectively, 12 ac . CONCLUSIONS The stochastic model of complicated systems proposed in the paper is apparently the first attempt to take randomness into account to the fullest extent in the analy- sis of real processes described by partial differential equations whose right-hand sides consider not only diffusion disturbances such as Brownian process [5, 10, 18, 19] but random disturbances of other types as well. REFERENCES 1. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. — М.: Мир, 1967. — 548 с. 2. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных / С.Г. Михлин. — М.: Наука, 1997. — 495 с. 3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. — М.: Наука, 1978. — 521 с. 4. Гулинский А.В. Теория случайных процессов / А.В. Гулинский, А.Н. Ширяев. — М.: Физ матлит, 2005. — 408 с. 5. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения и их применение / И.И. Гихман, А.В. Скороход. — К.: Наук. думка, 1980. — 612 с. 6. Гихман И.И. Управляемые случайные процессы / И.И. Гихман, А.В. Скороход. — К.: Наук. думка, 1977. — 251 с. 7. Королюк В.С. Ймовірність, статистика та випадкові процеси. Теорія та комп’ютерна практика: в 3-х т. Т.3: Випад кові процеси. Теорія та комп’ютерна практика / В.С. Королюк, Є.Ф. Царков, В.К. Ясинський. — Чернівці: Вид-во “Золоті литаври”, 2009. — 798 c. 8. Царьков Е.Ф. Квазилинейные стохастические дифференциально- функциональные уравнения / Е.Ф. Царьков, В.К. Ясинский. — Рига: Ориентир, 1992. — 301 с. 9. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений при случайных возмущениях их параметров Е.Ф. Царьков. — Рига: Зинатне, 2989. — 421 с. V.K. Yasynskyy, I.V. Yurchenko ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 90 10. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения с частными производными: сб. науч. тр / И.И. Гихман, А.В. Скороход. — К.: Ин-т математики АН УССР. — 1981. — С. 25–59. 11. Дороговцев А.Я. поведение решений уравнения теплопроводности с белым шумом в правой части / А.Я. Дороговцев, С.Д. Ивасишен, А.Г. Кукуш // Укр. мат. журн. — 1985. — 37, №1. — С.13–20. 12. Перун Г.М. Исследование задачи Коши для стохастических уравнений в частных производных / Г.М. Перун, В.К. Ясинский // Укр. мат. журн. — 1993. — Т.45, № 9. — C.1773–1781. 13. Дынкин Е.Б. Марковские процессы / Е.Б. Дынкин. — М.: Физматгиз, 1969. — 859 с. 14. Королюк В.С. Ймовірність, статистика та випад ко ві процеси. Теорія та комп’ютерна практика: в 3 т. Т.1.: Ймовірність / В.С. Королюк, Є.Ф. Царков, В.К. Ясинський. — Теорія та комп’ютерна практика. — Чернівці: Золоті литаври, 2007. — 444 с. 15. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н.Колмогоров, С.В. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 541 с. 16. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р.З. Хасьминский. — М.: Наука, 1969. — 367 с. 17. Эйдельман С.Д. Параболические системы / С.Д. Эйдельман. — М.: Нау- ка,1964. — 445 с. 18. Donez N.P. Mean Square Behavior of the Strong Solution of a Linear non- Autonomous Stochastic Partial Differential Equation with Markov Parameters / N.P. Donez, I.V. Yurchenko, V.K. Yasynskyy // Cybernetics and System Analy- sis. — 2014. — Vol. 50, N 6. — P. 930–939. doi:10.1007/s10559-014-9683-8 19. Koroliuk V.S. Behavior of the Second Moment of the Solution to the Autonomous Stochastic Linear Partial Differential Equation with Random Parameters in the Right-Hand Side / V.S. Koroliuk, I.V. Yurchenko, V.K. Yasynskyy // Cybernet- ics and Systems Analysis. — 2015. — Vol. 51, N 1. — P. 56–63. doi:10.1007/s10559-015-9697-x 20. Булинский А.В. Теория случайных процессов / А.В. Булинский, А.Н. Ширяев. — Москва: Физматлит, 2005. — 402 с. Received 19.07.2018 From the Editorial Board: the article corresponds completely to submitted manuscript.
id	journaliasakpiua-article-138168
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	English
last_indexed	2025-07-17T10:24:00Z
publishDate	2018
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/38/ff53cca2155680373643d5ed2c38ba38.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1381682019-01-17T13:31:43Z On existence and stabilization of the strong solution of the autonomous stochastic partial differential Ito-Skorokhod equation with random parameters О существовании и стабилизации сильного решения автономных стохастических дифференциальных уравнений Ито–Скорохода в частных производных со случайными параметрами Про існування та стабілізацію сильного розв’язку автономних стохастичних диференціальних рівнянь Іто–Скорохода в частинних похідних з випадковими параметрами Yasynskyy, Volodymyr K. Yurchenko, Igor V. Cauchy problem stochastic partial differential equation existence of the solution random perturbations задача Коши стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных существование решения случайные возмущения задача Коші стохастичне диференціальне рівняння в частинних похідних існування розв’язку випадкові збурення This paper considers the asymptotic behavior of the strong solution of the linear partial stochastic differential Ito–Skorokhod equation in the corresponding space with random parameters. An existence of the strong solution is proved and sufficient conditions for the asymptotic stability and the mean square instability of a strong solution of a similar equation are obtained. The stochastic model of complex systems, which is proposed in this paper, is an attempt to take into consideration the full extent of randomness in the studying of real processes, which are described by differential equations in partial derivatives, on the right side of which a diffuse perturbations of the Brownian process type and random perturbations of other types are taken into consideration. Исследовано асимптотическое поведение сильного решения линейного стохастического дифференциального уравнения Ито–Скорохода в частных производных в соответствующем пространстве со случайными параметрами. Доказано существование и получены достаточные условия для асимптотической устойчивости и среднеквадратичной неустойчивости сильного решения подобного уравнения. Предложена стохастическая модель сложных систем, которая является попыткой учета в полном объеме случайностей при исследовании реальных процессов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, в правой части которых учитываются не только диффузные возмущения типа броуновского процесса, но и случайные возмущения других типов. Досліджено асимптотичну поведінку сильного розв’язку лінійного стохастичного диференціального рівняння Іто–Скорохода в частинних похідних у відповідному просторі з випадковими параметрами. Доведено існування та отримано достатні умови для асимптотичної стійкості й середньоквадратичної нестійкості сильного розв’язку такого рівняння. Запропоновано стохастичну модель складних систем, яка є спробою врахування в повному обсязі випадковостей у ході дослідження реальних процесів, що описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних, у правій частині яких ураховуються не лише дифузійні збурення типу броунівського процесу, але й випадкові збурення інших типів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-10-16 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/138168 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.07 System research and information technologies; No. 3 (2018); 80-90 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2018); 80-90 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2018); 80-90 2308-8893 1681-6048 en https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/138168/149288 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	задача Коші стохастичне диференціальне рівняння в частинних похідних існування розв’язку випадкові збурення Yasynskyy, Volodymyr K. Yurchenko, Igor V. Про існування та стабілізацію сильного розв’язку автономних стохастичних диференціальних рівнянь Іто–Скорохода в частинних похідних з випадковими параметрами
title	Про існування та стабілізацію сильного розв’язку автономних стохастичних диференціальних рівнянь Іто–Скорохода в частинних похідних з випадковими параметрами
title_alt	On existence and stabilization of the strong solution of the autonomous stochastic partial differential Ito-Skorokhod equation with random parameters О существовании и стабилизации сильного решения автономных стохастических дифференциальных уравнений Ито–Скорохода в частных производных со случайными параметрами
title_full	Про існування та стабілізацію сильного розв’язку автономних стохастичних диференціальних рівнянь Іто–Скорохода в частинних похідних з випадковими параметрами
title_fullStr	Про існування та стабілізацію сильного розв’язку автономних стохастичних диференціальних рівнянь Іто–Скорохода в частинних похідних з випадковими параметрами
title_full_unstemmed	Про існування та стабілізацію сильного розв’язку автономних стохастичних диференціальних рівнянь Іто–Скорохода в частинних похідних з випадковими параметрами
title_short	Про існування та стабілізацію сильного розв’язку автономних стохастичних диференціальних рівнянь Іто–Скорохода в частинних похідних з випадковими параметрами
title_sort	про існування та стабілізацію сильного розв’язку автономних стохастичних диференціальних рівнянь іто–скорохода в частинних похідних з випадковими параметрами
topic	задача Коші стохастичне диференціальне рівняння в частинних похідних існування розв’язку випадкові збурення
topic_facet	Cauchy problem stochastic partial differential equation existence of the solution random perturbations задача Коши стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных существование решения случайные возмущения задача Коші стохастичне диференціальне рівняння в частинних похідних існування розв’язку випадкові збурення
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/138168
work_keys_str_mv	AT yasynskyyvolodymyrk onexistenceandstabilizationofthestrongsolutionoftheautonomousstochasticpartialdifferentialitoskorokhodequationwithrandomparameters AT yurchenkoigorv onexistenceandstabilizationofthestrongsolutionoftheautonomousstochasticpartialdifferentialitoskorokhodequationwithrandomparameters AT yasynskyyvolodymyrk osuŝestvovaniiistabilizaciisilʹnogorešeniâavtonomnyhstohastičeskihdifferencialʹnyhuravnenijitoskorohodavčastnyhproizvodnyhsoslučajnymiparametrami AT yurchenkoigorv osuŝestvovaniiistabilizaciisilʹnogorešeniâavtonomnyhstohastičeskihdifferencialʹnyhuravnenijitoskorohodavčastnyhproizvodnyhsoslučajnymiparametrami AT yasynskyyvolodymyrk proísnuvannâtastabílízacíûsilʹnogorozvâzkuavtonomnihstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹítoskorohodavčastinnihpohídnihzvipadkovimiparametrami AT yurchenkoigorv proísnuvannâtastabílízacíûsilʹnogorozvâzkuavtonomnihstohastičnihdiferencíalʹnihrívnânʹítoskorohodavčastinnihpohídnihzvipadkovimiparametrami

Institution

Similar Items