Обчислення розмірності за Ляпуновим і застосування для прогнозування геомагнітних індексів
A method for computing the Lyapunov dimension from the realization of one variable of a dynamical system is proposed. The equality of the information dimension, the Lyapunov dimension, and capacity dimension is noted. The entropy of the distribution of the norms of the tangent vectors of a dynamical...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/139712 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334341895389184 |
|---|---|
| author | Ivanov, Serhii M. Yatsenko, Vitaliy O. |
| author_facet | Ivanov, Serhii M. Yatsenko, Vitaliy O. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Serhii M. Ivanov",
"institution": "Институт космических исследований НАН Украины и ГКА Украины, Киев"
},
{
"author": "Vitaliy O. Yatsenko",
"institution": "Институт космических исследований НАНУ-ГКАУ"
}
] |
| author_sort | Ivanov, Serhii M. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-01-17T13:31:43Z |
| description | A method for computing the Lyapunov dimension from the realization of one variable of a dynamical system is proposed. The equality of the information dimension, the Lyapunov dimension, and capacity dimension is noted. The entropy of the distribution of the norms of the tangent vectors of a dynamical system and the Lyapunov dimension are considered together. Theoretical calculations are accompanied by an example of a numerical calculation of the Lyapunov dimension and the mentioned entropy for time series of geomagnetic Kp, Dst, and AE indices. In the considered indices, the entropy is close to the maximum value, and this leads to the closeness of the Lyapunov dimension to the capacity. A variable structure of the Dst index is noted. Using the example of geomagnetic indices, it is confirmed that the Grassberger-Procaccia correlation dimension is smaller than the Lyapunov dimension. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.11 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
С.Н. Иванов, В.А. Яценко, 2018
122 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3
УДК 517.9
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.11
ВЫЧИСЛЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ
И ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
ГЕОМАГНИТНЫХ ИНДЕКСОВ
С.Н. ИВАНОВ, В.А. ЯЦЕНКО
Аннотация. Предложен способ численного расчета размерности по Ляпунову
по реализации одной переменной динамической системы. Отмечены равенство
информационной и по Ляпунову размерностей, а также случай равенства этих
размерностей ёмкости. Рассмотрены совместно энтропия распределения норм
касательных векторов динамической системы и размерность по Ляпунову.
Теоретические выкладки сопровождаются примером численного расчета раз-
мерности по Ляпунову и упомянутой энтропии для временных рядов геомаг-
нитных Кр, Dst и AE индексов. У рассматриваемых индексов энтропия близка
к максимальному значению, а это приводит к близости размерности по Ляпу-
нову к ёмкости. Обнаружена переменная структура Dst индекса. На примере
геомагнитных индексов подтверждается, что корреляционная размерность
Грасбергера–Прокаччи меньше размерности по Ляпунову.
Ключевые слова: динамическая система, размерность по Ляпунову, многооб-
разие, распределение, экспоненты Ляпунова, геомагнитные индексы.
ВВЕДЕНИЕ
Метрическая или фрактальная размерность по соответствующим определе-
ниям имеет два общих типа: размерности, зависящие от метрических
свойств, и размерности, которые зависят от частоты или вероятности посе-
щения траекторией динамической системы разных её областей [1–4]. При
этом основной проблемой остается выбор той размерности, которая доста-
точно эффективно отражает структуру исследуемой динамической системы
(заданной системой дифференциальных уравнений), например, на компакт-
ном гладком многообразии класса С , 2 . Компактность многообразия
гарантирует, что решения дифференциальных уравнений продолжаются не-
ограниченно [5].
Описанная проблема возникает в задачах реконструкции динамических
систем, при которой ее поведение соответствует реальным эксперименталь-
ным данным [6], а также в задачах прогнозирования временных рядов [7],
анализа реконструированной системы и распространении найденных
свойств на реальный процесс [5–7], оценивания размерности фазового про-
странства (количества экспонент Ляпунова) [8]. Понятие размерности необ-
ходимо для характеристики свойств динамической системы, которая пока-
зывает общую информацию, необходимую для указания позиции точки с
заданной точностью, например на аттракторе [3]. Оценкой нижней границы
количества переменных, определяющих динамику системы, является фрак-
тальная размерность [3]. В статье [9] отмечается, что основными числами,
Вычисление размерности по Ляпунову и применение для прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 123
характеризующими «хаотическое» поведение, являются положительные
экспоненты Ляпунова и наличие нецелочисленной метрической (фракталь-
ной) размерности. Это понятие получило развитие и для оптического её из-
мерения, используя аналоговые устройства [2], например, для некоторых
простых задач, таких как двумерное отображение Пуанкаре [2]. В работе [2]
описывается оптическая интерпретация корреляционного интеграла и пред-
лагается схема экспериментальной установки.
Вычисление размерности по Ляпунову и исследование взаимосвязей с
другими размерностями имеет важное прикладное применение для прогно-
зирования геомагнитных индексов, являющиеся неотъемлемой частью кос-
мической погоды [7].
Под метрической (фрактальной) размерностью обычно понимается
размерность Хаусдорфа–Безиковича [1], основанная на покрытии некоторо-
го исследуемого множества точек гиперкубами в фазовом пространстве,
причем подсчет этих гиперкубов требует очень больших вычислительных
затрат [1, 2]. Поэтому используют определения, упрощающие и допускаю-
щие численный расчет [1]. Оценкой сверху для хаусдорфовой размерности
считается предельная ёмкость [1–2], которая является чисто метрической. В
случае динамической системы, необходимо учитывать вероятностную меру,
т.е. такую частоту, с которой фазовая траектория посещает различные части
многообразия. Одной из таких оценок является информационная размер-
ность [1–3, 8]. Грасбергер и Прокаччи показали, что размерность, названная
корреляционной, учитывает совместную вероятность попадания пары точек
в каждый элемент разбиения и должна быть численно меньше информаци-
онной размерности [8]. Обобщенная размерность, описываемая энтропией
Реньи некоторого порядка, объединяет ёмкость, информационную и корре-
ляционную размерности [1–2, 8, 10]. Также выделяется хаусдорфова раз-
мерность ядра, ёмкость ядра [1–2] и др. Одной из наиболее часто исполь-
зуемых при численном моделировании является размерность по Ляпунову
[1, 3–4], предложенная Капланом и Йорки [3–4], которая устанавливает со-
отношение между фрактальной размерностью, информационной энтропией
и экспонентами Ляпунова [1, 3]. Авторы настоящей работы придерживаются
термина «экспоненты Ляпунова», чтобы отметить их значение среднего экс-
поненциального темпа дивергенции (конвергенции) соседних орбит в фазо-
вом пространстве. Каплан и Йорки использовали числа Ляпунова, от кото-
рых можно перейти к экспонентам Ляпунова. Для регулярных аттракторов
ляпуновская размерность совпадает с топологической размерностью Лебе-
га [1].
В работе [3] показано, что информационная и Ляпунова размерности
равны, причем возникает энтропия распределения вероятностей, количество
которых равно размерности фазового пространства или количеству экспо-
нент Ляпунова. С такими же свойствами энтропия рассматривалась в рабо-
тах [6, 11]. Однако вопрос об этой энтропии и о размерности Ляпунова тре-
бует дальнейшего рассмотрения.
Цель работы — рассмотреть размерность по Ляпунову и энтропию
распределения норм касательных векторов для динамических систем на
компактном гладком многообразии и представить способ численного их рас-
чета по дискретным временным рядам на примере геомагнитных индексов.
С.Н. Иванов, В.А. Яценко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 124
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть M — компактное гладкое многообразие класса С , 2 размерно-
сти фазового пространства d . Пусть имеется автономная динамическая сис-
тема обыкновенных дифференциальных уравнений, заданная векторным
полем f на многообразии M :
)(xfx , (1)
где dtdxx / , f и dxdf — определены и непрерывны на множестве
}),,[{ 0 Mxtt . Наложенные ограничения гарантируют существование и
единственность решения )(tx задачи Коши при любых начальных условиях.
Многообразие M локально гомеоморфно некоторой области евклидова
пространства d , 2d (размерность M принимается равной размерности
пространства, dM dim ), исходя из определения метрического пространства
[12]. Пусть f — нелинейная вектор-функция класса гладкости С , 2 .
Рассмотрим следующие траектории в d -мерном фазовом пространстве
системы (1), начав с двух соседних начальных условий 0x и 000
~ xxx ,
которые эволюционируют во времени по следующим векторам )(tx и
)()()(~ txtxtx . Тогда расстояние между ними с использованием евклидо-
вой нормы задается формулой 2/122
2
2
100 )...(),(),( dxxxtxxtxr .
Пусть система (1) имеет нулевое решение 0)( tx . Если f — вектор-
функция класса гладкости С , 2 , то уравнение (1) можно разложить в
ряд Маклорена в некоторой окрестности начала координат и записать в сле-
дующем виде:
)(
!
1
xVJxx , 2 , где
0
| xxdxdfJ — матрица
Якоби для f , а слагаемые )(xV описывают члены от второго и более вы-
сокого порядка малости, 2 . Эволюция касательного вектора в простран-
стве касательных на )(tx представляется линеаризацией уравнения (1):
),(),( 00 txJrtxr .
Кроме того, имеется d ортонормальных векторов ie на ),( 0 txr ,
di ,1 . То есть имеется d норм касательных векторов ),( 0 txr i , di ,1 [9],
которые будем обозначать как t
ir , di ,1 . Обозначим вероятностное рас-
пределение
i
iii
i txrtxrtxrp ),(),(),( 000 этой нормы ),( 0 txr i , di ,1 ,
для каждого времени t , которое обозначим как iр .
Определение 1. i
i
ip ppE ln , di ,1 [6], называется энтропией.
Вычисление размерности по Ляпунову и применение для прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 125
Определение 2. i
i
i
t
p ppE
lnlim , где
i
ii
ii
i
r
r
p
)exp(
)exp(
0
0
, di ,1 ,
называется средней энтропией.
Ставятся следующие задачи.
1. Описать соотношение размерности по Ляпунову и средней энтропии
распределения норм касательных векторов для линеаризованной части сис-
темы (1); рассмотреть предельность этой энтропии для случая постоянной,
переменной, а также структурно переменной матрицы Якоби.
2. Представить алгоритм приближенного оценивания экспонент Ляпу-
нова по временному ряду единственной переменной динамической системы.
3. На примере временных рядов геомагнитных Кр, Dst и AE индексов
оценить корреляционную размерность Грасбергера–Прокаччи, размерность
фазового пространства и энтропию pE и рассчитать размерность по Ляпу-
нову.
РАЗМЕРНОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ
В случае, когда система (1) — аттрактор, Каплан и Йорки предложили оце-
нивать фрактальную размерность с помощью чисел Ляпунова, от которых
можно перейти к экспонентам Ляпунова [2]. Представим упорядочение
спектра экспонент Ляпунова в порядке их убывания: d ...21 , тогда
ляпуновская размерность Каплана–Йорки приобретает следующий вид [1–2]:
11
1
i
iLD ,
где определяется из условий 0
1
i
i , 0
1
1
i
i .
Отметим, что — это количество первых неотрицательных экспонент
Ляпунова в спектре: если экспоненты Ляпунова все отрицательны, то 0
[1–2].
В работе [3] показано, что ляпуновская размерность равна информаци-
онной и определяется для двумерного случая следующим выражением:
)1ln()1ln(
)(
1
21
H
DD LI , 1 , 0 . Это равенство также
отмечается в работе [2], причем энтропия )(H такая, что количество веро-
ятностей в их распределении равно размерности фазового пространства или
количеству экспонент Ляпунова.
Если 21 , то 5.0 ,
)1ln()1ln(
)(
1
2211
pp
H
DD LI ;
LI DD CD
)/1ln(
2ln
1 . Таким образом, для данного случая имеется
С.Н. Иванов, В.А. Яценко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 126
равенство CLI DDD , где CD — ёмкость; ID — информационная раз-
мерность [2–3].
Исследования информационной и ляпуновской размерностей в рабо-
те [3] важны и особенно привлекают внимание их равенство и появление
энтропии распределения вероятностей со свойствами, описанными в рабо-
тах [6, 11]. По-видимому, энтропия )(H может быть представлена как
средняя энтропия распределения норм касательных векторов pE , поэтому
последняя представляет интерес для анализа, поскольку обладает экстре-
мальными свойствами [6, 11].
ОБ ЭНТРОПИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМ КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ
И ЕЕ ПРЕДЕЛЬНОСТИ
Лемма 1. Если J — ненулевая постоянная матрица Якоби и 2d , то t
ir ,
di ,1 , имеет распределение, максимизирующее функционал
i
t
iii
i
ip lppp
~
ln maxln 0
i
ii
i
i prp , (2)
где ,, — множители Эйлера–Лагранжа; t
il
~
— экспоненциальный темп
дивергенции (конвергенции) для каждого момента t (отметим, что экспо-
ненты Ляпунова i означают средний экспоненциальный темп диверген-
ции); начальные условия 0ln i
i
ip rpCon и условие нормирования веро-
ятностей ip ,
i
ip pNor .
Доказательство приводится в работе [6].
Распределение вероятностей, удовлетворяющее функционалу (2)
имеет вид
i
t
ii
t
ii
i
lr
lr
p
)
~
exp(
)
~
exp(
0
0
.
Теорема 1. Если экспоненциальный темп дивергенции (конвергенции)
равен tlR t
ip
~
в (2) и спектр экспонент Ляпунова упорядочивается в по-
рядке их убывания: d ...21 , то i
t
il
~
, а
i
iip ppE 0ln ,
11 p , 0ip , di ,2 , 2d .
Доказательство. Если tlR t
ip
~
, то из условия максимизации функ-
ционала (2) 0 dpd p и с применением условия нормирования
1
i
ip pNor , di ,1 , функция распределения примет вид:
Вычисление размерности по Ляпунову и применение для прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 127
i
t
ii
t
ii
i
tlr
tlr
tp
)
~
exp(
)
~
exp(
)(
0
0
. Выразим t
il
~
через другие переменные из этого
распределения: при 1 , )
~
exp(0 tlrr t
ii
t
i , тогда
0
ln
1
lim
~
i
t
i
t
t
i
r
r
t
l
. По-
этому t
il
~
имеет определение экспонент Ляпунова при tlR t
ip
~
, т.е.
i
t
il
~
, di ,1 .
Найдем предел 1
0...
)exp(:
)exp(
)exp(
lim
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
r
r
t
tr
tr
p
i
ii
t
.
Теперь очевидно, что 0ip , di ,2 , 2d , учитывая упорядочение
d ...21 . При таких значениях распределения 0pE .
Лемма 2. Если J — ненулевая постоянная матрица Якоби, то имеется
следующий предел средней энтропии i
i
i
t
p ppE
lnlim , di ,1 , где
i
ii
ii
i
r
r
p
)exp(
)exp(
0
0
;
0
ln
1
lim
i
t
i
t
i
r
r
t
, где i и ip — предельные величины.
Доказательство очевидно.
Вероятности iр , di ,1 неотрицательны, их сумма равна 1
i
iр . Для
каждого iр , di ,1 , имеется предел, поэтому существует предел
i
i
i
t
p ppE
lnlim , di ,1 .
В случае переменной матрицы Якоби )(tJ также существует предел
энтропии pE . При структурном изменении матрицы Якоби энтропия pE
может иметь локальные максимумы и минимумы, сигнализирующие об из-
менении структуры.
ОЦЕНИВАНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ ЯКОБИ ПО ВРЕМЕННОМУ
РЯДУ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКСПОНЕНТ ЛЯПУНОВА
Представляется метод оценивания локальной матрицы Якоби по временно-
му ряду одной переменной динамической системы, а также вычисляется
спектр экспонент Ляпунова.
В работе [9] приводится метод оценивания матрицы Якоби по времен-
ному ряду, где орбитальная точка фактически выбирается произвольно.
Предлагаем в качестве орбитальной точки находить близкую к равновесной
или часто встречающуюся.
С.Н. Иванов, В.А. Яценко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 128
Пусть ,Njy j 1},{ обозначает дискретный временной ряд в некоторый
численно измеренный интервал времени t , т.е. ))1(( 0 tjtyy j ,
,Nj 1 [9], для некоторой нелинейной динамической системы )(yFy ,
правая часть которой представляет собой нелинейные векор-функции.
Рассмотрим небольшой шар радиусом , центрированный от орби-
тальной точки jy [9], или часто встречающейся, а также найдем любое
множество точек nsy
sk ,1},{ , заключенных в этом шаре, т.е.
}|{}{ ξyyyydev jkjk
s
y ss
, (3)
где sdev — вектор разницы, определенной в (3), а jk yy
s
— евклидова
норма разницы. Поскольку орбитальная точка jy наиболее часто встре-
чающаяся, то это обеспечит наибольшее количество соседних точек, удов-
летворяющих условию (3). После эволюции временного интервала tm ,
орбитальная точка jy стремится к mjy , а вектор разницы отображается в
такой вектор:
}{}{ jkmjmk
s
z yy|yydev
ss
.
Если радиус — достаточно малый для векторов }{ s
ydev и }{ s
zdev , то
это дает хорошую аппроксимацию векторов касательных в пространстве
касательных [9], а эволюция }{ s
ydev к }{ s
zdev может быть представлена мат-
рицей jJac [9]:
i
zdev s
yjdevJac ,
где jJac — локальная матрица Якоби.
Используя алгоритм наименьшей квадратичной ошибки, как в работе
[9], можно получить:
2
1
1
minmin
n
s
s
yj
s
z
JacJac
devJacdev
n
SE
jj
.
Оценив матрицу Якоби, можно вычислить экспоненты Ляпунова:
n
j
j
ij
n
i eJac
n 1
ln
1
lim , di ,1 ,
где d — размерность фазового пространства; }{ j
ie — множество базисных
векторов пространства касательных jy . По теореме Такенса [13], предвари-
тельно определив размерность пространства вложений d (например, с по-
мощью алгоритма Грасбергера и Прокаччи [1]) и временную задержку dt
(например, используя автокорреляционную функцию), можно реконструи-
ровать по временному ряду одной переменной некоторой системы
в d -мерном фазовом пространстве: )])1((),...,([ di tdiτxixy .
Вычисление размерности по Ляпунову и применение для прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 129
ВЫЧИСЛЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ НА ПРИМЕРЕ
ГЕОМАГНИТНЫХ ИНДЕКСОВ
Рассмотрим пример, когда векторное поле системы неизвестно, а имеется
лишь временной ряд одной её переменной. Предлагается применить метод
вычисления экспонент Ляпунова по временному ряду, описанный выше, а
также рассчитать размерность Ляпунова и корреляционную по Грасбергеру
и Прокаччи [8]. Размерность фазового пространства оценивается с исполь-
зованием корреляционной размерности. В ближайшей точке насыщения
корреляционной размерности выбирается размерность фазового пространства.
Возьмем временные ряды Kp, Dst и AE индексов в базе данных OMNI2
[14] (за период 07.2008 – 05.2016). Предполагается, что шумовые эффекты
сведены к минимуму, поэтому шум пренебрегается. Результаты расчетов
приведены ниже, причем программная реализация выполнена в MatLab 2015.
Для данных временных рядов корреляционная размерность Kp, Dst и
AE индексов оценена в 6,01, 4,08 и 6,39 соответственно, а размерность фа-
зового пространства равна 8, 6 и 10 соответственно (рис. 1). Подтверждается
неравенство LGP DD (рис. 2), где GPD — корреляционная размерность
Грасбергера и Прокаччи.
Рис. 1. Корреляционная размерность для геомагнитных индексов: а — корреляци-
онные интегралы (Kp, Dst и AE индексов); б — оценивание размерности фазового
пространства Kp, Dst и AE индексов (см. также с. 130)
С.Н. Иванов, В.А. Яценко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 130
На рис. 2 отмечается энтропия Колмогорова ( K ) как сумма неотрица-
тельных показателей Ляпунова, оцененных по методу, описанному выше.
Оцененная энтропия pE близка к максимальному значению для всех
рассматриваемых индексов за период с июля 2008 по май 2016 г., т.е. для Кр
Рис. 2. Размерность по Ляпунову и энтропия pE для временных рядов геомагнит-
ных индексов (Kp, Dst и AE): а — Kp индекс; б — Dst индекс; в — AE индекс
а б
в
Рис. 1. Окончание
a б
Вычисление размерности по Ляпунову и применение для прогнозирования …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 131
индекса: 079,2)8ln(
max
pE , Dst индекса: 792,1)6ln(
max
pE , AE индек-
са: 303,2)10ln(
max
pE , поэтому рассчитанная размерность Ляпунова
должна быть близка к емкости.
ВЫВОДЫ
В работе обосновано совместное рассмотрение размерности по Ляпунову и
энтропии распределения норм касательных векторов. Доказывается пре-
дельность этой энтропии для конечномерных динамических систем с посто-
янной матрицей Якоби, а также условие равенства энтропии нулю. Приво-
дится пример численного расчета размерности по Ляпунову и упомянутой
энтропии для временных рядов геомагнитных Кр, Dst и AE индексов. Отме-
чается, что у рассматриваемых индексов энтропия pE близка к максималь-
ному значению, а это приводит к близости размерности Ляпунова к емкости.
Проведение вычисления размерности по Ляпунову и экспонент Ляпунова
необходимо для реконструкции локально топологически эквивалентных ди-
намических систем по временному ряду, а также исследования хаотической
динамики. У Dst индекса средняя энтропия не стремится к пределу, что сви-
детельствует о переменной структуре.
ЛИТЕРАТУРА
1. Анищенко В.С. Лекции по нелинейной динамике / В.С. Анищенко,
Т.Е. Вадивасова. — М.: Ин-т компьют. исследований, 2011. — 516 с.
2. Мун Ф. Хаотические колебания: Водный курс для научных работников и ин-
женеров / Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 312 с.
3. Farmer J.D. The dimension of chaotic attractors / J.D. Farmer, E. Ott, J.A. Yorke //
Physica 7D. — 1983. — P. 153–180.
4. Frederickson P. The Liapunov Dimension of Strange Attractors / P. Frederickson,
J.L. Kaplan, E.D. Yorke, J.A. Yorke // Journal of differential equations. — 49. —
1983. — P. 185–207.
5. Arnold V.I. Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations /
V.I. Arnold. — New York: Springer, 2011. — 351 p.
6. Іванов С.М. Виявлення екстремальних властивостей локально дифеоморфних
систем / С.М. Іванов // Вісн. Київ. ун-ту. Серія. Фізико- математичні науки.
— 2017. — №4. — С. 83–86.
7. Іванов С.М. Прогнозування геомагнітного Кр індексу за допомогою дискретної
білінійної моделі / С.М. Іванов, В.О. Яценко // Вісн. Київ. ун-ту. — Серія.
Фізико-математичні науки. — 2016. — №3. — С. 65–68.
8. Grassberger P. Characterization of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia //
Phys. Rev. Lett. — 1983. — 50. — P. 346–349.
9. Sano M. Measurement of Lyapunov spectrum from a chaotic time series / M. Sano,
Y. Sawada // Phys. Rev. Lett. — 1985. — N 55. — P. 1082–1085.
С.Н. Иванов, В.А. Яценко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 132
10. Renyi A. On measures of entropy and information / A. Renyi // In Proc. of the 4th
Berkeley Symp. on Math. Statistics and Prob. — Univ. of Calif. Press, 1961. —
Vol. 1. — P. 547–561.
11. Іванов С.М. Декомпозиція експонент Ляпунова хаотичних динамічних систем /
С.М. Іванов // Dynam. syst. model. and stab. investig.: inter. conf., 24–26 May
2017, Kyiv, Ukraine: abstracts. — Kyiv, 2017. — P. 87.
12. Андреев Г.Н. Тензорное исчисление: учеб. пособие / Г.И. Андреев. — М.:
МГИУ, 2008. — 184 с.
13. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence / F. Takens // Dynamical Sys-
tems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics. — 1981. — N 989. —
P. 366–381.
14. GSFC/SPDF OMNIWeb [Электронный ресурс]. — Available at: http:// omni-
web.gsfc.nasa.gov/
Поступила 30.07.2018
|
| id | journaliasakpiua-article-139712 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:02Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/86/bc08ea270f9611c39990398b85b5e786.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1397122019-01-17T13:31:43Z Computing Lyapunov dimension and applying it for geomagnetic indices prediction Вычисление размерности по Ляпунову и применение для прогнозирования геомагнитных индексов Обчислення розмірності за Ляпуновим і застосування для прогнозування геомагнітних індексів Ivanov, Serhii M. Yatsenko, Vitaliy O. dynamical system Lyapunov dimension manifold distribution Lyapunov exponents geomagnetic indices динамическая система размерность по Ляпунову многообразие распределение экспоненты Ляпунова геомагнитные индексы динамічна система розмірність за Ляпуновим многовид розподіл експоненти Ляпунова геомагнітні індекси A method for computing the Lyapunov dimension from the realization of one variable of a dynamical system is proposed. The equality of the information dimension, the Lyapunov dimension, and capacity dimension is noted. The entropy of the distribution of the norms of the tangent vectors of a dynamical system and the Lyapunov dimension are considered together. Theoretical calculations are accompanied by an example of a numerical calculation of the Lyapunov dimension and the mentioned entropy for time series of geomagnetic Kp, Dst, and AE indices. In the considered indices, the entropy is close to the maximum value, and this leads to the closeness of the Lyapunov dimension to the capacity. A variable structure of the Dst index is noted. Using the example of geomagnetic indices, it is confirmed that the Grassberger-Procaccia correlation dimension is smaller than the Lyapunov dimension. Предложен способ численного расчета размерности по Ляпунову по реализации одной переменной динамической системы. Отмечены равенство информационной и по Ляпунову размерностей, а также случай равенства этих размерностей ёмкости. Рассмотрены совместно энтропия распределения норм касательных векторов динамической системы и размерность по Ляпунову. Теоретические выкладки сопровождаются примером численного расчета размерности по Ляпунову и упомянутой энтропии для временных рядов геомагнитных Кр, Dst и AE индексов. У рассматриваемых индексов энтропия близка к максимальному значению, а это приводит к близости размерности по Ляпунову к ёмкости. Обнаружена переменная структура Dst индекса. На примере геомагнитных индексов подтверждается, что корреляционная размерность Грасбергера–Прокаччи меньше размерности по Ляпунову. Запропоновано спосіб числового розрахунку розмірності за Ляпуновим за реалізацією однієї змінної динамічної системи. Відзначено рівність інформаційної та за Ляпуновим розмірностей, а також випадок рівності цих розмірностей ємності. Розглянуто спільно ентропію розподілу норм дотичних векторів динамічної системи і розмірність за Ляпуновим. Теоретичні викладки супроводжуються прикладом числового розрахунку розмірності за Ляпуновим і згаданої ентропії для часових рядів геомагнітних Кр, Dst і AE індексів. У розглянутих індексах ентропія близька до максимального значення, а це призводить до близькості розмірності за Ляпуновим до ємності. Відзначено змінну структури Dst індексу. На прикладі геомагнітних індексів підтверджено, що кореляційна розмірність Грасбергера–Прокаччі менша за розмірність за Ляпуновим. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-10-16 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/139712 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.11 System research and information technologies; No. 3 (2018); 122-132 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2018); 122-132 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2018); 122-132 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/139712/149360 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | динамічна система розмірність за Ляпуновим многовид розподіл експоненти Ляпунова геомагнітні індекси Ivanov, Serhii M. Yatsenko, Vitaliy O. Обчислення розмірності за Ляпуновим і застосування для прогнозування геомагнітних індексів |
| title | Обчислення розмірності за Ляпуновим і застосування для прогнозування геомагнітних індексів |
| title_alt | Computing Lyapunov dimension and applying it for geomagnetic indices prediction Вычисление размерности по Ляпунову и применение для прогнозирования геомагнитных индексов |
| title_full | Обчислення розмірності за Ляпуновим і застосування для прогнозування геомагнітних індексів |
| title_fullStr | Обчислення розмірності за Ляпуновим і застосування для прогнозування геомагнітних індексів |
| title_full_unstemmed | Обчислення розмірності за Ляпуновим і застосування для прогнозування геомагнітних індексів |
| title_short | Обчислення розмірності за Ляпуновим і застосування для прогнозування геомагнітних індексів |
| title_sort | обчислення розмірності за ляпуновим і застосування для прогнозування геомагнітних індексів |
| topic | динамічна система розмірність за Ляпуновим многовид розподіл експоненти Ляпунова геомагнітні індекси |
| topic_facet | dynamical system Lyapunov dimension manifold distribution Lyapunov exponents geomagnetic indices динамическая система размерность по Ляпунову многообразие распределение экспоненты Ляпунова геомагнитные индексы динамічна система розмірність за Ляпуновим многовид розподіл експоненти Ляпунова геомагнітні індекси |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/139712 |
| work_keys_str_mv | AT ivanovserhiim computinglyapunovdimensionandapplyingitforgeomagneticindicesprediction AT yatsenkovitaliyo computinglyapunovdimensionandapplyingitforgeomagneticindicesprediction AT ivanovserhiim vyčislenierazmernostipolâpunovuiprimeneniedlâprognozirovaniâgeomagnitnyhindeksov AT yatsenkovitaliyo vyčislenierazmernostipolâpunovuiprimeneniedlâprognozirovaniâgeomagnitnyhindeksov AT ivanovserhiim občislennârozmírnostízalâpunovimízastosuvannâdlâprognozuvannâgeomagnítnihíndeksív AT yatsenkovitaliyo občislennârozmírnostízalâpunovimízastosuvannâdlâprognozuvannâgeomagnítnihíndeksív |