Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між ними
A mathematical model is developed for analyzing the contact interaction of two electroelastic transversely isotropic half-spaces under compression in the presence of a rigid disc-like inclusion of a constant thickness between them. The model is based on a consideration of the coupled system of elect...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/139926 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334341945720832 |
|---|---|
| author | Kirilyuk, V. S. Levchuk, Olga I. Gavrilenko, Оlena V. |
| author_facet | Kirilyuk, V. S. Levchuk, Olga I. Gavrilenko, Оlena V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. S. Kirilyuk",
"institution": "Відділ механіки стохастично-неоднорідних середовищ Інституту механіки імені С.П. Тимошенка НАН України, Київ"
},
{
"author": "Olga I. Levchuk",
"institution": "Відділ механіки стохастично-неоднорідних середовищ Інституту механіки імені С.П.Тимошенка НАН України, Київ"
},
{
"author": "Оlena V. Gavrilenko",
"institution": "Кафедра автоматизованих систем обробки інформації та управління факультету інформатики та обчислювальної техніки Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
}
] |
| author_sort | Kirilyuk, V. S. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-01-17T13:29:35Z |
| description | A mathematical model is developed for analyzing the contact interaction of two electroelastic transversely isotropic half-spaces under compression in the presence of a rigid disc-like inclusion of a constant thickness between them. The model is based on a consideration of the coupled system of electroelasticity equations for each of the piezoelectric half-spaces. The analytical solution of the problem is obtained by means of a general representation of solutions of the equations of electroelasticity on the basis of harmonic functions, reducing the problem to the consideration of the integral equation and the expansion of the unknown function with respect to a small parameter. As a particular case, the contact parameters for the two elastic transversely-isotropic half-spaces follow from the expressions obtained (if there is an inclusion between them). Numerical studies have been carried out, the influence of the connectedness of force and electric fields on the parameters of the contact interaction was studied. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.2.09 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко, 2018
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 89
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 539.3
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.2.09
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ КОНТАКТНОЇ
ВЗАЄМОДІЇ ДВОХ ЕЛЕКТРОПРУЖНИХ ПІВПРОСТОРІВ
ПІД ЧАС СТИСКАННЯ ЗА НАЯВНОСТІ ЖОРСТКОГО
ДИСКОПОДІБНОГО ВКЛЮЧЕННЯ МІЖ НИМИ
В.С. КИРИЛЮК, О.І.ЛЕВЧУК, О.В. ГАВРИЛЕНКО
Анотація. Розвинено математичну модель для аналізу контактної взаємодії
двох електропружних трансверсально-ізотропних півпросторів під час стис-
кання за наявності жорсткого дископодібного включення сталої товщини між
ними. Модель базується на використанні зв’язаної системи рівнянь електро-
пружності для кожного з п’єзоелектричних півпросторів. Аналітичний
розв’язок задачі отримано за допомогою загального подання розв’язків рівнянь
електропружності на основі гармонічних функцій, зведення задачі до розгляду
інтегрального рівняння і розкладу шуканої функції за малим параметром. Як
окремий випадок з отриманих виразів випливають параметри контакту для
двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів (за наявності включен-
ня між ними). Проведено числові дослідження, вивчено вплив зв’язаності си-
лових і електричних полів на параметри контактної взаємодії.
Ключові слова: математичне моделювання, зв’язана система рівнянь елект-
ропружності, п`єзоелектричний півпростір, жорстке дископодібне включення,
параметри контактної взаємодії.
ВСТУП
У різних галузях промисловості п’єзоелектричні матеріали широко застосо-
вуються для створення різних датчиків, перетворювачів енергії та елементів
вимірювальних приладів, що, у свою чергу, потребує детального вивчення
та аналізу розподілу силових і електричних полів у електропружних тілах
поблизу концентраторів напружень, а також під час їх контактної взаємодії.
У той же час розв’язання просторових задач електропружності є над-
то складною математичною проблемою, оскільки базова система рівнянь
для знаходження напруженого і електричного станів є зв’язаною системою
диференціальних рівнянь у частинних похідних [1–5, 10, 12, 16]. Натепер
найбільш повно досліджено двовимірні задачі електропружності (з ураху-
ванням зв’язаності силових та електричних полів) [6, 8, 9, 14, 17]. Для випадку
трансверсально-ізотропних властивостей електропружного матеріалу у пра-
цях [12, 15] запропоновано підходи до побудови загальних розв’язків системи
зв’язаних рівнянь електроупружності за допомогою гармонічних функцій.
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 90
Контактна взаємодія для двох пружних ізотропних півпросторів під час
стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між тілами
вивчалась у працях [7, 11, 13]. Але моделювання контактної взаємодії для
двох електропружних тіл (за наявності між ними включення) є проблемою
значно складнішою, оскільки необхідно розв’язувати систему зв’язаних рів-
нянь електропружності, у яку входять по десять незалежних сталих
для кожного п’єзоелектричного матеріалу півпростору, у той час, як пружні
властивості ізотропного матеріалу залежать тільки від двох пружних сталих,
а система рівнянь пружності містить лише три рівняння і має значно прос-
тішу структуру від системи рівнянь електропружності.
У цій роботі на основі математичного моделювання, яке враховує
зв’язаність силових і електричних полів у п’єзоелектричному матеріалі, ви-
вчено контактну взаємодію двох п’єзоелектричних півпросторів під час
стискання за наявності між ними жорсткого дископодібного включення ста-
лої товщини. У постановці задачі припускається, що поверхня поділу двох
електропружних тіл розташована у площині ізотропії кожного п’єзоелектричного
матеріалу і вважається, що під час контактної взаємодії відбувається глад-
кий (без тертя) контакт. За допомогою подання розв’язку рівнянь електро-
пружності через гармонічні функції, зведення задачі до інтегрального рів-
няння та розкладу шуканої функції за малим параметром отримано
аналітичний розв’язок задачі, знайдено параметри контактної взаємодії пів-
просторів (за наявності дископодібного включення між ними). Зі знайдених
виразів випливають параметри контактної взаємодії двох пружних трансве-
рсально-ізотропних півпросторів за наявності включення, а також параметри
контакту двох пружних ізотропних півпросторів [7].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянути математичну модель, за допомогою якої вивчити контактну вза-
ємодію двох різних за властивостями електропружних трансверсально-
ізотропних півпросторів під час стискання, між якими розташоване жорстке
дископодібне включення сталої товщини (рис. 1).
p p
z
1
2
p p
0 x
b a (b–a)
Рис. 1. Контактна взаємодія двох електропружних півпросторів за наявності
жорсткого дископодібного включеннями між ними
Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 91
Припускаємо, що площина 0z (рис. 1), яка обмежує два півпростори,
є площиною ізотропії кожного з електропружних трансверсально-
ізотропних матеріалів, тобто вісь z0 — вісь симетрії кожного
з п’єзоелектричних матеріалів. Вважаємо, що поверхні півпросторів є нееле-
ктродованими (не містять електродного покриття) і в площині контактної
взаємодії 0z виконуються умови гладкого (без тертя) контакту. При цьо-
му розміри ділянки розшарування двох електропружних півпросто-
рів (рис. 1) є невідомими і визначаються під час розв’язання задачі контакт-
ної взаємодії. Параметри контактної взаємодії п’єзоелектричних тіл
залежать від значення стискальних зусиль p , електропружних властивос-
тей двох п’єзоелектричних матеріалів (усього двадцять незалежних вели-
чин) і двох геометричних параметрів жорсткого включення (його радіуса і
товщини).
Електропружний стан у кожному з п’єзоелекричних півпросторів пода-
мо суперпозицією основного (пов’язаного зі стискальними навантаженнями)
та збуреного станів. Для знаходження збуреного стану в кожному з електро-
пружних півпросторів у площині 0z отримуємо такі умови:
arruz 0,)0,( 1
)1( ;
braprzz ,)0,()1( ;
rrr rzrz 0,0)0,()0,( )2()1( ; (1)
arruz 0,)0,( 2
)2( ;
braprzz ,)0,()2( ;
rbrr zzzz ),0,()0,( )2()1( ; (2)
rbruru zz ),0,()0,( )2()1( ; (3)
rrDrD zz 0,0)0,()0,( )2()1( ; (4)
21 ,
де індекси «1» і «2» відповідають першому і другому п’єзоелектричному
півпростору; p — величина стискальних зусиль; і a — товщина і радіус
дископодібного включення; значення ab відповідає розміру зони розша-
рування між півпросторами, що викликане наявністю включення. Із наведе-
них граничних умов у площині поділу умови (1) відповідають умо-
вам відсутності дотичних напружень на всій поверхні поділу, умови (2),
(3) — умовам ідеального механічного контакту поза зоною розшарування
матеріалу, вирази (4) — умовам відсутності електродного покриття
на поверхнях півпросторів. Для того щоб дослідити задачу на основі вико-
ристовуваної математичної моделі, необхідно знайти розв’язки рів-
нянь електропружності в кожному з п’єзоелектричних півпросторів, що за-
довольняють наведені вище граничні умови на поверхні поділу
електропружних матеріалів. Суперпозиція основного і збуреного станів
приводить до виконання умови вільної від навантажень (силових та
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 92
електричних) поверхні зони розшарування, а саме: )0,()0,( )1()0( rr zzzz
0 pp і 0)0,()0,( )1()0( rDrD zz , якщо bra . Цілком аналогічні
вирази отримуємо і для другого півпростору. Для завершення побудови ма-
тематичної моделі наведемо рівняння статики для електропружних транс-
версально-ізотропних тіл, що враховують зв’язаність силових і електричних
полів у п’єзоелектричному матеріалі.
ОСНОВНІ РІВНЯННЯ І СПІВВІДНОШЕННЯ
Статичні рівняння електропружності для п’єзоелектричного тіла щодо ком-
понентів вектора переміщень і електричного потенціалу можна подати у ви-
гляді [12]
xzz
EE
xyy
EE
zzx
E
yyx
EE
xxx
E uccuccucuccuc ,4413,1211,44,1211,11 )()(
2
1
)(
2
1
0)( ,1531 xzee ;
yzz
EE
xyx
EE
zzy
E
xxy
EE
yyy
E uccuccucuccuc ,4413,1211,44,1211,11 )()(
2
1
)(
2
1
0)( ,1531 yzee ;
zzz
E
yyzxxz
E
yzyxzx
EE ucuucuucc ,33,,44,,4413 )())((
.0)( ,33,,15 zzyyxx ee
)())(( ,,15,,1513 yyzxxzyzyxzx uueuuee
0)( ,33,,11,33 zz
S
yyxx
S
zzzue (5)
У рівняннях (5) використано такі позначення: EEEEE ccccc 4433131211 ,,,, —
незалежні модулі пружності; 331531 ,, eee — п’єзомодулі; SS
3311, — діелект-
ричні проникності. Отже, електропружні властивості п’єзоелектричного
трансверсально-ізотропного матеріалу характеризуються десятьма незалеж-
ними сталими.
Розв’язок системи рівнянь (5) відповідно до праці [12] можна подати
чотирма потенціальними функціями j ( 4,1j ):
y
j
xjxu ,4
3
1
,
; x
j
yjyu ,4
3
1
,
;
3
1
,
j
zjjz ku ;
3
1
,
j
zjjl , (6)
де jj lk , — деякі сталі, а функції j задовольняють рівняння
0,,, zzjjyyjxxj ( j =1, 2, 3 ), (7)
)(/2 1211444
EEE ccc , а значення i ( 3,2,1i ) згідно з працею [12] є кореня-
ми алгебричного рівняння третього порядку:
Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 93
)()( 22312231
2
2121
3 DCDCBABADCBA
0)( 333323322332 DCBADCDCBABA . (8)
Значення jj lk , 3,2,1j у виразах (6) пов’язані з величинами j та-
кими співвідношеннями:
j
j
j
S
j
E
j
E
jj
E
E
jj
E
j
de
lkc
ac
lekc
c
lekca
31
3333
13
3333
11
3113 , ( 3,2,1j ); (9)
j
S
jjjj
E
j lkedlekca 11151544 )1(;)1( , ( 4,3,2,1j ). (10)
У разі використання позначень )4,1(2/1 jznz jj функції ),,,( 11 zyx
),,,( 22 zyx ),,( 33 zyx , ),,( 44 zyx згідно з рівняннями (7) стають гармо-
нічними функціями у відповідних системах координат. Надалі формули
(8)–(10) будуть використані для обчислень.
МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ
Для побудови розв’язку граничної задачі електропружності скористаємося
поданням (6), згідно з яким потенціальні функції ),,( ii zyx (для кожного
півпростору з урахуванням електропружних сталих електропружного мате-
ріалу) візьмемо у вигляді
),,(),,( **
iiii zyxFzyx , ( i =1, 2, 3); 04 . (11)
Сталі *
i у виразах потенціальних функцій згідно з формулами (11) ви-
значимо з такої системи лінійних алгебричних рівнянь:
;1))1(( 1544
3
1
*
jj
E
j
j lekc ;0/))1(( 1544
3
1
*
jjj
E
j
j lekc
.0)1(()
3
1
1115
*
j
j
S
jj lke (12)
Під час вибору сталих *
i згідно з формулами (12) задовольняються
граничні умови за дотичними напруженнями та умови відсутності електродно-
го покриття на поверхнях півпросторів уздовж усієї поверхні поділу, а та-
кож умови рівності нормальних компонентів напружень поза зоною розша-
рування матеріалів. Для граничних умов, що залишились, використовуючи
потенціальні функції на основі функцій ),,(*
1 izyxF і ),,(*
2 izyxF (функції
для першого та другого електропружних півпросторів) з урахуванням сис-
теми рівнянь (12), отримуємо умови в площині 0z стосовно невідомих
гармонічних функцій ),,(*
1 zyxF і ),,(*
2 zyxF :
arr
z
Fk
j j
j
i
0,)0,( 1
*
1
3
1 )1(
)1(
*)1( ; brapr
z
F
,)0,(
2
*
1
2
;
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 94
arr
z
Fk
j
j
j
i
0,)0,( 2
*
2
)2(
)2(3
1
*)2( ; brapr
z
F
,)0,(
2
*
2
2
; (13)
rb
z
Fk
z
Fk
j
j
j
i
j j
j
i ,
*
2
)2(
)2(3
1
*)2(
*
1
3
1 )1(
)1(
*)1( ;
rbr
z
F
r
z
F
),0,()0,(
2
*
2
2
2
*
1
2
, 21 .
Розглянемо для порівняння більш просту задачу теорії пружності про
стискання двох пружних ізотропних півпросторів, між якими розташоване
дископодіне жорстке включення сталої товщини. За допомогою подання
Папковича–Нейбера визначення зони розшарування для збуреного стану
зводиться до пошуку двох гармонічних функцій ),,(*
1 zyxf і ),,(*
2 zyxf , для
знаходження яких отримуємо у площині поділу матеріалів 0z граничні
умови, що цілком аналогічні всім наведеним формулам (13). Відмінність
полягає у тому, що в цих виразах замість множників )1()1(
3
1
*)1( / jj
j
i k
і
)2()2(
3
1
*)2( / jj
j
i k
використовуються вирази 11 /)1( v і 22 /)1( v , де
21,vv — коефіцієнти Пуассона, а 21, — модулі зсуву для матеріалів
першого і другого пружних півпросторів відповідно. Виходячи з відповід-
ності між розв’язками пружної та електропружної задач, що розглядаються,
надалі використаємо схему розгляду більш простої пружної задачі.
Згідно з результатами пружної задачі [7] та встановленої відповідності
задачу контактної взаємодії двох електропружних півпросторів (за наявності
жорсткого плоского дископодібного включення між ними) зводимо до
розв’язання інтегрального рівняння для знаходження невідомого значення
abc / , тобто невідомої ділянки розшарування матеріалів. Маємо
d
c
c
c
c
lnln
)(
)(2
)(
1
0
222
10,
1
1
tg)1(
2
)1(
2
2
12
3
1 )1(
)1(
*)1(
c
k
ap
j j
j
i
(14)
з додатковою умовою, що характеризує відсутність сингулярної складової у
зоні розшарування матеріалів, якщо br :
0)1(
)(
)(2 2/12
1
0
22
cd
c
c
,
Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 95
де ar / , abc / ,
3
1 )1(
)1(
*)1(
)2(
)2(3
1
*)2( /
j j
j
i
j
j
j
i
kk
.
Далі, на основі розкладу за малим параметром 1/1/ cba шуканої
функції, що входить до інтегрального рівняння (14) (цілком аналогічно ви-
падку контакту двох пружних ізотропних півпросторів [7]), наближений
розв’язок інтегрального рівняння з додатковою умовою можна отримати
аналітично за допомогою розв’язання алгебричного рівняння п’ятого по-
рядку:
0
)(
2
1
)( 2
3
1 )1(
)1(
)1(
)1(
1
j j
jj
v
k
p
a
; (15)
73
4
5
32
31
256
9
80
3
464164
)(
)(
5
41024
9
448 6
95
5
O ;
36224
4
6
32
422
9
464
9
8
24
14
3
16
8
164164
1)(
).(
15
4
9
256
9
8
9
864
24
116 6
262364
5
O (16)
Знайдене з алгебричного рівняння значенння ba / , що отримуємо з
формул (15), (16), визначає розміри зони розшарування між двома
п’езоелектричними півпросторами (за наявності дископодібного жорского
включення сталої товщини між ними) під час стискання. Розміри заглиблен-
ня включення у відповідний півпроствр залежать від електропружних влас-
тивостей матеріалів обох півпросторів і визначаються співвідношенням
2
)2(
)2(3
1
)2(
)2(
1
3
1 )1(
)1(
)1(
)1(
11
j
j
j
j
j j
jj kk
.
Тобто заглиблення включення у перший півпростір пропорційне значенню
3
1 )1(
)1(
)1(
)1(
j j
jj k
, а заглиблення у другий півпростір — значенню
3
1 )2(
)2(
)2(
)2(
j j
jj k
.
Із формул (15) отримуємо співвідношення, що пов’язує значення стис-
кальних навантажень із зоною розшарування півпросторів у вигляді
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 96
aLa
v
k
v
k
p
j j
jj
j j
jj
*
21
3
1 )2(
)2(
)2(
)2(3
1 )1(
)1(
)1(
)1(
21 )(/)(
2
1)(/)(
2
1
, (17)
де
3
1 )2(
)2(
)2(
)2(3
1 )1(
)1(
)1(
)1(
*
j j
jj
j j
jj
v
k
v
k
L . (18)
За допомогою виразів (17), (18) можна знайти значення навантажень,
що для відомих геометричних параметрів дископодібного включення і елек-
тропружних властивостей матеріалів півпросторів відповідають заданому
розміру зони розшарування матеріалів.
АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ ЧИСЛОВИХ ДОСЛІДЖЕНЬ
Залежності зони розшарування від стискальних зусиль показано на рис. 2.
Вплив властивостей п’єзоелектричних матеріалів півпросторів на зону роз-
шарування матеріалів здійснюється через множник *L , значення якого від-
повідає формулам (18). У розрахунках відносна товщина дископодібного
включення a/ становить 0,1.
Крива 1 на рис. 2 відповідає контактній взаємодії двох електропружних
матеріалів PZT-4, а крива 2 — випадку стискання двох чисто пружних
трансверсально-ізотропних півпросторів, пружні властивості яких збігають-
ся з пружними властивостям п’єзокерамічного матеріалу PZT-4. Вплив
зв’язаності силових і електричних полів для матеріалу PZT-4 можна оціни-
ти, порівнюючи значення навантажень, за яких досягається однакове відно-
шення ba / на кривих 1 і 2 (збігаються розміри зон розшарування для пруж-
ного і електропружного матеріалів). Видно, що зв’язаність силових і
електричних полів збільшує зону розшарування (порівняно з чисто пружним
матеріалом, який має такі самі пружні властивості, що й електропружні).
Аналогічний якісний ефект характерний і для п’єзокерамічних матеріалів
a /b
pL·102
2
1
Рис. 2. Залежність зони розшарування від прикладених навантажень
Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 2 97
PXE-5, PZT-5, PZT-7A, BaTiO3, PZT-5H, P-7, для яких виконано розрахун-
ки, що підтверджують подібний вплив зв’язаності полів. Це означає, що до
двох п’єзоелектричних півпросторів потрібно прикласти більші стискальні
зусилля, ніж до двох чисто пружних трансверсально-ізотропних півпросто-
рів, щоб отримати зони розшарування однакового розміру.
На рис. 3 зображено вплив відношення товщини включення до її радіу-
са a/ на розмір зони розшарування матеріалів від стискальних наванта-
жень. Для розрахунків значення a/ покладались рівними 0,05 (лінія 1),
0,1 (лінія 2) , 0,2 (лінія 3) і 0,3 (лінія 4).
Видно, що за більшої відносної товщини дископодібного жорсткого
включення для досягнення такого самого значення зони розшарування, яке
отримуємо для більш тонкого включення, необхідно прикласти більші за
значеннями стискальні навантаження, ніж для тоншого включення.
ВИСНОВОК
У роботі на основі математичної моделі, що враховує зв’язаність силових і
електричних полів у п’єзоелектричному маріалі, отримано аналітичний
розв’язок задачі про контактну взаємодію двох електропружних півпросто-
рів під час стискання за наявності жорсткого плоского дископодібного
включення сталої товщини між ними. Досліджено вплив зв’язаності силових
і електричних полів на параметри контактної взаємодії.
ЛІТЕРАТУРА
1. Гринченко В.Т. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга
// Механика связанных полей в элементах конструкций: в 6 т.; Т. 1. — К.:
Наук. думка, 1989. — 279 с.
Рис. 3. Вплив товщини включення на розмір зони розшарування
a /b
PL·10
2
2
1
4
3
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 2 98
2. Кирилюк В.С. Математическое моделирование контактного взаимодействия
жесткой основы с приповерхностной осесимметричной выемкой и электро-
упругого полупространства / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Системні дослі-
дження та інформаційні технології. — 2016. — № 3. — С.118–125.
3. Кирилюк В.С. Моделирование контактного взаимодействия пьезоэлектрического
полупространства и упругой изотропной основы с приповерхностной вы-
емкой кругового сечения / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук // Системні дослі-
дження та інформаційні технології. — 2016. — № 4. — С.120–132.
4. Кирилюк В.С. Математическое моделирование и анализ напряженного состоя-
ния в ортотропной пьезоэлектрической среде с круговой трещиной / В.С.
Кирилюк, О.И. Левчук, Е.В. Гавриленко // Системні дослідження та інфор-
маційні технології. — 2017. — № 3. — С.117–126.
5. Chen W.Q. 3D point force solution for a permeable penny-shaped crack embedded in
an infinite transversely isotropic piezoelectric medium / W.Q. Chen, C.W. Lim //
Int. J. Fract. — 2005. — 131, N 3. — P. 231–246.
6. Dai L. Stress concentration at an elliptic hole in transversely isotropic piezoelectric
solids / L. Dai, W. Guo, X. Wang // Int. J. Solids and Struct. — 2006. — 43, N 6.
— P. 1818–1831.
7. Gladwell G.M.L. On Inclusions at a Bi-Material Elastic Interface / G.M.L. Gladwell
// Journal of Elasticity. — 1999. — 54, N 1. — P.27–41.
8. Kaloerov S.A. Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multiply
Connected Plates / S.A. Kaloerov, A.A. Samodurov // International Applied
Mechanics. — 2015. — 51, N 6. — P.623–639.
9. Kaloerov S.A. Determining the intensity factors for stresses, electric-flux density,
and electric-field strength in multiply connected electroelastic anisotropic media /
S.A. Kaloerov // Int. Appl. Mech. — 2007. — 43, N 6. — P. 631–637.
10. Kirilyuk V.S. Elastic state of a transversely isotropic piezoelectric body with an arbi-
trarily oriented elliptic crack / V.S. Kirilyuk // Int. Appl. Mech. — 2008. — 44,
N 2. — P. 150–157.
11. Kotousov A. On a rigid inclusion pressed between two elastic half spaces / A. Kotou-
sov, L.B. Neto, A. Khanna // Mechanics of Materials. — 2014. — 68, N 1. —
P. 38 –44.
12. Podil’chuk Yu.N. Representation of the general solution of statics equations of the
electroelasticity of a transversally isotropic piezoceramic body in terms of
harmonic functions / Yu.N. Podil’chuk // International Applied Mechanics. —
1998. — 34, N 7. — P. 623–628.
13. Selvadurai A.P.S. A unilateral contact problem for a rigid disc inclusion embedded
between two dissimilar elastic half-spaces / A.P.S. Selvadurai // Q.J. Mech. Appl.
Math. — 1994. — N 3. — P. 493–509.
14. Wang Y.J. The anti-plane solution for the edge cracks originating from an arbitrary
hole in a piezoelectric material / Y.J. Wang, C.F. Gao, H.P. Song // Mechanics
Research Communications. — 2015. — Vol. 65. — P. 17–23.
15. Wang Z.K. The general solution of three-dimension problems in piezoelectric media
/ Z.K. Wang, B.L. Zheng // Int. J. Solids Structures. — 1995. — 32, N 1. —
P. 105–115.
Надійшла 15.03.2018
|
| id | journaliasakpiua-article-139926 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:03Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/09/fe7124c41bbe29a2dd49230b0f5b9f09.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1399262019-01-17T13:29:35Z Mathematical modeling of contact interaction of two electroelastic half-spaces under compression with rigid disc-shaped inclusion between them Математическое моделирование контактного взаимодействия двух электроупругих полупространств при сжатии при наличии жесткого дискообразного включения между ними Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між ними Kirilyuk, V. S. Levchuk, Olga I. Gavrilenko, Оlena V. mathematical modeling coupled system of equations of electroelasticity piezoelectric half-space rigid disc-shaped inclusion parameters of contact interaction математическое моделирование связанная система уравнений электроупругости пьезоэлектрическое полупространство жесткое дискообразное включение параметры контактного взаимодействия математичне моделювання зв'язана система рівнянь електропружності п`єзоелектричний півпростір жорстке дископодібне включення параметри контактної взаємодії A mathematical model is developed for analyzing the contact interaction of two electroelastic transversely isotropic half-spaces under compression in the presence of a rigid disc-like inclusion of a constant thickness between them. The model is based on a consideration of the coupled system of electroelasticity equations for each of the piezoelectric half-spaces. The analytical solution of the problem is obtained by means of a general representation of solutions of the equations of electroelasticity on the basis of harmonic functions, reducing the problem to the consideration of the integral equation and the expansion of the unknown function with respect to a small parameter. As a particular case, the contact parameters for the two elastic transversely-isotropic half-spaces follow from the expressions obtained (if there is an inclusion between them). Numerical studies have been carried out, the influence of the connectedness of force and electric fields on the parameters of the contact interaction was studied. Развита математическая модель для анализа контактного взаимодействия двух электроупругих трансверсально-изотропных полупространств при сжатии при наличии жесткого дископодобного включения постоянной толщины между ними. Модель основана на рассмотрении связанной системы уравнений электроупругости для каждого из пьезоэлектрических полупространств. Аналитическое решение задачи получено с помощью общего представления решений уравнений электроупругости на основе гармонических функций, сведения задачи к рассмотрению интегрального уравнения и разложения искомой функции по малому параметру. Как частный случай из полученных выражений следуют параметры контакта для двух упругих трансверсально-изотропных полупространств (при наличии включения между ними). Проведены числовые исследования, изучено влияние связанности силовых и электрических полей на параметры контактного взаимодействия. Розвинено математичну модель для аналізу контактної взаємодії двох електропружних трансверсально-ізотропних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення сталої товщини між ними. Модель базується на використанні зв’язаної системи рівнянь електропружності для кожного з п’єзоелектричних півпросторів. Аналітичний розв’язок задачі отримано за допомогою загального подання розв’язків рівнянь електропружності на основі гармонічних функцій, зведення задачі до розгляду інтегрального рівняння і розкладу шуканої функції за малим параметром. Як окремий випадок з отриманих виразів випливають параметри контакту для двох пружних трансверсально-ізотропних півпросторів (за наявності включення між ними). Проведено числові дослідження, вивчено вплив зв’язаності силових і електричних полів на параметри контактної взаємодії. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-06-20 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/139926 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.2.09 System research and information technologies; No. 2 (2018); 89-98 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2018); 89-98 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2018); 89-98 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/139926/136945 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | математичне моделювання зв'язана система рівнянь електропружності п`єзоелектричний півпростір жорстке дископодібне включення параметри контактної взаємодії Kirilyuk, V. S. Levchuk, Olga I. Gavrilenko, Оlena V. Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між ними |
| title | Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між ними |
| title_alt | Mathematical modeling of contact interaction of two electroelastic half-spaces under compression with rigid disc-shaped inclusion between them Математическое моделирование контактного взаимодействия двух электроупругих полупространств при сжатии при наличии жесткого дискообразного включения между ними |
| title_full | Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між ними |
| title_fullStr | Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між ними |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між ними |
| title_short | Математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між ними |
| title_sort | математичне моделювання контактної взаємодії двох електропружних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між ними |
| topic | математичне моделювання зв'язана система рівнянь електропружності п`єзоелектричний півпростір жорстке дископодібне включення параметри контактної взаємодії |
| topic_facet | mathematical modeling coupled system of equations of electroelasticity piezoelectric half-space rigid disc-shaped inclusion parameters of contact interaction математическое моделирование связанная система уравнений электроупругости пьезоэлектрическое полупространство жесткое дискообразное включение параметры контактного взаимодействия математичне моделювання зв'язана система рівнянь електропружності п`єзоелектричний півпростір жорстке дископодібне включення параметри контактної взаємодії |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/139926 |
| work_keys_str_mv | AT kirilyukvs mathematicalmodelingofcontactinteractionoftwoelectroelastichalfspacesundercompressionwithrigiddiscshapedinclusionbetweenthem AT levchukolgai mathematicalmodelingofcontactinteractionoftwoelectroelastichalfspacesundercompressionwithrigiddiscshapedinclusionbetweenthem AT gavrilenkoolenav mathematicalmodelingofcontactinteractionoftwoelectroelastichalfspacesundercompressionwithrigiddiscshapedinclusionbetweenthem AT kirilyukvs matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâdvuhélektrouprugihpoluprostranstvprisžatiiprinaličiižestkogodiskoobraznogovklûčeniâmeždunimi AT levchukolgai matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâdvuhélektrouprugihpoluprostranstvprisžatiiprinaličiižestkogodiskoobraznogovklûčeniâmeždunimi AT gavrilenkoolenav matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâdvuhélektrouprugihpoluprostranstvprisžatiiprinaličiižestkogodiskoobraznogovklûčeniâmeždunimi AT kirilyukvs matematičnemodelûvannâkontaktnoívzaêmodíídvohelektropružnihpívprostorívpídčasstiskannâzanaâvnostížorstkogodiskopodíbnogovklûčennâmížnimi AT levchukolgai matematičnemodelûvannâkontaktnoívzaêmodíídvohelektropružnihpívprostorívpídčasstiskannâzanaâvnostížorstkogodiskopodíbnogovklûčennâmížnimi AT gavrilenkoolenav matematičnemodelûvannâkontaktnoívzaêmodíídvohelektropružnihpívprostorívpídčasstiskannâzanaâvnostížorstkogodiskopodíbnogovklûčennâmížnimi |