Математичне моделювання электронапруженого стану ортотропного п’єзоелектричного тіла з довільно орієнтованою круговою тріщиною за одновісного розтягу
A mathematical model for the analysis of the stress state in an orthotropic electroelastic material with an arbitrary orientated circular crack is developed. The model is based on the consideration of the coupled system of equations of static electroelasticity. The problem on electric and stress sta...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/150075 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334344087961600 |
|---|---|
| author | Kirilyuk, V. S. Levchuk, Olga I. |
| author_facet | Kirilyuk, V. S. Levchuk, Olga I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. S. Kirilyuk",
"institution": "Відділ механіки стохастично-неоднорідних середовищ Інституту механіки імені С.П.Тимошенка НАН України, Київ"
},
{
"author": "Olga I. Levchuk",
"institution": "Відділ механіки стохастично-неоднорідних середовищ Інституту механіки імені С.П.Тимошенка НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Kirilyuk, V. S. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-01-17T13:31:43Z |
| description | A mathematical model for the analysis of the stress state in an orthotropic electroelastic material with an arbitrary orientated circular crack is developed. The model is based on the consideration of the coupled system of equations of static electroelasticity. The problem on electric and stress states in orthotropic piezoelectric space with an arbitrary orientated circular crack under homogeneous loads was considered. The solution of the problem was obtained by means of the triple Fourier transform and Fourier image of Green's function for an infinite anisotropic piezoelectric medium. This approach was tested in the case of the location crack in the isotropy plane of transversely isotropic piezoelectric material for which there was an exact solution of the problem. The comparison of the calculated results confirmed the efficiency of the used approach. Numerical experiments were carried out and distributions of stress intensity factors along the front of the arbitrary orientated circular crack in orthotropic piezoelectric materials under the uniaxial tension were studied. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.06 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, 2018
68 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 539.3
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.06
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
ЕЛЕКТРОНАПРУЖЕНОГО СТАНУ ОРТОТРОПНОГО
П’ЄЗОЕЛЕКТРИЧНИГО ТІЛА З ДОВІЛЬНО ОРІЄНТОВАНОЮ
КРУГОВОЮ ТРІЩИНОЮ ЗА ОДНОВІСНОГО РОЗТЯГУ
В.С. КИРИЛЮК, О.І. ЛЕВЧУК
Анотація. Развинуто математичну модель для аналізу напруженого стану в
ортотропному електропружному матеріалі з довільно орієнтованою круговою
тріщиною. Модель ґрунтується на розгляді зв’язаної системи рівнянь статики
електропружності. Розглянуто задачу про електричний та напружений стани в
ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою круговою
тріщиною за однорідних навантажень. Розв’язок задачі отримано за допомо-
гою потрійного перетворення Фур’є та Фур’є-образу функції Гріна для
нескінченного анізотропного п’єзоелектричного середовища. Тестування
підходу виконано для випадку розташування тріщини у площині ізотропії
трансверсально-ізотропного п’єзоелектричного матеріалу, для якого існує точ-
ний розв’язок задачі. Порівняння результатів обчислень підтверджує ефектив-
ність використаного підходу. Проведено числові дослідження, вивчено розпо-
діл напружень вздовж фронту кругової тріщини за різних її орієнтацій
в електропружному ортотропному матеріалі в разі одновісного розтягу.
Ключові слова: математичне моделювання, зв’язана система рівнянь елект-
ропружності, ортотропний п’єзоелектричний матеріал, кругова тріщина, дові-
льна орієнтація, одновісний розтяг, напружений стан.
ВСТУП
Використання у процесі створення перетворювачів енергії та датчиків для
вимірювальних приладів п’єзоелектричних крихких матеріалів стимулює
інтерес до вивчення та аналізу розподілу напружень та концентрації сило-
вих і електричних полів у п’єзоелектричних тілах з дефектами типу порож-
нини, включень, тріщин. Але розв’язання просторових задач електропруж-
ності пов’язане зі значними труднощами математичного характеру, оскільки
основна система рівнянь електропружності є зв’язаною стосовно силових і
електричних полів системою диференціальних рівнянь у частинних похід-
них [1, 4], розв’язок якої отримати набагато важче, ніж розв’язок чисто
пружної задачі. Тому на цей час з більшою повнотою вивчено простіші дво-
Математичне моделювання електронапруженого стану ортотропного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 69
вимірні задачі електропружності, серед яких можна вирізнити праці [11, 13,
14, 23, 27], присвячені дослідженню електропружного стану як поблизу
одиночних порожнин, включень, тріщин, так і у взаємодії кількох концент-
раторів електричних і механічних полів. У працях [5, 24] запропоновано ме-
тодологічно подібні підходи до побудови загальних розв’язків зв’язаної сис-
теми тривимірних статичних рівнянь електропружності для трансверсально-
ізотропних тіл, за допомогою яких отримано точні розв’язки низки задач
електропружності за спеціальної орієнтації концентратора напружень відно-
сно осі симетрії трансверсально-ізотропного електропружного матеріалу.
З метою їх використання традиційно припускається, що вісь симетрії мате-
ріалу збігається з віссю обертання концентратора напружень або вона пер-
пендикулярна до площини розташування плоскої тріщини [6, 8–12, 16–18,
20–24, 27]. За інших орієнтацій концентратора силових та електричних
полів відносно осі симетрії трансверсально-ізотропного електропружного
матеріалу для тривимірних задач електропружності ці підходи є неефектив-
ними.
Відзначимо, що результати досліджень коефіцієнтів інтенсивності на-
пружень (КІН) для кругових тріщин у пружних тілах з достатньою повно-
тою відображено у монографіях [3, 7, 15, 26]. Для елетропружних трансвер-
сально-ізотропних тіл (за обмежень на орієнтацію концентраторів
напружень) подібні дослідження проведено у працях [6, 8, 9, 10, 16–18, 22].
Розподіл КІН для довільної орієнтації кругової тріщини відносно осі симет-
рії електропружного трансверсально-ізотропного матеріалу вивчено у праці
[12]. Напружений і електричний стани в ортотропному електропружному
матеріалі з круговою та еліптичною тріщинами у площині ортотропії мате-
ріалу (за спеціальної орієнтації плоскої тріщини) у разі однорідних наван-
тажень досліджено у працях [2, 17] відповідно.
У роботі вперше вивчено розподіл коефіцієнтів інтенсивності напру-
жень для довільно орієнтованої кругової тріщини в ортотропному електро-
пружному матеріалі за одновісного розтягу. Робота ґрунтується на узагаль-
ненні підходу [26] (для анізотропного чисто пружного простору з
еліптичною тріщиною) на випадок ортотропного електропружного матеріа-
лу. Під час розв’язання задачі використано потрійне (по просторових коор-
динатах) перетворення Фур’є, Фур’є-образ функції Гріна для електропруж-
ного анізотропного матеріалу і теорему Коші про лишки. Спеціальні
контурні інтеграли, що виникають у процесі розв’язання задачі, обчислено
за квадратурними формулами Гауса. Для окремого випадку (розташування
тріщини у площині ізотропії електропружного трансверсально-ізотропного
матеріалу) отримані результати узгоджуються з даними, знайденими інши-
ми методами. Обчислено коефіцієнти інтенсивності напружень і коефіцієн-
ти інтенсивності електричної індукції вздовж межі кругової тріщини за різ-
них її орієнтацій в ортотропному п’єзоелектричному матеріалі.
ОСНОВНІ РІВНЯННЯ І ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Нехай ортотропний електропружний простір містить кругову тріщину. При-
пустімо, що одна з осей симетрії матеріалу збігається з віссю Oz , кут між
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 70
якою і нормаллю до площини тріщини , а на електропружний простір ді-
ють однорідні силові та електричні поля. Наявність тріщини у матеріалі як
концентратора призводить до виникнення збурень електричного і напруже-
ного станів.
Повна система статичних рівнянь електропружності набуває такого ви-
гляду:
рівняння рівноваги за відсутності об’ємних сил
0, jij ; (1)
рівняння вимушеної електростатики
iiii ED ,, ;0 ; (2)
співвідношення Коші
)(
2
1
,, ijjiij uu ;
рівняння стану
nnijmnijmnij eC , ; ninmnimni keD , , (3)
де ij , ij , iu , iD , iE , — компоненти напружень, деформацій,
переміщень, електричних переміщень (електричної індукції), напруженість
електричного поля і електричний потенціал відповідно. Також уведено по-
значення тензорів: ijmnC , imne , ijk — пружні модулі, п’езомодулі,
діелектричні проникності. Для п’єзоелектричних тіл, які є ортотропними за
своїми властивостями, пружні характеристики матеріалу описуються
дев’ятьма незалежними сталими ,,,, 12332211 cccc 6655442313 ,,,, ccccc ,
п’езомодулі — п’ятьма величинами ,15e ,24e ,31e ,32e 33e , діелектричні
проникності —трьома незалежними сталими ,11k ,22k 33k . Компоненти
вказаних тензорів пов’язані з відповідними незалежними сталими таким чи-
ном:
111111 cC ; 222222 cC ; 333333 cC ; 1222111122 cCC ;
23332222331333111133 ; cCCcCC ; 443223323223322323 cCCCC ;
551313133131133131 cCCCC ; 662112212112211212 cCCCC ; (4)
15131113 eee ; 24232223 eee ; 31311 ee ; 32322 ee ; 33333 ee ; 11k ; 22k ; 33k .
Інші компоненти цих трьох тензорів дорівнюють нулю.
Відзначимо, що зі співвідношень (1)–(3) і наведених компонентів тен-
зорів (4) випливають рівняння статики електропружного ортотропного тіла
стосовно переміщень та електричного потенціалу.
Для розв’язання задачі зручно ввести нову систему координат, у якій
напрямок однієї з осей збігається з напрямком нормалі до площини тріщини.
Припустімо, що вихідна система координат Oxyz залежить від нової
(локальної) системи 111 zyOx , оскільки вона отримана з вихідної системи
Математичне моделювання електронапруженого стану ортотропного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 71
координат обертанням навколо осі Ox на кут . Тоді тензори пружних
модулів, п’езомодулів і діелектричених сталих
ijklC ,
ijke ,
ijk у новій системі
координат отримаємо за допомогою перетворень тензорів відповідних ран-
гів: lqkpjnimmnpkijkl CC ; kpjnimmnpijk ee ; jnimmnij kk , де
ij — матриця перетворення вигляду
cossin0
sincos0
001
ij . (5)
Довільну орієнтацію тріщини у матеріалі можна отримати за допомо-
гою послідовного обертання на кути ,, навколо осей старої системи
координат zyx 0,0,0 відповідно. Тоді матриця перетворень ijT матиме
вигляд
coscoscossinsinsincossinsincossincos
cossincoscossinsinsinsincoscossinsin
sinsincoscoscos
ijT .
Вона є результатом послідовного перемноження трьох матриць, подіб-
них до виразу (5), що відображають праві обертання навколо кожної з осей
координат:
cossin0
sincos0
001
ij ;
cos0sin
010
sin0cos
ij ;
100
0cossin
0sincos
ij .
Нові тензори пружних модулів, п’єзомодулів і діелектричних сталих
),,(
ijklC , ),,(
ijke , ),,(
ijk отримаємо за допомогою перетворень тензорів від-
повідних порядків:
lqkpjnimmnpkijkl TTTTCC ),,( ; kpjnimmnpijk TTTee ),,( ; jnimmnij TTkk ),,( ,
де за індексами, що повторюються, виконується підсумовування.
Далі у тексті роботи використано звичайний тензорний запис виразів,
тобто за індексами , що повторюються у виразах, виконується підсумову-
вання.Без жодних змін у схемі розв’язання задачі замість перетворення ijT ,
зумовленого обертанням навколо осей координат zyx 0,0,0 , цілком аналогі-
чно можна було б увести інше перетворення, наприклад, з використанням
кутів Ейлера. Але для наочності у роботі вибрано перетворення, що відпові-
дає послідовним обертанням навколо трьох різних осей координат.
Для опису електропружного стану введемо більш уніфіковані позна-
чення [12], на основі яких запишемо такі вирази:
Пружні переміщення і електричний потенціал
.4,
;3,2,1,
M
Mu
U m
M (6)
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 72
Пружні деформації або електричне поле
.4,
;3,2,1,
M
M
Z
n
mn
Mn (7)
Напруження або електричні переміщення
.4,
;3,2,1,
jD
J
i
ij
iJ (8)
Електропружні модулі
.4,,
;3,2,1;4,
;4;3,2,1,
;3,2,1,,
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
MJk
MJe
MJe
MJC
E
in
imn
nij
ijmn
iJMn (9)
За допомогою позначень (6)–(9) рівняння стану (3) можна подати як
MniJMniJ ZE ),,( . (10)
Задачу для плоскої кругової тріщини не поділяють, як у випадку роз-
ташування тріщини в площині ізотропії для трансверсально-ізотропного ма-
теріалу, на дві — симетричну і антисиметричну. Її розглядають у загальній
постановці, коли у граничні умови одночасно входять і нормальні, і дотичні
зусилля, а також нормальна складова вектора електричної індукції на
поверхні тріщини. За однорідних силових і електричних навантажень маємо
такі граничні умови:
;),,(
13
fS ;),,(
23
gS
;),,(
33
PS )),,(
3
DD S ; 0)( xUM
, якщо || x
,
де S — поверхня тріщини, віднесена до нової системи координат (отримана
послідовним обертанням на кути ,, навколо осей старої системи); на-
вантаження подано у новій системі координат. За заданого основного на-
пруженого стану та електричної індукції в середовищі і вільної від силових і
електричних навантажень поверхні тріщини, виразивши електронапружений
стан суперпозицією основного і збуреного станів, отримаємо граничні умо-
ви для визначення збуреного стану.
МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ
Функція Гріна )( xxGIJ
для нескінченного електропружного анізотропно-
го простору (фундаментальний розв’язок) задовольняє рівняння:
0)(,
),,( xxGE JMknJMkJMn
; (11)
Математичне моделювання електронапруженого стану ортотропного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 73
де )( xx
— дельта функція Дірака; JM — символ Кронекера. Кома піс-
ля індексу означає диференціювання за відповідною змінною. Скористає-
мось інтегральним виразом фундаментального розв’язку
321
)(1
3
)()(
)2(
1
)(
dddeDAxxG xxi
JMJM
, (12)
де )(
JMA — відповідні алгебричні доповнення елементів матриці
}{)}({ ),,(
niiJMnJM EK
; (13)
)(
D — її визначник, який є багаточленом восьмого порядку.
Використовуючи у подальших перетвореннях вирази (10)–(13), подамо
збурений електричний і напружений стани, узагальнюючи чисто пружний
випадок, за допомогою невідомих стрибків переміщень і електричного
потенціалу через двосторонню поверхню тріщини:
S
xxi
M
N
N
N
IJ
N
llJM
I xdxdddexb
D
AE
xU
N
,)(
/)(
)(
4
1
)( 111
)(
4
1 3
),,(
3
2
(14)
де для кругової тріщини невідомий вектор )(xb
набуває вигляду
2/122
2
22
1
)0( )//1()( axaxbxb
; (15)
a — радіус кругової тріщини; )0(b
— сталий вектор четвертого порядку,
компоненти якого у загальному випадку є комплексними числами. Підсумо-
вування у формулі (14) з використанням виразу (15) виконуємо для M
3 —
коренів рівняння 0)(
D з від’ємною уявною частиною для 03 x ; вектор
M
має вигляд 21321 ,,, M
M
. Компоненти напружень і електрич-
ної індукції визначаємо за виразом
lKiJKliJ UEx ,
),,()(
4
1 3
),,(
3
),,(
2 /)(
)(
4 N S
N
N
KQ
N
l
N
ppQMiJKl
D
AEEi
.)( 2121
)( dxdxddexb xxi
M
M
Використовуючи перетворення, аналогічні пружному випадку [26],
у площині тріщини за однорідних силових і електричних навантажень у ма-
теріалі знаходимо компоненти напружень і електричної індукції в площині
тріщини у вигляді
dbaaaaF
i
x M
N
N
iJMiJ
)0,0(
2211322
2
0
4
1
11
),,( ))/,/(,/,/(
4
)(
, (16)
де функція
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 74
3
),,(
3
),,(
321
),,(
/)(
)(
),,(
N
N
KQN
l
N
ppQMiJKliJM
D
A
EEF
. (17)
Одновимірний інтеграл у формулах (16) (з використанням позначень
(17)) обчислюємо за квадратурними формулами Гауса.
Після додаткового аналізу асимптотичних виразів для напружень і елект-
ричної індукції в площині тріщини і, скороставшись визначенням коефіціе-
нтів інтенсивності напружень IIIIII ,, KKK та електричної індукції DK ,
отримаємо:
;))/,/(,/,/()//( )0,0(2
22
2
113
2
22
2
1
4
1
1
4/14
2
2
2
4
1
2
1 M
N
N
iJMiJ baxaxaxaxFaxaxaik
331 kK ; 232131II nknkK ; 132231III )( nknkK ; 34IV kKK D . (18)
Для кругової тріщини компоненти вектора нормалі мають вигляд
2/142
2
42
1
2
11 )///()/( axaxaxn ; 2/142
2
42
1
2
22 )///()/( axaxaxn . Викорис-
товуючи для обчислення одновимірних інтегралів метод квадратур Гауса і
задовольняючи граничні умови на поверхні тріщини, знаходимо невідомі
значення стрибків переміщень і електричної індукції, а потім за формула-
ми (18) обчислюємо коефіцієнти інтенсивності напружень і електричної
індукції.
Для апробації використовуваного підходу спочатку розглянемо задачу
про кругову тріщину в електропружному трансверсально-ізотропному мате-
ріалі, яка розташована у площині його ізотропії, за сталого тиску 0P на по-
верхні тріщини та зсувних зусиль 00
13 . Нормальна компонента електри-
чної індукції 0
3D у розгляді задачі вважалась нульовою. У цьому випадку
коефіцієнти інтенсивності напружень 1K згідно з результатами праці [16] не
залежать від властивостей матеріалу і збігаються з їх виразом для чисто
пружного ізотропного матеріалу (для такої самої форми тріщини і того ж
симетричного навантаження), а значення 0DK . Водночас коефіцієнти ін-
тенсивності напружень IIK , IIIK у разі зсуву залежать від пружних і елект-
ричних властивостей матеріалу [14]. Згідно з дослідженнями [14] для знахо-
дження КІН IIK , IIIK в електропружному трагсверсально-ізотропному
матеріалі з плоскою тріщиною у площині ізотропії матеріалу достатньо взя-
ти їх вирази для ізотропного пружного матеріалу за тих самих зсувних нава-
нтажень, а замість коефіцієнта Пуасона у відповідних виразах КІН під-
ставити значення PIEZO , яке обчислюється з урахуванням властивостей
електропружного матеріалу за спеціальною процедурою. Оскільки формула
для визначення цієї величини надто громіздка, а процедура її отримання де-
тально описана у праці [14], наведемо значення PIEZO для окремих
п’езоелектричних матеріалів у таблиці [14]. Вихідні дані про електричні і
пружні властивості відповідають наведеним у працях [1, 9, 12, 14] характе-
ристикам. Значення ELASTv , знайдено тільки за пружними властивостями
трансверсально-ізотропного матеріалу (без урахування його електричних
властивостей) згідно з результатами [14]. Значення CONTROL отримано
Математичне моделювання електронапруженого стану ортотропного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 75
з виразу PIEZO за наявності дуже слабких електричних властивостей у ма-
теріалів (під час розрахунків їх знайдено домноженням значень
п’езомодулів ,31e ,15e 33e і діелектричних проникностей ,11k 33k відповід-
них матеріалів на 1210 ). Видно, що згідно з даними таблиці значення
CONTROL і ELAST збігаються з високою точністю.
Значення PIEZO для деяких електропружних матеріалів
Значення PZT-4 PXE-5 ЦТС-19 PZT-5 PZT-7A BaTiO3 PZT-5H
PIEZO 0,48513 0,48815 0,45958 0,51190 0,47324 0,34369 0,37867
ELAST 0,35034 0,34591 0,36359 0,36965 0,35239 0,29768 0,30074
CONTROL 0,35034 0,34591 0,36359 0,36965 0,35239 0,29768 0,30074
Згідно з результатами праць [13, 14] для електропружного простору,
що містить дископодібну тріщину, за внутрішнього тиску 0P на поверхні
тріщини і зсуву 0
13 у п’єзоелектричному матеріалі маємо такі вирази КІН
уздовж фронту тріщини:
)(
2
0I aPK
;
cos)(
)2(
4 0
13
PIEZO
II aK ;
sin)(
)2(
)1(4 0
13
PIEZO
PIEZO
III aK . (19)
Для апробації використовуваного підходу виконано розрахунки КІН
IK , IIK і IIIK для випадку розташування кругової тріщини у площині ізо-
тропії електропружного трансверсально-ізотропного матеріалу за допомо-
гою аналітичних виразів (19) і (18). Для п’єзоелектричних матеріалів з таб-
лиці результати досліджень узгоджувались між собою (до 7 значущих
цифр). Для обчислень одновимірних інтегралів у виразах (16) використано
квадратурну формулу Гауса за 24 вузлами.
Подальше тестування підходу та розробленої на його основі
комп’ютерної програми для електропружного ортотропного матеріалу з
круговою трішиною для окремих випадків (довільно орієнтована дископоді-
бна тріщина у пружному ортотропному та електропружному трансверсаль-
но-ізотропному матеріалах, кругова тріщина у площині ортотропії електро-
пружного ортотропного матеріалу) підтвердило узгодженість результатів
досліджень з даними праць [2, 12, 15].
АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ ЧИСЛОВИХ ДОСЛІДЖЕНЬ
Розглянемо такі матеріали: 1) п’єзоелектричний ортотропний матеріал
Ba2NaNb5O15, електропружні властивості якого (усього 17 незалежних пара-
метрів) наведено у праці [3]; 2) електропружний п’єзокерамічний матеріал
PZT-4 (10 незалежних електропружних параметрів, значення яких наведено
у праці [1]); 3) пружний ортотропной матеріал, пружні властивості якого
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 76
(усього 9 незалежних параметрів) відповідають значенням ортогонально-
армованого 2:1 склопластику і наведені у праці [18]. Вважатимемо, що кру-
гова тріщина довільним чином розташована в електропружному матеріалі, її
орієнтація визначається кутом обертання навколо осі 0x і відповідно мат-
рицею перетворення координат (5). На рис. 1, 2, 3 зображено зміну КІН IK
вздовж фронту кругової тріщини одиничного радіуса у п’єзоелектричному ор-
тотропному матеріалі Ba2NaNb5O15, електропружному п’єзокерамічному
матеріалі PZT-4 і ортогонально-армованому 2:1 склопластику відповідно
для різних випадків орієнтації кругової тріщини. Криві 1, 2, 3, 4 на цих ри-
сунках відповідають значенням 000 90;60;30;0 для випадку одновісного
розтягу в напрямку, перпендикулярному до площини розташування трі-
щини.
Видно, що орієнтація тріщини у матеріалі істотно впливає на значення і
характер розподілу коефіцієнтів інтенсивності напружень уздовж фронту
тріщини. В окремих випадках вплив орієнтації на значення КІН IK переви-
щував 22%.
4
3
2
1
0
I
zza
K
Рис. 1
4
3
2
1
0
I
zza
K
Рис. 2
Математичне моделювання електронапруженого стану ортотропного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 77
На рисунках 4, 5 відображено появу ненульових значень коефіцієнтів
інтенсивності напружень IIK і IIIK за симетричного навантаження (одновісно-
го розтягу) за рахунок орієнтації тріщини у IIK і IIIK ортогонально-армованому
2:1 склопластику (якщо її розташування не в площині симетрії матеріалу).
Рис. 3
4
2
1
0
I
zza
K
3
Рис. 4
1
2
0
II
zza
K
Рис. 5
1
2
0
III
zza
K
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 78
Криві 1 і 2 на цих рисунках відповідають значенням 30 і 60 .
Для матеріалів Ba2NaNb5O15 і PZT-4 у разі розташування тріщини не в пло-
щині симетрії матеріалу внаслідок симетричного навантаження також вини-
кають ненульові значення КІН IIK і IIIK , але за величиною вони дещо мен-
ші, ніж для ортогонально-армованого 2:1 склопластику.
ВИСНОВОК
У роботі за допомогою математичної моделі, що враховує зв’язаність сило-
вих і електричних полів у матеріалі, досліджено електронапружений стан у
ортотропному п’єзоелектричному просторі з довільно орієнтованою круго-
вою тріщиною. Вивчено розподіл напружень вздовж фронту кругової трі-
щини для різних випадків її орієнтації у матеріалі за одновісного розтягу.
ЛІТЕРАТУРА
1. Гринченко В.Т. Электроупругость / В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, Н.А. Шульга
// Механика связанных полей в элементах конструкций: в 6 т.; Т. 1. — К.:
Наук. думка, 1989. — 279 с.
2. Кирилюк В.С. Математическое моделирование и анализ напряженного
состояния в ортотропной пьезоэлектрической среде с круговой трещиной /
В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, Е.В. Гавриленко // Системні дослідження та
інформаційні технології. — 2017. — № 3.— С.117–126.
3. Шульга М.О. Резонансні електромеханічні коливання п’єзоелектричних
пластин / М.О. Шульга, В.Л. Карлаш. — К.: Наук. думка, 2008. — 270 с.
4. Chen W.Q. 3D point force solution for a permeable penny-shaped crack embedded in
an infinite transversely isotropic piezoelectric medium / W.Q. Chen, C.W. Lim //
Int. J. Fract. — 2005. — 131, N 3. — P. 231–246.
5. Chen W.Q. Exact three-dimensional solutions of laminated orthotropic piezoelectric
rectangular plates featuring interlaminar bonding imperfections modeled by
a general spring layer / W.Q. Chen, J.B. Cai, G.R. Ye, Y.F. Wang // International
Journal of Solids and Structures. — 2004. — 41, N 18–19. — P. 5247–5263.
6. Chiang C.R. The nature of stress and electric-displacement concentrations around a
strongly oblate cavity in a transversely isotropic piezoelectric material /
C.R. Chiang, G.J. Weng // Int. J. Fract. — 2005. — 134, N 3–4. — P. 319–337.
7. Dai L. Stress concentration at an elliptic hole in transversely isotropic piezoelectric
solids / L. Dai, W. Guo, X. Wang // Int. J. Solids and Struct. — 2006. — 43,
N 6. — P. 1818–1831.
8. Dunn M.L. Electroelastic field concentrations in and around inhomogeneities in pie-
zoelectric solids / M.L. Dunn, M. Taya // J. Appl. Mech. — 1994. — 61, N 4. —
P. 474–475.
9. Kaloerov S.A. Problem of Electromagnetoviscoelasticity for Multiply
Connected Plates / S.A. Kaloerov, A.A. Samodurov // International Applied
Mechanics. — 2015. — 51, N 6. — P.623–639.
10. Kaloerov S.A. Determining the intensity factors for stresses, electric-flux density,
and electric-field strength in multiply connected electroelastic anisotropic media /
S.A. Kaloerov // Int. Appl. Mech. — 2007. — 43, N 6. — P. 631–637.
11. Karnaukhov V.G. Forced Resonant Vibrations and Self-Heating of Solids of
Revolution Made of a Viscoelastic Piezoelectric Material / V.G. Karnaukhov,
V.I. Kozlov, A.V. Zavgorodnii, I.N. Umrykhin // International Applied Mechan-
ics. — 2015. — 51, N 6. — Р. 614–622.
12. Kirilyuk V.S. Elastic state of a transversely isotropic piezoelectric body with an arbi-
trarily oriented elliptic crack / V.S. Kirilyuk // Int. Appl. Mech. — 2008. — 44,
N 2. — P. 150–157.
Математичне моделювання електронапруженого стану ортотропного …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 79
13. Kirilyuk V.S. On the stress state of a piezoceramic body with a flat crack under
symmetric loads / V.S. Kirilyuk // Int. Appl. Mech. — 2005. — 41, N 11. —
P. 1263–1271.
14. Kirilyuk V.S. Stress state of a piezoelectric ceramic body with a plane crack under
antisymmetric loads / V.S. Kirilyuk // Int. Appl. Mech. — 2006. — 42, N 2. —
P. 152–161.
15. Kirilyuk V.S. Stress state of an elastic orthotropic medium with elliptical crack under
tension and shear / V.S. Kirilyuk // International Applied Mechanics. — 2005. —
41, N 4. — Р.358–366.
16. Kirilyuk V.S. Thermostressed state of a piezoelectric body with a plane crack under
symmetric thermal load / V.S. Kirilyuk // International Applied Mechanics. —
2008. — 44, N 3. — Р. 320–330.
17. Kirilyuk V.S. Stress State of an Orthotropic Piezoelectric Material with an Elliptic
Crack / V.S. Kirilyuk, O.I. Levchuk // International Applied Mechanics. — 2017.
— 53, N 3. — Р.305–312.
18. Lekhnitskii S.G. Theory of Elasticity of an Anisotropic Body (in English) /
S.G. Lekhnitskii. — Moscow: Mir Publ. — 1981. — 430 p.
19. Lin S. Electroelastic analysis of a penny-shaped crack in a piezoelectric ceramic un-
der mode I loading / S. Lin, F. Narita, Y. Shindo // Mech. Res. Com. — 2003. —
30, N 4. — P. 371–386.
20. Podil’chuk Yu.N. Representation of the general solution of statics equations of the
electroelasticity of a transversally isotropic piezoceramic body in terms of
harmonic functions / Yu.N. Podil’chuk // International Applied Mechanics. —
1998. — 34, N 7. — Р. 623–628.
21. Podil’chuk Yu.N. Electroelastic equilibrium of transversally isotropic, piezoceramic
media containing cavities, inclusions, and cracks / Yu. N. Podil’chuk //
International Applied Mechanics. — 1998. — 34, N 10. — P.1023–1034.
22. Shang F. Theoretical investigation of an elliptical crack in thermopiezoelectric mate-
rial. Part 1: Analitical development / F. Shang, M. Kuna, T. Kitamura // Theor.
Appl. Fract. Mech. — 2003. — 40, N 3. — P. 237–246.
23. Sladek J. Crack analyses in porous piezoelectric brittle materials by the SBFEM //
Engineering Fracture Mechanics / J. Sladek, V. Sladek, S. Krahulec, C. Song. —
2016. — V. 160. — P. 78–94.
24. Wang Y.J. The anti-plane solution for the edge cracks originating from an arbitrary
hole in a piezoelectric material / Y.J. Wang, C.F. Gao, H.P. Song // Mechanics
Research Communications. — 2015. — V. 65. — P. 17–23.
25. Wang Z.K. The general solution of three-dimension problems in piezoelectric media /
Z.K. Wang, B.L. Zheng // Int. J. Solids Structures. — 1995. — 32, N 1. — P. 105–115.
26. Willis J.R. The stress field around an elliptical crack in an anisotropic elastic medium
/ J.R. Willis // Int. J. Eng. Sci. — 1968. — 6, N 5. — P. 253–263.
27. Zhang T.Y. Fracture behaviors of piezoelectric materials / T.Y. Zhang, C.F. Gao //
Theor. Appl. Fract. Mech. — 2004. — 41, N 1–3. — P. 339–379.
28. Zhao M.H. Singularity analysis of planar cracks in three-dimensional piezoelectric
semiconductors via extended displacement discontinuity boundary integral equa-
tion method / M.H. Zhao, Y. Li, Y. Yan, C.Y. Fan // Engineering Analysis with
Boundary Elements. — 2016. — V. 67. — P. 115–125.
29. Zhao M.H. Extended displacement discontinuity method for analysis of cracks in 2D
poezoelectricsemiconductors / M.H. Zhao, Y.B. Pan, C.Y. Fan, G.T. Xu // Inter-
national Journal of Solids and Structures. — 2016. — V. 94–95. — P. 50–59.
30. Zhou Y. Semi-analytical solution for orthotropic piezoelectric laminates in cylindri-
cal bending with interfacial imperfections / Y. Zhou, W.Q. Chen, C.F. Lu //
Composite Structures. — 2010. — 92, N 4. — P. 1009–1018.
Надійшла 10.09.2018
|
| id | journaliasakpiua-article-150075 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:11Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/18/b63ebefb793b44f569d19abcff7d1518.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1500752019-01-17T13:31:43Z Mathematical modeling of the electrostressed state in the orthotropic piezoelectric space with an arbitrary orientated circle crack under uniaxial tension Математическое моделирование электроупругого состояния ортотропного пьезоэлектрического тела с произвольно ориентированной круговой трещиной при одноосном растяжении Математичне моделювання электронапруженого стану ортотропного п’єзоелектричного тіла з довільно орієнтованою круговою тріщиною за одновісного розтягу Kirilyuk, V. S. Levchuk, Olga I. mathematical modeling coupled equations systems of electroelasticity orthotropic piezoelectric materials circular crack arbitrary orientation uniaxial tension stress state математическое моделирование связанная система уравнений электроупругости ортотропный пьезоэлектрический материал круговая трещина призвольная ориентация однородные нагрузки напряженное состояние математичне моделювання зв’язана система рівнянь електропружності ортотропний п’єзоелектричний матеріал кругова тріщина довільна орієнтація одновісний розтяг напружений стан A mathematical model for the analysis of the stress state in an orthotropic electroelastic material with an arbitrary orientated circular crack is developed. The model is based on the consideration of the coupled system of equations of static electroelasticity. The problem on electric and stress states in orthotropic piezoelectric space with an arbitrary orientated circular crack under homogeneous loads was considered. The solution of the problem was obtained by means of the triple Fourier transform and Fourier image of Green's function for an infinite anisotropic piezoelectric medium. This approach was tested in the case of the location crack in the isotropy plane of transversely isotropic piezoelectric material for which there was an exact solution of the problem. The comparison of the calculated results confirmed the efficiency of the used approach. Numerical experiments were carried out and distributions of stress intensity factors along the front of the arbitrary orientated circular crack in orthotropic piezoelectric materials under the uniaxial tension were studied. Развита математическая модель для анализа напряженного состояния в ортотропном электроупругом материале с произвольно ориентированной круговой трещиной. Модель базируется на рассмотрении связанной системы уравнений статики электроупругости. Рассмотрена задача об электрическом и напряженном состояниях в ортотропном электроупругом пространстве с произвольно ориентированной круговой трещиной при однородных нагружениях. Решение задачи получено с омощью тройного преобразования Фурье и Фурье-образа функции Грина для бесконечной анизотропной пьезоэлектрической среды. Тестирование подхода проводилось для случая расположения трещины в плоскости изотропии пьезоэлектрического трансверсально-изотропного материала, для которого существует точное решение задачи. Сравнение результатов вычислений подтверждает эффективность применяемого подхода. Проведены числовые исследования и изучено распределение напряжений вдоль фронта круговой трещины при разных ее ориентациях в электроупругом ортотропном материале при одноосном растяжении. Развинуто математичну модель для аналізу напруженого стану в ортотропному електропружному матеріалі з довільно орієнтованою круговою тріщиною. Модель ґрунтується на розгляді зв’язаної системи рівнянь статики електропружності. Розглянуто задачу про електричний та напружений стани в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою круговою тріщиною за однорідних навантажень. Розв’язок задачі отримано за допомогою потрійного перетворення Фур’є та Фур’є-образу функції Гріна для нескінченного анізотропного п’єзоелектричного середовища. Тестування підходу виконано для випадку розташування тріщини у площині ізотропії трансверсально-ізотропного п’єзоелектричного матеріалу, для якого існує точний розв’язок задачі. Порівняння результатів обчислень підтверджує ефективність використаного підходу. Проведено числові дослідження, вивчено розподіл напружень вздовж фронту кругової тріщини за різних її орієнтацій в електропружному ортотропному матеріалі в разі одновісного розтягу. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-10-16 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/150075 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.06 System research and information technologies; No. 3 (2018); 68-79 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2018); 68-79 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2018); 68-79 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/150075/149282 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | математичне моделювання зв’язана система рівнянь електропружності ортотропний п’єзоелектричний матеріал кругова тріщина довільна орієнтація одновісний розтяг напружений стан Kirilyuk, V. S. Levchuk, Olga I. Математичне моделювання электронапруженого стану ортотропного п’єзоелектричного тіла з довільно орієнтованою круговою тріщиною за одновісного розтягу |
| title | Математичне моделювання электронапруженого стану ортотропного п’єзоелектричного тіла з довільно орієнтованою круговою тріщиною за одновісного розтягу |
| title_alt | Mathematical modeling of the electrostressed state in the orthotropic piezoelectric space with an arbitrary orientated circle crack under uniaxial tension Математическое моделирование электроупругого состояния ортотропного пьезоэлектрического тела с произвольно ориентированной круговой трещиной при одноосном растяжении |
| title_full | Математичне моделювання электронапруженого стану ортотропного п’єзоелектричного тіла з довільно орієнтованою круговою тріщиною за одновісного розтягу |
| title_fullStr | Математичне моделювання электронапруженого стану ортотропного п’єзоелектричного тіла з довільно орієнтованою круговою тріщиною за одновісного розтягу |
| title_full_unstemmed | Математичне моделювання электронапруженого стану ортотропного п’єзоелектричного тіла з довільно орієнтованою круговою тріщиною за одновісного розтягу |
| title_short | Математичне моделювання электронапруженого стану ортотропного п’єзоелектричного тіла з довільно орієнтованою круговою тріщиною за одновісного розтягу |
| title_sort | математичне моделювання электронапруженого стану ортотропного п’єзоелектричного тіла з довільно орієнтованою круговою тріщиною за одновісного розтягу |
| topic | математичне моделювання зв’язана система рівнянь електропружності ортотропний п’єзоелектричний матеріал кругова тріщина довільна орієнтація одновісний розтяг напружений стан |
| topic_facet | mathematical modeling coupled equations systems of electroelasticity orthotropic piezoelectric materials circular crack arbitrary orientation uniaxial tension stress state математическое моделирование связанная система уравнений электроупругости ортотропный пьезоэлектрический материал круговая трещина призвольная ориентация однородные нагрузки напряженное состояние математичне моделювання зв’язана система рівнянь електропружності ортотропний п’єзоелектричний матеріал кругова тріщина довільна орієнтація одновісний розтяг напружений стан |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/150075 |
| work_keys_str_mv | AT kirilyukvs mathematicalmodelingoftheelectrostressedstateintheorthotropicpiezoelectricspacewithanarbitraryorientatedcirclecrackunderuniaxialtension AT levchukolgai mathematicalmodelingoftheelectrostressedstateintheorthotropicpiezoelectricspacewithanarbitraryorientatedcirclecrackunderuniaxialtension AT kirilyukvs matematičeskoemodelirovanieélektrouprugogosostoâniâortotropnogopʹezoélektričeskogotelasproizvolʹnoorientirovannojkrugovojtreŝinojpriodnoosnomrastâženii AT levchukolgai matematičeskoemodelirovanieélektrouprugogosostoâniâortotropnogopʹezoélektričeskogotelasproizvolʹnoorientirovannojkrugovojtreŝinojpriodnoosnomrastâženii AT kirilyukvs matematičnemodelûvannâélektronapruženogostanuortotropnogopêzoelektričnogotílazdovílʹnooríêntovanoûkrugovoûtríŝinoûzaodnovísnogoroztâgu AT levchukolgai matematičnemodelûvannâélektronapruženogostanuortotropnogopêzoelektričnogotílazdovílʹnooríêntovanoûkrugovoûtríŝinoûzaodnovísnogoroztâgu |