Приклад дослідження коректності крайових задач на основі методу дифеоморфізмів

The search for methods for checking correctness of boundary value problems in spaces of an infinite-dimensional argument is one of the problems of the infinite-dimensional analysis. In this paper, the author proposed a method to broaden the class of correct problems by reducing them to already previ...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2018
Main Author:	Potapenko, Oleksii Yu.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018
Subjects:	гільбертів простір ріманів многовид дифеоморфізм борелівська міра диференціювання мір оператор Лапласа задача Діріхле
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/150220
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1866302256689709056
author	Potapenko, Oleksii Yu.
author_facet	Potapenko, Oleksii Yu.
author_sort	Potapenko, Oleksii Yu.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-01-17T13:31:43Z
description	The search for methods for checking correctness of boundary value problems in spaces of an infinite-dimensional argument is one of the problems of the infinite-dimensional analysis. In this paper, the author proposed a method to broaden the class of correct problems by reducing them to already previously considered "canonical type" problems. The reduction process consists of searching for a special class diffeomorphism between Riemannian manifolds, areas in Hilbert’s space among them, which allows to reduce the problem to a simpler one. Boundary value problems are considered in "L2-version". This paper provides an example of such a problem. To fulfill the example, Fréchet derivatives of the diffeomorphism and the inverse mapping are found; diffeomorphism boundedness — a condition of the theorem about a boundary value problem associated with diffeomorphism applicability — is proved.
doi_str_mv	10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.08
first_indexed	2025-07-17T10:24:12Z
format	Article
fulltext	 А.Ю. Потапенко, 2018 Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 91 УДК 517.98+517.95 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.08 ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ДИФФЕОМОРФИЗМОВ А.Ю. ПОТАПЕНКО Аннотация. Одной из задач бесконечномерного анализа является поиск мето- дов исследования корректности краевых задач в пространстве бесконечномер- ного аргумента. Предложен метод расширения класса корректных задач све- дением их к задачам «канонического типа», рассмотренным ранее. Процесс такого сведения состоит в поиске диффеоморфизма определенного класса ме- жду римановыми многообразиями, в том числе между областями гильбертово- го пространства, при котором удается исходную задачу преобразовать в более простую. Краевая задача рассматривается в « 2L -версии». Приведен пример такой задачи; для его реализации найдены производные в сильном смысле диффеоморфизма и обратного отображения. Доказана ограниченность диффе- оморфизма — условие использования теоремы о краевой задаче, ассоцииро- ванной с диффеоморфизмом. Ключевые слова: гильбертово пространство, риманово многообразие, диф- феоморфизм, борелевская мера, дифференцирование мер, оператор Лапласа, задача Дирихле. ВВЕДЕНИЕ Данная работа является продолжением работы [1]. Основным результатом работы [1] является теорема, позволяющая расширить класс корректных краевых задач на римановом многообразии, и, в частности, на гильбертовом пространстве, путем сведения ассоциированной с диффеоморфизмом крае- вой задачи к задаче Дирихле определенного вида (задаче Дирихле на гиль- бертовом пространстве [2]). Представлен пример использования основного результата работы [1] для сведения определенного класса краевых задач на гильбертовом пространстве к задаче, ранее исследованной в работе [2]. Цель работы — проиллюстрировать метод расширения класса кор- ректных краевых задач из работы [1] конкретным примером. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Пусть M — риманово сепарабельное многообразие класса 2C с модельным пространством H . Риманов тензор позволяет для каждого Mp задать на MTp скалярное произведение p),(),(  , а следовательно, и соответст- вующую норму  = p  . Таким образом, следующее определение корректно. Определение. Пусть 21, MM — римановы многообразия; диффеомор- физм 21: MMF  будем называть ограниченным, если существует такое А.Ю. Потапенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 92 0K , что для всяких 1Mp и 2Mq выполняются неравенства KpF  )( и KqF  )()( 1 . Определение. Атлас )},φ{( φU ( HU φ:φ ) риманового многооб- разия M будем называть равномерным [3], если существуют такие ,0r 0δ,δ  , что 1) для каждой точки Mp существует такая карта ),φ( pp U , что }‖)(φ‖:{))(φ()(φ rqpHqpBU pprpp  ; 2) для каждых MTUqMp qp  ξ,, выполняется  22φ ξξδ qH p 2φ ξδ H p для карты ),φ( pp U из п. 1). Обозначим через )(MCb пространство всех ограниченных непрерыв- ных вещественных функций на M , через );( TMMCb пространство всех непрерывных ограниченных векторных полей на M , через )(1 MCb (соот- ветственно, );(1 TMMCb ) пространство всех функций )(MCf b (соответст- венно, полей );( TMMCbX ), дифференцируемых в каждой точке Mx с непрерывной и ограниченной на всем M производной )(f (соответствен- но )(X ). Здесь MTpf p )(  определен формулой ppMTpf Y:)( fpY ; )( pX — линейный оператор в MTp , определённый формулой XYX Yppp  :)( , где  — связность Леви–Чивиты на M (бесконечно- мерный вариант [4, с. 83]. Через xt Z обозначим поток векторного поля Z . Пусть 21, MM — сепарабельные римановы многообразия с равномер- ными атласами; 1G — область с гладкой границей в 1M ; )( 11 GS  ; )( 12 GFG  — область с гладкой границей в 2M ; )()( 212 GSFS  ; на 1M задана мера с полным носителем 1μ . Пусть известно, что оператор градиента на 1G 1Ggrad замыкаем; на 1M фиксировано строго трансверсальное к 1S поле )( 1 1 1 MCbn . Под строгой трансверсальностью понимается существование такого 0T , что для всех 1Sp выполняется неравенство Tpp pS ))(),(( 11 nn , где 1Sn — поле внешней единичной нормали. Пусть также логарифмическая произ- водная 1μ1 div n меры 1μ вдоль поля 1n обладает свойством )μ,()(\|div 1111μ 11 GLGLG  n . Данное условие, вместе с замыкаемостью 1Ggrad , позволяет корректно определить граничный оператор следа )τ,()()(:γ 112121 1 SLSLD G grad , Пример исследования корректности краевых задач на основе метода диффеоморфизмов Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 93 который является расширением на )( 1GD grad оператора ограничения: 1 \|Suu  для функций )( 1 1 GCu — непрерывно дифференцируемых на 1G функций. На гильбертовом пространстве граничный оператор следа введен в работе [2], случай риманового многообразия аналогичен. Поверхностная мера 1τ на 1S задается соотношением ,μτ 1 1n1 1 0 1    GtS t df dt d df справедливым для всякой )(MCf b [5]. Дивергенция по мере на 1G определяется следующим образом: .)\|(div Ker 111  GG grad Пусть теперь ))(())((')( 1 1 1 2   FFF nn и ))((μ)(μ 1 12 AFA  . В рабо- те [1] доказано, что в случае замыкаемости 1Ggrad и выполнения приведен- ных выше достаточных условий корректности определения 1γ и 1 divG на 1G соответствующие операторы 2Ggrad , 2γ и 2 divG также корректно опре- делены. Рассмотрим следующую краевую задачу в области риманового много- образия, корректность которой (под корректностью здесь и далее понимает- ся существование и единственность решения) на гильбертовом пространстве обоснована в работе [6], на римановом многообразии для случая 1k — в работах [7–8]: ;)(div 11 fuauk GG grad (1) φ,)(γ1 u (2) где .γImφ,0α)(,0δ)(,)(,)(,)( 111 1 12  xaxkGCaGCkGLf Следующая теорема, доказанная в работе [1], позволяет расширить класс корректных краевых задач. Теорема 1. Функция 2uu  будет решением ( F -ассоциированной) краевой задачи на 22 MG  : ;)())))(())((()((div 11111 22   FfuFauFFFFFk GG  grad 1 2 φ)(γ  Fu  в том и только том случае, если Fuuu 21  будет решением задачи Ди- рихле (1)–(2). ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть H — гильбертово пространство; 2G — область в H с гладкой гра- ницей 22 GS  ; пусть также }0:{ 212 KyKHyG  ; 2 — гранич- А.Ю. Потапенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 94 ный оператор следа на 2G . Пусть );();();( 22 1 22 GCaGCkGLh  2Im;0)(;0)(  yayk . Рассмотрим краевую задачу относи- тельно )(yuu  : ),()()())),((β)()(((div 222 2 yhyuyayyyuyuyyk GGG  gradgrad (3) где 1β  , с краевым условием .φ)(γ2 u (4) Докажем при помощи теоремы 1, что задача (3)–(4) сводится к рас- смотрению варианта задачи Дирихле в гильбертовом пространстве, иссле- дованного в работе [6]. ПОСТРОЕНИЕ ДИФФЕОМОРФИЗМА Пусть 11β1α  . Рассмотрим отображение .: α xxxF  Не составляет труда найти обратное к F отображение: .: α1 α 1 yyyF    Заметим, что тут неравенство 1α1β  критично, иначе F не будет обратимым. Обозначим }0:{})(0:{)( α1 1 2 α1 1 1212 1 1   KxKHxKxFKHxGFG . Для удобства обозначим α1 1 22 α1 1 11 ,   KTKT , тогда 1G является под- множеством кольца }0:{ 21 TxTHx  . Поскольку 1F — гладкое отображение, то граница 1G )( 2 1 11 SFGS  будет гладкой. Везде в дальнейшем рассматриваем F как функцию из 1G в 2G , а 1F , соответственно, как функцию из 2G в 1G . ПРОИЗВОДНАЯ ДИФФЕОМОРФИЗМА Лемма 1. .),()( 2αα xzxxzxzxF  Доказательство. Необходимо доказать, что )(),(‖‖)()( 2αα hoxhxxhxxFhxF = . Используя формулу производной сложной функции и тождество xx 2)( 2  , получаем Пример исследования корректности краевых задач на основе метода диффеоморфизмов Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 95   xxxxx 2α1 2 α 2α α2) 2 α )( ( ),(),(α 2ααα hohxxxhx   следовательно   xhxxxhxxhxxhxxFhxF )),(α(),()()( 2ααα2αα  hoxhohxhx )1()()( αα )(),()()( 2αα hoxhxxhxxFhxF =  . Следствие 1. Для 1Gx выполняется      ).0,1(α,)1( ;0α,)1( )( α 1 α 2 T T xF Доказательство. Поскольку для любого 1Gx  21,TTx  , то        ).0,1(,)1( ;0,)1( )1( ),( ‖‖ )( α 1 α 2α 1αα T T x z zxx z zx z zxF ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ К ДИФФЕОМОРФИЗМУ Лемма 2. .),( α1 α )()( α1 2α3 α1 α 1 yzyyyzzyF        Доказательство. Необходимо доказать, что )(),( α1 α )()( α1 2α3 α1 α 11 hoyhyyyhyFhyF =       . Используя формулу производной сложной функции и тождество yy 2)( 2  , получаем                    α1 α321 α22 α 2 α1 α α1 α 2)( α22 α yyyy ),(),( α1 α α1 2α3 α1 α α1 α hohyyyhy           следовательно         yhyyyhyFhyF ),( α1 α )()( α1 2α3 α1 α 11                yhyyyhy ),( α1 α α1 2α3 α1 α α1 α            hoyhohyhy )1()(α1 α α1 α А.Ю. Потапенко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 3 96 ).(),( α1 α )()( α1 2α3 α1 α 11 hoyhyyyhyFhyF =       Следствие 2. Для 2Gy выполняется                   ).0,1(α, α1 1 ;0α, α1 α21 )()( α1 α 2 α1 α 11 K K yF Доказательство. Поскольку для любого 2Gy  21, KKy  , то         z zyy z zy z zyF ),( α1 α)()( α1 1+2α α1 α1                       ).0,1(α, α1 1 ;0α, α1 α21 α1 αα1 α1 α 2 α1 α 1 α1 α K K y Таким образом, из следствий 1 и 2 следует, что F является ограничен- ным диффеоморфизмом. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ (3)–(4) К ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ СПЕЦИАЛЬНОГО ТИПА Заметим, что оператор )(xF  является самосопряженным, следовательно  zxFxF )())((             xxzxxzxxxxzxxzxx ),(,α),(α 2αα2α2ααα ,),(β),()α2(α 2α2α22α2α2 xxzxzxxxzxzx   а потому     yyzyzyyFFyFF ),(β))(()))((( α1 2 α1 α2 1*1 ).),(β()()),(β( 2212 α1 2 yyzzyyFyyzzyy    Пусть 1γ — граничный оператор следа на 1G . Опираясь на теорему 1 и полученные выше результаты, доказываем следующую теорему. Теорема 2. Функция )()( 2 yuyu  будет решением задачи (3)–(4) на об- ласти 2G тогда и только тогда, когда функция ))(()()( 21 xFuxuxu  станет решением такой задачи Дирихле на области )( 2 1 1 GFG  : ,)())(((div 11 2 FhuFauFk GG   grad (5) Пример исследования корректности краевых задач на основе метода диффеоморфизмов Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 3 97 .φ)(γ1 Fu  (6) Замечание. Задача (5)–(6) действительно будет задачей Дирихле в тер- минах работы [6], задачей вида (1)–(2), так как для любого 1Gy : 02 1 2 Ty . ВЫВОДЫ В работе рассмотрен пример краевой задачи, ассоциированной с диффео- морфизмом между областями в гильбертовом пространстве, и проиллюст- рирован метод доказательства корректности определенного класса краевых задач. В контексте дальнейших исследований видится целесообразным про- должение рассмотрения пар диффеоморфных римановых многообразий и получение таким образом новых классов корректных краевых задач. ЛИТЕРАТУРА 1. Потапенко А.Ю. Краевая задача, ассоциированная с диффеоморфизмом между римановыми многообразиями / А.Ю. Потапенко // Системные исследования и информационные технологии. — 2018. — № 1. — С. 132–140. 2. Богданский Ю.В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона в 2L -версии / Ю.В. Богданский // Укр. мат. журн. — 2011. — 63, № 9. — C. 1169–1178. 3. Потапенко О.Ю. Нескінченновимірні ріманові многоводи з рівномірною стру- ктурою / О.Ю. Потапенко // Наукові вісті НТУУ «КПI». — 2016. — Т. 108, № 4. — С. 73–79. 4. Далецкий Ю.Л. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия / Ю.Л. Далецкий, Я.И. Белопольская. — К.: Вища шк., 1989. — 296 c. 5. Богданский Ю.В. Граничный оператор следа в области гильбертова простран- ства и характеристическое свойство его ядра / Ю.В. Богданский // Укр. мат. журн. — 2015. — 67, № 11. — C. 1450–1460. 6. Богданский Ю.В. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом пространстве / Ю. В. Богданский, Я.Ю. Санжаревский // Укр. мат. журн. — 2014. — 66, № 6. — C. 733–739. 7. Богданский Ю.В. Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Ди- рихле. I / Ю.В. Богданский, А.Ю. Потапенко // Укр. мат. журн. — 2016. — 68, № 7. — C. 897–907. 8. Богданский Ю.В. Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Ди- рихле. II / Ю.В. Богданский, А.Ю. Потапенко // Укр. мат. журн. — 2016. — 68, № 11. — C. 1443–1449. Поступила 15.03.2018
id	journaliasakpiua-article-150220
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Russian
last_indexed	2025-07-17T10:24:12Z
publishDate	2018
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/78/72c26c2f57735fe4b108147339e97d78.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1502202019-01-17T13:31:43Z An example of researching boundary value problems correctness using diffeomorphism method Пример исследования корректности краевых задач на основе метода диффеоморфизмов Приклад дослідження коректності крайових задач на основі методу дифеоморфізмів Potapenko, Oleksii Yu. Hilbert space Riemannian manifold diffeomorphism Borel measure derivation of measures Laplacian Dirichlet problem гильбертово пространство риманово многообразие диффеоморфизм борелевская мера дифференцирование мер оператор Лапласа задача Дирихле гільбертів простір ріманів многовид дифеоморфізм борелівська міра диференціювання мір оператор Лапласа задача Діріхле The search for methods for checking correctness of boundary value problems in spaces of an infinite-dimensional argument is one of the problems of the infinite-dimensional analysis. In this paper, the author proposed a method to broaden the class of correct problems by reducing them to already previously considered "canonical type" problems. The reduction process consists of searching for a special class diffeomorphism between Riemannian manifolds, areas in Hilbert’s space among them, which allows to reduce the problem to a simpler one. Boundary value problems are considered in "L2-version". This paper provides an example of such a problem. To fulfill the example, Fréchet derivatives of the diffeomorphism and the inverse mapping are found; diffeomorphism boundedness — a condition of the theorem about a boundary value problem associated with diffeomorphism applicability — is proved. Одной из задач бесконечномерного анализа является поиск методов исследования корректности краевых задач в пространстве бесконечномерного аргумента. Предложен метод расширения класса корректных задач сведением их к задачам "канонического типа", рассмотренным ранее. Процесс такого сведения состоит в поиске диффеоморфизма определенного класса между римановыми многообразиями, в том числе между областями гильбертового пространства, при котором удается исходную задачу преобразовать в более простую. Краевая задача рассматривается в "L2-версии". Приведен пример такой задачи; для его реализации найдены производные в сильном смысле диффеоморфизма и обратного отображения. Доказана ограниченность диффеоморфизма — условие использования теоремы о краевой задаче, ассоциированной с диффеоморфизмом. Одним із завдань нескінченновимірного аналізу є пошук методів дослідження коректності крайових задач у просторі нескінченновимірного аргументу. Запропоновано метод розширення класу коректних задач їх зведення до задач "канонічного типу", розглянутих раніше. Процес такого зведення полягає в пошуку дифеоморфізму певного класу між рімановими багатовидами, у тому числі областями гільбертового простору, за якого вдається вихідну задачу перетворити на більш просту. Крайова задача розглядається в "L2-версії". Подано приклад такої задачі; для його реалізації знайдено похідні в сильному сенсі дифеоморфізму і оберненого відображення. Доведено обмеженість дифеоморфізму — умову використання теореми про крайову задачу, асоційовану з дифеоморфізмом. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-10-16 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/150220 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.3.08 System research and information technologies; No. 3 (2018); 91-97 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2018); 91-97 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2018); 91-97 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/150220/149357 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	гільбертів простір ріманів многовид дифеоморфізм борелівська міра диференціювання мір оператор Лапласа задача Діріхле Potapenko, Oleksii Yu. Приклад дослідження коректності крайових задач на основі методу дифеоморфізмів
title	Приклад дослідження коректності крайових задач на основі методу дифеоморфізмів
title_alt	An example of researching boundary value problems correctness using diffeomorphism method Пример исследования корректности краевых задач на основе метода диффеоморфизмов
title_full	Приклад дослідження коректності крайових задач на основі методу дифеоморфізмів
title_fullStr	Приклад дослідження коректності крайових задач на основі методу дифеоморфізмів
title_full_unstemmed	Приклад дослідження коректності крайових задач на основі методу дифеоморфізмів
title_short	Приклад дослідження коректності крайових задач на основі методу дифеоморфізмів
title_sort	приклад дослідження коректності крайових задач на основі методу дифеоморфізмів
topic	гільбертів простір ріманів многовид дифеоморфізм борелівська міра диференціювання мір оператор Лапласа задача Діріхле
topic_facet	Hilbert space Riemannian manifold diffeomorphism Borel measure derivation of measures Laplacian Dirichlet problem гильбертово пространство риманово многообразие диффеоморфизм борелевская мера дифференцирование мер оператор Лапласа задача Дирихле гільбертів простір ріманів многовид дифеоморфізм борелівська міра диференціювання мір оператор Лапласа задача Діріхле
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/150220
work_keys_str_mv	AT potapenkooleksiiyu anexampleofresearchingboundaryvalueproblemscorrectnessusingdiffeomorphismmethod AT potapenkooleksiiyu primerissledovaniâkorrektnostikraevyhzadačnaosnovemetodadiffeomorfizmov AT potapenkooleksiiyu prikladdoslídžennâkorektnostíkrajovihzadačnaosnovímetodudifeomorfízmív AT potapenkooleksiiyu exampleofresearchingboundaryvalueproblemscorrectnessusingdiffeomorphismmethod

Приклад дослідження коректності крайових задач на основі методу дифеоморфізмів

Institution

Similar Items