Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра слабких розв’язків кліматологічної моделі Будико–Селлерса
A qualitative analysis of the solutions behavior for the Budyko–Sellers energy balance climate model, considered on the Riemannian manifold without the boundary, is carried out. The global existence of the weak solution for the investigated problem with arbitrary initial data from the phase space is...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2018
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/152058 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334344152973312 |
|---|---|
| author | Zgurovsky, Michael Z. Kasyanov, Pavlo O. Gorban, Nataliia V. Paliichuk, Liliia S. |
| author_facet | Zgurovsky, Michael Z. Kasyanov, Pavlo O. Gorban, Nataliia V. Paliichuk, Liliia S. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Michael Z. Zgurovsky",
"institution": "Національний технічний університет України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
},
{
"author": "Pavlo O. Kasyanov",
"institution": "Навчально-науковий комплекс \"Інститут прикладного системного аналізу\" Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
},
{
"author": "Nataliia V. Gorban",
"institution": "Інститут прикладного системного аналізу Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
},
{
"author": "Liliia S. Paliichuk",
"institution": "Інститут прикладного системного аналізу Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
}
] |
| author_sort | Zgurovsky, Michael Z. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-04-26T15:57:21Z |
| description | A qualitative analysis of the solutions behavior for the Budyko–Sellers energy balance climate model, considered on the Riemannian manifold without the boundary, is carried out. The global existence of the weak solution for the investigated problem with arbitrary initial data from the phase space is established. Solutions properties and regularity are studied. The Lyapunov function is found. The theorems on the existence of global and trajectory attractors for multi-valued semi-flow generated by all weak solutions of the problem are proved. The properties of attractors are studied. The relationship between attractors and the space of complete trajectories of the problem is established. The character of attraction of solutions to global and trajectory attractors and their structure are investigated. The finite-dimensionality up to a small parameter of the solutions dynamics for the problem is established. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.4.01 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
М.З. Згуровський, П.О. Касьянов, Н.В. Горбань, Л.С. Палійчук, 2018
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 4 7
TIДC
ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИ
І МЕТОДИ СИСТЕМНОГО АНАЛІЗУ
УДК 517.9
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.4.01
ЯКІСНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА СКІНЧЕННОВИМІРНІСТЬ
З ТОЧНІСТЮ ДО МАЛОГО ПАРАМЕТРА СЛАБКИХ РОЗВ’ЯЗКІВ
КЛІМАТОЛОГІЧНОЇ МОДЕЛІ БУДИКО–СЕЛЛЕРСА
М.З. ЗГУРОВСЬКИЙ, П.О. КАСЬЯНОВ, Н.В. ГОРБАНЬ, Л.С. ПАЛІЙЧУК
Анотація. Проведено якісний аналіз поведінки розв’язків кліматологічної мо-
делі енергетичного балансу Будико–Селлерса, розглянутої на рімановому ба-
гатовиді без краю. Установлено глобальне існування слабкого розв’язку дослі-
джуваної задачі з довільними початковими даними з фазового простору,
вивчено його властивості, регулярність. Знайдено функцію Ляпунова. Доведе-
но теореми існування глобального та траєкторного атракторів для багатознач-
ного півпотоку, породженого всіма слабкими розв’язками задачі. Вивчено вла-
стивості атракторів, установлено взаємозв’язок між ними та простором повних
траєкторій задачі. Досліджено характер притягнення розв’язків до глобального
та траєкторного атракторів та їх структуру. Отримано скінченновимірність
з точністю до малого параметра динаміки розв’язків задачі.
Ключові слова: кліматологічна модель енергетичного балансу, глобальний
атрактор, траєкторний атрактор, скінченновимірність з точністю до малого па-
раметра, багатозначний півпотік, слабкий розв’язок.
ВСТУП
Вивчення клімату та дослідження його змін натепер є однією з найбільш
актуальних проблем сучасної науки. Зважаючи на це, дедалі більше
інтенсифікуються різнобічні дослідження математичних моделей, що
описують динаміку кліматичних процесів у довгостроковому періоді.
Значний математичний інтерес становить дослідження кліматологічної моделі
енергетичного балансу, в якій невідомою величиною є температура земної
поверхні. Моделі такого типу демонструють ефективність зворотного
зв’язку термічного режиму та альбедо поверхні. Уперше таку модель
опублікував у 1969 р. видатний вчений-кліматолог М.І. Будико [1]. У
тому ж році В.Д. Селлерс [2] опублікував дуже схожу модель
глобального клімату. Відмінність від моделі, запропонованої М.І. Будико,
полягала в параметризації меридіонального потоку тепла, який М.І. Будико
виводив з даних спостережень за енергетичним балансом, а В.Д. Селлерс —
з міркувань макродифузії. Їх праці були одними з перших і мали ключовий
вплив на розвиток та становлення математичного моделювання
кліматологічних моделей. Енергобалансові моделі клімату називають
М.З. Згуровський, П.О. Касьянов, Н.В. Горбань, Л.С. Палійчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 4 8
моделями Будико–Селлерса. Пізніше ці моделі вивчало багато науковців.
Зокрема у працях [3–5] розглядалось питання про розв’язність моделі
Будико–Селлерса, вивчалась її чутливість до малих збурень в одному
з визначальних параметрів задачі, а також досліджувалася відповідна
стаціонарна задача. Доцільно згадати праці [6–10], присвячені якісним
дослідженням слабких розв’язків задачі.
Мета роботи — дослідити якісні властивості та встановити
скінченновимірність з точністю до малого параметра динаміки розв’язків
кліматологічної моделі Будико–Селлерса, розглянутої на багатовиді без краю.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Нехай ),( gM — C -компактний зв’язний орієнтований двовимірний
рімановий багатовид без краю (наприклад, 2= SM — одинична сфера
в 3R ). Розглянемо задачу
,),(),()(),( MtxuxQSuxRu
t
u
e
R (1)
де )(div= uu MM ; M розуміється в сенсі метрики Рімана .g Зазначимо,
що включення (1) — це кліматологічна модель енергетичного балансу.
Невідома функція ),( txu у включенні (1) репрезентує середню температуру
земної поверхні. У праці [1] енергетичний баланс виражається через
варіацію температури, що становить DRR ea , причому ),()(= uxQSRa
де aR репрезентує сонячну енергію, яку поглинає Земля; 0>Q — сонячна
константа (середнє значення за рік і середнє по земній поверхні поглинутого
сонячного радіаційного потоку); )(xS — функція інсоляції, задана
розподілом сонячного випромінювання, що падає на верхні шари
атмосфери; — функція ко-альбедо, що описує співвідношення між
поглиненою та випромінюваною сонячною енергією в точці x земної
поверхні. Очевидно, що )),(( txu залежить від природи земної поверхні.
Наприклад, відомо, що на льодовиках значення )),(( txu є значно меншим,
ніж на поверхні океану, адже білий колір льоду відбиває більшу кількість
випромінюваної сонячної енергії, тоді як океан завдяки своєму темному
кольору та високій теплоємності поглинає більшу кількість випромінюваної
сонячної енергії. Тож природно, що )),(( txu може бути розривною.
Доданок eR виражає енергію, що випромінюється Землею. Як правило,
вважається, що eR — зростаюча за u функція. Доданок D виражає дифузію
тепла. З метою спрощення міркувань, не обмежуючи загальності,
припускається, що вона стала. Як правило, доданок eR обирають згідно із
законом Ньютона як лінійну функцію від u , CBuRe = (тут B , C —
деякі додатні константи) [1], або згідно із законом Стефана–Больцмана
4= uRe [2]. У цій роботі розглядаємо BuRe = , як і у праці [1].
Нехай для функції RMS : виконуються умови: )(MLS та
існують такі 0>, 10 SS , що .)(<0 10 SxSS Припустімо також, що —
багатозначне відображення в 2R , для якого існують такі m , RM , що для
всіх Rs і )(sz .
Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 4 9
.Mzm
Зауважимо, що випадок крайової задачі Неймана в обмеженій ділянці
простору R (на інтервалі 1,1)( ) досліджувався у працях [7, 8]. Включення
(1), задане на рімановому багатовиді без краю ),( gM , є більш природним
з огляду на практичні застосування [9, 10].
ДОПОМІЖНІ ВІДОМОСТІ З ТЕОРІЇ РІМАНОВИХ БАГАТОВИДІВ
Наведемо деякі відомі факти з теорії ріманових багатовидів без краю [11],
що будуть використані для отримання основних результатів.
Нехай nM — локально компактний та локально зв’язний багатовид
розмірності n . Нехай — відкрита множина; — гомеоморфізм на
відкриту множину з nR .
Означення. Дотичним вектором на nMP називається відображення
R )(: fXfX , визначене на множині диференційовних функцій
в околі P , де X задовольняє такі умови:
якщо , R , то );()(=)( gXfXgfX
0=)( fX , якщо f є флет-функцією, тобто )( 1fd є нулем
у )(P ;
)()()()(=)( fXPggXPffgX .
Означення. Дотичним простором )(MTp у nMP називається
множина дотичних векторів на P . Дотичний простір )(MT — це
)(MTpMP .
Означення. C рімановим багатовидом називається пара ),( gM n , де
nM — C диференційовний багатовид; g — C ріманова метрика.
Ріманова метрика — таке двічі коваріантне тензорне поле g (тобто перетин
)()( ** MTMT , де ),(=)( ** MTMT P
MP
)(* MTP — дуальний простір до
)(MTP ), що в кожній точці MP Pg — додатно визначена білінійна
симетрична форма: 0),(,),(),( XXgXYgYXg PPP , якщо 0X .
Рімановий багатовид nM — зв’язний C рімановий багатовид розмірності n .
Означення. Нехай ),( gM n — гладкий рімановий багатовид
розмірності n (гладкий в сенсі C ). Для дійсної функції , що належить
)( n
k MC , 0k ціле, визначимо: .=||
21
112
k
kk
Зокрема ||=|| 0 , 21 || . k
=|=| 2 позначає будь-яку k -ту
коваріантну похідну .
Розглянемо такий векторний простір p
kE C функцій , що
)(|| np
l ML для всіх l , kl 0 , де k і l — цілі; 1p — дійсне.
М.З. Згуровський, П.О. Касьянов, Н.В. Горбань, Л.С. Палійчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 4 10
Простір Соболєва )( n
p
k MH є доповненням до p
kE відповідно до норми
.=
0= p
l
k
l
p
kH
Простір )( n
p
k MH
— замикання )( nMD у просторі
)( n
p
k MH ; )( nMD — простір C функцій з компактним носієм у nM і
p
p LH =0 .
Теорема Кондракова. Нехай 0k — ціле, а , p і q — дійсні
числа. Тоді для компактних ріманових багатовидів nM та компактних
ріманових багатовидів nW з 1C -границею компактними є такі вкладення:
)()( npn
q
k MLMH і )()( npn
q
k WLWH , якщо 0>/1/>1/1 nkqp ;
)()( nn
q
k MCMH і )()( nn
q
k WCWH , якщо qnk /> , 1<0 .
ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ
У процесі дослідження розглядатимемо такі дійсні гільбертові простори
)}(:)({:=),(:= 222 TMLuMLuVMLH M
з відповідними нормами ,
H
V
та скалярними добутками ,),( H ,),( V де
TM — дотичне розшарування. Функціональні простори )(2 ML і )(2 TML
визначені стандартно (див., наприклад [11]). Нехай *V — дуальний простір
до функціонального простору V . Зауважимо, що ,*VHV причому всі
вкладення компактні та щільні (див., наприклад [11, теорема 2.34]).
Нехай <<< T . Функція );,()( 2 VTLu є слабким розв’язком
задачі (1) на ],[ T , якщо існує така вимірна функція R ),(: TMd , що
)),(()(),( txuxQStxd для м.в. ),,(),( TMtx
0,=,),,,(,, dtdutRu
t
u e
T
для всіх )),,((0 TMC де , — спарювання в просторі V .
Нехай <<< T . Розглянемо більш загальне еволюційне
включення:
0),(),( 21 uxfuxfuut в ).,( TM (1)
Припустімо виконання таких умов.
Припущення росту. Існуть такі )(1
0 MLc , 0)(0 xc для м. в. Mx
та 01 c , що 2
10
2* ||)(|| ucxcui для м. в. Mx , для всіх Ru і
),(* uxfu ii , 1,2=i .
Припущення знака. Існує таке 1< , де 1 — перше власне значення
оператора в )(1
0 MH , і існує таке )(1
2 MLc , 0)(2 xc для м. в. Mx ,
Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 4 11
що )()( 2
2*
2
*
1 xcuuuu для м.в. Mx , для всіх Ru і ),(* uxfu ii ,
1,2=i .
Аналогічно визначається слабкий розв’язок );,()( 2 VTLu задачі (1)
на ],[ T .
Зауваження 1. За виконання поставлених вище припущень для
кожного слабкого розв’язку )(u задачі (1) на проміжку ],[ T існують
такі вимірні функції R ),(:, 21 TMdd , що )),(,(),( txuxftxd ii для
м.в. ),(),( TMtx , 1,2=i , та ),(),(=),( 21 txdtxdtxd для м.в. ),( tx
),( TM [9, 12].
Зауваження 2. Існування принаймні одного слабкого розв’язку задачі
Коші для включення (1) з довільними початковими умовами з простору H
за виконання поставлених припущень доведено в праці [13, розділ 2].
Зазначимо також, що кожен слабкий розв’язок задачі (1) на ],[ T є
регулярним, тобто для слабкого розв’язку )(u задачі (1) на ],[ T )
справедливо, що
))(;,()];,([)( 22 VMHTLVTCu , ),;,()( 2 HTLut
для кожного )(0, T [14, теорема 1]. Крім того, завдяки автономності
задачі кожен слабкий розв’язок можна продовжити до глобального,
визначеного на )[0, [13, c. 62].
Перейдемо до питань існування функції Ляпунова і глобального та
траєкторного атракторів. Зауважимо, що ці питання досліджувались
у працях [14–23]. Розглянемо сім’ю всіх слабких розв’язків задачі (1),
визначених на )[0, , яку позначимо через K . Зазначимо, що внаслідок
автономності задачі простір K — трансляційно інваріантний, тобто
Khu )( для всіх Ku )( та 0h . Розглянемо задачу (1) на всій
числовій осі. Нехай );( HLu R — повна траєкторія задачі (1), тобто
Kuh )(Π для всіх Rh , де Π — оператор звуження на інтервал
)[0, ; 0),(=)( shsusuh . Позначимо через K сім’ю всіх повних
траєкторій задачі (1). Згідно із зауваженням 2 та теоремою 2 для кожної
повної траєкторії )(u задачі (1) виконується
))(;,()];,([)( 22
, VMHTLVTCu locT Π , );,()( 2
, HTLutT Π
для всіх <<< T , де T,Π — оператор звуження на інтервал
],[ T (див. [24, c. 18]). Більш того, існує таке 0>
~
C , що для кожного Ku )(
виконується оцінка
))1(1(
~
)(
22
HV
tuCtu для всіх Rt .
Таким чином, кожна обмежена в H повна траєкторія є обмеженою у V .
Повна траєкторія Ku )( є стаціонарною, якщо існує такий елемент
VMHz )(2 , що ztu =)( для всіх Rt . Кожний такий елемент z
М.З. Згуровський, П.О. Касьянов, Н.В. Горбань, Л.С. Палійчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 4 12
називається точкою спокою. Позначимо множину всіх точок спокою
через Z .
Нагадаємо [13], що RVE : — функція Ляпунова для K , якщо:
а) E неперервна на V ;
б) ))(())(( suEtuE при Ku і 0>st ;
в) якщо const))(( uE для деякого Ku , то u — стаціонарна.
Покладемо:
,),()(|)(|
2
1
=)( 21
2 VuuJuJdxxuuE
M
(2)
де dxxuxfuJ iMi ))(,(=)( , Hu , 1,2=i .
Із припущення росту випливає, що існують такі )(1
3 MLc , 0)(3 xc
для м. в. Mx та 04 c , що 2
43 ||)(|),(| ucxcuxfi для м. в. Mx і для
всіх Ru , 1,2=i . Таким, чином, dxxuxfuJ iMi ))(,(=)( , Hu , 1,2=i
визначені коректно.
Теорема 1. За виконання припущень знака та росту відображення
RVE : визначене співвідношенням (2) є функцією типу Ляпунова для
K . Більш того, для кожного Ku , для всіх і T , <<<0 T ,
справджується енергетична рівність
.)(=))(())((
2
dssuuETuE
Ht
T
(3)
Доведення. Функція E неперервна в V , отже умова а) з означення
функції Ляпунова виконується.
Доведемо умову б) з означення функції Ляпунова. Зафіксуємо довільну
функцію Ku )( . Для спрощення запису позначатимемо звуження )(u
на ],[ T знову через )(u . Зауважимо, що )];,([)( VTCu
))(;,( 22 VMHTL і );,()( 2 HTLut (оскільки 0> ). Тоді
відображення dxtxutut
MV
22
|),(|=)( абсолютно неперервне на ],[ T
і для м. в. ),( Tt виконується рівність [25, розділ IV]:
.),(
),(
2=)(
2
dxtxu
t
txu
tu
dt
d
MV
(4)
Нехай R ),(: TMd — функція зі співвідношень (2) і (3), а
);,(, 2
21 HTLgg — із зауваження 1.
Із праці [26, лема 2.1] випливає, що ))(( uJi — абсолютно неперервні
на ],[ T і для м. в. ),( Tt справедлива рівність
,
),(
),(=))(( dx
t
txu
txhtuJ
dt
d
iMi
(5)
для всіх )(=|)(),( tusii sJth , 1,2=i .
Отже, функція ))(( uE — абсолютно неперервна на ],[ T як лінійна
комбінація абсолютно неперервних на ],[ T функцій. Згідно з рівностями
(4) і (5),
Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 4 13
2
)(=))((
Ht tutuE
dt
d
для м. в. ),( Tt . Звідси отримуємо рівність (5). Зокрема, ))(())(( suEtuE
за умови 0> stT . Оскільки Ku )( і <<<0 T — довільні, то
пункт б) з означення функції Ляпунова та енергетична рівність (3)
виконуються. Для завершення доведення зауважимо, що якщо
const))(( uE для деякого Ku , то згідно з рівністю (3) u — стаціонарна.
Теорему доведено.
У працях [13, c. 56 і 14, c. 274] показано, що для всіх T< та для
кожного слабкого розв’язку )(u задачі (1) на ],[ T справджується
нерівність
,)()(
*
)(*222
Tts
a
esutu st
HH
(6)
де 1
* = та dxxca
M
)(= 2 .
Визначимо на )(2 MHV еквівалентну норму
H
vv [27, розділ
III]. Перед доведенням результатів збіжності для всіх слабких розв’язків
у найсильніших топологіях необхідні деякі додаткові оцінки для слабких
розв’язків (1).
Теорема 2. Нехай виконуються умови росту і знака. Тоді існує таке
0>C , що для будь-якого T< і для кожного слабкого розв’язку )(u задачі
(1) на ],[ T
].,())()((1)()()()( 222
)(2
2
TttuCdssustut
HVMH
t
V
Доведення. Доведення теореми 2 подібне до доведення теореми 2
у праці [14] (див. також [8, 7]), проте за інших припущень щодо функції
взаємодії. Зауважимо, що доведення цього твердження наведено в праці [9].
Для будь-якого Hu покладемо
)(|);,()({)( 2
, uVTLuuD T — слабкий розв’язок задачі (1) і }.)( uu
Сформулюємо основні результати щодо збіжності всіх слабких
розв’язків задачі (1) в найсильніших топологіях.
Теорема 3. Нехай виконуються умови росту і знака, T< , uu n,
слабко в H , )()( ,, nTn uDu , 1n . Тоді існує послідовність 1}{ kkn і
)()( , uDu T такі, що
0,)()(sup
],[
Vkn
Tt
tutu (7)
0,)()(
2
,
dttutu
H
ttkn
T
(8)
якщо ,k для всіх )(0, T .
Доведення. Із теореми 2 [14, теорема 3], теореми Банаха–Алаоглу
діагональним методом Кантора отримуємо, що існує підпослідовність
М.З. Згуровський, П.О. Касьянов, Н.В. Горбань, Л.С. Палійчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 4 14
1}{ kkn і )()( , uDu T такі, що виконуються: a) звуження )(
knu та )(u на
],[ T належать ))(;,()];,([ 22 VMHTLVTC та )(),(, ttkn uu
);,(2 HTL і
),)(;,(вслабко)()( 22 VMHTLuu
kn
),;],([вслабко)()( VTCuu
kn
),;,(вслабко)()( 2
, HTLuu ttkn (9)
якщо k , для кожного )(0, T , звідки випливає твердження (7).
Доведемо нерівність (6). Із теореми 1 випливають енергетичні нерівності:
)),(())((=)(
2
TuEuEdttu
Ht
T
(10)
)),(())((=)(
2
, TuEuEdttu
knkn
H
tkn
T
(11)
1k , )(0, T . Із неперервності E на V і співвідношення (7) випливає
.)),(())(())(())(( mTuEuETuEuE
knkn (12)
Отже, із формул (10)–(12) маємо
,)()(
22
, dttudttu
Ht
T
H
tkn
T
(13)
якщо k , для кожного )(0, T . Оскільки );(2 TL — гільбертів
простір, то зі співвідношень (9) і (13) випливає (8).
Визначимо дійсний банахів простір W і норму в ньому:
)};,()(:)];,([)({=),( 21
2
2121 HMMLuVMMCuMMW t ;
,)()(=)(
);2,1(2)];2,1([)2,1( HMMLtVMMCMMW
uuu
де ),()( 21 MMWu , <<< 21 MM . Зауважимо, що існування функції
типу Ляпунова дозволяє отримати результат щодо збіжності в сильній
топології простору ),( TW для всіх слабких розв’язків задачі (1) на
],[ T , де <<< T .
Визначимо багатозначне відображення \2: HHG R таким чином:
}.=(0),)(|)({=),( 00 uuKutuutG
Теорема 4. Нехай виконуються умови росту і знака. Тоді багатозначне
відображення G є строгим багатозначним півпотоком.
Доведення. Доведення повторює міркування, наведене у праці [13,
лема 2.7]. Нехай 0)}({ hhT — трансляційна півгрупа, що діє на K , тобто
)(=)()( huuhT , 0h , Ku )( . На K розглянемо топологію,
індуковану з простору Фреше );( HCloc R . Зауважимо, що )()( ffn
Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 4 15
у );(loc HC R тоді і тільки тоді, коли )()(0> 0,0, ffM MnM ΠΠ
в )];([0, HMC .
Наступна теорема містить результати про нові структурні властивості
та регулярності глобального і траєкторного атракторів усіх слабких
розв’язків задачі (1).
Теорема 5. Нехай виконуються умови росту і знака. Тоді справедливе
твердження:
строгий багатозначний півпотік \2: HHG R має інваріантний
глобальний атрактор A ;
існує траєкторний атрактор KU у просторі K ;
виконуються рівності:
};(0)|)({=})(|)({== ARAΠU uKuttuKuK
A — компактна підмножина V ;
для кожної обмеженої в H множини B виконується
0)),,(( ABtGdistV , t ;
U — обмежена підмножина );( VL
R і UΠ M0, — компакт
у )(0,MW для кожного 0>M ;
для будь-якої обмеженої в );( HL
R множини KB і будь-якого
0M виконується
;0,),)(( 0,0,)(0, tBtTdist MMMW UΠΠ
K — обмежена підмножина );( VL R і UΠ M0, — компакт
у )(0,MW для 0>M ;
для кожного Ku граничні множини
ztuVzu j )(|{=)( у V для деякої послідовності }jt
ztuVzu j )(|{=)( у V для деякої послідовності }jt
є зв’язними підмножинами Z , на яких E — стала. Якщо Z повністю
незв’язна (зокрема, якщо Z — зліченна), границі у V
)(lim=),(lim= tuztuz
tt
існують і z , z — точки спокою; більш того, )(tu прямує у V до точки
спокою, якщо t , для кожного Ku .
Доведення. Доведення є прямим наслідком теорем 1, 2, 3, [7, теорема
3.5]. Крім того, останнє твердження випливає з теореми 1 і [28, теорема 2.7].
Для доведення скінченновимірності з точністю до малого параметра
розв’язків задачі потрібні дві допоміжні леми.
Нехай X — банахів простір; )(XP — сім’я непорожніх підмножин X ;
C — обмежена підмножина X . Міра Куратовського некомпактності )(Ck
множини C визначається як CCk :0{inf)( має скінченне відкрите
покриття множин діаметром }. Багатозначний півпотік XG R:
М.З. Згуровський, П.О. Касьянов, Н.В. Горбань, Л.С. Палійчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 4 16
\2X є -гранично компактним, якщо для кожної обмеженої множини
XC 0)),(( CtGk
t , .
Лема 1. Якщо багатозначний півпотік G у повному метричному
просторі X — асимптотично компактний, то він є -гранично компактним
[20, лема 2.4].
Лема 2. Нехай G — багатозначний півпотік у рівномірно опуклому
банаховому просторі X . Якщо багатозначний півпотік G — -гранично
компактний, то він задовольняє таку властивість: для кожної обмеженої
множини XC та 0> існує момент часу ),(0 Ct і скінченновимірний
підпростір E в просторі X такий, що для деякого обмеженого проектора
EXP : множина
),(
0
CtGP
tt обмежена в просторі X і
),0(),()(
0
CCtGPI
tt
де I — тотожне відображення в просторі X [20, лема 2.6].
Зауважимо, що твердження леми 2 фактично означає скінченновимірність
багатозначного півпотоку G з точністю до малого параметра . Перейдемо
до формулювання основної теореми.
Теорема 6. За виконання поставлених умов на параметри задачі (1)
багатозначний півпотік G , породжений розв’язками задачі (1), є
скінченновимірним з точністю до довільного заданого параметра , тобто
для кожної обмеженої множини HC та 0> існують такі ),(0 Ct ,
скінченновимірний підпростір E в H та обмежений проектор EHP : ,
що множина
0
),(
tt
CtGP обмежена в H та
0
),()(
tt
CtGPI
)0( C .
Доведення. Грунтуючись на властивостях слабкої та сильної збіжності
слабких розв’язків, асимптотичній компактності багатозначного
півпотокуG , беручи до уваги леми 1, 2 та враховуючи сепарабельність
гільбертового простору H , отримуємо необхідне твердження.
Наслідок. За виконання основних припущень на параметри задачі (1)
твердження теорем 1, 3, 4, 5, 6 справедливі для всіх слабких розв’язків
задачі (1).
Отже, для кліматологічної моделі Будико–Селлерса енергетичного
балансу, розглянутої на рімановому багатовиді без краю, вирішено
поставлені завдання, а саме: установлено існування розв’язку поставленої
задачі з довільними початковими даними з фазового простору, вивчено його
властивості, регулярність (зауваження 2, теорема 2); знайдено функцію
Ляпунова (теорема 1); установлено характер залежності розв’язків від
початкових даних (теорема 3); доведено існування глобального (теорема 5) і
траєкторного (теорема 5) атракторів, вивчено їх властивості (теорема 5),
установлено взаємозв’язок між ними та простором повних траєкторій задачі
(теорема 5), досліджено характер притягнення розв’язків до глобального та
траєкторного атракторів (теорема 5) і з’ясовано їх структуру (теорема 5),
установлено скінченновимірність розв’язків з точністю до малого параметра
(теорема 6).
Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2018, № 4 17
ВИСНОВКИ
У ході дослідження на основі ідей, методів та підходів нелінійного та
багатозначного аналізу, теорії нелінійних еволюційних рівнянь та включень,
теорії глобальних і траєкторних атракторів багатозначних півпотоків для
кліматологічної моделі Будико–Селлерса енергетичного балансу, що
містить у собі нелінійне еволюційне включення параболічного типу,
розглянутої на рімановому багатовиді без краю, отримано такі результати:
установлено існування розв’язку поставленої задачі з довільними
початковими даними з фазового простору, вивчено його властивості,
регулярність; знайдено функцію Ляпунова; вивчено характер залежності
розв’язків від початкових даних; доведено існування глобального та
траєкторного атракторів, установлено їх топологічні властивості та
взаємозв’язок між ними та простором повних траєкторій задачі, досліджено
характер притягнення розв’язків до глобального та траєкторного атракторів
і з’ясовано їх структуру; установлено скінченновимірність розв’язків з
точністю до малого параметра. Отриманi результати будуть корисними і
зможуть знайти своє застосування в подальших теоретичних та прикладних
дослiдженнях проблем клiмату.
Результати досліджень частково підтримані грантом Президента
України GP/F75/127-2018.
ЛІТЕРАТУРА
1. Budyko M.I. The effects of solar radiation variations on the climate of the Earth /
M.I. Budyko // Tellus. — 1969. — 21. — P. 611–619.
2. Sellers W.D. A global climatic model based on the energy balance of the Earth-
atmosphere system / W.D. Sellers // J. Appl. Meteorol. — 1969. — 8. —
P. 392–400.
3. D i az H. On a stochastic parabolic PDE arising in climatology / H. D i az, J.I.
D i az // Rev. R. Acad. Cien. Serie A Mat. — 2002. — Vol. 96. — P. 123–128.
4. D i az J.I. On the multiplicity of equilibrium solutions to a nonlinear diffusion
equation on a manifold arising in climatology / J.I. D i az, J. Hern a ndez,
L. Tello // J. Math. Anal. Appl. — 1997. — 216. — P. 593–613.
5. D i az J.I. Some results about multiplicity and bifurcation of stationary solutions of
a reaction diffusion climatological model / J.I. D i az, J. Hern a ndez, L. Tello //
Rev. R. Acad. Cien. Serie A. Mat. — 2002. — 96. — P. 357–366.
6. Gluzman M.O. Lyapunov type functions for classes of autonomous parabolic
feedback control problems and applications / M.O. Gluzman, N.V. Gorban,
P.O. Kasyanov // Applied Mathematics Letters. — 2015. — 39. — P. 19–21.
7. Gluzman M.O. Lyapunov functions for weak solutions of reaction-diffusion
equations with discontinuous interaction functions and its applications /
M.O. Gluzman, N.V. Gorban, P.O. Kasyanov // Nonautonomous Dyn. Syst. —
2015. — doi:10.1515/msds-2015-0001.
8. Gluzman M.O. Lyapunov Functions for Differential Inclusions and Applications in
Physics, Biology, and Climatology / M.O. Gluzman, N.V. Gorban,
P.O. Kasyanov // Continuous and Distributed Systems II. Theory and
Applications. — Berlin: Springer, 2015. — P. 233–243.
9. Gorban N.V. Long-time behavior of state functions for climate energy balance model
/ N.V. Gorban, M.O. Gluzman, P.O. Kasyanov et al. // DCDS-B. — 2017. —
22(5). — P. 1887–1897.
10. Gorban N.V. Long-Time Behavior of State Functions for Budyko Models /
N.V. Gorban, M.O. Gluzman, P.O. Kasyanov et al. // Advances in Dynamical
М.З. Згуровський, П.О. Касьянов, Н.В. Горбань, Л.С. Палійчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2018, № 4 18
Systems and Control. Series studies in systems. Decis. Control. — 2016. —
69. — P. 351–359.
11. Aubin T. Nonlinear Analysis on Manifolds. Monge-Amp e re Equations / T. Aubin.
— Berlin: Springer, 1980. — 204 p.
12. Clarke F.H. Optimization and Nonsmooth Analysis / F.H. Clarke. — New York:
John Wiley & Sons, Inc., 1983. — 308 p.
13. Zgurovsky M.Z. Evolution inclusions and variation Inequalities for Earth data
processing III / M.Z. Zgurovsky, P.O. Kasyanov, O.V. Kapustyan et al. —
Berlin: Springer, 2012. — 330 p.
14. Kasyanov P.O. Regularity of Weak Solutions and Their Attractors for a Parabolic
Feedback Control Problem / P.O. Kasyanov, L. Toscano, N.V. Zadoianchuk //
Set-Valued and Variational Analysis. — 2013. — 21(2). — P. 271–282.
15. Kasyanov P.O. Long-time behavior of solutions for autonomous evolution
hemivariational inequality with multidimensional “reaction-displacemen” law /
P.O. Kasyanov, L. Toscano, N.V. Zadoianchuk // Abstract and Applied Analysis.
— 2012. — DOI: 10.1155/2012/450984.
16. Zgurovsky M.Z. Long-time behavior of solutions for quasilinear hyperbolic
hemivariational inequalities with application to piezoelectricity problem /
M.Z. Zgurovsky, P.O. Kasyanov, N.V. Zadoianchuk // Applied Mathematics
Letters. — 2012. — 25(10). — P. 1569–1574.
17. Zadoianchuk N.V. Dynamics of solutions of a class of second-order autonomous
evolution inclusions / N.V. Zadoianchuk, P.O. Kasyanov // Cybernetics and
Systems Analysis. — 2012. — 48(3). — P. 414–420.
18. Arrieta J.M. Dynamics of a reaction–diffusion equation with a discontinuous
nonlinearity / J.M. Arrieta, A. Rodr i guez-Bernal, J. Valero // Int. J. Bifurcation
and Chaos. — 2006. — 16. — P. 2695–2984.
19. Valero J. Attractors of Parabolic Equations Without Uniqueness / J. Valero // Journal
of Dynamics and Differential Equations. — 2001. — 13(4). — P. 711–744.
20. Kalita P. Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity
properties / P. Kalita, G. Ł ukaszewicz // Nonlinear Analysis. — 2014. — 101.
— P. 124–143.
21. Kalita P. Attractors for Navier–Stokes flows with multivalued and nonmonotone
subdifferential boundary conditions / P. Kalita, G. Ł ukaszewicz // Nonlinear
Analysis: Real World Applications. — 2014. — 19. — P. 75–88.
22. Gorban N.V. On Global Attractors for Autonomous Damped Wave Equation with
Discontinuous Nonlinearity / N.V. Gorban, O.V. Kapustyan, P.O. Kasyanov
et al. // Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications. — Berlin:
Springer, 2014. — P. 221–237.
23. Kapustyan O.V. Pullback attractors for a class of extremal solutions of the 3D
Navier-Stokes equations / O.V. Kapustyan, P.O. Kasyanov, J. Valero // Journal
of Mathematical Analysis and Applications. — 2011. — 373. — P. 537–545.
24. Chepyzhov V.V. Trajectory and global attractors for 3D Navier-Stokes system /
V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik // Mathematical Notes. — 2002. — 71. —
P. 177–193.
25. Гаевский Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные
дифференциальные уравнения / Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас; пер.
В.Г. Задорожний, А.И. Перов; ред. В.И. Соболев. — М.: Мир, 1978. — 336 с.
26. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces /
V. Barbu. — Leyden: Noordhoff, 1974. — 351 p.
27. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics /
R. Temam. — N.Y.: Springer, 1988. — 500 p.
28. Ball J.M. Global attractors for damped semilinear wave equations / J.M. Ball //
Discrete and Continuous Dynamical Systems. — 2004. — 10. — P. 31–52.
Надійшла 19.11.2018
|
| id | journaliasakpiua-article-152058 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:14Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/06/048310aa495caa21ad411c3d9493e806.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1520582019-04-26T15:57:21Z Qualitative properties and finite-dimensionality up to a small parameter of weak solutions for the Budyko–Sellers climate model Качественные свойства и конечномерность с точностью до малого параметра слабых решений климатологической модели Будыко–Селлерса Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра слабких розв’язків кліматологічної моделі Будико–Селлерса Zgurovsky, Michael Z. Kasyanov, Pavlo O. Gorban, Nataliia V. Paliichuk, Liliia S. energy balance climate model global attractor trajectory attractor finite-dimensionality up to a small parameter multi-valued semi-flow weak solution климатологическая модель энергетического баланса глобальный аттрактор траекторный аттрактор конечномерность с точностью до малого параметра многозначный полупоток слабое решение кліматологічна модель енергетичного балансу глобальний атрактор траєкторний атрактор скінченновимірність з точністю до малого параметру багатозначний напівпотік слабкий розв’язок A qualitative analysis of the solutions behavior for the Budyko–Sellers energy balance climate model, considered on the Riemannian manifold without the boundary, is carried out. The global existence of the weak solution for the investigated problem with arbitrary initial data from the phase space is established. Solutions properties and regularity are studied. The Lyapunov function is found. The theorems on the existence of global and trajectory attractors for multi-valued semi-flow generated by all weak solutions of the problem are proved. The properties of attractors are studied. The relationship between attractors and the space of complete trajectories of the problem is established. The character of attraction of solutions to global and trajectory attractors and their structure are investigated. The finite-dimensionality up to a small parameter of the solutions dynamics for the problem is established. Проведен качественный анализ поведения решений климатологической модели энергетического баланса Будыко–Селлерса, рассмотренной на римановом многообразии без края. Установлено глобальное существование слабого решения исследуемой задачи с произвольными начальными данными с фазового пространства, изучены его свойства, регулярность. Найдено функцию Ляпунова. Доказаны теоремы существования глобального и траекторного аттракторов для многозначного полупотока, порожденного всеми слабыми решениями задачи. Изучены свойства аттракторов, установлена взаимосвязь между ними и пространством полных траекторий задачи. Исследованы характер притяжения решений к глобальному и траекторному аттракторам и их структура. Получена конечномерность с точностью до малого параметра динамики решений задачи. Проведено якісний аналіз поведінки розв’язків кліматологічної мо-делі енергетичного балансу Будико–Селлерса, розглянутої на рімановому ба-гатовиді без краю. Установлено глобальне існування слабкого розв’язку дослі-джуваної задачі з довільними початковими даними з фазового простору, вивчено його властивості, регулярність. Знайдено функцію Ляпунова. Доведено теореми існування глобального та траєкторного атракторів для багатозначного півпотоку, породженого всіма слабкими розв’язками задачі. Вивчено вла-стивості атракторів, установлено взаємозв’язок між ними та простором повних траєкторій задачі. Досліджено характер притягнення розв’язків до глобального та траєкторного атракторів та їх структуру. Отримано скінченновимірність з точністю до малого параметра динаміки розв’язків задачі. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2018-12-18 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/152058 10.20535/SRIT.2308-8893.2018.4.01 System research and information technologies; No. 4 (2018); 7-18 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2018); 7-18 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2018); 7-18 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/152058/151388 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | кліматологічна модель енергетичного балансу глобальний атрактор траєкторний атрактор скінченновимірність з точністю до малого параметру багатозначний напівпотік слабкий розв’язок Zgurovsky, Michael Z. Kasyanov, Pavlo O. Gorban, Nataliia V. Paliichuk, Liliia S. Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра слабких розв’язків кліматологічної моделі Будико–Селлерса |
| title | Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра слабких розв’язків кліматологічної моделі Будико–Селлерса |
| title_alt | Qualitative properties and finite-dimensionality up to a small parameter of weak solutions for the Budyko–Sellers climate model Качественные свойства и конечномерность с точностью до малого параметра слабых решений климатологической модели Будыко–Селлерса |
| title_full | Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра слабких розв’язків кліматологічної моделі Будико–Селлерса |
| title_fullStr | Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра слабких розв’язків кліматологічної моделі Будико–Селлерса |
| title_full_unstemmed | Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра слабких розв’язків кліматологічної моделі Будико–Селлерса |
| title_short | Якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра слабких розв’язків кліматологічної моделі Будико–Селлерса |
| title_sort | якісні властивості та скінченновимірність з точністю до малого параметра слабких розв’язків кліматологічної моделі будико–селлерса |
| topic | кліматологічна модель енергетичного балансу глобальний атрактор траєкторний атрактор скінченновимірність з точністю до малого параметру багатозначний напівпотік слабкий розв’язок |
| topic_facet | energy balance climate model global attractor trajectory attractor finite-dimensionality up to a small parameter multi-valued semi-flow weak solution климатологическая модель энергетического баланса глобальный аттрактор траекторный аттрактор конечномерность с точностью до малого параметра многозначный полупоток слабое решение кліматологічна модель енергетичного балансу глобальний атрактор траєкторний атрактор скінченновимірність з точністю до малого параметру багатозначний напівпотік слабкий розв’язок |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/152058 |
| work_keys_str_mv | AT zgurovskymichaelz qualitativepropertiesandfinitedimensionalityuptoasmallparameterofweaksolutionsforthebudykosellersclimatemodel AT kasyanovpavloo qualitativepropertiesandfinitedimensionalityuptoasmallparameterofweaksolutionsforthebudykosellersclimatemodel AT gorbannataliiav qualitativepropertiesandfinitedimensionalityuptoasmallparameterofweaksolutionsforthebudykosellersclimatemodel AT paliichukliliias qualitativepropertiesandfinitedimensionalityuptoasmallparameterofweaksolutionsforthebudykosellersclimatemodel AT zgurovskymichaelz kačestvennyesvojstvaikonečnomernostʹstočnostʹûdomalogoparametraslabyhrešenijklimatologičeskojmodelibudykosellersa AT kasyanovpavloo kačestvennyesvojstvaikonečnomernostʹstočnostʹûdomalogoparametraslabyhrešenijklimatologičeskojmodelibudykosellersa AT gorbannataliiav kačestvennyesvojstvaikonečnomernostʹstočnostʹûdomalogoparametraslabyhrešenijklimatologičeskojmodelibudykosellersa AT paliichukliliias kačestvennyesvojstvaikonečnomernostʹstočnostʹûdomalogoparametraslabyhrešenijklimatologičeskojmodelibudykosellersa AT zgurovskymichaelz âkísnívlastivostítaskínčennovimírnístʹztočnístûdomalogoparametraslabkihrozvâzkívklímatologíčnoímodelíbudikosellersa AT kasyanovpavloo âkísnívlastivostítaskínčennovimírnístʹztočnístûdomalogoparametraslabkihrozvâzkívklímatologíčnoímodelíbudikosellersa AT gorbannataliiav âkísnívlastivostítaskínčennovimírnístʹztočnístûdomalogoparametraslabkihrozvâzkívklímatologíčnoímodelíbudikosellersa AT paliichukliliias âkísnívlastivostítaskínčennovimírnístʹztočnístûdomalogoparametraslabkihrozvâzkívklímatologíčnoímodelíbudikosellersa |