Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами під час нелінійних спостережень
The article deals with the problem of the minimax estimation of a functional from the solution of a parabolic boundary-value problem with rapidly oscillating coefficients. We measure not the value that describes the investigated process, but some value from the solution with an operator, which deter...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/161623 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334348114493440 |
|---|---|
| author | Kapustian, Olena A. Nakonechnyi, Oleksandr G. |
| author_facet | Kapustian, Olena A. Nakonechnyi, Oleksandr G. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Olena A. Kapustian",
"institution": "Факультет комп’ютерних наук та кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Київ"
},
{
"author": "Oleksandr G. Nakonechnyi",
"institution": "Кафедра системного аналізу та теорії прийняття рішень факультету комп’ютерних наук та кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Київ"
}
] |
| author_sort | Kapustian, Olena A. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-08-27T22:12:50Z |
| description | The article deals with the problem of the minimax estimation of a functional from the solution of a parabolic boundary-value problem with rapidly oscillating coefficients. We measure not the value that describes the investigated process, but some value from the solution with an operator, which determines the way of measurement. The problem is complicated not only due to the rapidly fluctuating coefficients and unknown functions that are included in the equation and initial conditions, but also due to the observation being nonlinear (it has a superposition type operator). At a value of the small parameter, the solution existence for the original problem is established using the traditional minimax approach. The transition to a problem with averaged parameters allows us to get rid of nonlinearity in the observation. The main result of the work is to prove that the minimax estimate of the problem with averaged coefficients is an approximate minimax estimate of the original problem. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.2.08 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
О.А. Капустян, О.Г. Наконечний, 2019
94 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 517.9
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.2.08
НАБЛИЖЕНЕ МІНІМАКСНЕ ОЦІНЮВАННЯ
ФУНКЦІОНАЛІВ ВІД РОЗВ’ЯЗКУ ПАРАБОЛІЧНОЇ ЗАДАЧІ
ЗІ ШВИДКОКОЛИВНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
ПІД ЧАС НЕЛІНІЙНИХ СПОСТЕРЕЖЕНЬ
О.А. КАПУСТЯН, О.Г. НАКОНЕЧНИЙ
Анотація. Розглянуто задачу мінімаксного оцінювання функціонала від
розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами. Вимірюєть-
ся не сама величина, яка описує досліджуване явище, а спостерігається деяке
значення від розв’язку з оператором, що визначає спосіб вимірювання. Про-
блема ускладняються не лише через швидкоколивні коефіцієнти та невідомі
функції, які входять до рівняння та початкових умов, а і через те, що спосте-
реження є нелінійним (має оператор типу суперпозиції). За значення малого
параметра 0 існування розв’язку вихідної задачі встановлюється за допо-
могою традиційного мінімаксного підходу. Перехід до задачі з усередненими
параметрами дозволяє звільнитися від нелінійності у спостереженні. Основ-
ним результатом роботи є доведення того, що мінімаксна оцінка задачі з усе-
редненими коефіцієнтами є наближеною мінімаксною оцінкою вихідної задачі.
Ключові слова: мінімаксне оцінювання, параболічна задача, швидкоколивні
коефіцієнти, усереднена задача, невизначеність, наближена оцінка.
ВСТУП
У теорії керування значне місце посідають проблеми побудови конструкти-
вних методів моделювання, аналізу та оптимізації систем з неповними да-
ними як для детермінованих, так і стохастичних систем, що описуються зви-
чайними диференціальними рівняннями або рівняннями з частинними
похідними. Основи такої теорії [1–4] започатковано в 70–80-ті роки минуло-
го століття. Теоретичні результати у цьому напрямі стали основою для роз-
роблення ефективних алгоритмів розв’язування задач оцінювання, прогно-
зування, оптимізації, дослідження стійкості та аналізу систем, що
функціонують в умовах невизначеності та неповноти даних. На основі таких
теоретичних результатів упроваджено інформаційно-математичні технології
у різних предметних галузях, зокрема літально-космічного та гідроакустич-
ного напрямів, оптимального проектування сучасних маніпуляційних робо-
тів, соціально-економічних та інтелектуальних систем.
Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі …
истемні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 95
Незважаючи на актуальність, задача мінімаксного оцінювання для не-
скінченновимірних систем є недостатньо дослідженою. Принципові труд-
нощі виникають при узагальненні задач оцінювання на випадок рівнянь з
частинними похідними. Із цією метою побудовано теорію мінімаксного оці-
нювання функціоналів від розв’язків рівнянь [5–6]. Методами мінімаксної
теорії оцінювання розв’язано ряд задач прогнозування розв’язків рівнянь
параболічного типу зі швидкоколивними коефіцієнтами за даними вимірю-
вань, зокрема [7]. Спеціальні обмеження кореляційних функцій випадкових
процесів, що входять до правих частин та до похибок вимірювань, дозволи-
ли отримати параболічні рівняння для мінімаксних прогнозних оцінок.
У працях [8–10] запропоновано й обґрунтовано процедуру побудови
наближеного оптимального керування у формі зворотного зв’язку (синтезу)
для широких класів розподілених процесів у мікронеоднорідних середови-
щах, які досліджувалися раніше у праці [11]. У загальному випадку знайти
точну формулу оптимального синтезу для таких задач неможливо. Проте
перехід до усереднених параметрів значно спрощує структуру задачі.
У роботі розглядається задача мінімаксного оцінювання функціонала
від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами. Вимі-
рюється не сама величина, яка описує досліджуване явище, а спостерігаєть-
ся деяке значення від розв’язку з оператором, що визначає спосіб вимірю-
вання. Проблема ускладняється не лише через швидкоколивні коефіцієнти, а
і через те, що спостереження має оператор типу суперпозиції. Тому виправ-
даним є перехід до задачі з усередненими параметрами. Основним результа-
том роботи є доведення того, що мінімаксна оцінка задачі з усередненими
коефіцієнтами є наближеною мінімаксною оцінкою вихідної задачі.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
У циліндрі ),0( TQT , де nR — обмежена область, розглядається
задача
),(|
,0|
),,(
00 xyy
y
xtfyA
t
y
t
(1)
де ))((div xaA , )()( xaxa , )( nLa R — задана матриця.
Спостерігається функція
),(),(y)),(,,()(
0
xgdtxtxtyxtCx
T
(2)
де RR T),0(:),,( xtCC — задана вимірна функція. Функції
)(2
TQLf і )(2
0 Ly із системи (1), а також функція )(2 Lg зі спо-
стереження (2) невідомі, проте відомо, що вони належать опуклій замкненій
множині G з простору )()()( 222 LQLL T :
О.А. Капустян, О.Г. Наконечний
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 96
}.1{},,{
222
00 gfyGgfy
TQ
(3)
Тут і надалі і ),( — норма і скалярний добуток у )(2 L ;
TQ
,
TQ),( — норма і скалярний добуток у )(2
TQL .
Класична постановка задачі мінімаксного оцінювання [1] полягає в то-
му, щоб оцінити функціонал
dxdtxtyxtlyl
TQ
),(),()( , (4)
де )(2
TQLl — задана функція; y — розв’язок задачі (1), у класі функціо-
налів від спостереження
)(,)()()(
ˆ̂ 2
Ludxxuxyl , (5)
де функція û є розв’язком задачі
inf)(
ˆ̂
)(sup
2
,,0
ylyl
Ggfy
. (6)
При цьому значення (6)
)(inf: uJ
u
, (7)
де
2
,,
)(
ˆ̂
)(sup)(
0
ylyluJ
Ggfy
, (8)
називається похибкою мінімаксного оцінювання.
Нелінійність C і наявність швидкоколивних коефіцієнтів у A , C
змушують шукати наближений розв’язок задачі (1) – (6), використовуючи
теорію усереднення [11], [7]. А саме, нехай 0a — усереднена матриця для
)(xa , )(a00 divA , ),(00 xtCC — задана функція з простору )( TQL ,
яка не залежить від фазової змінної y і є усередненою у певному сенсі фун-
кцією для ),,( xtC .
Тоді [1] за фіксованого )(2 Lu розв’язок задачі (8), якщо 0 ,
Ggfy
ylyl
,,
sup,)(
ˆ̂
)(
0
2
(9)
має вигляд
ugzfzy
,),0(0 , (10)
де
1
222
2 )0(
uzz
TQ
,
Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі …
истемні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 97
)(,)()()(
ˆ̂ 20
Ludxxuxyl , (11)
спостереження
),(),(y),((x)
0
00 xgdtxtxtC
T
а z є розв’язком задачі
.0|z
,0|z
,00
Tt
uClzA
t
z
(12)
Для значення задачі (9) маємо
2222
,,
0 )0(
)(
ˆ̂
)(sup)(
0
uzz
ylyluJ TQ
Ggfy
. (13)
Тоді задача
)(inf 0
0 uJ
u
(14)
має єдиний розв’язок 0û , який характеризується такою системою [1]:
),0z(
1
|p
,0|p
z,
1
0
0
t
pA
t
p
(15)
dtxtpxtCu
T
),(),(ˆ
0
00 , (16)
де z є розв’язком задачі (12).
Основна питання, яке досліджується в роботі, — чи буде оцінка
dxxuxyl )(ˆ)()(ˆ 0
слугувати наближеною мінімаксною оцінкою для вихідної задачі (1)–(6) за
достатньо малих 0 .
ІСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧІ (1) – (6)
Нехай )(xa — симетрична, періодична матриця така, що 0,0 21
nx R nR :
О.А. Капустян, О.Г. Наконечний
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 98
n
i
i
n
ji
jiji
n
i
i xa
1
2
2
1,
,
1
2
1 )( , (17)
RR ),0(: TC — функція Каратеодорі така, що R , )1,0(
для майже всіх (м. в.) ),0(),( Txt :
),(),,( 1 xtCxtC , (18)
де )(1 TQLC — задана невід’ємна функція.
Теорема 1. За умов (17), (18) задача (1) – (6) має розв’язок, тобто існує
така функція û , на якій досягається рівність (7).
Доведення. Для фіксованих gfyu ,,, 0 маємо
TQfzyzugylyl ),()),0((),()(
ˆ̂
)( 0
,
де z — розв’язок задачі
.0|
,0|
,)),(,,(
Ttz
z
uxtyxtClzA
t
z
(19)
Оскільки функції )(2 Lu і )(),,( TQLyxtC , то задача (19) має
(слабкий) розв’язок z .
За фіксованого )(2 Lu задача максимізації (8) має вигляд
.1
sup,)),(),()),0(((
222
0
2
0
gfy
ugfzyz
T
T
Q
Q
(20)
Оскільки ),,( yxtC (а отже, і z ) залежить від fy ,0 , то формули
(10)–(13), (15), (16) втрачають сенс.
Таким чином, функціонал )(uJu є опуклим, напівнеперервним
знизу, і для того, щоб існувала û така, що
)ˆ()(inf
uJuJ
u
,
згідно з теоремою Вейєрштрасса [3] достатньо довести, що
)(lim uJ
u
.
Для цього зафіксуємо )(2 Lu і набір Ggfy ,,0 . Їм відповідають
розв’язок ),( xty задачі (1) і розв’язок ),( xtz задачі (19) з правою части-
ною )()),(,,( xuxtyxtC . Розглянемо задачу (1) – (6) із фіксованою функці-
єю )),(,,(:),( xtyxtCxtC . Згідно з міркуваннями, наведеними під час
аналізу усередненої задачі (9) – (16), розв’язок задачі (20) має вигляд
Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі …
истемні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 99
ugzfzy
,),0(0 ,
де
1
2
22
2
)0(
uzz
TQ
.
Розглянемо відображення GG : , },,{),,( 00
gfygfy .
Нехай
Ggfygfy kkk },,{},,{ 00 слабко в )()()( 222 LQLL T .
Звідси для розв’язку
ky задачі (1) з умовами kk yf 0, згідно з працею
[12] маємо
yyk в )(Q2
TL ,
де ),( xtyy — розв’язок задачі (1) з умовами 0, yf .
Тоді з умови (18) і теореми Лебега отримаємо
)),(,,()),(,,( xtyxtCxtyxtC k
у )(2
TQL . (21)
Отже, для
kz — розв’язку задачі (19) з
ky згідно з працею [12] маємо
zzk в ))(];,0([ 2 LTC , (22)
де ),( xtzz — розв’язок задачі (19) з y .
Зі збіжностей (21), (22) випливає, що — неперервне відображення і
)(G — компакт. Отже, за теоремою Шаудера має нерухому точку, тоб-
то Ggfy }ˆ,ˆ,ˆ{ 0 :
)ˆ,ˆ,ˆ(}ˆ,ˆ,ˆ{ 00
gfygfy .
Нехай ŷ — розв’язок задачі (1), який відповідає fy ˆ,ˆ0 , ẑ —
розв’язок задачі (19), який відповідає ŷ . Тоді на підставі (13)
)(
ˆ)0(ˆ 2
22
uJ
uzz
TQ
. (23)
Отже,
)(lim uJ
u
і теорему доведено.
НАБЛИЖЕНА МІНІМАКСНА ОЦІНКА ДЛЯ ЗАДАЧІ (1) – (6)
Нехай стала, додатно визначена матриця 0a є усередненою для матриці
)(xa [11], )(0
TQLC така, що
0),,(C),,(0 0 xtxtCr у )(2
TQL рівномірно по r . (24)
О.А. Капустян, О.Г. Наконечний
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 100
Уведемо функціонал
,)(ˆ)()(ˆ 0
dxxuxyl (25)
де )(ˆ 20 Lu визначається з усередненої задачі (9) – (16), і величину
20
},,{
0 ))ˆ,(),((sup)ˆ(ˆ
0
uyluJ
TQ
Ggfy
, 26)
де y — розв’язок задачі (1), спостереження має вигляд (2).
Наступна теорема є основним результатом роботи.
Теорема 2. Оцінка (25) є наближеною мінімаксною оцінкою для вихід-
ної задачі (1) – (6), а похибки (7) і (26) близькими за достатньо малих 0 ,
тобто 0 00 0,0 :
ˆ .
Доведення. За теоремою 1
)ˆ()(inf
uJuJ
u
.
Тоді
2
},,{
),(sup)0()ˆ(
0
TQ
Ggfy
ylJuJ
, (27)
де y — розв’язок задачі (1). Для Ggfy },,{ 0 через умову (16) для м. в. t
виконується нерівність
)()()()(
2
1 2
1
2
tytftyty
dt
d .
Звідси з нерівності Пуанкаре виводимо, що
)1,0(
Cy
TQGgfy
,,0
sup , (28)
де константа 0C не залежить від .
З нерівностей (27), (28) і (23) виводимо, що )1,0(}ˆ{
u обмежена в
)(2 L , отже, за підпослідовністю для деякої функції )(2 Lv
vu ˆ слабко в )(2 L , 0 .
Доведемо, що 0ûv , де 0û — функція, на якій оцінка )(
ˆ̂
yl вигляду
(11) є мінімаксною оцінкою усередненої задачі.
Нехай 0 k , kuu k ˆ:ˆ . Тоді з огляду на нерівність (23)
222
ˆˆ)0(ˆ
)ˆ(
k
Q
kk
k
uzz
uJ Tk
k
,
де трійка Ggfy kkk }ˆ,ˆ,ˆ{ 0 є нерухомою точкою відображення k з теоре-
ми 1, збудованого за функцією kû .
Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі …
истемні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 101
Тоді за підпослідовністю
}ˆ,ˆ,ˆ{}ˆ,ˆ,ˆ{ 00 gfygfy kkk слабко в )()()( 222 LQLL T ,
а kẑ є розв’язком задачі (19) з kŷ і kû , kŷ — розв’язок задачі (1), якщо
k з умовами kk yf 0ˆ,ˆ . Тоді із праці [4] випливає
yyk ˆˆ в )(Q2
TL , (29)
де ŷ — розв’язок задачі (1) з умовами 0ˆ,ˆ yf і 0 .
Доведемо, що виконується збіжність
vxtCuyxtC kkk ),(ˆ)ˆ,,( 0 слабко в )(2
TQL . (30)
Зі збіжності (24) випливає, що 0r :
0),()),(ˆ,,(sup:)(
20
dxdtxtCxtyxtCr
T
k
Q
k
r
k , k .
Покладемо
}),(ˆ|),{(),( rxtyxtrkQ k
T .
Згідно з нерівністю Чебишова і збіжністю (29) отримаємо
r
C
dxdtxty
r
rkQQ
TQ
k
TT ),(ˆ
1
),(\ ,
де константа 0C не залежить від rk, .
Тоді
dxdtxtCxtyxtC
T
k
Q
k 20 ),()),(ˆ,,(
dxdtxtCxtyxtC
rkQ
k
T
k
2
),(
0 ),()),(ˆ,,(
,2)(),()),(ˆ,,(
2
)(1
2
),(\
0
r
C
CrdxdtxtCxtyxtC
T
TT
k
QLk
rkQQ
k
(31)
де функцію 1C взято з умови (18).
Нерівність (31) означає, що
),()ˆ,,( 0 xtCyxtC kk у )(2
TQL .
Тоді згідно з нерівністю Гельдера
kdxdtxuxtCxtyxtC
T
k
Q
kk ,0)(ˆ,)),(ˆ,,( 0 .
Отже, за підпослідовністю
kxuxtCxtyxtC kkk ,0)()),()),(ˆ,,(( 0 для м. в. ),( xt .
О.А. Капустян, О.Г. Наконечний
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 102
Із леми Ліонса [5]
kuxtCyxtC kkk ,0ˆ)),()ˆ,,(( 0 слабко в )(2
TQL . (32)
Оскільки
kvuxtC k ,0)ˆ)(,(0 слабко в )(2
TQL , (33)
то зі збіжностей (32), (33) отримуємо збіжність (30).
Тоді
zzk ˆˆ у ))(];,0([ 2 LTС ,
де ẑ — розв’язок задачі (19) при 0 і з правою частиною vxtС ),(0 .
Таким чином,
222
ˆˆ)0(ˆ
lim)ˆ(lim
k
Q
kk
k
k
k
uzz
uJ Tk
).(
ˆ)0(ˆ 0
222
vJ
vzz
TQ
З іншого боку, оскільки kû така, що
)ˆ()(inf k
u
uJuJ kk ,
то )(2 Lu :
2
0 )),(),()),0((()()ˆ( ugfzyzuJuJ k
Q
kkkkk
T
kk ,
де },,{ 0
kkk gfy — розв’язок задачі (20) з функцією u ; kz — розв’язок зада-
чі (19) при k і з правою частиною uyxtС kk ),,( , ky — розв’язок за-
дачі (1) при k з відповідними умовами kk fy ,0 .
Аналогічно до попередніх міркувань (31) – (33), але з фіксованою фун-
кцією u , отримуємо, що
},,{},,{ 00 gfygfy kkk слабко в )()()( 222 LQLL T ,
yyk в )(Q2
TL ,
zz k у ))(];,0([ 2 LTС ,
де z — розв’язок задачі (19) при 0 і з правою частиною uxtС ),(0 ; y —
розв’язок задачі (1) при 0 з відповідними умовами fy ,0 .
Тоді
2
0 )),(),()),0((()(lim ugfzyzuJ
T
k
Q
k
. (34)
Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі …
истемні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 103
Покажемо, що права частина (34) — це )(0 uJ . Дійсно, Ggfy ,,0 :
2
0 )),(),()),0((()( ugfzyzuJ
T
k
Q
kk , (35)
де kz — розв’язок задачі (19) з правою частиною uyxtС kk ),,( , ky —
розв’язок задачі (1) з умовами fy ,0 .
Аналогічно до міркувань (31) – (33) можна перейти до границі в нерів-
ності (35) і з довільності },,{ 0 gfy отримати, що
)()(lim 0 uJuJ k
k
. (36)
Таким чином, )(2 Lu :
)()ˆ(lim)( 00 uJuJvJ k
k
k
. (37)
Із виразу (37) отримуємо, що 0ûv і
0),ˆ( 00
0 uJ .
Залишилося показати, що
0,ˆ 0 . (38)
Нехай 0 k . Тоді
20
0
0 ))ˆ,~()
~
,~()~),0(~(()ˆ(ˆ ugfzyzuJ k
Q
k
k
k
k T
k
k
,
де kz~ – розв’язок задачі (19) з правою частиною 0ˆ)~,,( uyxtС k
k , ky~ —
розв’язок задачі (1) з умовами kk fy
~
,~
0 ; }~,
~
,~{ 0
kkk gfy — розв’язок задачі (20)
з функціями 0ˆ,~ uzk .
Тоді з виразу (36)
)ˆ()ˆ(lim 000 uJuJ k
k
,
що і доводить (38). Теорему доведено.
ЛІТЕРАТУРА
1. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений
вариационных уравнений в гильбертовых пространствах / А.Г. Наконечный
// К.: КГУ, 1985. — 83 с.
2. Красовский Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. — М.:
Наука, 1968. — 476 с.
3. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями
с частными производными / Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир, 1972. — 414 с.
4. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач //
Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир, 1972. — 588 с.
О.А. Капустян, О.Г. Наконечний
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 104
5. Nakonechnyi A.G. Minimax prediction estimation of solutions of initial-boundary-
value problems for parabolic equations with discontinuous coefficients based on
imperfect data / A.G. Nakonechnyi, Yu.K. Podlipenko, Yu.A. Zaitsev //
Сybernetics and Systems Analysis. — 2000. November 2000, Vol. 36, Issue 6.
P. 845–854.
6. Podlipenko Y. Mixed variational approach to finding guaranteed estimates for
solutions and right-hand sides of the second-order linear elliptic equations under
incomplete data / Y. Podlipenko, Y. Shestopalov // Minimax Theory and its Ap-
plications. — 2016.
7. Kapustyan E.A. The minimax problems of pointwise observation for a parabolic
boundary value problem / E.A. Kapustyan, A.G. Nakonechnyj // Journal of Au-
tomation and Information Sciences. — 2002. — Vol. 34(5–8). — P. 52–63.
8. Kapustyan E.A. Optimal bounded control synthesis for a parabolic boundary-value
problem with fast oscillatory coefficients / E.A. Kapustyan, A.G. Nakonechnyj //
Journal of Automation and Information Sciences. — 1999. - Vol. 31, Issue 12,
P. 33-44.
9. Kapustyan O.V. Approximate bounded synthesis for one weakly nonlinear boundary-
value problem / O.V. Kapustyan, O.A. Kapustyan, A.V. Sukretna // Nonlinear
Oscillations. — 2009. — Vol. 12, N 3. — P. 297–304.
10. Kapustian O.A. Approximate homogenized synthesis for distributed optimal control
problem with superposition type cost functional / O.A. Kapustian, V.V. Sobchuk
// Statistics, Optimization and Information Computing. — 2018. — Vol. 6, N 2.
P. 233–239.
11. Жиков В.В. Усреднение дифференциальных операторов / В.В. Жиков,
С.М. Козлов, О.А. Олейник. — М.: ФизМатЛит, 1993. — 464 с.
12. Denkiwski Z. Asymptotic behavior of optimal solutions to control problems for sys-
tems described by differential inclusions corresponding to partial differential
equations / Z. Denkiwski, S. Mortola // Journal of Optimization Theory and Ap-
plications. — 1993. —Vol. 78. — P. 365–391.
Надійшла 05.04.2019
|
| id | journaliasakpiua-article-161623 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:28Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/a8/7cbf6132cae2a6e4ff9c9f9b346f94a8.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1616232019-08-27T22:12:50Z Approximate minimax estimation of functional from the solution of parabolic boundary-value problem with rapidly oscillating coefficients under nonlinear observations Приближенное минимаксное оценивание функционалов от решения параболической задачи с быстроколеблющимися коэффициентами при нелинейных наблюдениях Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами під час нелінійних спостережень Kapustian, Olena A. Nakonechnyi, Oleksandr G. minimax estimation parabolic boundary-value problem rapidly oscillating coefficients averaged problem uncertainty approximate estimate минимаксное оценивание параболическая задача быстро колеблющиеся коэффициенты усредненная задача неопределенность приближенная оценка мінімаксне оцінювання параболічна задача швидко коливні коефіцієнти усереднена задача невизначеність наближена оцінка The article deals with the problem of the minimax estimation of a functional from the solution of a parabolic boundary-value problem with rapidly oscillating coefficients. We measure not the value that describes the investigated process, but some value from the solution with an operator, which determines the way of measurement. The problem is complicated not only due to the rapidly fluctuating coefficients and unknown functions that are included in the equation and initial conditions, but also due to the observation being nonlinear (it has a superposition type operator). At a value of the small parameter, the solution existence for the original problem is established using the traditional minimax approach. The transition to a problem with averaged parameters allows us to get rid of nonlinearity in the observation. The main result of the work is to prove that the minimax estimate of the problem with averaged coefficients is an approximate minimax estimate of the original problem. Рассмотрена задача минимаксного оценивания функционалов от решений параболической задачи с быстроколеблющимися коэффициентами. Измеряется не сама величина, описывающая исследуемое явление, а наблюдается некоторое значение от решения с оператором, который определяет способ измерения. Проблема осложняется не только из-за быстроколеблющихся коэффициентов и неизвестных функций, которые входят в уравнения и начальные условия, а еще и потому, что наблюдение является нелинейным (имеет оператор типа суперпозиции). При значении малого параметра существование решения исходной задачи устанавливается при помощи традиционного минимаксного подхода. Переход к задаче с усредненными параметрами позволяет освободиться от нелинейности в наблюдении. Основным результатом работы является доказательство того, что минимаксная оценка задачи с усредненными коэффициентами является приближенной минимаксной оценкой исходной задачи. Розглянуто задачу мінімаксного оцінювання функціонала від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами. Вимірюється не сама величина, яка описує досліджуване явище, а спостерігається деяке значення від розв’язку з оператором, що визначає спосіб вимірювання. Проблема ускладняються не лише через швидкоколивні коефіцієнти та невідомі функції, які входять до рівняння та початкових умов, а і через те, що спостереження є нелінійним (має оператор типу суперпозиції). За значення малого параметра існування розв’язку вихідної задачі встановлюється за допомогою традиційного мінімаксного підходу. Перехід до задачі з усередненими параметрами дозволяє звільнитися від нелінійності у спостереженні. Основним результатом роботи є доведення того, що мінімаксна оцінка задачі з усередненими коефіцієнтами є наближеною мінімаксною оцінкою вихідної задачі. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/161623 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.2.08 System research and information technologies; No. 2 (2019); 94-104 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2019); 94-104 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2019); 94-104 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/161623/175466 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | мінімаксне оцінювання параболічна задача швидко коливні коефіцієнти усереднена задача невизначеність наближена оцінка Kapustian, Olena A. Nakonechnyi, Oleksandr G. Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами під час нелінійних спостережень |
| title | Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами під час нелінійних спостережень |
| title_alt | Approximate minimax estimation of functional from the solution of parabolic boundary-value problem with rapidly oscillating coefficients under nonlinear observations Приближенное минимаксное оценивание функционалов от решения параболической задачи с быстроколеблющимися коэффициентами при нелинейных наблюдениях |
| title_full | Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами під час нелінійних спостережень |
| title_fullStr | Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами під час нелінійних спостережень |
| title_full_unstemmed | Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами під час нелінійних спостережень |
| title_short | Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами під час нелінійних спостережень |
| title_sort | наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами під час нелінійних спостережень |
| topic | мінімаксне оцінювання параболічна задача швидко коливні коефіцієнти усереднена задача невизначеність наближена оцінка |
| topic_facet | minimax estimation parabolic boundary-value problem rapidly oscillating coefficients averaged problem uncertainty approximate estimate минимаксное оценивание параболическая задача быстро колеблющиеся коэффициенты усредненная задача неопределенность приближенная оценка мінімаксне оцінювання параболічна задача швидко коливні коефіцієнти усереднена задача невизначеність наближена оцінка |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/161623 |
| work_keys_str_mv | AT kapustianolenaa approximateminimaxestimationoffunctionalfromthesolutionofparabolicboundaryvalueproblemwithrapidlyoscillatingcoefficientsundernonlinearobservations AT nakonechnyioleksandrg approximateminimaxestimationoffunctionalfromthesolutionofparabolicboundaryvalueproblemwithrapidlyoscillatingcoefficientsundernonlinearobservations AT kapustianolenaa približennoeminimaksnoeocenivaniefunkcionalovotrešeniâparaboličeskojzadačisbystrokoleblûŝimisâkoéfficientamiprinelinejnyhnablûdeniâh AT nakonechnyioleksandrg približennoeminimaksnoeocenivaniefunkcionalovotrešeniâparaboličeskojzadačisbystrokoleblûŝimisâkoéfficientamiprinelinejnyhnablûdeniâh AT kapustianolenaa nabliženemínímaksneocínûvannâfunkcíonalívvídrozvâzkuparabolíčnoízadačízíšvidkokolivnimikoefícíêntamipídčasnelíníjnihspostereženʹ AT nakonechnyioleksandrg nabliženemínímaksneocínûvannâfunkcíonalívvídrozvâzkuparabolíčnoízadačízíšvidkokolivnimikoefícíêntamipídčasnelíníjnihspostereženʹ |