Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій

An integrated methodology for global estimation of the sensitivity of decisions made with using the method of hierarchy process analysis is proposed, which makes it possible to improve the expert judgement consistency, to determine both the resistance of hierarchy element weights to inaccuracies in...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2019
Main Authors:	Pankratova, N. D., Nedashkivska, N. I.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/164986
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1866302312414183424
author	Pankratova, N. D. Nedashkivska, N. I.
author_facet	Pankratova, N. D. Nedashkivska, N. I.
author_sort	Pankratova, N. D.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-04-23T15:44:17Z
description	An integrated methodology for global estimation of the sensitivity of decisions made with using the method of hierarchy process analysis is proposed, which makes it possible to improve the expert judgement consistency, to determine both the resistance of hierarchy element weights to inaccuracies in the expert information and the element weight ranges within which alternative ranks do not change, and to find critical and stable elements.
first_indexed	2025-07-17T10:24:30Z
format	Article
fulltext	© Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська, 2006 Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 7 TIДC ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИ І МЕТОДИ СИСТЕМНОГО АНАЛІЗУ УДК 519.816 КОМПЛЕКСНЕ ОЦІНЮВАННЯ ЧУТЛИВОСТІ РІШЕННЯ НА ОСНОВІ МЕТОДУ АНАЛІЗУ ІЄРАРХІЙ Н.Д. ПАНКРАТОВА, Н.І. НЕДАШКІВСЬКА Запропоновано комплексну методологію проведення глобального оцінювання чутливості рішення, отриманого методом аналізу ієрархій, що дозволяє підви- щити узгодженість експертних оцінок; визначити стійкість ваг елементів ієра- рхії до неточностей в експертній інформації, а також області значень ваг елементів, при яких не виникає зміни рангів альтернатив; знайти критичні та стійкі елементи задачі. ВСТУП Метод аналізу ієрархій (МАІ) базується на експертних оцінках величин пар- них порівнянь елементів відносно спільної для них властивості. Оцінки екс- пертів структуруються у матрицю парних порівнянь, а локальні ваги елеме- нтів ієрархії обчислюються як головні власні вектори цих матриць [1]. Експертні оцінки піддаються впливу невизначеності і, як наслідок, мо- жуть містити помилки. Причинами помилок, зокрема, можуть бути: непов- нота знань у експертів щодо питання, яке розглядається, їхня втома або не- зацікавленість у рішенні, існування неузгодженостей реального світу, неадекватна структура моделі [2,3]. Також помилки в оцінках експертів мо- жуть бути наслідком нездатності людини точно виразити свої судження за допомогою скалярних значень [4]. Для дослідження достовірності отриманого рішення доцільно визначи- ти залежність між результатами МАІ та ступенем неточності початкових даних — експертних оцінок. По суті, поставлена задача відноситься до більш узагальненого класу задач аналізу чутливості (АЧ) розв’язку до зміни початкових даних. На дум- ку авторів роботи [5], МАІ найбільш ефективний, коли його супроводжує АЧ, який допомагає краще зрозуміти природу проблеми, що розглядається, виявити можливості взаємозв’язку з іншими подібними ситуаціями, а також перевірити обгрунтованість числових значень та необхідність у більш висо- кій точності обчислень [6]. Традиційним вважається локальний АЧ: розглядається певне рішення і досліджується його чутливість по відношенню до вибраного параметру [5–14]. Більшість дослідників зводять АЧ результатів МАІ до аналізу залеж- Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 8 ності вектору глобальних ваг альтернатив лише від ваг критеріїв [5–15]. «Цей достатньо простий метод АЧ є гарним компромісом між оперативніс- тю та продуктивністю» [13]. На думку авторів роботи [13], АЧ рішення об- межується дослідженням результатів змін тільки ваг критеріїв внаслідок двох причин: 1) ранжування, отримане за допомогою МАІ, найбільш чутливе до змін ваг елементів на вищих рівнях ієрархії; 2) розгляд впливу одночасної зміни декількох елементів ієрархії на ре- зультуючий вектор ваг є відносно складним для практичного застосування. На практиці [5–14] АЧ рішень, отриманих МАІ, найчастіше проводить- ся графічними методами, запропонованими Т.Сааті та реалізованими в про- грамі Expert Choice [15]. До них відносяться АЧ виконання, градієнтний, динамічний, 2D та різницевий АЧ. У цих методах користувач може зміню- вати ваги критеріїв і спостерігати на екрані як у вигляді відповідних графі- ків, діаграм змінюються ваги альтернатив. Однак запропоновані Т.Сааті ме- тоди є методами типу «що буде, якщо». Вони не є системним підходом до проведення АЧ і дозволяють лише відповісти на питання «яким буде рішен- ня, якщо вагу певного елементу змінити на деяку величину». Дехто з дослідників результатом проведення АЧ у МАІ вважає знаход- ження критичного критерію, тобто критерію, який характеризується най- меншою зміною своєї ваги, що приводить до зміни порядку ранжування альтернатив. Показано [16]: не завжди критичним є критерій з найбільшою вагою. Ним також може бути критерій із мінімальною вагою. У МАІ існує показник ступеня узгодженості експертних оцінок — від- ношення узгодженості [1]. Якщо значення цього показника перевищує встановлене порогове, то вважається, що оцінки мають високий ступінь су- перечливості і повинні бути переглянуті. Інший спосіб визначення узгодже- ності експертних оцінок — розрахунок спектрального коефіцієнту узгодже- ності ваг, отриманих з множини матриць, породжених кожним рядком матриці парних порівнянь, заданої експертами [2]. Для підвищення узгод- женості отриманих оцінок пропонується використовувати методи парних порівнянь зі зворотним зв’язком з експертом (експерту вказується джерело протиріч і пропонується скоригувати свої оцінки [2]). Зміна порядку ранжування альтернатив при додаванні/вилученні альте- рнативи в літературі отримала назву реверсу рангів. У роботі [17] досліджу- ється поява реверсу рангів у методах дистрибутивного, ідеального, мульти- плікативного синтезу МАІ та методу групового врахування бінарних відношень переваг альтернатив. Показано, що реверс рангів може виникну- ти в кажному з цих методів синтезу МАІ. Тобто МАІ є чутливим до змін структури ієрархічної моделі. МАІ успішно використовується при розв’язанні різноманітних задач прийняття рішень [5–14]. У залежності від задачі слід вибирати той чи ін- ший метод проведения АЧ. У роботі [2] розглядаються три класи задач при- йняття рішень: 1. Створення комплексних цільових програм для органів державного управління найвищого рівня та управління великих фірм. Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 9 2. Вибір програм розвитку середнього та малого бізнесу. Прийняття рішень для органів державного управління середнього рівня. 3. Індивідуальне управління в задачах, які мають характер повторюва- ності. Для задач третього класу, розв’язання яких базується на інформації про результати використання рішень подібних задач, прийнятих у минулому, скоріш за все, достатньо буде проведення локального анализу чутливості. Можна, наприклад, обмежитися методами, реалізованими в програмі Expert Choice [15]. Однак, коли мова йде про задачі прийняття рішень першого та другого класів, при плануванні комплексних цільових програм для обгрунтування рішень відносно включення в програму різних політичних, соціальних чи економічних заходів та розподілу між ними ресурсів, при виборі сценаріїв розвитку галузей промисловості, а також при необхідности прийняття рі- шень відносно інноваційного розвитку сучасного суспільства, слід проводи- ти більш повний (глобальний) АЧ, інтегрувати його в кожний етап прийнят- тя рішень, включити в неперервний циклічний процес розв’язання задачі. Процес прийняття рішень відносно можливої поведінки в майбутньому складних систем, які характеризуються великим впливом людського факто- ра, суттєвими невизначеностями даних, різного роду ризиками, отримало назву передбачення. Такий процес зводиться до застосування окремих мето- дів в певній послідовності із встановленням чітко визначених взаємозв’язків між ними [18, 19]. Метод аналізу ієрархій застосовується в процесі передба- чення на етапі якісного аналізу проблеми. Один із підходів до проведення глобального АЧ у МАІ полягає в дослі- дженні зміни розв’язку (порядку ранжування альтернативних варіантів рі- шення) при варіюванні: • початкових даних (оцінок експертів); • параметрів моделі (наприклад, ваг критеріїв); • структури моделі (наприклад, додавання/вилучення альтернатив чи критеріїв). Пропонується комплексна методологія проведення аналізу чутливості результатів, отриманих МАІ, а саме: • Аналіз узгодженості експертних оцінок. Проведено формалізацію одного з методів підвищення узгодженості оцінок, отриманих від експер- тів — методу зміни структури ієрархії. • Оцінювання стійкості локальних ваг елементів ієрархії до збурень, викликаних неточностями експертних оцінок. • Визначення областей змін ваг елементів, при яких не змінюється по- рядок ранжування альтернатив. В основному, на практиці при проведенні АЧ у МАІ розв’язується «пряма задача»: як зміниться рішення при зміні ва- ги критерія. У даній роботі знаходиться область змін ваги вибраного елеме- нту ієрархії, коли ранги альтернатив залишаються незмінними. При цьому розглядаються ієрархії з довільною кількістю рівнів. Запропонований метод є узагальненням підходу [16], де розглядаються ієрархії, що складаються тільки з трьох рівнів: головної цілі, критеріїв та альтернатив. Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 10 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Розглянемо ієрархію, яка має 1+p рівень. Нехай нульовий рівень ( 0L ) складається з одного елементу — головної цілі, останній ( pL ) — з альтер- нативних варіантів рішень. Рівні ієрархії між нульовим рівнем і останнім представляють можливі фактори, які впливають на рішення. Це можуть бути різноманітні критерії, цілі, а також зацікавлені особи, можливі сценарії то- що. Кількість елементів kL -го рівня позначимо kLN , [ ]pk LLL ;0∈ . Нехай 1ˆ −kk LL rA — заповнена експертами матриця парних порівнянь еле- ментів kL -го рівня ієрархії відносно r -го елементу 1−kL -го рівня, [ ] 1 ;1 − ∈ kLNr (знак ∧ у виразі 1ˆ −kk LL rA вказує на те, що елементи є оцінками відношень істинних ваг). Позначимо 1ˆ −kk LL lrw локальну вагу l -го елементу kL -го рівня відносно r -го елементу 1−kL -го рівня, [ ] kLNl ;1∈ , [ ] 1 ;1 − ∈ kLNr . Згідно із традиційним методом аналізу ієрархій, вектор ваг [ ]{ } k kkkk L LL lr LL r Nlww ;1ˆˆ 11 ∈= −− розрахо- вується як головний власний вектор матриці 1ˆ −kk LL rA . Глобальні ваги елементів kL -го рівня ієрархії позначимо kL lŵ , [ ] kLNl ;1∈ . Згідно із методом аналізу ієрархій, вони обчислюються за прин- ципом ієрархічної композиції. Глобальні ваги альтернативних варіантів рі- шень [ ]{ } p pp L L i L Niww ;1ˆˆ ∈= є результатом роботи методу аналізу ієрархій. Необхідно провести АЧ вектора рішення pLŵ до неточностей та про- тиріч в експертних оцінках: • дослідження узгодженості експертних оцінок (матриць 1ˆ −kk LL rA ); • оцінювання стійкості ваг 1ˆ −kk LL lrw до збурень в 1ˆ −kk LL rA ; • знаходження областей змін ваг kL lŵ , при яких не відбуваються зміни порядку ранжування у векторі розв’язку pLŵ , [ ] kLNl ;1∈ , [ ]11; −∈ pk LLL ; • знаходження критичних та стійких елементів kL -го рівня. 2. РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ Оцінювання чутливості вектора рішення до неточностей та протиріч в екс- пертних оцінках пропонується реалізовувати в структурі комплексної мето- дології проведення АЧ рішення, отриманого МАІ (див. рисунок). Так, згідно із методом аналізу ієрархій, спочатку проводиться декомпозиція проблеми, визначаються головна ціль та фактори, що впливають на її досягнення. Далі проводяться парні порівняння елементів, які знаходяться на одному рівні побудованої ієрархії відносно спільного для них елемента сусіднього вищо- го рівня. При цьому порівняння елементів здійснюється, починаючи з більш високих рівнів ієрархії. Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 11 Основні кроки прийняття рішення за допомогою МАІ з урахуванням АЧ Проведення парних порівнянь елементів i-го рівня ієрархії Розрахунок локальних ваг елементів i–го рівня Розрахунок глобальних ваг елементів Знаходження областей змін ваг еле- ментів ієрархії, при яких не відбу- ваються зміни рангів альтернатив Запропонувати експерту змінити деякі свої оцінки Зміна структури ієрархії Відкласти прийняття рішення до отримання додаткової інформації 1: += ii Прийняття рішення Дослідження стійкості локальних ваг елементів i –го рівня Визначення критичних елементів ієрархії 1:=i Оцінки мають припустимий рівень неузгодженості? Оцінки мають припустимий рівень неузгодженості? Оцінки мають припустимий рівень неузгодженості? 1+> pi Декомпозиція проблеми ТакНі ТакНі Так Ні Ні Так Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 12 Процес парних порівнянь супроводжується дослідженням узгодженості отриманих експертних оцінок (див. далі п.2.1). Розглянемо kL -й рівень іє- рархії. Нехай проведені парні порівняння елементів цього рівня відносно r - го елементу 1−kL -го рівня і результати організовані в матрицю парних порі- внянь 1ˆ −kk LL rA . Досліджується узгодженість матриці 1ˆ −kk LL rA . Якщо 1ˆ −kk LL rA є узгодженою або її рівень неузгодженості є припустимим, то розраховується вектор локальних ваг [ ]{ } k kkkk L LL lr LL r Nlww ;1ˆˆ 11 ∈= −− елементів kL -го рівня відносно r -го елементу 1−kL -го рівня і проводиться оцінювання стійкості вектора ваг 1ˆ −kk LL rw до збурень в 1ˆ −kk LL rA (див. далі п. 2.2). Якщо ж оцінки порівнянь елементів kL -го рівня відносно r -го елементу 1−kL -го рівня пе- ревищують припустимий рівень неузгодженості, то знаходяться найбільш неузгоджені оцінки, і експерту пропонується змінити їх. Якщо в результаті досягається припустимий рівень неузгодженості, то розраховується вектор локальних ваг 1ˆ −kk LL rw , і проводиться оцінка його стійкості. Якщо експерт відмовився змінити свої оцінки або отримані нові оцінки знову не задоволь- няють умові припустимої неузгодженості, то пропонується змінити струк- туру ієрархії шляхом додавання додаткових рівнів (див. далі п. 2.1). У випа- дку невдачі доцільно відкласти прийняття рішення до отримання більш повної інформації. Після отримання локальних ваг елементів всіх рівнів обчислюється ве- ктор pLŵ глобальних ваг альтернатив, який і є розв’язком задачі. Потім знаходяться області змін ваг kL lŵ , [ ] kLNl ;1∈ , [ ]11; −∈ pk LLL , при яких не відбувається зміна порядку ранжування у векторі розв’язку pLŵ (див. далі п. 2.3). А потім виявляються критичні та стійкі елементи (див. далі п. 2.3). Критичним називається такий елемент, зміна ваги якого, що призводить до зміни порядку ранжування альтернатив, є найменшою. Елемент називається стійким, якщо ніякі зміни його ваги не приводять до зміни рангів альтерна- тив. Після знаходження критичних елементів задачі можливо буде потреба повернутися на попередні етапи процесу прийняття рішення та запропону- вати експертам перевірити свої оцінки відносно цих найбільш чутливих елементів (пунктирна лінія на рисунку). 2.1. Способи підвищення узгодженості експертних оцінок в МАІ Матриця парних порівнянь (МПП) }{ ijaA = , Nji ,...,1, = , називається узго- дженою, якщо для ∀ Nkji ,...,1,, = виконується умова kjikij aaa = . При ∃ Nkji ,...,1,, = таких, що kjikij aaa ≠ , матриця A називається неузгодже- ною. Загальновідомо [1, 2], що деяка неузгодженість повинна бути присутня в оцінках експертів, оскільки без неї не можуть бути визнані нові знання, які змінюють переваги. Однак ця неузгодженість не повинна перевищувати де- яке порогове значення. Припущення, що всі знання повинні бути узгоджені, Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 13 суперечить досвіду, коли необхідне неперервне поновлення існуючих знань [1]. В МАІ існує показник ступеня неузгодженості оцінок експертів — відношення узгодженості 0µ µ =ВУ , де 1 max − − = N Nλ µ — індекс узгодженості; maxλ — найбільше власне число МПП розмірності NN × ; 0µ — індекс випадкової узгодженості (середнє значення індексів узгодженості, розрахованих для великої кількості випад- ковим чином заповнених МПП розмірності NN × [1]). Тобто ВУ визначається шляхом порівняння ступеня узгодженості мат- риці, заповненої експертом, і ступеня узгодженості матриці такої ж розмір- ності, заповненої випадковим чином. Матриця оцінок, наданих експертами, вважається такою, що має при- пустимий рівень неузгодженості, якщо відношення узгодженості задоволь- няє таким умовам [2]: • 05,0<ВУ для МПП розмірності 33× ; • 08,0<ВУ для МПП 44× ; • 1,0<ВУ для МПП більших розмірностей. Якщо відношення узгодженості перевищує рекомендоване значення, то експертні оцінки характеризуються високим рівнем неузгодженості і не мо- жуть використовуватися при прийнятті рішення. Традиційним способом зменшення неузгодженості експертних оцінок вважається організація зворо- тного зв’язку з експертом (наприклад, [2]). В даній роботі пропонується ще один метод зменшення неузгодженості парних порівнянь, наданих експер- тами, — зміна структури ієрархії. Організація зворотного зв’язку з експертами 1. Знайти в матриці парних порівнянь найбільш неузгоджений елемент. 2. Визначити діапазон значень, в межах якого може бути змінена дана оцінка. 3. Запропонувати експерту змінити свою оцінку в межах цього діапа- зону. 4. Якщо експерт відмовляється, то кроки 2 і 3 проводяться для другої найбільш неузгодженої оцінки тощо. 5. Якщо жодна з оцінок не змінена, то можна використовувати інші способи підвищення їх узгодженості, або ж прийняття рішення за допомо- гою МАІ відкладається до отримання додаткової інформації. Зміна структури ієрархії З теорії МАІ відомо, що для визначення ваг N елементів експерту слід про- вести 2 )1( − = NNR парних порівнянь. Оскільки значення R зростає квад- ратично із збільшенням числа N порівнюваних елементів, а здатність лю- Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 14 дини робити точні порівняння великої кількості елементів одночасно обме- жена, то при збільшенні N зростає також і рівень протиріччя у наданих експертами оцінках. Тому при збільшенні кількості порівнюваних елементів індекс узгодженості зростає. У зв’язку з цим одним із способів підвищення узгодженості оцінок експертів є зменшення числа елементів на одному рівні ієрархії за допомогою побудови додаткового, на якому пропонується розмі- стити найбільш близькі між собою елементи рівня, що розглядається. Нехай проведені парні порівняння елементів kL -го рівня, і відношення узгодженості перевищує допустиме значення. Тоді пропонується змінити структуру ієрархії: 1. У множині з kN елементів виділити q кластерів найбільш «близь- ких» між собою елементів. Нехай jm — кількість елементів у j -му класте- рі, 12 −≤≤ kj Nm , qj ,...,1= . 2. Перенумерувати рівні ієрархії: →→→ +−+ 111 ,,, kpppp LLLLL … 2+→ kL , де pL — останній рівень ієрархії. 3. Створити рівень ієрархії 1+kL з r елементів, де ∑ = = q j jmr 1 . Тоді на рівні kL буде знаходитися 1+− rNk елемент. Залишається відкритим питання визначення ступеня «близькості» еле- ментів kL -го рівня. Напевне, воно не піддається формалізації і залежить від специфіки конкретної задачі. 2.2. Оцінювання стійкості локальних ваг елементів ієрархії до збурень, викликаних неточностями в експертних оцінках Розглянемо [ ] [ ]{ } kk kkkk LL LL rll LL r NlNlaA ;1,;1ˆˆ 21 1 21 1 ∈∈= −− — заповнену експер- тами матрицю парних порівнянь (МПП) елементів kL -го рівня ієрархії від- носно r -го елементу 1−kL -го рівня. В загальному випадку 1ˆ −kk LL rA не є уз- годженою. Припустимо, що матриця парних порівнянь, заповнена експертами — збурена матриця відношень істинних ваг, тобто 2121 1 21 ˆ ll L ll LL rll kkk aa ε=− , де k k k L l L lL ll w w a 2 1 21 = — елемент узгодженої МПП; 21llε — ве- личина збурения. Введемо вектор локальних ваг [ ]{ } k kkkk L LL lr LL r Nlww ;1ˆˆ 11 ∈= −− елементів kL -го рівня ієрархії відносно r -го елемента 1−kL -го рівня, [ ] 1 ;1 − ∈ kLNr , отриманий після обробки заповненої експертами МПП 1ˆ −kk LL rA . Введемо вектор локальних ваг [ ]{ } k kkkk L LL lr LL r Nlww ;111 ∈= −− елементів kL -го рівня ієрархії відносно r -го елемента 1−kL -го рівня, [ ] 1 ;1 − ∈ kLNr , отриманий з узгодженої МПП 1−kk LL rA . Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 15 Оцінювання стійкості локальних ваг елементів ієрархії до збурень, ви- кликаних неточностями в експертних оцінках, складається з двох частин: 1. Дослідження зміни рангів між вектором ваг, отриманим після оброб- ки заданої експертами МПП, і вектором ваг з породженої матриці. 2. Дослідження зміни рангів між вектором ваг, отриманим після оброб- ки заданої експертами МПП, і вектором ваг із збуреної МПП. Дослідження зміни рангів між вектором ваг 1ˆ −kk LL rw і вектором ваг, отриманим з породженої матриці 1* −kk LL qrA Поставимо у відповідність збуреній матриці 1ˆ −kk LL rA сукупність узго- джених МПП },...,,{ 111 ** 2 * 1 −−− kk kL kkkk LL rN LL r LL r AAA , де 1* −kk LL qrA — узгоджена МПП, побудована за q -м рядком матриці 1ˆ −kk LL rA , [ ] kLNq ;1∈ , [ ] 1 ;1 − ∈ kLNr . У роботі [2] матриця 1* −kk LL qrA називається породженою q -м рядком матри- ці 1ˆ −kk LL rA . Для кожної 1* −kk LL qrA розрахуємо вектор ваг =−1* kk LL qrw [ ]{ } k kk L LL qlr Nlw ;11* ∈= − . Означення 1. Вектор ваг [ ]{ } k kkkk L LL lr LL r Nlww ;1ˆˆ 11 ∈= −− , [ ] 1 ;1 − ∈ kLNr , створює зміну рангів з вектором ваг [ ]{ } k kkkk L LL qlr LL qr Nlww ;111 ** ∈= −− поро- дженої матриці 1* −kk LL qrA для даного [ ] kLNq ;1∈ , якщо ∃ [ ] kLNl ;11 ∈ , [ ] kLNl ;12 ∈ такі, що виконується умова ( )∨<∧> −−−− )()ˆˆ( 1 2 1 1 1 2 1 1 kkkkkkkk LL rql LL rql LL rl LL rl wwww ( )∨>∧<∨ −−−− )()ˆˆ( 1 2 1 1 1 2 1 1 kkkkkkkk LL rql LL rql LL rl LL rl wwww ( )∨≠∧=∨ −−−− )()ˆˆ( 1 2 1 1 1 2 1 1 kkkkkkkk LL rql LL rql LL rl LL rl wwww ( ))()ˆˆ( 1 2 1 1 1 2 1 1 −−−− =∧≠∨ kkkkkkkk LL rql LL rql LL rl LL rl wwww . Означення 2. Вектор ваг [ ]{ } k kkkk L LL lr LL r Nlww ;1ˆˆ 11 ∈= −− назвемо стійким, якщо 1ˆ −kk LL rw не створює зміни рангів ні з одним з векторів 1* −kk LL qrw , [ ] kLNq ;1∈ . Дослідження зміни рангів між вектором ваг 1ˆ −kk LL rw і вектором ваг, отриманим із збуреної МПП 1ˆ −kk LL rAε Випадковим чином генерується велика кількість збурених матриць [ ] [ ]{ } kk kkkk LL LL rll LL r NlNlaA ;1,;1ˆˆ 21 1 21 1 ∈∈= −− εε , 21 1 21 1 21 ˆˆ ll LL rll LL rll kkkk aa εε −− = , де 21llε — рівномірно розподілена випадкова величина на інтервалі ],1[ maxε , Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 16 [ ] 1 ;1 − ∈ kLNr . Для кожної 1ˆ −kk LL rAε обчислюються вектор ваг 1ˆ −kk LL rwε і від- ношення узгодженості. Розраховується ймовірність зміни рангів між векто- рами 1ˆ −kk LL rw та 1ˆ −kk LL rwε . Означення 3. Вектор ваг [ ]{ } k kkkk L LL lr LL r Nlww ;1ˆˆ 11 ∈= −− , [ ] 1 ;1 − ∈ kLNr , створює зміну рангів з вектором ваг [ ]{ } k kkkk L LL lr LL r Nlww ;1ˆˆ 11 ∈= −− εε збуреної матриці 1ˆ −kk LL rAε для даного ],1[ max21 εε ∈ll , якщо ∃ [ ] kLNl ;11 ∈ , [ ] kLNl ;12 ∈ такі, що виконується умова ( )∨<∧> −−−− )ˆˆ()ˆˆ( 1 2 1 1 1 2 1 1 kkkkkkkk LL rl LL rl LL rl LL rl wwww εε ( )∨>∧<∨ −−−− )ˆˆ()ˆˆ( 1 2 1 1 1 2 1 1 kkkkkkkk LL rl LL rl LL rl LL rl wwww εε ( )∨≠∧=∨ −−−− )ˆˆ()ˆˆ( 1 2 1 1 1 2 1 1 kkkkkkkk LL rl LL rl LL rl LL rl wwww εε ( ))ˆˆ()ˆˆ( 1 2 1 1 1 2 1 1 −−−− =∧≠∨ kkkkkkkk LL rl LL rl LL rl LL rl wwww εε . Ступенем зміни рангів між векторами ваг 1ˆ −kk LL rw і 1ˆ −kk LL rwε назвемо кількість пар ),( 21 ll , 21 ll < , для яких виконується остання умова. Якщо век- тор ваг 1ˆ −kk LL rw не створює зміну рангів з вектором ваг 1ˆ −kk LL rwε , то ступінь зміни рангів покладається рівним нулю. Наприклад, нехай вектор 1ˆ −kk LL rw задає таке ранжування елементів: 4321 OOOO (об’єкт 1O має найбільшу вагу), а вектор 1ˆ −kk LL rwε збуреної МПП — ранжування 2341 OOOO . Ступінь зміни рангів між 1ˆ −kk LL rw та 1ˆ −kk LL rwε у даному випадку дорівнює трьом (пари (2,3), (2,4) і (3,4)). Означення 4. Ймовірність появи зміни рангів k -го ступеня )( krP між векторами ваг 1ˆ −kk LL rw і 1ˆ −kk LL rwε будемо розраховувати так: N Nk k rP =)( , де kN — число появи зміни рангів k -го ступеня між 1ˆ −kk LL rw і 1ˆ −kk LL rwε в N експериментах. Означення 5. Вектор ваг [ ]{ } k kkkk L LL lr LL r Nlww ;1ˆˆ 11 ∈= −− назвемо стій- ким, якщо ймовірності появи зміни рангів k -го ступеня )( krP між вектора- ми ваг 1ˆ −kk LL rw та 1ˆ −kk LL rwε є меншими за попередньо задані порогові зна- чення kP0 . 2.3. Визначення областей змін ваг елементів ієрархії, які не призводять до змін рангів альтернатив Нехай альтернативи перенумеровані таким чином, що при ji < виконується pp L j L i ww ˆˆ ≥ , ];1[ pLNi∈ , ];1[ pLNj∈ . Нагадаємо, що kL lŵ є глобальною вагою l -го елементу kL -го рівня. Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 17 Означення 6. Позначимо kL lji ,,∆ , ];1[ pLNi∈ , ];1[ pLNj∈ , ];1[ kLNl∈ , ];[ 11 −∈ pk LLL , величину абсолютної зміни ваги kL lŵ , що призводить до змі- ни порядку ранжування між i -м та j -м елементами pL -го рівня ( i -ю та j - ю альтернативами), тобто нехай нова вага l -го елементу kL -го рівня до- рівнює kkk L lji L l L l ww ,,ˆˆ ∆−=′ , 0ˆ >′ kL lw , і для ji < виконується умова <′ pL iŵ pL jŵ′< , де pL iŵ′ — нова глобальна вага i -го елементу pL -го рівня. Означення 7. Позначимо kL lji ,,δ , ];1[ pLNi∈ , ];1[ pLNj∈ , ];1[ kLNl∈ , ];[ 11 −∈ pk LLL , величину відносної зміни ваги kL lŵ , що призводить до зміни порядку ранжування між i -м та j -м елементами pL -го рівня ( i -ю та j -ю альтернативами), тобто нехай нова вага l -го елементу kL -го рівня дорівнює 100 ˆ ˆˆ ,, kk kk L l L ljiL l L l w ww δ −=′ , 0ˆ >′ kL lw , і для ji < виконується умова <′ pL iŵ pL jŵ′< , де pL iŵ′ — нова глобальна вага i -го елементу pL -го рівня. Величини відносної та абсолютної зміни ваги kL lŵ l -го елементу kL -го рівня пов’язані співвідношенням %100 ˆ ,, ,, k k k L l L ljiL lji w ∆ =δ . Означення 8. l -й елемент kL -го рівня назвемо стійким, якщо будь-які припустимі зміни ваги даного елементу не призводять до зміни рангу жод- ної альтернативи. Означення 9. Критичним елементом kL -го рівня назвемо елемент kL -го рівня, який має найменше значення kL lji ,,δ , тобто критl -й елемент kL -го рівня — критичний, якщо { }k kL k L lji Nl L lji ,, ];1[,, min крит δδ ∈ = , ];1[ pLNi∈ , ];1[ pLNj∈ . Означення 10. Ступенем критичності kL lC l -го елементу kL -го рівня назвемо величину найменшої відносної зміни ваги kL lŵ даного елемен- ту, яка призводить до зміни порядку ранжування альтернатив: =kL lC { }k pLpL L lji ji NjNi ,,,];1[,];1[ min δ < ∈∈ = . Означення 11. Чутливістю kL lS l -го елементу kL -го рівня назвемо величину, обернену до ступеня критичності даного елементу: k k L l L l C S 1 = . Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 18 Якщо l -й елемент kL -го рівня є стійким, то значення kL lS покладається рі- вним нулю. Чим меншим є ступінь критичності kL lC l -го елементу kL -го рівня, тим «легше» змінити порядок ранжування альтернатив, тобто менше зна- чення ступеня критичності kL lC свідчить про меншу зміну ваги kL lŵ , яку достатньо здійснити для зміни порядку ранжування альтернатив. І чим «ле- гше» змінити порядок ранжування альтернатив, тим чутливість kL lS l -го елементу kL -го рівня є більшою. Знайдемо величину kL lji ,,δ відносної зміни ваги kL lŵ , що призводить до зміни порядку ранжування між i -м та j -м елементами pL -го рівня. Нехай вага kL lw l -го елементу kL -го рівня змінена і нова вага kL lw′ дорівнює 100 ,, ,, kk kkkk L l L ljiL l L lji L l L l w www δ −=∆−=′ . (У подальшому знак ∧ в позначеннях ваг опускаємо.) Оскільки повинна виконуватися умова додат- ності ваги 0>′ kL lw , то на величини kL lji ,,∆ і kL lji ,,δ накладаються обмеження kk L l L lji w<∆ ,, і 100,, <kL ljiδ . У методі аналізу ієрархій глобальні ваги елементів кожного рівня ієра- рхії є нормованими, тому необхідно провести нормування елементів kL -го рівня з урахуванням зміненої ваги kL lw′ l -го елементу даного рівня. Позна- чимо нормовані ваги kL lw* 1 , ];1[1 kLNl ∈ . Вони розраховуються так: ∑ ≠= +′ ′ = kL kk k k N lll L l L l L lL l ww w w 11 1 ,1 * , ∑ ≠= +′ = kL kk k k N lll L l L l L lL l ww w w 11 1 1 1 ,1 * для ];1[1 kLNl ∈∀ , ll ≠1 . (1) Для знаходження величини kL lji ,,δ розпишемо умову pp L j L i ww ′<′ зміни порядку ранжування між i -м та j -м елементами pL -го рівня з урахуванням принципу ієрархічної композиції, згідно з яким ∑ ∑ ∑ − − + + + + −−− = = = =′ 1 1 2 2 1 1 1 1 21 21 1 1 1 1 1 * pL pL kL k k k kk kk ppppp N j N j N j L j LL jj LL jj LL ij L i wwwww …… . Тоді нерівність pp L j L i ww ′<′ запишеться у вигляді <∑ ∑ ∑ − − + + + + −−− = = = 1 1 2 2 1 1 1 1 21 21 1 1 1 1 1 * pL pL kL k k k kk kk pppp N j N j N j L j LL jj LL jj LL ij wwww …… Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 19 ∑ ∑ ∑ − − + + + + −−− = = = < 1 1 2 2 1 1 1 1 21 21 1 1 1 1 1 * pL pL kL k k k kk kk pppp N j N j N j L j LL jj LL jj LL jj wwww …… , а після підстановки виразів для kL lw* 1 , згідно з (1), а потім kL lw′ , згідно з оз- наченням 7, отримаємо ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ +< < ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − + +++ − −−− − − + + + + ++ − −−− + + − − + +++ − −−− − − + + + + ++ − −−− + + = = = = = = ≠ = = = = = = = ≠ = 1 1 2 2 1 112 1 21 21 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 12 1 21 21 1 1 1 1 1 1 2 2 1 112 1 21 21 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 12 1 21 21 1 1 1 1 1 1 1 ,, 1 1 1 ,1 1 1 1 ,, 1 1 1 ,1 . 100 100 pL pL kL k kk kkk k kk kk pppp pL pL kL k k k kk kk kk kk pppp kL k k pL pL kL k kk kkk k kk kk pppp pL pL kL k k k kk kk kk kk pppp kL k k N j N j N j L l L ljiL l LL lj LL jj LL jj LL jj N j N j N j L j LL jj LL jj LL jj LL jj N lj j N j N j N j L l L ljiL l LL lj LL jj LL jj LL ij N j N j N j L j LL jj LL jj LL jj LL ij N lj j w wwwww wwwww w wwwww wwwww δ δ …… …… …… …… Після перетворень остання нерівність прийме вигляд ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −< <− ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − − + +++ − −−− − − + +++ − −−− = = = = = = 1 1 2 2 1 112 1 21 21 1 1 1 1 2 2 1 112 1 21 21 1 1 1 1 1 ,, 1 1 1 ,, 100 100 pL pL kL k kk k kk kk pppp kk p pL pL kL k kk k kk kk pppp kk p N j N j N j LL lj LL jj LL jj LL jj L l L ljiL j N j N j N j LL lj LL jj LL jj LL ij L l L ljiL i wwww w w wwww w w …… …… δ δ або ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −>− kpkp kk pp LL il LL jl L l L ljiL i L j ww w ww 100 ,,δ , де ∑ ∑ ∑ − − + +++ − −−− = = = = 1 1 2 2 1 112 1 21 21 1 1 1 1 1 pL pL kL k kk k kk kk ppppkp N j N j N j LL lj LL jj LL jj LL ij LL il wwwww …… , (2) ∑ ∑ ∑ − − + +++ − −−− = = = = 1 1 2 2 1 112 1 21 21 1 1 1 1 1 pL pL kL k kk k kk kk ppppkp N j N j N j LL lj LL jj LL jj LL jj LL jl wwwww …… . Отже, kkpkp pp k L l LL il LL jl L i L jL lji www ww 100 ,, − − <δ , якщо kpkp LL il LL jl ww > ; Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 20 kkpkp pp k L l LL il LL jl L i L jL lji www ww 100 ,, − − >δ , якщо kpkp LL il LL jl ww < . Оскільки, як зазначалося раніше, повинна виконуватися умова 0>′ kL lw , то kk L l L lji w<∆ ,, і 100,, <δ kL lji , тобто має виконуватися нерівність kpkp pp k LL il LL jl L i L jL l ww ww w − − > , де вага kp LL ilw розраховується за рівнянням (2). Таким чином, отримали твердження. Твердження 1. Величина kL lji ,,δ відносної зміни ваги kL lŵ , необхідної для зміни порядку ранжування між i -м та j -м елементами pL -го рівня, ];1[ pLNi∈ , ];1[ pLNj∈ , ];1[ kLNl∈ , ];[ 11 −∈ pk LLL , для ji < , задовольняє нерівності порог ,,,, kk L lji L lji δδ < , якщо kpkp LL il LL jl ww ˆˆ > ; порог ,,,, kk L lji L lji δδ > , якщо kpkp LL il LL jl ww ˆˆ < , де порогове значення порог ,, kL ljiδ величини kL lji ,,δ обчислюється за формулою (%) ˆ 100порог ,, порог ,, k kk L l L lji L lji w ∆=δ , (3) де kpkp pp k LL il LL jl L i L jL lji ww ww ˆˆ ˆˆпорог ,, − − =∆ (4) за умов: 1) pp L j L i ww ˆˆ ≥ для ji < ; 2) порог ,,ˆ kk L lji L lw ∆> (що еквівалентно %100порог ,, <kL ljiδ ). Наслідок 1. l -й елемент kL -го рівня, ];1[ kLNl∈ , є стійким, якщо для ji < виконується порог ,,ˆ kk L lji L lw ∆≤ при ∀ ];1[ pLNi∈ , ];1[ pLNj∈ , де порогове значення порог ,, kL lji∆ величини kL lji ,,∆ абсолютної зміни ваги kL lŵ l -го елементу kL -го рівня обчислюється за формулою (4). Наслідок 2. Якщо kpkp LL il LL jl ww ˆˆ ≤ для ∀ ];1[ kLNl∈ , тобто j -й елемент pL -го рівня не переважає i -й елемент pL -го рівня за всіма елементами kL -го рівня, ];[ 11 −∈ pk LLL , то ніякі зміни ваг елементів kL -го рівня не призведуть до зміни порядку ранжувания між цими елементами pL -го рівня. Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 21 Визначення критичної альтернативи Означення 12. Позначимо a rji ,,δ , ];1[ pLNi∈ , ];1[ pLNj∈ , ];1[ 1− ∈ pLNr , ве- личину відносної зміни локальної ваги 1ˆ −ppLL irw i -го елементу pL -го рівня ( i -ї альтернативи) відносно r -го елементу 1−pL -го рівня, що призводить до зміни порядку ранжування між i -м та j -м елементами pL -го рівня ( i -ю та j -ю альтернативами), тобто нехай нова вага i -го елементу pL -го рівня відносно r -го елементу 1−pL -го рівня дорівнює −=′ −− 11 ˆˆ pppp LL ir LL ir ww 100 ˆ 1 ,, − − ppLL ir a rji wδ , 0ˆ 1 >′ −ppLL irw , і для ji < виконується умова pp L j L i ww ˆˆ ′<′ , де pL iŵ′ — нова глобальна вага i -го елементу pL -го рівня. Означення 13. i -й елемент pL -го рівня назвемо стійким відносно r - го елементу 1−pL -го рівня, якщо будь-які припустимі зміни ваги 1ˆ −ppLL irw цього елементу не призводять до зміни рангу жодної альтернативи. Означення 14. Ступенем критичності a irC i -го елементу pL -го рівня ( i -ї альтернативи) відносно r -го елементу 1−pL -го рівня назвемо найменше значення a rji ,,δ , яке призводить до зміни рангу даного елементу (альтерна- тиви), тобто { }a rji ij Nj a ir pL C ,,];1[ min δ ≠ ∈ = , ];1[ pLNi∈ , ];1[ 1− ∈ pLNr . Означення 15. Чутливістю a irS i -го елементу pL -го рівня ( i -ї альтернативи) відносно r -го елементу 1−pL -го рівня назвемо величину, зворотну до ступеня критичності даного елементу: a ir a ir C S 1 = , ];1[ pLNi∈ , ];1[ 1− ∈ pLNr . Якщо i -й елемент pL -го рівня є стійким відносно r -го еле- менту 1−pL -го рівня, то значення a irS покладається рівним нулю. Означення 16. Критичним елементом pL -го рівня (критичною альтернативою) назвемо такий елемент pL -го рівня, який має най- менший ступінь критичності, тобто критi -й елемент pL -го рівня — крити- чний (відносно деякого r -го елементу 1−pL -го рівня), якщо =a riC крит { } ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −∈∈ a irNrNi C pLpL 111 ];1[];1[ minmin . Знайдемо величину a rji ,,δ відносної зміни локальної ваги 1ˆ −ppLL irw i -ї альтернативи відносно r -го елементу 1−pL -го рівня, що призводить до змі- Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 22 ни порядку ранжування між i -ю та j -ю альтернативами. Окремо розгляне- мо два випадки. 1. Випадок ji < . Нехай вага 1ˆ −ppLL irw змінена і нова вага дорівнює =′ −1ppLL irw 100 1 1 ,, − − −= pp pp LL irrji a LL ir ww δ . (У подальшому знак ∧ в позначенні ваг опускає- мо.) Оскільки повинна виконуватися умова додатності ваги 01 >′ −ppLL irw , то 100,, <a rjiδ . Аналогічно попередньому розділу, знайдемо локальні ваги альтернатив після нормування. ∑ ≠ = −− − − +′ ′ = pL pppp pp pp N ij j LL jr LL ir LL irLL ir ww w w ,1 * 11 1 1 ; ∑ ≠ = −− − − +′ ′ = pL pppp pp pp N ij j LL jr LL ir LL riLL ri ww w w ,1 * 11 1 11 1 для ∀ ];1[1 pLNi ∈ , ii ≠1 . Після підстановки у знаменник ∑ ≠ = −− +′ pL pppp N ij j LL jr LL ir ww ,1 11 виразу для 1−′ ppLL irw з урахуванням того, що 1 1 1 =∑ = − pL pp N j LL jrw для ∀ ];1[ 1− ∈ pLNr отримаємо =+′ ∑ ≠ = −− pL pppp N ij j LL jr LL ir ww ,1 11 100 1 100 11 11 ,,,, ,1 −− −− −=−+= ∑ ≠ = pppppL pppp LL ir a rji LL ir a rji N ij j LL jr LL ir ww ww δδ . Розпишемо умову pp L j L i ww ′<′ зміни порядку ранжування між i -ю та j -ю альтернативами. ∑∑ − −− − −− == < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * 1 * pL ppp pL ppp N r L r LL jr N r L r LL ir wwww . Нерівність не зміниться, якщо додамо та віднімемо в лівій і правій час- тинах нерівності 1−ppLL irw і 1−ppLL jrw , відповідно. Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 23 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−+< <+−+ ∑ ∑ − −−−−−−− − −−−−−−− ≠ = ≠ = 1 1 1 1 1 1 1 11111 1 1 1 1 1 1 1 11111 ,1 * ,1 * .)( )( pL ppppppppppp pL ppppppppppp N rr r L r LL jr L r LL jr LL jr L r LL jr N rr r L r LL ir L r LL ir LL ir L r LL ir wwwwwww wwwwwww Після перетворень отримаємо <+− − − −−− − ppppp pp pp pp L i L r LL ir L rLL ir a rji LL ir a rjiLL ir wwww w w w 111 1 100 1 100 ,, ,, δ δ ppppp pp pp L j L r LL jr L rLL ir a rji LL jr wwww w w +− − < −−− − 111 1 100 1 ,,δ або )( 11111 ,, ppppppppppp L i L r LL ir L r L j L r LL jr a rji L j L i wwwwwwwww +−+−<− −−−−−δ . Оскільки в останній нерівності вираз в дужках −−− 11 ( ppp LL jr L r ww 0)11 ≥−++− − pppp L j L i LL ir www , то шукана величина a rji ,,δ задовольняє нерів- ності 1111 100 )1( ,, −−−− −++− − > ppppppppp pp LL ir L j L i LL ir LL jr L r L j L ia rji wwwwww ww δ . 2. Випадок ji > . Оскільки за припущенням альтернативи перенумеровані у порядку спа- дання їх глобальних ваг, то при ji > виконується pp L j L i ww ≤ , ];1[ pLNi∈ , ];1[ pLNj∈ . Нас цікавлять значення величини відносної зміни локальної ваги 1−ppLL irw , які призводять до зміни порядку ранжування між i -ю та j -ю альтернативами, тобто нові ваги альтернатив pL iw′ та pL jw′ повинні задово- льняти нерівності pp L j L i ww ′>′ . Аналогічно випадку, коли ji < , виводиться 1111 100 )1( ,, −−−− −++− − < ppppppppp pp LL ir L j L i LL ir LL jr L r L j L ia rji wwwwww ww δ . Отже, отримали твердження. Н.Д. Панкратова, Н.І. Недашківська ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 3 24 Твердження 2. Величина a rji ,,δ відносної зміни локальної ваги 1ˆ −ppLL irw , необхідної для зміни порядку ранжування між i -м та j -м елемен- тами pL -го рівня ( i -ю та j -ю альтернативами), ];1[ pLNi∈ , ];1[ pLNj∈ , ];1[ 1− ∈ pLNr , задовольняє нерівності порог ,,,, a rji a rji δδ > при ji < , порог ,,,, a rji a rji δδ < при ji > , де порогове значення порог ,, a rjiδ величини a rji ,,δ обчислюється за формулою (%) ˆ 100 ˆˆ)1ˆˆ(ˆ ˆˆ 1111 порог ,, −−−− −++− − = ppppppppp pp LL ir L j L i LL ir LL jr L r L j L ia rji wwwwww ww δ , (5) за умов: 1) pp L j L i ww ˆˆ ≥ при ji < ; pp L j L i ww ˆˆ ≤ при ji > ; 2) %100порог ,, <a rjiδ . Знаючи порогове значення порог ,, a rjiδ величини a rji ,,δ , можна визначити область змін локальних ваг 1ˆ −ppLL irw i -ї альтернативи відносно r -го елемен- ту сусіднього вищого рівня ієрархії, які не призводять до змін рангів i -ї та j -ї альтернатив, тобто наскільки критичною (чутливою) є кожна альтерна- тива відносно вибраного елементу сусіднього вищого рівня ієрархії, тобто знайти величину найменшої зміни локальної ваги альтернативи відносно нього, що призводить до зміни ранжування альтернатив. Наслідок 3. i -й елемент pL -го рівня є стійким відносно r -го елементу 1−pL -го рівня, якщо %100порог ,, >a rjiδ виконується для ∀ ];1[ pLNi∈ , ];1[ pLNj∈ , де порогове значення порог ,, a rjiδ обчислюється за формулою (5). ВИСНОВКИ Запропоновано методологію виконання глобального аналізу чутливості рі- шення, отриманого методом аналізу ієрархій, на основі нового підходу до оцінювання властивостей елементів ієрархії, що дозволяє розширити мож- ливості МАІ. Методологія містить дослідження і способи підвищення узго- дженості експертних оцінок, оцінювання стійкості ваг окремих елементів задачі до неточностей та протиріч у експертній інформації, визначення об- ластей змін ваг елементів, при яких не виникає зміни рангів альтернатив та знаходження критичних та стійких елементів задачі. Розроблену методологію доцільно використовувати для дослідження досто- вірності розв’язання задач передбачення — задач оцінювання сценаріїв майбутнього розвитку складних систем як на національному та регіональ- Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 3 25 ному рівнях, так і на рівні окремих галузей промисловості чи великих орга- нізацій. Запропонована методологія може застосовуватися також для задач прийняття рішень щодо комплексних цільових програм та інноваційних проектів. ЛІТЕРАТУРА 1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. — М.: Радио и связь, 1993. — 320 с. 2. Тоценко В.Г. Методы и системы поддержки принятия решений. Алгорит- мический аспект. — Киев: Наук. думка, 2002. — 381 с. 3. Forman E., Selly M.A. Decision By Objectives. На сайті www.expertchoice.com. 4. Stam A., Silva P.D. Stochastic judgements in the AHP: The measurement of rank re- versal probabilities // Decision Sciences. — 1997. — 28, № 3. — P. 655–688. 5. Labib Ashraf W., Shah J. Management decisions for a continuous improvement process in industry using the analytical hierarchy process // Work Study. — 2001. — 50, № 5. — P. 189–193. 6. Akomode O.J., Lees B., Irgens C. Constructing customized models and providing in- formation to support IT outsourcing decisions // Logistics Information Manage- ment. — 1998. — 11, № 2. — P. 114–127. 7. Davies M. Adaptive AHP: a review of marketing applications with extensions // European Journal of Marketing. — 2001. — 35, № 7/8. — P. 872–893. 8. Bayazit O. Use of AHP in decision-making for flexible manufacturing systems // Journal of Manufacturing Technology Management. — 2005. — 16, № 7. — P. 808–819. 9. Masood A.Badri, Mohamed H. Abdulla. Awards of excellence in institutions of higher education: an AHP approach // International Journal of Educational Man- agement. — 2004. — 18, № 4. — P. 224–242. 10. Godwin G. Udo. Using analytic hierarchy process to analyze the information tech- nology outsourcing decision // Industrial Management & Data Systems. — 2000. — 100, № 9. — P. 421–429. 11. Braglia M. MAFMA: multi-attribute failure mode analysis // International Journal of Quality&Reliability Management. — 2000. — 17, № 9. — P. 1017–1033. 12. Partovi F.Y. Determining what to benchmark: an analytic hierarchy process ap- proach // International Journal of Operations &Production Management. — 1994. — 14, № 6. —P. 25–39. 13. Bevilacqua M. and Braglia M. The analytic hierarchy process applied to mainte- nance strategy selection// Reliability Engineering & System Safety. — 2000. — 70. — P. 71–83. 14. Min Hokey, Min Hyesung. Benchmarking the quality of hotel services: managerial perspectives // International Journal of Quality & Reliability Management. — 1997. — 14, № 6. — P. 582–597. 15. Програма Expert Choice. На сайті www.expertchoice.com. 16. Triantaphyllou E., Sanchez A. A sensitivity analysis approach for some deterministic multi-criteria decision making methods // Decision Sciences. — 1997. — 28, № 1. — P. 151–194. 17. Недашківська Н.І. Оцінювання реверсу рангів у методі аналізу ієрархій // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2005. — № 4. — С. 120–130. 18. Згуровский М.З., Панкратова Н.Д. Технологическое предвидение. — Киев: По- литехника, 2005. — 156 с. 19. Згуровский М.З., Панкратова Н.Д. Системный анализ: проблемы, методология, приложения. — Киев: Наук. думка, 2005. — 743 с. Надійшла 16.05.2006
id	journaliasakpiua-article-164986
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2025-07-17T10:24:30Z
publishDate	2019
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/ed/2c67dd364e38a4b60597ed2e972d97ed.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1649862019-04-23T15:44:17Z Integrated sensitivity analysis method for analytic hierarchy process Комплексное оценивание чувствительности решения на основе метода анализа иерархий Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій Pankratova, N. D. Nedashkivska, N. I. An integrated methodology for global estimation of the sensitivity of decisions made with using the method of hierarchy process analysis is proposed, which makes it possible to improve the expert judgement consistency, to determine both the resistance of hierarchy element weights to inaccuracies in the expert information and the element weight ranges within which alternative ranks do not change, and to find critical and stable elements. Предложена комплексная методология проведения глобального оценивания чувствительности решения, полученного методом анализа иерархий, что позволяет повысить согласованность экспертных оценок; определить устойчивость весов элементов иерархии к неточностям в экспертной информации, а также области значений весов элементов, при которых не происходит изменение рангов альтернатив; найти критические и устойчивые элементы задачи. Запропоновано комплексну методологію проведення глобального оцінювання чутливості рішення, отриманого методом аналізу ієрархій, що дозволяє підвищити узгодженість експертних оцінок; визначити стійкість ваг елементів ієрархії до неточностей в експертній інформації, а також області значень ваг елементів, при яких не виникає зміни рангів альтернатив; знайти критичні та стійкі елементи задачі. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-04-23 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/164986 System research and information technologies; No. 3 (2006); 7-25 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2006); 7-25 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2006); 7-25 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/164986/164030 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Pankratova, N. D. Nedashkivska, N. I. Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій
title	Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій
title_alt	Integrated sensitivity analysis method for analytic hierarchy process Комплексное оценивание чувствительности решения на основе метода анализа иерархий
title_full	Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій
title_fullStr	Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій
title_full_unstemmed	Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій
title_short	Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій
title_sort	комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/164986
work_keys_str_mv	AT pankratovand integratedsensitivityanalysismethodforanalytichierarchyprocess AT nedashkivskani integratedsensitivityanalysismethodforanalytichierarchyprocess AT pankratovand kompleksnoeocenivaniečuvstvitelʹnostirešeniânaosnovemetodaanalizaierarhij AT nedashkivskani kompleksnoeocenivaniečuvstvitelʹnostirešeniânaosnovemetodaanalizaierarhij AT pankratovand kompleksneocínûvannâčutlivostíríšennânaosnovímetoduanalízuíêrarhíj AT nedashkivskani kompleksneocínûvannâčutlivostíríšennânaosnovímetoduanalízuíêrarhíj

Комплексне оцінювання чутливості рішення на основі методу аналізу ієрархій

Institution

Similar Items