Оптимізація стратегії політичних партій під час передвиборної кампанії
A theoretical game model for struggle of two big parties for the constituency in the course of election campaign is proposed. The uniqueness of solution to problem of optimal strategy choice in funds distribution among districts is proved. On the basis of the solution to the set optimization problem...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165228 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302330803060736 |
|---|---|
| author | Ostapenko, V. V. Ostapenko, O. S. Podladchikova, T. V. |
| author_facet | Ostapenko, V. V. Ostapenko, O. S. Podladchikova, T. V. |
| author_sort | Ostapenko, V. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-04-24T15:47:42Z |
| description | A theoretical game model for struggle of two big parties for the constituency in the course of election campaign is proposed. The uniqueness of solution to problem of optimal strategy choice in funds distribution among districts is proved. On the basis of the solution to the set optimization problem, the decision rule is indicated, which defines the sum of money that a party has to put in the campaign when the information about the competitors is of stochastic nature. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.В. Остапенко, О.С. Остапенко, Т.В. Подладчикова, 2006
84 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2
УДК 518. 9
ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАТЕГИИ ПОЛИТИЧЕСКИХ ПАРТИЙ В
ХОДЕ ПРЕДВЫБОРНОЙ КАМПАНИИ
В.В. ОСТАПЕНКО, О.С. ОСТАПЕНКО, Т.В. ПОДЛАДЧИКОВА
Предложена теоретико-игровая модель борьбы двух крупных партий за элек-
торат в ходе предвыборной кампании. Доказано существование и единствен-
ность решения задачи выбора оптимальной стратегии распределения денеж-
ных средств по районам. На основе решения поставленной оптимизационной
задачи в работе указывается решающее правило, которое определяет, какие
средства вложить партии для выигрыша, когда информация о конкурентах но-
сит лишь вероятностный характер.
ВВЕДЕНИЕ
Определяющим в борьбе двух партий за электорат в ходе предвыборной
кампании является то, что каждая из них влияет на электорат. Поэтому, что-
бы определить оптимальную политику при ограниченных денежных ресур-
сах, каждая партия должна учитывать не только свое влияние на электорат,
но и косвенное влияние через взаимодействие своих конкурентов.
Стратегия каждой партии направлена на максимизацию количества из-
бирателей, отдающих голоса за нее. Предлагается модель, которая является
развитием модели борьбы двух партий, рассмотренной в работе [1]. Там же
приведен обзор математических моделей и методов в социологии.
В данной работе формируется функция выигрыша, адекватно описы-
вающая анализируемый процесс, а также обеспечивающая существование и
единственность решения задачи максимизации при ограниченных денеж-
ных средствах.
Функция выигрыша формируется с учетом неоднородности влияния на
электорат в различных районах. Формулируется задача математического
программирования для определения максимального количества голосов,
отданных за партию, и определения оптимальной стратегии распределения
денежных средств по районам в ходе предвыборной кампании.
Задача оптимизации формулируется в работе как задача решения нели-
нейной системы, размерность которой зависит от количества районов и сво-
дится к задаче решения одного нелинейного уравнения с одним неизвест-
ным.
На основе решения оптимизационной задачи в работе вводится ре-
шающее правило, определяющее, какие средства на выборы следует вло-
жить партии в неопределенной ситуации, когда информация о действиях
конкурентов носит лишь вероятностный характер. Решающее правило сво-
дит к минимуму риск, т.е. потери, связанные с принятием неправильного
решения.
Оптимизация стратегии политических партий в ходе предвыборной кампании
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 85
ФУНКЦИЯ ВЫИГРЫША
Предполагается, что цель каждой из двух конкурирующих партий заключа-
ется в максимизации количества избирателей, отдавших свои голоса за эту
партию. Предвыборная кампания проводится в n районах. В каждом из них
количество населения, имеющее право голоса, равно iA ( 0>iA , ni ,...,1= ).
Также предполагается, что на основе экспертных оценок определена степень
влияния каждой партии в районах предвыборной борьбы.
Первая и вторая партии выделяют на выборы капитал соответственно
a и b . Оптимальная стратегия каждой партии состоит в том, чтобы распре-
делить капитал между районами для обеспечения максимального выигрыша.
Введем функции, отражающие зависимость процента полученных пар-
тиями голосов в каждом районе от вложенного капитала и влияния в этом
районе.
( )
ii
ii
ii xk
xk
xf
+
=
1
, (1)
где ( )ii xf — функция вложенного в i -й район капитала ix , которая пока-
зывает, какую часть электората первая партия может привлечь на свою сто-
рону в этом районе.
( )
ii
ii
ii yl
yl
yg
+
=
1
, (2)
где ( )ii yg — функция вложенного в i -й район капитала iy , показывающая,
какую часть электората вторая партия может привлечь на свою сторону в
этом районе.
Коэффициенты 0≥ik и 0≥il отражают приоритет i -го района соот-
ветственно для первой и второй партий.
Функции выигрыша выбраны таким образом, что с ростом капитало-
вложений каждая последующая денежная единица приносит меньшее коли-
чество голосов, чем предыдущая. При достаточно больших величинах вло-
женного капитала его дальнейшее увеличение практичесеки не приводит к
увеличению выигрыша (рис. 1).
1
0 10 20 30 40 50
f i(
x i
)
xi
0,5
0
Рис. 1. Качественный характер зависимости функции выиграша от вложенного ка-
питала
В.В. Остапенко, О.С. Остапенко, Т.В. Подладчикова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 86
Предполагается, что обе партии одновременно получают голоса в каж-
дом районе. Пусть iu — количество голосов, которые получила первая пар-
тия в i -м районе, iv — количество голосов второй партии в этом же районе.
Тогда одновременный выбор для партий в i -м районе запишем в виде
).()(
),()(
iiiii
iiiii
uAygv
vAxfu
−=
−=
Решение этой системы относительно iu и iv следующее:
i
iiii
iiii
i Aygxf
ygxfu )()(1
))(1()(
−
−
= ,
i
iiii
iiii
i Aygxf
xfygv )()(1
))(1()(
−
−
= .
Общий выигрыш для первой партии обозначим как
∑
=
=
n
i
iii yxFyxF
1
),(),( ,
где yx, — n -мерные векторы, компонентами которых являются соответст-
венно ii yx , .
i
iiii
iiii
iii A
ygxf
ygxf
yxF
)()(1
))(1()(
),(
−
−
= . (3)
Общий выигрыш для второй партии
∑
=
=
n
i
iii yxGyxG
1
),(),( ,
где
i
iiii
iiii
iii A
ygxf
xfyg
yxG
)()(1
))(1()(
),(
−
−
= . (4)
Подставляя выражения (1) и (2) соответственно в (3) и (4), получаем
( ) i
iiii
ii
iii A
ylxk
xk
yxF
++
=
1
, ,
( ) i
iiii
ii
iii A
ylxk
yl
yxG
++
=
1
, .
Функции общего выигрыша ),( yxF и ),( yxG имеют непрерывные вто-
рые частные производные. В силу того что эти функции аддитивны, матри-
цы Гессе для них имеют диагональную форму.
Гессиан матрицы ),( yxF
Оптимизация стратегии политических партий в ходе предвыборной кампании
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 87
( )
( )
( )
( ) ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
−
++
+
−
=
i
nnnn
nnn
i
F
A
ylxk
ylk
A
ylxk
ylk
H
3
2
3
1111
11
2
1
1
12
0000
.....
.....
.....
0000
1
12
.
Гессиан матрицы ),( yxG
( )
( )
( )
( ) ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
+
−
++
+
−
=
i
nnnn
nnn
i
G
A
ylxk
xkl
A
ylxk
xkl
H
3
2
3
1111
11
2
1
1
12
0000
.....
.....
.....
0000
1
12
.
Матрицы FH и GH отрицательно определены. Следовательно, функ-
ции общего выигрыша строго вогнуты. Это значит, что с увеличением вло-
женного капитала каждая дополнительная денежная единица, выделенная на
выборы, приносит меньше дополнительных голосов, чем предыдущая.
МАКСИМИЗАЦИЯ ВЫИГРЫША ПАРТИЙ
Задача максимизации выигрыша для первой партии заключается в выборе
значений капитала ix , максимизирующих функцию ( )yxF , , для второй — в
выборе iy , максимизирующих функцию ( )yxG , .
Суммарные расходы по районам не могут превышать общего капитала,
т.е.
ax
n
i
i ≤∑
=1
, by
n
i
i ≤∑
=1
,
где .0,0 >> ba
Таким образом, задача максимизации выигрыша для каждой партии
формулируется как задача нелинейного программирования следующим об-
разом.
Для первой партии
( )yxF
x
,max при условиях ax
n
i
i ≤∑
=1
, 0≥ix , ( )ni ,,1…= . (5)
Для второй партии
( )yxG
y
,max при условиях by
n
i
i ≤∑
=1
, 0≥iy , ( )ni ,,1…= . (6)
В.В. Остапенко, О.С. Остапенко, Т.В. Подладчикова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 88
Рассмотрим задачу максимизации для первой партии при произволь-
ных неотрицательных значениях iy .
В силу того что ( )yxF , непрерывная функция, допустимое множество
x — компактное, по теореме Вейерштрасса решение этой задачи существу-
ет [2]. А так как целевая функция строго вогнута по x , то это решение един-
ственно [3].
Определим функцию Лагранжа
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
=
−+∑
=
=
n
i
ixa
n
i
iii yxFyxL
11
),(),,( λλ ,
где λ — множитель Лагранжа.
Так как функция ( )yxF , строго вогнута по x , а допустимое множество
задается линейными ограничениями, то для оптимальности точки *x в со-
ответствии с теоремой Куна–Такера необходимо и достаточно существова-
ния такого 0* ≥λ , чтобы пара ( )λ*,x была седловой точкой функции Ла-
гранжа на множестве 0≥x [3, 4].
Запишем условия существования седловой точки ),,( yxL λ .
0≤−
∂
∂
=
∂
∂ λ
i
i
i x
F
x
L , ni ,,1…= ,
0
1
≥−=
∂
∂ ∑
=
n
i
ixaL
λ
,
0=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
=
∂
∂
i
i
i
i
i
x
x
F
x
x
L λ , ni ,,1…= , (7)
0
1
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
∂
∂ ∑
=
n
i
ixaL λ
λ
λ ,
0,0 ≥≥ λx .
Все переменные и частные производные в выражении (7) вычисляются
в ( )yx ,, *λ∗ , где ∗x — решение задачи (5).
Таким образом, если *λ<
∂
∂
ix
F , то 0* =ix или если *λ=
∂
∂
ix
F , то 0>∗
ix .
Для капитала, вложенного во все районы, 0>∗
ix ( )ni …1= , справедливо со-
отношение *λ=
∂
∂
ix
F
.
Это значит, что капитал должен быть распределен таким образом, что-
бы скорости изменения функции выигрыша во всех районах были равными,
т.е. в оптимальной точке каждая последняя денежная единица в каждом
районе должна добавлять одинаковое количество голосов.
Оптимизация стратегии политических партий в ходе предвыборной кампании
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 89
Так как
( )
( )
0
1
1
2 >
++
+
=
∂
∂
iiii
iii
i ylxk
ylk
x
F , то 0* >λ .
Из положительности λ и условий существования седловой точки сле-
дует, что весь капитал должен быть израсходован, т.е.
0
1
=−∑
=
n
i
ixa .
Это также следует из того факта, что если бы не весь капитал был из-
расходован, то оставшиеся деньги можно было бы вложить в какой-нибудь
район и тем самым увеличить выигрыш.
Считается, что партия вкладывает капитал во все районы. В противном
случае можно уменьшить размерность пространства допустимых решений,
исключив из рассмотрения неохваченные районы.
Тогда условия оптимальности первого порядка примут вид
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−
=−
∂
∂
∑
=
.0
,0
1
n
i
i
i
xa
x
F λ
(8)
Так как функция F дифференцируема и вогнута, а ограничения линей-
ны, решение системы (8) представляет собой глобальное решение задачи
условной оптимизации (5) [5,6].
Аналогично формулируются необходимые и достаточные условия ре-
шения задачи (6) максимизации выигрыша для второй партии при произ-
вольном неотрицательном наборе 0≥ix .
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−
=−
∂
∂
∑
=
,0
,0
1
n
i
i
i
yb
y
G µ
(9)
где µ — множитель Лагранжа.
Поскольку обе партии стремятся одновременно максимизировать свой
выигрыш, то решение задачи одновременной максимизации выигрыша
обеими партиями может быть получено как совместное решение объеди-
ненной системы.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=−
=−
∂
∂
=−
∂
∂
∑
∑
=
=
0
,0
,0
,0
1
1
n
i
i
n
i
i
i
i
yb
xa
y
G
x
F
µ
λ
(10)
В.В. Остапенко, О.С. Остапенко, Т.В. Подладчикова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 90
или
( )
( )
( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
==
++
+
==
++
+
∑
∑
=
=
.
,
,,,1,
1
1
,,,1,
1
1
1
1
2
2
by
ax
niA
ylxk
xkl
niA
ylxk
ylk
n
i
i
n
i
i
i
iiii
iii
i
iiii
iii
…
…
µ
λ
(11)
Решение системы (11) существует, если определитель матрицы Якоби
не равен нулю.
Матрица Якоби размерности 22)22( +×+ nn для системы (11) имеет
вид
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
00111000
00000111
1000
100000
100000
0100
010000
010000
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
1
1
2
11
1
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
11
1
2
2
1
1
2
……
……
…………
…………………………
……
……
…………
…………………………
……
……
n
n
nn
n
nn
n
n
n
y
G
xy
F
y
G
xy
F
y
G
xy
F
yx
G
x
F
yx
G
x
F
yx
G
x
F
J .
Покажем, что матрица Якоби невырожденная.
Представим матрицу J в блочном виде
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
0TC
CA
J ,
где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
G
F
HQ
QH
A
2
1 ,
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
=
ii
i
yx
GQ
2
1 diag , ni
xy
FQ
ii
i ,,1,diag
2
2 …=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
= ,
Оптимизация стратегии политических партий в ходе предвыборной кампании
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 91
T
T
T
c
cC
2
1= , ( )0,,001,,111 ……=Tc , ( )1,,110,,002 ……=Tc .
Покажем, что матрица A невырожденная. Умножим первую строку
субматрицы A на 1
2
−
FHQ и вычтем из второй строки. Полученным резуль-
татом заменим вторую строку.
Тогда
( ) ( ) ( )1
1
2
1
1
2
1 detdet
0
detdet QHQHH
QHQH
QH
A FGF
FG
F −
− −=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
= . (12)
Матрица QHQH FG
1
2
−− также имеет диагональную форму.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
−
∂
∂
=− −
2
2
22
2
2
1
2 diag
i
i
ii
i
ii
i
i
i
FG
x
F
yx
G
xy
F
y
G
QHQH .
С учетом
( )
( ) i
iiii
iii
i
i A
ylxk
ylk
x
F
3
2
2
2
1
1
++
+
−=
∂
∂
,
( )
( ) i
iiii
iii
i
i A
ylxk
xkl
y
G
3
2
2
2
1
1
++
+
−=
∂
∂
,
( )
( ) i
iiii
iiiiii
ii
i A
ylxk
xkylkl
yx
G
3
2
1
1
++
−−
=
∂∂
∂
, ( )
( ) i
iiii
iiiiii
ii
i A
ylxk
ylxkkl
xy
F
3
2
1
1
++
−−
=
∂∂
∂
получаем, что диагональный элемент матрицы QHQH FG
1
2
−− имеет вид
( )
( )
0
1 3
2
>
++
+−++
iiii
iiiiiiiiiiii
ylxk
ylxkylxkylxk
.
Следовательно, каждый сомножитель в правой части выражения (12)
отличен от нуля и матрица A невырожденная.
Рассмотрим матрицу
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
0
~
1
1
T
T
c
cAA .
Применяя прием, аналогичный предыдущему, запишем
( ) ( ) ( )1
1
1detdet~det cAcAA T −= .
Так как матрица невырожденная, то ( ) 0~det ≠A .
Представим якобиан в виде
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
~
2
2
Tc
cAJ .
Тогда ( ) ( ) 0)~(det~detdet 22 ≠= cAcAJ T .
Таким образом, решение задачи максимизации существует.
В.В. Остапенко, О.С. Остапенко, Т.В. Подладчикова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 92
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Поиск решения нелинейной системы (10) из 22 +n уравнений с 22 +n не-
известными может быть значительно упрощен, если исключить два неиз-
вестных множителя Лагранжа.
Разделив первое уравнение системы (10) на второе, получим
( )
( ) µ
λ
=
+
+
iii
iii
xkl
ylk
1
1
(13)
или
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
i
i
i
i l
y
k
x 11
λ
µ . (14)
Просуммируем обе части последнего равенства по i .
∑ ∑
= =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
n
i
n
i i
i
i
i l
y
k
x
1 1
11
λ
µ .
Учитывая ограничения ∑
=
=
n
i
i ax
1
, ∑
=
=
n
i
i by
1
, можно записать
b
l
a
k
n
i i
n
i i
+
+
=
∑
∑
=
=
1
1
1
1
λ
µ . (15)
Обозначим отношение множителей Лагранжа λµ через C .
Из выражения (15) следует, что если обе партии имеют одинаковое
суммарное влияние, т.е. ∑
=
n
i ik1
1 =∑
=
n
i il1
1 , но первая партия вложила больше
средств на выборы, чем вторая, т.е. ba > , то последняя денежная единица,
вложенная второй партией, принесет ей больше голосов, чем первой. При
равных капиталах, вложенных партиями в предвыборную кампанию, и
большем влиянии первой партии, последняя денежная единица, вложенная
второй партией, принесет ей меньше голосов, чем первой.
Подставляя C=λµ в выражение (14),
( )
i
iiii
ii l
lylCk
xk
−+
=
1
.
Воспользуемся полученным выражением для того, чтобы исключить
переменную ix из системы (11). Подставив его в первое уравнение системы
(11), после преобразования получим систему из 1+n уравнения с 1+n не-
известным
( )
( )( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
++
+
∑
=
.
,
1
1
22
2
by
CklCkly
Ayllk
n
i
i
iiiii
iiiii λ
(16)
Оптимизация стратегии политических партий в ходе предвыборной кампании
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 93
Первое уравнение системы (16) запишем в виде квадратного уравнения
относительно y .
( ) 02 5432
2
1 =−+−+ aayaaya ii λλλ , (17)
где ( )22
1 iii lCkla += , ( ) iiii CklCkla += 2
2 , iii Alka 3
3 = , 22
4 ikCa = , =5a
iii Alk 2= .
Решение уравнения (17) имеет вид
( ) ( )
λ
λλλλ
1
541
2
3223
2
422
a
aaaaaaa
yi
−−−±−
= .
После подстановки выражений 54321 ,,,, aaaaa и ряда преобразований,
получим решение уравнения (17)
( )
( ) λ
λ
22
23
2
2
iii
iiiiiii
i
lCkl
DkClCklAlk
y
+
±+−
= , (18)
где ( ) 26254 iiiiiiii AlkAlkkClD ++= λ .
Знак «–» перед выражением D можно исключить, так как в этом слу-
чае 0<iy .
Воспользовавшись ограничением by
n
i
i =∑
=1
, исключим из выражения
(18) iy и получим одно уравнение с одним неизвестным множителем Лаг-
ранжа λ .
( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∑
= = == +
+
+
−
+
==
n
i
n
i
n
i iiiiii
i
iii
iii
n
i
i
lCkl
D
lCkl
Ck
lCkl
Alk
by
1 1 1
22222
3
1 222 λλ
.
Таким образом, оптимальный множитель Лагранжа λ может быть оп-
ределен из следующего уравнения:
( )
( )
0
21
22
21 =
+
++− ∑
=
n
i iii lCkl
DSbS λ , (19)
где
( )∑
= +
=
n
i iii
iii
lCkl
Alk
S
1
22
3
1
2
, ( )∑
= +
=
n
i iii
i
lkCl
kC
S
1
22
2
.
Таким образом, задача решения нелинейной системы (11) из 22 +n
уравнений с 22 +n неизвестными сведена к задаче решения одного нели-
нейного уравнения (19) с одним неизвестным λ .
Алгоритм решения задачи состоит из следующих этапов:
1. Вычисление оптимального множителя Лагранжа λ из уравнения
(19) с использованием численного метода.
2. Определение ),,1( niyi …= в соответствии с выражением (18).
3. Вычисление ),,1( nixi …= на основе уравнения (14).
В.В. Остапенко, О.С. Остапенко, Т.В. Подладчикова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 94
МИНИМИЗАЦИЯ РИСКА
Решение задачи об оптимальном распределении ограниченного капитала
между районами позволяет каждой партии оценить свои шансы на выиг-
рыш, т.е. на получение большего количества голосов, чем конкурирующая
партия.
Если стратегия политической партии направлена на победу на выборах,
то на основе предложенной модели можно оценить, какой капитал необхо-
димо выделить на предвыборную кампанию для достижения поставленной
цели. Решение о величине капитала принимается на основе информации о
денежных средствах, вложенных конкурирующей партией на предвыбор-
ную кампанию.
Если конкурирующая (вторая) партия выделила капитал b , то на осно-
ве приведенной модели можно определить требуемый для победы капитал
a , который необходимо выделить первой партии.
Если оказалось, что вторая партия вложила в предвыборную кампанию
больше, чем ожидалось денежных средств, bb >1 , то первая партия проиг-
рывает, и вложенный капитал a можно считать потерей, связанной с приня-
тием неправильного решения о величине a выделенного капитала.
Напротив, в том случае, если вторая партия вложила меньше ожидае-
мых средств, т.е. оказалось, что bb <2 , то выделенный первой партией на
предвыборную кампанию капитал a можно считать избыточным. Для побе-
ды на выборах достаточно было бы выделить капитал aa <2 , а потери, свя-
занные с неправильным решением, оценить величиной aa −2 .
Предположим, что первой партии известны лишь вероятности
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=∑
=
m
j
jm PPPP
1
21 1,...,, того, что вторая партия выделит на выборы капитал
соответственно mbbb ,...,, 21 ( 1,,1,1 −=> + mjbb jj … ).
На основе этой информации необходимо принять решение о величине
выделяемого на предвыборную кампанию капитала.
Из решения задачи об оптимальном распределении средств между рай-
онами для максимизации выигрыша можно определить соответственно ве-
личины капиталов maaa ,...,, 21 в каждом из рассмотренных m случаев.
С учетом имеющейся информации для принятия решения о величине
выделяемого капитала целесообразно воспользоваться следующим решаю-
щим правилом.
Пусть
⎩
⎨
⎧
≥−
<
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
jiaa
jia
b
a
ji
i
j
i
,
,,
λ — потери, связанные с вложением
капитала ia , когда конкурирующая партия вложила капитал jb . Так как
jP — вероятность того, что действительное вложение конкурента jb , то
ожидаемые потери равны
Оптимизация стратегии политических партий в ходе предвыборной кампании
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 95
( ) ( )∑ ∑∑
= +==
+−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
i
j
m
ij
jijjij
m
i j
i
ii PaPaaPb
aaR
1 11
λ . (20)
Согласно терминологии принятия решений, ожидаемые потери назы-
ваются риском. Они сводятся к минимуму выбором действия, минимизи-
рующего риск.
ПРИМЕРЫ
В качестве примера рассмотрим распределение капитала между двумя рай-
онами, в которых проводится избирательная кампания. Электорат первого
района 2001 =A , второго — 1502 =A . Приоритеты і-го района для первой и
второй партий соответственно равны 2,01 =k ; 3,02 =k ; 4,01 =l ; 2,02 =l .
Предположим, первая партия выделила на избирательную кампанию
капитал 10=a , а вторая — 15=b .
Уравнение (19) для рассматриваемого примера имеет вид
0
016,0
13,0026,0
101,0
554,6922,0
18,47448,024 =
+
+
+
+−
λλ
λ . (21)
Решение уравнения: 328,6=λ .
В соответствии с выражением (15) 815,0=C . Из выражения (18) сле-
дует, что вторая партия получит максимальное количество голосов, если в
первый район вложит 75,81 =y , во второй 25,62 =y .
Из выражения (14) следует, что для первой партии распределение капи-
тала a будет оптимальным, если в первый район она вложит 167,41 =x , а
во второй 833,52 =x .
Общий выигрыш первой партии ∑
=
=
2
1
),(),(
i
iii yxFyxF , т.е. количество
голосов, отданных за нее, равен 96,875. Общий выигрыш второй партии
∑
=
=
2
1
),(),(
i
iii yxGyxG равен 178,125.
Заметим, что в случае увеличения количества районов, решение задачи
практически не усложняется. Единственное отличие — увеличение количе-
ства слагаемых в выражении (21).
Так, например, если предвыборная кампания проводится в трех рай-
онах, то в правой части выражения (21) добавляется одно слагаемое. В слу-
чае приорита в третьем районе обеих партий 4,03 =k ; 3,03 =l и электорате
1803 =A уравнение для определения множителя Лагранжа λ принимает
форму
0
007,0
779,3436,0
016,0
13,0025,0
101,0
554,692,0
5,18376,297 =
+
+
+
+
+
+−
λλλ
λ .
Решение уравнения: 662,9=λ .
В.В. Остапенко, О.С. Остапенко, Т.В. Подладчикова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 96
Оптимальное распределение капитала: 688,3;809,1 21 == xx ; 502,43 =x
для первой партии; 35,5;707,3;944,5 321 === yyy для второй.
Общий выигрыш первой партии ∑
=
=
3
1
),(),(
i
iii yxFyxF равен 151,213.
Общий выигрыш второй партии ∑
=
=
3
1
),(),(
i
iii yxGyxG равен 231,775.
В последнем случае обе партии имеют одинаковое суммарное влияние,
т.е. ∑∑
==
=
3
1
3
1
11
i ii i lk
, но вторая партия вложила больше средств на выборы, чем
первая, т.е. ba < . Последняя денежная единица, вложенная первой партией,
приносит ей больше голосов, чем второй партии. Капитал 15=b , вложен-
ный второй партией в 1,5 раза больше капитала 10=a первой партии.
В этих условиях количество голосов 775,231=G , отданных за вторую пар-
тию, также приблизительно в 1,5 раза превышает количество голосов
213,151=F .
Решение задачи об оптимальном распределении ограниченного капита-
ла между районами позволяет каждой партии оценить размер денежных
средств для получения большего, чем конкурирующая партия, количества
голосов.
Предположим, что в условиях проведения предвыборной кампании в
двух районах первой партии известна сумма капитала 15=b , вкладываемо-
го второй партией. Количество голосов, отданных за каждую партию, зави-
сит от величины капитала a , вкладываемого первой партией.
На рис. 2 сплошная кривая показывает зависимость количества голо-
сов, полученных первой партией от величины капитала a , пунктирная —
зависимость количества голосов, полученных второй партией от величины
капитала a .
Как видно из рис. 2, с ростом a от 10 до 30 количество голосов, отдан-
ных за первую партию, увеличивается с 93 до 175, а количество голосов,
Рис. 2. Зависимость количества голосов от a при 15=b
90
110
130
150
170
190
0 10 20 30 40
К
ол
ич
еч
тв
о
го
ло
со
в F
G
a
К
ол
ич
ес
тв
о
го
ло
со
в
Оптимизация стратегии политических партий в ходе предвыборной кампании
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 97
полученных второй партией, уменьшается со 173 до 115. При 20=a выиг-
рыш первой партии превышает выигрыш второй. Поэтому капитал 20=a
первой партии необходимо вложить для своей победы на выборах.
Если вторая партия вкладывает в предвыборную кампанию капитал
9=b , то, как видно из рис. 3, выигрыш первой партии обеспечивается ве-
личиной капитала 12=a .
При 3=b для выигрыша первой партии достаточно вложить капитал
5=a (рис. 4).
Таким образом, при 15=b для выигрыша первой партии достаточно
вложить капитал 20=a , при 9=b капитал 12=a , при 3=b капитал
5=a .
Пусть первой партии известны лишь вероятности
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=∑
=
3
1
321 1,,
j
jPPPP
того, что вторая партия выделит на выборы капитал соответственно
3,9,15 321 === bbb .Определим величину )3,2,1( =iai капитала, исходя из
минимизации риска.
Потери ijλ , связанные с вложением капитала ia , когда конкурирующая
партия вложила jb :
7,0,12,15,81220,0 232221131211 =====−== λλλλλλ ,
0,5,5 333231 === λλλ .
Рис. 3. Зависимость количества голосов от a при 9=b
100
120
140
160
180
0 5 10 15 20 25
К
ол
ич
ес
тв
о
го
ло
со
в
F
G
a К
ол
ич
ес
тв
о
го
ло
со
в
К
ол
ич
ес
тв
о
го
ло
со
в
0
50
100
150
200
0 5 10 15
К
ол
ич
еч
тв
о
го
ло
со
в
F
G
a
Рис. 4. Зависимость количества голосов от a при 3=b
1 К
ол
ич
ес
тв
о
го
ло
со
в
В.В. Остапенко, О.С. Остапенко, Т.В. Подладчикова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 98
Риск принятия решения о величине капитала 15=a равен
321 158 PPR += . При 12=a риск 312 712 PPR += . При 3=a равен =3R
21 55 PP += .
Таким образом, выбирается то значение капитала a , которому соответ-
ствует минимальный риск R .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Поставлена задача выбора оптимальной стратегии распределения ограни-
ченных денежных средств по районам, в которых проводится предвыборная
кампания. Приведено доказательство существования и единственности ре-
шения задачи максимизации голосов для каждой партии при ограниченных
денежных средствах.
Задача оптимизации, сформулированная в работе как задача решения
нелинейной системы, размерность которой зависит от количества районов,
сведена к задаче решения одного нелинейного уравнения с одним неизвест-
ным.
Показано, что приведенное решение задачи оптимизации распределе-
ния капитала между районами позволяет каждой партии оценить необходи-
мый размер денежных средств для получения большего, чем конкурирую-
щая партия, количества голосов на выборах.
В условиях, когда информация о денежных средствах конкурентов но-
сит лишь вероятностный характер, предложен метод выбора решения о ве-
личине вкладываемых денежных средств, который сводит к минимуму риск,
т.е. потери, связанные с принятием неправильного решения.
Предложенная модель может быть использована для моделирования
процесса борьбы фирм за рынки сбыта.
ЛИТЕРАТУРА
1. Недашківська Н.І., Остапенко В.В, Остапенко О.С. Теоретико-ігрова модель
боротьби партій за електорат // Системні дослідження та інформаційні тех-
нології. — 2003. — № 4. —С. 113–119.
2. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 655 с.
3. Карманов В.Г. Математическое программирование. — М.:Наука, 1975. —
288 с.
4. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая
теория. — М.: Мир, 1975. — 547 с.
5. Исследование операций. Т.1. Методологические основы и математические ме-
тоды / Под ред. Дж.Моудера, С. Элмаграби. — М.:Мир, 1981. — 711 с.
6. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. — М.: Радио и связь, 1988. —
127 с.
Поступила 13.01.2005
|
| id | journaliasakpiua-article-165228 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:44Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/46/12b26f4f3037373124a5a86f8ee1bf46.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1652282019-04-24T15:47:42Z Optimization of political parties strategy during election campaign Оптимизация стратегии политических партий в ходе предвыборной камппании Оптимізація стратегії політичних партій під час передвиборної кампанії Ostapenko, V. V. Ostapenko, O. S. Podladchikova, T. V. A theoretical game model for struggle of two big parties for the constituency in the course of election campaign is proposed. The uniqueness of solution to problem of optimal strategy choice in funds distribution among districts is proved. On the basis of the solution to the set optimization problem, the decision rule is indicated, which defines the sum of money that a party has to put in the campaign when the information about the competitors is of stochastic nature. Предложена теоретико-игровая модель борьбы двух крупных партий за электорат в ходе предвыборной кампании. Доказано существование и единственность решения задачи выбора оптимальной стратегии распределения денежных средств по районам. На основе решения поставленной оптимизационной задачи в работе указывается решающее правило, которое определяет, какие средства вложить партии для выигрыша, когда информация о конкурентах носит лишь вероятностный характер. Запропоновано теоретико-ігрову модель боротьби двох великих партій за електорат під час передвиборної кампанії. Доведено існування єдиного розв’язку вибору оптимальної стратегії розподілу грошових засобів по районах. На основі розв’язку поставленої оптимізаційної задачі в роботі вказується вирішальне правило, що визначає, які гроші необхідно вкласти партії для виграшу, коли інформація про конкурентів носить лише ймовірнісний характер. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-04-24 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165228 System research and information technologies; No. 2 (2006); 84-98 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2006); 84-98 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2006); 84-98 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165228/164354 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Ostapenko, V. V. Ostapenko, O. S. Podladchikova, T. V. Оптимізація стратегії політичних партій під час передвиборної кампанії |
| title | Оптимізація стратегії політичних партій під час передвиборної кампанії |
| title_alt | Optimization of political parties strategy during election campaign Оптимизация стратегии политических партий в ходе предвыборной камппании |
| title_full | Оптимізація стратегії політичних партій під час передвиборної кампанії |
| title_fullStr | Оптимізація стратегії політичних партій під час передвиборної кампанії |
| title_full_unstemmed | Оптимізація стратегії політичних партій під час передвиборної кампанії |
| title_short | Оптимізація стратегії політичних партій під час передвиборної кампанії |
| title_sort | оптимізація стратегії політичних партій під час передвиборної кампанії |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165228 |
| work_keys_str_mv | AT ostapenkovv optimizationofpoliticalpartiesstrategyduringelectioncampaign AT ostapenkoos optimizationofpoliticalpartiesstrategyduringelectioncampaign AT podladchikovatv optimizationofpoliticalpartiesstrategyduringelectioncampaign AT ostapenkovv optimizaciâstrategiipolitičeskihpartijvhodepredvybornojkamppanii AT ostapenkoos optimizaciâstrategiipolitičeskihpartijvhodepredvybornojkamppanii AT podladchikovatv optimizaciâstrategiipolitičeskihpartijvhodepredvybornojkamppanii AT ostapenkovv optimízacíâstrategíípolítičnihpartíjpídčasperedvibornoíkampaníí AT ostapenkoos optimízacíâstrategíípolítičnihpartíjpídčasperedvibornoíkampaníí AT podladchikovatv optimízacíâstrategíípolítičnihpartíjpídčasperedvibornoíkampaníí |