Використання методу чисельно-асимптотичного наближення для дослідження процесу взаємодії β⁻-випромінювання з лінійними гнучколанцюговими полімерами
An algorithm for asymptotic approximation of the solution to one class of model nonlinear singularly-perturbed boundary problems in radiation physics of spatially-nonuniform linear flexible-chain polymer systems has been constructed. The obtained numerical data on the interaction of β⁻-radiation wit...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165344 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334354430066688 |
|---|---|
| author | Bomba, A. Ja. Klepko, V. V. Klimyuk, Yu. E. Kolupaev, B. B. Kolupaev, B. S. Lebedev, E. V. |
| author_facet | Bomba, A. Ja. Klepko, V. V. Klimyuk, Yu. E. Kolupaev, B. B. Kolupaev, B. S. Lebedev, E. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "A. Ja. Bomba",
"institution": null
},
{
"author": "V. V. Klepko",
"institution": null
},
{
"author": "Yu. E. Klimyuk",
"institution": null
},
{
"author": "B. B. Kolupaev",
"institution": null
},
{
"author": "B. S. Kolupaev",
"institution": null
},
{
"author": "E. V. Lebedev",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bomba, A. Ja. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-04-24T15:47:42Z |
| description | An algorithm for asymptotic approximation of the solution to one class of model nonlinear singularly-perturbed boundary problems in radiation physics of spatially-nonuniform linear flexible-chain polymer systems has been constructed. The obtained numerical data on the interaction of β⁻-radiation with polyvinylchloride are presented. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.Я. Бомба, В.В. Клепко, Ю.Е. Климюк, Б.Б. Колупаев, Б.С. Колупаев, Е.В. Лебедев, 2006
138 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2
УДК 518.61: 678.01
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ЧИСЛЕННО-
АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДО-
ВАНИЯ ПРОЦЕССА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ −β - ИЗЛУЧЕНИЯ С
ЛИНЕЙНЫМИ ГИБКОЦЕПНЫМИ ПОЛИМЕРАМИ
А.Я. БОМБА, В.В. КЛЕПКО, Ю.Е. КЛИМЮК,
Б.Б. КОЛУПАЕВ, Б.С. КОЛУПАЕВ, Е.В. ЛЕБЕДЕВ
Построен алгоритм асимптотического приближения решения одного класса
модельных нелинейных сингулярно возмущенных краевых задач радиацион-
ной физики пространственно-неоднородных линейных гибкоцепных полимер-
ных систем. Приведены результаты численных исследований взаимодействия
−β -излучения с поливинилхлоридом.
ВВЕДЕНИЕ
Установлено, что комплекс свойств полимерных материалов изменяется при
воздействии на них излучений высоких энергий [1]. Так, в случае электро-
проводности это связано с тем, что кроме дырок, ионов, дефектов структуры
образуются фотоэлектроны и комптоновские электроны, принимающие уча-
стие в создании тока проводимости [2]. Такие электроны, постепенно теряя
свою энергию, создают в образце множество γ - электронов [3]. Кроме того,
электроны захватываются различными ловушками, взаимодействуют с ио-
нами и радикалами [4]. Все это приводит к тому, что концентрация носите-
лей заряда изменяется не только в элементарном объеме среды, но и во вре-
мени. Особо следует отметить, что определенный интерес представляют
исследования взаимодействия −β -излучения с линейными гибкоцепными
полимерами, которые широко используются в науке и технике. Для таких
систем возможен захват образованного электрона макромолекулой, вызы-
вающий изменения релаксационных состояний и переходов в системе. Ха-
рактерно, что −β -частицы испытывают столкновения с атомами среды, в
результате которых случайным образом изменяют направление своего дви-
жения. Образованные при этом локальные флуктуации концентраций частиц
вызывают диффузионные процессы.
Если учесть, что система находится и во внешнем электрическом поле,
то наряду с диффузией происходит также дрейф носителей заряда. Дефекты,
возникающие под действием −β -излучения [4], занимают множество экви-
валентных положений в полимере. При этом предполагается, что скорость
захвата ими электронов, а также их рекомбинация зависят от подвижности
боковых групп или сегментов полимерной матрицы [5]. В конечном
итоге все это приводит к тому, что полимер, подверженный действию
Использование метода численно-асимптотического приближения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 139
−β -излучения, представляет собой пространственно неоднородную систему
[6], описание которой требует новых модельных подходов и математиче-
ских методов.
В данной работе в виде модельной линейной сингулярно возмущенной
краевой задачи аналитически описан процесс изменения концентрации
электронов проводимости, возникающих под действием потока −β -частиц,
в результате их взаимодействия с линейными гибкоцепными полимерами.
ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим модельную задачу расчета среднего числа ),( txC электронов
проводимости для линейного случая (все iC зависят от x и t , т.е. для об-
ласти }0;:),{( *
* ∞≤≤≤≤= txxxtхσ ), образованных в полимерной систе-
ме под действием −β -излучения. С учетом рассматриваемого процесса ре-
акционное кинетическое уравнение имеет вид
),(),(),(),(),()(),(),( txCtxtxCtxtxCxtxCtx txxx =+−+ γαβλε , (1)
)()0,(),(),(),(),( 0
0 xcxCtctxCtctxC === ∗
∗∗
∗ , (2)
где ),( txC — концентрация электронов проводимости в точке x в момент
времени t ; ),( txλ , )(xβ , ),( txα , ),( txγ — некоторые ограниченные функ-
ции; ε — малый параметр ( 0>ε ); )(tc∗ , )(tc∗ , )(0
0 tc — достаточно глад-
кие функции, согласованные между собой.
Решение задачи ),( txC с точностью )( 1+nO ε ищем в виде асимптоти-
ческого ряда
),,,(),(),(),(),(
1
11
0 εξεε txRtПtxСtxCtxC n
n
i
i
i
n
i
i
i +++= ∑∑
+
==
(3)
где ),,( εtxRn — остаточный член; ),( txCi ( ni ,0= ) — члены регулярной
части асимптотики; ),( tПi ξ ( 1,0 += ni ) — дополняющие функции в окре-
стности точки ∗= xx ; 1)( −
∗−= εξ xx — соответствующее регулирующее
преобразование (растяжение).
В результате подстановки (3) в (1) и выполнения стандартной процеду-
ры приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях ε [7], получим
следующие задачи для нахождения главной части ),(0 txC решения и по-
правок ),( txCi ( ni ,1= ):
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
===
=+−+
∗
−
,,0),()0,(),()0,(
,),(),(),(),(),()(),(),(
00
1
nitwxCxuxC
txCtxmtxCtxtxCxtxCtxl
ii
itiiixxxii γαβλ
(4)
где )()( 0
00 xcxu = , 0)( =xui , )()(0 tcxw ∗= , 0)( =twi , 00 =l , 1=il , 10 =m ,
0=im .
А.Я. Бомба, В.В. Клепко, Ю.Е. Климюк, Б.Б. Колупаев, Б.С. Колупаев, Е.В. Лебедев
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 140
В результате их решения имеем
=),( txCi
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
<
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∫ +−+
≥
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+∫
+−
=
∫∫
∫∫
−+−
−
−+
∗
+−
−
+−
−−
∗
∗∗
)5(),(
,)()),)(((
),(
,)(
)(
))()(,(
0
0
0
)),)(((
1
)),)(((
)(
))()(,(
)(
))()(,(
0
1
0
1
xft
xckdhehtxfhfqe
xft
tckdse
s
txfsfsq
e
t
i
hdhtxfhf
i
dhhtxfhf
i
x
x
sd
s
txfsfs
i
ds
s
txfsfs
tt
x
x
x
x
αα
β
α
β
α
β
где ∫
∗
=
x
x s
sdxf
)(
)(
β
— время прохождения некоторой частицы от точки ∗x к
точке x ; 1−f — функция, обратная f относительно переменной x (отме-
тим, что такая функция существует, поскольку )(xβ — непрерывно диффе-
ренцируемая, ограниченная, положительно определенная функция);
),(),(0 txtxq γ= , ),(),(),( 1 txCtxtxq xxii −= λ , 10 =k , 0=ik ( ni ,1= ).
Функция ∑
+
=
=
1
0
n
i
i
iПП ε предназначена для устранения «неувязки», вне-
сенной построенной регулярной частью ∑
=
=
n
i
i
iCC
0
ε асимптотики, в окре-
стности точки ∗= xx (выхода −β -частиц из среды), т. е., должно выпол-
няться условие ( ) )( 1+
∗∗= +=+ n
xx OcПC ε . Для ее нахождения
сформулируем задачи [8]
,1,0),(),0(,0),(
,),(),(),(
+==⎯⎯ →⎯
=+
∞→
∗∗
nitptПtП
tdПtxПtx
iii
iii
ξ
ξξξ
ξ
ξβλ
(6)
где
0),(0 =td ξ , ξγαξβξ ξξ ),(),()(),( 0001 txПtxПxПtd t
∗∗∗ −+′−= ,
...,,),(),(),(
!2/)()(),(
01
0
2
112
ξγξαα
ξβξβξ
ξξ
ξξξξξ
txПtxПtx
ПxПxПtd t
∗∗∗
∗∗
′−′++
+′′−′−=
),()()(0 txCtctp ∗∗ −= , 0)( =tpi ( 1,1 += ni ).
Использование метода численно-асимптотического приближения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 141
ЭКСПЕРИМЕНТ, РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ АНАЛИЗ
В качестве объекта исследования выбран типичный представитель линей-
ных гибкоцепных полимеров — поливинилхлорид (ПВХ) суспензионной
полимеризации марки С-65, очищенный переосаждением из раствора с ММ
5104,1 ⋅ [6]. Образцы для исследований готовили в Т-р режиме при
710=P Па и 403=T К в виде дисков толщиной ( l ) 610)14...13( − м и диа-
метром (Ø) 2106 −⋅ м. Электрические свойства ПВХ исследовали соответст-
венно Госстандарту 64332 – 71 и 25209 – 82. Источником −β -излучения
служил 234
91Pa ( 2UX ) c верхней границей энергетического спектра
32,2=W МэВ (80%), а также −β -частиц с энергией 1,5 МэВ (13%) и
0,60 МэВ (7%) [5].
Согласно соотношению (1) предполагаем, что изменение во времени
концентрации ),( txCi электронов в элементарном объеме ПВХ обусловлено
происходящими в нем процессами образования носителей заряда ),( txγ
за счет действия источника −β -излучения и их захвата ловушками
),(),( txCtxα . Предполагаем также, что при отсутствии действия источника
−β -излучения начальная концентрация электронов проводимости в ПВХ
составляет величину 0
0
0 )( пхС = . Если интенсивность −β -частиц при выхо-
де из образца ПВХ толщиной l составляет (по закону )(exp1 xNN µ−= [2])
величину )(exp)/(exp01 ltNN µτ −−= , где 0N — начальная интенсивность
−β -частиц; µ — коэффициент их поглощения; τ — время жизни [4], тогда
000
* )0,0( NNпС ≅+= , поскольку темновая проводимость ПВХ незначи-
тельная [1].
Согласно [9], когда на поверхность образца ПВХ падает 0N
−β -частиц, а поглощение их в объеме определяется коэффициентом экс-
тинкции ξ , скорость генерации носителей заряда на глубине x в единицу
времени
( )( ) 1
0 )(exp1)(exp1)/(exp),( −−−−−−= txltNtх µµτξηγ , (7)
где η — квантовый выход образования носителей. Если предположить, что
распределение ловушек по энергиям в полимерах описывается зависимо-
стью [4]
))(/(exp)( TkEAEN −= , (8)
где )(EN — концентрация ловушек на единичный интервал энергии; E —
глубина потенциальной ямы; k — постоянная Больцмана; T — температу-
ра, то
( ) ))(/(exp)(exp1)/(exp),( 1 TkAАxtttх −−−−= − µτα . (9)
А.Я. Бомба, В.В. Клепко, Ю.Е. Климюк, Б.Б. Колупаев, Б.С. Колупаев, Е.В. Лебедев
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 2 142
Исходя из результатов работы [9], 12)( −≅ tlxβ , где l — длина свобод-
ного пробега −β -частицы; 11/ln2 −−= ad NEEl σ ; E , dE — соответствен-
но максимальная энергия и энергия, передаваемая −β -частицей при соуда-
рении с неподвижным атомом; aN — число атомов в единице объема; σ —
сечение процесса взаимодействия −β -частицы с ПВХ. Подставляя соответ-
ствующие значения величин в соотношение (5), находим, что
( )
( ) ( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥+−
<+−
= ∗
∗
),(,exp
,)(),(exp
),(
0
0
22
2
10
||
||
xftxcKxKxK
xfttcKxAxB
txС
i
t
s
x
x
i
s
t
t
i
µµ
µµ
(10)
где )/(exp))(exp1(0 τµξη tlNB −−−= ; ( )[ ])(//exp1 TkEtAA +−= τ ; =Д
( ) 1
/ln22
−
×= da EENσ ; ДBK 2
1
2 = ; ДAK 1= .
На рисунке показаны результаты расчета изменения во времени и в
фиксированных точках ix образца концентрации электронов, принимающих
участие в проводимости ПВХ при 6105,2 ⋅=E В/м и 0=∗x , 0,1=∗x , а так-
же равномерной сетке деления
20
* ixxi −= ( 20,0=i ).
Распределение концентрации электронов проводимости, образованных в ПВХ под
действием −β -излучения: 1, 2, 3 — при 2
1 108 ⋅=t c; 2
2 1012 ⋅=t c; =3t
21026 ⋅= c, а также ее изменение во времени (4, 5, 6) в фиксированных точках:
7,01 =x ; 3,02 =x ; 1,03 =x при K293=T ; BA, — соответственно отсутствие
и наличие источника −β - частиц
0 5
C
10 15 20 x
0.7
i
t
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
3
4
5
1
2
6
x1
2
2
1
3
3t
t
t
x
x
B
B
B
A
A
A
10
-2 . , c
4
5
1
2
6
3
с
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
Использование метода численно-асимптотического приближения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 2 143
ВЫВОДЫ
Метод численно-асимптотического приближения позволяет решить и про-
анализировать феноменологическое уравнение кинетики равновесия носи-
телей заряда, описывающее процесс взаимодействия −β - излучения с ли-
нейными гибкоцепными полимерами. Это дает возможность прогнозировать
изменение комплекса свойств полимерных систем с учетом модифицирую-
щего действия радиации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Электрические свойства полимеров / Под ред. Б.И. Сажина. — Л.: Химия,
1977. — 376 c.
2. Друкарев Г.Ф. Теория столкновений электронов с атомами и молекулами. —
М.: Наука, 1978. — 217 с.
3. Позднев С.А. Резонансы в рассеянии электронов молекулами // ЖЭТФ. — 2004.
— 126. — Вып. 5 (11). — С. 1051–1072.
4. Доул М. Радиационная химия макромолекул. — М.: Атомиздат, 1978. — 325 с.
5. Рогаля А.М., Колупаев Б.Б., Шилов В.В. Дослідження поглинання бета-
випромінювання гетерогенними системами на основі гнучколанцюгових
полімерів // Физика конденсированных высокомолекулярных систем. —
2004. — № 10. — С. 98–101.
6. Френкель С.Я., Цыгельный И.М., Колупаев Б.С. Молекулярная кибернетика. —
Л.: Світ, 1990. — 166 с.
7. Бомба А.Я. Асимптотический метод решения одной сингулярно возмущенной
задачи массопереноса. — Киев: Киевский ун-т, 1986. — Деп. в УкрНИИН-
ТИ, № 286-Ук86. — С. 3–17.
8. Вишик М.И., Люстерник Л.Я. Регулярное вырождение и пограничный слой для
линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи
математических наук. — 1957. — Вып. 5. — № 12. — С. 3–122.
9. Нелипа Н.Ф. Введение в теорию многократного рассеяния частиц. — М.: Атом-
издат, 1960. — 286 с.
Поступила 02.10.2005
|
| id | journaliasakpiua-article-165344 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:47Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/63/c0c223a86d48d6ba1d5671d7e1d10863.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1653442019-04-24T15:47:42Z Using method of numeric-asymptotic approximation in studying the process of interaction of β⁻-radiation with linear flexible-chain polymers Использование метода численно-асимптотического приближения для исследования процесса взаимодействия β⁻-излучения с линейными гибкоцепными полимерами Використання методу чисельно-асимптотичного наближення для дослідження процесу взаємодії β⁻-випромінювання з лінійними гнучколанцюговими полімерами Bomba, A. Ja. Klepko, V. V. Klimyuk, Yu. E. Kolupaev, B. B. Kolupaev, B. S. Lebedev, E. V. An algorithm for asymptotic approximation of the solution to one class of model nonlinear singularly-perturbed boundary problems in radiation physics of spatially-nonuniform linear flexible-chain polymer systems has been constructed. The obtained numerical data on the interaction of β⁻-radiation with polyvinylchloride are presented. Построен алгоритм асимптотического приближения решения одного класса модельных нелинейных сингулярно возмущенных краевых задач радиационной физики пространственно-неоднородных линейных гибкоцепных полимерных систем. Приведены результаты численных исследований взаимодействия β⁻-излучения с поливинилхлоридом. Побудовано алгоритм асимптотичного наближення розв’язку одного класу модельних нелінійних сингулярно збурених крайових задач радіаційної фізики просторово-неоднорідних лінійних гнучколанцюгових полімерних систем. Наведено результати чисельних досліджень взаємодії β⁻‑випромінювання з полівінілхлоридом. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-04-24 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165344 System research and information technologies; No. 2 (2006); 138-143 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2006); 138-143 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2006); 138-143 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165344/164562 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Bomba, A. Ja. Klepko, V. V. Klimyuk, Yu. E. Kolupaev, B. B. Kolupaev, B. S. Lebedev, E. V. Використання методу чисельно-асимптотичного наближення для дослідження процесу взаємодії β⁻-випромінювання з лінійними гнучколанцюговими полімерами |
| title | Використання методу чисельно-асимптотичного наближення для дослідження процесу взаємодії β⁻-випромінювання з лінійними гнучколанцюговими полімерами |
| title_alt | Using method of numeric-asymptotic approximation in studying the process of interaction of β⁻-radiation with linear flexible-chain polymers Использование метода численно-асимптотического приближения для исследования процесса взаимодействия β⁻-излучения с линейными гибкоцепными полимерами |
| title_full | Використання методу чисельно-асимптотичного наближення для дослідження процесу взаємодії β⁻-випромінювання з лінійними гнучколанцюговими полімерами |
| title_fullStr | Використання методу чисельно-асимптотичного наближення для дослідження процесу взаємодії β⁻-випромінювання з лінійними гнучколанцюговими полімерами |
| title_full_unstemmed | Використання методу чисельно-асимптотичного наближення для дослідження процесу взаємодії β⁻-випромінювання з лінійними гнучколанцюговими полімерами |
| title_short | Використання методу чисельно-асимптотичного наближення для дослідження процесу взаємодії β⁻-випромінювання з лінійними гнучколанцюговими полімерами |
| title_sort | використання методу чисельно-асимптотичного наближення для дослідження процесу взаємодії β⁻-випромінювання з лінійними гнучколанцюговими полімерами |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165344 |
| work_keys_str_mv | AT bombaaja usingmethodofnumericasymptoticapproximationinstudyingtheprocessofinteractionofbradiationwithlinearflexiblechainpolymers AT klepkovv usingmethodofnumericasymptoticapproximationinstudyingtheprocessofinteractionofbradiationwithlinearflexiblechainpolymers AT klimyukyue usingmethodofnumericasymptoticapproximationinstudyingtheprocessofinteractionofbradiationwithlinearflexiblechainpolymers AT kolupaevbb usingmethodofnumericasymptoticapproximationinstudyingtheprocessofinteractionofbradiationwithlinearflexiblechainpolymers AT kolupaevbs usingmethodofnumericasymptoticapproximationinstudyingtheprocessofinteractionofbradiationwithlinearflexiblechainpolymers AT lebedevev usingmethodofnumericasymptoticapproximationinstudyingtheprocessofinteractionofbradiationwithlinearflexiblechainpolymers AT bombaaja ispolʹzovaniemetodačislennoasimptotičeskogopribliženiâdlâissledovaniâprocessavzaimodejstviâbizlučeniâslinejnymigibkocepnymipolimerami AT klepkovv ispolʹzovaniemetodačislennoasimptotičeskogopribliženiâdlâissledovaniâprocessavzaimodejstviâbizlučeniâslinejnymigibkocepnymipolimerami AT klimyukyue ispolʹzovaniemetodačislennoasimptotičeskogopribliženiâdlâissledovaniâprocessavzaimodejstviâbizlučeniâslinejnymigibkocepnymipolimerami AT kolupaevbb ispolʹzovaniemetodačislennoasimptotičeskogopribliženiâdlâissledovaniâprocessavzaimodejstviâbizlučeniâslinejnymigibkocepnymipolimerami AT kolupaevbs ispolʹzovaniemetodačislennoasimptotičeskogopribliženiâdlâissledovaniâprocessavzaimodejstviâbizlučeniâslinejnymigibkocepnymipolimerami AT lebedevev ispolʹzovaniemetodačislennoasimptotičeskogopribliženiâdlâissledovaniâprocessavzaimodejstviâbizlučeniâslinejnymigibkocepnymipolimerami AT bombaaja vikoristannâmetodučiselʹnoasimptotičnogonabližennâdlâdoslídžennâprocesuvzaêmodííbvipromínûvannâzlíníjnimignučkolancûgovimipolímerami AT klepkovv vikoristannâmetodučiselʹnoasimptotičnogonabližennâdlâdoslídžennâprocesuvzaêmodííbvipromínûvannâzlíníjnimignučkolancûgovimipolímerami AT klimyukyue vikoristannâmetodučiselʹnoasimptotičnogonabližennâdlâdoslídžennâprocesuvzaêmodííbvipromínûvannâzlíníjnimignučkolancûgovimipolímerami AT kolupaevbb vikoristannâmetodučiselʹnoasimptotičnogonabližennâdlâdoslídžennâprocesuvzaêmodííbvipromínûvannâzlíníjnimignučkolancûgovimipolímerami AT kolupaevbs vikoristannâmetodučiselʹnoasimptotičnogonabližennâdlâdoslídžennâprocesuvzaêmodííbvipromínûvannâzlíníjnimignučkolancûgovimipolímerami AT lebedevev vikoristannâmetodučiselʹnoasimptotičnogonabližennâdlâdoslídžennâprocesuvzaêmodííbvipromínûvannâzlíníjnimignučkolancûgovimipolímerami |