Умова повного вимітання та її узагальнення у диференціальних іграх
Differential games with fixed finishing time are considered. Sets of the initial positions favourable for pursuer and escaper are described. Under the conditions of full sweep with separated controls, alternative theorems are valid. Games are considered separately from the positions of pursuer and e...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165441 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302341313986560 |
|---|---|
| author | Ostapenko, V. V. Yakunina, I. L. Tereshchenko, I. N. Amirgalieva, S. N. |
| author_facet | Ostapenko, V. V. Yakunina, I. L. Tereshchenko, I. N. Amirgalieva, S. N. |
| author_sort | Ostapenko, V. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-04-25T14:46:04Z |
| description | Differential games with fixed finishing time are considered. Sets of the initial positions favourable for pursuer and escaper are described. Under the conditions of full sweep with separated controls, alternative theorems are valid. Games are considered separately from the positions of pursuer and escaper. The strategies of players for various classes of games and for advantages of each player are described. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.В. Остапенко, И.Л. Якунина, И.Н. Терещенко, С.Н. Амиргалиева, 2006
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 85
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 518.9
УСЛОВИЕ ПОЛНОГО ВЫМЕТАНИЯ И ЕГО ОБОБЩЕНИЕ В
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ
В.В. ОСТАПЕНКО, И.Л. ЯКУНИНА, И.Н. ТЕРЕЩЕНКО,
С.Н. АМИРГАЛИЕВА
Рассмотрены дифференциальные игры с фиксированным временем окончания.
Описаны множества начальных позиций, благоприятных для догоняющего и
убегающего игроков. В случае выполнения определенных условий выметания
справедливы теоремы об альтернативе. Игры рассматриваются для разделен-
ных управлений игроков отдельно с позиций догоняющего и убегающего.
Описаны стратегии игроков для различных классов игр c преимуществом того
или иного игрока.
ВВЕДЕНИЕ
Современная теория дифференциальных игр в основном развивается как
теория управляемых динамических систем с геометрическими ограниче-
ниями на управления игроков [1–5]. Описаны структуры дифференциальных
игр. Исследованы различные способы задания стратегий игроков, при кото-
рых они не знают управление противника в будущем. Разработаны общие
подходы и конкретные методы решения различных классов дифференци-
альных игр.
В [6, 7] разработан метод, позволяющий сводить дифференциальную
игру к обычной задаче управления. При этом важную роль играет условие
полного выметания, которое накладывается на области управления игроков.
В работе [8] это условие заменялось однотипностью интегральных ограни-
чений для обоих игроков.
В данной статье игры рассматриваются отдельно с позиций догоняю-
щего и убегающего игроков. Это позволило расширить класс игр, решаемых
в работах [6, 7].
Пусть NM , — выпуклые подмножества nE . Рассмотрим некоторые
свойства геометрической разности
∩
Ny
n yMMNxExNM
∈
−=⊂+∈= }{}:{* . (1)
Нетрудно убедиться, что
MNNM =+ *)( .
В.В. Остапенко, И.Л. Якунина, И.Н. Терещенко, С.Н. Амиргалиева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1 86
Однако
MNNM ⊂+)( * , (2)
и равенство
MNNM =+)( *
достигается не всегда. К примеру, если ∅=NM * , то сумма в (2) не опре-
делена либо ее следует определить как пустое множество. Менее тривиаль-
ный и наглядный пример заключается в следующем.
Пусть
}22:),({ 21 ≤≤−== ixxxxM — квадрат,
}1:),({ 21
1 ≤== xxxxN — единичный круг.
Нетрудно видеть, что }11:),({ 21
1
* ≤≤−== ixxxxNM также квадрат.
Однако множество 11)( * NNM + уже не является квадратом, так как оно
не содержит точек )2,2( ±± , т.е. включение (2) является строгим. Если же
вместо круга 1N взять }2:),({ 21
2 ≤== xxxxN , то }0{2
* =NM состоит
из одной точки — центра координат и, очевидно, =+ 22 )( * NNM
MN ≠= 2 .
В описанных примерах множества 1N и 2N не полностью «выметают»
множество M . Это и приводит к строгому включению (2). Определим по-
нятие полного выметания.
Определение 1. Множество N полностью выметает множество M
(или M полностью выметается N ), если
MNNM =+)( * . (3)
Если обозначить LNM =* , то равенство (3) принимает вид
LNM += ,
т.е. множество M в определенном смысле (с точностью до сдвига) шире
множества N , причем насколько M шире N точно описывается множест-
вом L . Из (1) следует, что L является пересечением множеств yM − . По-
этому, если M выпукло, то и L выпукло, если M замкнуто, то и L замк-
нуто, если M компактно, то и L компактно.
Понятие полного выметания позволяет полностью решать игры с раз-
деленным управлением игроков, т.е. с динамикой вида
vzBuzAz )()( += ,
где VUVvUu ,;, ∈∈ — выпуклые компакты в евклидовых простран-
ствах; )(),( zBzA — непрерывные операторы по z . Условие, когда множе-
ство U «шире» множества V описано в работе [6]. Здесь исследуются
Условие полного выметания и его обобщение в дифференциальных играх
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 87
различные случаи взаимосвязи множеств U и V , и для простоты рассмат-
риваются линейные игры.
Рассмотрим игру с фиксированным временем окончания с динамикой
),( vuBzAz ϕ+= ,
где nn EVvUuEz ;;; ∈∈∈ — n -мерное евклидово пространство; U и
V — компакты в евклидовых пространствах; nELnLL →≤ :;dim: ϕ —
линейный оператор вложения; LE n →:π — линейное отображение (на-
пример, π может быть оператором ортогонального проектирования, если
L — линейное подпространство в nE ); nn EEA →: — линейный опера-
тор; LVUB →×: — непрерывное отображение.
Параметрами u и v распоряжаются соответственно игроки P (дого-
няющий) и E (убегающий). Под допустимыми управлениями игроков P и
E будем понимать измеримые функции )(tu и )(tv со значениями соот-
ветственно в U и V . Игра ведется на интервале [ ]θ;0 , где θ — фиксиро-
ванный момент времени. Множества всех допустимых управлений игроков
P и E , определенных на отрезке [ ]θ;0 , обозначим [ ]θ;0U и [ ]θ;0V . По-
ложим 0)0( zz = — начальная позиция. Зададим терминальное множество
nEM ⊂ , полагая его замкнутым. Цель игрока P — вывести траекторию
уравнения на M , цель игрока E — противоположная.
Решим это уравнение.
∫ −+=
θ
θθ ϕππθπ
0
)(
0 ))(),(()( dttvtuBezez tAA .
Далее обозначим )()( θπθ zx = , 00 zex Aθπ= , ϕπ θ )()( tAetC −= и полу-
чим
∫+=
θ
θ
0
0 ))(),(()()( dttvtuBtCxx .
Предположим, что оператор ∫=
θ
0
)( dttCC имеет обратный. Обозначим
)()( 1 θθ xCy −= , 0
1
0 xCy −= , )()( 1 tCCtD −= . Тогда
∫+=
θ
θ
0
0 ))(),(()()( dttvtuBtDyy ,
причем EdttD =∫
θ
0
)( . Последняя формула описывает решение в момент
θ=t следующего уравнения
),()( vuBtDy = .
В.В. Остапенко, И.Л. Якунина, И.Н. Терещенко, С.Н. Амиргалиева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1 88
Из замены ϕπ θ )()( tAetC −= следует, что матрица )(tC может быть ква-
дратной. Если же в уравнении оператор ϕ отсутствует и рассматривается
динамика
),( vuBAzz += ,
то получаем
∫ −+=
θ
θθ ππθπ
0
)(
0 ))(),(()( dttvtuBezez tAA .
В этом случае )()( tAetC −= θπ , и тогда матрица )(tC является прямо-
угольной.
Таким образом, игры с фиксированным временем окончания сводятся к
игре с динамикой
),()( vuBtCz = ,
где ]},0[),({ θ∈=ℜ ttC — ограниченное измеримое семейство линейных
операторов в пространстве nE такое, что EdttC =∫
θ
0
)( . Цель игрока P —
добиться включения Mz ∈)(θ , nEM ⊂ .
В общем случае приходится ограничиваться уравнением
),()( vuBtCz = ,
где )}({ tC — семейство линейных операторов.
Предположим, что )(tC непрерывна на ],0[ θ , и рассмотрим случай
разделенных управлений
][)( vutCz +−= , (4)
где VUVvUu ,;; ∈∈ — выпуклые компакты в nE .
Обозначим VtCUtCtW )()()( *
* = . Отметим, что если для каждого
],0[ θ∈t матрица )(tC квадратная и имеет обратную, то ** )()( WtCtW = , где
VUW *
* = . Предположим также, что ∅≠)(* tW . Тогда
)()()( * tWVtCUtC +⊃ . (5)
Так как )(* tW — выпуклый компакт, то ∫
θ
0
* )( dttW также выпуклый
компакт.
Теорема 1. Пусть ∫+∈
θ
0
*0 )( dttWMz . Тогда существует отображение
),(
0
tvuz со значениями в U , определенное для Vv∈ и ],0[ θ∈t такое, что
для любого ],0[)( θVv ∈⋅ :
а) )),((
0
ttvuz — допустимое управление игрока P ;
Условие полного выметания и его обобщение в дифференциальных играх
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 89
б) для траектории )(tz с началом в 0z , соответствующей )),((
0
ttvuz и
)(tv , выполняется Mz ∈)(θ .
Доказательство. Поскольку ∫+∈
θ
0
*0 )( dttWMz , то существует такое
)()( * tWtw ∈ , что ∫+∈
θ
0
0 )( dttwMz . Из (5) следует: для любого Vv∈ и
)()( * tWtw ∈ существует Utvuz ∈),(
0
такое, что
)()(),()(
0
twvtCtvutC z =− .
Отсюда для ],0[)( θVv ∈⋅ получим
( ) =+−+= ∫
θ
θ
0
0 )()()),(()()(
0
dttvtCttvutCzz z Mdttwz ∈− ∫
θ
0
0 )( .
Теорема доказана.
Замечание 1. Из доказательства теоремы 1 следует, что она справедли-
ва в случае не разделенных управлений. При этом в качестве многозначного
отображения )(* tW можно выбрать
∩
Vv
vUBtCtW
∈
= ),()()(* .
Способ построения управления догоняющего игрока в теореме 1 осно-
ван на идеях первого метода Л.С. Понтрягина.
Пусть )(tW ∗ — выпуклозначное, компактнозначное отображение та-
кое, что
)()()( tWVtCUtC ∗+⊂ . (6)
Предположим также, что множества )(tW ∗ ограничены в совокупности
по ],0[ θ∈t .
Отметим: если VtC )( полностью выметает UtC )( , то в качестве )(tW ∗
можно взять )(* tW . В этом случае VtCUtCtWtWtW )()()()()( *
* === ∗ и
)()()( tWVtCUtC += .
Теорема 2. Пусть ∫ ∗+∉
θ
0
0 )( dttWMz . Тогда существуют такие Vv ∈ ,
отображение VUvz →× ],0[:
0
θ и число 0>h , что для любого ],0[)( θUu ∈⋅ :
а) функция
⎩
⎨
⎧
∈−
∈
=
],[),),((
),,0[,
)(~
0
θhtthtuv
htv
tv
z
является допустимым
управлением игрока E ;
б) для траектории )(tz с началом в 0z , соответствующей )(tu и )(~ tv ,
выполняется Mz ∉)(θ .
В.В. Остапенко, И.Л. Якунина, И.Н. Терещенко, С.Н. Амиргалиева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1 90
Доказательство. Из (6) следует, что для любого Uu∈ существует та-
кое ),(
0
tuvz , что
)(),()()(
0
tWtuvtCutC z
∗∈− .
Применим управление )(~ tv . Тогда
=+−+= ∫
θ
θ
0
0 ))(~)()(()( dttvtutCzz
=++−= ∫∫∫
θθ
h
h
dttvtCdttvtCdttutCz )(~)()(~)()()(
00
0
=+−+−+−−+= ∫∫∫∫
h
hh
dtvtCdthtutCdttutCdttvhtutCz
00
0 )()()()()())(~)(()(
θθθ
=+++−+−−+= ∫∫∫∫
− hh
h
dtvtCdttuhtCdttutCdttvhtutCz
000
0 )()()()()())(~)(()(
θθθ
+−−+−−+= ∫∫∫
−
− θ
θ
θθ
h
h
h
dttutCdttutCdttvhtutCz )()()()())(~)(()(
0
0
−+−−+=+++ ∫∫∫
− θθ
h
hh
dttvhtutCzdtvtCdttuhtC ))(~)(()()()()( 0
00
( ) )()()()()()()()( 0
00
hDdttwzdtvtCdttutCdttuhtCtC
h
h
h
h
+−=+−+−− ∫∫∫∫
−
− θθ
θ
θ
,
где ],[),()( θhttWtw ∈∈ ∗ , а )(hD — сумма последних трех интегралов.
Доопределим )()( tWtw ∗∈ произвольным образом на интервале ),0[ h . Если
обозначить ∫+=
h
dttwhDhD
0
0 )()()( , то получим )()()( 0
0
0 hDdttwzz +−= ∫
θ
θ .
Оценим )(0 hD . Из свойств компактности U и ограниченности )(tW ∗
следует, что существует такая константа 0≥α , что αα ≤≤ )(, twu для
всех Uu∈ и )()( tWtw ∗∈ . Обозначим β
θ
=
≤≤
)(max
0
tC
t
, −
−≤≤
)(max
0
tC
ht θ
)()( hhtC γ=+− . В силу непрерывности )(tC функция )(hγ также непре-
рывна и 0)( →hγ при 0→h . Отсюда
( ) ≤++−+−−= ∫∫∫∫
−
− hh
h
h
dttwdtvtCdttutCdttuhtCtChD
000
0 )()()()()()()()(
θ
θ
θ
hhvhhh αβαβθγα +−+−≤ )()( ,
и, следовательно, для любого 0>ε существует 0>h такое, что
ε<)(0 hD .
Условие полного выметания и его обобщение в дифференциальных играх
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 91
Из условия теоремы следует, что ∅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− ∫ ∗ ∩MdttWz
θ
0
0 )( . Из
замкнутости M и компактности ∫ ∗−
θ
0
0 )( dttWz следует, что некоторая
ε -окрестность ∫ ∗−
θ
0
0 )( dttWz также не пересекается с M .
Из доказанного выше следует, что существует такое 0>h , что )(θz
принадлежит ε -окрестности ∫ ∗−
θ
0
0 )( dttWz и, значит, Mz ∉)(θ .
Теорема доказана.
При построении оптимальной стратегии игрока P в теореме 1 исполь-
зуется та же информация, что и в стратегиях, которые строятся на основе
вольтерровских отображений. С другой стороны, пользуясь информацией
теоремы 2, игрок E может построить соответствующую ε -стратегию. По-
этому справедливо следующее.
Следствие 1. Пусть для любого ],0[ θ∈t множество VtC )( полностью
выметает множество UtC )( и VtCUtCtW )()()( *= . Тогда
∫+=
θ
θ
0
)(~ dttWMMP ,
где θP~ определено в работе [4].
Выше рассмотрен случай, когда множество U «шире» V . Теперь рас-
смотрим противоположный случай. Обозначим
UtCVtCtW )()()( *
* =
и предположим, что ∅≠)(* tW . Тогда
)()()( * tWUtCVtC +⊃ .
Теорема 3. Пусть ∫∉
θ
0
*0 )(* dttWMz , тогда существуют такие Vv ∈ ,
отображение VUvz →× ],0[:
0
θ и число 0>h , что для любого ],0[)( θUu ∈⋅ :
а)
⎩
⎨
⎧
∈−
∈∈
=
],[),),((
),,0[,
)(~
0
θhtthtuv
htVv
tv
z
является допустимым управлени-
ем игрока E ;
б) для траектории )(tz с началом в 0z , соответствующей )(tu и
)(~ tv , выполняется Mz ∉)(θ .
Пусть теперь )(* tW — выпуклозначное, компактнозначное отображе-
ние такое, что
)()()( * tWUtCVtC +⊂ .
В.В. Остапенко, И.Л. Якунина, И.Н. Терещенко, С.Н. Амиргалиева
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1 92
Считаем, что множества )(* tW ограничены в совокупности по ],0[ θ .
Отметим: если UtC )( полностью выметает VtC )( , то в качестве )(tW ∗
можно взять )(* tW и для UtCVtCtWtWtW )()()()()( *
* === ∗ выполняется
)()()( * tWUtCVtC += .
Теорема 4. Пусть ∫∈
θ
0
*
0 )(* dttWMz , тогда существует отображение
UVuz →× ],0[:
0
θ такое, что для любого ],0[)( θVv ∈⋅ :
а) функция )),((
0
ttvuz является допустимым управлением игрока P ;
б) для траектории )(tz с началом в 0z , соответствующей )),((
0
ttvuz и
)(tv , выполняется Mz ∈)(θ .
Доказательства теорем 3 и 4 аналогичны доказательствам теорем
1 и 2. При этом следует учесть, что })(:{)(
0
00
0
* MdttWzzdttWM ⊂+= ∫∫
θθ
.
Это означает: для соответствующей начальной позиции 0z игрок P может
привести весь пучок траекторий ∫+
θ
0
0 )( dttWz во множество M , а игрок E
некоторую траекторию может вывести за M .
Следствие 2. Пусть множество UtC )( полностью выметает множество
VtC )( и UtCVtCtW )()()( *= . Тогда
∫=
θ
θ
0
)(~ * dttWMMP .
Замечание 2. В теореме 4 не обязательно условие разделимости управ-
лений. В общем случае )(* tW можно выбрать из условия: для любого Vv∈
существует такое Uu∈ , что )(),()( * tWvuBtC ∈ .
Замечание 3. Условия непустоты множеств ∗W или *W приводят ди-
намическую систему, управляемую двумя параметрами u и v , к системе,
управляемой одним параметром w . При условии полного выметания полу-
чены теоремы об альтернативе (следствия 1 и 2).
Пример. Множества ∗W или *W строятся однозначно. Множества *W
и *W выбираются. Исходя из постановки задач, эти множества следует вы-
бирать как можно меньшими. Пусть
},...,1,:),...,({ 1 niauauuuU i
i
i
n =≤≤−== , }1:{ ≤= vvV .
Считаем, что 1>ia . Тогда
},...,1,1)1(:),...,({ 1* niauauuuVU i
i
i
n =−≤≤−−== .
Условие полного выметания и его обобщение в дифференциальных играх
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 93
Возьмем множество },...,1,11:),...,({ 1 niwwwwW in =≤≤−== . Тогда
UWVU =+)( * .
В более общем случае, если U есть параллелепипед вида
},...,1,:),...,({ 1 nibuauuuU i
i
i
n =≤≤== ,
то для любого V множество VU * также является параллелепипедом та-
кого же вида. Нетрудно видеть, что VU * полностью выметает U , если V
также параллелепипед. Поэтому в качестве W можно взять множество
)( ** VUUW = .
ВЫВОДЫ
1. Построены множества начальных позиций, благоприятных для
догоняющего и убегающего игроков. Рассмотрены случаи неразделенности
управлений игроков.
2. При выполнении определенных условий выметания для разделен-
ных управлений игроков получены теоремы об альтернативе.
3. Описаны стратегии игроков для различных классов игр, которые
отличаются от известных ранее результатов тем, что тот или иной игрок
имеет преимущество.
4. Полученные результаты можно перенести на дифференциальные
игры с терминальной функцией платы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Айзекс Р. Дифференциальные игры. — М.: Мир, 1967. — 479 c.
2. Понтрягин Л.С. Избранные науч. тр. Том II. Дифференциальные уравнения.
Теория операторов. Оптимальное управление. Дифференциальные игры. —
М.: Наука, 1988. — 576 с.
3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. —
М.: Наука, 1974. — 456 с.
4. Пшеничный Б.Н., Остапенко В.В. Дифференциальные игры. — Київ: Наук.
думка, 1992. — 264 с.
5. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. — Київ: Наук. думка,
1992. — 382 с.
6. Никольский М.С. Об одном классе дифференциальных игр // Тр. семинара
«Теория оптимальных решений». — Киев: ИК АН УССР, 1968. — № 2. —
С. 3–13.
7. Гусятников П.Б., Никольский М.С. К проблеме оптимальности времени пре-
следования // Тр. семинара «Теория оптимальных решений». — Киев: ИК
АН УССР, 1969. — № 3. — С. 3–21.
8. Остапенко В.В., Рижкова І.Л. Про лінійну диференціальну гру з фіксованим
часом закінчення та обмеженнями на ресурси // Кибернетика и системный
анализ. — 2000. — № 4. — С. 178–183.
Поступила 09.01.2005
|
| id | journaliasakpiua-article-165441 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:51Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/52/104330ea0e26b56ca6a5ecbc8a612652.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1654412019-04-25T14:46:04Z Соndition for full sweep and its generalization in differential games Условие полного выметания и его обобщение в дифференциальных играх Умова повного вимітання та її узагальнення у диференціальних іграх Ostapenko, V. V. Yakunina, I. L. Tereshchenko, I. N. Amirgalieva, S. N. Differential games with fixed finishing time are considered. Sets of the initial positions favourable for pursuer and escaper are described. Under the conditions of full sweep with separated controls, alternative theorems are valid. Games are considered separately from the positions of pursuer and escaper. The strategies of players for various classes of games and for advantages of each player are described. Рассмотрены дифференциальные игры с фиксированным временем окончания. Описаны множества начальных позиций, благоприятных для догоняющего и убегающего игроков. В случае выполнения определенных условий выметания справедливы теоремы об альтернативе. Игры рассматриваются для разделенных управлений игроков отдельно с позиций догоняющего и убегающего. Описаны стратегии игроков для различных классов игр c преимуществом того или иного игрока. Розглянуто диференціальні ігри з фіксованим часом закінчення. Описано множини початкових позицій, сприятливих для доганяючого та утікаючого гравців. У випадку виконання означених умов вимітання при розділених керуваннях дійсні теореми про альтернативу. Ігри розглядаються окремо з позицій доганяючого та утікаючого гравців. Описано стратегії гравців для різних класів ігор з перевагою того чи іншго гравця. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-04-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165441 System research and information technologies; No. 1 (2006); 85-93 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2006); 85-93 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2006); 85-93 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165441/164707 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Ostapenko, V. V. Yakunina, I. L. Tereshchenko, I. N. Amirgalieva, S. N. Умова повного вимітання та її узагальнення у диференціальних іграх |
| title | Умова повного вимітання та її узагальнення у диференціальних іграх |
| title_alt | Соndition for full sweep and its generalization in differential games Условие полного выметания и его обобщение в дифференциальных играх |
| title_full | Умова повного вимітання та її узагальнення у диференціальних іграх |
| title_fullStr | Умова повного вимітання та її узагальнення у диференціальних іграх |
| title_full_unstemmed | Умова повного вимітання та її узагальнення у диференціальних іграх |
| title_short | Умова повного вимітання та її узагальнення у диференціальних іграх |
| title_sort | умова повного вимітання та її узагальнення у диференціальних іграх |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165441 |
| work_keys_str_mv | AT ostapenkovv sonditionforfullsweepanditsgeneralizationindifferentialgames AT yakuninail sonditionforfullsweepanditsgeneralizationindifferentialgames AT tereshchenkoin sonditionforfullsweepanditsgeneralizationindifferentialgames AT amirgalievasn sonditionforfullsweepanditsgeneralizationindifferentialgames AT ostapenkovv usloviepolnogovymetaniâiegoobobŝenievdifferencialʹnyhigrah AT yakuninail usloviepolnogovymetaniâiegoobobŝenievdifferencialʹnyhigrah AT tereshchenkoin usloviepolnogovymetaniâiegoobobŝenievdifferencialʹnyhigrah AT amirgalievasn usloviepolnogovymetaniâiegoobobŝenievdifferencialʹnyhigrah AT ostapenkovv umovapovnogovimítannâtaííuzagalʹnennâudiferencíalʹnihígrah AT yakuninail umovapovnogovimítannâtaííuzagalʹnennâudiferencíalʹnihígrah AT tereshchenkoin umovapovnogovimítannâtaííuzagalʹnennâudiferencíalʹnihígrah AT amirgalievasn umovapovnogovimítannâtaííuzagalʹnennâudiferencíalʹnihígrah |