Рішення задачі обмеження просторів невизначеності
It is shown that the notion of the simple subspace of an uncertainty space, which is constructed using the formal methods of Bourbaki’s theory of mathematical structures, cannot be a restriction problem solution because it does not meet the demand for succession in the development of the uncertainty...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165467 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334357079818240 |
|---|---|
| author | Diduk, N. N. |
| author_facet | Diduk, N. N. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "N. N. Diduk",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Diduk, N. N. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-04-25T14:46:04Z |
| description | It is shown that the notion of the simple subspace of an uncertainty space, which is constructed using the formal methods of Bourbaki’s theory of mathematical structures, cannot be a restriction problem solution because it does not meet the demand for succession in the development of the uncertainty mathematical apparatus. To construct the subspaces that meet the demand, the even versions apparatus is applied to simple subspaces. Examples of even subspaces are considered. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.Н. Дидук, 2006
106 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1
TIДC
НОВІ МЕТОДИ
В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ
ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 519.7
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОГРАНИЧЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Н.Н. ДИДУК
Показано, что понятие простого подпространства пространства неопределен-
ности, построенное формальными методами теории математических структур
Н. Бурбаки, не является решением задачи ограничения, поскольку не удовле-
творяет требованию преемственности в развитии математического аппарата
неопределенности. Для получения конструкции подпространств, удовлетво-
ряющих этому требованию, к простым подпространствам применяется аппарат
равномерных версий. Рассмотрены примеры равномерных подпространств.
В работе [1] была сформулирована так называемая задача ограничения
пространств неопределенности (ПН), смысл которой состоит в нахождении
метода, позволяющего исключать из рассмотрения некоторые точки произ-
вольного ПН. Важность решения этой задачи следует из того, что простран-
ства неопределенности, представляющие собой формальные конструкции,
используются для описания ситуаций неопределенности, с которыми мы
реально сталкиваемся в процессе практической деятельности или при необ-
ходимости принимать какие-либо решения. А во время наших действий
ситуация неопределенности, в которой мы находимся, может меняться. Са-
мым простым примером подобного изменения ситуации является получе-
ние сведений о том, что некоторые из состояний природы (относительно
которых существует неопределенность) не могут реально осуществиться, и,
следовательно, их можно исключить из рассмотрения.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Цель настоящей статьи состоит в нахождении решения задачи ограничения.
Пусть задано ПН ( )S,X (где S — критерий свертывания (КС) по множест-
ву X , т.е. )(XT∈S ) и пусть A — непустое подмножество множества X .
В работе [1] было показано, что задача ограничения пространства ( )S,X на
множество A состоит в построении некоторого нового ПН вида )( , AA S ,
где КС AS (по множеству A ) должен быть получен в результате преобразо-
вания критерия S. Таким образом, общее решение задачи ограничения для
Решение задачи ограничения пространств неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 107
пространств неопределенности вида ( )S,X сводится к нахождению семей-
ства преобразований, каждое из которых имеет вид
A
dfAF SS= , (1)
где )(XT∈S , XA⊂≠∅ , )(AA T∈S (причем, преобразование AF не обяза-
тельно должно быть применимо ко всем S из )(XT ).
В работе [1] было также сформулировано требование преемственно-
сти в развитии аппарата неопределенности, которое в данном случае может
быть использовано для уточнения задачи ограничения. Смысл требования
преемственности состоит в том, что разрабатываемый новый аппарат неоп-
ределенности не должен вступать в противоречие с уже имеющимся аппара-
том (для вероятностных ситуаций неопределенности). А поскольку погру-
жение вероятностного типа неопределенности привело к шенноновским
пространствам [2, с.130], проверка согласованности нового аппарата со
старым фактически сводится к ответу на вопрос, получаются ли одни и те
же результаты после применения нового и старого аппарата к шеннонов-
ским пространствам.
Итак, пусть (для непустого подмножества XA⊂ ) задано некоторое
преобразование AF вида (1). Для того чтобы выяснить, удовлетворяет ли это
преобразование AF требованию преемственности, достаточно выполнить
следующее:
1. В качестве исходного ПН ( )S,X взять шенноновское пространство
[2, с.130] вида )( , pX ∑ , где p — распределение вероятностей (РВ) на
множестве X , и выяснить необходимые и достаточные условия примени-
мости преобразования AF к критерию свертывания p∑ .
2. Найти результат )( pAF ∑ применения к критерию p∑ преобразова-
ния AF (для тех случаев, когда последнее применимо). Выполнение этого
шага равносильно построению нового пространства неопределенности вида
)( )(, pAFA ∑ (где )( pAF ∑ есть КС по множеству A ).
3. Построить ограничение Ap распределения вероятностей p на мно-
жество A в соответствии с правилами теории вероятностей. Известно, что
эти правила применимы тогда и только тогда, когда имеет место неравенст-
во
0)()( >= ∑
∈Ax
df xpAp . (2)
В этом случае новое РВ Ap характеризуется дефиницией
A
Ap
xpxp dfA ◊=
)(
)( . (3)
4. Перейти к новому шенноновскому пространству вида )( , ApA ∑ . Не-
обходимое и достаточное условие существования пространства )( , ApA ∑
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1 108
совпадает с условием существования распределения Ap (и сводится к вы-
полнению неравенства 0)( >Ap ).
Требование же преемственности к преобразованию AF состоит из двух
частей:
1) преобразование AF должно быть применимо к критерию свертыва-
ния p∑ тогда и только тогда, когда имеет место неравенство 0)( >Ap
(в этом случае совпадут необходимые и достаточные условия существова-
ния пространств неопределенности )( )(, pAFA ∑ и )( , ApA ∑ );
2) сами пространства неопределенности )( )(, pAFA ∑ и )( , ApA ∑ (при
условии, что оба они существуют) должны совпасть (для этого необходимо,
чтобы пространство )( )(, pAFA ∑ оказалось шенноновским).
Если обе эти части требования преемственности выполнены для каждо-
го непустого подмножества XA⊂ , то семейство преобразований вида AF
может рассматриваться как (удовлетворительное) решение задачи ограниче-
ния пространств неопределенности вида ( )S,X .
2. ПРОСТЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА НЕ ВЫДЕРЖИВАЮТ ИСПЫТАНИЯ
В работе [1] показано, как с помощью формальных методов теории мате-
матических структур Н. Бурбаки [3, гл. IV] построить подпространство
( )AA S, заданного ПН ( )S,X на множестве A . Подпространства, построен-
ные таким способом, названы простыми. Критерий свертывания AS про-
стого подпространства ( )AA S, характеризуется следующим условием: для
произвольной функции Ag +∈R выполняется равенство
)( 0:)()()( |AxxgXgg
Xx
A ∈=↑=
∈
SSS , (4)
т.е. результат )(gAS применения функционала AS к функции g совпадает с
результатом применения функционала S к другой функции Xg ↑ (опреде-
ленной на множестве X ), которая совпадает с функцией g на множестве
A , а за его пределами принимает значение 0 [1, разд. 9, выражение (44)].
Замечание. Следует обратить внимание на тот случай, когда множест-
во A оказывается областью безразличия пространства ( )S,X [4, разд. 7],
состоящей из тех точек x множества X , в которых значение )(xf каждой
функции Xf +∈R не влияет на результат )( fS применения функционала S
к функции f . Если мы столкнулись именно с такой ситуацией (т.е. множе-
ство A действительно есть область безразличия), то КС AS простого под-
пространства ( )AA S, оказывается постоянным функционалом вида
A
A g +◊〉〈= R0SS , (5)
Решение задачи ограничения пространств неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 109
где 〉〈0S — результат применения функционала S к постоянной функции
Xxf ◊= 00 [5, разд. 1]. Как нетрудно понять, в этом случае простое
подпространство ( )AA S, полностью теряет черты исходного пространства
( )S,X . ■
Легко видеть, что построение простых подпространств может быть
формально представлено в виде семейства преобразований типа (1). Дейст-
вительно, для каждого непустого подмножества XA⊂ выражение (4) фак-
тически задает преобразование
AdfAF SS= , (6)
которое переводит любой КС S по множеству X в КС AAF SS =)( простого
подпространства ( )AA S, . Тем не менее мы покажем, что простые подпро-
странства не являются решением задачи ограничения пространств неопре-
деленности, так как семейство преобразований AF ( XA⊂≠∅ ), характери-
зуемых дефиницией (6), не удовлетворяет требованию преемственности
(причем не удовлетворяет ни первой, ни второй части этого требования).
Рассмотрим сначала условие применимости преобразования AF к шен-
ноновскому ПН вида )( , pX ∑ и выясним, совпадает ли оно с условием
0)( >Ap . Как следует из выражения (4), построение простого подпростран-
ства ( )AA S, пространства ( )S,X на непустом подмножестве XA⊂ возмо-
жно всегда. Это значит, что какими бы ни были РВ p на множестве X и
непустое подмножество A , преобразование AF можно применить к шенно-
новскому пространству )( , pX ∑ (в результате чего будет получено его
простое подпространство )( )(, ApA ∑ ). И для этого не требуется, чтобы
выполнялось неравенство 0)( >Ap . Отсюда следует, что рассматриваемое
преобразование AF не удовлетворяет первой части требования преемствен-
ности.
Покажем, что оно не удовлетворяет и второй части этого требования.
Конструкция критерия Ap)(∑ (для любого XA⊂ ) уже была найдена в ра-
боте [1]. Так, для каждой функции Ag +∈R имеем
)()()( )()( xpggF
Xx
AA pp ∑
∈
=∑=∑ ⊙ )(0:)( )( | xpAxxg
Ax
∑
∈
=∈ ⊙ )(xg (7)
(где ⊙ — операция умножения на +R , удовлетворяющая соглашению
0⊙ ∞=∞ ⊙ 00 = [1, разд. 10, выражение (46)]. Это значит, что простое под-
пространство )( )(, ApA ∑ , вообще говоря, не будет шенноновским ПН, и,
следовательно, нельзя утверждать, что оно совпадет с пространством
)( , ApA ∑ . Действительно, сужение Ap ↓ распределения p на множество
A , вообще говоря, не является распределением вероятностей. Так что про-
стые подпространства шенноновских пространств относятся не к простран-
ствам Шеннона, а к более общему типу ПН ( )α∑,X (где α может быть про-
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1 110
извольным отображением X в +R ), которые были рассмотрены в работе [6,
разд. 3]. Следовательно, не удовлетворяется и вторая часть требования пре-
емственности.
Таким образом, мы должны сделать вывод, что простые подпростран-
ства ПН не могут считаться решением задачи ограничения. Однако эта не-
удача является временной, так как выясняется, что: 1) для пространств
неопределенности возможен еще один вид подпространств (который удов-
летворит требованию преемственности); 2) для получения подпространства
второго вида необходимо сначала построить простое подпространство.
3. ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОГО ПОДПРОСТРАНСТВА ПН
Интересующая нас вторая разновидность подпространств — равномерные
подпространства — существует не всегда, а только в тех случаях, когда
соответствующее простое подпространство является усредняющим [5,
разд. 3, определение 2]. Это не слишком сильное ограничение, так как почти
все интересные ПН (кроме сингулярных [7]) могут быть усредняющими (при
тех или иных условиях). А каждое усредняющее ПН обладает равномерной
версией [5, разд. 6, предложение 4, определение 4].
Согласно результатам, полученным в работе [5], построение равномер-
ных подпространств можно кратко описать следующим образом. Пусть за-
дано ПН ( )S,X , и из него было построено простое подпространство ( )AA S, .
Если подпространство ( )AA S, является усредняющим, то можно построить
его равномерную версию ( )〉〈 AA S, , где КС 〉〈 AS описывается дефиницией
A
AdfA gg +◊=〉〈 R][~ SS , (8)
а ][~
Ag S есть среднее значение функции g относительно усредняющего
критерия AS (там же, разд. 4).
Замечание. Может случиться, что пространство ( )S,X — усредняю-
щее, а его простое подпространство ( )AA S, — нет. А может быть и наобо-
рот. Первая ситуация возникнет, например, в том случае, если множество A
является областью безразличия усредняющего ПН ( )S,X . Как следует из
замечания второго раздела, тогда пространство ( )AA S, не будет усредняю-
щим, так как КС AS окажется постоянным функционалом (и, следовательно,
его шкала не может быть инъективной).
Пример второй ситуации можно получить в предположении, что ПН
( )AA S, сингулярно в единственной точке Xy∈ на некотором уровне 0>r
[7, разд. 1, определение 1]. Легко понять, что сингулярные пространства
(любых разновидностей) не могут быть усредняющими. Пусть теперь точка
y не принадлежит множеству A . Тогда простое подпространство ( )AA S, не
будет сингулярным и вполне может оказаться усредняющим. ■
Определение. Пусть заданы: ПН ( )S,X и непустое подмножество A
множества X . Тогда если простое подпространство ( )AA S, является усред-
Решение задачи ограничения пространств неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 111
няющим, то ПН ( )〉〈 AA S, будем называть равномерным подпространст-
вом пространства ( )S,X . ■
Если ( )〉〈 AA S, есть равномерное подпространство пространства ( )S,X ,
то, как следует из дефиниции (8), а также из выражения (27) в работе [5],
для любой функции Ag +∈R получим
(][~)( ==〉〈 AA gg SS ┊ AS ┊ =− )()1 gAS ┊ AS ┊ )( )(1 gAS− , (9)
где ┊ AS ┊ 1− — обратная шкала критерия AS [5, разд. 3]. А если в (9) подста-
вить выражение (4), то для каждой функции Ag +∈R окончательно получим
=〉〈 )(gAS ┊ AS ┊ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∈
∈
− )( 0|:)(1 Axxg
Xx
S . (10)
Итак, мы полностью выяснили структуру равномерного подпростран-
ства ( )〉〈 AA S, пространства неопределенности ( )S,X (где XA⊂ ).
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОГРАНИЧЕНИЯ
Теорема. Понятие равномерного подпространства является удовлетвори-
тельным решением задачи ограничения для пространств неопределенно-
сти. ■
Доказательство. Достаточно показать, что если задать преобразование
〉〈= AdfAF SS (11)
для каждого непустого подмножества XA⊂ , для которого КС 〉〈 AS суще-
ствует, то мы получим понятие подпространства, удовлетворяющее требо-
ванию преемственности. Для того чтобы это показать (или убедиться, что
это не так), достаточно применить понятие равномерного подпространства к
вероятностному типу неопределенности, т.е. к шенноновским пространст-
вам.
Итак, пусть снова )( , pX ∑ — шенноновское пространство (где p —
РВ на множестве X ). И пусть A — непустое подмножество множества X .
Построим равномерное подпространство )( )(, 〉∑〈 ApA пространства
)( , pX ∑ . Но прежде всего выясним, при каких условиях равномерное под-
пространство )( )(, 〉∑〈 ApA будет существовать, или (что то же самое) при
каких условиях простое подпространство )( )(, ApA ∑ будет усредняющим.
Согласно определению 2 из работы [5, разд. 3] для этого необходимо и дос-
таточно, чтобы шкала ┊ Ap)(∑ ┊ простого подпространства )( )(, ApA ∑ была
инъективным отображением множества +R в множество R .
Построим шкалу ┊ Ap)(∑ ┊. Как было показано выше, пространство
)( )(, ApA ∑ является частным случаем пространств вида ( )α∑,A , где
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1 112
функция α представляет собой сужение распределения вероятностей p на
множество A :
AxpxApdf ◊=↓= )(α . (12)
Замечание. Подчеркнем, что сужение Ap ↓ распределения p на
множество A и его ограничение Ap на A (выражение (3)) — это не одно и
то же. ■
Так что для нахождения шкалы ┊ Ap)(∑ ┊ пространства )( )(, ApA ∑
можно воспользоваться выражением (13) из работы [5]:
┊ α∑ ┊ rr= ⊙ +◊∑ R)(α . (13)
В результате получим
┊ Ap)(∑ ┊ )(Apr= ⊙ +◊ Rr , (14)
где )(Ap характеризуется выражением (2).
Из выражения (14) непосредственно видно, что шкала ┊ Ap)(∑ ┊ будет
инъективным отображением множества +R в множество R , а пространство
)( )(, ApA ∑ — усредняющим тогда и только тогда, когда выполнится усло-
вие 0)( >Ap . А выше уже было показано, что это же условие является не-
обходимым и достаточным для существования шенноновского пространства
)( , ApA ∑ . Таким образом, равномерные подпространства удовлетворяют
первой части требования преемственности.
Для доказательства того, что выполняется и вторая часть требования,
сначала необходимо построить обратную шкалу ┊ Ap)(∑ ┊ 1− простого под-
пространства )( )(, ApA ∑ (при условии, что выполнено неравенство
0)( >Ap ). Из выражения (14) непосредственно следует, что обратная шкала
(при условии 0)( >Ap ) имеет вид
┊ Ap)(∑ ┊ +
− ◊= R
)(
1
Ap
rr . (15)
Так что в силу (14) для каждой функции Ag +∈R можем написать
=〉∑〈=∑ )()( )()( ggF AA pp ┊ Ap)(∑ ┊ ( ) )(
)(
1)( )()(1 g
Ap
g AA pp ∑=∑ ⋅− . (16)
А воспользовавшись выражением (4), получим (для той же функции g )
следующее:
)(
)(
1)( ()( xp
Ap
g
Xx
Ap ∑
∈
⋅=〉∑〈 ⊙ )(
)(
10:)( )| xp
Ap
Axxg
Ax
∑
∈
⋅=∈ ⊙ )(xg . (17)
Теперь необходимо сравнить выражение (17) с аналогичным выраже-
нием, описывающим результат применения к функции Ag +∈R шеннонов-
ского КС
Ap∑ . В силу (3) и выражения (1) из работы [2] получим
Решение задачи ограничения пространств неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 113
)()( xpg A
AxAp ∑
∈
=∑ ⊙ )(
)(
1)( xp
Ap
xg
Ax
∑
∈
⋅= ⊙ )()( )( gxg Ap 〉∑〈= . (18)
Таким образом, критерии свертывания 〉∑〈 Ap )( и
Ap∑ совпадают (при
условии 0)( >Ap , а следовательно, совпадают и пространства )( )(, 〉∑〈 ApA
и )( , ApA ∑ .
Мы показали, что выполнится и вторая часть требования преемствен-
ности. Теорема доказана. ■
Замечания. 1. Следует еще раз подчеркнуть, что равномерное подпро-
странство ( )〉〈 AA S, пространства ( )S,X существует не всегда, а только то-
гда, когда его простое подпространство ( )AA S, является усредняющим. Но
то же самое утверждение справедливо и для пространств Шеннона.
2. Общий способ построения равномерного подпространства ( )〉〈 AA S,
заданного ПН ( )S,X оказался довольно сложным. В самом деле, для этого
необходимо сделать следующее: а) построить простое подпространство
( )AA S, ; б) найти его шкалу; в) выяснить условия, при которых простое под-
пространство ( )AA S, будет усредняющим (они же являются условиями су-
ществования обратной шкалы); г) найти обратную шкалу простого подпро-
странства ( )AA S, (при условии, что она существует); д) построить
равномерное подпространство ( )〉〈 AA S, .
3. Сложность общего способа построения равномерных подпространств
не означает, что для конкретных частных типов неопределенности способ
перехода к равномерному подпространству тоже будет сложным. Действи-
тельно, для каждого интересного с практической точки зрения типа неопре-
деленности можно раз и навсегда получить свой короткий способ перехода
к равномерным подпространствам. А для этого весь упомянутый длинный
путь перехода нужно будет применить только один раз. ■
5. ПРИМЕРЫ РАВНОМЕРНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ
1. Пространства Шеннона. Один пример мы уже имеем — это подпро-
странства шенноновских пространств. Смысл доказанной выше теоремы
состоит в том, что равномерное подпространство ))(,( 〉∑〈 ApA шеннонов-
ского пространства )( , pX ∑ (где XA⊂ ) совпадает (при условии 0)( >Ap )
с шенноновским пространством )( , ApA ∑ , где Ap — ограничение на мно-
жество A распределения вероятностей p .
Замечание. При рассмотрении других типов неопределенности, отлич-
ных от вероятностного, необходимо помнить, что в нашем распоряжении
имеется два понятия подпространства ПН — простое подпространство и
равномерное. Возникает вопрос, в каких случаях должно применяться пер-
вое из них, а в каких — второе. Хотя из нашего требования преемственности
следует, что равномерные подпространства должны играть в теории неопре-
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1 114
деленности особую роль, легко, тем не менее, указать случаи, когда более
подходящими окажутся простые подпространства. Этот вопрос еще требует
изучения. Однако кажется логичным, что если, например, исходное ПН не
является равномерным, то для него вряд ли уместным будет построение
равномерных подпространств. ■
2. Пространства Заде. В качестве второго примера построим равно-
мерное подпространство пространства Заде. Напомним, что пространства-
ми Заде названы ПН вида )( , µSUPX , которые были получены в результате
погружения нечетких множеств [2, с. 131]. Напомним также, что простран-
ство Заде )( , µSUPX соответствует нечеткому подмножеству множества X ,
такому, что X]1,0[∈µ есть функция принадлежности этого подмножества.
Критерий µSUP пространства )( , µSUPX характеризуется выражением
)(sup xf
Xx
df µµ
∈
=SUP ⊙ Xxf +◊ R)( (19)
(здесь имеется в виду верхняя грань в множестве R , которая существует
всегда, какими бы ни были функции X]1,0[∈µ и Xf +∈R ).
Как следует из последнего замечания, для того чтобы имело смысл
строить равномерное подпространство пространства Заде )( , µSUPX , по-
следнее само должно быть равномерным. Ввиду выражения (16) из работы
[5], шкала пространства )( , µSUPX имеет вид
┊ µSUP┊ rr= ⊙ +
∈
◊ R)(sup x
Xx
µ . (20)
Из выражения же (20) непосредственно следует, что, для того чтобы про-
странство )( , µSUPX было равномерным, необходимо и достаточно выпол-
нения условия
1)(sup =
∈
x
Xx
µ . (21)
Итак, предположим, что условие (21) выполнено. И пусть задано (не-
пустое) подмножество A множества X . Построим равномерное подпро-
странство )( )(, 〉〈 AA µSUP пространства )( , µSUPX . Для этого сначала необ-
ходимо построить простое подпространство )( )(, AA µSUP . Но мы
воспользуемся тем, что оно уже было построено в работе [1, разд. 9]. Со-
гласно выражению (49) из [1] для каждой функции Ag +∈R можем написать
)(sup)()( )( xg
Xx
A Xg µµµ
∈
== ↑SUPSUP ⊙ )(sup0:)( )( | xAxxg
Ax
µ
∈
=∈ ⊙ ).(xg (22)
Шкала подпространства )( )(, AA µSUP в силу (22) должна характеризо-
ваться выражением
Решение задачи ограничения пространств неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 115
┊ A)( µSUP ┊ rr= ⊙ +
∈
◊ R)(sup x
Ax
µ . (23)
Как мы уже знаем, для существования равномерной версии простого
подпространства )( )(, AA µSUP необходимо и достаточно, чтобы его шкала
┊ A)( µSUP ┊ была инъекцией. А ввиду выражения (23) для этого необходимо
и достаточно выполнения условия
0)(sup >
∈
x
Ax
µ . (24)
Если оно выполняется, то должна существовать и обратная шкала про-
странства )( )(, AA µSUP , которая в таком случае будет иметь вид
┊ A)( µSUP ┊ 1− rr= ⊙ +
∈
◊⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
R)(sup1/ x
Ax
µ . (25)
Теперь у нас есть все необходимое для нахождения конструкции рав-
номерного КС 〉〈 A)( µSUP и, следовательно, — способа построения равно-
мерного подпространства )( )(, 〉〈 AA µSUP . Действительно, ввиду соотноше-
ния (10) для каждой функции Ag +∈R можем написать
=〉〈 )()( gAµSUP ┊ A)( µSUP ┊ ))()((1 gAµSUP− . (26)
А затем, используя выражения (22) и (25), вместо (26) для той же функции
g получаем
=〉〈 )()( gAµSUP )(sup)(sup1/ xy
AxAy
µµ
∈∈
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⊙ )(xg . (27)
Из выражения (27) следует, что построенное таким образом равномер-
ное подпространство )( )(, 〉〈 AA µSUP пространства Заде )( , µSUPX само яв-
ляется (равномерным) пространством Заде вида )( ,
A
A µSUP , где Aµ есть
функция принадлежности нечеткого подмножества множества A , характе-
ризуемая дефиницией
Axyx
Ay
dfA ◊⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ⋅
∈
)()(sup1/ µµµ . (28)
3. Бесструктурные пространства. Рассмотрим теперь частный случай
пространства Заде, когда исходная функция принадлежности X]1,0[∈µ не-
четкого подмножества множества X постоянна и имеет вид
Xx ◊= 1µ . (29)
Известно, что этот случай соответствует описанию на языке нечетких мно-
жеств самого множества X (рассматриваемого как «обычное» множество).
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1 116
А соответствующее этому случаю ПН )( , µSUPX (названное бесструктур-
ным пространством) обозначается ( )XX SUP, .
Легко видеть, что бесструктурное пространство ( )XX SUP, равномерно.
Причем, как показывают выражения (51) и (52) из работы [1] , его простое
подпространство ( )AXA )(, SUP тоже равномерно и имеет вид ( )AA SUP, . По-
этому искать равномерную версию ( )〉〈 AA SUP, простого подпространства
( )AA SUP, незачем, поскольку она совпадет с подпространством ( )AA SUP, .
Таким образом, для бесструктурного пространства ( )XX SUP, обе разновид-
ности подпространств (простое и равномерное) совпадают (так что в этом
случае достаточно одного обозначения ( )AA SUP, ). Подпространство же
( )AA SUP, представляет собой описание множества A (рассматриваемого как
«обычное» множество). Этот частный случай пространств Заде можно рас-
сматривать как дополнительное косвенное свидетельство того, что аппарат
построения подпространств работает правильно.
4. «Экспоненциальные» суммирующие пространства. Так же, как и
в работе [1], в качестве последнего примера рассмотрим более сложный
случай — построим равномерное подпространство «экспоненциального»
суммирующего ПН вида )( *, pX ∑ , критерий свертывания *p∑ которого
описывается выражением
)(* xpf
Xxdfp ∑
∈
=∑ ⊙ Xxf
+◊ R)(2 (30)
(где, по-прежнему, p есть РВ на множестве X ).
Имея в виду последнее замечание, мы начнем рассмотрение этого
примера не с того, что возьмем в готовом виде полученное в работе [1] про-
стое подпространство )( )(, *
ApA ∑ пространства )( *, pX ∑ , а рассмотрим
сначала вопрос о равномерности самого исходного пространства )( *, pX ∑ .
Как показано в работе [5], пространство )( *, pX ∑ не равномерно. Но оно
является усредняющим, и, следовательно, существует его равномерная вер-
сия )( *, 〉∑〈 pX . А КС 〉∑〈 *p его равномерной версии характеризуется сле-
дующим условием: для каждой функции Xf +∈R имеет место равенство
)(log)( 2
* xpf
Xx
p ∑
∈
=〉∑〈 ⊙ )(2 xf (31)
[5, разд. 6, выражение (50)]. Поэтому для получения осмысленного ре-
зультата в этом примере нужно отправляться не от простого подпро-
странства )( )(, *
ApA ∑ исходного ПН )( *, pX ∑ , а от простого подпростран-
ства )( *, ApA 〉∑〈 его равномерной версии )( *, 〉∑〈 pX .
Решение задачи ограничения пространств неопределенности
Системні дослідження та інформаційні технології, 2006, № 1 117
Для построения простого подпространства )( *, ApA 〉∑〈 воспользуемся
выражением (44) из работы [1, разд. 9]. Тогда в силу (31) и учитывая выра-
жение (55) из работы [1], для каждой функции Ag +∈R получаем
)(log)()( (2
** xpXgg
Ax
A pp ∑
∈
=↑〉∑〈=〉∑〈 ⊙ ))\(2 )( AXpxg + , (32)
где
)()\(
\
xpAXp
AXx
∑
∈
= . (33)
На основании выражения (32), а также выражения (2) из работы [5], для
произвольного числа +∈Rr получим
( ) )( )\()(2log2
** AXpApArxr r
AA pp +=◊〉∑〈=〉〈〉∑〈 ⋅ (34)
(где )(Ap определяется из выражения (2)). Отсюда следует, что шкала про-
стого подпространства )( )(, *
ApA ∑ имеет вид
┊ Ap 〉∑〈 * ┊ +◊+= ⋅ R)( )\()(2log2 AXpApr r (35)
и, таким образом, является инъекцией тогда и только тогда, когда выполня-
ется уже знакомое неравенство 0)( >Ap . Нетрудно также найти (при вы-
полнении этого условия) область значений шкалы ┊ Ap 〉∑〈 * ┊. Она равна
Val ┊ Ap 〉∑〈 * ┊ += R . (36)
Как следует из определения 2 в работе [5, разд. 3], это же неравенство
0)( >Ap является необходимым и достаточным условием того, чтобы про-
стое подпространство )( *, ApA 〉∑〈 было усредняющим. Так что при этом
условии существует и обратная его шкала, которая ввиду (34) и (36) должна
иметь вид
┊ Ap 〉∑〈 * ┊ +
− ◊
−
= R
)(
)\(2
log2
1
Ap
AXp
r
r
. (37)
Таким образом, мы фактически нашли конструкцию равномерного
подпространства )( *, 〉〉∑〈〈 ApA равномерного пространства )( *, 〉〈∑pX .
В самом деле, для того чтобы вычислить результат )(* gAp 〉〉∑〈〈 применения
критерия 〉〉∑〈〈 Ap
* к произвольной функции Ag +∈R , достаточно сначала
найти значение )(* gAp〉∑〈 с помощью выражения (32), а затем к этому зна-
чению применить (как к аргументу) обратную шкалу ┊ Ap 〉∑〈 * ┊ 1− (выраже-
ние (37)). Выполнив все эти действия, для функции Ag +∈R получим
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2006, № 1 118
)(
)(
1log)( (2
* xp
Ap
g
Ax
Ap ∑
∈
⋅=〉〉∑〈〈 ⊙ ))(2 xg . (38)
Полученное выражение интересно сравнить с выражением (55) из рабо-
ты [1] для простого подпространства )( )(, *
ApA ∑ исходного ПН )( *, pX ∑ .
ВЫВОДЫ
Итак, в статье было сделано следующее:
1. Показано, что понятие простого подпространства ПН [1] не является
решением задачи ограничения [1], поскольку не удовлетворяет требованию
преемственности в развитии аппарата неопределенности.
2. Построено понятие равномерного подпространства ПН с помощью
аппарата равномерных версий [5].
3. Показано, что равномерные подпространства ПН удовлетворяют
требованию преемственности и, следовательно, являются удовлетворитель-
ным решением задачи ограничения.
4. Рассмотрены примеры построения равномерных подпространств.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дидук Н.Н. Прообразы пространств неопределенности. Простые подпростран-
ства // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2005. — № 1 —
С. 127–142.
2. Дидук Н.Н. Пространства неопределенности и изоморфизм // Системні
дослідження та інформаційні технології. — 2002. — № 4. — С. 128–143.
3. Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, 1965. — 456 с.
4. Дидук Н.Н. Система морфизмов для пространств неопределенности и ее при-
менение // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. —
№ 1. — С. 34–47.
5. Дидук Н.Н. Понятие шкалы пространства неопределенности и его применение
// Там же. — 2004. — № 3. — С. 115–127.
6. Дидук Н.Н. Примеры вероятностной семантики основной теоремы кодирования
для пространств неопределенности // Кибернетика и системный анализ. —
1994. — № 4. — С. 129–140.
7. Дидук Н.Н. Сингулярные пространства неопределенности и сингулярные пре-
образования // Кибернетика и системный анализ. — 1997. — № 5 —
С. 16–29.
Поступила 29.06.2004
|
| id | journaliasakpiua-article-165467 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:52Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/b0/abd40f80f627e6a3692645dc3f8aedb0.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1654672019-04-25T14:46:04Z Solution of the problem of uncertainty space restriction Решение задачи ограничения пространств неопределенности Рішення задачі обмеження просторів невизначеності Diduk, N. N. It is shown that the notion of the simple subspace of an uncertainty space, which is constructed using the formal methods of Bourbaki’s theory of mathematical structures, cannot be a restriction problem solution because it does not meet the demand for succession in the development of the uncertainty mathematical apparatus. To construct the subspaces that meet the demand, the even versions apparatus is applied to simple subspaces. Examples of even subspaces are considered. Показано, что понятие простого подпространства пространства неопределенности, построенное формальными методами теории математических структур Н. Бурбаки, не является решением задачи ограничения, поскольку не удовлетворяет требованию преемственности в развитии математического аппарата неопределенности. Для получения конструкции подпространств, удовлетворяющих этому требованию, к простым подпространствам применяется аппарат равномерных версий. Рассмотрены примеры равномерных подпространств. Показано, що поняття простого підпростору простору невизначеності, яке побудоване формальними методами теорії математичних структур Н. Бурбакі, не є рішенням задачі обмеження, оскільки не відповідає вимозі спадкоємності у розвитку математичного апарату невизначеності. Для одержання конструкції підпросторів, що відповідають цій вимозі, до простих підпросторів застосовується апарат рівномірних версій. Розглянуто приклади рівномірних підпросторів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-04-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165467 System research and information technologies; No. 1 (2006); 106-118 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2006); 106-118 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2006); 106-118 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165467/164738 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Diduk, N. N. Рішення задачі обмеження просторів невизначеності |
| title | Рішення задачі обмеження просторів невизначеності |
| title_alt | Solution of the problem of uncertainty space restriction Решение задачи ограничения пространств неопределенности |
| title_full | Рішення задачі обмеження просторів невизначеності |
| title_fullStr | Рішення задачі обмеження просторів невизначеності |
| title_full_unstemmed | Рішення задачі обмеження просторів невизначеності |
| title_short | Рішення задачі обмеження просторів невизначеності |
| title_sort | рішення задачі обмеження просторів невизначеності |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165467 |
| work_keys_str_mv | AT diduknn solutionoftheproblemofuncertaintyspacerestriction AT diduknn rešeniezadačiograničeniâprostranstvneopredelennosti AT diduknn ríšennâzadačíobmežennâprostorívneviznačeností |