До задачі гарантованого оцінювання точності керованої лінійної системи
The task of guaranteed estimation of accuracy of linear system in discrete time is solved on condition that limited interference operates at the system input and initial condition of the system is known within elliptical set accuracy in phase space of conditions. The matrix of compression (stretchin...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165553 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334356655144960 |
|---|---|
| author | Bakan, G. M. Sholokhov, A. V. |
| author_facet | Bakan, G. M. Sholokhov, A. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "G. M. Bakan",
"institution": null
},
{
"author": "A. V. Sholokhov",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Bakan, G. M. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-04-25T16:24:40Z |
| description | The task of guaranteed estimation of accuracy of linear system in discrete time is solved on condition that limited interference operates at the system input and initial condition of the system is known within elliptical set accuracy in phase space of conditions. The matrix of compression (stretching) of space is used to solve this task. This allows receiving the most simple computing solution in comparison with the known one. In conclusion the results of modeling are given. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Г.М. Бакан, А.В. Шолохов, 2005
44 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4
TIДC
ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І
УПРАВЛІННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ, ТЕХНІЧНИХ,
ЕКОЛОГІЧНИХ І СОЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
УДК 519.8
К ЗАДАЧЕ ГАРАНТИРОВАННОГО ОЦЕНИВАНИЯ
ТОЧНОСТИ УПРАВЛЯЕМОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
Г.М. БАКАН, А.В. ШОЛОХОВ
Решается задача гарантированной оценки точности линейной системы в дис-
кретном времени при условии, что на входе системы действует ограниченная
помеха, а начальное ее состояние известно с точностью до эллипсоидального
множества в фазовом пространстве состояний. Используется матрица сжатия
(растяжения) пространства, что позволяет получить более простое в вычисли-
тельном отношении решение по сравнению с известным. Приведены результа-
ты моделирования.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема оценки точности управляемой системы возникает, в частности,
тогда, когда система функционирует в условиях, не предусмотренных при ее
расчете. Начальные условия могут существенно отличаться от расчетных, а
реализуемые расчетные управления искажаются не учтенными при синтезе
помехами. Если информация о мешающих факторах в том или ином виде
задана, то можно решать задачу об оценке влияния этих факторов на откло-
нение от расчетной траектории движения системы. Подобная задача рас-
сматривается в этой статье. Предполагается, что все мешающие факторы
ограничены и известны множества принимаемых ими значений. В этих ус-
ловиях решается задача о построении гарантированной оценки точности
системы как отклонения от расчетной (идеальной) траектории ее движения.
Она входит в класс задач, связанных с построением так называемых мно-
жеств достижимости [1]. В данной статье предлагается сравнительно про-
стой алгоритм решения, учитывающий специфику рассматриваемой задачи.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается линейная управляемая система с аддитивной помехой, дей-
ствующей на ее входе, и не точно известным начальным состоянием. Урав-
нение системы в фазовом пространстве переменных состояния имеет вид
Tj,wBuAxx jjjj 01 ∈++=+ , (1)
К задаче гарантированного оценивания точности управляемой линейной системы
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 45
где [ ]kTj ,...,1,00 =∈ — дискретное время n
j Rxk ∈∞≤ ;)( — вектор фазо-
вого состояния (в момент времени j ); Ru j
1∈ — управление в тот же мо-
мент; Rw n
j∈ — вектор помехи; RBRA nnn
j
1, ×× =∈ — заданные матрицы
такие, что пара ),( BA управляема. Предполагается, что матрицы BA,
имеют каноническую форму, в частности, )1...00(=BT .
Управления Ru j
1∈ заданы на всем интервале T 0 управления, образуя
программу
},{ 0
1 TjRu j
∈∈ . (2)
Помеха w j действует аддитивно по отношению к управляющему
воздействию. Она имеет вид
ew njj λ= ; (3)
где Rj
1∈λ — ограниченный мешающий фактор такой, что
0,0 ≥≤∈∀ ddTj jλ ;
)1...00(=eT
n — единичный орт в 0; ≥dRn — заданная константа.
Для множества реализаций помехи w j можно записать
{ }nT
nn
T
j
T
j Rlleeldwlw ∈∀≤ ,: . (4)
Вектор nRx ∈0 начального состояния точно не задан. Известно, что он
может принимать значения из ограниченного множества
{ }1)()(: 00
1
00000 ≤−−= − xxHxxxE T , (5)
где nRE ⊂0 — многомерный эллипсоид с заданными параметрами nRx ∈0
и )0(, 000 >=∈ × HHRH Tnn .
Пусть },~{ 0Tjx j ∈ расчетная траектория системы есть решение урав-
нения
001
~,~~ xxBuxAx jjjjj =+= =+ (6)
при управлениях (2).
Величину
jjj xx ~−=ε ,
где jx — решение уравнения (1), при некотором 00 Ex ∈ и условиях (2), (4),
(5) назовем ошибкой системы.
Задача состоит в том, чтобы построить такое эллипсоидальное множе-
ство n
j RE ⊂ наименьшего многомерного объема, чтобы
jj ETj ∈∈∀ ε,0 . (7)
Г.М. Бакан, А.В. Шолохов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 46
Множество jE назовем гарантированной оценкой точности системы
(в j-й момент времени) или гарантированной оценкой точности реализации
программы (2).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Пусть искомая эллипсоидальная оценка в j-й момент времени имеет вид
многомерного эллипсоида
}1)()(:{ 1
0 ≤−−= −
jjj
T
jjj xxHxxxE , (8)
где параметры nRx ∈0 и ( )0, >∈ ×
j
nn
j HRH предполагаются известными.
В частности, для 0000 ,0 HHxxj jj === = .
Эллипсоид (8) можно записать в параметрическом виде
{ }1,: ≤+== ξξ jjjjjj HxxxE , (9)
где n
j R∈ξ — вспомогательный параметр и • — евклидова норма векто-
ра.
Для определения оценки 1+jE на 1+j -м такте найдем образ эллипсои-
да при отображении его с помощью линейного преобразования (1). Для это-
го, пользуясь параметрическим представлением (9), исключим вектор jx из
уравнения (1). Тогда получим
jjjjjj wBuHAxAx +++=+ ξ1 .
Обозначим
jjj BuxAx +=+ 1 , (10)
тогда
jjjjj wHAxx +=− ++ ξ11 . (11)
Так как в (10) 00 xx jj == , а управления определяются программой (2),
следует считать 11
~
++ ≡ jj xx . С учетом этого для ошибки 111
~
+++ −= jjj xxε
согласно (11) можем записать
{ }dewHAzwzE njjjjjjjjjjj ≤=≤=+== ++
∗
+ λλξξεε ,,1,,: 111 .(12)
В соответствии с определением переменной jz в (12) она принимает
значения из множества
},:{ nT
j
T
j
T
j RllAAHlzlz ∈∀≤ . (13)
Таким образом, ошибка 1+jε на 1+j -м такте представляет собой сум-
му двух переменных, каждая из которых принимает значения из эллипсои-
дальных множеств (4) и (13). Учитывая, что эти множества заданы своими
огибающими функциями, для множества (12) получаем
К задаче гарантированного оценивания точности управляемой линейной системы
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 47
},:{ 1111
nT
nn
T
jj
T
j
T
jj RldleellHllE ∈∀+≤= +++
∗
+ εε , (14)
где
T
jjj AAHH =+1 .
Здесь использован тот факт, что сумма двух векторов, каждый из кото-
рых задан эллипсоидальным множеством, принадлежит множеству с огибаю-
щей функцией, равной сумме огибающих функций исходных эллипсоидов.
Таким образом поставленная задача свелась к тому, чтобы аппрокси-
мировать множество (14) эллипсоидальным множеством 1+jE наименьшего
объема.
Исчерпывающее решение данной задачи содержится в монографии [1].
Однако оно связано с необходимостью одновременного приведения исход-
ных эллипсоидов к диагональной форме, для чего приходится решать соот-
ветствующее характеристическое уравнение.
В этой статье предлагается более простой способ решения, учитываю-
щий специфику рассматриваемой задачи. В его основе лежит идея исполь-
зования матрицы сжатия [2] по заданному направлению, что позволяет от-
носительно просто вычислять, а затем и минимизировать объем искомой
эллипсоидальной оценки.
Поскольку множество (14) не является эллипсоидальным, найдем ап-
проксимирующее его эллипсоидальное множество. Для этого воспользуемся
леммой, которую применительно к рассматриваемой здесь задаче запишем в
уже принятых обозначениях, опуская индексы j и 1+j .
Лемма. Пусть 01 >γ и 02 >γ — числовые параметры такие, что
11
2
1
1 =+ −− γγ . (15)
Тогда любой эллипсоид из параметрического семейства
{ }nT
nn
T RllHdeelE ∈∀+≤= ,)(:),( 2
2
121 γγεεγγ (16)
имеет свойство
),(, 2121 γγγγ EE ⊂∀ ∗ , (17)
где
{ }HlldleellE TT
nn
TT +≤=∗ εε : .
Доказательство леммы основано на известном неравенстве [3]
yyxxyx TT
21 γγ +≤+ , (18)
где 1,, 1
2
1
1 =+∈ −− γγnRyx .
На основании этой леммы для аппроксимирующих множества (14) эл-
липсоидов можем использовать семейство
( ){ }1,:),( 121
1
11121 ≤= +
−
+++ jj
T
jj HE εγγεεγγ , (19)
где
)(),( 1,2
2
,1211 jjj
T
nnjj HdeeH ++ += γγγγ (20)
Г.М. Бакан, А.В. Шолохов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 48
и
11
,2
1
,1 =+ −−
jj γγ . (21)
Теперь задача состоит в том, чтобы выбрать из семейства (19) аппрок-
симирующий эллипсоид наименьшего объема. Найдем выражения для объ-
ема эллипсоида (19) как функцию от параметров j,1γ и j,2γ . По определе-
нию имеем
21
,2,11,2,1 )),()(det1()),(( jjjjj HvEv γγγγ += , (22)
где )1(v — объем единичного шара в nR ; Hdet – определитель матрицы
nnRH ×∈ . С использованием матрицы сжатия (растяжения) матрицу (20)
представим в виде
jjnjjjjjjjj HeHRHH
j
|1
1
11,2,2,11 2),( +
−
+++ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛= −β
γγγ , (23)
где ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −
+− njj eHR
j
1
12β
— матрица сжатия (растяжения) по направлению
njj eH 1
1
−
+
( )
njj
T
n
jj
T
nnjj
jnjj eHe
HeeH
IeHR
j 1
1
1
1
1
121
1 12 −
+
−
+
−
+−−
+ −−=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
− β
β
, (24)
где nnRI ×∈ — единичная матрица и
2
2,
,12 1 j
j
j
j κ
γ
γ
β +=− , (25)
где
deHe njj
T
nj
21
|1
2 −
+=κ . (26)
С учетом свойства матрицы сжатия
( ) 21-
|12det −
+ =− jnjj eHR
j
β
β
(27)
для объема (22) находим
( ) ( ) 2/1
|1
12/
,2,2,1 det)1(),( jjj
n
jjj HvEv +
−= βγγγ . (28)
Утверждение. Пусть δ +
j положительный корень уравнения
0)1( 222 =−−+ κδκδ jjjj nn , (29)
тогда оптимальные значения γ *
,1 j и γ *
,2 j параметров j,1γ и j,2γ , на которых
достигается минимальное значение объема (22) аппроксимирующего эллип-
соида, связаны между собой соотношением
γ
γ
δ *
,1
*
,2
j
j
j =
+ , (30)
К задаче гарантированного оценивания точности управляемой линейной системы
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 49
что с учетом ограничения (21) дает
δγ
δ
δ
γ +
+
+
+=
+
= jj
j
j
j 1,
1 *
,2
*
,1 . (31)
Доказательство утверждения следует непосредственно из необходимо-
го условия минимума функции (28) с учетом ограничения (15).
Таким образом, для искомой оптимальной оценки ошибки на 1+j -м
такте находим
}1:{ 1
1
1111 ≤= +
−
++++ jj
T
jjj HE εεε , (32)
где матрица ),( *
,2
*
,111 jjjj HH γγ++ = в соответствии с (20) равна
jjj
T
nnjj HdeeH |1
*
,2
2*
,11 ++ += γγ .
Для максимального положительного корня, решая уравнение (29), по-
лучаем
,)( 2/11
|1 jjjnjj
T
nj bbeHed κδ == −
+
+
где
n
n
n
nn
b jj
j 2
)1(
2
4)1( 22
−
−
+−
=
κκ
.
Используя соотношения (31), с учетом полученного выражения для
максимального корня искомую матрицу 1+jH можем записать
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
−
+
+
+
+
)(
)1(
1
1|1
1|11
nj
T
n
T
nn
j
jjj
eHe
ee
b
d
HH δ . (33)
Формулы (5) и (33) с учетом определения ошибки 111
~
+++ −= jjj xxε
дают искомый рекуррентный алгоритм построения гарантированной оценки
ошибки реализации программы (2). Начальными значениями здесь служат
параметры априорного множества (3).
Заметим, что уравнение (29) совпадает с уравнением, полученным в ра-
боте [1] для частного случая, когда матрица IH jj =+ |1 .
Пример моделирования алгоритма. Возьмем систему третьего порядка
и зададимся устойчивыми значениями собственных чисел матрицы динами-
ки A : 5,0;5,0;75,0 −=iλ . По ним построим матрицу A , имеющую форму
Фробениуса
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
0,750,250,1875
100
010
A .
Управления в программе (2) примем равными kju j ,1,1 ∈∀= , помеху
iλ зададим в виде ( ) j
i d 1−=λ . Начальное значение [ ]121050 −=Tx удов-
летворяет условию (5), где
Г.М. Бакан, А.В. Шолохов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 50
[ ]000,
90000
04000
00100
00 =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= TxH .
Моделирование системы произведем в среде MATLAB. В качестве ре-
зультата рассмотрим график изменений квадратного корня из определителя
матрицы jH (рис. 1) и график зависимости значения квадратичной формы
(32) от номера j итерации (рис. 2).
Из рис. 1 видно, что точность гарантированной оценки ошибки возрас-
тает с ростом числа итераций. При этом (рис. 2) эллипсоид (32) гарантиро-
ванно содержит ошибку в качестве своего элемента.
Результаты аналогичных расчетов приведены на рис. 3 и 4 для случая,
когда собственные числа матрицы A равны iii 6,04,0;6,04,0;5,0 −+=λ
при одинаковых прочих условиях.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
1,30,920,26
100
010
A .
Рис. 2. Оценка вектора ошибки при λi =0,75; 0,5; – 0,5
Зн
ач
ен
ие
к
ва
др
ат
ич
но
й
фо
рм
ы
j
Рис. 1. Аппроксимация множества достижимости при λi=0,75; 0,5; – 0,5
О
бъ
ем
э
лл
ип
со
ид
а
0 j
К задаче гарантированного оценивания точности управляемой линейной системы
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 51
ВЫВОДЫ
С помощью предложенного алгоритма решается поставленная задача гаран-
тированного оценивания точности управляемой линейной системы для слу-
чая скалярных управлений и помехи. При этом решение достигается с
меньшими вычислительными затратами по сравнению с алгоритмом, приве-
денным в работе [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. — М.:
Наука, 1988. — 320 с.
2. Шор Н.З. Метод отсечения с растяжением пространства для решения задач
выпуклого программирования // Кибернетика. — 1977. — № 1. — С. 94–95.
3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969. — 367 с.
Поступила 03.12.2004
Рис. 3. Аппроксимация множества достижимости при iii
6,04,06,04,0;5,0 ; −+=λ
А
пп
ро
кс
им
ац
ия
м
но
ж
ес
тв
а
д
ос
ти
ж
им
ос
ти
j0
Рис.4. Оценка вектора ошибки при iii
6,04,06,04,0;5,0 ; −+=λ
Зн
ач
ен
ие
к
ва
др
ат
ич
но
й
фо
рм
ы
j0
|
| id | journaliasakpiua-article-165553 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:55Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/66/01b61dbf85b0b00316783ab673115166.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1655532019-04-25T16:24:40Z To the problem of guaranteed estimation of controlled linear system accuracy К задаче гарантированного оценивания точности управляемой линейной системы До задачі гарантованого оцінювання точності керованої лінійної системи Bakan, G. M. Sholokhov, A. V. The task of guaranteed estimation of accuracy of linear system in discrete time is solved on condition that limited interference operates at the system input and initial condition of the system is known within elliptical set accuracy in phase space of conditions. The matrix of compression (stretching) of space is used to solve this task. This allows receiving the most simple computing solution in comparison with the known one. In conclusion the results of modeling are given. Решается задача гарантированной оценки точности линейной системы в дискретном времени при условии, что на входе системы действует ограниченная помеха, а начальное ее состояние известно с точностью до эллипсоидального множества в фазовом пространстве состояний. Используется матрица сжатия (растяжения) пространства, что позволяет получить более простое в вычислительном отношении решение по сравнению с известным. Приведены результаты моделирования. Розв’язується задача гарантованої оцінки точності лінійної системи у дискретному часі за умови, що на вході системи діє обмежена завада, а початковий стан системи відомий із точністю до еліпсоідальної множини у фазовому просторі станів. Використовується матриця стиснення (розтягу) простору, що дозволяє одержати простіше в обчислювальному відношенні рішення у порівнянні з відомим. Наведено результати моделювання. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-04-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165553 System research and information technologies; No. 4 (2005); 44-51 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2005); 44-51 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2005); 44-51 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165553/164755 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Bakan, G. M. Sholokhov, A. V. До задачі гарантованого оцінювання точності керованої лінійної системи |
| title | До задачі гарантованого оцінювання точності керованої лінійної системи |
| title_alt | To the problem of guaranteed estimation of controlled linear system accuracy К задаче гарантированного оценивания точности управляемой линейной системы |
| title_full | До задачі гарантованого оцінювання точності керованої лінійної системи |
| title_fullStr | До задачі гарантованого оцінювання точності керованої лінійної системи |
| title_full_unstemmed | До задачі гарантованого оцінювання точності керованої лінійної системи |
| title_short | До задачі гарантованого оцінювання точності керованої лінійної системи |
| title_sort | до задачі гарантованого оцінювання точності керованої лінійної системи |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165553 |
| work_keys_str_mv | AT bakangm totheproblemofguaranteedestimationofcontrolledlinearsystemaccuracy AT sholokhovav totheproblemofguaranteedestimationofcontrolledlinearsystemaccuracy AT bakangm kzadačegarantirovannogoocenivaniâtočnostiupravlâemojlinejnojsistemy AT sholokhovav kzadačegarantirovannogoocenivaniâtočnostiupravlâemojlinejnojsistemy AT bakangm dozadačígarantovanogoocínûvannâtočnostíkerovanoílíníjnoísistemi AT sholokhovav dozadačígarantovanogoocínûvannâtočnostíkerovanoílíníjnoísistemi |