Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем
The analysis of the stability-like properties of fuzzy discrete systems functioning on decisions support systems example is carried out. The determination of stability solutions of fuzzy systems is introduced, the belonging function senses calculation algorithms for guaranteeing of decisions support...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165557 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302354730516480 |
|---|---|
| author | Ivohin, E. V. Volchkov, S. A. |
| author_facet | Ivohin, E. V. Volchkov, S. A. |
| author_sort | Ivohin, E. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-04-25T16:24:40Z |
| description | The analysis of the stability-like properties of fuzzy discrete systems functioning on decisions support systems example is carried out. The determination of stability solutions of fuzzy systems is introduced, the belonging function senses calculation algorithms for guaranteeing of decisions support systems dynamics modeling are offered. On the basis of Lyapunov functions method the assertion about conditions of stability in discrete fuzzy systems are proved. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:24:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Є.В. Івохін, С.О. Волчков, 2005
94 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4
УДК 517.9
ЯКІСНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІКИ НЕЧІТКИХ
ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ
Є.В. ІВОХІН, С.О. ВОЛЧКОВ
Проводиться аналіз стійкоподібних властивостей функціонування нечітких
дискретних систем на прикладі систем прийняття рішень. Вводиться визна-
чення стійкості розв’язків нечітких систем. Запропоновано алгоритми обчис-
лення значень функції належності для забезпечення моделювання динаміки
систем прийняття рішень. На основі методу функцій Ляпунова доведено твер-
дження про умови стійкості в дискретних нечітких системах.
Математичне моделювання різних фізичних явищ складається із двох прин-
ципових етапів, які потребують врахування складності та невизначеності
відповідних моделей. Перший з них об’єктивно обумовлений відсутністю
точного опису процесів функціонування, що моделюються. Це, в свою чер-
гу, веде до неможливості сформулювати точний вигляд моделі фізичного
процесу. Незручності використання конкретних моделей на практиці пояс-
нюються також наявністю в моделях багатьох невизначеностей. Другий
етап, пов’язаний з проблемою адекватності математичного моделювання
реальних систем, полягає у суб’єктивній неспроможності оцінювати стани
процесів абсолютно точно. Неясність, нечіткість поведінки систем, відсут-
ність достатньої інформації для моделювання процесів не дозволяють
коректно описувати моделі в рамках традиційних підходів, які враховують
невизначеність. Останнім часом для вирішення цих проблем досить широко
використовується теорія нечітких множин [1–5].
Існує багато підходів до побудови та математичного обгрунтування за-
гальної теорії нечітких множин. Потрібно відмітити, що аксіоматика даної
теорії досить повно вивчена [5], а область застосування нечітких множин
постійно розширюється завдяки використанню основних принципів теорії в
аналізі складних систем різного призначення (економічних, екологічних,
соціальних, медичних, політичних та ін.).
Існує велика кількість нечітких моделей, які дозволяють описувати ди-
наміку процесів (явищ, ситуацій і под.). Проте зрозуміло, що без якісного
дослідження поведінки розв’язків аналіз моделей не може бути повним.
Питанням дослідження стійкості нечітких динамічних систем поки що
присвячено небагато робіт [2, 4, 7, 9]. Це пов’язано з тим, що термін «стій-
кість нечіткої системи» залишається не до кінця формалізованим понят-
тям, яке трактується в залежності від моделей дослідження динаміки та
від поглядів на зміст властивості «стійкості».
Метою цієї роботи є спроба отримати умови традиційного поняття
стійкості розв’язків нечітких динамічних систем та побудувати такі ана-
логи теорем Ляпунова, які встановлюватимуть факти стійкості за допо-
могою дослідження допоміжних функцій (функцій Ляпунова).
Визначимо поняття нечіткої множини з використанням узагальненого
поняття належності [1].
Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 95
1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ
Розглянемо довільний скінченновимірний простір над полем дійсних чисел
nRX = . Будемо називати X універсальною множиною.
Визначення 1.1. Множина пар ( )( )xx A~,µ називається нечіткою множи-
ною A~ в X , де Xx∈ ,
( ) [ ]1,0 :~ →XxAµ . (1.1)
Функція ( ) [ ]1,0 :~ →XxAµ називається функцією належності нечіткої
множини A~ .
Далі всі нечіткі множини будемо позначати великими літерами з хви-
лею над ними і ототожнювати їх із відповідними функціями належності.
Простір всіх нечітких множин в X позначимо nE .
Визначення 1.2. Нечітким відображенням R з X у довільний скінчен-
новимірний простір Y називається нечітка множина R~ у YX × з функцією
належності
YyXxYXyxR ∈∈→× , ,]1,0[ :),(~µ . (1.2)
У відповідності до правил дій з нечіткими множинами [6] для обчис-
лення значень функцій належності об’єднання та перетину нечітких множин
використовуємо операції max і min
.))(),((min)( ,
,))(),((max)( ,
2121
2121
~~~~21
~~~~21
xxxAAx
xxxAAx
AAAA
AAAA
µµµ
µµµ
=∩∈∀
=∪∈∀
∩
∪ (1.3)
Під висотою нечіткої множини A~ у X розуміємо
)(sup)~( ~ xAh A
Xx
µ
∈
= . (1.4)
Множинами α -рівня (α -зрізи, ]1,0[∈α ) нечіткої множини A~ назива-
ють звичайні множини
{ } ]1,0[ ,)( : ~ ∈≥∈= ααµα xXxA A . (1.5)
При цьому має місце розкладення нечіткої множини за множинами α –
рівня
∪
]1,0[
~
∈
=
α
ααAA , (1.6)
де BA ~
=αα — нечітка множина в X з функцією належності αµ =)(~ xB ,
Xx∈ .
Визначення 1.3. Нечітка множина V~ називається регулярною нечіткою
множиною в X , якщо:
1) функція належності ( ) [ ]1,0:~ →XxVµ напівнеперервна зверху;
Є.В. Івохін, С.О. Волчков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 96
2) множина V~ опукла [7], тобто 10,, ≤≤∈∀ λXyx ,
))(),((min))1(( ~~~ yxyx VVV µµλλµ ≥−+ ;
3) існує єдиний елемент Xx∈ такий, що ( ) 1~ =xVµ ;
4) носій множини ( ){ }0:~supp ~ >∈= xXxV Vµ обмежений в X .
Нехай ),( BAd H — хаусдорфова відстань між звичайними множинами
A і B , тоді
yxBAd H −= max),( . (1.7)
Визначимо
],[ sup]~,~[
10
αα
α
BAdBAd H
≤≤
= (1.8)
як відстань між нечіткими множинами BA ~,~ у X .
Визначення (1.8) відстані між нечіткими множинами задає метрику в
просторі всіх нечітких множин nE універсальної множини X , при цьому
),( dE n є повним метричним простором [7].
2. НЕЧІТКІ ДИНАМІЧНІ СИСТЕМИ
Функціонування процесів та явищ нечітких динамічних систем може бути
описане нечіткими неперервними
RtXtX )(~)(~
=
⋅
, (2.1)
нечіткими дискретними
RtXtX )(~)1(~
=+ (2.2)
або нечіткими матричними диференціальними рівняннями
)~,~(~ XYFY = , (2.3)
де R — нечітке відображення з функцією належності ),(~ yxRµ , Xyx ∈, [6].
Операція « » означає максимальну композицію, яка відповідно для
(2.1) і (2.2) має вигляд
))],(),(([minmax)( ~)(~
)(~ yxxy RtX
XxtX
µµµ
∈
= , (2.4)
))],(),(([minmax)( ~)(~~
1
yxxy RtXXxX tt
µµµ
∈
=
+
. (2.5)
Використання диференціального аналога при роботі з нечіткими мно-
жинами, на наш погляд, має більш теоретичний характер. Тому зосередимо
увагу на дослідженні дискретних нечітких моделей вигляду (2.2).
Нехай множина { }1,...,2,1,0 −= NT , де N — деяке наперед задане
додатне число, визначає дискретні моменти часу. Позначимо =nT
Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 97
{ } Ttttt n ⊂= ,...,,, 321 послідовність моментів часу з T , впорядкованих за
зростанням.
Будемо розглядати таку дискретну нечітку систему:
...,2,1,0 ,~~
1 ==+ kXRX kkk , (2.6)
де nEXtX ∈= 00
~)(~ — компактна множина початкових станів; =)(~
ktX
kX~= — нечіткі множини в X можливих станів системи в моменти часу
Ttk ∈ , які визначають розв’язки системи; kk RtR =)( — деякі нечіткі відо-
браження з X у X , що визначають переходи системи, ...,2,1,0=k .
Визначення 2.1. Траєкторією системи (2.6) назвемо послідовність
{ }{ } ,...2,1,0kX~supp)( =⊂=∈= kkkk XXxtx , для елементів якої справедливі
співвідношення
,...2,1,0 ,1 ==+ kxRx kkk . (2.7)
Варто помітити, що будь-який розв’язок системи (2.6) складається із
множини траєкторій.
Визначення 2.2. Траєкторію системи (2.6) { } ,...2,1,0=kkx будемо називати
регулярною (РТС), якщо для її елементів справедлива умова
...,2,1,0 ,1)( === kxkk µµ . (2.8)
Нечіткі стани kX~ у моменти часу ...,2,1,0, =ktk , складаються з еле-
ментів траєкторій системи ...,2,1,0 , =kxk . Очевидно, якщо система (2.6)
має єдину регулярну траєкторію, то нечіткі стани ...,2,1,0 , =kX k є ре-
гулярними нечіткими множинами в X . Розв’язок системи (2.6) у даному
випадку залежить від вибору множини 00
~)(~ XtX = . При цьому РТС для (2.6)
може бути єдиною або може існувати довільна їх кількість у залежності
від 0X .
У системі (2.6) залишається невідомою природа та характер дії опера-
торів ...,2,1,0, =kRk . Формалізуємо модель системи (2.6) у вигляді лінійно-
го дискретного рівняння
...,2,1,0 ,~~
1 ==+ kXAX kkk (2.9)
з матрицями ...,2,1,0, =kAk спеціального виду.
Для цього розглянемо випадок, коли стани системи nixi ,1 , = , які
складають універсальну множину X , з часом не змінюються. Це означає,
що модель (2.9) описує динаміку ситуацій прийняття рішень [9] і може бути
записана у вигляді
,...2,1,0 ),()( ~~
1
==
+
kxAx
kk XkX µµ , (2.10)
де )(),(
1
~~ xx
kk XX +
µµ — вектор-функції належності нечітких множин )(tX
відповідно в моменти часу 1, +kk tt . Таке припущення, а рівно й розгляд мо-
Є.В. Івохін, С.О. Волчков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 98
делі (2.10), є допустимим за умови визначення правил побудови матриці A
та змісту побудови алгебраїчних операцій з нечіткими множинами. Застосу-
ємо підхід, який використовується в теорії прийняття рішень.
Алгоритм 1. Нехай на k -му кроці, ...,2,1,0 =k , проведено N дослідів
(експериментів), в рамках яких визначалися співвідношення станів нечіткої
системи (2.9), наприклад, методом парних порівнянь.
Припустимо, для кожного зі станів nixi ,1, = отримано показники k
ija ,
njni ,1,,1 == , де k
iia задає кількість експериментів, які визначають, що си-
стема залишається у стані ix ; k
ija задає кількість дослідів (голосів), що від-
дають перевагу стану ix перед станом jx . В результаті такої обробки даних
отримуємо матрицю nji
k
ijk aA ,1,}{ == , ...,2,1,0=k .
Використовуючи дії над нечіткими множинами, визначимо
• операцію додавання двох нечітких елементів ),( 1µx і ),( 2µx з X у
вигляді
21213321 * ),,(),(~),( µµµµµµµµ −+==+ xxx ; (2.11)
• операцію множення елемента ))(,( xx µ на ціле число
раз
))(,(~...~))(,(~))(,())(,(*~
p
xxxxxxxxp µµµµ +++= . (2.12)
Тоді для матриць ...,2,1,0, =kAk , заданої структури можна розглядати
дискретну систему (2.10), для якої
nixxaxxax
n
j
ij
jXi
k
ijiXi
k
iiiX kkk
,1,))(1,(*~~))(,(*~)(
1
~~~
1
=−+= ∑
=
≠
+
µµµ . (2.13)
Таким чином, за формулою (2.13) обчислюється значення функції
належності елементів nixi ,1, = , нечіткої множини )),...(,((~
1~1 xxX Xµ=
)))(,(..., ~ nXn xx µ .
Розглянуті операції з нечіткими елементами дозволяють моделювати
динаміку системи (2.9), але вони не дають можливості оцінювати вплив
співвідношення результатів дослідів (експериментів) на розвиток процесу.
Врахування даних опитування в системі (2.10) і формування елементів
матриць ...,2,1,0, =kAk , будемо проводити за допомогою методу максимі-
зуючої множини [8], схема якого на кожному кроці матиме такий вигляд.
Алгоритм 2. Нехай на k -му кроці, ...,2,1,0 =k , для заданих станів си-
стеми (2.9) nixi ,1, = , проводиться голосування (опитування) експертів, за
яким визначається можливість переходу системи із стану nixi ,1, = , у стан
njx j ,1, = . Кількість голосів, що визначають таку можливість, позначимо
...,2,1,0,,1,,1, === knjniak
ij . У результаті отримаємо матриці kA ,
...,2,1,0=k , моделі (2.9).
Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 99
Визначимо правила переходу нечітких станів ...,2,1,0 ,~
=kX k , системи
(2.9) за умови наявності інформації про елементи матриць kA , ...,2,1,0=k .
Розглянемо довільний крок ...,2,1,0, =kk . Стан системи (як вже було ска-
зано вище) описується нечіткою множиною ( ){ })(,~
~ iXik xxX
k
µ= , Xxi ∈ ,
ni ,1= . Використаємо дані про стан об’єкта і сформуємо нечіткі множини
( ){ } nixaA
njjX
k
ij
k
i k
,1,)(,~
,1
~ ==
=
µ , ...,2,1,0=k . (2.14)
Визначення 2.1. Максимізуючою множиною ( )YM для Y називається
нечітка множина, ступінь належності до якої кожного елемента Yy∈ відо-
бражає близькість y до Ysup .
Розглянемо множину Y , що містить усі значення елементів заданої ма-
триці А
{ }
nji
k
ijaY
,1, =
= . (2.15)
Позначимо Yy supmax = . Визначимо максимізуючі множини для ко-
жного ni ,1=
( )( ){ }
nj
k
ij
k
ij
k
i yaaA
,1max
* /,~
=
= . (2.16)
На основі перетину нечітких множин k
iA~ та *~ k
iA визначимо нечіткі
множини niAk
i ,1,~ 0 = , ...,2,1,0=k
( )( ){ } nixaA
njj
k
i
k
ij
k
i ,1,,~
,1
0 ==
=
ν , (2.17)
для яких ( ) ( )( )
( )( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≠−−
=
=
, якщо ,/1,1min
, якщо ,/,min
max~
max~
jiyax
jiyax
x k
ijjX
k
iiiX
j
k
i
k
k
µ
µ
ν ni ,1= ,
,...2,1,0=k .
Нечітку множину ( )( ){ }
niiXik xxX
k ,1
~1 1
,~
=+ +
= µ , де ( ) ( )j
k
i
nj
iX xx
k
νµ
,1
~ max
1 =
=
+
,
...,2,1,0=k , будемо вважати наступним значенням нечіткого стану системи,
яке отримується за формулою (2.9).
3. ЯКІСНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІКИ НЕЧІТКИХ ДИСКРЕТНИХ
СИСТЕМ
Стійкоподібні властивості розв’язків нечітких диференціальних систем роз-
глядалися в роботах [2–4, 7–10]. Аналіз стійкості нечіткого розв’язку в да-
ному випадку проводиться на основі побудови чітких α –траєкторій (або
траєкторій α –рівня, див. (1.5)) та їх дослідженні. У роботі [4] наведено
умови стійкості, побудовано функції Ляпунова, що в цілому узагальнює
традиційне поняття стійкості чітких систем.
Є.В. Івохін, С.О. Волчков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 100
Дослідження у роботі [2] присвячене нечіткій системі, модель якої мо-
же бути записана у вигляді (2.1). Отримано результати з використанням
нечіткого аналога функції Ляпунова та її похідної.
Для нечітких диференціальних рівнянь в [7] розглядається нова
концепція стійкості, що базується на τ -топології околу часу функціонуван-
ня системи та використанні відстані Хаусдорфа як метрики простору нечіт-
ких множин заданої універсальної множини X .
Досить широкий огляд класів моделей і якісних результатів для
розв’язків наведено у роботі [9]. В цілому погоджуючись з автором, хочемо
відзначити, що розгляд диференціальних моделей носить в основному тео-
ретичний характер. Більшість робіт не дає рекомендацій щодо побудови
розв’язків та їх конструктивного дослідження, що істотно знижує практичну
цінність наведених підходів.
Для отримання більш загального і повного уявлення про стійкоподібні
властивості нечітких систем розглянемо нечітку дискретну модель (2.9), а
саме різні випадки нечіткіх станів ...,2,1,0 ,~
=kX k .
3.1. Модель (2.9) має регулярну траєкторію.
Припустимо, що існує траєкторія { } ,...2,1,0=kkx , kk Xx ~supp∈ , =k
...,2,1,0= , яка є регулярною траєкторією моделі (2.9).
Визначення 3.1. РТС (2.9) { } ,...2,1,0=kkx називається стійкою за Ляпуно-
вим у випадку, коли 0),,( ,0 ,0,0 >∃>∀>∀>∀ TT ηεδηε , 0),,( >Tηεγ
такі, що для будь-якої траєкторії { } ,...2,1,0=kkx системи (1), початкові значення
якої задовольняють нерівностям
,|1|
,||||
0
00
γµ
δ
<−
<− xx
(3.1)
для Ttk k ≥∀ : справедливі нерівності
,|1|
,||||
ηµ
ε
<−
<−
k
kk xx
...,2,1,0=k . (3.2)
Під ⋅ у нерівностях (3.1), (3.2) розуміється звичайна евклідова норма
простору nR .
Визначення 3.2. РТС (2.9) { } ,...2,1,0=kkx називається асимптотично стій-
кою, якщо вона є стійкою, і для будь-якої траєкторії { } ,...2,1,0=kkx тієї ж сис-
теми справедливі співвідношення
.1lim
,0||||lim
=
=−
∞→
∞→
k
k
kk
k
xx
µ
(3.3)
Твердження 1. Якщо система (2.9) має регулярну траєкторію
{ } ,...2,1,0=kkx , а також існують функції ]10[: ,XV → та ]1,0[]1,0[: →G такі, що для
будь-якої траєкторії системи (2.9) { } ,...2,1,0=kkx виконуються нерівності
Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 101
0)( ≥= kk xVV , 0)( =kxV , 01 ≤−=∆ + kkk VVV , 0)( ≥= kk GG µ ,
0)1()( ==GG kµ , 0)(1 <≤−=∆ + kkk GGG , (3.4)
то РТС є стійкою (асимптотично стійкою) за Ляпуновим.
Сукупність функцій {V ,G } назвемо функцією Ляпунова для дискрет-
ної нечіткої системи (2.9).
Доведення. В околі РТС (2.9) { } ,...2,1,0=kkx функція V має мінімум, то-
му можна знайти будь-яке значення 0>c таке, що нерівностям
...2,1,0, , =≤ kcVk , буде задовольняти множина траєкторій, серед яких
знаходиться і РТС. Задамо 0>ε . Якщо ε≤< c0 , то множина траєкторій,
що задовольняє рівнянню cxVV kk ≤= )( , буде задовольняти і ε≤kV ,
...2,1,0,=k . Виходячи з 0≠c , можна знайти таке 0>δ , що множина трає-
кторій, які задовольняють нерівності
δ≤kV , (3.5)
будуть задовольняти і ...2,1,0, , =≤ kcVk . Тому, якщо всі початкові траєк-
торії будуть задовольняти (3.5), то і при Ttk > всі траєкторії системи будуть
також задовольняти і нерівності cVk ≤ , ...2,1,0,=k в силу твердження, за
яким ...2,1,0, ,0 =≤∆ kVk .
Розглянемо функцію G . Для того щоб РТС була стійкою (асимптотич-
но стійкою) за значеннями функції належності µ , достатньо, щоб виконува-
лась нерівність
...2,1,0, , ,)(1 =>>≥+ kTtkkk µµ . (3.6)
За умовами твердження значення функції ...2,1,0, ,)( == kGG kkµ ,
створюють послідовність, яка є незростаючою. На значеннях РТС функція
)(µG має строгий мінімум. Тому можна знайти такі 0 ,0 >> εη , що для
всіх траєкторій в ε -околі РТС, елементи яких мають функцію належності
[ ]1,1 ηµ −∈ , послідовність ...2,1,0, , =kGk , буде незростаючою. Тому умо-
ва твердження ...,21,0, ,0)()()( 11 =<≤−=− ++ kGGGG kkkk µµ , забезпечує вико-
нання (3.6). ■
3.2. Система (2.9) не має регулярної траєкторії. Це означає, що для будь-
якої траєкторії { } ,...2,1,0=kkx системи (2.9) існує момент часу nm Tt ∈ , коли
виконується нерівність 1)( <mxµ . За таких умов розглянемо два випадки.
Випадок 1. Нехай множина
XXXY ∈=⊆ 000
~ supp (3.7)
містить множину початкових станів усіх траєкторій, для яких існує такий
момент часу nk Tt ∈ , що 1)( =kxµ .
Визначення 3.3. Нечітка множина { }00 :))(|(~ YyyyY ∈= µ називається
стійкою за Ляпуновим, якщо для будь-якої траєкторії { } ,...2,1,0=kkx , 00 Yx ∉ ,
Є.В. Івохін, С.О. Волчков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 102
системи (2.9) 0 ,0,0 >∀>∀>∀ ηεT , 0),,( ,0),,( >>∃ TT ηεγηεδ , почат-
кові значення якої задовольняють нерівностям
δ<),( 00 Yxd ,
γµ <− |1)(| 0x , (3.8)
для Ttk k ≥∀ : справедливі нерівності
ε<),( 0Yxd k ,
ηµ <− |1)(| kx , ...,2,1,0=k , (3.9)
де ),( ⋅⋅d — відстань від точки до множини
{ }AaaxAxd ∈−= :inf),( ,
AxAxdAxd ∈∀=≥ ,0),(,0),( ,
а під ⋅ розуміється звичайна евклідова норма.
Визначення 3.4. Нечітка множина { }00 :))(|(~ YyyyY ∈= µ називається
асимптотично стійкою, якщо вона є стійкою, і для будь-якої траєкторії
{ } 00,...2,1,0 , Yxx kk ∉= ,тієї ж системи, справедливі співвідношення
0),( lim 0 =
∞→
Yxd k
k
, ...,2,1,0=k ,
(3.10)
1)( lim k =
∞→
x
k
µ , ,...2,1,0=k .
Позначимо множину граничних точок множини 0Y через 0Y∂ .
Твердження 2. Якщо система (2.9) не має регулярної траєкторії, і для
нечіткої множини початкових станів траєкторій 0
~Y існують функції
]1,0[: →XV та ]1,0[]1,0[: →G такі, що для будь-якої траєкторії системи (2.9)
{ } 000,...2,1,0
~ supp , YYxx kk =∉= виконуються нерівності
0 ,0)( YxxV kk ∂∈= , 0)( ≥= kk xVV , 01 ≤−=∆ + kkk VVV ,
0)( ≥= kk GG µ , 0)(1 <≤−=∆ + kkk GGG , (3.11)
то 0
~Y є стійкою (асимптотично стійкою) за Ляпуновим.
Доведення. Надалі будемо працювати з множиною траєкторій, системи
(2.9), початкові стани яких 00 Yx ∉ . В околі множини 0 Y функція V має
мінімум, тому можна знайти будь-яке значення 0>c таке, що нерівностям
...2,1,0, , =≤ kcVk , буде задовольняти множина траєкторій, серед яких зна-
ходиться і довільна траєкторія з початковим станом 00 Yx ∈ . Нехай 0>ε .
У випадку, коли ε≤< c0 , множина траєкторій, що задовольняє рівнянню
cVk ≤ , буде задовольняти і рівнянню ε≤kV . Через те що 0≠c , можна
знайти таке 0>δ , що множина траєкторій, які задовольняють нерівностям
Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 103
δ≤kV , (3.12)
будуть задовольняти і ...2,1,0, , =≤ kcVk . Тому, якщо всі початкові траєк-
торії будуть задовольняти (3.12), то і при Ttk > всі траєкторії системи бу-
дуть також задовольняти нерівностям cVk ≤ , ...2,1,0,=k , в силу тверджен-
ня, за яким ...2,1,0, ,0 =≤∆ kVk .
Розглянемо функцію G .
Для того щоб множина 0Y була стійкою (асимптотично стійкою) за зна-
ченнями функції належності µ , достатньо, щоб виконувалась нерівність
001 ,...2,1,0, , ,)( YxkTtkkk ∉∀=>>≥+ µµ . (3.13)
За умовами твердження значення функції ...2,1,0, ,)( == kGG kkµ ,
створюють послідовність, яка є незростаючою. На значеннях 0 Yxk ∂∈ фун-
кція )(µG має строгий мінімум, тому можна знайти такі 0 ,0 >> εη , що
для всіх траєкторій в ε -околі 0 Yxk ∂∈ , елементи яких мають функцію на-
лежності [ ]1,1 ηµ −∈ , послідовність ...2,1,0, , =kGk , буде монотонно не-
зростаючою. Тому умова твердження ≤−=− ++ kkkk GGGG 11 )()( µµ
0)(<≤ , ...2,1,0,=k , забезпечує виконання (3.13). ■
Випадок 2. Нарешті припустимо, що неможливо виділити множину 0Y
початкових станів усіх траєкторій, для яких існує такий момент часу kt , що
1)( =kxµ . У цьому випадку потрібно говорити про стійкість заданої нечіт-
кої множини 0
~X .
Визначення 3.5. Нечітка множина { }00 :))(|(~ XxxxX ∈= µ називаєть-
ся стійкою за Ляпуновим за степенем належності, якщо 0>∀T , 0>∀η ,
0),( >∃ Tηγ і для довільного розв’язку { } ,...2,1,0
11 :))(,(~
=∈= kkk XxxxX µ сис-
теми (2.9), початкове значення якого задовольняє умові
γµµ <−
∈
)()(max
1
0
0
0 xx
Xx
, (3.14)
для Ttk k ≥∀ : справедливе
...,2,1,0 ,)()(max 10 =<−
∈
kxx kk
Xx
ηµµ ,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ==−
∈∞→
...,2,1,0,0)()(max lim 10 kxx kk
Xxk
µµ . (3.15)
Твердження 3. Якщо для нечіткої множини 0~X початкових станів не-
чіткої дискретної системи (2.9) існує функція [ ] [ ] [ ] [ ]1,01,0...1,01,0: →×××G
така, що для будь-якого розв’язку системи (2.9) 1~
kX , ...,2,1,0=k , ≠)(1
0 xµ
Xxx ∈≠ ),(0
0µ виконуються нерівності
Є.В. Івохін, С.О. Волчков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 4 104
XxxGG kk ∈≥= ,0))(( 1µ ,
0)(1 <≤−=∆ + kkk GGG , (3.16)
то нечітка множина 0
~X стійка (асимптотично стійка) за степенем
належності.
Доведення. Нехай ( ){ } ,...2,1,0
00 :)(,~
=∈= kkk XxxxX µ — розв’язок системи
(2.9) з початковими значеннями у вигляді нечіткої множини 0~X . Тоді для
довільного розв’язку ...,2,1,0 ,~1 =kX k , Xxxx ∈≠ ),()( 0
0
1
0 µµ можна визна-
чити функцію ...,2,1,0 ),( 1 == kGG kk µ , у вигляді
...,2,1,0 ,)()( max 10 =−=
∈
kxxG kk
Xx
k µµ . (3.17)
За умовами твердження функція ...,2,1,0 , =kGk , є незростаючою
(спадною) по k , що гарантує існування для будь-яких 0>T і 0>η вели-
чини 0),( >Tηγ , коли буде справедливим виконання співвідношень (3.14),
(3.15). За означенням отримуємо стійку 0~X (асимптотично стійку) за сте-
пенем належності. ■
Приклад. Розглянемо динамічний процес, який описується нечіткою
дискретною системою
,...2,1,0 ,~~
1 ==+ kXRX kkk ,
[ ] [ ] ...,2,1,0 ,1,1,~supp =−=⊆=∈ kXbaXx kkkk ,
1,1),(sin),(sin 0011 =−=== ++ babbaa kkkk , (3.18)
[ ]
[ ]⎩
⎨
⎧
∉
∈
=
− .,),(cos
,,,)(cos
1 kkkk
kkkk
k baxx
baxx
µ
Траєкторія, елементи якої ...,2,1,0 ,0 == kxk , є регулярною траєкторі-
єю системи.
Оберемо для РТС 2
kk xV = і 2
kkG µ= , ...,2,1,0=k . Перевіримо умови
твердження 1. Для довільного 0,1,2,...=∀k маємо
1) 02 ≥= kk xV ;
2) 0)0()( ==VxV k ;
3) 0)(sin)()( 2222
11 ≤−=−=−=∆ ++ kkkkkkk xxxxxVxVV ;
4) 0)(cos2 ≥= kk xG ;
5) −=−=−=∆ ++ ))((sincos)(cos)(cos)()( 22
1
2
1 kkkkkk xxxGGG µµ
0)(cos2 ≤− kx .
Тоді, за умовами твердження 1, система (3.17) має стійкий тривіальний
розв’язок, який є регулярною траєкторією системи.
Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 4 105
ВИСНОВКИ
Розгляд чітких траєкторій для аналізу стійкості нечітких систем не враховує
важливої особливості — характеру змін функцій належності елементів
нечітких множин. У ряді задач якісного дослідження нечітких систем дина-
міка змін функції належності має принципове значення.
У даній роботі проведено дослідження традиційного поняття стійкості
розв’язків нечітких дискретних систем за допомогою другого методу Ляпу-
нова. Введено визначення стійкості для різних випадків функціонування
нечітких систем. На основі застосування методів прийняття рішень запро-
поновано алгоритми обчислення значень функції належності з метою забез-
печення моделювання динаміки нечітких систем. Із використанням функцій
Ляпунова спеціального вигляду доведено твердження про умови стійкості в
дискретних нечітких системах. Отримані умови узагальнюють відомі ре-
зультати щодо чітких систем.
Наведені результати були використані при дослідженні динаміки сис-
тем прийняття рішень і моделюванні процесів поведінки плазми у приелект-
родному шарі.
Робота виконана за підтримки фонду фундаментальних досліджень.
(Проект Державного комітету науки і техніки України 01.07/00081.)
ЛІТЕРАТУРА
1. Zadeh L.A. Fuzzy sets //Information and control. — 1965. — 8. — Р. 338–353.
2. Glas M. Theory of fuzzy systems //Fuzzy Sets and Systems. — 1983. — 10. —
P. 65–77.
3. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. — М: Физ-
матлит, 2000. — 294 с.
4. Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений,
нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. — М.:Ун-т
Др. Нaр., 2000. — 123 с.
5. Пушков С.Т. Об общей теории нечетких систем: глобальное состояние и нечет-
кая глобальная реакция нечеткой системы // Изв. РАН. Теория и системы
управления. — 2001. — №5. — С. 105–109.
6. Орловский С.А. Проблемы принятия решения при нечеткой исходной инфор-
мации. — М.: Наука, 1981. — 206 с.
7. Lakshmikantham V. Uncertain Systems and Fuzzy Differentail Equation // Пробле-
мы нелинейного анализа в инженерных системах. — 2000. — № 2 (12), 6. —
С. 22–33.
8. Борисов А.Н. Принятия решений на основе нечетких моделей. — Рига: Зинат-
не, 1990. — 184 с.
9. Кудинов Ю.Н. Нечеткие системы управления // Изв. РАН. Технич. кибернети-
ка. — 1990. — № 5. — С. 196–206.
10. Cao Y.Y., Frank P.M. Stability analisis and synthesis of nonlinear time-delay
systems via linear Takagi-Sugeno fuzzy models // Fuzzy Sets and Systems. —
2001. — № 124. — Р. 213–229.
Надійшла 11.06.2004
|
| id | journaliasakpiua-article-165557 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:24:57Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/49/8b8c717f4ed2a041f2c83ace921cbd49.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1655572019-04-25T16:24:40Z Quality researching of dynamic fuzzy discrete systems Качественное исследование динамики нечетких дискретных систем Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем Ivohin, E. V. Volchkov, S. A. The analysis of the stability-like properties of fuzzy discrete systems functioning on decisions support systems example is carried out. The determination of stability solutions of fuzzy systems is introduced, the belonging function senses calculation algorithms for guaranteeing of decisions support systems dynamics modeling are offered. On the basis of Lyapunov functions method the assertion about conditions of stability in discrete fuzzy systems are proved. Проводится анализ устойчивоподобных свойств функционирования нечетких дискретных систем на примере систем принятия решений. Вводится определение устойчивости решений нечетких систем. Предложены алгоритмы вычисления значений функции принадлежности для обеспечения моделирования динамики систем принятия решений. На основе метода функций Ляпунова доказаны утверждения об условиях устойчивости в дискретных нечетких системах. Проводиться аналіз стійкоподібних властивостей функціонування нечітких дискретних систем на прикладі систем прийняття рішень. Вводиться визначення стійкості розв’язків нечітких систем. Запропоновано алгоритми обчислення значень функції належності для забезпечення моделювання динаміки систем прийняття рішень. На основі методу функцій Ляпунова доведено твердження про умови стійкості в дискретних нечітких системах. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-04-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165557 System research and information technologies; No. 4 (2005); 94-105 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2005); 94-105 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2005); 94-105 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165557/164759 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Ivohin, E. V. Volchkov, S. A. Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем |
| title | Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем |
| title_alt | Quality researching of dynamic fuzzy discrete systems Качественное исследование динамики нечетких дискретных систем |
| title_full | Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем |
| title_fullStr | Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем |
| title_full_unstemmed | Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем |
| title_short | Якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем |
| title_sort | якісне дослідження динаміки нечітких дискретних систем |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165557 |
| work_keys_str_mv | AT ivohinev qualityresearchingofdynamicfuzzydiscretesystems AT volchkovsa qualityresearchingofdynamicfuzzydiscretesystems AT ivohinev kačestvennoeissledovaniedinamikinečetkihdiskretnyhsistem AT volchkovsa kačestvennoeissledovaniedinamikinečetkihdiskretnyhsistem AT ivohinev âkísnedoslídžennâdinamíkinečítkihdiskretnihsistem AT volchkovsa âkísnedoslídžennâdinamíkinečítkihdiskretnihsistem |