Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі

Results of calculating two-dimensional pseudolinear equation of heat conductivity by numerical method with variable nonuniform difference meshusage. There are results of using it to the task of the heat wave’s spreading.

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2019
Main Authors:	Lukjanenko, S. A., Nimchuk, I. B.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165661
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1866302369598275584
author	Lukjanenko, S. A. Nimchuk, I. B.
author_facet	Lukjanenko, S. A. Nimchuk, I. B.
author_sort	Lukjanenko, S. A.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-04-26T15:35:46Z
description	Results of calculating two-dimensional pseudolinear equation of heat conductivity by numerical method with variable nonuniform difference meshusage. There are results of using it to the task of the heat wave’s spreading.
first_indexed	2025-07-17T10:25:01Z
format	Article
fulltext	© С.О. Лук’яненко, І.Б. Німчук, 2005 88 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 3 УДК: 519.6 АДАПТИВНІ РІЗНИЦЕВІ СІТКИ ПРИ МОДЕЛЮВАННІ ДВОВИМІРНОЇ ТЕПЛОВОЇ ХВИЛІ С.О. ЛУК’ЯНЕНКО, І.Б. НІМЧУК Розглянуто обчислювальний метод розв’язування двовимірного квазілінійного рівняння теплопровідності з використанням змінної нерівномірної різницевої сітки. Наведено результати його застосування до задачі про розповсюдження теплової хвилі. ВСТУП При дослідженні фізичних процесів горіння, високотемпературної плазми, фільтрації рідини через пористе середовище використовують квазілінійне рівняння теплопровідності, у якому коефіцієнти теплоємкості та теплопро- відності залежать від температури [1,2]. Розв’язування таких задач за допо- могою наближених методів істотно ускладнюється внаслідок наявності не- лінійностей та великих градієнтів шуканої функції. Для одержання розв’язку у таких випадках доводиться використовувати різницеву сітку з дуже малим кроком, що значно збільшує потрібний машинний час, тому до- цільно застосовувати адаптивну сітку, яка змінюється у процесі обчислень у залежності від поведінки шуканої функції. Існуючі методи побудови адап- тивних сіток [3,4] передбачають розв’язання на кожному часовому кроці деякої допоміжної задачі із суттєвими відмінностями від основної. Це може бути, наприклад, мінімізація деякого функціоналу, розв’язання додаткового рівняння Лапласа, що значною мірою ускладнює програму та збільшує ви- трати машинного часу на перебудову сітки. У даній роботі розглядається алгоритм, який будує змінну нерівномірну сітку на основі додаткових роз- рахунків основної задачі, що спрощує програмне забезпечення. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Розглянемо адаптивний алгоритм на прикладі двовимірної тестової задачі розповсюдження теплової хвилі [1], яка описується квазілінійним рівнянням теплопровідності 21, ,)( ,)()( 21 ==⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ αχ ασ αα uuk y uuk yx uuk xt u . (1) При значеннях параметрів 0,25 2; 4; 4; 2211 ==== χσχσ одним з йо- го розв’язків є функція ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤ +≥−−++− = .2 при 0 ,2 при )2(16115,0 ),,( yxt yxtyxt tyxu (2) Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 89 Цей точний розв’язок будемо використовувати для порівняння набли- жених розв’язків, одержаних різними алгоритмами. З нього випливають по- чаткові та крайові умови задачі. Розв’язок являє собою температурну хвилю, що переміщується зі сталою швидкістю (рис. 1). Розглянемо, як зміняться різницеві рівняння при використанні нерівно- мірної сітки, наведемо метод їх розв’язання, викладемо алгоритм побудови адаптивної сітки та дослідимо його ефективність порівняно із фіксованою рівномірною сіткою. РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ ДЛЯ НЕРІВНОМІРНОЇ СІТКИ Похідні розв’язку задачі (1), (2) у точках, розташованих на майже вертика- льному фронті, близькі до нескінченності. Тому для її розв’язання доцільно використовувати неявні схеми. Вони є стійкими та монотонними за будь- яких кроків, хоча і вимагають розв’язання на кожному часовому кроці сис- теми нелінійних алгебраїчних рівнянь (СНАР). Застосуємо для дискретиза- ції вихідної задачі метод балансу. Його рівняння з метою забезпечення еко- номічності алгоритму будемо розв’язувати методом змінних напрямків. Для розв’язання СНАР, що при цьому виникають, використаємо метод Ньютона (має високу швидкість збіжності), а для систем лінійних алгебраїчних рів- нянь (СЛАР), які утворюються на кожній ітерації метода Ньютона, — мо- дифікований для тридіагональних матриць метод Гаусса. Введемо по координаті x нерівномірну сітку з вузлами ),...,1,0( nixi = та кроками 1,1 −−= iii xxh , по координаті y — з вузлами ),...,1,0( mjy j = та кроками 1,2 −−= jjj yyh , по часу t — з вузлами ...),1,0( =ktk та змінними кроками τ . Позначимо k jiu , величину, що відповідає наближеному розв’язку в точці ),,( kji tyx , а k ijUU = — точному. Нагадаємо, що у методі змінних t=0,5 t=1 y y U(x,y,t) U(x,y,t) Рис. 1. Графік розв’язку для моментів часу t=0,5 та t=1 С.О. Лук’яненко, І.Б. Німчук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 3 90 напрямків спочатку здійснюється перехід з шару kt на полуцілий шар , 2 2 1 τ += + kk tt причому 2 2 x U ∂ ∂ апроксимується на шарі 2 1 +k t , а 2 2 y U ∂ ∂ — на шарі kt , тобто перший етап є неявним по змінній х. На другому етапі вико- нується перехід із полуцілого шару 2 1 +k t на шар τ+=+ kk tt 1 , а апрокси- мація похідних здійснюється навпаки, явно по x на шарі 2 1 +k t та неявно по y на 1+kt . Позначимо c,2c,1 , hh середнє арифметичне двох сусідніх кроків для вузла ),( ji yx : 2 1,1,1 c,1 ++ = ii hh h , 2 1,2,2 c,2 ++ = jj hh h . Для спрощення ви- разів значення функції на k -му часовому шарі позначимо k ijij uu = , на про- міжному — iju , на )1( +k -му — ijû . Різницеві рівняння першого півкроку, одержані на основі методу ба- лансу, мають вигляд + − ℵ− − ℵ = − − −+ + + c,1 ,1 ,1 2 1,11,1 ,1 2 1,1 )()( 2 h h uu h uu uu i jiij ii ijji iijij τ 1,1,..., ,1,...,1, )()( c,2 ,2 1, 2 1,21,2 1, 2 1,2 −=−= − ℵ− − ℵ + − −+ + + mjni h h uu h uu j jiij jj ijji j де [ ])()( 2 1 1,11 2 11, jiiji ukuk + + +=ℵ ; [ ])()( 2 1 11,1 2 11, ijjii ukuk +=ℵ − − ; [ ])()( 2 1 1,22 2 12, + + +=ℵ jiijj ukuk ; [ ])()( 2 1 21-,2 2 12, ijjij ukuk +=ℵ − . Для спрощення цього рівняння помножимо його на 2 τ та, позначивши 1,1,1c,1 1 2 + =σ ii hhh τ , 1,2,2c,2 2 2 + = jj hhh τσ , одержимо − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −ℵ−−ℵ−−≡ +− − + + 1,1,1 2 1,1,1,1 2 1,11 )()( ijiijiiijjiiijijij huuhuuuuf σ 0)()( 1,21, 2 1,2,21, 2 1,22 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −ℵ−−ℵ− +− − + + jjiijjjijjij huuhuuσ . (3) Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 91 Ця рівність повинна виконуватися для усіх внутрішніх вузлів ( ))1(,...,1 ),1(,..,1 −=−= mjni , тому породжується система з ( )( )11 −− mn нелінійних алгебраїчних рівнянь. Оскільки значення невідомої функції в граничних вузлах відомі з граничних умов 1-го роду, то кількість невідомих у цій системі співпадає з кількістю рівнянь. У кожному рівнянні фігурують на шарі з номером ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1k три сусідніх точки у напрямку OX, тому систему можна розділити на )1( −m незалежних систем, кожна з яких відповідає ря- ду точок xi для фіксованого j : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − .0 ... ,0 ,1 1 jn j f f (4) Кожне з рівнянь j -ї системи, крім першого та останнього, містить три невідомих величини: jiijji uuu ,1,1 ,, +− . Застосуємо для її розв’язання метод Ньютона. На s-й ітераціїї цього методу необхідно розв’язати СЛАР відносно приристів )1()()( −−=∆ s ij s ij s ij uuu невідомих = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − − − − − − − − − − − − − − − −−− −− )( ,1 )( ,2 )( 2 )( 1 ,1 )1( ,1 ,2 )1( ,1 ,1 )1( ,2 ,2 )1( ,2 ,3 )1( ,2 3 )1( 2 2 )1( 2 1 )1( 2 2 )1( 1 1 )1( 1 ...... s jn s jn s j s j jn s jn jn s jn jn s jn jn s jn jn s jn j s j j s j j s j j s j j s j u u u u u f u f u f u f u f u f u f u f u f u f ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = − − − − − − )1( ,1 )1( ,2 )1( 2 )1( 1 ... s jn s jn s j s j f f f f . (5) Отже, i -е рівняння СЛАР для j -ї системи має структуру 2,...,2 , ∆ ∆ ∆ )1()( ,1 ,1 )1( )( )1( )( ,1 ,1 )1( −=−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − + + −− − − − nifu u f u u f u u f s ij s ji ji s ijs ij i,j s ijs ji ji s ij . Перше та останнє рівняння СЛАР (5) містять по дві невідомі. Матриця цієї СЛАР є тридіагональною, а кількість рядків якобіану визначається кіль- С.О. Лук’яненко, І.Б. Німчук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 3 92 кістю внутрішніх точок по просторовій змінній x . Частинні похідні ji ij u f ,1−∂ ∂ , ij ij u f ∂ ∂ , ji ij u f ,1+∂ ∂ , необхідні для формування матриці Якобі, одержимо з (3). ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ℵ∂ −ℵ−= ∂ ∂ − − − −+ − )( ,1 ,1 2/1,1 2/1,11,11 ,1 jiij ji i ii ji ij uu u h u f σ , ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− ∂ ℵ∂ −ℵ+ℵ+= ∂ ∂ + + +−+ iijji ij i iiii ij ij huu u hh u f ,1,1 2/1,1 1,12/1,1,12/1,11 )(1 σ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ − ∂ ℵ∂ + +− − 1,1,1 2/1,1 )( ijiij ij i huu u , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ℵ∂ +ℵ−= ∂ ∂ + + + + + )( ,1 ,1 2/1,1 2/1,1,11 ,1 ijji ji i ii ji ij uu u h u f σ . На першій ітерації методу Ньютона як початкове наближення до iju береться значення з попереднього, к-го часового кроку. Різницеві рівняння другого півкроку методу змінних напрямків одер- жимо аналогічно. Вони мають вигляд + − ℵ− − ℵ = − − −+ + + c,1 ,1 ,1 2 1,11,1 ,1 2 1,1 )()( 2 ˆ h h uu h uu uu i jiij ii ijji iijij τ 11,..., ,1,..,1, )ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ c,2 ,2 1, 2 1,21,2 1, 2 1,2 −=−= − ℵ− − ℵ + − −+ + + mjn i h h uu h uu j jiij jj ijji j або −−ℵ−−ℵ−−≡ +− − + + ])()([ˆ 1,1,1 2 1,1,1,1 2 1,11 ijiijiiijjiiijijij huuhuuuuf σ 0])ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ[ 1,21, 2 1,2,21, 2 1,22 =−ℵ−−ℵ− +− − + + jjiijjjijjij huuhuuσ . (6) Ця рівність повинна виконуватися для всіх внутрішніх вузлів ( ))1(,...,1 ),1(,...,1 −=−= mjni , тому знову породжується система з ( )×−1n ( )1−× m нелінійних алгебраїчних рівнянь. У кожному рівнянні фігурують на ( )1+k -му шарі три сусідніх точки у напрямку OY , тому систему можна розділити на )1( −n незалежних систем, кожна з яких відповідає ряду точок iy для фіксованого i Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 93 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − .0 ... ,0 1, 1 mi i f f (7) Кожне з рівнянь i -ї системи, крім першого та останнього, містить три невідомих величини 1,1, ˆ,ˆ,ˆ +− jiijji uuu . Знову застосуємо для розв’язання СНАР метод Ньютона. На s-й ітерації цього методу необхідно розв’язати СЛАР відносно приристів )1()()( ˆˆˆ −−=∆ s ij s ij s ij uuu невідомих. Отже, j -е рівнян- ня СЛАР матиме структуру 22ˆ∆ ˆ ˆ∆ ˆ ˆ∆ ˆ 1 1 1 11 1 1 1 −=−= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ,...,m, jfu u f u u f u u f )(s- ij (s) i,j i,j )(s- ij(s) ij ij )(s- ij(s) i,j- -i,j )(s- ij . (8) Матриця СЛАР є тридіагональною, кількість рядків якобіану визнача- ється кількістю внутрішніх точок по просторовій змінній y . Використовую- чи (6), знайдемо частинні похідні ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ℵ∂ −ℵ−= ∂ ∂ − − − −+ − )ˆˆ( ˆ ˆ ˆ ˆ 1, 1, 2/1,2 2/1,21,22 1, jiij ji j jj ji ij uu u h u f σ , ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− ∂ ℵ∂ −ℵ+ℵ+= ∂ ∂ + + +−+ jijji ij j jjjj ij ij huu u hh u f ,21, 2/1,2 1,22/1,2,22/1,22 )ˆˆ( ˆ ˆ ˆˆ1 ˆ σ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ − ∂ ℵ∂ + +− − 1,21, 2/1,2 )ˆˆ( ˆ ˆ jjiij ij j huu u , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ℵ∂ +ℵ−= ∂ ∂ + + + + + )ˆˆ( ˆ ˆ ˆ ˆ 1, 1, 2/1,2 2/1,2,22 1, ijji ji j jj ji ij uu u h u f σ , що дозволить сформувати СЛАР для ітерацій Ньютона. АДАПТИВНИЙ АЛГОРИТМ При збільшенні кількості вузлів різницевої сітки підвищується точність, але зростає розмірність алгебраїчних систем та, відповідно, час обчислень. Тому кількість вузлів повинна бути мінімальною для скорочення затрат машинно- го часу, але забезпечувати наперед задану точність. Очевидно, що точність різницевого розв’язку для рівномірної сітки залежить від поведінки шуканої функції, а саме, зменшується у зонах великих її градієнтів, тому застосову- ють скупчування вузлів у таких зонах. Але побудова нерівномірної сітки до початку розрахунків, коли враховуються можливі зони великих градієнтів, є непридатною у випадках, коли ці зони з часом змінюють свое положення у просторі. Тут доцільно застосовувати адаптивні алгоритми, які у процесі розв’язування задачі аналізують поведінку функції, контролюють похибку С.О. Лук’яненко, І.Б. Німчук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 3 94 та будують змінну за часом та нерівномірну різницеву сітку. Такі алгоритми скупчують вузли сітки у зонах різкої зміни шуканої функції та розташову- ють їх рідко там, де функція змінюється плавно. Вони автоматично пересу- вають скупчення вузлів одночасно зі зміною положення у просторі зони ве- ликих градієнтів. Це дозволяє скоротити розмірність систем алгебраїчних рівнянь без погіршення точності та час обчислень. Для адаптивності методу необхідно на кожному часовому кроці для кожного вузла ),( ji yx оцінювати точність одержаних результатів, наприк- лад, порівнювати локальну похибку ije з допустимою допe , та на основі цього змінювати величини кроків ji hh ,2,1 , в околі даної точки, а також ве- личину кроку за часом τ . Покажемо, як можна визначити локальну похибку ije . Обраний метод змінних напрямків має похибку апроксимації )( 2 2 2 1 2 hhO ++τ , тобто різни- цю між точним та наближеним розв’язками на )1( +k -му часовому шарі за умови, що значення для k -го шару обчислено точно, можна представити для кожного вузла у вигляді )( 2 23 2 12 2 1 11 hChCCue k ij k ijij U ++=−= ++ ττ . Для визначення коефіцієнтів 321 ,, CCC скористаємося методом Рунге (подвійного перерахунку), тобто перехід з k -го на )1( +k -й часовий шар виконаємо декілька разів з різними величинами кроків, а саме: 1) τ,, 21 hh ; 2) τ,, 2 2 1 h h ; 3) τ, 2 , 2 1 h h ; 4) 2 ,, 21 τhh . Одержимо систему чотирьох рів- нянь з чотирма невідомими 321 ,,, CCCU . ττττ 2 23 2 12 3 1,, 21 hChCCuU hh ++=− , τττ τ 2 23 2 1 2 3 1,, 2 42 1 hC h CCuU hh ++=− , τττ τ 4 2 2 3 2 12 3 1, 2 , 2 1 h ChCCuU hh ++=− , τττ τ 2 23 2 12 3 1 2 ,, 421 hChCuU C hh ++=− . Її розв’язок дає можливість оцінити локальну похибку, уточнити ре- зультат та визначити нові кроки сітки. Дійсно, якщо ми виберемо нові кроки за формулами стар,2нов,2стар,1нов,1старнов , , hhhh γβαττ === , то одержимо результат з похибкою новe , яка не повинна перевищувати допe . [ ]=++= 2 23 2 12 2 1нов )()()()( hChCCe γβαττα Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 95 доп 2 23 2 12 3 1 )()()()()( еhChCC ≤++= ατγταβατ . З цієї рівності можна одержати коефіцієнти ijij γβα ,, зміни кроків та побудувати нову сітку, яка враховує особливості поведінки функції [5]. Наведемо алгоритм даного адаптивного методу. Нехай відомі значення функції ),,( tyxU при ktt = . Для переходу на наступний часовий шар τ+=+ kk tt 1 необхідно виконати такі дії: 1. Обчислити по обраній різницевій схемі з кроками ji hh ,2,1 , , τ зна- чення τ,, 21 hhu для кожного вузла )1( +k -го шару. 2. Обчислити з кроками τ,, 2 ,2 ,1 j i h h значення τhhu ,, 2 2 1 . Щоб одержати на k -му шарі значення опорної функції з кроками j i h h ,2 ,1 , 2 , застосувати інтерполяцію по відомим значенням функції у вузлах з кроками ji hh ,2,1 , або початкову умову у випадку першого кроку. 3. Обчислити з кроками , 2 , ,2 ,1 j i h h τ значення τhh u , 2 , 2 1 . 4. Обчислити з кроками ji hh ,2,1 , , 2 τ значення 2 ,, 21 τhh u , застосувавши різницевий метод двічі. 5. Для кожного вузла за формулою +=−= ++ 2 1 11 ( ττ CuUe k ij k ijij )2 23 2 12 hChC ++ обчислити похибку ije та вибрати найбільшу з них — e . 6. За формулами )( 3 4 ,, 2 ,,31 21 21 ττ − τ = hhhh uuC , 33,0=τk , 3 3 1 τ α τ С ek доп ij = , ijji αα , min= обчислити коефіцієнт α зміни часового кроку. 7. За формулами ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= τττ ,,,, 2 2 1 2 21 2 13 4 hhhh uu h С , ,5,0=βk −= ατ доп 1 e e ( )21 ατС− , 2 1 1 1 C ek hij ββ = для кожного вузла обчислити коефіцієнт ijβ зміни просторового кроку. Якщо допeeij > та min,1 hh i > або min1,1 hh i >+ , то ijβ зменшити вдвічі та сформувати прикмету відмови. Знайти для кожного вузла ix мінімальне значення ijβ . 8. Сформувати нову нерівномірну сітку у напрямку OX на )1( +k -му шарі. С.О. Лук’яненко, І.Б. Німчук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 3 96 9. Для кожного вузла обчислити коефіцієнт ijγ за формулами =3C ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= τhhhh uu h ,,, 2 ,2 2 212 13 4 ττ , ( ) ( )212 2 1 доп 2 hСС e e βτα τα −−= , 32 21 С e hij =γ та сформувати нову нерівномірну сітку у напрямку OY . 10. Якщо допee ≤ або допee > при мінімальних значеннях кроків, крок приймається. За формулою 2 ,,, 2 ,,, 2 ,, 21 2 12 121 3 4 3 4 3 43 τhhhhhhhh uuuuU +++−= τττ уточнити результат. Збільшити час, запам’ятати результати, одержані для )1( +k -го часового шару. На )1( +k -му шарі створюється опорна функція для нової сітки. Прийняти 1+= kk . 11. Якщо допee > та кроки не мінімальні, результати анулюються, крок τ зменшується вдвічі, на k -му шарі створюється нова опорна функція з ущільненою сіткою. 12. Якщо модельний час не перевищує кінцевого значення, перейти до п.1. РЕЗУЛЬТАТИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТЕСТОВОЇ ЗАДАЧІ Для експериментальної перевірки алгоритму було взято такі значення пара- метрів методу: початковий, мінімальний, максимальний кроки по часу 01,0поч =τ , 001,0min =τ , 01,0max =τ ; початкова, максимальна, мінімальна кількість просторових вузлів 20поч =n , 50max =n , 5min =n . Розв’язок від- шукувався в області ]5,0;0[ ],1,0[, ∈∈ tyx з допустимою похибкою 1,0доп =e . На початку розрахунків вузли адаптивної сітки розташовані рів- номірно. Аналіз процесу обчислень показує, що з ростом модельного часу t вуз- ли сітки скупчуються у зоні фронту теплової хвилі, і це скупчення пересува- ється поступово разом із фронтом (рис. 2). Y Y x x 0 0 Рис. 2. Розташування вузлів різницевої сітки для t=0,3 та t=0,5 Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 3 97 Кількість просторових вузлів змінюється у процесі розрахунків та по кожній координаті у 4...5 разів менше, ніж у випадку рівномірної сітки при однаковій точності результату. Максимальна абсолютна похибка звичайно не перевищує допустимого значення допe . Її графік внаслідок перебудови сітки на кожному кроці носить коливальний характер (рис. 3 ,а ). Найбільше відрізняються графіки точного та наближеного розв’язків у вузлах, розта- шованих на фронті біля його стику з площиною XOY (рис. 3 ,б ), де має міс- це розрив похідних точного розв’язку. Наближений розв’язок згладжує поверхню у зоні її стику з цією площиною, тому стає значною похибка (рис. 3,в). Порівняння результатів розв’язання цієї задачі за допомогою алгорит- мів з рівномірною фіксованою та нерівномірною змінною різницевими сіт- ками свідчить про перевагу адаптивного алгоритму, а саме скорочення ви- трат машинного часу у 1,5…2 рази. ВИСНОВКИ Адаптивні алгоритми мають істотні переваги перед алгоритмами з фіксова- ними сітками, оскільки при однаковій точності результату кількість просто- Максимальна абсолютна похибка а б y x U(x,y) в y Рис. 3. Графіки максимальної абсолютної похибки (а), абсолютної похибки при t=0,5 (б) , перерізів точного та наближеного розв’язків при t=0,5, y=0,1 (в) С.О. Лук’яненко, І.Б. Німчук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 3 98 рових вузлів зменшується у декілька разів, що призводить до такого ж зменшення розмірності систем алгебраїчних рівнянь. Але загальний виграш машинного часу значно менший внаслідок необхідності додаткових витрат на обчислення похибки та нової різницевої сітки. Важливою перевагою ада- птивних методів є також можливість одержання результату з наперед зада- ною точністю. У подальшому доцільно докласти зусиль до розробки еконо- мічних алгоритмів обчислення функції у вузлах нової сітки, що знизить витрати машинного часу. ЛІТЕРАТУРА 1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 736с. 2. Самарский А.А., Соболь И.М. Примеры численного расчета температурных волн // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1963. — 3, № 4. — C. 702–719. 3. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и те- плообмен. — В 2 т. Т.2-й. Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 392 с. 4. Азаренок Б.Н., Иваненко С.А. О применении адаптивных сеток для численного решения нестационарных задач газовой динамики // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 2000. — 40, № 9. — С. 1386–1407. 5. Лук’яненко С.О. Адаптивні обчислювальні методи моделювання об’єктів з роз- поділеними параметрами. — Київ: Політехніка, 2004. — 236 с. Надійшла 10.11.2004
id	journaliasakpiua-article-165661
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2025-07-17T10:25:01Z
publishDate	2019
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/95/feabb3d874c34f979855c4f1ba9a0f95.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1656612019-04-26T15:35:46Z Using adaptive difference meshes at modeling two-dimensional thermal wave Адаптивные разностные сетки при моделировании двумерной тепловой волны Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі Lukjanenko, S. A. Nimchuk, I. B. Results of calculating two-dimensional pseudolinear equation of heat conductivity by numerical method with variable nonuniform difference meshusage. There are results of using it to the task of the heat wave’s spreading. Рассмотрен численный метод решения двумерного квазилинейного уравнения теплопроводности с использованием переменной неравномерной разностной сетки. Приведены результаты его применения к задаче о распространении тепловой волны. Розглянуто обчислювальний метод розв’язування двовимірного квазілінійного рівняння теплопровідності з використанням змінної нерівномірної різницевої сітки. Наведено результати його застосування до задачі про розповсюдження теплової хвилі. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-04-26 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165661 System research and information technologies; No. 3 (2005); 88-98 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2005); 88-98 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2005); 88-98 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165661/164899 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Lukjanenko, S. A. Nimchuk, I. B. Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
title	Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
title_alt	Using adaptive difference meshes at modeling two-dimensional thermal wave Адаптивные разностные сетки при моделировании двумерной тепловой волны
title_full	Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
title_fullStr	Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
title_full_unstemmed	Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
title_short	Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
title_sort	адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165661
work_keys_str_mv	AT lukjanenkosa usingadaptivedifferencemeshesatmodelingtwodimensionalthermalwave AT nimchukib usingadaptivedifferencemeshesatmodelingtwodimensionalthermalwave AT lukjanenkosa adaptivnyeraznostnyesetkiprimodelirovaniidvumernojteplovojvolny AT nimchukib adaptivnyeraznostnyesetkiprimodelirovaniidvumernojteplovojvolny AT lukjanenkosa adaptivníríznicevísítkiprimodelûvannídvovimírnoíteplovoíhvilí AT nimchukib adaptivníríznicevísítkiprimodelûvannídvovimírnoíteplovoíhvilí

Адаптивні різницеві сітки при моделюванні двовимірної теплової хвилі

Institution

Similar Items