Функціональні послідовності з нечітким аргументом: збіжність множин рівня
The main consideration subject is functional sequences fn(A) with convex upper semicontinuous fuzzy number A for argument; it is supposed that limn→∞fn(x)=f(x), and this convergence is uniform on each closed interval within suppA. The paper proposes sufficient conditions for fn(A) to converge in the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165701 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334361142001664 |
|---|---|
| author | Spectorsky, Igor Ya. |
| author_facet | Spectorsky, Igor Ya. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Igor Ya. Spectorsky",
"institution": "Учебно-научный комплекс \"Институт прикладного системного анализа\" Национального технического университета Украины \"Киевский политехнический институт имени Игоря Сикорского\", Киев"
}
] |
| author_sort | Spectorsky, Igor Ya. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-13T15:15:18Z |
| description | The main consideration subject is functional sequences fn(A) with convex upper semicontinuous fuzzy number A for argument; it is supposed that limn→∞fn(x)=f(x), and this convergence is uniform on each closed interval within suppA. The paper proposes sufficient conditions for fn(A) to converge in the sense that a sequence of level sets [fn(A)]α converges with respect to Hausdorff distance dH([fn(A)]α,[f(A)]α). It is proved that: limn→∞dH([fn(A)]α,[f(A)]α)=0 for each 0<α≤1 assuming continuity of fn(x) (n≥1) and f(x), without the assumption about an existence of a derivative. Also, it is proved that a sequence fn(A) (n≥1) converges with respect to distance ρ(fn(A),f(A))=sup0<α≤1dH([fn(A)]α,[f(A)]α) in the space of fuzzy sets, additionally assuming that fn(A) converges uniformly on the whole suppA. In this case, for the sake of finiteness of Hausdorff distance for all 0<α≤1, fuzzy set A is supposed to be normal. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.3.12 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
И.Я. Спекторский, 2019
126 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3
УДК 519.6
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.3.12
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
С НЕЧЕТКИМ АРГУМЕНТОМ:
СХОДИМОСТЬ МНОЖЕСТВ УРОВНЯ
И.Я. СПЕКТОРСКИЙ
Аннотация. Основным объектом рассмотрения являются функциональные по-
следовательности )(Afn с выпуклым полунепрерывным сверху нечетким
числом A в качестве аргумента; предполагается сходимость )()(lim xfxfn
n
равномерно на каждом замкнутом интервале внутри носителя Asupp . Пред-
ложены достаточные условия сходимости )(Afn в смысле сходимости после-
довательности множеств уровня )]([ Afn по метрике Хаусдорфа
))]([,)](([ AfAfd nH : доказана сходимость 0))]([,)](([lim
AfAfd nH
n
для каждого значения 10 при условии непрерывности отображений
)(Afn ( 1n ) и )(xf без предположения о существовании производных.
Также доказана сходимость последовательности )(Afn ( 1n ) по метрике
пространства нечетких чисел ))]([,)](([sup))(),((
10
AfAfdAfAf nHn
при дополнительном условии равномерной на всем Asupp сходимости после-
довательности )(Afn ; в этом случае для обеспечения конечности расстояния
Хаусдорфа при всех 10 нечеткое число A предполагается нормальным.
Ключевые слова: нечеткое число, множество уровня, функциональная после-
довательность, сходимость.
ВВЕДЕНИЕ
Нечеткие числа как частный случай нечетких множеств представляют мощ-
ное средство математического моделирования в условиях неполной инфор-
мации об исходных объектах [1].
Принцип обобщения, сформулированный Л.А. Заде для произвольных
нечетких множеств [1–6], позволяет определить действие произвольной
числовой функции конечного числа аргументов на нечеткие числа. В част-
ности, на случай нечетких чисел можно обобщить стандартные арифметиче-
ские операции «+», «·», «−» и « ⁄».
Особый интерес в настоящее время представляют выпуклые нечеткие
числа [3, 4], которые во многих случаях наиболее точно соответствуют
классическому действительному числу. С другой стороны, выпуклые нечет-
кие числа легче анализировать благодаря простой структуре множеств
уровня. Наконец, класс выпуклых нечетких чисел замкнут относительно не-
прерывных функций конечного числа аргументов, в частности — относи-
тельно арифметических операций «+», «−» и «·». Для нечетких чисел со-
Функциональные последовательности с нечетким аргументом: сходимость …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 127
храняются законы коммутативности и ассоциативности операций «+»и «·»,
однако, в общем случае, не выполняется дистрибутивность «·» относи-
тельно «+» (подробнее об алгебраических свойствах нечетких чисел
см., напр., [3, 4]).
Для нечетких чисел естественным и важным является понятие расстоя-
ния и связанная с ним топология сходимости. В работах [6, 7], как и во мно-
гих других, сходимость последовательности нечетких чисел трактуется
в смысле сходимости множеств уровня функций принадлежности по метри-
ке Хаусдорфа. Анализ поточечной сходимости последовательности функций
принадлежности в ряде случаев может оказаться существенно проще. Так,
в работе [8] представлены достаточные условия сходимости последователь-
ности функций с нечетким аргументом в смысле поточечной сходимости
последовательности функций принадлежности
Цель работы — представить достаточные условия сходимости после-
довательности функций с нечетким аргументом в смысле сходимости мно-
жеств уровня функций принадлежности, не ограничиваясь случаем анали-
тических функций.
В работе приведены известные сведения из теории нечетких чисел, не-
обходимые для изложения основного результата; проанализирована воз-
можность предельного перехода по метрике Хаусдорфа для множеств уров-
ня функций принадлежности членов последовательности отображений
с нечетким аргументом; рассмотрена сходимость функциональной последо-
вательности с нечетким аргументом в топологии расстояния между нечет-
кими числами.
ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОГО ЧИСЛА. ВЫПУКЛЫЕ НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА
Нечеткое число A является частным случаем нечеткого множества и опреде-
ляется своей функцией принадлежности ]1,0[: A . Носителем нечет-
кого числа A называют множество }0)(:{supp xxA A . Для заданно-
го ]1;0( рассматривают множество уровня })(:{][ xxA A .
Очевидно соотношение
0
][supp
AA . Легко понять, что совокупность
множеств уровня однозначно определяет функцию принадлежности A
(а значит и нечеткое число A), так как })(:{)( 00
1 xx AA
0
0
][\
AA для всех 10 0 .
Замечание 1. Представление нечеткого числа через множества уровня
описывает классическая теорема о декомпозиции [3, 6].
Нечеткое число A называют выпуклым, если )(yA
))(),((min zx AA для любых zyx . Заметим, что выпуклость нечетко-
го числа не означает выпуклости функции принадлежности (в смысле клас-
сического определения выпуклости функций, используемого в анализе).
Пример 1. На рис. 1 изображена функция принадлежности выпуклого
нечеткого числа A. При этом )(xA , очевидно, невыпукла.
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 128
Нечеткое число A называют нормальным, если 1)(max
xA
x
. Так, не-
четкое число A из предыдущего примера (рис. 1) является нормальным.
Выпуклость нечеткого числа непосредственно связана с выпуклостью
множеств уровня.
Лемма 1. Нечеткое число A является выпуклым тогда и только тогда,
когда выпуклы все его множества уровня ])1;0(( ][ A .
Утверждение доказано, например, в работе [8].
Важный класс представляют нечеткие числа с полунепрерывной сверху
функцией принадлежности — такие нечеткие числа называют полунеперыв-
ными сверху. Под непрерывностью и полунепрерывностью сверху подразу-
меваем непрерывность (полунепрерывность сверху) на . Полунепрерыв-
ность функции принадлежности A , определяемая условием
)lim( xxn
n
))()(lim( xx AnA
n
, можно охарактеризовать в терминах множеств
уровня нечеткого числа A.
Лемма 2. Нечеткое число A полунепрерывно сверху тогда и только то-
гда, когда все множества уровня ]1;0( ][ A замкнуты.
Утверждение леммы (в эквивалентной формулировке) доказано в рабо-
те [9, с. 385–388], а в [10] приведено в качестве упражнения.
Следствие. Пусть нечеткое число A полунепрерывно сверху. Тогда
компактность множества уровня ][A 10 равносильна ограниченно-
сти ][A . В пространстве n компактность множества эквивалентна его
ограниченности и замкнутости, однако в бесконечномерных метрических
пространствах ограниченность и замкнутость являются лишь необходимы-
ми, но не достаточными условиями компактности.
Пример 2. На рис. 2 изображена функция принадлежности выпуклого
нечеткого числа A. Очевидно, )(xA полунепрерывна сверху, и все множе-
ства уровня нечеткого числа A замкнуты. Так, множество );5.1[][ 4.0 A
замкнуто.
1
–2 1 0 1 2 3
)(xA
0,3
0,5
x
Рис. 2. Нечеткое число с полунепрерывной сверху функцией принадлежности
Рис. 1. Выпуклое нечеткое число с невыпуклой функцией принадлежности
)(xA
x1 20
Функциональные последовательности с нечетким аргументом: сходимость …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 129
Пример 3. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
2
)( x
A ex . Функция )(xA полунепрерывна сверху (и даже непрерывна),
множества уровня ][A ограничены и, в силу следствия из леммы 2, ком-
пактны при любом 10 . Отметим, что носитель Asupp при этом
неограничен.
Заметим, что при определении нечеткого числа часто требуют его вы-
пуклость, нормальность и полунепрерывность сверху [6].
Отображения нечетких множеств. Сохранение выпуклости
Пусть nf : — произвольная функция с областью определения
n
fD , 1n (здесь и далее символы « » и « » допускают равенство
множеств). В соответствии с принципом обобщения Заде [1–6] образ набора
нечетких чисел nAAA ,,, 21 при отображении f определяется как нечеткое
число ),,,( 21 nAAAfB с функцией принадлежности
)(yB
)1(
.),,(:),,( если 0
;),,(:),,( если )),(,),((minsup
11
111
),,(
:),,(
1
1
1
yxxfDxx,
yxxfDxxxx
nfn
nfnnAA
yxxf
Dxx
n
n
fn
Пример 4. Пусть xxff )( ,: . Тогда, в соответствии с соот-
ношением (1), для произвольного нечеткого числа A получаем функцию
принадлежности для нечеткого числа A:
)()( yy AA ( y ).
Пример 5. Пусть 2)( ,: xxff . Тогда, в соответствии с соотно-
шением (1), для произвольного нечеткого числа A получаем функцию при-
надлежности для нечеткого числа 2A :
.0,0
;0,))(),((max)(2
y
yyyy AA
A
Пример 6. Пусть xxff sin)( ,: . Тогда, в соответствии с соот-
ношением (1), для произвольного нечеткого числа A получаем функцию
Asin :
.1,0
;1},,:)2(),2(arcsin{sup
)(sin y
ymkmyky
y AA
A
Пример 7. Пусть 2121
2 ),( ,: xxxxff . Тогда, в соответствии
с соотношением (1), для произвольных нечетких чисел 21 , AA получаем
функцию принадлежности для нечеткого числа 21 AA :
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 130
)(
21
yAA ))(),((minsup 21
:),(
21
21
2
21
xx AA
yxx
xx
.
Из примеров 4–7 видно, что при использовании равенства (1) необхо-
димо решать уравнение y,x,xf n )( 1 для каждого y . Если это урав-
нение имеет небольшое количество решений (примеры 4 и 5), равенство (1)
немедленно дает значение )(yB . Но прямое использование равенства (1)
весьма проблематично, если уравнение y,x,xf n )( 1 имеет бесконечно
много решений (примеры 6 и 7), что особенно типично при 2n (при-
мер 7). Приводимая ниже теорема 1 (доказательство см., напр., в [8]) позво-
ляет вычислять множества уровня нечеткого числа B непосредственно по
множествам уровня nAAA ,...,, 21 , минуя прямое использование равенства (1).
Теорема 1. Пусть все множества уровня нечетких чисел nAAA ,,, 21
компактны, и функция nf : непрерывна на n . Тогда для каждого
10 множество уровня ][B равно образу множеств уровня
][,,][,][ 21 nAAA :
)][,,][,]([][ 21 nAAAfB
)}][][]([),,(:),,({ 2111 nnn AAAxxxxf .
Пример 8. Рассмотрим нечеткие числа 1A и 2A с функциями принад-
лежности
, ,0
; ,1
)(
111
111
1 1
11
1
ax
ax
ax
xA
, ,0
; ,1
)(
222
222
2 2
22
2
ax
ax
ax
xA
где ia , 0i ( }2;1{i ). Поскольку все множества уровня 1A и 2A
компактны, а отображение 2121 ),( xxxxf является непрерывным на 2 ,
для вычисления множеств уровня нечеткого числа 21 AAB можем ис-
пользовать теорему 1. Для 1A и 2A имеем ];[][ iiiii aaA
})2;1{( i и для B получаем:
])(;)([][][][ 2121212121 aaaaAAB ,
где 10 . Теперь по виду ][B ( 10 ) легко определить
21 AAB :
.)( ,0
;)( ,
)(
1
)(
2121
2121
21
21
21
aay
aay
aay
yAA
Графики функций
1A ,
2A и B изображены на рис. 3.
Функциональные последовательности с нечетким аргументом: сходимость …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 131
Пример 9. Рассмотрим нечеткие числа 1A и 2A с функциями принад-
лежности
,0 ,0
;0 ,1)(
1
1
1 1
1
1
x
xx
x
xA
,0 ,0
;0 ,1)(
2
2
2 2
2
2
x
xx
x
xA
Соответствующие графики схематически изображены на рис. . 4.
1
–2 –1 0
)(
2
xA
1
0 1 2 3 x
)(
1
xA
–3 x
Рис. 4. Нечеткие числа 1A и 2A : условия теоремы 1 не выполнены
Поскольку множества уровня нечетких чисел 1A и 2A неограничены (а
значит, и некомпактны), условия теоремы 1 не выполнены. Применяя фор-
мулу (1) (см. также пример 7), получаем:
1
1
,
1
minsup))(),((minsup)(
),0max(
21
:),(
21
21
2
21
21
xy
xy
x
xxxy
yx
AA
yxx
xx
AA
для всех y . Равенство ][][][ 2121 AAAA , постулируемое тео-
ремой 1, выполняется для всех )1;0( (в этом случае
][][][ 2121 AAAA ), но не выполняется для 1 : 121 ][ AA ,
1211 ][][ AA .
Важным фактом является сохранение свойств выпуклости для нечетких
чисел и полунепрерывности сверху для их функций принадлежности при
непрерывном отображении; соответствующая теорема доказана [8].
Рис. 3. Нечеткие числа 1A , 2A и 21 AAB : условия теоремы 1 выполнены
1
)(xB
21 aa x
)()( 2121 aa )()( 2121 aa
–2 –1 0 1 2 3
0
)(
2
xA
22 a 22 a 2a
1 x
0 2 x11 a
11 a
)(
1
xA
31 1a
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 132
Теорема 2. Пусть nAAA ,,, 21 — произвольные нечеткие числа, функ-
ция nf : непрерывна на n , и ),,,( 21 nAAAfB . Тогда:
1) если nAAA ,,, 21 выпуклы, то нечеткое число В также выпукло;
2) если nAAA ,,, 21 полунепрерывны сверху и все множества уровня
nAAA ,,, 21 ограничены, то B также полунепрерывна сверху.
Пример 10. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
, ,0
; ,1)(
x
x
x
xA
где 0 .
Непосредственно из формулы (1) (см. также пример 5) найдем функ-
цию принадлежности числа )(2 x
A
:
. или 0,0
;0 ,1
)(
2
2
2
xx
xx
x
A
Графики функций принадлежности )(xA и (схематично) )(2 x
A
при-
ведены на рис. 5.
1
1 0 1 x
)(2 x
A
2
1
0 1 x
)(xA
–1
Рис. 5. Нечеткие числа A и 2A
Отметим, что функция )(2 x
A
полунепрерывна сверху, но не непре-
рывна при непрерывной функции )(xA и непрерывном отображении
2)( xxf .
Пример 11. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
1)( x ( x ). Очевидно,
0 ,0
;0 ,1
)(
x
x
xAe
не полунепрерывна сверху:
теорема 2 неприменима, так как множества уровня нечеткого числа A неог-
раничены.
Замечание 2. Теоремы 1 и 2 легко обобщить на случай, когда функция
f непрерывна на множестве nAAA suppsuppsupp 21 . Так, если нечет-
кие числа 1A и 2A выпуклы и 2supp0 A , то нечеткое число
2
1
A
A
также вы-
пукло.
Замечание 3. Очевидно, что свойство нормальности сохраняется при
произвольном отображении: если нечеткие числа nAAA ,,, 21 нормальны и
Функциональные последовательности с нечетким аргументом: сходимость …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 133
отображение nf : определено на n , то ),,,( 21 nAAAf также нор-
мально.
Последовательность отображений нечетких чисел. Предельный переход
для множеств уровня
Рассмотрим последовательность непрерывных отображений :nf
( 1n ). Будем предполагать существование предела )()(lim xfxfn
n
для
всех x , где :f – функция, непрерывная на . Для выпуклого
полунепрерывного сверху нечеткого числа A с ограниченными множествами
уровня получаем соответственно теореме 2, последовательность выпуклых
полунепрерывных сверху нечетких чисел )(Afn ( 1n ). Для исследования
сходимости последовательности множеств стандартным средством является
расстояние Хаусдорфа. Напомним, что расстояние Хаусдорфа Hd (возмож-
но, бесконечное) в метрическом пространстве ,X для непустых мно-
жеств XBA , определяется как
),(infsup),,(infsupmax),( babaBAd
AaBbBbAa
H .
В частности, на со стандартной метрикой ||),( baba для замк-
нутых интервалов ];[],;[ 2211 baba имеем:
|)||,(|max]);[],;([ 21212211 bbaababadH . (2)
Известно [10], что Hd является метрикой на семействе всех непустых
ограниченных замкнутых подмножеств X.
Для исследования сходимости множество уровня понадобится простая
техническая лемма.
Лемма 3. Пусть все множества уровня нечеткого числа A компактны,
отображение :g непрерывно, 10 . Тогда ][A в том и
только в том случае, когда )]([ Ag .
Доказательство. Утверждение леммы немедленно следует из теоремы 1.
Теорема 3. Пусть все множества уровня нечеткого числа A компактны,
)()( xfxf
nn
локально равномерно на Asupp (т.е. равномерно на лю-
бом интервале Aba supp],[ ), ][A для некоторого 10 . Тогда
0))]([,)](([lim
AfAfd nH
n
.
Доказательство. В соответствии с теоремой 1
}][:)({)]([)]([ AxxfAfAf nnn ( 1n );
(3)
}][:)({)]([)]([ AxxfAfAf .
В силу ограниченности (и даже компактности) ][A , а также непре-
рывности nf ( 1n ) и f, все множества )]([ Afn ( 1n ) и )]([ Af также
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 134
ограничены. Вследствие теоремы 2 выпуклость нечеткого числа A влечет
выпуклость нечетких чисел )(Afn ( 1n ) и )(Af , а значит вследствие лем-
мы 1 и выпуклость множеств )]([ Afn ( 1n ) и )]([ Af . Далее, замкнутость
(и даже компактность) ][A в соответствии с леммой 1 означает замкну-
тость множеств )]([ Afn ( 1n ) и )]([ Af Таким образом, множества
)]([ Afn ( 1n ) и )]([ Af выпуклы, компактны, вследствие леммы 3 непус-
ты, т.е. имеют вид замкнутых интервалов:
1,];[)]([ nbaAf nnn ;
(4)
];[)]([ 00 baAf ,
включая случай одноточечных интервалов вида ];[}{ ccc , c .
Зафиксируем 0 . Благодаря равномерной на ][Ax сходимости
)()( xfxfn можем выбрать такое 1N , что
)()( xfxfn Nn , ][Ax . (5)
Поскольку множество ][A непустой компакт, непрерывные отобра-
жения f и nf ( 1n ) вследствие теоремы Вейерштрасса (о функции, непре-
рывной на компакте) достигают на ][A своих минимальных и максималь-
ных значений. Таким образом, с соотношениями (3) и (4) имеем:
)(min
][
xfa n
Ax
n
, )(max
][
xfb n
Ax
n
( 1n );
)(min
][
0 xfa
Ax
, )(max
][
0 xfb
Ax
.
Выберем nx ( Nn ) и 0x такие, что nn axf )( ( Nn ) и
00 )( axf (отметим, что таких точек может быть много, так как функция
может достигать минимума на нескольких значениях аргумента). С учетом
выражения (5) получаем:
000 )()()( axfxfxfa nnnn ;
00 )()()( axfxfxfa nnnn ,
откуда немедленно следует оценка
0aan . (6)
Аналогично для правого конца выберем nx~ ( Nn ) и 0
~x такие,
что nn bxf )~( ( Nn ) и 00 )~( bxf . С учетом выражения (5) получаем:
000 )~()~()~( bxfxfxfb nnnn ;
00 )~()~()~( bxfxfxfb nnnn ,
откуда немедленно следует оценка
0bbn . (7)
Функциональные последовательности с нечетким аргументом: сходимость …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 135
Из оценок (6) и (7) с учетом соотношения (2) следует оценка для рас-
стояния Хаусдорфа между множествами уровня:
]);[],;([))]([,)](([ 00 babadAfAfd nnHnH ( Nn ).
Полученная оценка с учетом произвольности выбора 0 означает
сходимость 0))]([,)](([lim
AfAfd nH
n
, что завершает доказательство
теоремы.
Пример 12. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
, ,0
; ,1)(
x
x
x
xA
где 0 (см. пример 10). Очевидно, нечеткое число A выпукло и все его
множества уровня компактны: )]1();1([][ A для всех ]1;0( .
Рассмотрим последовательность функций
n
xxfn
1
)( 2 ( 1n ). Оче-
видно, что и 2)()( xxfxf
nn
равномерно на ];[supp A . Таким
образом, условия теоремы 3 выполнены.
Непосредственно из (1) (см. также пример 10) найдем )(2 x
A
и
)()( xAfn
:
. или 0,0
;0 ,1
)(
2
2
2
xx
xx
x
A
.
1
или
1
,0
;
11
,
1
1)(
2
2
)(
n
x
n
x
n
x
n
n
x
xAfn
Графики функций A и (схематично) 2A
и )( Afn
приведены на рис. 6.
Множества уровня нечетких чисел )(Af и )(Afn ( 1n ) имеют вид:
])1(0 ;0[)]([ 22 Af ,
22 )1(
1
;
1
)]([
nn
Afn , ]1;0( .
Используя соотношение (2), немедленно получаем:
0
1
lim))]([,)](([lim
n
AfAfd
n
nH
n
, ]1;0( ,
1
0 1 x
)(xA
0,5
–1 0
1
1
)(2 x
A
2
0,5
x 0
1
1
)()( xAfn
0,5
n
1
n
12 x
Рис. 6. Нечеткие числа A , )(Afn и 2A
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 136
что соответствует утверждению теоремы 3.
Заметим, что поточечная сходимость )()(lim )()( xx AfAf
n n
вы-
полняется для }0{\x , однако 0)0(lim )(
Af
n n
, 1)0()( Af .
Следующий пример показывает, что условие локально равномерной на
Asupp сходимости )()( xfxfn является в теореме 3 существенным.
Пример 1. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
, ,0
; ,1
)( 2
2
x
x
x
x
A
где 0 . Очевидно, нечеткое число A выпукло и все его множества уровня
компактны: ]1;1[][ A для всех ]1;0( .
Рассмотрим последовательность функций
;
2
,0
;
2
,11
)(
n
x
n
xnxa
xfn ( 1n ),
, ,0
; ,1)(
x
x
x
xA
где a и δ — положительные константы. Графики )(xA (схематично) и ото-
бражения )(xfn при 2n показаны на рис. 7.
Легко видеть, что выполняется поточечная сходимость
0)()(lim
xfxfn
n
для каждого x , однако равномерной сходимости
нет ни на одном интервале вида ];0[ ( 0 ), так как a
n
fn
при любом
1n (достаточно выбрать
n ).
Непосредственно из соотношения (1) найдем )()( xAf и )()( xAfn
:
;0,0
;0 ,1
)()( x
x
xAf
n
n
20
)(xfn
1 x
1
1 0 1 x
)(xA
Рис. 7. Нечеткое число A и отображение nf
Функциональные последовательности с нечетким аргументом: сходимость …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 137
. или 0,0
;0 ,1
)( 22
2
)(
axx
ax
an
x
xAfn
График )()( xAfn
(схематично) изображен на рис. 8.
Множества уровня нечетких чисел )(Af и )(Afn ( 1n ) имеют вид:
}0{)]([ Af , ]))1(,(min ;0[)]([ naaAfn , ]1;0( .
В соответствии с соотношением (2), допуская одноточечный интервал
]0;0[}0{ , имеем:
))1(,(min))]([,)](([lim
naaAfAfd nH
n
, ]1;0( ,
т.е. 0))]([,)](([lim
AfAfd nH
n
лишь для 1 .
Заметим, что
, или 0,0
;0 ,1
)(lim )( axx
ax
xAf
n n
т.е. поточечная схо-
димость )()(lim )()( xx AfAf
n n
выполняется лишь для 0x .
Следующий простой пример показывает, что условие непрерывности
функций )(xfn ( 1n ) и )(xf является в теореме 3 существенным.
Пример 14. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
, ,0
; ,1)(
x
x
x
xA
где 0 (см. примеры 10 и 12). Очевидно, нечеткое число A выпукло и все
его множества уровня компактны: )]1();1([][ A для всех ]1;0( .
Рассмотрим последовательность отображений )(xfn ( 1n ) и )(xf
, ,0
; ,
)(
n
x
n
xa
xf n
,0 ,0
;0 ,
)(
x
xa
xf
где a — положительная константа. Очевидно, для каждого x вы-
полняется поточечная, и даже равномерная на сходимость
)()(lim xfxfn
n
.
0 1 xa
)()( xAfn
2
1
1
n
Рис. 8. Нечеткое число )(Afn
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 138
Непосредственно с соотношения (1) найдем )()( xAfn
)1( n и )()( xAf :
};,0{ ,0
,0,1
, ,
1
1
)()(
ax
x
ax
nxAfn
}.{0,,0
,}{0, ,1
)()( ax
ax
xAf
Множества уровня нечетких чисел )(Af и )(Afn ( 1n ) имеют вид:
},0{)]([ aAf ( ]1;0( ),
.},0{
;
1
10},,0{
)]([
1
n
n n
a
Af
По определению расстояния Хаусдорфа:
0}),0{},,0({lim))]([,)](([lim
aadAfAfd H
n
nH
n
, 10 ;
0}),0{},0({lim))]([,)](([lim
aadAfAfd H
n
nH
n
,
т.е. 0))]([,)](([lim
AfAfd nH
n
для 10 , но не для 1 . Заметим,
что поточечная (и даже равномерная на ) сходимость
)()(lim )()( xx AfAf
n n
выполняется для всех x .
Приведенные примеры показывают, что поточечная сходимость функ-
ций принадлежности )()(lim )()( xx AfAf
n n
и сходимость множеств уров-
ня 0))]([,)](([lim
AfAfd nH
n
в общем случае логически не связаны. Так,
в примере 12 выполняется сходимость множеств уровня, но нет поточечной
сходимости; в примере 14 выполняется поточечная сходимость функций
принадлежности, но нет сходимости множеств уровня (не для всех α); в
примере 1 нет ни поточечной сходимости функций принадлежности, ни
сходимости множеств уровня. Любопытно отметить, что в примере 14, вви-
ду отсутствия непрерывности )(xfn ( 1n ) и )(xf , не выполняются усло-
вия не только теоремы 3, но и теоремы 2, что привело к потере выпуклости
у нечетких чисел )(Afn ( 1n ) и )(Af .
Сходимость функциональной последовательности с нечетким аргумен-
том по метрике пространства нечетких чисел
Пусть, как и выше 0, :nf ( 1n ) — последовательность непрерыв-
ных отображений, )()(lim xfxfn
n
для всех x , где :f — функ-
ция, непрерывная на ; A — выпуклое полунепрерывное сверху нечеткое
число с ограниченными множествами уровня.
Сходимость последовательности нечетких чисел удобно исследовать с
помощью функции ),(sup),(
10
BAdBA H , где A и B – нечеткие нор-
мальные числа. Известно [6, 7], что — метрика в пространстве выпуклых
полунепрерывных сверху нормальных нечетких чисел с ограниченным но-
сителем.
Функциональные последовательности с нечетким аргументом: сходимость …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 139
Теорема 4. Пусть A – выпуклое нечеткое число, все множества уровня
которого компактны; )()( xfxf
nn
равномерно на Asupp . Тогда
0))(),((lim
AfAfn
n
.
Доказательство. Поскольку условия теоремы 3 выполняются для каж-
дого 10 , можем воспользоваться результатами доказательства теоре-
мы 3. Так, для каждого 10 множества уровня )]([ Afn ( 1n ) и
)]([ Af имеют вид замкнутых интервалов, включая случай одноточечных
интервалов вида ];[}{ ccc , c . Далее зафиксируем 0 . В силу равномер-
ной на Ax supp сходимости )()( xfxfn можем выбрать такое 1N , что
)()( xfxfn для всех Nn , Ax supp . (8)
В ходе доказательства теоремы 3 показано, что из (8) следует оценка
))]([,)](([ AfAfd nH ( Nn ), (9)
причем, поскольку (8) выполняется для всех Ax supp , неравенство (9) вы-
полняется для всех 10 . Таким образом,
))]([,)](([sup))(),((
10
AfAfdAfAf nHn
для всех Nn , т. е. 0))(),((lim
AfAfn
n
, что завершает доказательство.
Пример 15. Рассмотрим нечеткое число A с функцией принадлежности
2
)( x
A ex и последовательность функций ( 1n )
, ,0
; ,1
)(
nx
nx
nx
a
xfn
где a и δ — положительные константы. Графики (схематично) функции
принадлежности )(xA и функции )(xfn изображены на рис. 9. Очевидно,
для каждого x выполняется поточечная, и даже локально равномерная,
но не равномерная на сходимость 0)(lim
xfn
n
. Непосредственно из ра-
венства (1) найдем )( Afn
(рис. 9) и :
. или 0 ,0
;0 ,1
];;0( ,
)(
2)1(
)(
axx
x
axe
x
a
x
n
n
Af
,0 ,0
;0 ,1
)()(
x
x
xAf
0 1 x
)()( xAfn
–1
1
)(xfn
0 1 x)( n n )( n
a
1
)()( xAfn
a
2)( ne
2ne
0 1 x
1
Рис. 9. Графики nA f, и )( Afn
И.Я. Спекторский
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 140
Заметим, что }0{)]([ Afn при
2)( ne и ];0[)( aAfn при
2ne . Также очевидно, что }0{)]([ Af при всех 10 . Это означа-
ет, что 0})0{,)](([lim))]([,)](([lim
AfdAfAfd nH
n
nH
n
при каждом
10 , что соответствует теореме 3, однако ))(),(( AfAfn
0))]([,)](([sup
10
aAfAfd nH .
Таким образом, требование равномерной на Ax supp сходимости
)()( xfxfn в теореме 4 существенно.
ВЫВОДЫ
1. Для функциональной последовательности )(xfn 1n , локально
равномерно сходящейся к )(xf , и нечеткого аргумента A представлены дос-
таточные условия сходимости множеств уровня нечетких чисел )(Afn
( 1n ). При этом дифференцируемость отображений )(xfn ( 1n ) не требу-
ется.
2. При выполнении дополнительного условия равномерной на Asupp
сходимости )()( xfxf
nn
последовательность нечетких чисел )(Afn
)1( n сходится к )(Af в топологии расстояния ),(sup),(
10
BAdBA H .
ЛИТЕРАТУРА
1. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной инфор-
мации / С.А. Орловский. — М.: Наука, 1981. — 208 с.
2. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию
приближенных решений / Л.А. Заде. — М.: Мир, 1976. —176 с.
3. Mizumoto M. Algebraic Properties of Fuzzy Numbers / M. Mizumoto, K. Tanaka //
Proceedings of IEEE International Conference on Cybernetics and Society. —
1976. — P. 559–563.
4. Delgado M. Fuzzy numbers, definitions and properties / M. Delgado, J.L. Verdegay,
M.A. Vila // Mathware & Soft Computing 1. — 1994. — N 1 (1). — P. 31–43.
5. Dubois D. Fuzzy Real Algebra: Some Results / D. Dubois, H. Prade // Fuzzy Sets
and Systems. — 1979. — N 4 (2). — P. 327–348.
6. Inaida J. Taylor Series on the Fuzzy Number Space // Special Issue on Biometrics
And Its Applications. — 2010. — N 16 (1). — P. 15–25.
7. Tripathy B.C. On Convergence of Series of Fuzzy Real Numbers / B.C. Tripathy,
P.C. Das // Kuwait Journal of Science & Engineering. — 2012. — N 39 (1A). —
P. 57–70.
8. Спекторский И.Я. Последовательности функций и ряды Тейлора с нечетким
аргументом / И.Я. Спекторский // Системні дослідження та інформаційні
технології. — 2014. — № 2. — С. 125–140.
9. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон.
— М.: Наука, 1974. — 480 с.
10. Кадец В.М. Курс функционального анализа / В.М. Кадец. —Х.: Харьк. нац.ун-т
имени В. Каразина, 2006. — 607 с.
Поступила 10.05.2019
|
| id | journaliasakpiua-article-165701 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:03Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/1d/1493c72d2f5f362cd3cb96cf5494ce1d.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1657012019-12-13T15:15:18Z Functional sequences with fuzzy argument: convergence of level sets Функциональные последовательности с нечетким аргументом: сходимость множеств уровня Функціональні послідовності з нечітким аргументом: збіжність множин рівня Spectorsky, Igor Ya. fuzzy number level set functional sequence convergence нечеткое число множество уровня функциональная последовательность сходимость нечітке число множина рівня функціональна послідовність збіжність The main consideration subject is functional sequences fn(A) with convex upper semicontinuous fuzzy number A for argument; it is supposed that limn→∞fn(x)=f(x), and this convergence is uniform on each closed interval within suppA. The paper proposes sufficient conditions for fn(A) to converge in the sense that a sequence of level sets [fn(A)]α converges with respect to Hausdorff distance dH([fn(A)]α,[f(A)]α). It is proved that: limn→∞dH([fn(A)]α,[f(A)]α)=0 for each 0<α≤1 assuming continuity of fn(x) (n≥1) and f(x), without the assumption about an existence of a derivative. Also, it is proved that a sequence fn(A) (n≥1) converges with respect to distance ρ(fn(A),f(A))=sup0<α≤1dH([fn(A)]α,[f(A)]α) in the space of fuzzy sets, additionally assuming that fn(A) converges uniformly on the whole suppA. In this case, for the sake of finiteness of Hausdorff distance for all 0<α≤1, fuzzy set A is supposed to be normal. Основным объектом рассмотрения являются функциональные последовательности fn(A) с выпуклым полунепрерывным сверху нечетким числом A в качестве аргумента; предполагается сходимость limn→∞fn(x)=f(x) равномерно на каждом замкнутом интервале внутри носителя suppA. Предложены достаточные условия сходимости fn(A) в смысле сходимости последовательности множеств уровня [fn(A)]α по метрике Хаусдорфа dH([fn(A)]α,[f(A)]α): доказана сходимость limn→∞dH([fn(A)]α,[f(A)]α)=0 для каждого значения 0<α≤1 при условии непрерывности отображений fn(A) (n≥1) и f(x) без предположения о существовании производных. Также доказана сходимость последовательности fn(A) (n≥1) по метрике пространства нечетких чисел ρ(fn(A),f(A))=sup0<α≤1dH([fn(A)]α,[f(A)]α) при дополнительном условии равномерной на всем suppA сходимости последовательности fn(A); в этом случае для обеспечения конечности расстояния Хаусдорфа при всех 0<α≤1 нечеткое число A предполагается нормальным. Основним об’єктом розгляду є функціональні послідовності fn(A) з опуклим півнеперервним згори нечітким числом A як аргумент; припускається наявною збіжність limn→∞fn(x)=f(x) рівномірно на кожному замкненому інтервалі всередині носія suppA. Запропоновано достатні умови збіжності fn(A) у сенсі збіжності послідовності множин рівня [fn(A)]α за метрикою Хаусдорфа dH([fn(A)]α,[f(A)]α): доведено збіжність limn→∞dH([fn(A)]α,[f(A)]α)=0 для кожного значення 0<α≤1 за умови неперервності відображень fn(x) (n≥1) і f(x), без припущення про існування похідних. Також доведено збіжність послідовності fn(A) (n≥1) за метрикою простору нечітких чисел ρ(fn(A),f(A))=sup0<α≤1dH([fn(A)]α,[f(A)]α) за додаткової умови рівномірної на всьому suppA збіжності послідовності fn(A); у цьому випадку для забезпечення скінченності відстані Хаусдорфа для всіх 0<α≤1 нечітке число A вважається нормальним. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-10-07 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165701 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.3.12 System research and information technologies; No. 3 (2019); 126-140 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2019); 126-140 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2019); 126-140 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165701/184848 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | нечітке число множина рівня функціональна послідовність збіжність Spectorsky, Igor Ya. Функціональні послідовності з нечітким аргументом: збіжність множин рівня |
| title | Функціональні послідовності з нечітким аргументом: збіжність множин рівня |
| title_alt | Functional sequences with fuzzy argument: convergence of level sets Функциональные последовательности с нечетким аргументом: сходимость множеств уровня |
| title_full | Функціональні послідовності з нечітким аргументом: збіжність множин рівня |
| title_fullStr | Функціональні послідовності з нечітким аргументом: збіжність множин рівня |
| title_full_unstemmed | Функціональні послідовності з нечітким аргументом: збіжність множин рівня |
| title_short | Функціональні послідовності з нечітким аргументом: збіжність множин рівня |
| title_sort | функціональні послідовності з нечітким аргументом: збіжність множин рівня |
| topic | нечітке число множина рівня функціональна послідовність збіжність |
| topic_facet | fuzzy number level set functional sequence convergence нечеткое число множество уровня функциональная последовательность сходимость нечітке число множина рівня функціональна послідовність збіжність |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/165701 |
| work_keys_str_mv | AT spectorskyigorya functionalsequenceswithfuzzyargumentconvergenceoflevelsets AT spectorskyigorya funkcionalʹnyeposledovatelʹnostisnečetkimargumentomshodimostʹmnožestvurovnâ AT spectorskyigorya funkcíonalʹníposlídovnostíznečítkimargumentomzbížnístʹmnožinrívnâ |