Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування
The study of complex systems requires the use of various methods, which should provide useful information to ensure effective management. Using Q-analysis makes it possible to delve into the structure of the system and understand the complex relationship between its components. In the course of the...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/166276 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334361139904512 |
|---|---|
| author | Polutsyhanova, Viktoriia I. Smirnov, Sergey A. |
| author_facet | Polutsyhanova, Viktoriia I. Smirnov, Sergey A. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Viktoriia I. Polutsyhanova",
"institution": "Кафедра інформаційної безпеки Фізико-технічного інституту Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
},
{
"author": "Sergey A. Smirnov",
"institution": "Кафедра інформаційної безпеки Фізико-технічного інституту Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
}
] |
| author_sort | Polutsyhanova, Viktoriia I. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-13T15:15:18Z |
| description | The study of complex systems requires the use of various methods, which should provide useful information to ensure effective management. Using Q-analysis makes it possible to delve into the structure of the system and understand the complex relationship between its components. In the course of the study, concepts such as a structural tree, local maps, and the inheritance hierarchy were introduced, which make it possible to better understand the meaning of the system metrics obtained by Q-analysis. Then, on this basis, algorithms were developed to determine the basic metrics. They were applied to the banking system of Ukraine as of 2016. An interpretation of the results is proposed and their practical significance is described. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.3.07 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.І. Полуциганова, С.А. Смирнов, 2019
76 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3
УДК 519.715
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.3.07
МЕТОДОЛОГІЯ ПОБУДОВИ ОСНОВНИХ МЕТРИК
Q-АНАЛІЗУ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
В.І. ПОЛУЦИГАНОВА, С.А. СМИРНОВ
Анотація. Дослідження складних систем потребує застосування різноманітних
методів, які повинні надавати корисну інформацію для забезпечення ефектив-
ного управління. Використання Q-аналізу дає змогу поглибитись у структуру
системи та зрозуміти складний взаємозв’язок між її компонентами. У ході до-
слідження введено такі поняття, як структурне дерево, локальні карти та про-
цедура наслідування, які дозволяють краще усвідомити сенс метрик системи,
отриманих за допомогою Q-аналізу. На цій основі розроблено алгоритми для
визначення основних метрик і застосовано до банківської системи України
станом на 2016 р. Запропоновано інтерпретацію отриманих результатів та опи-
сано їх практичну значущість.
Ключові слова: система, структура, складність, Q-аналіз.
ВСТУП
Дослідження зв’язності та складності соціально-економічної системи необ-
хідно особі, яка приймає рішення, для вирішення завдань управління систе-
мою — вибору ефективних способів та агентів управління, оцінювання
умов, потрібних для реалізації управління, забезпечення трансформацій та
збереження цілосності системи. Слабозв’язана система допускає ефективне
селективне управління підсистемами. Це може мати як позитивні, так і нега-
тивні наслідки у разі недотримання принципу системності.
Різні концепції зв’язності відображають єдину тенденцію — виявлення
істотних, функціонально-значущих зв’язків у системі, порушення або зник-
нення яких повністю або частково змінюють можливості досягнення цілей,
виконання її місії, а також можливості функціонування.
У роботі для аналізу структури системи, її зв’язків як внутрішніх, так
і з зовнішнім середовищем пропонується використовувати поняття
q -зв’язності [1]. Система є зв’язною, якщо можливий обмін ресурсами між
будь-якими двома її підсистемами (передбачається, якщо i-а підсистема
впливає на yi підсистему, то і j-а підсистема впливає на yi ).
Методика аналізу q -зв’язності дозволяє оцінити структуру системи
більш глибоко, ніж на основі традиційного підходів теорії графів, оскільки
при цьому встановлюється наявність та структура цілої ієрархії зв’язків між
її підсистемами. На підставі нових можливостей пропонуються формалізо-
вані правила обґрунтування вибору цільових і керувальних агентів, визна-
чення та умови структурної стійкості системи. Системам ставляться у відпо-
відність спеціальні симплексійні комплекси, які визначаються завданням
базових симплексів, та структури їх зв’язків. Аналіз q -зв’язності системи
Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 77
також дозволяє запропонувати й обґрунтувати процедури її декомпозиції і
агрегування, виявляти підсистеми, які найбільше впливають на процеси
в системі й обирати окремих агентів, яких раціональніше використовувати
як впливові [2].
Симплексійний комплекс утворює багатозв’язну складну структуру
у багатовимірному просторі, саме ця структура є предметом дослідження
Q -аналізу
Розглянемо двi множини )(X та )(Y . Задамо бінарне вiдношення )(
мiж цими двома множинами елементiв як пiдмножину декартового добутку
)()(:)()( YXYX . Нехай )},(),...,(),{( )( 21 nYYYY ),(),{( )( 21 XXX
)}(, nX і множина )(Y пов’язана вiдношенням )( iз множиною )(X . Па-
ра )())(),(( ji XY та елемент множини )( iY перебуває у вiдношеннi )( до
)( kX , де 1)( ij у разi виконання певного критерію i 0)( ij у разi неви-
конання.
Таким чином, відношення між множинами елементів системи подаєть-
ся за допомогою матриці iнцидентностi )()(:)( ij , де
1{)( ik , якщо )())(),(( ikji XY ;
,0 якщо )())(),(( ikji XY }.
Відношення )( може породжувати симплексійний комплекс, що по-
значається через ))();)((( XKY . Симплексійний комплекс складається із
множини вершин )(X та множини симплексів )(Y , що утворені з підмно-
жини вершин, у яких кожна з них пов’язана з кожною відповідно до задано-
го бінарного відношення )( . Крім того, n -симплекс складається з 1n
вершин і його розмірність на одиницю менша за кількість вершин. Симп-
лексійний комплекс ))();)((( XKY утворений множиною симплексів )(Y ,
зв’язаних спільними гранями, тобто через спільні симплекси меншої
розмірності.
Із поняттям зв’язності тісно переплітається поняття складності сис-
теми.
Складність системи також створює проблеми аналізу довгих причинно-
наслідкових шляхів і циклів, а також складності управління. Складність мо-
делі також відображає тип невизначеності, який не піддається обробленню
імовірнісними методами.
Розглянемо поняття ланцюга зв’язку, який відображає той факт, що два
симплекси можуть i не мати спільної гранi, але можуть бути зв’язані за до-
помогою послідовності проміжних симплексiв. Поняття q -зв’язку можна
визначити таким чином.
Вважається, що задана пара симплексів )()(),( Krp зв’язана у лан-
цюг, коли існує скінченна послідовність симплексiв )(),...,(),( 21 ahaa та-
ка, що )( 1a — грань симплексу )( p ; )( 2a — грань симплексу )( r ; )( 1a
та )( ah — з’єднанні спільною гранню, наприклад )( bi , для
)1(,...,1)( hbii .
В.І. Полуциганова, С.А. Смирнов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 78
Будемо вважати, що цей ланцюг зв’язку є q -зв’язком між його кінця-
ми, якщо q є найменшим із цілих чисел )}(),(, . . . ),(),(),{( 1211 hh abbba . Таким
чином, відповідний ланцюг є класом еквівалентності бінарного відношення
q - зв’язності між симплексами комплексу.
Зокрема, якщо два симплекси мають )(q +1 спiльнi вершини (спільні
q -вимірні симплекси), то вони є q -зв’язними. Алгоритм знаходження зна-
чень )(q для спільних граней усiх пар симплексiв у )(K та алгоритм отри-
мання значень )( qQ
використовує матрицю iнцидентностi )( , що визначає
)(K [3].
Вивчення структурно складних систем потребує дослідження як на
глобальному рівні з позицій структури як єдиного цілого, так і на локальних
рівнях з позицій окремих підсистем, їх зв’язків та елементів. Різні концепції
складності і зв’язності систем відображають єдину тенденцію — виявлення
істотних, функціонально-значущих зв’язків системи, порушення або виник-
нення яких змінює істотно або частково можливості досягнення поставле-
них перед системою цілей, можливості виконання її місії або просто функ-
ціональні можливості. Для вирішення завдань аналізу зв’язності систем
корисно застосовувати апарат алгебричної (комбінаторної) топології, що
дозволяє аналізувати структуру системи як складний багатовимірний геомет-
ричний об’єкт — симплексійний комплекс, та використовувати інструмент
симплексійного аналізу зв’язності [1].
Як відомо, у симплексійному аналізі система розглядається у вигляді
відношень елементів множин — набору вершин )(V , і заданої сім’ї непорож-
ніх підмножин множини цих вершин-симплексів. Структура системи є про-
образом для геометричного і алгебричного її подання як симплексійного
комплексу )(K , утвореного множиною вершин і відповідних їм симплексів.
Для їх побудови може бути використана структура системи, заданої
у вигляді когнітивної карти. Тобто будь-які відношення в системі подаються
таким чином, що набір елементів, пов’язаних з конкретним елементом,
трактується як симплекс, геометрична розмірність якого визначається кіль-
кістю дуг, що з’єднують вершини в симплексі через змінну. Симплекси мо-
жуть визначатися як по рядках )(X , так і по стовпцях )(Y матриці інцидент-
ності графу, тому відповідно можуть бути побудовані два комплекси. Таким
чином, симплексійний комплекс формується шляхом розбиття деякого прос-
тору, заданого, наприклад, графом G на підмножини, що перетинаються.
Оскільки симплексійний комплекс — це сім’я симплексів, з’єднаних за до-
помогою загальних граней (зокрема, загальною вершиною — точкою), то
характеристикою зв’язності може слугувати розмірність перетину, підсимп-
лексу, що належить обом симплексам. Комплекс існує як ціле, тому для гло-
балізації аналізу зв’язності використовується поняття «ланцюг зв’язку»
q-зв’язності (ланцюг зв’язку відображає можливість того, що два симплекси,
безпосередньо не маючи загальної частини, можуть бути зв’язані за допомо-
гою послідовності проміжних симплексів, що мають перетин). На основі
можливостей симплексійного аналізу пропонуються формалізовані правила
обґрунтування вибору цільових і керувальних вершин, визначення стійкості
систем, якi характеризуються тими чи іншими симплексійними комплек-
сами, та умови структурної стійкості систем [4].
Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 79
Відзначимо, що використання симплексійного аналізу можливе за мі-
німальною апріорною інформацією про досліджувані об’єкти і явища [5].
ПЕРЕВАГИ ТА ОБМЕЖЕННЯ Q-АНАЛІЗУ
Q-аналіз є математичною мовою, а не статистичною технікою, і не
пов’язаний з теорією ймовірностей. Це дає Q-аналізу потужну описову пе-
ревагу для вирішення практичних завдань, для яких статистичні методи є
недоречними або їх немає взагалі. У будь-якому випадку Q-аналіз не вклю-
чає статистичного оброблення, але Аткін [6] окреслив обставини, за яких
мову теорії ймовірності можна застосувати.
Q-аналіз покладається на однозначне визначення наборів симплексів і
використання відношень між ними. Це дозволяє цій мові бути досить «дру-
жньою» до вихідних даних. Недостатня увага до понять, таких як теорія,
гіпотеза чи модель у Q-аналізі, обумовлює важливість коректного форму-
вання даних.
Одне із цікавих застосувань Q-аналізу знайдено у багатокритеріальних
задачах прийняття рішень; відповідний метод називається багатокритеріа-
льним Q-аналізом [7]. У відповідних працях також обговорюються переваги
та обмеження Q-аналізу, а також пропозиції щодо його інших перспектив-
них застосувань.
Можливі такі недоліки існуючої версії Q-аналізу:
1. Отримуються лише якісні показники та метрики відношень, на від-
міну від статистичного аналізу, але не вимагаються однотипні реплікації
наборів даних, як у статистичному аналізі.
2. Математична теорія Q-аналізу не є простою, однак глибоке розумін-
ня цієї теорії не дає суттєвих переваг для її застосування та правильної ін-
терпретації результатів.
3. Існує багато показників, які можуть бути використані, тому мають
бути прийнятні метрики для подальшого порівняння результатів.
4. Прикладна інтерпретація результатів не завжди проста.
Основні переваги використання Q-аналізу:
1. Простий для застосування метод потребує лише арифметичних типів
обчислень.
2. Гнучкий та масштабований, тобто не виникає проблем у разі зміни
розмірності q-рівнів або визначень предметних асоціацій.
3. Забезпечує визначення як прямих, так і опосередкованих показників
(наприклад, таких як рівні q-зв’язків, ексцентриситет, класи еквівалентності
відношень зв’язків, елементи структурного вектора).
4. Може бути використаний у методах багатокритеріального прийняття
рішень, а також для вирішення багатьох інших проблем, пов’язаних з дина-
мічним аналізом структури зв’язків.
ПРОБЛЕМАТИКА
Існуюча методологія використання Q-аналізу орієнтована на розрахунки
вручну, тобто обчислення без використання комп’ютерів. Це зумовлено тим,
В.І. Полуциганова, С.А. Смирнов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 80
що більшість задач, для яких застосовувався цей метод, мали досить малий
розмір — елементів та зв’язків не багато. Але сучасні системи, що дослі-
джуються, мають тисячі та десятки тисяч елементів і ще більше зв’язків.
Тому подібні обчислення стають проблематичними, а матриці інцидентності
візуально неосяжними. Застосовувати метод Q-аналізу без автоматизації
майже нереально і не має сенсу, оскільки обчислювати доведеться роками.
У праці [8] наведено деякі обчислення метрик для аналізу, які можуть бути
автоматизовані, їх доповнення, а також визначено нові алгоритми для засто-
сування Q-аналізу для великих (понад 1000 елементів) систем.
ПОБУДОВА СИМПЛЕКСІЙНОГО КОМПЛЕКСУ СКЛАДНОЇ СИСТЕМИ
Сьогодні не підлягає сумніву, що будь-яка система може в тому чи іншому
вигляді описуватися за допомогою елементів та зв’язків між ними. Але якщо
елементи мають відношення високих порядків, наприклад, три елементи
мають не тільки взаємозв’язок між собою попарно, але є неподільним еле-
ментом системи, тоді такий зв’язок асоціюється з площиною трикутника.
Такі типи відношень важко описати за допомогою теорії графів (пристосо-
ваної суто до бінарних відношень), тому доцільно використовувати сиплек-
сійні комплекси.
Алгоритми знаходження значень q-зв’язності для спільних граней усіх
пар симплексів у комплексі та обчислення кількості класів еквівалентності
)( qQ використовує матрицю інцидентності )( , що визначає комплекс )(K .
Очевидно, що якщо множини )(Y і )(X мають )(m і )(n елементів
відповідно, то матриця )( є матрицею розміром )()( nm , що складається
з нулів та одиниць. Добуток матриць ))(( T формує число, яке стоїть на
місці (i, j) і є скалярним добутком рядків )(i та )( j у матриці )( . Воно до-
рівнює числу одиниць, що стоять на одних і тих самих місцях у рядках )(i
та )( j матриці )( і формують їх перетин, і відповідає значенню )1( q , де
)(q — розмірність спільної грані симплексів )(),( rp , заданих рядками
)(i та )( j .
Таким чином, суть запропонованого алгоритму така. Для знаходження
q-спільних граней усіх пар Y-симплексів у ))();)((( XKY необхідно обчис-
лити:
матрицю ))(( T розміром )()( mm ;
різницю )())(( T , де )( — матриця, що складається з одиниць.
Цілі числа на діагоналі отриманої матриці є розмірностями симплек-
сів )(Y .
Поняття q-зв’язності симплексів є відношенням еквівалентності. Тому
задача аналізу глобальної структури зв’язності комплексу )(K зводиться до
дослідження класів еквівалентності щодо q-зв’язності. Для кожного значен-
ня зв’язності )dim(,...,1,0)( Kq можна знайти відповідну кількість класів
еквівалентності )( qQ .
Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 81
Опишемо знаходження конкретних симплексів у кожному класі еквіва-
лентності. Для цього будуються матриці )( kA q-зв’язків nk ,0)( , де )(n —
кількість класів еквівалентності. Алгоритм виглядає так: для всіх )(k :
,1){()( ij
k aA якщо )()( kij ; інакше - }0)( ija .
Алгоритм знаходження симплексів для кожної матриці )( kA :
1) обираємо )( 11
ka , знаходимо всі недіагональні елементи рядка 1;
2) додаємо їх до симплексу з позначкою рівня зв’язку;
3) переходимо до тих рядків, для яких номер збігається з )( j першого
рядка;
4) для кожного рядка, якщо існують такі ненульові елементи, для яких
)()( ij , то додаємо їх до симплексу і переходимо до рядків п.2;
5) після проходження всієї матриці видаляємо стовпці та рядки тих
елементів, які були додані до поточного симплексу;
6) продовжуємо алгоритм спочатку, поки матриця не виродиться;
7) усі ітерації повторюємо для кожної матриці )( kA .
ПОБУДОВА СТРУКТУРНОГО ВЕКТОРА
Якщо комплекс )(K має розмірність n, для кожного значення nq ,...,1,0)(
можна визначити кількість різних класів еквівалентності q-зв’язності )( qQ і
побудувати структурний вектор зв’язності комплексу ),(),(()( 1 nn QQQ
))(),(, 01 QQ , де )()( )dim(Kn QQ .
Вище визначалися симплекси, що утворюють ланцюги для кожного
рівня q-зв’язку. Щоб визначити структурний вектор, потрібно підрахувати
кількість ланцюгів симплексів на кожному рівні q-зв’язності. Для цього не-
обхідно побудувати транзитивне замикання для відношення безпосередньо-
го прилягання симплексів.
Транзитивним замиканням відношення )(R називається бінарне відно-
шення )( 'R таке, що ))()(( ' yRx тоді і тільки тоді, коли існує такий ланцю-
жок елементів з )(X :
)()(),...,(),(),()( 210 yzzzxz n , що між сусідами в цьому ланцюжку
виконано відношення )(R :
))()((),...,)()((),)()(( 12110 nn zRzzRzzRz .
Для обчислення транзитивного замикання можна використати алгоритм
Уоршалла [9]. Виходом алгоритму є матриця транзитивного замикання ви-
хідних матриць, з яких можна визначити ланцюги симплексів на кожному
рівні q-зв’язку. Псевдокод алгоритму такий.
Вхід: відношення, задане матрицею )(R .
Вихід: транзитивне замикання відношення, задане матрицею )(T .
В.І. Полуциганова, С.А. Смирнов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 82
RS :
for i from 1 to n do
for j from 1 to n do
for k from 1 to n do
],[&],[],[:],[ kiSijSVkjSkjT
end for
end for
TS :
end for
Підрахувавши кількість ланцюгів, отримуємо структурний вектор ком-
плексу як характеристику структури системи.
ПОШУК НАЩАДКІВ
Поняття «нащадки» та «наслідування» вводимо для того, щоб відзначити
механізм розпаду класів еквівалентності, який є головним для формування
ланцюгів вищої зв’язності. Оскільки )1( q -зв’язок є частковим випадком
q-зв’язку, між відповідними класами еквівалентності виникає відношення
наслідування. Чим більша кількість нащадків ланцюга, тим більше значення
відповідного числа у структурному векторі. Його значення є сумою чисел
усіх нащадків усіх ланцюгів на одиницю меншої зв’язності.
Для побудови таблиці нащадків на кожному рівні використовуємо мат-
риці q-зв’язку. Починаючи з рівня 1)( k побудовані на кожній ітерації лан-
цюги є нащадками того ланцюга, який їх породив. Після цієї процедури під-
раховуємо кількість ланцюгів на кожному рівні зв’язності.
Формальне подання процедури:
1. Для всіх )(,0)( mi , де )(m — розмірність матриці зв’язку і для всіх
)(,0)( nk , де )(n — розмірність структурного вектора.
2. Вибираємо перший елемент матриці )( iit і знаходимо симплексійний
ланцюг, у який він входить.
3. Відмічаємо лічильником )(,0)( dj , де )(d — значення структурно-
го вектора на кожному рівні, кожний елемент ланцюга.
4. Операцію проводимо для всіх ланцюгів сиплексійного комплексу.
5. Переходимо до матриці 1)()( kk .
6. Переносимо відмітки з попередньої матриці.
7. Починаємо алгоритм з п. 2.
Наприкінці маємо матрицю )( kB , елементами якої є вектори. Кожен
елемент позначає симплекс, до якого належить елемент. Видаливши всі по-
вторювальні вектори та підрахувавши кількість елементів у них, визначаємо
кількість нащадків кожного ланцюга симплексійного комплексу. Отриманий
Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 83
вектор, що складається з векторів маркування, дає змогу побудувати струк-
турне дерево симплексійного комплексу.
ПОБУДОВА СТРУКТУРНОГО ДЕРЕВА
Вважається, що результатом Q-аналізу є отримання структурного вектора
зв’язності. Він надає інформацію про те, наскільки цілісною чи фрагменто-
ваною є система на тому чи іншому рівні зв’язності, проте ніяк не ілюструє
повну картину структури системи на кожному такому рівні.
Одним зі зручних інструментів для візуалізації структури є її подання
у вигляді дерева. Для зручності називатимемо таке дерево Q-деревом. Струк-
турне дерево визначається з ланцюгів симплексів на кожному рівні
q-зв’язності (вершини) і відповідає структурі наслідування між ними (дуги).
Побудуємо алгоритм його формування. Діагональні елементи )( iia відобра-
жають розмірність i-го симплексу. Повну кількість симплексів, які входять
до комплексу, позначимо як )(n .
1. Формуємо корінь дерева, який означає зв’язність симплесійного
комплексу на рівні 1)( q і відповідає комплексу в цілому.
2. Будуємо вузли-нащадки )(),...,( 1 mqq для рівня зв’язності 0)( q . Чис-
ло m відповідає кількості незв’язних компонент на даному рівні зв’язності:
a) формуємо вузол-нащадок )( 1q , аналізуючи симплекси, які входять до
цього вузла. Автоматично до нього входить симплекс )( p , де
)}(){(min)( qap iii . Далі розглядаємо всі інші симплекси, розмірність
яких не менше ніж :)(qq )(,),(),( 21 tppp , де )()()( pnt . Якщо
розглянутий симплекс зв’язаний із симплексом )( p (або з будь-яким ін-
шим, що вже ввійшли до складу вузла )( 1q ) на даному рівні зв’язності )(q q
(тобто )( pa , )()()( qjp , то включаємо симплекс )( jp до вузла )( 1q ;
б) якщо серед симплексів, розмірність яких не менша ніж q , залиши-
лись такі, що не ввійшли до складу вузла-нащадка )( 1q , формуємо вузол-
нащадок )( 2q , записуючи до нього один із симплексів з тих, що залишились
(позначимо як )( k ), і приєднуючи до нього інші симплекси, які зв’язані
з )( k на рівні зв’язності 0)( q
в) продовжуємо виділяти вузли-нащадки , доки не включимо до
складу різних вузлів усі симплекси, які мають розмірність не меншу за 1)( q ;
г) якщо вузол )( 1q складається лише з одного симплексу розмірності
)(q , то вважаємо даний вузол листковим елементом дерева.
3. Продовжуємо аналогічно будувати вузли-нащадки )(),...,( 1 mqq для
рівнів зв’язності 0)( q , виконуючи пункти a) і б) із кроку 2. Кожен вузол-
нащадок формуємо винятково із симплексів, які входили до складу батьків-
ського вузла.
4. Закінчуємо алгоритм, коли кожний вузол-нащадок набув статусу
листкового елемента дерева.
В.І. Полуциганова, С.А. Смирнов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 84
Зауважимо, що кількість вузлів на кожному рівні зв’язності дорівнює
відповідній компоненті структурного вектора зв’язності.
Отже, побудувавши Q-дерево, можемо бачити не тільки те, на скільки
окремих частин ділиться система на кожному рівні зв’язності, а й те, на які
саме компоненти розділяються ланцюги на наступному рівні та на якому
рівні зв’язності розглядуваний симплекс перестає бути помітним для спо-
стерігача.
ПОБУДОВА ЛОКАЛЬНИХ КАРТ
Структурне дерево містить значно більше інформації ніж структурний век-
тор, але інформація про характер «склеювання» нащадків у ланцюзі, що по-
роджує їх, усе ще не знайшла відображення. Саме для цього і пропонуються
локальні карти.
Нехай маємо вхідні дані про систему, подані у формі симетричної мат-
риці )(A , елементи якої вказують на зв’язки безпосереднього прилягання
між парами симплексів. Якщо елемент )0)((),()( ccaii , то це означає, що
пара симплексів )( i і )( j має 1)( c спільних вершин, тобто зв’язана
с-вимірним симплексом. Отже, можна записати, що її розмірність приляган-
ня )()( cq . Якщо елемент 0)( ija , то пара симплексів )( i і )( j має од-
ну спільну вершину і є 0-прилеглою. Якщо елемент 1)( ija , то пара симп-
лексів )( i і )( j не має прилягання взагалі. Діагональні елементи )( iia
відображають розмірність i-го симплексу (розмірність самозв’язності).
Побудова локальних карт зв’язків для кожного рівня зв’язності )(q дає
змогу наочно бачити та досліджувати, які саме симплекси є суміжними
(прилеглими) на конкретному розглядуваному рівні )(q . Локальна карта
надає інформацію як про суміжність симплексів, так і про зв’язність — пара
симплексів є зв’язною, якщо між відповідними вершинами графу існує
шлях.
Будуємо локальні карти, або Q-графи, використовуючи такий алгоритм:
1. Будуємо локальну карту для рівня зв’язності )()( kq . Формуємо
вершини Q-графу з усіх симплексів, розмірність яких не менша ніж )(k .
2. Формуємо ребра Q-графу. Послідовно аналізуємо кожну пару симп-
лексів, які ввійшли до складу вершин графу, і якщо для пари симплексів
)( i і )( j елемент матриці вхідних даних )()( kaii , то два симплекси
)( i і )( j зв’язані ребром.
3. Проаналізувавши всі можливі пари, переходимо до наступного рівня
зв’язності )(q , тобто повертаємось до п.1, беручи значення 1)()( kq .
Побудувавши локальні карти для всіх наявних рівнів зв’язності, закін-
чуємо алгоритм.
Подання суміжності/прилягання симплексів у вигляді локальних карт
дає змогу візуально побачити структуру зв’язків компонент системи, чи є
вони суміжними, просто зв’язаними, чи незалежними. Крім того, локальні
карти показують, як саме та на скільки окремих компонентів розпалася
структура системи на розглядуваному рівні зв’язності )(q .
Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 85
ПРИКЛАД РОБОТИ Q-АНАЛІЗУ НА ОСНОВІ БАНКІВСЬКОЇ СИСТЕМИ
Натепер на території України функціонує велика кількість банків. Кожний
з них є акціонерною установою, тому має перелік власників. Повний список
власників перевищує 1000 фізичних та юридичних осіб, тому за такими да-
ними важко оцінити як пов’язані між собою співвласники та чи існують такі
власники, які є акціонерами одразу декількох банків. Протягом досліджен-
ня [10] виявлено зв’язки між акціонерами та банками, а також взаємозв’язки
між власниками. Дослідження виконувалось у двох напрямах: взаємозв’язок
банків та юридичних осіб; зв’язок банків та всіх власників, тобто фізичних
та юридичних осіб.
ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК БАНКІВ ТА ЮРИДИЧНИХ ОСІБ
Для випадку такого взаємозв’язку побудований симплеціальний комплекс
виглядає як показано на рис. 1. Оскільки структура система досить розрі-
джена, комплекс виглядає як набір під графів, при цьому кожний з них має
розмірність )()( ln і зв’язність 0)( q .
У ході q-аналізу визначено структурний вектор, значення структурного
вектора в табл. 1. Рядок )(q відповідає рівню зв’язку, а )(N — кількості ла-
нцюгів на кожному з них.
Т а б л и ц я 1 . Значення структурного вектора для системи «банки–
юридичні особи»
q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
N 464 204 134 99 84 75 67 63 57 54 48 43 39 38 36 36 34 34 33 33 30
q 22 23 24 25 26 27 28 29 30
N 20 16 14 14 10 6 5 5 1
Зі значень структурного вектора видно, що більшість складових мають
просту структуру і не мають складних зв’язків, але приблизно третина з них
Рис. 1. Сиплексійний комплекс для структури взаємозв’язків банків та юридичних
осіб
В.І. Полуциганова, С.А. Смирнов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 86
мають зв’язки високих порядків, що, у свою чергу, є індикатором того, що
деякі юридичні особи є співвласниками декількох банків, а тому можуть
впливати на банківську систему в цілому.
Наведемо значення цікавої метрики — показника, що вказує наскільки
симплекси «міцно вбудовані» в комплекс на основі відношення власної роз-
мірності до розмірності зв’язків (рис. 2). Позначимо через )ˆ(q власну розмір-
ність симплексу, а через )(q
— максимальну розмірність зв’язку з іншими
симплексами. На діаграмі зображено «заселеність» того чи іншого рівня
співвідношення.
Із діаграми видно, що найбільше в комплексі не зв’язаних симплексів
з q-зв’язністю, що дорівнює 1. Але є симплекси з власною великою розмір-
ністю та потужною зв’язністю з іншими сиплексами, а це означає, що деякі
установи мають мало не монопольний вплив у певній підструктурі бан-
ківської системи, що, у свою чергу, може негативно впливати на економіку
в цілому.
ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК БАНКІВ ТА ВСІХ АКЦІОНЕРІВ
Для цього випадку сиплексійний комплекс, зображений на рис. 3, схожий на
комплекс на рис. 1, але його структура менш розріджена, тому поодиноких
симплексів малої розмірності набагато менше.
q
q̂
Рис. 2. Співвідношення власної розмірності симплексу до розмірності зв’язку
в симплексійному комплексі для системи «банки–юридичні особи»
Рис. 3. Симплексійний комплекс для системи «банки–власники»
Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 3 87
Визначені значення структурного вектора наведено в табл. 2.
Таблиця 2. Значення структурного вектора для системи «банки – власники»
q 0 1 2 3 4 5 6 7 8
N 195 48 20 6 4 1 1 1 1
На відміну від першого випадку видно, що структура всіх акціонерів
банків дуже спрощена, що і має бути в такій галузі, як банківська система.
Більшість симплексів мають розмірність 0)( q , а отже, не впливають один
на одного.
Аналогічний зв’язок між власною розмірністю та розмірністю зв’язків
показано на рис. 4.
Із діаграми видно, що найбільше в комплексі не зв’язаних симплексів
з q-зв’язністю, що дорівнює 1. Кількість елементів з великою власною
розмірністю та потужною розмірністю взаємозв’язків набагато менша ніж в
першого випадку. Це означає, що система «банки–акціонери» є сла-
бозв’язною, що в цілому є позитивним явищем.
ВИСНОВКИ
Методи Q-аналізу дозволяють дослідити структуру складної системи та ви-
значити зв’язки високих порядків, які складно відобразити та побачити без-
посередньо за допомогою теорії графів. На основі результатів q-аналізу ви-
никає можливість ставити завдання з боку керувальних органів щодо
планування ресурсного забезпечення підсистем, підкріплення або послаб-
лення тих чи інших зв’язків у складній системі для покращення її функціо-
нування.
У ході роботи визначено основні поняття, які відображають структуру
багатовимірних зв’язків між підсистемами складної системи — суміжність,
зв’язність, наслідування, структурне дерево та локальні карти відповідного
симплексійного комплексу. Установлено зв’язки та залежності між ними,
що визначає концептуальну базу методології побудови алгоритмічного за-
безпечення основних задач Q-аналізу.
На цій основі розроблено методики, що дозволяють аналізувати не ли-
ше загальну структуру самої системи, а й характер зв’язків між її підсисте-
мами. До переваг слід віднести можливість їх використання для систем
будь-якого масштабу, тобто які мають велику кількість підсистем, а їх взає-
Рис. 4. Співвідношення власної розмірності симплексу до розмірності зв’язку
у симплексійному комплексі для системи «банки–власники»
q
q̂
В.І. Полуциганова, С.А. Смирнов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 3 88
мозв’язки багатокомпонентні та неочевидні з першого погляду. Викори-
стання даних алгоритмів дозволяє автоматизувати процес визначення
ланцюгів симплексів, структурного вектора, пошуку структурного дерева,
локальних карт та інших структурних характеристик системи.
Розроблені алгоритми застосовано до банківської системи України.
У результаті дослідження відзначено задовільну структуру системи. Утім
існують підсистеми зі складною структурою зв’язків із системою, що дає
підґрунтя для їх подальшої більш глибокої перевірки на наявність монополі-
стичних схем та порушень.
Підкреслено важливість та перспективність використання методів
Q-аналізу та алгоритмів обчислення відповідних метрик, розроблених на їх
основі, для структурного аналізу складних систем.
ЛІТЕРАТУРА
1. Atkin R.H. Combinatorial Connectivies in Social Systems. An Application of Sim-
plicial Complex Structures to the Study of Large Organisations, Interdisciplinary
Systems Research / R.H. Atkin. — 1997.
2. Берёза О.А. Сипмплициальний анализ когнитивных карт социально-
экономических систем / О.А. Берёза // Информационные технологии
в управлении. — 2011. — № 11. — С. 151–161.
3. R. Beaumont J. An introduction to Q-analysis / R. Beaumont J., C. Gatrell A. —
1982. — 134 p.
4. Maletiс S.V. Simplicial complexes and complex networks: the influence of higher-
order (sub)structures on network properties: дис… доктора техн. наук /
S.V. Maletiс. — Beograd, 2013. — 65 с.
5. Avdeeva Z. Cognitive Approach in Simulation and Control / Z. Avdeeva, S. Kovriga
// Plenary papers, Milestone reports & Selected survey papers. 17th IFAC World
Congress, Seoul, Korea, July 2008. — P. 160–167.
6. Atkin R.H. Mathematical structure in human affairs / R.H. Atkin. — London:
Heinemann Educational Books, 1973. — 143 с.
7. Duckstein L. Q-analysis for modeling and decision making / L. Duckstein,
S.A. Nobe // European Journal of Operational Research. — 1997. — N 103(3).
— P. 411–425.
8. Медведенко В.І. Використання алгоритмiв q-аналiзу на прикладi банкiвської
системи / В.І. Медведенко, С.А. Смирнов. — К.: ВПI ВПК «Полiтехнiка»,
2018. — № 156. — С. 33–36.
9. Floyd–Warshall algorithm // Wikipedia. — Available at: https://en.wikipedia.org/
wiki/Floyd%E2%80%93 Warshall_algorithm – 20.04.2018.
10. Медведенко В.І. Використання q-аналiзу для дослiдження зв’язкiв
у банкiвських системах / В.І. Медведенко, С.А. Смирнов. — Київ: ВПI ВПК
«Полiтехнiка», 2017. — № 15. — С. 44–46.
Надійшла 20.09.2019
|
| id | journaliasakpiua-article-166276 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:03Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/8c/fab87633f2732e438f93bbc72dd4db8c.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1662762019-12-13T15:15:18Z Methodology for building the basic metrics of Q-analysis and their application Методология построения основных метрик Q-анализа и их применения Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування Polutsyhanova, Viktoriia I. Smirnov, Sergey A. system structure complexity Q-analysis система структура сложность Q-анализ система структура складність Q-аналіз The study of complex systems requires the use of various methods, which should provide useful information to ensure effective management. Using Q-analysis makes it possible to delve into the structure of the system and understand the complex relationship between its components. In the course of the study, concepts such as a structural tree, local maps, and the inheritance hierarchy were introduced, which make it possible to better understand the meaning of the system metrics obtained by Q-analysis. Then, on this basis, algorithms were developed to determine the basic metrics. They were applied to the banking system of Ukraine as of 2016. An interpretation of the results is proposed and their practical significance is described. Исследование сложных систем требует использования различных методов, которые должны предоставлять полезную информацию для обеспечения эффективного управления. Использование Q-анализа дает возможность углубиться в структуру системы и понять сложную взаимосвязь между её компонентами. В ходе исследования введено такие понятия, как структурное дерево, локальные карты и иерархия наследования, которые позволяют лучше осознать смысл метрик системы, полученных с помощью Q-анализа. На этой основе разработаны алгоритмы для определения основных метрик и применены к банковской системе Украины по состоянию на 2016 г. Предложена интерпретация полученных результатов и описано их практическое значение. Дослідження складних систем потребує застосування різноманітних методів, які повинні надавати корисну інформацію для забезпечення ефективного управління. Використання Q-аналізу дає змогу поглибитись у структуру системи та зрозуміти складний взаємозв’язок між її компонентами. У ході дослідження введено такі поняття, як структурне дерево, локальні карти та процедура наслідування, які дозволяють краще усвідомити сенс метрик системи, отриманих за допомогою Q-аналізу. На цій основі розроблено алгоритми для визначення основних метрик і застосовано до банківської системи України станом на 2016 р. Запропоновано інтерпретацію отриманих результатів та описано їх практичну значущість. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-10-07 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/166276 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.3.07 System research and information technologies; No. 3 (2019); 76-88 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2019); 76-88 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2019); 76-88 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/166276/183693 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | система структура складність Q-аналіз Polutsyhanova, Viktoriia I. Smirnov, Sergey A. Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування |
| title | Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування |
| title_alt | Methodology for building the basic metrics of Q-analysis and their application Методология построения основных метрик Q-анализа и их применения |
| title_full | Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування |
| title_fullStr | Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування |
| title_full_unstemmed | Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування |
| title_short | Методологія побудови основних метрик Q-аналізу та їх застосування |
| title_sort | методологія побудови основних метрик q-аналізу та їх застосування |
| topic | система структура складність Q-аналіз |
| topic_facet | system structure complexity Q-analysis система структура сложность Q-анализ система структура складність Q-аналіз |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/166276 |
| work_keys_str_mv | AT polutsyhanovaviktoriiai methodologyforbuildingthebasicmetricsofqanalysisandtheirapplication AT smirnovsergeya methodologyforbuildingthebasicmetricsofqanalysisandtheirapplication AT polutsyhanovaviktoriiai metodologiâpostroeniâosnovnyhmetrikqanalizaiihprimeneniâ AT smirnovsergeya metodologiâpostroeniâosnovnyhmetrikqanalizaiihprimeneniâ AT polutsyhanovaviktoriiai metodologíâpobudoviosnovnihmetrikqanalízutaíhzastosuvannâ AT smirnovsergeya metodologíâpobudoviosnovnihmetrikqanalízutaíhzastosuvannâ |