Прогнозування динамічних процесів на основі математичних моделей часових рядів із різнотемповою дискретизацією
Theoretical propositions concerning multirate system design for prognostication of dynamic coordinates of one- and multidimensional processes under discretization of input disturbances with small periods of sampling and output coordinates with large periods of sampling are considered. Dynamics of st...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171069 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334363182530560 |
|---|---|
| author | Romanenko, V. D. |
| author_facet | Romanenko, V. D. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. D. Romanenko",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Romanenko, V. D. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-06-24T12:52:05Z |
| description | Theoretical propositions concerning multirate system design for prognostication of dynamic coordinates of one- and multidimensional processes under discretization of input disturbances with small periods of sampling and output coordinates with large periods of sampling are considered. Dynamics of stationary processes is represented by autoregression and sliding mean models and those of nonstationary ones by autoregression and integrated sliding mean models with multirate discretization. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Д. Романенко, 2005
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 23
УДК 62-50
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА
ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ
РЯДОВ С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ
В.Д. РОМАНЕНКО
Рассмотрены теоретические положения проектирования разнотемповых сис-
тем прогнозирования динамических координат одномерных и многомерных
процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами
квантования и выходных координат с большими. Динамика стационарных
процессов представлена моделями авторегрессии и скользящего среднего
(АРСС), а нестационарных процессов — моделями авторегрессии и интегри-
рованного скользящего среднего (АРИСС) с разнотемповой дискретизацией.
ВВЕДЕНИЕ
На основе многочисленных публикаций формируется теория дискретных
разнотемповых систем (РС) фильтрации, прогнозирования и управления.
Динамические процессы, входящие в состав РС, характеризуются:
• разномасштабностью скоростей изменения групп взаимосвязанных
переменных;
• наличием дискретных измерений отдельных координат динамиче-
ского процесса с различными периодами квантования;
• взаимосвязанностью координат, которые изменяются с разными
скоростями;
• неполнотой информации о скоростях изменения отдельных коорди-
нат при различных условиях и режимах функционирования процессов и
систем.
В данной статье рассматриваются динамические процессы, в которых
выходные координаты можно измерить только в дискретные моменты вре-
мени с увеличенными периодами квантования по сравнению с малыми пе-
риодами при дискретизации входных возмущающих воздействий. К указан-
ным процессам можно отнести финансово- и социально-экономические
процессы, где выходные координаты измеряются в дискретные моменты с
периодами квантования, равными декаде, месяцу, кварталу, полугодию или
году. Периоды квантования фиксируемых входных возмущений соответст-
венно равняются одним суткам, неделе или месяцу. В таком случае для опи-
сания динамики этих процессов в дискретном времени необходимо приме-
нять математические модели с разнотемповой дискретизацией координат.
В литературе описано много методов прогнозирования на основе ис-
пользования временных рядов с однотемповой дискретизацией. Система-
тизация этих методов выполнена в работе [1], однако приведенные в ней
методы не подходят для прогнозирования процессов с разнотемповой дис-
кретизацией координат.
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 24
В работах [3, 4] описан метод прогнозирования выходной координаты
модели АРСС с однотемповой дискретизацией и использованием дио-
фантовых уравнений при синтезе цифровых регуляторов в технических сис-
темах. Данный метод не применяется для прогнозирования финансово-
экономических процессов из-за неоднозначности решения диофантовых
уравнений.
Цель настоящей статьи — разработка методики прогнозирования ста-
ционарных и нестационарных временных рядов с дискретизацией выходных
координат с увеличенными периодами квантования и входных координат с
малым базовым периодом квантования.
I. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ АВТОРЕГРЕССИИ И СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО
С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ
1. Разработка разнотемповой модели АРСС
Исходная однотемповая модель АРСС (1, bn ) имеет вид
δξα +++++=+ −−−− )()...1()()1( 0
2
2
1
10
1
1 kTzbzbzbkTyz b
b
n
n , (1)
где { })( 0kTξ — последовательность возмущений в виде дискретного белого
шума с нулевым средним. Параметр δ определяет уровень процесса. Выбе-
рем увеличенный период квантования h для дискретизации выходной коор-
динаты, который определяется соотношением
0mTh = , (2)
где 0T — базовый период квантования, а m — целое число, большее еди-
ницы.
Рассмотрим рекуррентную процедуру преобразования исходной моде-
ли (1) в разнотемповую при дискретизации выходной координаты y с пе-
риодом квантования h . Для этого исходную модель (1) представим в разно-
стной форме
...])2[(])1[()(])1[()( 02010010 +−+−++−−= TkbTkbkTTkykTy ξξξα
δξ +−+ ])[(... 0Tnkb bnb
;
а) при 1=k получим
δξξα +++−= )0()1()0()1( 010010 TbTTyTy ;
б) при 2=k после учета предыдущего шага
=++++−= δξξξα )0()1()2()1()2( 02010010 TbTbTTyTy
δαξαξαξα )1()0()()1()()2()0( 1011201100
2
1 −+−+−++= TbbTbTTy ;
Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 25
в) при 3=k после учета предыдущего шага при условии 3≥bn
=+++++−= δξξξξα )0()2()2()3()2()3( 0302010010 TbTbTbTTyTy
×+−+−++−= )()2()()3()0( 211
2
101100
3
1 bbTbTTy ααξαξα
δααξααξ )]1(1[)0()()1( 1103211
2
10 −−++−+× TbbbT ;
г) при 4=k после учета предыдущего шага при условии 4≥bn полу-
чим
++++−= )2()3()4()3()4( 02010010 TbTbTTyTy ξξξα
++=+++ )4()0()0()1( 00
4
10403 TTyTbTb ξαδξξ
×+−+−++−+−+ )()2()()3()( 3211
2
1
3
10211
2
1011 bbbTbbTb αααξααξα
δαααξαααξ ])1(1[)0()()1( 11
2
104312
2
11
3
10 −−+++−+−+× TbbbbT .
Продолжая рекуррентную процедуру до mk = при условии, что
bnm ≥ , получаем разнотемповую модель в обобщенной разностной форме
++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ )(1 01 kTh
m
kyah
m
ky ξ
000201 ])[(...])2[(])1[( aTmkcTkcTkc m +−++−+−+ ξξξ , (3)
где ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
m
k — целое число от деления номера дискретного отсчета k на коэф-
фициент m . Выражение (3) можно записать в виде разнотемповой модели
АРСС
00
11
1 )()()()( akTzCrhyzA += −− ξ , (4)
где
1
11
1
1 1)( −− += zazA , (5)
m
m zczczczC −−−− ++++= ...1)( 2
2
1
1
1 . (6)
Соотношение операторов обратного смещения в полиномах (5), (6) на
основе выражения (2) будет
mzz −− =1
1 . (7)
Тогда равенство (5) примет вид
mzazA −− += 1
1 1)( . (8)
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 26
2. Устойчивость разнотемповой модели АРСС
Исходная однотемповая модель АРСС согласно (1) предполагается устойчи-
вой, т.е. корни полинома 0)1( 1
1 =+ −zα 1<iz , где ani ...,,2,1= . При раз-
работке разнотемповой модели АРСС (4) в процессе рекуррентной процеду-
ры необходимо установить условия устойчивости этой модели, которые
согласно (5) определяются нахождением корня 0)( 1
1 =−zA внутри круга
единичного радиуса. На основе (5) это выполняется при 11 <a , так как ко-
рень 1az −= .
Вследствие того, что исходная однотемповая модель (1) имеет характе-
ристическое уравнение 0)( 1 =−zA первого порядка, ее устойчивость обес-
печивается при 11 <α . При разработке разнотемповой модели на основе
рекуррентной процедуры, приведенной в разд. 1, получим в выражении (5)
mma 1
1
1 )1( α−−= .
Таким образом, если исходная однотемповая модель (1) будет устойчи-
вой, то разнотемповая модель (4), (5), (6) также будет устойчивой.
В этом случае отсчеты выходных координат ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ h
m
ky согласно (3) бу-
дут совпадать с отсчетами )( 0kTy в исходной модели (1) при h
m
kkT ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=0 .
3. Разработка процедуры прогнозирования на один период квантова-
ния h
При учете равенств (2), (7), (8) запишем (4) в виде
)(
)(
)(
)(])[(])1[(
1
0
01
1
0 −−
−
+=+=+
zA
a
kT
zA
zCzTmkyhry m ξ . (9)
Для разделения влияния входных возмущений, которые действовали до
настоящего времени, и на будущее составим диофантово уравнение [2, 3]:
)()()()( 1111 −−−−− += zFzzLzAzC m , (10)
на основе которого равенство (9) можно записать следующим образом:
+=+=+ − )()(])[()1[( 0
1
0 kTzLzTmkyhry m ξ
0101
1
)(
1)(
)(
)(
a
zA
kT
zA
zF
−−
−
++ ξ . (11)
При )()( 11 −− = zCzL из диофантового уравнения (10) при учете (8) од-
нозначно определяется полином
Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 27
)...1()()( 2
2
1
11
1
1
1 m
m zczczcazCazF −−−−− ++++−=−= .
Так как порядок полинома )( 1−zL равен m , то первый член в равенст-
ве (11) представляет будущую ошибку прогнозирования на один период
квантования
])1[()()(])[( 0
1
0 hrekTzLzTmke m +==+ − ξ . (12)
Тогда на основе (11), принимая во внимание (12), можно записать
функцию прогнозирования выходной координаты y на один период кван-
тования h :
[ ]00
*
1
0
01
1
* )(
)(
)(
)(
)(
])1[( kTTmky
zA
a
kT
zA
zF
rhhry +=+=+
−−
−
ξ . (13)
При этом )( 0kTξ считается известным на момент 0kT включительно.
4. Разработка процедуры прогнозирования на p периодов квантова-
ния h
При учете равенств (2), (7), (8) запишем уравнение (4) в виде
)(
)(
)(
)(])[(])[(
1
0
01
1
0 −−
−
+=+=+
zA
a
kT
zA
zCzTpmkyhpry pm ξ , (14)
где ,...3,2=p
Составим диофантово уравнение
)()()()( 1111 −−−−− += zFzzLzAzC p
pm , (15)
на основе которого выражение (14) можно преобразовать к виду
+=+=+ − )()(])[(])[( 0
1
0 kTzLzTpmkyhpry pm ξ
)(
)(
)(
)(
1
0
01
1
−−
−
++
zA
a
kT
zA
zFp ξ .
Тогда функция прогнозирования на p периодов квантования h будет
аналогична (13):
)(
)(
)(
)(
])[(])[(
1
0
01
1
00 −−
−
∗∗ +=+=+
zA
a
kT
zA
zF
kTTpmkyrhhpry p ξ , (16)
а ошибка прогнозирования
)()(])[(])[( 0
1
0 kTzLzTpmkehpre pm ξ−=+=+ .
Определение полинома )( 1−zFp рассмотрим на основе разнотемповой
модели процесса (4), (5), (8)
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 28
00
1
1 )()()()1( akTzCrhyza m +=+ −− ξ . (17)
При прогнозировании на m2 периодов 0T при 2=p диофантово урав-
нение (15) запишется в виде
)()()1()( 121
1
1 −−−−− ++= zFzzLzazC p
mm .
Выбираем полином )()1()( 1
1
1 −−− −= zCzazL m . Тогда из диофантового
уравнения однозначно определяется )()( 12
1
1 −− = zCazFp .
При прогнозировании на m3 периодов 0T при 3=p запишем диофан-
тово уравнение
)()()1()( 131
1
1 −−−−− ++= zFzzLzazC p
mm .
При выборе полинома )()1()( 122
11
1 −−−− +−= zCzazazL mm полином
)( 1−zFp однозначно определяется
)()( 13
1
1 −− −= zcazFp .
При прогнозировании на m4 периодов 0T при 4=p диофантово урав-
нение будет
)()()1()( 141
1
1 −−−−− ++= zFzzLzazC p
mm .
Выбираем полином )()1()( 133
1
22
11
1 −−−−− −+−= zCzazazazL mmm , то-
гда полином )()( 14
1
1 −− = zCazFp .
Таким образом, при прогнозировании выходной координаты процес-
са (17) на p периодов квантования h согласно функции (16) полином
)( 1−zFp будет определяться однозначно из диофантового уравнения (15) в
следующем виде:
)()1()( 1
1
1 −− −= zCazF pp
p . (18)
Определим на основе (14), (16) дисперсию ошибки прогнозирования
при 00 =a :
=+−+ 2* ]})[(])[({ rhhpryhpryM
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=
−
−
−
−
2
01
1
01
1
)(
)(
)(
)(
)(
)( kT
zA
zF
kT
zA
zCzM ppm ξξ
−
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ +
=
−
−−−−
)(
)(
)]()()([
01
111
kT
zA
zFzzLzA
zM p
pm
pm ξ
Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 29
{ ++=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
− −
−
−
])[)()(
)(
)(
0
1
2
01
1
TpmkzLMkT
zA
zFp ξξ
{ }20
1
2
01
1
01
1
])[()()(
)(
)(
)(
)(
)(
TpmkzLMkT
zA
zF
kT
zA
zF pp +=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−+ −
−
−
−
−
ξξξ ,
где M — оператор математического ожидания.
Таким образом, использование функции прогнозирования (16) обеспе-
чивает минимизацию дисперсии ошибки прогнозирования выходной коор-
динаты y на p периодов квантования h .
Пример 1. Динамический процесс представлен однотемповой моделью
АРСС первого порядка
)()1()()1( 0
1
10
1
1 kTzbkTyz ξα −− +=+ ,
где 9802,01 −=α ; 5,01 −=b . Эта модель получена из непрерывной модели
первого порядка с постоянной времени 800=T с при выбранном базовом
периоде квантования 160 =T с.
Необходимо разработать процедуру прогнозирования координаты y
на период квантования 805 0 == Th с.
Запишем исходную модель в разностной форме
])1[()(])1[()( 010010 TkbkTTkykTy −++−−= ξξα .
На основе рекуррентной процедуры, приведенной в подразделе 1, при
5=k получим разнотемповую модель в обобщенной разностной форме
++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ )(1
55 0
5
1 kThkyhky ξα
+−−−−−+ ])2[()(])1[()( 0111011 TkbTkb ξααξα
])5[(])4[()(])3[()( 01
4
1011
3
1011
2
1 TkbTkbTkb −+−−−−−+ ξαξααξαα , (19)
где ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
5
k — целое число от деления номера отсчета k на 5 . При подстанов-
ке значений коэффициентов 1d , 1b эта модель примет вид
++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ )(1
5
9048,0
5 0kThkyhky ξ
+−+−+ ])2[(47069,0])1[(4802,0 00 TkTk ξξ
])5[(46156,0])4[(45223,0])3[(46137,0 000 TkTkTk −−−+−+ ξξξ .
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 30
Запишем это выражение в форме разнотемповой модели АРСС
)()(
5
)( 0
11 TkzChkyzA ξ−− =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ,
где 51 9048,01)( −− −= zzA ; ++++= −−−− 3211 46137,047069,04802,01()( zzzzC
)46156,045223,0 54 −− −+ zz .
Составим диофантово уравнение
)()()()( 15111 −−−−− += zFzzLzAzC ,
из которого при )()( 11 −− = zCzL определяем полином +=− 9048,0)( 1zF
54321 41762,040917,041744,042588,04344,0 −−−−− −++++ zzzzz .
Тогда на основе (13) можно выполнить прогнозирование выходной ко-
ординаты на 051 Th = следующим образом:
=+=+ ∗∗ ])5[(])1[( 00 kTTkyrhhry
+−++= ])1[(4344,0)(9048,0)(9048,0 00 TkkTrhy ξξ
+−+−+ ])3[(41744,0])2[(42588,0 00 TkTk ξξ
])5[(41762,0])4[(40917,0 00 TkTk −−−+ ξξ . (20)
Результаты цифрового моделирования разнотемповой модели (19) и
прогнозируемого значения ])1[( rhhry +∗ (20) приведены на рис. 1 при по-
даче на вход дополнительного единичного ступенчатого возмущения.
Y
kT0
rh
Рис. 1. Графики моделирования выходной переменной (1) и их прогнозируемых
значений (2) разнотемповой одномерной системы
2
1
Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 31
II. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
ПРОЦЕССОВ С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ
Разнотемповая многомерная дискретная модель АРСС представлена в виде
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
)(
)(
)(
)(00
0)(0
00)(
222
111
1
1
222
1
111
nnnnnn hry
hry
hry
zA
zA
zA
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−−−
−−−
−−−
n
a
a
a
kT
kT
kT
zCzCzC
zCzCzC
zCzCzC
nnnnn
n
n
0
02
0
0
02
01
11
2
1
1
1
2
1
22
1
21
1
1
1
12
1
11 1
)(
)(
)(
)()()(
)()()(
)()()(
ξ
ξ
ξ
. (21)
При этом соотношение периодов квантования для дискретных отсчетов
выходных координат будет следующее:
i
Tmh ii 0= , ( ni ,...,2,1= ), (22)
где im — целое число, большее единицы. Тогда соотношение операторов
обратного сдвига
im
i zz −− =1 , (23)
где 1−z — оператор обратного сдвига на один период квантования 0T ;
1−
iz — оператор обратного сдвига на один период ih . Структура полиномов
в модели (17) имеет вид
1
1
1 1)( −− += iiii zazA
i
, (24)
m
mij zczczczC
ijijij
−−−− ++++= ...1)( 2
2
1
1
1 , (25)
( ni ,...,2,1= ), ( nj ,...2,1= ).
При этом предполагается, что )( 0kTiξ — это дискретный белый шум, а
i
a0 — смещение i -й выходной координаты, равное
ср
)1( iii yA .
На основе равенства (23) динамические полиномы )( 1−
iii zA можно
представить через базовый оператор z следующим образом:
i
i
m
ii zazA −− += 1
1 1)( . (26)
Разрешим дискретную модель (21) относительно )( iii hry :
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 32
×
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
−
)()(
)()(
)(
10
0
)(
1
)(
)(
11
1
1
1
1
11
1
1
111111
zCzC
zCzC
zA
zA
hry
hry
nnn
n
nnn
nnn
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
−
−
n
a
a
zA
zA
kT
kT
nnn
n 0
0
1
1
111
0
01 1
)(
10
0
)(
1
)(
)(
ξ
ξ
. (27)
Умножим левую и правую части на }{diag iimpz +
×
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
−
)(
10
0
)(
1
0
0
])[(
])[(
1
1
1
1111111
11
zA
zA
z
z
hpry
hpry
nn
mp
mp
nnnn
nn
( ) ( )
( ) ( ) ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
−
−
−−
−−
n
a
a
zA
zA
kT
kT
zCzC
zCzC
nnn
nnnn
n
0
0
1
1
111
0
01
11
1
1
1
1
11 1
)(
10
0
)(
1
)(
)(
ξ
ξ
.(28)
С учетом (23), при котором )( 1−zAii опредеяется согласно (26), соста-
вим следующее диофантово уравнение:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
−
−−
−−
11
1
1
1
1
11
1
1
11
11
1
1
1
1
11
0
0
zLzL
zLzL
zA
zA
zCzC
zCzC
nnn
n
nnnnn
n
( ) ( )
( ) ( )⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−
−−
−
−
11
1
1
1
1
11
0
011
zFzF
zFzF
z
z
nnn
n
mp
mp
nn
. (29)
С помощью(29) и с учетом (26) определим первую составляющую правой
части модели (28):
×
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
−
)()(
)()(
)(
10
0
)(
1
0
0
11
1
1
1
1
11
1
1
11
1
zCzC
zCzC
zA
zA
z
z
nnn
n
nn
mp
mp
nn
i
Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 33
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
−
−
)(
10
0
)(
1
0
0
)(
)(
1
1
11
0
01
11
zA
zA
z
z
kT
kT
nn
mp
mp
n
nnξ
ξ
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
+
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
−−
−−
−
−
11
1
1
1
1
11
1
1
11
0
0
zLzL
zLzL
zA
zA
nnn
n
nn
( ) ( )
( ) ( )
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−
−−
−
−
)(
)(
0
0
0
01
11
1
1
1
1
11
11
kT
kT
zFzF
zFzF
z
z
nnnn
n
mp
mp
nn ξ
ξ
( ) ( )
( ) ( )
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−−
−−
)(
)(
0
0
0
01
11
1
1
1
1
11
11
kT
kT
zLzL
zLzL
z
z
nnnn
n
mp
mp
nn ξ
ξ
( ) ( )
( ) ( ) ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−
−−
−
−
)(
)(
)(
10
0
)(
1
0
01
11
1
1
1
1
11
1
1
11
kT
kT
zFzF
zFzF
zA
zA
nnnn
n
nn
ξ
ξ
. (30)
Первая составляющая в правой части этого выражения представляет
вектор будущих ошибок { }T
nnn TmpkeTmpke ])[(],...,)[( 00111 ++ .
Если выражение (30) подставить в уравнение (28), то будущее значение
выходных координат
( ) ( )
( ) ( )
×
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−−
−−
−
−
11
1
1
1
1
11
1
1
111111
)(
10
0
)(
1
])[(
])[(
zFzF
zFzF
zA
zA
hpry
hpry
nnn
n
nn
nnnn
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
−
−
])[(
])[(
)(
10
0
)(
1
)(
)(
0
0111
0
0
1
1
11
0
01 1
Tmpke
Tmpke
a
a
zA
zA
kT
kT
nnn
nn
n n
ξ
ξ
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 34
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=
])[(
])[(
])[(
])[(
0
0111
*
11111
*
1
Tmpke
Tmpke
hrhpry
hrhpry
nnnnnnnnn
,
где прогнозируемые значения выходных координат
×
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
−
)(
10
0
)(
1
])[(
])[(
1
1
11
*
11111
*
1
zA
zA
hrhpry
hrhpry
nn
nnnnnn
( ) ( )
( ) ( ) ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×
−
−
−−
−−
n
a
a
zA
zA
kT
kT
zFzF
zFzF
nn
nnnn
n
0
0
1
1
11
0
01
11
1
1
1
1
11 1
)(
10
0
)(
1
)(
)(
ξ
ξ
.(31)
В этом выражении прогнозируемый вектор измерения согласно (22) ра-
вен
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
])[(
])[(
])[(
])[(
00
*
0011
*
1
*
11111
*
1
kTTmpky
kTTmpky
hrhpry
hrhpry
nnnnnnnnn
. (32)
Тогда на основе (23), (24) каждую составляющую ])[(*
jjjjjj hrhpry +
необходимо вычислять на основе разностной рекуррентной процедуры
+−+−=+ ])1[(])[( *
1
*
jjjjjjjjjjjj hrhpryahrhpry
j
akTzFkTzF njnj 00
1
01
1
1 )()(...)()( ++++ −− ξξ .
Определение матричного полинома
( ) ( )
( ) ( )⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
11
1
1
1
1
11
zFzF
zFzF
nnn
n
выполняется путем решения матричного диофантового уравнения (29), ко-
торое можно представить в форме одномерных диофантовых уравнений
)()()()( 1111 −−−−− += zFzzLzAzC ij
mp
ijiiij
ii
при ni ,...,1= ; nj ,...,1= .
Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 35
Эти уравнения решаются относительно полиномов )( 1−zFij при задан-
ных ip и полиномах )( 1−zCij , )( 1−zAii согласно методике, изложенной в
подразделе 4, т. е.
)()1()( 1
1
1 −− −= zCazF ij
pp
ij
i
ii
i . (33)
Пример 2 . Динамический процесс представлен двухмерной однотем-
повой моделью АРСС
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Α
Α
−−
−−
−
−
)(
)(
)(
)(
0
0
02
01
1
22
1
21
1
12
1
11
02
01
1
22
1
11
kT
kT
zBzB
zBzB
kTy
kTy
z
z
ξ
ξ
, (34)
где
)9802,01()1()( 11
1
1
11
−−− −=+=Α zzz α ;
)99,01()1()( 11
2
1
22
−−− −=+=Α zzz α ;
)5,01()1()( 11
11
1
11
−−− −=+= zzbzB ; )6,01()1()( 11
12
1
12
−−− +=+= zzbzB ;
)7,01()1()( 11
21
1
21
−−− −=+= zzbzB ; )45,01()1()( 11
22
1
22
−−− −=+= zzbzB .
При разработке данной модели применен базовый период квантования
160 =T с.
Постановка задачи
1. Разработать разнотемповую модель при дискретизации координаты
1y с периодом квантования 80011 == Tmh с, а координаты 2y с периодом
квантования 160022 == Tmh с, где 51 =m , 102 =m .
2. Выполнить процедуру прогнозирования координаты 1y на период
квантования 1h , а координаты 2y — на период 2h вперед.
Решение. На основе рекуррентной процедуры, приведенной в подраз-
деле 1, из исходной модели (34) получена разнотемповая модель процесса
( )
( ) =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
22
11
1
22
1
11
10
5
0
0
hky
hky
zA
zA
( ) ( )
( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−−
−−
)(
)(
02
01
1
22
1
21
1
12
1
11
kT
kT
zCzC
zCzC
ξ
ξ
, (35)
где 55
1
1
11 1)( −− += zzA α ; 1010
2
1
22 1)( −− += zzA α ;
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 36
+−−−+= −−− 2
1111
1
111
1
11 )()(1)( zbzbzC ααα
5
11
4
1
4
111
3
1
3
111
2
1 )()( −−− +−−−+ zbzbzb ααααα ;
+−−−+= −−− 2
1121
1
112
1
12 )()(1)( zbzbzC ααα
5
12
4
1
4
112
3
1
3
112
2
1 )()( −−− +−−−+ zbzbzb ααααα ;
+−−−+= −−− 2
1212
1
221
1
21 )()(1)( zbzbzC ααα
+−−−+−−−+ −−−− 6
221
5
2
5
221
4
2
4
221
3
2
3
221
2
2 )()()()( zbzbzbzb αααααααα
10
21
9
2
9
221
8
2
8
221
7
2
7
221
6
2 )()()( −−−− −−+−−−+ zbzbzbzb ααααααα ;
−−+−−−+= −−−− 3
222
2
2
2
2222
1
222
1
22 )()()(1)( zbzbzbzC ααααα
+−−−+−− −−− 6
222
5
2
5
222
4
2
4
222
3
2 )()()( zbzbzb αααααα
10
22
9
2
9
222
8
2
8
222
7
2
7
222
6
2 )()()( −−−− −−+−−−+ zbzbzbzb ααααααα ,
где 1−z — оператор обратного сдвига на один период квантования 0T .
При подстановке значений коэффициентов с учетом равенств (22), (23)
запишем модель (35) в разностной форме по двум каналам:
++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ )(1
5
9048,0
5 01111 kThkyhky ξ
[ ] [ ]+−+−+ 0101 )2(47069,0)1(4802,0 TkTk ξξ
[ ] [ ]−−+−+ 0101 )4(45223,0)3(46137,0 TkTk ξξ
[ ] +−++−− ])1[(5802,1)()5(46156,0 020201 TkkTTk ξξξ
[ ] +−+−+ ])3[(51824,1)2(5489,1 0202 TkTk ξξ
[ ] ])5[(55387,0)4(48818,1 0202 TkTk −+−+ ξξ . (36)
++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ )(1
10
90438,0
10 012222 kThkyhky ξ
+−+−+−+ ])3[(2842,0])2[(2871,0])1[(29,0 010101 TkTkTk ξξξ
+−+−+−+ ])6[(2558,0])5[(27857,0])4[(28138,0 010101 TkTkTk ξξξ
−−+−+−+ ])9[(26759,0])8[(2703,0])7[(273,0 010101 TkTkTk ξξξ
Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 37
+−+−++−− ])2[(5346,0])1[(54,0)(])10[(2649,0 02020201 TkTkkTTk ξξξξ
+−+−+ ])4[(52396,0])3[(52925,0 0202 TkTk ξξ
+−−−+ ])6[(51353,0])5[(51872,0 0202 TkTk ξξ
+−+−+ ])8[(5033,0])7[(50839,0 0202 TkTk ξξ
])10[(41107,0])9[(49828,0 0202 TkTk −−−+ ξξ . (37)
Составим диофантово уравнение в матричной форме:
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
−
−−
−−
)()(
)()(
)(0
0)(
)()(
)()(
1
22
1
21
1
12
1
11
1
22
1
11
1
22
1
21
1
12
1
11
zLzL
zLzL
zA
zA
zCzC
zCzC
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+ −−
−−
−
−
)()(
)()(
0
0
1
22
1
21
1
12
1
11
10
5
zFzF
zFzF
z
z ,
из которого при ),()( 1
11
1
11
−− = zCzL ),()( 1
12
1
12
−− = zCzL ),()( 1
21
1
21
−− = zCzL
)()( 1
22
1
22
−− = zCzL определяем полиномы
−−+−−−= −−− 2
111
6
1
1
111
5
1
5
1
1
11 )()()( zbzbzF ααααα
5
11
9
1
4
111
8
1
3
111
7
1 )()( −−− −−+−− zbzbzb ααααα ,
−−+−−−= −−− 2
112
6
1
1
112
5
1
5
1
1
12 )()()( zbzbzF ααααα
5
12
9
1
4
112
8
1
3
112
7
1 )()( −−− −−+−− zbzbzb ααααα ,
+−−−+= −−− 2
221
11
2
1
221
10
2
10
2
1
21 )()()( zbzbzF ααααα
−−+−−−+ −−− 5
221
14
2
4
221
13
2
3
221
12
2 )()()( zbzbzb αααααα
+−−−+−− −−− 8
221
17
2
7
221
16
2
6
221
15
2 )()()( zbzbzb αααααα
10
21
19
2
9
221
18
2 )( −− −−+ zbzb ααα ,
−−+−−−+= −−−− 3
222
12
2
2
222
11
2
1
222
10
2
10
2
1
22 )()()()( zbzbzbzF ααααααα
+−−−+−− −−− 6
222
15
2
5
222
14
2
4
222
13
3 )()()( zbzbzb αααααα
10
22
19
2
9
222
18
2
8
222
17
2
7
222
16
2 )()()( −−−− −−+−−−+ zbzbzbzb ααααααα .
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 38
Тогда на основе (31) можно выполнить прогнозирование выходных ко-
ординат в разностной форме при разнотемповой дискретизации координат:
++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ )(9048,0
5
9048,0
5
1
5 011111
*
1 kThkyhkhky ξ
+−+−+ ])2[(42587,0])1[(43488,0 0101 TkTk ξξ
−−+−+ ])4[(40917,0])3[(41744,0 0101 TkTk ξξ
+−++−− ])1[(42976,1)(9048,0])5[(41762,0 020201 TkkTTk ξξξ
+−+−+ ])3[(3737,1])2[(40145,1 0202 TkTk ξξ
])5[(50114,0])4[(3465,1 0202 TkTk −+−+ ξξ . (38)
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2222
*
2 10
90438,0
10
1
10
hkyhkhky
×+−++ 25964,0])1[(26227,0)(90438,0 0101 TkkT ξξ
+−+−+−× ])4[(25448,0])3[(25705,0])2[( 010101 TkTkTk ξξξ
+−+−+−+ ])7[(24692,0])6[(24941,0])5[(25193,0 010101 TkTkTk ξξξ
−−+−+ ])9[(242,0])8[(24445,0 0101 TkTk ξξ
++−− )(90438,0])10[(57831,0 0201 kTTk ξξ
+−+−+ ])2[(48348,0])1[(48836,0 0202 TkTk ξξ
+−+−+ ])4[(47386,0])3[(47864,0 0202 TkTk ξξ
+−+−+ ])6[(46443,0])5[(46912,0 0202 TkTk ξξ
+−+−+ ])8[(45978,0])7[(46443,0 0202 TkTk ξξ
])10[(37177,0])9[(45063,0 0202 TkTk −−−+ ξξ . (39)
Результаты цифрового моделирования разнотемповой модели (36), (37)
и прогнозируемых значений выходных координат (38), (39) при дополни-
тельный подаче на входы единичных ступенчатых возмущений приведены
на рис. 2.
Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 39
III. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
НА ОСНОВЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
С РАЗНОТЕМПОВОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИЕЙ
Динамика нестационарного процесса относительно тренда представлена ма-
тематической моделью АРИССс разнотемповой дискретизацией
00
11
1 )()()()( akTzCrhyzA +=∇ −− ξ , (40)
где первая разность ])1[()()( hryrhyrhy −−=∇ . Полином )( 1
1
−zA имеет вид
(5), а
c
c
n
n zczczczC −−−− ++++= ...1)( 2
2
1
1
1 . (41)
Соотношение периодов квантования в (40) представлено выражением (2),
при котором операторы обратного смещения в полиномах )( 1
1
−zA , )( 1−zC
Y1
kT0
r1h1
Y2
kT0
r2h2
Рис. 2. Графики моделирования выходных переменных ( Y1, Y2 ) и их
прогнозируемых значений ( ) разнотемповой двухмерной системы
В.Д. Романенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 40
связаны соотношением (7). В результате полином )( 1
1
−zA можно записать
через оператор z , соответствующий базовому периоду квантования 0T , на
основе выражения (8). На основе равенств (2), (5), (7), (8) запишем уравне-
ние АРИСС (40) в форме
00
1
0
1 )()()()()1( akTzCkTyzAz m +=− −−− ξ .
Представим это выражение в виде
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=+ h
m
kyTmky 1])[( 0
)()1(
)(
)()1(
)(
1
0
01
1
−−−−
−
−
+
−
=
zAz
a
kT
zAz
zC
z
mm
m ξ . (42)
Составим диофантово уравнение
)()()()1()( 1111 −−−−−− +−= zFzzLzAzzC mm , (43)
на основе которого выражение (42) можно записать таким образом:
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=+ h
m
kyTmky 1])[( 0
)()1()()1(
)()()(
1
0
1
1
0
1
−−−−
−
−
−
+
−
+=
zAz
a
zAz
zFkTzLz
mm
m ξ . (44)
Первое слагаемое в правой части (44) представляет собой ошибку
предсказания выходного сигнала y на m периодов квантования 0T или
один период квантования h , т.е.
[ ] )()(1)( 0
1
0 kTzLzh
m
keTmke m ξ−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=+ .
Тогда прогнозируемое значение выходного сигнала будет
[ ] =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=+ h
m
kh
m
kykTTmky 1)( *
00
*
)()1()()1(
)(
1
0
1
1
−−−−
−
−
+
−
=
zAz
a
zAz
zF
mm
. (45)
Полином )( 1−zF однозначно определяется из диофантового уравнения
(43) при )()( 11 −− = zCzL на основе )()1( 1
11
−−+− zCzaa m .
Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 41
ВЫВОДЫ
1. Разработана методика среднесрочного и долгосрочного
прогнозирования выходных координат динамических процессов на основе
одномерных и многомерных математических моделей авторегрессии и
скользящего среднего, а также авторегрессии и интегрированного
скользящего среднего с разнотемповой дискретизацией.
2. Для решения поставленной задачи разработаны:
• Одномерная модель авторегрессии и скользящего среднего с дискре-
тизацией входной координаты с малым периодом квантования и выходной
координаты с большим периодом квантования. Рассмотрены условия устой-
чивости этой модели.
• Процедуры прогнозирования выходной координаты разнотемповой
модели АРСС на один и на p больших периодов квантования на основе ис-
пользования диофантовых уравнений. При этом обеспечивается однознач-
ное решение диофантовых уравнений.
• Процедура прогнозирования выходных координат многомерной мо-
дели авторегрессии и скользящего среднего с разнотемповой дискретизаци-
ей при различной размерности векторов координат на входе и выходе. При
этом обеспечивается прогнозирование различных составляющих вектора
выходных координат на различные сроки.
3. Получены функции прогнозирования нестационарных процессов на
основе моделей авторегрессии и интегрированного скользящего среднего с
разнотемповой дискретизацией.
4. Проведено экспериментальное исследование разработанной методи-
ки прогнозирования на основе цифрового моделирования, которое подтвер-
дило высокую точность прогнозирования для одно- и двухмерных процес-
сов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бідюк П.І. Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових
рядів // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. —
№ 3. — С. 88–110.
2. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. — М.: Мир,
1973. — 319 с.
3. Clarke D.W., Phil M.A.D., Gawthrop P.J. Self-tuning controller // Proc. of the IEE:
Contr. scie. — 1975. — 122, № 9. — P. 929 – 935.
Поступила 10. 12. 2004
|
| id | journaliasakpiua-article-171069 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:10Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/dd/5fc16050553c469a2b0ab06426af7edd.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1710692019-06-24T12:52:05Z Prognostication of dynamic processes by means of time series models with multirate discretization Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей временных рядов с разнотемповой дискретизацией Прогнозування динамічних процесів на основі математичних моделей часових рядів із різнотемповою дискретизацією Romanenko, V. D. Theoretical propositions concerning multirate system design for prognostication of dynamic coordinates of one- and multidimensional processes under discretization of input disturbances with small periods of sampling and output coordinates with large periods of sampling are considered. Dynamics of stationary processes is represented by autoregression and sliding mean models and those of nonstationary ones by autoregression and integrated sliding mean models with multirate discretization. Рассмотрены теоретические положения проектирования разнотемповых систем прогнозирования динамических координат одномерных и многомерных процессов при дискретизации входных возмущений с малыми периодами квантования и выходных координат с большими. Динамика стационарных процессов представлена моделями авторегрессии и скользящего среднего (АРСС), а нестационарных процессов — моделями авторегрессии и интегрированного скользящего среднего (АРИСС) с разнотемповой дискретизацией. Розглянуто теоретичні положення проектування різнотемпових систем прогнозування динамічних координат одновимірних та багатовимірних процесів при дискретизації вхідних збурень з малими періодами квантування і вихідних координат з великими. Динаміка стаціонарних процесів представлена моделями авторегресії і ковзного середнього, а нестаціонарних процесів — моделями авторегресії та інтегрованого ковзного середнього з різнотемповою дискретизацією. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-24 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171069 System research and information technologies; No. 2 (2005); 23-41 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2005); 23-41 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2005); 23-41 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171069/170747 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Romanenko, V. D. Прогнозування динамічних процесів на основі математичних моделей часових рядів із різнотемповою дискретизацією |
| title | Прогнозування динамічних процесів на основі математичних моделей часових рядів із різнотемповою дискретизацією |
| title_alt | Prognostication of dynamic processes by means of time series models with multirate discretization Прогнозирование динамических процессов на основе математических моделей временных рядов с разнотемповой дискретизацией |
| title_full | Прогнозування динамічних процесів на основі математичних моделей часових рядів із різнотемповою дискретизацією |
| title_fullStr | Прогнозування динамічних процесів на основі математичних моделей часових рядів із різнотемповою дискретизацією |
| title_full_unstemmed | Прогнозування динамічних процесів на основі математичних моделей часових рядів із різнотемповою дискретизацією |
| title_short | Прогнозування динамічних процесів на основі математичних моделей часових рядів із різнотемповою дискретизацією |
| title_sort | прогнозування динамічних процесів на основі математичних моделей часових рядів із різнотемповою дискретизацією |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171069 |
| work_keys_str_mv | AT romanenkovd prognosticationofdynamicprocessesbymeansoftimeseriesmodelswithmultiratediscretization AT romanenkovd prognozirovaniedinamičeskihprocessovnaosnovematematičeskihmodelejvremennyhrâdovsraznotempovojdiskretizaciej AT romanenkovd prognozuvannâdinamíčnihprocesívnaosnovímatematičnihmodelejčasovihrâdívízríznotempovoûdiskretizacíêû |