Оптимальне багатопорогове керування потоком у системі масового обслуговування G/MSP/1 із MAP-потоком збоїв
G/MSP/1 queuing system with a MAP-input of disasters, causing all customers to leave the system instantaneously, and controlled input of customers is considered. The stationary queue length distribution has been derived and the optimal multithreshold strategy for customers input control has been det...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171309 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334365521903616 |
|---|---|
| author | Semenova, O. V. |
| author_facet | Semenova, O. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "O. V. Semenova",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Semenova, O. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-06-24T12:52:05Z |
| description | G/MSP/1 queuing system with a MAP-input of disasters, causing all customers to leave the system instantaneously, and controlled input of customers is considered. The stationary queue length distribution has been derived and the optimal multithreshold strategy for customers input control has been determined. Obtained results are illustrated by a numerical example. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.В. Семенова, 2005
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 97
УДК 519.872
ОПТИМАЛЬНОЕ МНОГОПОРОГОВОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ПОТОКОМ В СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
G/MSP/1 С MAP-ПОТОКОМ СБОЕВ
О.В. СЕМЕНОВА
Рассмотрена система массового обслуживания G/MSP/1 с марковским потоком
катастрофических сбоев и управляемым потоком запросов. Найдено стацио-
нарное распределение вероятностей состояний вложенной цепи Маркова. Раз-
работан алгоритм нахождения оптимальной многопороговой стратегии управ-
ления потоком запросов. Приведен численный пример.
ВВЕДЕНИЕ
Необходимость адекватного описания случайных процессов в современных
информационных сетях определяет интерес исследователей к моделям сис-
тем массового обслуживания, учитывающих особенности потоков инфор-
мации в этих сетях: разноприоритетность и требование обеспечения высоко-
го качества обработки приоритетных потоков; ненадежность работы сети и
возможность потери части информации при сбоях в системе.
Одной из таких моделей является модель управляемой системы массо-
вого обслуживания с потоком катастрофических сбоев, приводящих к поте-
ре всех запросов в системе, включая обслуживаемый запрос. Частный слу-
чай таких систем — системы с несколькими режимами входящего потока
запросов. Характерным для них является то, что режимы, в которых интен-
сивности поступления запросов ниже, более дорогие, чем режимы, запросы
в которых поступают интенсивнее. Выбор режима входящего потока проис-
ходит в соответствии с некоторой стратегией (например, одно-, многопоро-
говой или гистерезисной) с целью минимизации экономического критерия
качества, оценивающего эффективность работы системы [1, 5].
Сбои, происходящие в реальных системах массового обслуживания, в
том числе и сетях связи, нарушают работу систем и, в частности, приводят к
потере нескольких или всех запросов. Сбои, вызывающие потерю всех за-
просов в системе (disasters), являются важным частным случаем так называ-
емого отрицательного запроса. Это понятие в 1991г . ввел Э. Геленбе [6].
Список работ по исследованию систем с отрицательными запросами и сбо-
ями можно найти в [6–10]. Для этих систем экономический критерий качес-
тва содержит штраф за потерю запросов в единицу времени, а динамическое
управление системой (в частности, переключение на режим с менее интен-
сивным потоком запросов) позволяет уменьшить длину очереди в системе,
что снижает расходы от потерь запросов из-за поступления сбоя.
Марковский процесс обслуживания (MSP) является обобщением об-
служивания фазового типа. Система G/MSP/1/r с конечным и бесконечным
буферами исследована в [11].
О.В. Семенова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 98
В данной работе рассмотрена система с многорежимным потоком за-
просов, марковским обслуживанием и потоком катастрофических сбоев,
приводящих к мгновенному уходу всех запросов из системы. Для управле-
ния потоком запросов используется многопороговая стратегия.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания с неограни-
ченным буфером и потоком катастрофических сбоев.
Входящий поток запросов имеет n режимов, 2≥n . Интервалы времени
между моментами поступления запросов при работе системы в k-м режиме
имеют функцию распределения )()( tA k , nk ,1= .
Интенсивность потока запросов в k-м режиме kλ определяется следу-
ющим образом:
.,1,)(
0
)(1 nkttdA k
k == ∫
∞
−λ
Процесс поступления сбоев — MAP-поток (Markov Arrival Process), за-
даваемый цепью Маркова 0, ≥ttη , с непрерывным временем, пространст-
вом состояний },...,0{ N и матричной производящей функцией
.1,)( 10 ≤+= zzFFzF
Обозначим ϕ вектор стационарного распределения цепи Маркова
0, ≥ttη . Вектор-строка ϕ — единственное решение системы уравнений
,1,0)1( == eF ϕϕ
где 0 — вектор-строка соответствующей размерности, состоящая, из нулей;
e — вектор-столбец, состоящий из единиц.
Средняя интенсивность MAP-потока сбоев δ подсчитывается по
формуле
.1)(
1=
=
zdz
zdFϕδ
Подробное описание MAP-потока как частного случая BMAP-потока
дано в работе Лукантони [12]. Переходы цепи 0, ≥ttη , не вызывающие по-
ступления сбоя, управляются матрицей 0F , а переходы, сопровождающиеся
поступлением сбоя в систему, — матрицей 1F . Так же, как Джейн и Сигман
[8], полагаем, что приход сбоя в систему вызывает немедленный уход из
системы всех запросов, включая обслуживаемый запрос. Считаем также, что
сбои, поступающие в пустую систему, не накапливаются в ней и не оказы-
вают никакого влияния на ее последующую работу.
Процесс обслуживания запросов — MSP (Markovian Service Process) —
управляется цепью Маркова 0, ≥tmt , с непрерывным временем, про-
странством состояний },...,0{ M и матричной производящей функцией
.1||,)( 10 ≤+= zzBBzB
Оптимальное многопороговое управление потоком в системе массового обслуживания …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 99
Описание MSP-процесса обслуживания запросов приведено в работе
[11]. Переходы цепи 0, ≥tmt , не приводящие к завершению обслуживания,
управляются матрицей 0B , а переходы, приводящие к завершению обслу-
живания, — матрицей 1B . Полагаем, что цепь Маркова 0, ≥tmt , «замора-
живает» свое состояние в момент окончания периода занятости системы при
успешном завершении обслуживания запроса и меняет свое состояние в со-
ответствии со стохастической матрицей P в момент поступления сбоя.
Работа системы оценивается экономическим критерием качества
,),...,( 1
)(
11 gVYcaUjjCC n
k
k
kn ++== ∑ =− (1)
где U — среднее время ожидания в системе; )(kY — средняя доля исполь-
зования k-го режима потока запросов, nk ,1= ; V — среднее число запросов,
потерянных в единицу времени; a, nkck ,1, = , g — стоимостные коэффи-
циенты, причем 0>a , nccc ≤≤≤ ...21 , 0≥g .
Поток запросов может изменять свой режим только в моменты их по-
ступления. Для управления входящим потоком используется многопорого-
вая стратегия, определяемая таким образом.
Фиксируется набор порогов ),...,,( 121 −njjj , причем ≤≤<=− 2101 jjj
∞=<≤≤ − nn jj 1... . Если число запросов в системе в данный момент прихо-
да запроса удовлетворяет неравенству kk jij ≤≤+− 11 , то запросы будут
поступать в соответствии с k -м режимом, nk ,1= .
В данной работе предложен алгоритм нахождения оптимальной много-
пороговой стратегии управления, состоящий в следующем: фиксируем на-
бор порогов и находим стационарное распределение вероятностей вложен-
ной цепи Маркова, описывающей поведение системы. Далее вычисляем
значение критерия качества при заданном наборе порогов и находим опти-
мальный их набор, минимизируя значение критерия качества.
СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ВЛОЖЕННОЙ
ЦЕПИ МАРКОВА
Пусть ),...,,( 121 −njjj — фиксированный набор порогов и kt есть k -й мо-
мент поступления запроса в систему, 1≥k . Рассмотрим случайный процесс
1},,,{ ≥= kmi kkkk ηξ , где ki — число запросов в системе в момент 0−kt ,
0≥ki ; km — состояние процесса обслуживания tm в момент 0−kt ,
Nmk ,0= ; kη — состояние процесса поступления сбоев tη в момент kt ,
Nn ,0=η . Случайный процесс 1, ≥kkξ является цепью Маркова. Зануме-
руем состояния этого процесса в лексикографическом порядке и введем ста-
ционарные вероятности
},,,{lim),,,( ννηηνηπ =====
∞→
kkkk
k
mmiiPmi ,
WNMmi ,1,,0,,0,0 ===≥ νη
О.В. Семенова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 100
и векторы
)),,(),...,0,,((),( Nmimimi πππ = ,
)),(),...,0,(( Wiii πππ = .
Обозначим )(k
iΦ матрицу, элементы которой имеют следующий вероя-
тностный смысл: при работе системы в k-м режиме за время между момен-
тами поступления запросов будут обслужены ровно i запросов, в систему
не поступит сбой, и случайный процесс },,{ kkkm νη перейдет из состояния
},{ ηm в состояние }','{ ηm при условии, что в начальный момент времени в
системе было не менее i запросов, .,1,0 nki =≥ Матрицы 0,)( ≥Φ ik
i задаю-
тся формулой
∫
∞
=≥⊗=Φ
0
)()( ,1,0),(),( 0 nkitdAetiQ ktFk
i ,
где ⊗ — символ кронекерова произведения (определение и свойства см.,
например, в работе [13, с. 318]); ),( tiQ — матрица вероятностей переходов
процесса 0, ≥tmt за время x, при котором будут обслужены ровно i запро-
сов, 0≥i . Матрицы 0,)( ≥Φ ik
i определяются как коэффициенты матрично-
го разложения
nkxdAeez kxFxzB
i
ik
i ,1,)(
0
)()(
0
)( 0 =⊗=Φ ∫∑
∞∞
=
. (2)
Обозначим )(k
iΩ матрицу, элементы которой имеют такой вероятност-
ный смысл: при работе системы в k -м режиме за время между моментами
поступления запросов систему покинет ровно 1+i запрос, и случайный
процесс },{ kkm η перейдет из состояния },{ ηm в состояние }','{ ηm при
условии, что в начальный момент времени в системе было ровно i запросов,
.,1,0 nki =≥ Матрицы 0,)( ≥Ω ik
i , определяются как коэффициенты мат-
ричного разложения
=−Ω∑∞
=0
)( )1(i
ik
i zz
( )∫ ∫
∞
++
− −⊗−++⊗=
0 0 11101
)())(1()( )()(0
t
NM
kxtFxFxzB IIPzBPBBtdAdxeee
nktdAePtdAePe ktFktFtzB ,1,)()(
0
)()1(
0
)()( 0 =⊗+⊗− ∫∫
∞∞
. (3)
Из равенства (3) получаем формулы для вычисления матриц )(k
iΩ ,
nki ,1,0 =≥
+⊗−Γ+⊗Γ=Ω ++= +∑ ))(())1(( 111
)(
0 1
)()(
NM
k
i
i
l N
k
l
k
i IPIBIPB
( ) nkiIPH N
i
l
k
l
k ,1,0,10
)()( =≥⊗⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ Φ−+ +=∑ ,
где
,,1,)(
0
)())1()( 1 nktdAeH ktF(Ik M == ∫
∞ ⊗+
Оптимальное многопороговое управление потоком в системе массового обслуживания …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 101
а матрицы nkik
i ,1,0,)( =≥Γ — коэффициенты матричного разложения
∫ ∫∑
∞ −∞
=
⊗=Γ
0 0
)())(1()(
0
)( )(0
t kxtFxFxzB
i
ik
i tdAdxeeez (4)
и подсчитываются с помощью рекуррентной процедуры
[ ] ( ))()(
0
1
10
)(
0 )( kkk HFB −Φ−⊕=Γ − ,
[ ] ( ) nkiIBFB k
iN
k
i
k
i ,1,1,)( )(
111
)(1
10
)( =≥Γ⊗−Φ−⊕=Γ −+
− .
Формула полной вероятности и определения многопороговой стратегии
дает следующий результат.
Лемма 1. Векторы стационарных вероятностей 0, ≥iiπ удовлетворяют
уравнениям равновесия
,
1
0 1
)1(
0
1
∑ ∑
−
= +=
+
+
Ω=
n
v
j
jl
v
ll
v
v
ππ (5)
.,1,1, 1
1
1
)1(
1
1
)(
1
1
ntjij tt
n
tv
j
jl
v
ill
j
il
t
illi
v
v
t
=≤≤+Φ+Φ= −
−
= +=
+
+−
−=
+− ∑ ∑∑
+
πππ (6)
Теорема 1. Векторы стационарных вероятностей 0, ≥iiπ вычисляются
таким образом:
,1,1,1,1, 01
)( −=−=≤≤+Π= − jntjijc tt
t
iiπ (7)
,, 1−>= n
i
i jiRcπ (8)
где
∑∑ ∑
−
−−
−−−−−−−
−
+
+ =
−−
= =
ΛΛΛ=Π
1
21
3221
1
1
1
)()2()1()(
n
nn
itrnrnrnrnr
n
t
t
t
tt
j
rr
tnnr
j
ir
j
rr
t
i R ;
матрица R — единственное решение уравнения
∑∞
=
Φ= 0
)(
l
n
l
lRR (9)
во множестве неотрицательных матриц спектрального радиуса не больше 1;
матрицы 0,)( ≥Λ lv
l , вычисляются рекуррентно
( ) 1)(
0
)1(
0
)(
0
−+ ΦΦ=Λ vvv ,
( )( ) 1)(
0
)1(
1
)(
1
)(
0
)(
0
)(
1
−+ ΦΦ+−ΦΛ−Λ=Λ vvvvvv I , (10)
( ) 1,1,2,
1)(
0
)1(1
0
)()()(
1
)( −=≥Φ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Φ+ΦΛ−Λ=Λ
−+−
= −− ∑ nvlvv
l
l
i
v
il
v
i
v
l
v
l ,
а вектор c — решение системы
0
2
0 0
)(
1
)1()1()1(
0
11
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Φ−+ΩΠ+Π− ∑ ∑∑
−
= =+=
++
−+n
v
j
l
n
l
l
j
jl
v
l
v
l
nv
v
RRc , (11)
О.В. Семенова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 102
.1)(
1
1
11
1
)( 1
1
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+Π∑ ∑
−
=
−+
+=
−
−
eRIRc
n
v
j
j
ji
v
i
n
v
v
(12)
Доказательство. Формула (8) проверяется непосредственной подста-
новкой в уравнение (6) для 11 +> −nji . Исследование матричного уравнения
(9) приведено в работе [14]. Справедливость формул (7) можно проверить,
подставив их в соотношения (6) с учетом (10).
Систему (11) для вектора c получаем, подставляя в равенство (5) вы-
ражения (7), (8) для векторов 0, ≥iiπ . В силу однородности этой системы
для нахождения вектора c также используем условие нормировки (12). Тео-
рема доказана.
Замечание. Формулы (5) – (12) представляют собой алгоритм для вы-
числения стационарного распределения вложенной цепи Маркова для любо-
го фиксированного набора порогов ),...,,( 121 −njjj .
ЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЯ КРИТЕРИЯ КАЧЕСТВА ОТ ВЕЛИЧИНЫ
ПОРОГОВ
С помощью эргодических теорем для цепей Маркова [15, с. 11] получаем
следующий результат.
Лемма 2. Среднее время τ между моментами поступления запросов
eRIRПc n
k
k
j
n
n
k
j
ji
k
ik
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+= −+−
−
= +=
− −
−
∑ ∑ 111
1
1 1
)(1 )(1
1
λλτ .
Теорема 2. Преобразование Лапласа–Стилтьеса )(sw распределения
времени ожидания в системе определяется равенством
,0Re,)()()()(
1
2
1 1
)1(
1
)1()1(
0
1
11
>
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+Π+Π+Π= ∑∑ ∑∑
∞
+=
−
= +=
+
= −
+
sesTRsTsTcsw
n
v
v jl
l
l
n
v
j
jl
l
v
l
j
l
ll
где
,1),()())(()( 10111 ≥⊗+⊗= ∑ =+− lFPsGIBsGsT l
k kNll
а матрицы 0),( ≥isGi — коэффициенты матричного разложения
.)]()([)( 1
100
−
+
∞
=
−⊕−=∑ Ni
i
i sIFzBzsG
Следствие. Среднее время ожидания в системе
,
2
1 11
)1(
1
)1(
1
11
eSRSScU
n
v jl
l
l
j
jl
l
v
l
j
l
ll
n
v
v
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+Π+Π= ∑ ∑∑∑
−
=
∞
+=+=
+
= −
+
(13)
где
1,)()( 0 1111 ≥⊗∆+⊗∆= ∑ =+− lFPIBS l
k kNll ,
1,])[()(, 11111
2
0 ≥⊗+⊗∆=∆=∆ ++− iLLIBLLIBL i
NNii ,
.][ 1
00
−⊕−= FBL
Оптимальное многопороговое управление потоком в системе массового обслуживания …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 103
Теорема 3. Средняя доля )(kY использования k -го режима ( nk ,1= )
определяется как
.)(
,1,1,
1111)(
1
1
1)(
1
1
−−+−
−
+=
−
−=
−=Π=
−
−
∑
τλ
τλ
eRIRcY
nkecY
n
k
k
j
n
n
j
ji
(k)
ik
k
(14)
Теорема 4. Среднее число V запросов, потерянных в единицу времени,
вычисляется с помощью формулы
eDRDDicV
n
v
v
t
jl
n
il
l
n
tv
j
jl
v
il
)(v
l
j
il
t
il
(t)
l
i
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+Π+Π= ∑∑ ∑∑∑
∞
+=
+−
−
= +=
+
+−
+
−=
+−
∞
=
−
−
+
1
)(
1
2
1
)1(
1
1
1
)(
1
1
1
1
1
τ , (15)
где
.,1,1,)()(
,)(
)(
11
)(
110
)()(
)()(
010
)(
0
)(
0
nkiIBIBD
HIBD
k
iN
k
iN
k
i
k
i
kk
N
kk
=≥Φ−⊗Γ+⊗Γ=
+Φ−⊗Γ=
+−+
+
(16)
Доказательство. Пусть iβ — вектор, задающий вероятности того, что
между моментами поступления запросов систему покинет ровно i запросов
из-за поступления сбоя, 1≥i . Для векторов 1, ≥iiβ запишем
,,1,1, 1
1
)(
1 nkjljD kk
il
k
illi =≤≤+= −
∞
−=
+−∑πβ (17)
где
nkltdvdAeFePvlQD
t kvtFvFk
l ,1,0,)(),(
0 0
)())(1(
1
)( 0 =≥⊗= ∫ ∫
∞ − . (18)
Преобразуем подынтегральное выражение в (18) с помощью формулы
интегрирования по частям и с учетом соотношений (2) и (4) получим равен-
ства (16).
Среднее число запросов, теряемых за время между моментами их по-
ступления, определяется как ∑∞
=0i i eiβ , а среднее число запросов, потерян-
ных в единицу времени, задается формулой
.0
1∑∞
=
−= i ieiV βτ (19)
Подставляя в (19) формулу (17) и выражения (5), (6) для 1, ≥iiπ , полу-
чаем равенство (15). Теорема доказана.
Подставляя выражения (13)–(15) в (1), получаем значение критерия ка-
чества при заданных значениях порогов ),...,,( 121 −njjj . Имея алгоритм для
вычисления значения критерия качества при любом фиксированном зна-
чении порога, находим оптимальный набор порогов ),...,,( **
2
*
1 1−n
jjj ,
минимизируя значение критерия качества.
Оптимизацию значения критерия качества производим прямым пере-
бором в области ]ˆ,0[ J значений каждого порога nkjk ,1, = , где величина
Ĵ определяется как значение порогов Jjjj n
ˆ... 121 ==== − , при котором
О.В. Семенова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 2 104
∑ =
−=J
i ie
ˆ
0 1 επ , а ε — точность представления чисел в ЭВМ. Получаемое
таким образом значение ),...,( **
11 −n
jjC является оптимальным (по крайней
мере, при заданной точности вычислений).
ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР
Положим 4=n .
Пусть функция распределения времени между моментами поступления
запросов в k-м режиме )()( tA k имеет вид
nkde
m
tA
t
k
mkk
k k
k
,1,
)!1(
)()(
0 )(
1)()(
)( )(
)(
=
−
= ∫ −
−
ττγγ τγ ,
где 4)1( =m , 3)4()2( == mm , 4)3( =m , 45)1( =γ , 20)2( =γ , 10)4()3( == γγ .
Интенсивность входного потока запросов равна 11,25; 6,66; 5; 3,33 соответ-
ственно в каждом режиме.
MSP-процесс обслуживания запросов определяется матрицами
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
150
010
,
64,1764,2
25,225,12
10 BB .
Среднее время обслуживания одного запроса равно 0,0811.
Поток сбоев задается матрицами
.
3,00
05,0
,
319,0019,0
037,053,0
10 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
= FF
Средняя интенсивность поступления сбоев равна 0,37. Стоимостные
коэффициенты имеют значения 2=a , 51 =c , 82 =c , 103 =c , 134 =c ,
.5=g
Оптимальные значения критерия качества (1) при различных комбинациях
использования режимов входного потока и соответствующие оптимальные
наборы порогов
Используемые
режимы
Оптимальный
набор порогов
Оптимальное значение
критерия качества
1,2 2 7,697
1,3 3 7,816
1,4 3 8,016
2,3 4 9,583
2,4 6 9,590
3,4 8 11,051
1,2,3 2,4 7,683
1,2,4 2,6 7,691
1,3,4 2,8 9,314
2,3,4 3,7 7,815
1,2,3,4 2,4,7 7,683
Оптимальное многопороговое управление потоком в системе массового обслуживания …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 2 105
Приведем также значения критерия качества kC при использовании
только k -го режима работы, 4,1=k : 192,91 =C ; 591,92 =C ; 051,113 =C ;
600,134 =C .
Таким образом, использование многопороговой стратегии управления
входным потоком запросов позволяет снизить стоимость работы системы.
В частности, сравнивая значения 683,74,3,2,1 =C и },,,{min 4321 CCCC , по-
лучаем, что выигрыш от использования многопороговой стратегии управле-
ния входным потоком по сравнению с использованием только одного режи-
ма входного потока составляет более 16%.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, для рассматриваемой системы найдено стационарное рас-
пределение вероятностей состояний вложенной цепи Маркова и предложен
алгоритм нахождения оптимальной пороговой стратегии управления вхо-
дящим потоком.
ЛИТЕРАТУРА
1. Рыков В.В. Управляемые системы массового обслуживания // Теория веро-
ятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика (Итоги
науки и техники). — М.: ВИНИТИ, 1975. — 10. — С. 43–153.
2. Dudin A.N. Optimal control for a Mx/G/1 queue with two operation modes // Probab.
Engin. Inform. Scie. — 1997. — 11. — P. 225–265.
3. Dudin A.N., Nishimura S. Optimal control for a BMAP/G/1 queue with two service
modes // Math. Probl. Engin. — 1999. — 5. — P. 255–273.
4. Dudin A.N., Klimenok V.I. Optimal admission control in a queueing system with het-
erogeneous traffic // Operations Research Letters. — 2003. — 31. — P. 108–118.
5. Нобель Р. Регенеративный подход для анализа очереди Mx/G/1 с двумя видами
обслуживания // Автоматика и вычислительная техника. — 1998. — № 1. —
С. 3–14.
6. Gelenbe E. Product form networks with negative and positive customers // J. Appl.
Prob. — 1991. — 28. — P. 655–663.
7. Artalejo J. G-networks: A versatile approach for work removal in queueing networks
// Eur. J. Oper. Res. — 2000. — 126. — P. 233–249.
8. Jain G., Sigman K. A Pollaczeck–Khinchine formula for M/G/1 queues with disas-
ters // J. Appl. Prob. — 1996. — 33. — P. 1191–1200.
9. Dudin A.N., Nishimura S. A BMAP/SM/1 queueing system with Markovian arrival
of disasters // J. Appl. Prob. — 1999. — 36, № 3. — P. 868–881.
10. Dudin A.N., Karolik A.V. BMAP/SM/1 queue with Markovian input of disasters and
non-instantaneous recovery // Performance Evaluation. — 2001. — 45. —
P. 19–32.
11. Стационарные характеристики системы массового обслуживания G/MSP/1/r
/ П.П. Бочаров, Ч. Д’Апиче, А.В. Печинкин, С. Салерно // Автоматика и те-
лемеханика. — 2003. — № 2. — С. 127–142.
12. Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a batch Markovian arri-
val process // Commun. Stat. Stochastic Models. — 1991. — 7. — P. 1–46.
13. Graham A. Kronecker Products and Matrix Calculus with Applications. — Chiches-
ter: Ellis Horwood Ltd., 1981. — 489 с.
14. Neuts M.F. Markov chain with applications in queueing theory, which have a matrix-
geometric invariant probability vector // Adv. Appl. Probab. — 1978. — 10. —
P. 185–212.
15. Скороход А.В. Теория вероятностей и случайных процессов. — Киев: Высш.
шк., 1980. — 226 с.
Поступила 26.11.2003
|
| id | journaliasakpiua-article-171309 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:12Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/ca/c84ef0d71fb8d34dbf114d54aa0b60ca.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1713092019-06-24T12:52:05Z Optimal multithreshold control of a flow in mass maintenance system G/MSP/1 with MAP-flow of disasters Оптимальное многопороговое управление потоком в системе массового обслуживания G/MSP/1 с MAP-потоком сбоев Оптимальне багатопорогове керування потоком у системі масового обслуговування G/MSP/1 із MAP-потоком збоїв Semenova, O. V. G/MSP/1 queuing system with a MAP-input of disasters, causing all customers to leave the system instantaneously, and controlled input of customers is considered. The stationary queue length distribution has been derived and the optimal multithreshold strategy for customers input control has been determined. Obtained results are illustrated by a numerical example. Рассмотрена система массового обслуживания G/MSP/1 с марковским потоком катастрофических сбоев и управляемым потоком запросов. Найдено стационарное распределение вероятностей состояний вложенной цепи Маркова. Разработан алгоритм нахождения оптимальной многопороговой стратегии управления потоком запросов. Приведен численный пример. Розглянуто систему масового обслуговування G/MSP/1 з марковським потоком катастрофічних збоїв та керованим потоком заявок. Знайдено стаціонарний розподіл станів укладеного ланцюга Маркова. Розроблено алгоритм пошуку оптимальної багатопорогової стратегії керування потоком заявок. Наведено чисельний приклад. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-24 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171309 System research and information technologies; No. 2 (2005); 97-105 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2005); 97-105 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2005); 97-105 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171309/170957 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Semenova, O. V. Оптимальне багатопорогове керування потоком у системі масового обслуговування G/MSP/1 із MAP-потоком збоїв |
| title | Оптимальне багатопорогове керування потоком у системі масового обслуговування G/MSP/1 із MAP-потоком збоїв |
| title_alt | Optimal multithreshold control of a flow in mass maintenance system G/MSP/1 with MAP-flow of disasters Оптимальное многопороговое управление потоком в системе массового обслуживания G/MSP/1 с MAP-потоком сбоев |
| title_full | Оптимальне багатопорогове керування потоком у системі масового обслуговування G/MSP/1 із MAP-потоком збоїв |
| title_fullStr | Оптимальне багатопорогове керування потоком у системі масового обслуговування G/MSP/1 із MAP-потоком збоїв |
| title_full_unstemmed | Оптимальне багатопорогове керування потоком у системі масового обслуговування G/MSP/1 із MAP-потоком збоїв |
| title_short | Оптимальне багатопорогове керування потоком у системі масового обслуговування G/MSP/1 із MAP-потоком збоїв |
| title_sort | оптимальне багатопорогове керування потоком у системі масового обслуговування g/msp/1 із map-потоком збоїв |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171309 |
| work_keys_str_mv | AT semenovaov optimalmultithresholdcontrolofaflowinmassmaintenancesystemgmsp1withmapflowofdisasters AT semenovaov optimalʹnoemnogoporogovoeupravleniepotokomvsistememassovogoobsluživaniâgmsp1smappotokomsboev AT semenovaov optimalʹnebagatoporogovekeruvannâpotokomusistemímasovogoobslugovuvannâgmsp1ízmappotokomzboív |