Оптимальне керування еліптичною системою з умовами спряження у вигляді рівняння теплопровідності
The paper considers new problems of optimal control of distributed systems. They are described by boundary-value problems for an elliptic equation with such conjugation conditions that contain a heat conduction equation. An optimization system contains a quadratic cost functional. The paper proves t...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171340 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334365477863424 |
|---|---|
| author | Sergienko, I. V. Deineka, V. S. |
| author_facet | Sergienko, I. V. Deineka, V. S. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "I. V. Sergienko",
"institution": null
},
{
"author": "V. S. Deineka",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Sergienko, I. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-06-24T16:34:27Z |
| description | The paper considers new problems of optimal control of distributed systems. They are described by boundary-value problems for an elliptic equation with such conjugation conditions that contain a heat conduction equation. An optimization system contains a quadratic cost functional. The paper proves the theorems about existence of unique optimal controls for each case. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
© И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека, 2005
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 7
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 519.6
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ
СИСТЕМОЙ С УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ В ВИДЕ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА
Рассмотрены новые задачи оптимального управления распределенными сис-
темами, которые описываются краевыми задачами для эллиптического урав-
нения с условиями сопряжения вида уравнения теплопроводности и квадра-
тичной функцией стоимости. Для всех описанных случаев доказаны теоремы
существования единственных оптимальных управлений.
1. РАСПРЕДЕЛЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ С НАБЛЮДЕНИЕМ ПО ВСЕЙ
ОБЛАСТИ
Предположим, что в ограниченных связных строго липшицевых областях
3
21 , R∈ΩΩ определено эллиптическое уравнение
)()(
3
1,
xf
x
yxk
x j
ij
ji i
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑
=
, (1)
где ,)()()( 1
lljiij CCxkk
ll
Ω∩Ω∈= ΩΩ
21
1
3
1
2
0
3
1,
,,, Ω∪Ω=Ω∈∀∈∀≥ ∑∑
==
xRk ji
i
iji
ji
ij ξξξαξξ , (1′)
.0const,;2,1,)( 0 >=∞<=Ω∈Ω αflCf ll
На границе ∅≠Ω∂∩Ω∂=Ω∂∪Ω∂=Γ 2121 ( \)( γγ , ∈=∀ ),,( 321 xxxx
γ∈ , )03 =x задано однородное краевое условие Дирихле
0=y . (2)
На разрезе γ области )( 2121 ∅=Ω∩ΩΩ∪Ω=Ω условия сопряжения,
следуя [1, 2], запишем в виде
0][ =y , (3)
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 8
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑∑
==
),(cos
3
1,
2
1,
i
jji
ij
j
ij
ji i
xn
x
yk
x
y
x
λ , (4)
где )()()( 1 γγλλ CCxjiij ∩∈= ;
γλξξλξξλ ∈∀>=∈∀≥ ∑∑
==
xiRi
i
iji
ji
ij ,0,2,1,, 0
1
2
1
2
0
2
1,
; (4′)
)(}{,][ xϕϕϕϕϕϕ ==−= ++−+ при )(}{, xx ϕϕϕγ ==∈ −−+ при −∈γx ,
γγ ∩Ω∂=+
2 , ;1 γγ ∩Ω∂=− +γ — множество точек 2Ω∂ , являющихся
точками касания области 2Ω с 1Ω ; −γ — множество точек 1Ω∂ , являю-
щихся точками касания области 1Ω с 2Ω ; lsij fk λ,, — известные функции,
nslji ;2,1,,3,1, == — единичный вектор нормали к γ (нормаль к γ ), на-
правленный в область 2Ω .
Пусть заданы пространство управлений — гильбертово пространство U
и отображение ),;( VB ′∈ UL где V ′ — пространство, двойственное к гиль-
бертовому пространству V состояний. Примем )(2 Ω= LU .
Для каждого управления U=u состояние ),()( uxyuyy == системы
определим как обобщенное решение краевой задачи, заданной уравнением
Ω∈∈+=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑
=
xVyBuxf
x
yxk
x j
ij
ji i
,,)()(
3
1,
, (5)
и условиями (2)−(4).
Зададим наблюдение
)()( uyCuZ = ,
где );( HL VC∈ ; H — некоторое гильбертово пространство. Примем
)(),()( 2 Ω⊂=≡ LVuyuCy H .
Каждому управлению U∈u поставим в соответствие значение функ-
ционала стоимости
,),()()(
2
UH
N uuzuCyuJ g +−= (6)
где gz — известный элемент пространства H .
UNUULN UU ∈∀>=≥∈ uuuu ,0const,),(),;( 0
2
0 νν . (6′)
Пусть uxauLuBuLf )(),(),( 22 =Ω∈≡Ω∈ N , где <≤≤< 10 )(0 axaa
∞< , )(| lCa
l
Ω∈Ω , ∫∫∫
Ω
==== dxaal ψϕψϕψϕ ),(),(const,,;2,1 10 U .
Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 9
Обозначим 0][][;2,1,)()(:)({ 21 ===Ω∩Ω∈= Ω γvvlCCvxvM lll
,
)(2 γγ Cv ∈ , }.0=Γv Множество M плотно в )(2 ΩL , поскольку содер-
жит функции v такие, что Cv
l
∈Ω
∞(Ωl), 2,1=l . Введем на M скалярное
произведение ⋅〉〈⋅, и норму 〈〈⋅〉〉
γ
γ
d
x
w
x
vvwd
x
w
x
vvwwv
l ll
i
i l lli
∫∫ ∑∑ ∫∫∫ ∑ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
++Ω⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+=〉〈
== Ω =
2
1
2
1
3
1
, ,
21, 〉〈=〉〉〈〈 vvv .
Пополним M по норме 〈〈⋅〉〉 и образованное пространство обозначим
V с нормой
21
2
)(
2
1
2
)( 1
2
1
2
,
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=〈〈⋅〉〉=⋅ ∑
=
Ω γW
i
WVV vvv
i
, где )(1
2 iW Ω и
)(1
2 γW — пространства функций Соболева, определенных на областях iΩ
и γ .
Определение 1. Для каждого управления U∈u обобщенным решени-
ем краевой задачи (2)−(5) называется функция ,)( Vuyy ∈= минимизирую-
щая на V функционал энергии
);(2),()( vulvvav −=Φ (7)
или являющаяся в V решением задачи в слабой постановке: найти элемент
Vy∈ , который Vw∈∀ удовлетворяет тождеству
);(),( wulwya = , (8)
где
γλ
γ
d
x
w
x
yd
x
w
x
ykwya
ijji
ij
ijji
ij ∂
∂
∂
∂
+Ω
∂
∂
∂
∂
= ∫∫ ∑∫∫∫ ∑
=Ω =
2
1,
3
1,
),( , (8′)
),(),();( wuwfwul += .
Лемма 1. Для каждого фиксированного U∈u задачи (7), (8) эквива-
лентны. Их решение )(uyy = существует и единственно в V .
Доказательство. С учетом неравенства Фридрихса Vv∈∀ получаем
21
0
2
)(0
2
)(0 1
2
1
2
),( VWW vvvvva αλα γ ≥+≥ Ω ,
т.е. билинейная форма 1:),( RVVa →×⋅⋅ V -эллиптична на V , где =1
0α
0},min{ 00 >= λα .
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 10
С учетом неравенства Коши-Буняковского Vwy ∈∀ , имеем
VVWWWW wywywywya },{max2),( 1
0
1
0)()(
1
0)()(
1
0 1
2
1
2
1
2
1
2
λαλα γγ ≤+≤ ΩΩ ,
Vwcwuwfwul 1),(),();( ≤+≤ .
Следовательно, в силу леммы Лакса-Мильграма [3] задача (8) для
каждого фиксированного элемента U∈u имеет единственное решение
Vuyy ∈= )( . Следуя [2], легко показать, что решение )(uyy = задачи (8)
является единственным решением задачи (7). Лемма доказана.
С учетом высказанных предположений функционал стоимости (6) име-
ет вид
),()()(
2
uuazuyuJ g +−= (9)
и может быть представлен следующим образом:
,)0()(2),()(
2
yzuLuuuJ g −+−=π (10)
где
),())0()(),0()((),( uuayvyyuyvu +−−=π ; (11)
)).0()(),0(()( yvyyzvL g −−=
Пусть )(~~),(~~ uyyuyy ′′=′′′=′ — решения из V задачи (8) при 0=f и
функции )(xuu = , равной соответственно uu ′′′, . Тогда
VV yyuuyyyyayyyy ′′−′′′−′≤′′−′′′−′≤′′−′≤′′−′ ~~1)~~,~~(1~~~~
1
0
1
0
22
αα
. (11′)
Полученное неравенство обеспечивает непрерывность линейного
функционала )(⋅L и билинейной формы ),( ⋅⋅π на U . На основании [4, тео-
рема 1.1, гл.1] с учетом ( 6′ ) доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (1′), (4′), (6′). Тогда существует
единственный элемент u выпуклого замкнутого в U множества ∂U , для
которого
)(inf)( vJuJ
v ∂∈
=
U
, (12)
т.е. существует единственное оптимальное управление ∂∈Uu рассматри-
ваемой распределенной системы.
Необходимое условие оптимальности управления ∂∈Uu
∂∈∀≥−−− UvuvLuvu ,0)(),(π (13)
с учетом выражений (11) принимает вид
Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 11
∂∈∀≥−+−− Uvuvuauyvyzuy g ,0),())()(,)(( . (14)
Для каждого управления ∂∈Uv сопряженное состояние VVvp =∈ ∗)(
определим как обобщенное решение краевой задачи
Ω∈−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑
=
xzvy
x
pk
x g
j
ij
ji i
,)(
3
1,
, (15)
Γ∈= xp ,0 , (16)
γ∈= xp ,0][ , (17)
γλ ∈
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑∑
==
xxn
x
pk
x
p
x i
jji
ij
j
ij
ji i
,),cos(
3
1,
2
1,
. (18)
Лемма 2. Для каждого фиксированного управления U∈v краевая за-
дача (15)−(18) имеет единственное обобщенное решение ∗∈Vvp )( как
единственная функция, доставляющая на V минимум функционалу
);(2),()( 11 wylwwaw −=Φ , (19)
и единственная функция из V , для каждого Vw∈ удовлетворяющая тож-
деству
);(),( 1 wylwpa = , (20)
где билинейная форма ),( ⋅⋅a определена первым выражением (8′), а
),();(1 wzywyl g−= .
Справедливость леммы устанавливается на основе леммы Лакса-
Мильграма аналогично доказательству леммы 1.
Выбирая вместо w разность )()( uyvy − с учетом (8), из (20) имеем
),()),(()),(())()(,())()(,)(( puvpuyapvyauyvypauyvyzuy g −=−=−=−− ,
т.е.
),())()(,)(( puvuyvyzuy g −=−− . (21)
Используя (21), необходимое условие (14) оптимальности управления
∂∈Uu преобразовывается к виду
∂∈∀≥−+ Uvuvuap ,0),( . (22)
Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется тождест-
вами (8), (20) и неравенством (22).
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 12
Если UU =∂ (случай отсутствия ограничений), то из (22) получаем
.,0 21 Ω∪Ω∈=+ xuap (23)
Следовательно, при отсутствии ограничений посредством (23) можно
исключить управление u из (8). Для определения вектора VVpy ×∈),( по-
лучаем задачу: найти вектор VVpy ×∈),( , удовлетворяющий тождествам
,),;(),( Vwwaplwya ∈∀−= (24)
,),;(),( 1 Vwwylwpa ∈∀= (25)
где оптимальное управление UU =∈ ∂u найдем с помощью формулы
21, Ω∪Ω∈−= xapu . (26)
Если векторное решение ),( py задачи (24), (25) достаточно гладкое на
lΩ , а именно: ),( )()(, 221 γCCCpy ll
ll
∩Ω∩Ω∈
ΩΩ 2,1=l , то этой задаче
соответствует дифференциальная задача нахождения вектор-функции
,),( VVpy ×∈ удовлетворяющей системе уравнений (2)−(4), (15)−(18) и ра-
венству
Ω∈=+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑
=
xfap
x
yk
x j
ij
ji i
,
3
1,
. (27)
Определение 2. Обобщенным (слабым) решением краевой задачи
(2)−(4), (15)−(18), (27) называется вектор-функция ,),( VVHpyU ×=∈=
удовлетворяющая ( ) Hzzz ∈=∀ 21, интегральному тождеству
)(),( zlzUa = , (28)
где ),( pyU = ,
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
∂
∂
∂
∂
++
∂
∂
∂
∂
= ∫∫∫ ∑ ∑
Ω = =
dxyz
x
z
x
pkapz
x
z
x
ykzUa
ji ijji
ij
ij
ij
3
1,
2
2
3
1,
1
1),(
γλλ
γ
d
x
z
x
p
x
z
x
y
ijji
ij
ijji
ij∫∫ ∑∑ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
==
2
2
1,
1
2
1,
,
),(),()( 21 zzzfzl g−= .
Лемма 3. Пусть билинейная форма 1:),( RHHa →×⋅⋅ удовлетворяет
условию H -эллиптичности
0const,),( 1
2
1 >=≥ αα Hzzza . (29)
Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 13
Тогда задача (28) имеет единственное решение HU ∈ , где =Hz
212
1
2
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
= ∑
=i
Viz .
Справедливость леммы устанавливается на основе леммы Лакса-
Мильграма.
Задачу (28) можно решить приближенно с помощью метода конечных
элементов (МКЭ). Для этого разобъем каждую из областей iΩ на iN конеч-
ных элементов j
ie )2,1,,1( == iNj i регулярного семейства [3]. Введем в
рассмотрение подпространство HH N
k ⊂ )( 21 NNN += вектор-функций
)),(),(()( 21 xvxvxV N
k
N
k
N
k = компоненты которых непрерывны на ,2,1, =Ω ii
являются полными полиномами степени k переменных 321 ,, xxx на каждом
j
ie и удовлетворяют условиям 0][][,0 ===Γ γ
N
k
N
k
N
k VVV . Тогда из (28)
получаем систему линейных алгебраических уравнений
BUA = , (30)
решение U которой существует и единственно. Вектор U определяет
единственное приближенное решение N
k
N
k HU ∈ задачи (28) как единствен-
ное решение тождества
N
k
N
k
N
k
N
k
N
k HVVlVUa ∈∀= ,)(),( . (31)
Пусть HxUU ∈= )( — решение задачи (28). Тогда
N
k
N
k
N
k
N
k HVVUUa ∈∀=− ,0),( . (32)
Следовательно,
N
k
N
k
N
k
N
kH
N
k HUUUUUaUUUUaUU ∈∀−−=−−≤−
~,)~,(),(
2
1α ,
откуда в силу непрерывности на H билинейной формы ),( ⋅⋅a получаем
0const,
~
00 >=−≤− cUUcUU
HH
N
k . (33)
Предположим, что N
kHU∈
~
— полный интерполяционный полином
решения HxUU ∈= )( на каждом j
ie . Тогда с учетом оценок интерполяции
[3] из (33) в предположении, что каждая компонента 21,UU решения U на
lΩ и на γ принадлежит соответственно пространствам Соболева )(1
2 l
kW Ω+
и ,2,1),(1
2 =+ lW k γ следует оценка
k
H
N
k chUU ≤− , (34)
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 14
где const=c ; h — максимальный диаметр всех конечных элементов j
ie .
Учитывая (34), для приближения )()()( xaxpxu N
k
N
k −= оптимального
управления )(xuu = имеем оценку
k
W
N
kW
N
k hcppcuu 32 1
2
1
2
≤−≤− , (35)
где
212
1
2
)()( 1
2
1
2
1
2 ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⋅=⋅=⋅ ∑
=
ΩΩ
i
WWW i
, ),(, 212
N
k
N
k
N
k
N
k
N
k UUUUp == .
2. РАСПРЕДЕЛЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ С НАБЛЮДЕНИЕМ НА ТОНКОМ
ВКЛЮЧЕНИИ
Предположим, что состояние системы )(uyy = для каждого управления
)(2 Ω=∈ Lu U определяется как обобщенное решение краевой задачи (2)−(5),
где uBu ≡ , т.е. как единственное решение в V эквивалентных задач (7), (8).
Зададим наблюдение
( ) γ∈= xuxyuyC ),,( . (36)
Каждому управлению U∈u поставим в соответствие значение функ-
ционала стоимости
),()()(
2
)(2
uuazuyuJ
Lg +−=
γ
, (37)
который представим в виде (10), где
),,())0()(),0()((),( )(2
vuayvyyuyvu L +−−= γπ
)(2
))0()(),0(()( γLg yvyyzvL −−= ,
21
)()()( 222
),(,),( γγ
γ
γ ψϕϕγψϕψϕ LLL d == ∫∫ .
С учетом неравенств теоремы вложения [5] на основании (11′) имеем
VVL yyuuyyyyayyyyc ′′−′′′−′≤′′−′′′−′≤′′−′≤′′−′′ ~~1)~~,~~(1~~~~
1
0
1
0
22
)(0 2 ααγ .
Следовательно,
uu
c
yy L
′′−′
′
≤′′−′
0
1
0
)(
1~~
2 αγ .
Полученное неравенство обеспечивает непрерывность линейного
функционала )(⋅L и билинейной формы ),( ⋅⋅π на U . На основании [4, тео-
рема 1.1, гл.1] доказано следующее утверждение.
Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 15
Теорема 2. Пусть выполнены условия (1′), (4′), (6′). Тогда существует
единственный элемент u выпуклого замкнутого в U множества ∂U , для
которого имеет место выражение (12) с функционалом стоимости (37).
Необходимое условие оптимальности управления ∂∈Uu в этом случае
приобретает вид
∂∈∀≥−+−− Uvuvuauyvyzuy Lg ,0),())()(,)(( )(2 γ . (38)
Для каждого управления ∂∈Uv сопряженное состояние VVvp =∈ ∗)(
определим как обобщенное решение краевой задачи, заданной ограниче-
ниями (16), (17) и уравнениями
Ω∈=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑
=
x
x
pk
x j
ij
ji i
,0
3
1,
, (39)
γλ ∈−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑∑
==
xzvyxn
x
pk
x
p
x gi
jji
ij
j
ij
ji i
,)(),(cos
3
1,
2
1,
. (40)
Лемма 4. Для каждого фиксированного управления U∈v краевая
задача (16), (17), (39), (40) имеет единственное обобщенное решение
VVvp =∈ ∗)( как единственное решение эквивалентных задач вида (19),
(20), где билинейная форма 1:),( RVVa →×⋅⋅ определена первым выражени-
ем (8′), а
)(1 2
),();( γLg wzywyl −= . (40′)
Справедливость леммы устанавливается на основании леммы Лакса-
Мильграма аналогично доказательству леммы 1.
Выбирая вместо w разность )()( uyvy − , с учетом (8), из (20), где
функционал );(1 ⋅⋅l определен выражением (40′), имеем
),())()(,())()(,)(( )(2
puvuyvypauyvyzuy Lg −=−=−− γ ,
т.е.
∂∈∀−=−− Uvpuvuyvyzuy Lg ,),())()(,)(( )(2 γ .
Используя полученное равенство, необходимое условие (38) оптималь-
ности управления ∂∈Uu приобретает вид
∂∈∀≥−+ Uvuvuap ,0),( . (41)
Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется тождест-
вами (8), (20) и неравенством (41), где функционалы );(),;( 1 ⋅⋅⋅⋅ ll заданы со-
ответственно вторым выражением (8′), (40′).
Если UU =∂ (случай отсутствия ограничений), то из (41) получаем
(23). Следовательно, при отсутствии ограничений посредством (26) можно
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 16
исключить управление u из (8). Для определения вектора VVpy ×∈),( по-
лучаем задачу вида (24), (25), где функционалы );(),;( 1 ⋅⋅⋅⋅ ll , как было отме-
чено, определяются с помощью второго выражения (8′) и (40′), соответст-
венно. Оптимальное управление UU =∈ ∂u найдем посредством (26). Если
векторное решение ),( py задачи вида (24), (25) достаточно гладкое на lΩ , а
именно: ),( )()(, 221 γCCCpy ll
ll
∩Ω∩Ω∈
ΩΩ 2,1=l , то этой задаче соот-
ветствует дифференциальная задача нахождения вектор-функции ∈),( py
,VV ×∈ удовлетворяющей системе равенств (2)−(4), (16), (17), (27),
(39), (40).
Определение 3. Обобщенным (слабым) решением краевой задачи
(2)−(4), (16), (17), (27), (39), (40) называется вектор-функция ∈= ),( pyU
VVH ×=∈ , удовлетворяющая ( ) Hzzz ∈=∀ 21, интегральному тождеству
вида (28), где
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
= ∫∫∫ ∑
Ω =
dxapz
x
z
x
p
x
z
x
ykzUa
ji ijij
ij
3
1,
1
21),(
γλ
γ
dyz
x
z
x
p
x
z
x
y
ijijji
ij∫∫ ∑
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
=
2
21
2
1,
,
)(21 2
),(),()( γLg zzzfzl −= .
Лемма 5. Пусть билинейная форма 1:),( RHHa →×⋅⋅ — H -эллип-
тична, т.е. удовлетворяет условию вида (29). Тогда краевая задача (2)−(4),
(16), (17), (27), (39), (40) имеет единственное обобщенное решение HU ∈ ,
удовлетворяющее тождеству вида (28).
Справедливость леммы устанавливается аналогично доказательству
леммы 3.
Как и в предыдущем случае, задачу (28) можно решить приближенно с
помощью метода конечных элементов.
Для приближенного обобщенного решения N
k
N
k HU ∈ краевой задачи
(2)−(4), (16), (17), (27), (39), (40) и приближенного оптимального управления
apu N
k
N
k −= имеют место оценки вида (34), (35).
3. РАСПРЕДЕЛЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ СО СМЕШАННЫМ НАБЛЮДЕ-
НИЕМ И НЕОДНОРОДНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ДИРИХЛЕ
Предположим, что в ограниченных связных строго липшицевых областях
3
21 , R∈ΩΩ для каждого управления )(2 Ω=∈ Lu U определено эллип-
тическое уравнение (5), где uBu ≡ , а коэффициенты ijk и функция
f удовлетворяют условиям (1′). На участке ∅≠Ω∂∩Ω∂= ) ( 21γ ,
Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 17
})0,:),,({( 321321 =Ω∂∩Ω∂∈== xxxxxxγ раздела областей 21 , ΩΩ усло-
вия сопряжения имеют вид (3), (4), где коэффициенты ijλ удовлетворяют
условиям (4′).
На границе γ\)( 21 Ω∂∪Ω∂=Γ задано неоднородное условие Дирихле
ϕ=y , (42)
где ϕ — известная функция такая, что множество { )(:)( 1
2 lWvxvV
l
Ω∈= Ω ,
}ϕγγγ =∈=== Γ][),(,0][][;2,1 1
2 vWvvvl не пусто.
Обозначим { ,0][][;2,1),(:)( 1
20 ===Ω∈= Ω vvlWvxvV ll γ ∈γv
)(1
2 γW∈ , }0=Γv .
Определение 4. Для каждого U∈u обобщенным решением краевой
задачи (3)−(5), (42) называется функция Vuyy ∈= )( , минимизирующая на
V функционал
);(2),()( vulvvav −=Φ (43)
или являющаяся в V решением задачи в слабой постановке: найти элемент
Vuyy ∈= )( , который 0Vw∈∀ удовлетворяет тождеству
);(),( wulwya = , (44)
где билинейная форма 1:),( RVVa →×⋅⋅ и функционал 1
2 )(:);( RVLl →×Ω⋅⋅
определены соответственно первым и вторым выражениями (8′).
Теорема 3. Для каждого управления U∈u задачи (43), (44) эквива-
лентны и имеют единственное решение )(uyy = в непустом множестве V .
Доказательство. Пусть Vy∈ — решение задачи (44), а )(xψ — про-
извольная фиксированная функция из V , тогда ψ−= yz — единственное
решение задачи: найти 0Vz∈ , которое 0Vw∈∀ удовлетворяет тождеству
);(),( 0 wulwza = , (45)
где ),();();(0 wawulwul ψ+= .
Существование единственного решения 0Vz∈ задачи (45) устанавли-
ваем на основе леммы Лакса-Мильграма. Легко видеть, что ψ+= zy реше-
ние задачи (44). От противного, на основе условия V -эллиптичности били-
нейной формы ),( ⋅⋅a на 0V устанавливаем единственность решения Vy∈
задачи (44). Покажем, что функция )(uyy = минимизирует функционал (43)
на V .
Пусть ψ — произвольный элемент из V . Тогда
);(),( ψψ −=− yulyya . (46)
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 18
Используя (46), имеем
=−−−+−= )};(),({2);(2),()( ψψψψψψ yulyyaulaФ
)()(),();(2),(),(),(2),( yФyФyyayulyyayyayaa ≥+−−=−++−= ψψψψψ .
В силу V -эллиптичности билинейной формы ),( ⋅⋅a на 0V знак равенст-
ва в полученном выражении достигается на единственном элементе y=ψ .
Лемма доказана.
Каждому управлению U∈u поставим в соответствие значение функ-
ционала стоимости
),()()()(
2
)(2
2
1 2
uuazuyzuyuJ
Lgg +−+−=
γ
, (47)
где функция )(xaa = определена в п.1.
Следуя [6], обозначим )()())(),(()( 22 γLLuyuyuy ×Ω∈= , =gz
)()(),( 2221
γLLzz gg ×Ω∈= . Тогда
,)0()(2),()(
2
)(2 γ
π
×Ω
−+−=
Lg yzuLuuuJ (48)
где
),,())0()(),0()((),( )(2
vuayvyyuyvu L +−−= ×Ω γπ
)(2
))0()(),0(()( γ×Ω−−= Lg yvyyzvL ,
)(2211
2
)()(2211)( 2222
),(),(,),(),(),( γγγγ ϕϕϕϕϕψϕψϕψϕ LLLL +=+= ×Ω×Ω ,
),()(),(),()(),( 22212221 γψψψγϕϕϕ LLLL ×Ω∈=×Ω∈=
2
0),( uauu ≥π .
Следовательно,
),()()(
2
)(2
uuazuyuJ
Lg +−=
×Ω γ
. (49)
Пусть )(~~),(~~ uyyuyy ′′=′′′=′ — решения из V -эквивалентных задач (43),
(44) при 0=f , 0=ϕ и функции )(xuu = , равной соответственно uu ′′′, .
С учетом теорем вложения [5] имеем
≤′′−′′′−′≤′′−′≤′′−′+′′−′ )~~,~~(1~~~~~~
1
2
0
2
)(
2
2
yyyyayycyyyy VL αγ
0const,~~1
1
1
>=′′−′′′−′≤ α
α Vyyuu ,
Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 19
т.е.
uucyy L
′′−′≤′′−′
×Ω 1)(2
~~
γ .
Полученное неравенство обеспечивает непрерывность на U билинейной
формы π(⋅,⋅) и линейного функционала L(⋅) представления (48) функционала
стоимости (47). На основании [4, гл.1, теорема 1.1] доказано следующее ут-
верждение.
Теорема 4. Пусть выполнены условия (1′), (4′), (6′). Тогда существует
единственный элемент u выпуклого замкнутого в U множества ∂U , для
которого имеет место выражение (12) с функционалом стоимости (47).
Необходимое условие оптимальности управления ∂∈Uu в этом случае
приобретает вид
∂×Ω ∈∀≥−+−− Uvuvuauyvyzuy Lg ,0),())()(,)(( )(2 γ . (50)
Для каждого управления U∈v сопряженное состояние 0)( VVvp =∈ ∗
определим как обобщенное решение краевой задачи, заданной уравнениями
Ω∈−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑
=
xzvy
x
pk
x g
j
ij
ji i
,)(
1
3
1,
,
Γ∈= xp ,0 , (51)
γ∈= xp ,0][ ,
γλ ∈−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑∑
==
xzvyxn
x
pk
x
p
x gi
jji
ij
j
ij
ji i
,)(),(cos
2
3
1,
2
1,
.
Лемма 6. Краевая задача (51) имеет единственное обобщенное решение
0)( Vvpp ∈= как решение эквивалентных задач вида (19), (20), где били-
нейная форма 1
00:),( RVVa →×⋅⋅ определена первым выражением (8′), а
)(211 2
),)((),)(();( γLgg wzvywzvywyl −+−= . (52)
Справедливость леммы устанавливается на основании леммы Лакса-
Мильграма.
Выбираем вместо w разность )()( uyvy − . С учетом (44) из (20), где
функционал );(1 ⋅⋅l определен выражением (52), имеем
=−=−−+−− ))()(,())()(,)(())()(,)(( )(221
uyvypauyvyzuyuyvyzuy Lgg γ
),()),(()),(()),()(( puvpuyapvyapuyvya −=−=−= ,
т.е.
),())()(,)(( )(2
puvuyvyzuy Lg −=−− ×Ω γ .
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 20
Следовательно, необходимое условие оптимальности управления
∂∈Uu
∂×Ω ∈∀≥−+−− Uvuvuauyvyzuy Lg ,0),())()(,)(( )(2 γ
принимает вид
∂∈∀≥−+ Uvuvuap ,0),( . (53)
Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется тождест-
вами (44), (20), где функционал );(1 ⋅⋅l определен выражением (52) и нера-
венством (53).
Если UU =∂ (случай отсутствия ограничений), то из (53) получаем ра-
венство вида (23). Следовательно, при отсутствии ограничений посредством
(23) можно исключить управление u из (44). Для определения вектора
VVpy ×∈),( получаем задачу: найти вектор VVpy ×∈),( , удовлетворяю-
щий тождествам вида (24), (25), где билинейная форма ),( ⋅⋅a и линейный
функционал );( ⋅⋅l определены соответствующими выражениями (8′), а
);(1 ⋅⋅l имеет вид (52). Оптимальное управление u находим с помощью фор-
мулы (26). Если векторное решение ),( py — достаточно гладкое на
,2,1, =Ω ll а именно: удовлетворяет условиям гладкости п.1, то этой задаче
соответствует дифференциальная задача нахождения вектор-функции
,),( VVpy ×∈ удовлетворяющей равенствам (3), (4), (27), (42), (51).
Определение 5. Обобщенным (слабым) решением краевой задачи (3),
(4), (27), (42), (51) называется вектор-функция 0),( VVpyU ×∈= , которая
00 VVz ×∈∀ удовлетворяет тождеству вида (28), где
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
= ∫∫∫ ∑
Ω =
dxyzapz
x
z
x
p
x
z
x
ykzUa
ji ijij
ij
3
1,
21
21),(
γλ
γ
dyz
x
z
x
p
x
z
x
y
ijijji
ij∫∫ ∑
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
=
2
21
2
1,
,
)(221 221
),(),(),()( γLgg zzzzzfzl −−= .
Лемма 7. Пусть билинейная форма ),( ⋅⋅a — H -эллиптична на
000 VVH ×∈ , т.е.
00
2
1 ,),( VVzzzza H ×∈∀≥α . (54)
Тогда краевая задача (3), (4), (27), (42), (51) имеет единственное обоб-
щенное решение 0VVHU ×=∈ , удовлетворяющее тождеству
0),(),( HzzlzUa ∈∀= . (55)
Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 21
Справедливость леммы устанавливается на основе леммы Лакса-
Мильграма.
Как и в предыдущем случае, задачу (55), аналогичную (28), можно ре-
шить приближенно с помощью МКЭ. Для приближенного обобщенного ре-
шения HHU N
k
N
k ⊂= краевой задачи (3), (4), (27), (42), (51) и приближен-
ного оптимального управления apu N
k
N
k −= соответственно имеют место
оценки вида (34), (35).
4. ОДНОВРЕМЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ И
УПРАВЛЕНИЕ В УСЛОВИИ СОПРЯЖЕНИЯ
Предположим, что в ограниченных связных строго липшицевых областях
3
21 , R∈ΩΩ для каждого управления )()( 22 γLLu ×Ω=∈U ∈= ),( 21 uuu(
))()( 22 γLL ×Ω∈ определено эллиптическое уравнение
,)( 1
3
1,
uxf
x
yk
x j
ij
ji i
+=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑
=
(56)
где коэффициенты ijk и функция f удовлетворяют условиям п.1. На гра-
нице Г задано неоднородное условие Дирихле
ϕ=y , (57)
где ϕ — известная функция такая, что множество V , определенное в
п.3, непустое.
На участке γ условия сопряжения имеют вид
0][ =y , (58)
.),(cos 2
3
1,
2
1,
uxn
x
yk
x
y
x i
jji
ij
j
ij
ji i
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑∑
==
λ (59)
Определение 6. Для каждого управления U∈u обобщенным решени-
ем краевой задачи (56)−(59) называется функция Vuyy ∈= )( , минимизи-
рующая на V функционал энергии
);(2),()( vulvvavФ −= (60)
или являющаяся решением в V задачи в слабой постановке: найти элемент
Vuyy ∈= )( , который 0Vw∈∀ удовлетворяет тождеству
);(),( wulwya = , (61)
где пространство 0V определено в п.3, билинейная форма ),( ⋅⋅a — первым
выражением (8′), а функционал );( wul имеет вид
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 22
)(21 2
),(),(),();( γLwuwuwfwul ++= . (62)
Теорема 5. Для каждого управления U∈u задачи (60), (61) эквива-
лентны и имеют единственное решение )(uyy = в непустом множестве V .
Справедливость теоремы устанавливается аналогично доказательству
теоремы 3.
Каждому управлению U∈u поставим в соответствие значение функ-
ционала стоимости
)(
2
2
),()()( γ×Ω+−= Lg uuazuyuJ , (63)
где функция )(Ω∈Ca , gzaaaaa ;const,,0 1010 =∞<≤≤< — известная
функция из )(2 ΩL ; )(2211)( 22
),(),(),( γγ LL uuauuauua +=×Ω .
Функционал стоимости можно представить в виде
,)0()(2),()(
2
yzuLuuuJ g −+−=π (64)
где
,),())0()(),0()((),( )(2 γπ ×Ω+−−= Lvuayvyyuyvu
))0()(),0(()( yvyyzvL g −−= .
Пусть )(~~),(~~ uyyuyy ′′=′′′=′ — решения из V -эквивалентных задач
(60), (61) при 0,0 == ϕf и функции )(xuu = , равной соответственно
uu ′′′, . С учетом неравенств Коши-Буняковского, теорем вложения имеем
+′′−′′′−′=′′−′′′−′≤′′−′≤′′−′ )~~,(()~~,~~(~~~~
1100
22 yyuucyyyyacyyyy V
≤′′−′′′−′+′′−′′′−′≤′′−′′′−′+ )~~~~())~~,( )()(22110)(22 222 γγγ LLL yyuuyyuucyyuu
VLVL yyuucyyuuuuc ′′−′′′−′′′≤′′−′′′−′+′′−′′≤ ×Ω
~~2~~)( )(0)(22110 22 γγ ,
т.е.
)(1 2
~~
γ×Ω
′′−′≤′′−′ Luucyy , (65)
где 21
)()( 22
),( γγ ϕϕϕ ×Ω×Ω = LL .
Неравенство (65) обеспечивает непрерывность на U билинейной формы
),( ⋅⋅π и линейного функционала )(⋅L .
С учетом предположений относительно функции a , получаем
2
)(0 2
),( γπ ×Ω≥ Luauu . (66)
На основании [4, гл.1, теорема1.1] доказано утверждение.
Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 23
Теорема 6. Пусть выполнены условия (1′), (4′), (66). Тогда существует
единственный элемент и выпуклого замкнутого в U множества ∂U , для ко-
торого имеет место выражение (12) с функционалом стоимости (63).
Необходимое условие оптимальности управления ∂∈Uu в этом случае
приобретает вид
∂×Ω ∈∀≥−+−− Uvuvuauyvyzuy Lg ,0),())()(,)(( )(2 γ . (66′)
Для каждого управления U∈u сопряженное состояние 0)( VVvp =∈ ∗
определим как обобщенное решение краевой задачи, заданной уравнениями
Ω∈−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑
=
xzvy
x
pk
x g
j
ij
ji i
,)(
3
1,
,
Γ∈= xp ,0 , (67)
γ∈= xp ,0][ ,
γλ ∈
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑∑
==
xxn
x
pk
x
p
x i
jji
ij
j
ij
ji i
,),(cos
3
1,
2
1,
.
В силу леммы 2 краевая задача (67) имеет единственное обобщенное
решение 0Vp∈ .
Выбирая вместо w разность ),()( uyvy − с учетом (61) из (20) имеем
=−=−=−− )),(()),(())()(,())()(,)(( puyapvyauyvypauyvyzuy g
)()(2211 22
),(),(),( γγ ×Ω−=−+−= LL puvpuvpuv ,
т.е.
,),())()(,)(( )(2 γ×Ω−=−− Lg puvuyvyzuy (68)
где ppppp == 121 ),,( при 21 Ω∪Ω∈x , pp =2 при γ∈x .
С учетом (68) необходимое условие (66′) оптимальности управления
∂∈Uu преобразовывается к виду
∂×Ω ∈∀≥−+ Uvuvuap L ,0),( )(2 γ . (69)
Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется тождест-
вами (61), (20) и неравенством (69).
Если UU =∂ (случай отсутствия ограничений), то из (69) получаем
Ω∈=+ xuap ,01 , (70)
γ∈=+ xuap ,02 .
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 24
Следовательно, при отсутствии ограничений посредством (70) можно
исключить управление u из (61). Для определения вектора 0),( VVpy ×∈
получаем задачу: найти вектор-функцию 0),( VVpy ×∈ , удовлетворяющую
0Vw∈∀ тождествам
)(2
),(),(),(),( γLwapwapwfwya −−= , (71)
),(),( wzywpa g−= , (72)
где оптимальное управление ),( 21 uuu = находим с помощью выражений
Ω∈−= xapu ,1 ,
γ∈= xuu ,12 . (73)
Если векторное решение ),( py задачи (71), (72) достаточно гладкое на
,2,1, =Ω ll а именно: удовлетворяет условиям п.1, то этой задаче соответст-
вует дифференциальная задача нахождения вектор-функции ,),( 0VVpy ×∈
удовлетворяющей системе уравнений (15)−(18), (57), (58) и равенствам
Ω∈=+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑
=
xfap
x
yk
x j
ij
ji i
,
3
1,
, (74)
γλ ∈−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑∑
==
xapxn
x
y
k
x
y
x i
jji
ij
j
ij
ji i
,),(cos
3
1,
2
1,
. (75)
Определение 7. Обобщенным (слабым) решением краевой задачи
(15)−(18), (57), (58), (74), (75) называется вектор-функция ∈= ),( pyU
0VVH ×=∈ , удовлетворяющая 00021 ),( VVHzzz ×=∈=∀ интегральному
тождеству вида (55), где
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
= ∫∫∫ ∑
Ω =
dxyzapz
x
z
x
p
x
z
x
ykzUa
ji ijij
ij
3
1,
21
21),(
γλ
γ
dapz
x
z
x
p
x
z
x
y
ijijji
ij∫∫ ∑
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
=
1
21
2
1,
, (76)
),(),()( 21 zzzfzl g−= .
Лемма 8. Пусть билинейная форма ),( ⋅⋅a удовлетворяет условию
H -эллиптичности на 0H , т.е. неравенству вида (54). Тогда задача вида (55),
где билинейная форма ),( ⋅⋅a и линейный функционал )(⋅l определяются
соответствующими выражениями (76), имеет единственное решение
0),( VVHpyU ×=∈= .
Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 25
Справедливость леммы устанавливается на основе леммы Лакса-
Мильграма.
Как и в предыдущем случае, задачу вида (55) можно решить прибли-
женно с помощью МКЭ. Для приближенного обобщенного решения
HHU N
k
N
k ⊂= краевой задачи (15)− (18), (57), (58), (74), (75) и приближен-
ного оптимального управления ),(),(
21
apapuuu N
k
N
k
N
k
N
k
N
k −−== имеет
место оценка соответственно вида (34) и
k
L
N
k chuu ≤−
×Ω )(2 γ
. (77)
5. РАСПРЕДЕЛЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ НА РАЗРЕЗЕ γ С
НАБЛЮДЕНИЯМИ НА РАЗЛИЧНЫХ ЧАСТЯХ ТЕЛА
Предположим, что для каждого управления )()( 22 γLLu ×Ω=∈U
))()(),( 2221 γLLuuu ×Ω∈=( состояние системы )(uyy = определяется как
обобщенное решение краевой задачи, заданной уравнениями (56)−(59).
Каждому управлению U∈u поставим в соответствие значение функ-
ционала стоимости
)(
2
)(
2
2221
),()()()( γγ ×Ω+−+−= LLgg uuazuyzuyuJ , (78)
где )()(),( 2221
γLLzzz ggg ×Ω∈= ; )(xaa = — известная функция; a опре-
делена в п.4.
Функционал стоимости можно представить в виде
,)0()(2),()(
2
)(2 γ
π
×Ω
−+−=
Lg yzuLuuuJ
где )()(),( 22 γLLyyy ×Ω∈= ,
,),())0()(),0()((),( )()( 22 γγπ ×Ω×Ω +−−= LL vuayvyyuyvu
)(2
))0()(),0(()( γ×Ω−−= Lg yvyyzvL ,
)()(),(,),(),(),( 2221)(2211)( 22
γϕϕϕψϕψϕψϕ γγ LLLL ×Ω∈=+=×Ω ,
),()(),( 2221 γψψψ LL ×Ω∈=
+−−+−−= )(2
))0()(),0()(())0()(),0()((),( γπ Lyvyyuyyvyyuyvu
)(2211 2
),(),( γLvuavua ++ .
Справедливо неравенство
U∈∀≥ ×Ω uuauu L ,),( 2
)(0 2 γπ . (79)
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 26
Пусть )(~~),(~~ uyyuyy ′′=′′′=′ — решения из V -эквивалентных задач
(60), (61) при 0,0 == ϕf и функции )(xuu = , равной соответственно
uu ′′′, . С учетом неравенств Коши-Буняковского, теорем вложения имеем
≤′′−′≤′′−′+′′−′=′′−′
×Ω
2
0
2
)(
22
)(
~~~~~~~~
22
VLL
yycyyyyyy γγ
VL yyuucyyyyac ′′−′′′−′′≤′′−′′′−′′≤ ×Ω
~~)~~,~~( )(10 2 γ ,
т.е.
)(2)( 22
~~
γγ ×Ω×Ω
′′−′≤′′−′ LL
uucyy , (79′)
где yyyyyLLyyy ′==′×Ω∈′′=′ ~),,(~),()()~,~(~
12122 γ при yyx ′=Ω∪Ω∈ ~, 221
при γ∈x . Аналогично определяем y ′′~ .
Неравенство (79′) обеспечивает непрерывность на U билинейной фор-
мы ),( ⋅⋅π и линейного функционала )(⋅L .
На основании [4, гл.1, теорема 1.1] доказано утверждение.
Теорема 7. Пусть выполнены условия (1′), (4′), (79). Тогда существует
единственный элемент и выпуклого замкнутого в U множества ∂U , для
которого имеет место выражение (12) с функционалом стоимости (78).
Необходимое условие оптимальности управления ∂∈Uu в этом случае
представимо в виде
U∈∀≥−+−− ×Ω×Ω vuvuauyvyzuy LLg ,0),())()(,)(( )()( 22 γγ . (80)
Для каждого управления U∈v сопряженное состояние 0)( VVvp =∈ ∗
определим как обобщенное решение краевой задачи, заданной равенствами
Ω∈−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑
=
xzvy
x
pk
x g
j
ij
ji i
,)(
1
3
1,
,
Γ∈= xp ,0 , (81)
γ∈= xp ,0][ ,
γλ ∈−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑∑
==
xzvyxn
x
pk
x
p
x gi
jji
ij
j
ij
ji i
,)(),(cos
2
3
1,
2
1,
.
Определение 8. Обобщенным решением краевой задачи (81) называется
функция 0)( Vvpp ∈= , доставляющая на 0V минимум функционалу
),(2),()( 11 wylwwawФ −= (82)
или являющаяся решением в 0V задачи в слабой постановке: найти элемент
0)( Vvpp ∈= , который 0Vw∈∀ удовлетворяет тождеству
),(),( 1 wylwpa = , (83)
Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 27
где билинейная форма ),( ⋅⋅a определена первым выражением (8′), а функ-
ционал
)(1 221
),(),(),( γLgg wzywzywyl −+−= . (84)
Лемма 9. При каждом фиксированном Vy∈ задачи (83), (84) эквива-
лентны. Их решение p существует и единственно в 0V .
Выбирая вместо w разность )()( uyvy − , с учетом (61) из (83) имеем
)()( 22
),())()(,())()(,)(( γγ ×Ω×Ω −=−=−− LLg puvuyvypauyvyzuy ,
т.е.
)()( 22
),())()(,)(( γγ ×Ω×Ω −=−− LLg puvuyvyzuy . (85)
Необходимое условие оптимальности управления ∂∈Uu
0),())()(,)(( )()( 22
≥−+−− ×Ω×Ω γγ LLg uvpauyvyzuy , ∂∈∀ Uv
с учетом (85) приобретает вид
,,0),( )(2 ∂×Ω ∈∀≥−+ Uvuvuap L γ (86)
где ).()(),( 22 γLLppp ×Ω∈=
Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется тождест-
вами (61), (83) и неравенством (86).
Если UU =∂ (случай отсутствия ограничений), то из (86) получаем
0=+ uap (87)
или
211 ,0 Ω∪Ω∈=+ xuap ,
γ∈=+ xuap 02 .
Следовательно, при отсутствии ограничений посредством (87) можно
исключить управление u из (61). Для определения вектора 0),( VVpy ×∈
получаем задачу: найти вектор-функцию 0),( VVpy ×∈ , удовлетворяющую
0Vw∈∀ тождествам
)(2
),(),(),( γ×Ω−= Lwapwfwya , (88)
)(2
),(),( γ×Ω−= Lg wzywpa , (89)
где оптимальное управление ),( 21 uuu = находим с помощью выражений (73).
Если векторное решение ),( py задачи (88), (89) достаточно гладкое на
,2,1, =Ω ll а именно, удовлетворяет условиям п.1, то этой задаче соответст-
вует дифференциальная задача нахождения вектор-функции ,),( 0VVpy ×∈
удовлетворяющей системе уравнений (15)−(17), (57), (58), (74), (75) и огра-
ничению
И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 28
γνλ ∈−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− ∑∑
==
xzyx
x
pk
x
p
x gi
jji
ij
j
ij
ji i
,),cos(
2
3
1,
2
1,
. (90)
Определение 9. Обобщенным (слабым) решением краевой задачи
(15)−(17), (57), (58), (74), (75), (90) называется вектор-функция ∈= ),( pyU
0VVH ×=∈ , удовлетворяющая 00021 ),( VVHzzz ×=∈=∀ интегральному
тождеству вида (55), где
+
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
= ∫∫∫ ∑
Ω =
dxyzapz
x
z
x
p
x
z
x
ykzUa
ji ijij
ij
3
1,
21
21),(
γλ
γ
dyzapz
x
z
x
p
x
z
x
y
ijijji
ij∫∫ ∑
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
=
21
21
2
1,
, (91)
)(221 221
),(),(),()( γLgg zzzzzfzl −−= .
Лемма 10. Пусть билинейная форма ),( ⋅⋅a удовлетворяет условию
H -эллиптичности на 0H , т.е. неравенству вида (54). Тогда задача вида (55),
где билинейная форма ),( ⋅⋅a и линейный функционал )(⋅l определяются со-
ответствующими выражениями (91), имеет единственное решение
0),( VVHpyU ×=∈= .
Справедливость леммы устанавливается на основе леммы Лакса-
Мильграма.
Как и в предыдущем случае, задачу вида (55), соответствующую рас-
сматриваемой задаче данного пункта, можно решить с помощью МКЭ. Для
приближенного обобщенного решения HHU N
k
N
k ⊂= и, соответственно,
приближенного оптимального управления apu −= имеют место оценки
вида (34), (77).
ЛИТЕРАТУРА
1. Cанчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. — М.: Мир,
1984. — 472 с.
2. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Модели и методы решения задач в неоднородных
средах. ⎯ Киев: Наук.думка, 2001. ⎯ 606 с.
3. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир,
1980. — 512 с.
4. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями
с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с.
5. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эл-
липтического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с.
6. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Оптимальное управление неоднородными рас-
пределенными системами. — Киев: Наук. думка, 2003. — 506 с.
Поступила 07.06.2004
|
| id | journaliasakpiua-article-171340 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:14Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/b7/ba63300764b0b541c1d87491530a44b7.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1713402019-06-24T16:34:27Z Optimal control of an elliptic system with conjugation conditions that contain a heat conduction equation Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения в виде уравнения теплопроводности Оптимальне керування еліптичною системою з умовами спряження у вигляді рівняння теплопровідності Sergienko, I. V. Deineka, V. S. The paper considers new problems of optimal control of distributed systems. They are described by boundary-value problems for an elliptic equation with such conjugation conditions that contain a heat conduction equation. An optimization system contains a quadratic cost functional. The paper proves the theorems about existence of unique optimal controls for each case. Рассмотрены новые задачи оптимального управления распределенными системами, которые описываются краевыми задачами для эллиптического уравнения с условиями сопряжения вида уравнения теплопроводности и квадратичной функцией стоимости. Для всех описанных случаев доказаны теоремы существования единственных оптимальных управлений. Розглянуто нові задачі оптимального керування розподіленими системами, які описуються крайовими задачами для еліптичного рівняння з умовами спряження у вигляді рівняння теплопровідності та квадратичною функцією вартості. Для всіх описаних випадків доведені теореми існування єдиних оптимальних керувань. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-24 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171340 System research and information technologies; No. 1 (2005); 7-28 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2005); 7-28 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2005); 7-28 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171340/170998 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Sergienko, I. V. Deineka, V. S. Оптимальне керування еліптичною системою з умовами спряження у вигляді рівняння теплопровідності |
| title | Оптимальне керування еліптичною системою з умовами спряження у вигляді рівняння теплопровідності |
| title_alt | Optimal control of an elliptic system with conjugation conditions that contain a heat conduction equation Оптимальное управление эллиптической системой с условиями сопряжения в виде уравнения теплопроводности |
| title_full | Оптимальне керування еліптичною системою з умовами спряження у вигляді рівняння теплопровідності |
| title_fullStr | Оптимальне керування еліптичною системою з умовами спряження у вигляді рівняння теплопровідності |
| title_full_unstemmed | Оптимальне керування еліптичною системою з умовами спряження у вигляді рівняння теплопровідності |
| title_short | Оптимальне керування еліптичною системою з умовами спряження у вигляді рівняння теплопровідності |
| title_sort | оптимальне керування еліптичною системою з умовами спряження у вигляді рівняння теплопровідності |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171340 |
| work_keys_str_mv | AT sergienkoiv optimalcontrolofanellipticsystemwithconjugationconditionsthatcontainaheatconductionequation AT deinekavs optimalcontrolofanellipticsystemwithconjugationconditionsthatcontainaheatconductionequation AT sergienkoiv optimalʹnoeupravlenieélliptičeskojsistemojsusloviâmisoprâženiâvvideuravneniâteploprovodnosti AT deinekavs optimalʹnoeupravlenieélliptičeskojsistemojsusloviâmisoprâženiâvvideuravneniâteploprovodnosti AT sergienkoiv optimalʹnekeruvannâelíptičnoûsistemoûzumovamisprâžennâuviglâdírívnânnâteploprovídností AT deinekavs optimalʹnekeruvannâelíptičnoûsistemoûzumovamisprâžennâuviglâdírívnânnâteploprovídností |