Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими коефіцієнтами
The questions of synthesis of optimal bounded (depending on time only) control for the optimal stability problem with fast oscillating coefficients are considered in the paper. Averaged feedback control was obtained earlier through Fourier coefficients of averaged problems on eigenvalues. The conver...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171341 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334365493592064 |
|---|---|
| author | Kapustyan, O. A. |
| author_facet | Kapustyan, O. A. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "O. A. Kapustyan",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Kapustyan, O. A. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-06-24T16:34:27Z |
| description | The questions of synthesis of optimal bounded (depending on time only) control for the optimal stability problem with fast oscillating coefficients are considered in the paper. Averaged feedback control was obtained earlier through Fourier coefficients of averaged problems on eigenvalues. The convergence of approximated control to exact one is proved and the property of asymptotic stability for initial system, closed by such a control, is established. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.А. Капустян, 2005
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 29
УДК 62-501.47
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ДЛЯ ЗАДАЧІ ОПТИМАЛЬНОЇ СТАБІЛІЗАЦІЇ ЗІ ШВИДКО
ОСЦИЛЮЮЧИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
О.А. КАПУСТЯН
Розглядаються питання синтезу оптимальних граничних (залежних лише від
часу) керувань для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими
коефіцієнтами. Отримано вигляд усередненого керування зі зворотним
зв’язком через коефіцієнти Фур’є усередненої задачі на власні числа. Наведено
обгрунтування збіжності наближених керувань до точних, і встановлена вла-
стивість асимптотичної стійкості для вихідної системи, замкненої вказаним
керуванням.
Нехай керований процес в області },0:),{( 0 ∞<≤≤≤= ttlxtxQ описуєть-
ся функцією ),( txyε , яка задовольняє крайову задачу
),()(),()()),()((),( 11 tvxgtxyxb
x
txyx
xt
txy
++
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ −− ε
εε
εεα (1)
0),(),0( == tlyty εε , (2)
)(),( 0 xtxy ϕε = , (3)
де )(),();,0()(),(;10 2 xbxlLxxg αϕε ∈<< — гладкі 1-періодичні функції
[3]; const;)(0;0const;)( 2221 =∞<≤−≤>=≤≤ bbxbx iυυαυ .
Допустимими керуваннями вважаємо функції ),()( 02 ∞∈ tLtv . У якості
критерію оптимальності вибираємо функціонал
0const,)()),(()(
0 0
22 >=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+= ∫ ∫
∞
γγε
t
l
dttvdxtxyvI . (4)
Згідно з роботою [4], оптимальне керування ][ εyuu = для задачі
(1)–(4) повинно бути асимптотично стійким. В [1,5] знайдено асимптотич-
но стійке оптимальне керування
∑
∞
= +
−=
1
2 )1()(2
1
i ii
ii gy
u εε
εε
ε
γλγ
, (5)
де додатні числа ,...2,1, =ii
εγ являють собою єдиний розв’язок нелінійної
системи [6]
∑
∞
=
=
++
=
1
222
2
...,2,1,
)1())()()((
)(
2
1
j jjji
j
i i
g
εεεε
ε
ε
γλλλγ
γ . (6)
О.А. Капустян
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 30
Для цих чисел вірна оцінка [6]
),0(2
1
21 2)()(2
10 lL
i
ii gεε
εε
λλγ
γγ <<< + . (7)
У формулах, представлених за допомогою рядів, обмежимось скінчен-
ною кількістю N доданків, а всі коефіцієнти Фур’є за розв’язками спект-
ральної задачі для диференціального оператора задачі (2)–(4), окрім коефі-
цієнтів Фур’є розв’язків цієї задачі, замінимо відповідними коефіцієнтами за
розв’язками усередненої спектральної задачі. Тоді замість керування (5) бу-
демо розглядати керування
∑
= +
−=
N
i iNi
iiN
NN
gy
yu
1
020
0
,
)1()(
~
2
1]~[~
γλγ
ε
εε (8)
де N
iiN 1
0 }{ =γ — єдиний додатний розв'язок нелінійної системи
∑
=
≤≤
++
=
N
j jNjji
j
i Ni
g
1
0202020
20
0 1,
)1())()()((
)(
2
1
γλλλγ
γ ; (9)
),(~ 0
iNiN Xyy εε = , а ε
Ny — розв'язок задачі (1)–(3) з керуванням (8).
Лема 1. Для довільних 1,0 ≥> Nε задача (1)–(3) з керуванням (8) має
єдиний роз'язок з класу ))(;,0( 1
02 ΩHTL , причому цей роз'язок належить
))(;,0([ 2 ΩLTC і ],0[ Tt∈∀ , справедлива оцінка
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤ TqgtyN
221exp)( εε
γ
ϕ . (10)
Теорема. Нехай функція з початкової умови )(1
0 Ω∈Hϕ , ≤)(xg
l
γλ 21
0 )(≤ для майже всіх ),0( lx∈ .
Тоді керування (8) розв’язує задачу наближеного синтезу оптимального
керування задачі (1)–(4) таким чином: 0>∀η , 11 ≥∃N , 01 >ε такі, що
1NN ≥∀ , ),0( 1εε ∈∀ , 0tt ≥∀ ,
ηεεε <− )]([)]([ tyutyu NN , (11)
ηεεεεε <− ])[(])[( yuJyuJ NN . (12)
Доведення. Позначимо
b
x
a
x
Ab
x
xa
x
A +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
= − 001 :,)(: εε ,
)1()(2
1:,
)1()(2
1: 020
0
0
2
iNi
i
iN
ii
i
i
gg
γλγ
β
γλγ
β εε
ε
ε
+
−=
+
−= ,
Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 31
де
110
0
;)(1 −−== ∫ aadxxb
l
b
l
; ,...2,1,, 0 =iii λλε — відповідно власні числа
спектральної задачі оператора вихідної задачі (1)–(3) і усередненої спект-
ральної задачі, розташовані у порядку зростання. Тоді керування (5) матиме
вигляд
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∑
∞
=1
,][
i
ii Xyyu εεεεε β , (13)
а рівняння (1)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= ∑
∞
=1
,
i
iit XygyAy εεεεεε β . (14)
Домножимо останнє рівняння на εy і одержимо
∑
∞
=
≤+
1
222
1
2 ||||||||||||)(||||
2
1
i
ii Xygyy
dx
d εεεεεε βλ . (15)
Оскільки
∑∑
∞
=
∞
=
=
1
2
1
)(
i
i
i
ii X εεε ββ ,
4
1
2
224
2
2
2
)(
)(
4
1
)1()(
)(
4
1)( ε
ε
εε
ε
ε
λγγλγ
β i
ii
i
i
gg
≤
+
= ,
то
2
4
1
2
1
2
4
1
2
1
||||
)(4
1)(
)(4
1 ggX
i
i
i
ii ε
ε
ε
εε
λγλγ
β =≤ ∑∑
∞
=
∞
=
.
Тоді (15) перепишеться у вигляді
2
1
2
222
1
2
)(2
||||||||||||)(||||
2
1
ε
εεεε
λγ
λ gyyy
dx
d
≤+ . (16)
Оскільки ελλε 1
0
11 C≤− [3], то ),0(0 11 εεε ∈∀>∃ ,
≤++=+≤ 2
111
2
1
2
11
20
1 )(2)()()( εελλελλ εεε CCC
≤+−+≤+++≤ 2
1
0
1
42
11
0
11
2
1
2
1 ))(12()()(2)()( ελλελεελ εε CCCC
2
1
42
1
42
1 )(2))(12()( εεε λλλ =−+≤ .
Тоді, враховуючи нерівність з умови теореми
l
xg γλ 20
1 )(|)(| ≤ , а та-
кож те, що γλ 40
1
2 )(|||| ≤g , маємо
2
12
1
4
1
2
1
40
1
2
1
2
)(
2
1
)(2
)(2
)(2
)(
)(2
|||| ε
ε
ε
εε λ
λ
λ
λγ
γλ
λγ
=≤≤
g .
О.А. Капустян
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 32
Отже, з останньої нерівності та з (16) одержимо
0||||)(
2
112|||| 22
1
2 ≤⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+ εεε λ yy
dx
d , (17)
0||||)(
2
11
2
2|||| 220
14
2 ≤⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+ εε λ yy
dx
d . (18)
Позначивши
0)(
2
11
2
2 20
14
>⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−= λδ , (19)
за лемою Гронуолла будемо мати
)(22 0||)(||||)(|| ttexty −−≤ δε ϕ , (20)
де число δ з (19) не залежить від ε .
Тепер для кожного 1≥N розглянемо задачу (1)–(3) з наближеним ке-
руванням
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
−= ∑∑
==
N
i
iiNN
N
i iNi
iiN
NN Xy
gy
yu
1
00
1
020
0
,
)1()(2
1][ β
γλγ
ε
ε
εε , (21)
де ε
Ny — розв'язок задачі (1)–(3) з керуванням (21).
Оскільки
||||
)(2
1)( 0
20
11
20
1
00 gX
N
i
iN
N
i
iiN
λγ
ββ ≤= ∑∑
==
,
то однозначна розв'язність задачі (1)–(3) з керуванням (21) на довільному
проміжку часу випливає з леми 1. Тоді, домноживши рівняння
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= ∑
=
N
i
iiNNNN XygyAy
t
1
00, βεεεε
на ε
Ny , одержимо аналогічно попередньому
2
)(
||||
)(2
||||||||||||)(||||
2
1 2
12
20
1
2
222
1
2
ε
εεεεε λ
λγ
λ NNNN ygyyy
dx
d
≤≤+ .
Отже,
)(22 0||)(||||)(|| tt
N exty −−≤ δε ϕ , (22)
де величина δ з (19).
З (20) і (22) маємо, що 0tt ≥∀ , ),0( 1εε ∈∀ , 1≥∀N ,
)(
2 0
||||2||)(||||)(||||)()(||
tt
NN etytytyty
−−
≤+≤−
δ
εεεε ϕ . (23)
Оскільки
Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 33
||||||||
)(2
1||||
2
1,
2
1|][| 12
11
ε
ε
εεεεεε
λγγ
β
γ
yCgyXyyu
i
ii ≤≤⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∑
∞
=
,
де
0
4
22
2
4
1 >=
γ
C
і не залежить від ε ,
||)(||||||
)(2
1||)(||
2
1][ 120
1
tyCgtyyu NNNN
εεεε
λγγ
≤≤ ,
то
)(
2
1
0
||||2][][
tt
NN eCyuyu
−−
≤−
δ
εεεε ϕ . (24)
Отже, 0>∀η існує такий момент часу 01 tt ≥ , що 1,0 ≥∀>∀ Nε ,
1tt ≥∀ виконується нерівність
ηεεεε <− ][][ NN yuyu . (25)
Розглянемо 0tt ≥∀ величину
( )dssvsyvJ
t
t ∫
∞
+= )(||)(||:)( 2γε .
При 0tt = ця величина співпадає з критерієм якості (4).
Тоді
( ) =+≤− ∫
∞
−−−− dseCeyuJyuJ
t
tsts
NNtt
)(22
1
)(2 00 ||||2||||2])[(])[( δδεεεε ϕγϕ
( ) )(2
1
2 011||||2 tteC −−+= δγ
δ
ϕ .
Звідси одержимо, що 0>∀η , 02 tt ≥∃ , 1,0 ≥∀>∀ Nε , 2tt ≥∀ викону-
ється нерівність
ηεεεε <− ])[(])[( NNtt yuJyuJ . (26)
Таким чином, для довільного 0>η з нерівностей (25) і (26) випливає
існування моменту часу 0213 },{max tttt ≥= , який не залежить від N і ε ,
що 1NN ≥∀ , ),0( 1εε ∈∀ , 3tt ≥∀
ηεεεε <− ][][ NN yuyu ,
ηεεεε <− ])[(])[(
33 nntt yuJyuJ . (27)
О.А. Капустян
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 34
Залишилося встановити близькість керувань і критеріїв якості на
],[ 30 tt при досить великих 1≥N і малих 0>ε .
Розглянемо на інтервалі ],[ 30 tt задачу (1)–(3) з керуванням (21). Ос-
кільки для розв’язку цієї задачі ε
Ny виконується оцінка (22), то, позначивши
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∑
=
N
i
iiNNN XyxgtxF
1
00,)(:),( βεε ,
маємо, що ))(;,( 230 Ω∈ ∞ LttLFN
ε і ],[ 30 ttt∈∀ ,
ϕλε 20
1 )()( ≤tFN . (28)
Тоді з леми 1 і з умови )(1
0 Ω∈ Hϕ одержуємо оцінку ],[ 30 ttt ∈∀
)()()( 03
241
0
222
1
01
0
0
tttydty HHN
t
t
Nt
−+≤+∫ ϕλϕεε . (29)
Звідси випливає існування такої функції ),( txzz εε = , що εε zyN → .
Для того щоб перейти до границі при ∞→N у задачі (1)–(3) з керуванням
(21), необхідно довести збіжність ∑
=
N
i
iiN X
1
00β .
Лема 2. 0
1
0
1
00
i
i
i
N
i
iiN XX ∑∑
∞
==
→ ββ слабко в )(2 ΩL при ∞→N , де
)1()(2
1
020
0
0
ii
i
i
g
γλγ
β
+
−= ;
∞
=1
0}{ iiγ — єдиний додатний розв'язок системи
∑
∞
=
≥
++
=
1
0202020
20
0 1,
)1())()()((
)(
2
1
j jjji
j
i i
g
γλλλγ
γ .
Доведення. Оскільки 20
11
00
)(2
||||
λγ
β gX
N
i
iiN ≤∑
=
, то послідовність
∞
== ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∑
11
00
i
N
i
iiN Xβ обмежена в )(2 ΩL .
Тоді
∑∑
∞
==
→
1
00
1
00
i
ii
N
i
iiN XX ββ слабко в
)(2 ΩL ⇔ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
→⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑
∞
==
ψβψβ ,,
1
00
1
00
i
ii
N
i
iiN XX
Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 35
для довільного елемента ψ базису в )(2 ΩL . Виберемо в якості такого бази-
су ∞
=1
0}{ iiX .
Тоді 1≥∀ i
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
→
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑∑
∞
==
0
1
000
1
00 ,, i
j
jji
N
j
jjN XXXX ββ ⇔ 0000
iiNiiN γγββ →⇔→ .
Доведемо останню збіжність. Маємо 1≥∀i
.
)1())()()((
)(
2
1
)1())()()((
)(
2
1
1
0202020
20
1
0202020
20
0
∑
∑
∞
+=
=
++
+
+
++
=
Nj jjji
j
N
j jjji
j
i
g
g
γλλλγ
γλλλγ
γ
Другий доданок є додатним і обмеженим числом
∑
∞
+=
=
1
20 )(
2
1:
Nj
jN g
γ
α ,
причому Nα не залежить від 0, →Ni α при ∞→N . Далі, для довільного
1≥N існує номер NiN ≤ такий, що
00
1
00 max iNi
NiNii NN
γγγγ −=−
≤≤
.
Тоді
≤+−
+
≤− ∑
=
NjNj
N
j jji
j
Nii
N
NN
g
αγγ
λλλγ
γγ 00
1
202020
20
00
))()()((
)(
2
1
≤+−≤+−≤ ∑
=
NNiiN
N
j j
j
Nii
gg
NNNN
α
λγ
γγα
λγ
γγ 40
1
2
00
1
40
20
00
)(2
1
)(
)(
2
1
NNii NN
αγγ +−≤ 00
2
1 ,
звідки
NNiiiNi NN
αγγγγ 20000 ≤−≤− ,
Ni ≤∀ і шукана збіжність доведена.
Звідси εz — розв'язок задачі (1)–(3) з керуванням ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∑
∞
=1
00,
i
ii Xz βε .
Причому за лемою 1 цей розв'язок єдиний у класі ( ))(];,[ 230 ΩLttC . Оскіль-
ки 20
11
00
)(2
||||
λγ
β gX
i
ii ≤∑
∞
=
, то, повторюючи попередні міркування, для розв'я-
зку εz отримаємо оцінку
О.А. Капустян
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 36
],[,)( 30
)(22
0 tttetz tt ∈∀≤ −−δε ϕ . (30)
Оцінка (30) дозволяє стверджувати, що для εz справедлива оцінка (29).
Отже, існує функція ),(00 txzz = така, що 0,0 →→ εε zz .
Оскільки з оцінки (30) випливає
20
11
00
)(2
),(:)(
λγ
ϕ
βεε g
Xtztv
i
ii ≤⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∑
∞
=
,
і задача (1)–(3) з керуванням )(⋅εv має єдиний розв'язок, то можемо скорис-
татися оцінкою
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+≤
+∞∈
2
),(
222
|)(|sup42)(
0
0
1
tvessgty
tt
Ht ϕε (31)
для довільного фіксованого ),((.) 0 +∞∈ ∞ tLv і отримати Ctzt
~)(
2
≤ε
0tt ≥∀ , де константа 0~
>C не залежить від ε . Тоді одержимо, що 0z —
розв'язок задачі
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∂
∂ ∑
∞
=1
00000
0
,
i
ii XzgzA
t
z β , (32)
00 =
Ω∂
z , (33)
ϕ=
= 0
0
tt
z . (34)
Тепер розглянемо задачу (1)–(3) з керуванням
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∑
∞
=1
,
i
ii Xyw εεεε β .
Оскільки для εy справджується оцінка (20), то для нього буде справед-
лива оцінка (29). Таким чином, існує функція ),(00 yxyy = така, що
0yy →ε при 0→ε .
Для того щоб перейти до границі при 0→ε в задачі (1)–(3) з керуван-
ням εw , доведемо лему.
Лема 3. ∑∑
∞
=
∞
=
→
1
00
1 i
ii
i
ii XX ββ εε при 0→ε в )(2 ΩL .
Доведення. Маємо
∑∑∑
∞
+==
∞
=
−+−=−
1
00
1
00
1
00 )()()(
Ni
iiii
N
i
iiii
i
iiii XXXXXX ββββββ εεεεεε ,
Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 37
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤+≤−
++
∞
+=
∞
+=
∑∑ 40
1
2
4
1
2
2
1
202
2
1
00
)()(4
1)||||)(
NNNi
ii
Ni
iiii
gg
XX
λλγ
ββββ
ε
εεε .
Для переходу до границі при 0→ε в доданку ∑
=
−
N
i
iiii XX
1
00 )( ββ εε до-
сить довести, що 11 00 ≥∀→⇔≥∀→ ii iiii γγββ εε . Покажемо останню
збіжність. Введемо позначення
( ) ( ) 202020
20
0
222
2
)()()(
)(
:,
)()()(
)(
:
jji
j
ij
jji
j
ij
gg
λλλ
α
λλλ
α
εεε
ε
ε
+
=
+
= .
Тоді
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=− ∑∑
∞
+== 1
0
0
1
0
0
0
112
1
112
1
Nj j
ij
j
ij
N
j j
ij
j
ij
ii
γ
α
γ
α
γγ
α
γ
α
γ
γγ ε
ε
ε
ε
ε
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
−
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
−
= ∑∑
==
N
j jj
jijij
N
j jj
ijij
1
0
0
1
0
0
)1)(1(
)(
2
1
)1)(1(2
1
γγ
γγα
γγγ
αα
γ ε
εε
ε
ε
∑∑
∞
+==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
−
+
1
0
0
1
0
0
112
1
)1)(1(
)(
2
1
Nj j
ij
j
ij
N
j jj
ijijj
γ
α
γ
α
γγγ
ααγ
γ ε
ε
ε
εε
.
Для довільного 1≥N існує номер NiN ≤ такий, що
Niiiii NN
≤≤∀−≥− 100 γγγγ εε .
Тоді
+−+−≤− ∑∑
==
N
j
ijii
N
j
ijijii NNNN
1
0
1
00
2
1
2
1 εεεε αγγ
γ
αα
γ
γγ
( )∑∑
∞
+==
++−+
1
0
1
0
2
1
2
1
Nj
ijij
N
j
ijij αα
γ
αα
γ
εε .
Справедливі такі оцінки:
2
1
)(22
1
4
1
2
1
≤≤∑
=
ε
ε
λγ
α
γ
gN
j
ij ,
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+≤+
++
∞
+=
∑ 40
1
2
4
1
2
1
0
)()(2
1)(
2
1
NNNj
ijij
gg
λλγ
αα
γ ε
ε .
Тоді
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−≤−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
++=
∑ 40
1
2
4
1
2
1
00
)()(2
11
2
11
NN
N
j
ijijiiN
gg
N λλγ
αα
γ
γγ
ε
εε .
О.А. Капустян
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 38
Оскільки 01 ijiji αα ε →≥∀ при 0→ε , γλ 40
1
2 )(≤g , то
10lim 00
0
≥∀→⇔≤−
→
iiiii γγγγ εε
ε
.
Звідси
40
1
40
1
1
00
01
00
0 )(2
)(
)(lim)(lim
+
∞
=→
∞
=→
+−≤− ∑∑
Ni
iiii
i
iiii XXXX
λγ
λ
ββββ εε
ε
εε
ε
,
і переходячи до границі при ∞→N , маємо шукане.
Враховуючи оцінку (31), можемо перейти до границі при 0→ε в зада-
чі (1)–(3) з керуванням ,εw і в силу єдиності розв’язку (32)–(34) отримати
.00 yz ≡ Отже, всі розглянуті збіжності мають місце по всій підпослідо-
вності. Тоді маємо 1,00 1 ≥>∃>∀ Nεη такі, що Nn ≥∀∈∀ ),0( 1̀εε
],[ 30 ttt∈∀ ,
2
)]([)]([ ηεεε ≤− tyutyu nn ,
2
)])([()()])([()(
3
0
3
0
2222 ηγγ εεεεε ≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + ∫∫
t
t
t
t
nnn dttyutydttyuty .
Ці нерівності разом із нерівностями (25), (26) і доводять теорему.
ЛІТЕРАТУРА
1. Капустян О.А. Усереднений синтез параметричного оптимального керування
швидкоосцилюючим тепловим процесом з обмеженим відокремленим ке-
руванням // Вісник Київського ун-ту. Серія: Фізико-математичні науки. —
2000. — Вип.1. — С. 247–253.
2. Белозеров В.Е., Капустян В.Е. Геометрические методы модального управле-
ния. — Киев: Наук. думка, 1999. — 259 с.
3. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных опера-
торов. — М.: Наука, 1993. — 463 с.
4. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процесса-
ми. — М.: Наука, 1978. — 463 с.
5. Капустян В.Е. Оптимальная стабилизация ограниченным сосредоточенным
управлением решений параболической краевой задачи // Проблемы управ-
ления и информатики. — 1999. — № 6. — С. 58–67.
6. Бублик Б.Н., Невидомский А.И. Синтез оптимального сосредоточенного управ-
ления для уравнения теплопроводности // В кн.: Модели и системы обрабо-
тки информации. — Киев: Выща шк., 1982. — Вып.1. — С. 78–87.
Надійшла 23.10.2003
|
| id | journaliasakpiua-article-171341 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:14Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/3c/544f9d4bcf90316706738ab06938123c.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1713412019-06-24T16:34:27Z Approximated synthesis of optimal control for optimal stability problem with fast oscillating coefficients Приближенный синтез оптимального управления для задачи оптимальной стабилизации с быстро осциллирующими коэффициентами Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими коефіцієнтами Kapustyan, O. A. The questions of synthesis of optimal bounded (depending on time only) control for the optimal stability problem with fast oscillating coefficients are considered in the paper. Averaged feedback control was obtained earlier through Fourier coefficients of averaged problems on eigenvalues. The convergence of approximated control to exact one is proved and the property of asymptotic stability for initial system, closed by such a control, is established. Рассматриваются вопросы синтеза оптимальных граничных (зависящих только от времени) управлений для задачи оптимальной стабилизации с быстро осциллирующими коэффициентами. Получен вид усредненного управления с обратной связью через коэффициенты Фурье усредненной задачи на собственные числа. Приводится обоснование сходимости приближенных управлений к точным и устанавливается свойство асимптотической устойчивости для исходной системы, замкнутой указанным управлением. Розглядаються питання синтезу оптимальних граничних (залежних лише від часу) керувань для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими коефіцієнтами. Отримано вигляд усередненого керування зі зворотним зв’язком через коефіцієнти Фур’є усередненої задачі на власні числа. Наведено обгрунтування збіжності наближених керувань до точних, і встановлена властивість асимптотичної стійкості для вихідної системи, замкненої вказаним керуванням. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-24 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171341 System research and information technologies; No. 1 (2005); 29-38 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2005); 29-38 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2005); 29-38 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171341/170999 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Kapustyan, O. A. Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими коефіцієнтами |
| title | Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими коефіцієнтами |
| title_alt | Approximated synthesis of optimal control for optimal stability problem with fast oscillating coefficients Приближенный синтез оптимального управления для задачи оптимальной стабилизации с быстро осциллирующими коэффициентами |
| title_full | Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими коефіцієнтами |
| title_fullStr | Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed | Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими коефіцієнтами |
| title_short | Наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими коефіцієнтами |
| title_sort | наближений синтез оптимального керування для задачі оптимальної стабілізації зі швидко осцилюючими коефіцієнтами |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171341 |
| work_keys_str_mv | AT kapustyanoa approximatedsynthesisofoptimalcontrolforoptimalstabilityproblemwithfastoscillatingcoefficients AT kapustyanoa približennyjsintezoptimalʹnogoupravleniâdlâzadačioptimalʹnojstabilizaciisbystrooscilliruûŝimikoéfficientami AT kapustyanoa nabliženijsintezoptimalʹnogokeruvannâdlâzadačíoptimalʹnoístabílízacíízíšvidkooscilûûčimikoefícíêntami |