Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання
The paper is dedicated to development of decision-making support module for the Open and Distance Learning Knowledge Base for Decision-Makers. The created mathematical model allows finding rational learning resources that match a person's educational needs. The model is based on the Bellman-Zad...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171351 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334367392563200 |
|---|---|
| author | Khokhlov, V. Yu. |
| author_facet | Khokhlov, V. Yu. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. Yu. Khokhlov",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Khokhlov, V. Yu. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-06-24T16:34:27Z |
| description | The paper is dedicated to development of decision-making support module for the Open and Distance Learning Knowledge Base for Decision-Makers. The created mathematical model allows finding rational learning resources that match a person's educational needs. The model is based on the Bellman-Zadeh approach to solving a fuzzy goal reaching problem. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Ю. Хохлов, 2005
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 69
УДК 007:681.518
РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ПОШУКУ
РАЦІОНАЛЬНОГО ВАРІАНТУ НАВЧАННЯ
В.Ю. ХОХЛОВ
Розглянуто проблему розробки інструментарію бази знань для осіб, які прий-
мають рішення у відкритому та дистанційному навчанні. Розроблено матема-
тичну модель вибору раціональних варіантів навчання відповідно до потреб
суб’єкта. Модель базується на використанні підходу Белмана-Заде до
вирішення задачі досягнення нечітко визначеної мети.
ВСТУП
Розвиток безперервної освіти, яка ґрунтується на концепції навчання протя-
гом всього життя, є однією з основних тенденцій розвитку освіти сьогоден-
ня. Важливі складові безперервної освіти — це відкрите та дистанційне на-
вчання (ВДН) [1, 2]. Відкрите навчання спрямоване на суб’єкта. Його
характерні риси — гнучкість, урахування індивідуальних особливостей і
ліквідація обмежень (бар’єрів). Дистанційне навчання — така форма на-
вчання, у якій суб’єкт навчання та навчальні матеріали, засоби та/або викла-
дацький персонал знаходяться на відстані один від одного, а саме навчання
відбувається, як правило, за допомогою інформаційних телекомунікаційних
технологій. Таке поєднання значно розширює спектр послуг навчання, які
може обрати суб’єкт. Тому важливим практичним завданням є каталогізація
та систематизація наявних послуг ВДН, а також розробка інструментарію
підтримки прийняття рішень у цій галузі.
У жовтні 2002 р. у Києві під егідою ЮНЕСКО відбувся міжнародний
семінар експертів у галузі ВДН з країн СНД та Балтії [3], на якому була об-
ґрунтована актуальність задачі забезпечення осіб, що приймають рішення у
галузі ВДН, відповідним інструментарієм підтримки прийняття рішень —
базою знань «Open and Distance Learning Knowledge Base for Decision-
Makers» (ODLKB). У рамках розв’язання даної проблеми було розпочато
створення:
• бази даних нормативно-правових актів у сфері ВДН;
• інформаційно-аналітичного забезпечення ВДН;
• організації управління системами ВДН;
• наукового та методичного забезпечення ВДН;
• навчальних інформаційних ресурсів;
• бази даних фахівців у галузі ВДН.
Таким чином систематизуються нормативно-правові документи та
створюється каталог ресурсів ВДН. Невирішеною залишається задача роз-
робки інструментарію підтримки прийняття рішень. У даній статті пропону-
ється математична модель пошуку раціонального варіанту навчання —
складової частини цього інструментарію, який, у свою чергу, є складовою
В.Ю. Хохлов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 70
частиною розробки бази знань для осіб, які приймають рішення у сфері
ВДН. Модель ґрунтується на використанні створеного у рамках проекту
ODLKB каталогу інформаційних ресурсів ВДН. Методологічною базою до-
слідження є системна методологія у галузі дистанційної освіти [4] та запро-
понований підхід пошуку раціонального компромісу цілей [5]. Враховуючи
неформалізованість предметної галузі та нечіткість інформації, для побудо-
ви математичної моделі пропонується використовувати підхід Белмана-Заде
до розв’язання задач прийняття рішень при нечіткій вихідній інформації [6,7].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Змістовна постановка задачі: нехай у суб’єкта навчання є освітні потреби, і
їх він може описати у термінах напрямків, за якими він бажає навчатися; за
допомогою ключових слів; у термінах позицій на ринку праці, що він планує
обіймати після завершення навчання. Відома множина ресурсів ВДН, а та-
кож формалізований зміст навчання та вхідні вимоги по кожному ресурсу.
Потрібно знайти серед них такі ресурси, які відповідали б потребам
суб’єкта, та обрати з них рекомендований варіант навчання.
Додатковим ускладненням задачі може бути врахування поточного по-
питу на спеціалістів на ринку праці. Наприклад: відома кількість відкритих
вакансій за позиціями на ринку праці, необхідно при виборі рекомендовано-
го варіанту навчання обрати такий, який не тільки якнайкраще відповідав би
потребам суб’єкта, але й забезпечував легкість працевлаштування.
Математичну постановку цієї задачі, враховуючи введені у [4] позна-
чення, представляємо у такому вигляді:
Задані:
1) нечітка множина напрямків, за допомогою яких суб’єкт може при-
ймати рішення по вибору свого напрямку навчання
{ }Ssss
sss iisi ∈)(,µ ; (1)
2) нечітка множина ключових слів
{ }Kkkk
kkk iiki ∈)(,µ ; (2)
3) нечітка множина позицій на ринку праці, які суб’єкт планує обійма-
ти після завершення навчання
{ }Pppp
ppp iipi ∈)(,µ ; (3)
4) вибіркові параметри випадкових величин )(
pipξ , які характеризу-
ють попит на спеціалістів за професіями Pp
pi ∈ ;
5) множина ресурсів ВДН }{
cicC = та функція приналежності нечітко-
го відношення між множинами C та X — ( )ni xc
c
,ν , що описує повноту
викладення галузі знань nx під час навчання за послугою
cic ;
Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 71
6) вхідні вимоги до рівня знань, вмінь та навичок, необхідних для ус-
пішного початку навчання за ресурсами ВДН — множина нечітких мно-
жин
( ){ } ( ) ( ){ }
cccc ijijii njxxcRcR ,1ˆ,, === θR , (4)
де Cc
ci ∈ — послуга навчання; Xx j ∈ — галузь знань, за якою задана
j -та вхідна вимога до послуги
cic ; ]1;0[)(ˆ ∈ji x
c
θ — функція приналежнос-
ті, що характеризує потрібний рівень знань;
cin — кількість вхідних вимог
до послуги
cic ;
7) наявний рівень знань, вмінь та навичок суб’єкта за галузями знань
{ }Xxxx jjj ∈)(,θ ;
8) функції приналежності нечітких відносин між множинами PKS ,,
та X : ( ) ( ) ( )ninini xpxkxs
pks
,,,,, ννν , які задають зв’язки між відповідними
елементами множин та галузями знань у вигляді числа від 0 до 1.
Потрібно знайти нечітку множину рекомендованих послуг навчання
Cccc mmm ∈)(,µ та обрати з них рекомендований суб’єкту варіант на-
вчання *c .
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ
Математичну модель пошуку раціонального компромісу цілей пропонується
будувати на основі підходу Белмана-Заде до розв’язання задачі досягнення
нечітко визначеної цілі [7]. Фактори, які забезпечують досягнення мети —
це потреби та інтереси суб'єкта навчання, задані у вигляді нечітких множин
(1)–(3). Універсальна множина альтернатив — множина послуг навчан-
ня C .
Нехай задані напрямки навчання ( ){ }
ss isi ss µ, , що викликають заціка-
влення суб’єкта. Оскільки множина напрямків пов’язана з множиною галу-
зей знань нечітким відношенням ),( ni xs
s
ν , то можна визначити нечітку
множину
( ) ( ) NnxssxxxX
s
s
ssSS
N
i
niiSnXnXnS ,1,,)()(,
1
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
== ∑
=
νµµµ . (5)
Зміст множини SX — це індукована відношенням ( )ni xs
s
,ν нечітка
множина, яка містить галузі знань, що відповідають зацікавленням суб’єкта
щодо напрямків навчання. Замість операції min використовується операція
добутку, тому що на значення функції приналежності галузі знань вплива-
ють обидва аргументи — і вагомість обраного напрямку навчання, і ваго-
мість зв’язку між ним і галуззю знань. З таких самих міркувань замість опе-
рації max використовується операція додавання — при max на значення
В.Ю. Хохлов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 72
)( nxµ впливають не усі обрані напрямки навчання, а лише один, з максима-
льним значенням добутку )(
siS sµ ( )ni xs
s
,ν .
По аналогії з (5) визначимо нечіткі множини
( ) ( ) NnxkkxxxX
k
s
kkKK
N
i
niiKnXnXnK ,1,,)()(,
1
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
== ∑
=
νµµµ . (6)
Вони містять галузі знань, що відповідають ключовим словам, за допомогою
яких суб’єкт навчання описав свої потреби й інтереси, та
( ) ( ) NnxppxxxX
p
s
ppPP
N
i
niiPnXnXnP ,1,,)()(,
1
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
== ∑
=
νµµµ , (7)
де є галузі знань, що відповідають позиціям на ринку праці, які він планує
обіймати після завершення навчання.
Розглянемо опуклу комбінацію цих множин
PPKKSS XXXX ρρρ ++=′ , (8)
де PKS ρρρ ,, — коефіцієнти, що задають вагомість критеріїв відповідно
(1)–(3), при цьому виконана умова 1=++ PKS ρρρ .
Зміст множини (8) — нечітка множина галузей знань, які відповідають
інтересам і потребам суб’єкта, тобто формалізоване уявлення освітніх по-
треб суб’єкта. Таким чином, цю множину можна використовувати як части-
ну профайла студента.
Для того щоб врахувати поточний попит на спеціалістів на ринку праці,
пропонується використовувати метод штрафних функцій. При цьому зна-
чення штрафу повинно бути тим більше, чим менше спеціалістів з даної
професії потрібно зараз, тобто чим менше по цій позиції відкрито вакансій.
Кількість відкритих вакансій за позиціями
pip можна оцінити статистично
як вибіркове середнє випадкової величини )(
pipξ — P
ip
E .
Таким чином, корегуємо значення функції приналежності множини X ′ :
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )∑
∑
=
=
′
−
=
p
p
p
p
p
pp
N
i
ni
N
i
P
ini
nXnX
xp
Exp
xx
1
1
,
1,
ν
ψν
µµ , (9)
де Xµ — функція приналежності нечіткої множини (8); ( )P
ip
Eψ — штрафна
функція, яка повинна бути монотонно спадаючою за P
ip
E .
Зміст добутку ( ) ( )P
ini pp
Exp ψν , полягає у тому, що штраф за малий по-
пит на спеціалістів за професією
pip повинен залежати від зв’язку цієї про-
Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 73
фесії з галуззю знань (якщо вони не пов’язані, то штраф не накладається,
якщо цілком відповідають один одному — штраф застосовується повною
мірою).
Розглянемо образ нечіткої множини X ′ на універсальній множині аль-
тернатив C , який генерує нечітке відношення ( )ni xc
c
,ν
C
N
n
nnXmmm NmxcxcccC ,1,),()()()(,
1
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
==′ ∑
=
′ νµµµ . (10)
Це — множина можливих варіантів навчання, які відповідають заданим ви-
хідним даним суб’єкта. Значення функції приналежності відповідає перевазі
вибору тієї чи іншої послуги. Таким чином, множина C ′ — саме і є нечіт-
ким розв’язком задачі.
Для того щоб врахувати вхідні вимоги до рівня знань, вмінь та навичок
суб’єкта навчання, можна застосувати штрафну функцію, яка буде корегува-
ти значення функції приналежності (10)
{ }[ ] ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=′ ∑
∈ )(
2
0,)()(ˆmaxexp)()(
mi cRx
iimmm xxcc θθµµ . (11)
Сума у формулі (11) береться по усім галузям знань jx , які входять до
множини вхідних вимог )( mcR . При цьому якщо рівень знань, вмінь та на-
вичок суб’єкта вищий за вхідну вимогу, то штраф не накладається. В іншо-
му випадку величина штрафу визначається квадратом різниці між потрібним
та наявним рівнями знань.
Обрати єдине рішення з множини альтернатив можна, наприклад, мак-
симізуючи альтернативу
{ })(max)(: **
m
Cc
ccc
m
µµ ′=′
∈
.
ПРИКЛАД ВИКОРИСТАННЯ МОДЕЛІ
Для ілюстрації застосування запропонованої моделі розглянемо задачу по-
шуку раціонального варіанта навчання серед чотирьох спеціальностей, які
пропонуються в Інституті заочного та дистанційного навчання Національно-
го авіаційного університету:
• 7.040201 «Психологія» ( 1c );
• 7.050206 «Менеджмент зовнішньоекономічної діяльності» ( 2c );
• 7.050103 «Міжнародна економіка» ( 3c );
• 7.050201 «Менеджмент організацій» ( 4c ).
Для опису інтересів і потреб суб’єкта навчання у даному розрахунко-
вому прикладі використовуються:
• напрямок навчання «Кадровий менеджмент» ( 1s );
• ключове слово «Бізнес» ( 1k );
• позиція на ринку праці «Керівник адміністративного персоналу» ( 1p );
• позиція на ринку праці «Менеджер з персоналу» ( 2p );
В.Ю. Хохлов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 74
• позиція на ринку праці «Спеціаліст із зовнішньоекономічної діяль-
ності» ( 3p ).
Зв’язки між напрямками навчання, ключовими словами, позиціями на
ринку праці задаються шляхом встановлення значень функцій приналежно-
сті відповідних нечітких відносин ( )ni xs
s
,ν , ( )ni xk
k
,ν , ( )ni xp
p
,ν , що одер-
жані експертним оцінюванням (табл. 1).
Т а б л и ц я 1 . Значення функцій приналежності нечітких відносин
( )ni xs
s
,ν , ( )ni xk
k
,ν , ( )ni xp
p
,ν
Значення функції ( )nx,⋅ν №
п/п
Галузь знань nx
p1 p2 p3 s1 k1
1 Управління документообігом 0,80 0,40 0,40 0,60
2 Управління адміністративним пер-
соналом 1,00 0,65 0,50
3 Управління персоналом 0,80 1,00 0,85 0,70
4 Управління працею 0,60 0,80 0,60
5 Управління підприємством 0,60 0,60 0,80
6 Психологія 0,80
7 Економіка 0,70 0,70
8 Макроекономіка 0,70
9 Зовнішньоекономічна діяльність 1,00 0,50
10 Кадровий менеджмент 0,70 0,80 1,00
11 Мікроекономіка 0,50 0,90
Значення функцій приналежності нечітких відносин ( )ni xc
c
,ν між
множиною галузей знань та множиною пропонованих послуг навчання на-
ведені у табл. 2.
Т а б л и ц я 2 . Значення функцій приналежності нечітких відносин
( )ni xc
c
,ν
Значення функції ( )ni xc
c
,ν №
п/п
Галузь знань nx
с1 с2 с3 с4
1 Управління документообігом 0,30 0,50
2 Управління адміністративним персоналом 0,40 0,10 0,50
3 Управління персоналом 0,60 0,30 0,70
4 Управління працею
5 Управління підприємством 0,50 0,70
6 Психологія 1,00 0,70 0,30
7 Економіка 0,70
8 Макроекономіка 0,50 0,70
9 Зовнішньоекономічна діяльність 0,90 1,00 0,35
10 Кадровий менеджмент 0,80 0,10 0,50
11 Мікроекономіка 0,50 0,50 0,60
Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 75
Розглянемо такі варіанти вихідних даних — нечітких множин KSP ,, :
1. { } { } { }111 /5,0;/6,0;/8,0 kKsSpP === , коефіцієнти === KSP ρρρ
31= .
2. { }21 /7,0;/7,0 ppP = ; ∅=S ; ∅=K при 5,0)()( 31 == PP EE ψψ ,
0)( 2 =PEψ .
3. Такі ж самі KSP ,, при 0)( 1 =PEψ , 1,0)( 2 =PEψ , 2,0)( 3 =PEψ .
4. { }3/0,1 pP = ; { }1/6,0 kK = , коефіцієнти 32=Pρ ; 0=Sρ ; 31=Kρ .
Проведення розрахунків за формулами (5)–(8) для варіантів 1, 4 та
(5)–(9) для варіантів 2, 3 потребує обчислення функцій приналежності нечі-
ткої множини { })(, nXn xx µ , яка є формалізованим відображенням інтере-
сів і потреб суб’єкта. Розраховані значення функції приналежності для варі-
антів 1–4 наведені у табл. 3.
Т а б л и ц я 3 . Значення функцій приналежності 11,1,)( =ixiµ
Варі-
ант
)( 1xµ )( 2xµ )( 3xµ )( 4xµ )( 5xµ )( 6xµ )( 7xµ )( 8xµ )( 9xµ )( 10xµ )( 11xµ
1 0,31 0,48 0,50 0,28 0,13 0 0,12 0 0,08 0,39 0,15
2 0,53 0,35 0,98 0,77 0,32 0,56 0 0 0 0,81 0
3 0,78 0,70 1,19 0,92 0,36 0,50 0 0 0 0,99 0
4 0,39 0,10 0,14 0 0,56 0 0,61 0,47 0,77 0 0,51
За формулою (10) розраховуємо значення функції приналежності нечі-
ткої множини альтернатив { })(, mm cc µ (табл. 4).
Т а б л и ц я 4 . Значення функцій приналежності нечіткої множини аль-
тернатив { })(, mm cc µ
Варіант ( )1cµ ( )2cµ ( )3cµ ( )4cµ *c
1 0,80 0,55 0,24 1,15 c4 — Менеджмент організацій
2 1,93 1,12 0 1,91 c1 — Психологія
3 2,29 1,29 0 2,47 c4 — Менеджмент організацій
4 0,12 1,63 1,78 1,31 c3 — Міжнародна економіка
Можна відзначити, що за варіантом 2 при високому попиті на мене-
джерів з персоналу майже рівні значення мають спеціальності «Психологія»
та «Менеджмент організацій», але якщо зміниться попит на ринку праці і
попит на цю професію впаде, а зросте попит на керівників адміністративно-
го персоналу (варіант 3), то рекомендований варіант зміниться, більш раціо-
нальним буде вибір спеціальності «Менеджмент організацій».
В.Ю. Хохлов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 76
ВИСНОВКИ
1. В статті на основі використання підходу Белмана-Заде до вирішення
задачі досягнення нечітко визначеної цілі запропонована математична мо-
дель, яка дозволяє знаходити множину послуг ВДН, що можуть задовольни-
ти освітні потреби суб’єкта навчання. Це дає змогу врахувати значну долю
суб’єктивізму, яка є характерною рисою опису вихідної інформації — по-
треб, інтересів, цілей професійного позиціонування суб’єкта навчання.
2. Побудована модель є складовою частиною інструментарію підтрим-
ки прийняття рішень у бази знань для осіб, які приймають рішення у сфері
ВДН. Для її практичного використання потрібен каталог ресурсів (послуг)
ВДН, що створюється у рамках проекту ODLKB.
3. Напрямками подальших розробок щодо створення інструментарію
підтримки прийняття рішень у галузі ВДН є розробка програмного забезпе-
чення СППР, яке ґрунтується на використанні запропонованої моделі, а та-
кож створення нових моделей, що дозволятимуть оцінювати попит на освіт-
ні послуги та адекватність наявних послуг, знаходити спеціалістів, рівень
знань, вмінь та навичок яких відповідатиме професійним вимогам для запо-
внення відкритих вакансій.
ЛІТЕРАТУРА
1. Lewis R. What is Open Learning? // Open Learning. — 1986. — 1, № 2. —
P. 5–10.
2. Rumble G. Open Learning, Distance Learning and Misuse of Language // Open
Learning. — 1989. — 4, № 2. — P. 32–40.
3. Міжнародний семінар ЮНЕСКО // Системні дослідження та інформаційні те-
хології. — 2002. — № 3. — С. 146–153.
4. Панкратова Н.Д., Хохлов В.Ю. Построение модели дистанционного образова-
ния на основе системной методологии // Системні дослідження та інфо-
рмаційні технології. — 2002. — № 3. — С. 85–98.
5. Панкратова Н.Д., Хохлов В.Ю. Рациональный компромисс целей субъектов
дистанционного образования // Системні дослідження та інформаційні тех-
нології. — 2003. — № 4. — С. 44–59.
6. Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной инфор-
мации. — М.: Наука, 1981. — 208 с.
7. Зайченко Ю.П. Исследование операций: нечеткая оптимизация: Учеб. посо-
бие. — Киев: Вища шк., 1991. — 191 с.
Надійшла 12.05.2004
|
| id | journaliasakpiua-article-171351 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:16Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/09/0521ec6d0c9f69196db8e7b51af7dc09.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1713512019-06-24T16:34:27Z Building a mathematical model for finding a rational learning resource Разработка математической модели поиска рационального варианта обучения Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання Khokhlov, V. Yu. The paper is dedicated to development of decision-making support module for the Open and Distance Learning Knowledge Base for Decision-Makers. The created mathematical model allows finding rational learning resources that match a person's educational needs. The model is based on the Bellman-Zadeh approach to solving a fuzzy goal reaching problem. Рассмотрена проблема разработки инструментария базы знаний для лиц, принимающих решения в открытом и дистанционном обучении. Разработана математическая модель выбора рациональных вариантов обучения в соответствии с потребностями субъекта. Модель основывается на использовании подхода Беллмана-Заде к решению задачи достижения нечетко определенной цели. Розглянуто проблему розробки інструментарію бази знань для осіб, які приймають рішення у відкритому та дистанційному навчанні. Розроблено математичну модель вибору раціональних варіантів навчання відповідно до потреб суб’єкта. Модель базується на використанні підходу Белмана-Заде до вирішення задачі досягнення нечітко визначеної мети. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-24 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171351 System research and information technologies; No. 1 (2005); 69-76 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2005); 69-76 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2005); 69-76 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171351/171007 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Khokhlov, V. Yu. Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання |
| title | Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання |
| title_alt | Building a mathematical model for finding a rational learning resource Разработка математической модели поиска рационального варианта обучения |
| title_full | Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання |
| title_fullStr | Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання |
| title_full_unstemmed | Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання |
| title_short | Розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання |
| title_sort | розробка математичної моделі пошуку раціонального варіанту навчання |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171351 |
| work_keys_str_mv | AT khokhlovvyu buildingamathematicalmodelforfindingarationallearningresource AT khokhlovvyu razrabotkamatematičeskojmodelipoiskaracionalʹnogovariantaobučeniâ AT khokhlovvyu rozrobkamatematičnoímodelípošukuracíonalʹnogovaríantunavčannâ |