Прообрази просторів невизначеності. Прості підпростори
A semantic hypothesis and a demand on succession of the development of uncertainty apparatus are formulated. The restriction problem is described. The problem consists in having learned to exclude from consideration some points of uncertainty space. A conjecture that the restriction problem solution...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171359 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302418197676032 |
|---|---|
| author | Diduk, N. N. |
| author_facet | Diduk, N. N. |
| author_sort | Diduk, N. N. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-06-24T16:34:27Z |
| description | A semantic hypothesis and a demand on succession of the development of uncertainty apparatus are formulated. The restriction problem is described. The problem consists in having learned to exclude from consideration some points of uncertainty space. A conjecture that the restriction problem solution is connected with construction of subspaces is considered. The notions of uncertainty space prototype and subspace (as a particular case of prototype) is built with the help of methods of N. Bourbaki’s theory of mathematical structures. Examples of subspaces are given. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.Н. Дидук, 2005
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 127
TIДC
НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ,
ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 519.7
ПРООБРАЗЫ ПРОСТРАНСТВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.
ПРОСТЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
Н.Н. ДИДУК
Сформулированы семантическая гипотеза и требование преемственности к
развитию аппарата неопределенности. Описана задача ограничения, состоящая
в том, чтобы научиться исключать из рассмотрения некоторые точки про-
странства неопределенности. Рассмотрено предположение о том, что решение
задачи ограничения связано с построением подпространств. С помощью мето-
дов теории математических структур Н. Бурбаки построены понятия прообра-
за и подпространства пространства неопределенности (как частного случая
прообраза). Приведены примеры подпространств.
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ ОГРАНИЧЕНИЯ
Статья посвящена нахождению метода, позволяющего исключать из рас-
смотрения некоторые точки произвольного пространства неопределенности
(ПН). Эта задача названа здесь задачей ограничения. Актуальность ее ре-
шения следует из того, что пространства неопределенности (представляю-
щие собой формальные конструкции) используются для формализации раз-
нообразных ситуаций неопределенности, с которыми мы сталкиваемся в
процессе принятия каких-либо решений. Сформулированная ниже семанти-
ческая гипотеза представляет собой предположение о том, что между си-
туациями и пространствами неопределенности может быть в обоих направ-
лениях установлено соответствие (не являющееся, однако, взаимно
однозначным).
Семантическая гипотеза. Всякая ситуация неопределенности, суще-
ствующая на данном дискретном множестве, может быть формализована с
помощью некоторого ПН (построенного на этом множестве). С другой сто-
роны, всякому пространству неопределенности можно сопоставить одну или
несколько ситуаций неопределенности (рассматриваемых как интерпрета-
ции данного пространства). ■
Смысл ситуаций неопределенности, с которыми мы сталкиваемся, как
правило, сводится к тому, что нам неизвестно, какое из возможных состоя-
ний природы (от которых зависит уместность принимаемых решений) фак-
тически имеет место. Характер и степень этой неизвестности могут быть
очень разнообразными (о чем, в частности, свидетельствует огромное раз-
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 128
нообразие пространств неопределенности), но в любом случае существую-
щая неопределенность мешает принимать вполне обоснованные решения.
Однако иногда оказывается возможным до принятия решения получить о
существующей ситуации дополнительную информацию, позволяющую
уменьшить связанную с нею степень неопределенности. Самым простым
примером такого рода является получение сведений о том, что некоторые из
состояний природы не могут иметь места и, следовательно, их можно ис-
ключить из рассмотрения.
Этим и объясняется важность решаемой здесь задачи ограничения, так
как если исходная ситуация неопределенности была формализована с по-
мощью некоторого ПН, то исключить из рассмотрения ряд состояний при-
роды можно только одним способом: для этого необходимо исключить из
рассмотрения соответствующие точки данного пространства.
2. РАЗЪЯСНЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ЗАДАЧИ
Пусть задано дискретное множество X (т.е. множество, имеющее не более
чем счетную мощность). Рассмотрим множество X
+R всех функций, отоб-
ражающих множество X в множество { }∞∪= ++ RR df . Всякий функционал
S, отображающий множество функций X
+R в множество чисел
{ }∞∪= RdfR , называется критерием свертывания (КС) по множеству X ,
если он является возрастающим, т.е. если для любых двух функций
Xgf +∈R, соотношение gf ≤ влечет соотношение )()( gf SS ≤ . Множест-
во всех критериев свертывания по множеству X обозначается )(XT . Ре-
зультат )( fS применения функционала S к функции Xf +∈R обозначается
еще )(xf
Xx∈
S . Пространством неопределенности называется всякая пара
( )S,X , где X (носитель пространства) — дискретное множество, а S (КС
пространства) принадлежит множеству )(XT .
Мы здесь напомнили определение понятия пространство неопреде-
ленности [1] для того, чтобы читателю стало ясно, что формулировка
«исключить из рассмотрения некоторые точки данного ПН» фактически не
описывает никакую математическую задачу. Действительно, если взять
некоторое ПН ( )S,X и вместо множества X подставить какое-либо его соб-
ственное подмножество A , то полученная пара ( )S,A , очевидно, не будет
уже пространством неопределенности. Иначе говоря, в описанной выше за-
даче ограничения трудность состоит не в том, что мы не знаем, как ее ре-
шать, а в том, что задача, как будто, вообще не имеет смысла.
С другой стороны, хорошо известно, что задача ограничения не бес-
смысленна, так как в некоторых частных случаях она успешно решается.
Приведем пример. Рассмотрим вероятностную ситуацию неопределенности
на (дискретном) множестве X , описываемую заданным на X распределе-
нием вероятностей p . Предположим, что из каких-то источников стало из-
Прообразы пространств неопределенности. Простые подпространства
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 129
вестно, что не все элементы множества X нужно принимать во внимание, а
только те, которые принадлежат его (непустому) собственному подмноже-
ству A . Как следует описывать возникшую таким образом новую ситуацию
неопределенности? Аппарат теории вероятностей позволяет эту задачу ре-
шить при условии, если сумма
∑
∈
=
Ax
df xpAp )()( (1)
не равна нулю. В этом случае задача ограничения на множество A распре-
деления p решается путем задания нового распределения вероятностей Ap
(уже не на множестве X , а на множестве A ) в соответствии со следующей
дефиницией:
)(
)(
Ap
xpxp dfA = ◊ A . (2)
Приведенный пример показывает, что в вероятностном случае решение
задачи ограничения не сводится просто к выбрасыванию из исходного
множества X «лишних» точек, а требует более глубоких преобразований.
Того же можно, вероятно, ожидать и в общем случае. Иначе говоря, для того
чтобы построить ограничение пространства неопределенности ( )S,X на
подмножество XA⊂ (т.е. исключить из рассмотрения все точки простран-
ства ( )S,X , не принадлежащие подмножеству A ), по-видимому,
необходимо перейти к некоторому новому ПН вида ( )AA S, .
Способ осуществления этого перехода должен быть заранее описан и
представлять собой некоторое преобразование критериев свертывания по
множеству X в критерии свертывания по множеству A . Такое преобразо-
вание могло бы иметь вид
A
dfAF SS= (3)
(где КС AS представлял бы собой результат )(SAF применения к исходному
критерию S преобразования AF ). Нужно еще заметить: чтобы трактовать
преобразование AF как полноценную функцию, не хватает информации, по-
скольку пока неизвестно, какой могла бы быть область определения этой
функции. Известно только, что ее область определения, по-видимому, не
будет совпадать с множеством )(XT всех КС по множеству X , так как не
исключено, что к некоторым элементам множества )(XT преобразование
AF будет неприменимо.
3. ТРЕБОВАНИЕ ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В РАЗВИТИИ АППАРАТА
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Легко понять, что у нас все еще нет удовлетворительной формулировки за-
дачи ограничения. В самом деле, не только неизвестно, какого рода преоб-
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 130
разование AF требуется построить, но не указан также способ, позволяю-
щий проверить, является ли некоторое преобразование типа (3) решением
этой задачи.
Тем не менее способ проверки правильности решения подобных задач
уже известен. Он был предложен в работе [2, 3], где сформулированы ос-
новные требования к создаваемому аппарату неопределенности [2, 3, часть
II, с. 165]. Здесь имеется в виду второе из этих требований, которое можно
рассматривать как требование преемственности в развитии аппарата неоп-
ределенности.
Требование преемственности. Аппарат неопределенности должен
быть применим, в частности, к ситуациям чисто вероятностного типа, при-
чем в этом случае результаты его применения должны совпадать с анало-
гичными результатами применения теории вероятностей и теории информа-
ции. ■
Таким образом, для проверки того, что задача ограничения действи-
тельно решена, способ ее решения необходимо испытать на примере веро-
ятностного типа неопределенности. А поскольку погружение вероятностно-
го типа неопределенности привело к шенноновским пространствам [1,
с. 130], фактически проверка сводится к применению упомянутого способа к
шенноновским пространствам.
Предположим, что для некоторого подмножества XA⊂ задано преоб-
разование AF вида (3) (т.е. такое, что для каждого КС )(XT∈S , к которому
оно применимо, результат применения )(SAF является критерием свертыва-
ния по множеству A ). И пусть необходимо выяснить, являются ли про-
странства неопределенности вида ( ))(, SAFA правильным решением задачи
ограничения на подмножество A для пространств вида ( )S,X .
Для этого достаточно выполнить следующее:
1. В качестве исходного ПН ( )S,X взять шенноновское пространство
вида ( )pX ∑, (где p — некоторое распределение вероятностей на множест-
ве X ).
2. Найти результат )( pAF ∑ применения к критерию p∑ преобразова-
ния AF (для тех случаев, когда оно применимо). Выполнение этого шага
равносильно построению нового ПН вида ( ))(, pAFA ∑ (где )( pAF ∑ есть КС
по множеству A ).
3. Построить ограничение Ap распределения вероятностей p на мно-
жество A согласно дефиниции (2). Выполнение этого шага фактически оз-
начает построение нового шенноновского пространства вида ( )ApA ∑, .
4. Проверить, выполняется ли равенство
AA ppF ∑=∑ )( . (4)
5. Если равенство (4) имеет место, то нужно сделать вывод, что преоб-
разование AF удовлетворяет требованию преемственности и, следователь-
Прообразы пространств неопределенности. Простые подпространства
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 131
но, является решением задачи ограничения на множество A . В противном
случае вывод должен быть отрицательным.
Итак, учет требования преемственности придает задаче ограничения
достаточную степень определенности. Однако ее по-прежнему нельзя в
полном смысле отнести к математическим задачам, так как фактически в
ней ставится вопрос об изобретении семейства требуемых преобразований
AF (индекс A может быть произвольным непустым подмножеством мно-
жества X ). Поэтому, для того чтобы поиск нужных преобразований AF не
был беспорядочным, а приобрел некое направление, желательно подыскать
какую-нибудь родственную математическую задачу.
4. НАХОЖДЕНИЕ РОДСТВЕННОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
Некоторое представление о характере требуемых преобразований AF можно
получить, вспомнив об общематематическом понятии подпространства.
Как известно, во многих разделах математики изучаются различные разно-
видности математических пространств, каждое из которых чаще всего
может быть представлено в виде пары ( )eX, , где X — некоторое множест-
во, а e — заданная на X математическая структура (в таких случаях еще
говорят, что множество X наделено структурой e ).
Замечание. В своей теории математических структур ([4], гл. IV)
Н. Бурбаки показал, что произвольное конечное число математических
структур (заданных на множестве X ) может быть представлено в виде од-
ной структуры, так что достаточно рассматривать случай, когда множество
X наделено единственной структурой. ■
Так, например, общая алгебра изучает разные виды алгебраических
пространств (группы, кольца, тела, поля, модули, векторные пространства,
алгебры, тензорные пространства, [5]), топология — топологические про-
странства и пространства равномерной топологии [6], топологическая ал-
гебра — топологические группы, числовые и проективные пространства [7],
топологические векторные пространства [8] и т.д.
Во всех разделах математики, в которых изучаются какие-либо матема-
тические пространства вида ( )eX, , кроме основного пространства обычно
рассматриваются еще две главные его модификации: подпространства и
факторпространства. Известно также, что факторпространства являются
частным случаем понятия образа математического пространства ([4], гл. IV,
§ 2, п. 6; а также [9], разд. 6–8). Еще одним частным случаем образа являет-
ся понятие проекции двумерного пространства ([9], разд. 9 и 10). Образ же
математической структуры относится к так называемым финальным струк-
турам ([4], гл. IV, § 2, п. 5; а также [8], разд. 4–6). Аналогично, подпро-
странства являются частным случаем понятия прообраза математического
пространства ([4], гл. IV, § 2, п. 4), а прообраз математической структуры
относится к так называемым начальным структурам (там же, п. 3).
Итак, довольно правдоподобно, что наша задача ограничения должна
быть как-то связана с задачей построения подпространств (которая, в отли-
чие от задачи ограничения, является уже чисто математической). Действи-
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 132
тельно, ведь понятие подпространства как раз и означает результат исклю-
чения из рассмотрения некоторых точек исходного математического про-
странства. А пространства неопределенности, очевидно, являются частным
случаем математических пространств.
Поэтому мы займемся здесь построением подпространств ПН. В про-
цессе решения этой задачи снова (так же, как и в работе [9]) придется время
от времени обращаться к теории математических структур Н. Бурбаки. Но
от читателя не требуется знакомство с этой теорией, так как здесь даются
все необходимые определения и разъяснения.
5. НАЧАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ ДЛЯ ПН
Напомним, что в работе [9] была выбрана система морфизмов для про-
странств неопределенности, характеризуемая следующим утверждением.
Теорема 1. Для любых двух ПН ( )S,X и ( )T,Y множество функций
σ ┊ TS,;,YX ┊ ( )( ){ })()(: gggY YX
df TS ≤∈∀∈= + ϕϕ R (5)
(отображающих X в Y ) есть система морфизмов пространства ( )S,X в
пространство ( )T,Y ([9], разд. 2, теорема 1). ■
Морфизмы для пространств неопределенности (соответствующие де-
финиции (5)) были названы инфоморфизмами. Из теоремы 1 следует, что
функция XY∈ϕ тогда и только тогда является инфоморфизмом, когда для
каждой функции Yg +∈R (отображающей Y в +R ) имеет место неравенство
(g))( TS ≤ϕg . (6)
В работе [9] инфоморфизмы использовались для построения образов
ПН (представляющих собой пример финальных структур). Теперь же мы
используем инфоморфизмы для построения прообразов ПН. Так как прооб-
разы представляют собой частный случай начальных структур, сначала нам
необходимо заняться построением последних.
Однако подобно тому, как в [9] не пришлось рассматривать самое об-
щее понятие финальной структуры [4, гл. IV, § 2, п. 5], в этой работе нам не
придется рассматривать и самое общее понятие начальной структуры (там
же, п. 3). Поэтому сейчас дадим определение требуемого здесь частного
случая этого понятия (в применении к пространствам неопределенности).
Определение 1. Пусть заданы два ПН ( )S,X и ( )T,Y и функция ϕ ,
отображающая X в Y . Критерий свертывания S называется начальной
структурой для пространства ( )T,Y относительно функции ϕ , если он об-
ладает следующим свойством: для любого ПН ( )R,V и любой функции τ ,
отображающей V в X , соотношение στ ∈ ┊ SR,;, XV ┊ равносильно соот-
ношению στϕ ∈ ┊ TR,;,YV ┊ ([4], гл. IV, § 2, п. 3). ■
Из определения 1 и дефиниции (5) следует, что КС )(XT∈S тогда и
только тогда является начальной структурой для ПН ( )T,Y относительно
Прообразы пространств неопределенности. Простые подпространства
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 133
функции YX →:ϕ , когда для любого ПН ( )R,V и любой функции τ, ото-
бражающей V в X , соотношение
( )( ))()( ggg X SR ≤∈∀ + τR (7)
равносильно соотношению
( )( ))()( hhh Y TR ≤∈∀ + τϕR . (8)
6. КРИТЕРИИ СВЕРТЫВАНИЯ НА ВХОДЕ ФУНКЦИИ
Вводимое ниже понятие критерия свертывания, согласованного с данным
ПН на входе данной функции, как станет ясно из теоремы 2, является удоб-
ным инструментом для построения начальных структур.
Определение 2. Пусть заданы ПН ( )T,Y , дискретное множество X и
функция ϕ , отображающая X в Y . Будем говорить, что КС )(XT∈S со-
гласован с ПН ( )T,Y на входе функции ϕ , если ϕ есть инфоморфизм про-
странства ( )S,X в пространство ( )T,Y . ■
Множество всех КС из )(XT , согласованных на входе функции ϕ с
пространством ( )T,Y , будем обозначать ),|( TYXϕT . Из определения инфо-
морфизма следует, что соотношение
),|( TS YXϕT∈ (9)
равносильно следующему утверждению: S есть КС по множеству X , и для
любой функции Yg +∈R имеет место неравенство
(g))( TS ≤ϕg . (10)
Теорема 2. Если существует КС по множеству X , являющийся на-
чальной структурой для ПН ( )T,Y относительно функции YX →:ϕ , то он
единствен и является наибольшим элементом множества ),|( TYXϕT ([4],
гл. IV, § 2, п. 3, критерий CST9). ■
Прежде чем двигаться дальше, примем два соглашения о сужениях и
продолжениях функций. Пусть задано некоторое множество Z и два его
подмножества X и Y , таких, что ZYX ⊂⊂ . И пусть на множестве Y оп-
ределена некоторая функция g . Тогда сужение функции g на множество
X будем обозначать Xg ↓ .
Ту же самую функцию g можно тривиальным образом продолжить на
множество Z , построив для нее так называемое нулевое продолжение
Zg ↑ , задаваемое следующей дефиницией:
zZg df
=↑ ( )(zg , если Yz∈ ; в противном случае 0) ◊ Z . (11)
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 134
Результат )(zZg ↑ применения функции Zg ↑ к элементу Zz∈ будем
кратко описывать еще так:
)|( 0:)()( YzzgzZg ∈=↑ . (12)
Пусть теперь задана функция ϕ , инъективно (взаимно однозначно)
отображающая X в Y (это предположение будет действовать до конца ста-
тьи). Тогда функция ϕ является также биекцией множества X на ее область
значений Y⊂ϕVal . Поэтому существует и обратная биекция 1−ϕ , отобра-
жающая ϕVal на X . Пусть кроме того задана функция Xf +∈R .
Рассмотрим функцию 1−ϕf , отображающую ϕVal в +R . Построим
ее нулевое продолжение на множество Y по образцу дефиниции (11) и обо-
значим его Yf 1−ϕ :
)|( 0Val:)(11 ϕϕϕ ∈= −− yyfyYf df ◊Y . (13)
Определенная таким образом функция Yf 1−ϕ будет использована как
еще один инструмент для построения начальных структур.
7. ДВЕ ЛЕММЫ
Для каждой функции Xf +∈R зададим множество fG таких функций
Yg +∈R , которые удовлетворяют требованию ϕgf ≤ . Иначе говоря, по-
ложим
{ }ϕgfgG Y
dff ≤∈= + :R . (14)
Лемма 1. Пусть ϕ есть инъекция множества X в множество Y . То-
гда для каждой функции Xf +∈R множество fG непусто и имеет наимень-
ший элемент, причем
YfGf
1min −= ϕ . ■ (15)
Доказательство. Рассмотрим композицию ϕϕ Yf 1− функций
Yf 1−ϕ и ϕ . Покажем, что функция ϕϕ Yf 1− совпадает с функцией f .
Действительно, так как на множестве ϕVal функция Yf 1−ϕ по построе-
нию совпадает с функцией 1−ϕf , для любого Xx∈ получим
== −− ))(()( )()( 11 xYfxYf ϕϕϕϕ
).()()( )())(( 11 xfxfxf === −− ϕϕϕϕ
Так что имеем равенство
.1 fYf =− ϕϕ (16)
Прообразы пространств неопределенности. Простые подпространства
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 135
Поэтому (ввиду YYf +
− ∈R1ϕ ) из (14) следует
.1
fGYf ∈−ϕ (17)
Таким образом, мы доказали, что множество fG непусто.
Покажем теперь, что функция Yf 1−ϕ является наименьшим элемен-
том множества fG . Пусть функция Yg +∈R принадлежит множеству fG .
Тогда ввиду (14) имеет место неравенство ϕgf ≤ . Так как функция g
определена на множестве Y , можно построить ее сужение
ϕϕ Val↓= gg df (18)
на множество ϕVal . А поскольку ϕ есть биекция X на ϕVal , соотноше-
ние ϕgf ≤ влечет соотношение ϕϕ gf ≤−1 .
Поэтому для любого ϕVal∈y получим
).()()()( )()( 11 yYfyfygyg −− =≥= ϕϕϕ (19)
Для любого же Yy∈ , не принадлежащего множеству ϕVal , ввиду Yg +∈R
получим
).(0)( )( 1 yYfyg −=≥ ϕ (20)
Таким образом, для любого Yy∈ имеем
).()( )( 1 yYfyg −≥ ϕ (21)
Лемма доказана. ■
Для каждой функции Xf +∈R зададим следующее числовое множество:
{ }fdf GggYfR ∈= :)(, )( | TTϕ . (22)
Лемма 2. Пусть ϕ есть инъективное отображение X в Y . Тогда для
каждой функции Xf +∈R множество )|( ,TYfRϕ имеет наименьший эле-
мент (относительно обычного порядка в R ), причем выполняется равенство
)(, 1)|(min YfYfR −= ϕϕ TT . ■ (23)
Доказательство. Справедливость леммы следует непосредственно из
леммы 1 и того, что функционал T является возрастающим. Лемма доказа-
на. ■
8. ПОСТРОЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ СТРУКТУР
Пусть задано ПН ( )T,Y (и, по-прежнему, предполагается, что ϕ есть инъек-
тивное отображение X в Y ). Как станет ясно из теоремы 4, задаваемый
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 136
ниже на множестве X
+R функционал ϕT представляет собой начальную
структуру для пространства ( )T,Y относительно функции ϕ . Функционал
ϕT характеризуется дефиницией
)( 1Yffdf
−= ϕϕ TT ◊ X
+R (24)
(каждой функции f из множества X
+R он ставит в соответствие число
)( 1Yf −ϕT ). Для любых двух функций Xgf +∈R, в силу (24) соотношение
gf ≤ влечет соотношение )()( gf ϕϕ TT ≤ . Так что функционал ϕT являет-
ся критерием свертывания по X , а пара ( )ϕT,X — пространством неопре-
деленности.
Теорема 3. КС ϕT обладает следующими свойствами:
1. Для любой функции Xf +∈R имеет место равенство
)|( 0Val:)()()( 11 ϕϕϕϕ ∈== −−
∈
yyfYff
Yy
TTT . (25)
2. КС ϕT согласован на входе функции ϕ с ПН ( )T,Y , т.е. удовлетво-
ряет условию
),|( TT YXϕϕ T∈ . (26)
3. Для любого КС ),|( TS YXϕT∈ имеет место неравенство
ST ≥ϕ . ■ (27)
Доказательство. Первое утверждение теоремы непосредственно сле-
дует из дефиниций (13) и (24).
Второе утверждение равносильно следующему: для любой функции
Yg +∈R имеет место неравенство
)()( gg TT ≤ϕϕ . (28)
В силу дефиниции (24) для любой функции Yg +∈R имеем
)()( 1Ygg −= ϕϕϕϕ TT . (29)
А так как функция 1−ϕϕ есть тождественное отображение множества
ϕVal на себя, выполняется равенство
ϕϕϕ ϕ Val1 ↓==− ggg . (30)
Поэтому из (29) получим для любой функции Yg +∈R неравенство
)()()( gYgg TTT ≤↑= ϕϕϕ (31)
(где Yg ↑ϕ — нулевое продолжение функции ϕg на множество Y , дефи-
ниция (11)). Это доказывает второе утверждение теоремы.
Прообразы пространств неопределенности. Простые подпространства
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 137
Докажем третье утверждение. Пусть заданы КС ),|( TS YXϕT∈ и
функция Xf +∈R . Как следует из доказательства леммы 1, какой бы ни была
функция Xf +∈R , выполняется равенство ϕϕ Yff 1−= (соотношение
(16)). Поэтому имеем
)()( 1 ϕϕ Yff −=SS . (32)
Из соотношения ),|( TS YXϕT∈ следует, что для любой функции
Yg +∈R имеет место
(g))( TS ≤ϕg . (33)
А так как YYf +
− ∈R1ϕ , то из (32) и (33) получим
)()()( 1 fYff ϕϕ TTS =≤ − . (34)
Третье утверждение теоремы доказано. Теорема доказана. ■
Предложение 1. Пусть ϕ есть инъекция X в Y . Тогда множество
),|( TYXϕT обладает следующими свойствами: 1) оно непусто; 2) оно обла-
дает наибольшим элементом относительно порядка, индуцированного на
нем из множества )(XT ; 3) его наибольший элемент имеет вид
ϕϕ TT =),|(max YXT . ■ (35)
Доказательство. Первое утверждение следует из соотношения (26).
Второе и третье утверждения следуют из третьего утверждения теоремы 3.
Предложение доказано. ■
Теорема 4. Пусть функция ϕ инъективно отображает X в Y . Тогда
КС ϕT является начальной структурой на множестве X для ПН ( )T,Y
относительно функции ϕ . ■
Доказательство. Согласно определению 1 нужно доказать следующее.
Пусть задано ПН ( )R,V и некоторая функция τ, отображающая V в X . То-
гда, для того чтобы выполнялось соотношение
στ ∈ ┊ ϕTR,;, XV ┊, (36)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
στϕ ∈ ┊ TR,;,YV ┊. (37)
Д о ст ат о ч н о ст ь . Пусть выполняется (37), т.е. для каждой функ-
ции Yh +∈R имеет место неравенство
)()( hh TR ≤τϕ . (38)
Нужно доказать, что тогда выполняется (36), т.е. что для каждой функции
Xg +∈R справедливо неравенство
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 138
)()()( 1Yggg −=≤ ϕϕτ TTR . (39)
Пусть задана функция Xg +∈R . Так как YYg +
− ∈R1ϕ , то функцию
Yg 1−ϕ можно подставить в (38) вместо функции h . Тогда получим
)()( 11 YgYg −− ≤ ϕτϕϕ TR . (40)
Как было установлено при доказательстве леммы 1, для любой функ-
ции Xf +∈R (при условии инъективности функции ϕ ) выполняется равен-
ство fYf =− ϕϕ 1 (соотношение (16)). Поэтому имеем gYg =− ϕϕ 1 ,
так что из неравенства (40) можем получить (39). Достаточность доказана.
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть выполняется (36), т.е. для каждой функ-
ции Xg +∈R имеет место (39). Нужно доказать, что тогда выполняется (37),
т.е. для каждой функции Yh +∈R выполняется (38).
Пусть задана функция Yh +∈R . Так как Xh +∈Rϕ , то функцию ϕh
можно подставить в (40) вместо функции g . Тогда получим
)()( 1Yhh −≤ ϕϕτϕ TR . (41)
Поскольку функция 1−ϕϕ является тождественным отображением множе-
ства ϕVal на себя, функция 1−ϕϕh есть сужение функции h на ϕVal .
Обозначим это сужение ϕh , т.е.
1Val −=↓= ϕϕϕϕ hhh df . (42)
Тогда вместо (41) получим
)()( Yhh ↑≤ ϕτϕ TR . (43)
А так как имеет место hYh ≤↑ϕ , неравенство (43) влечет (в силу монотон-
ности функционала T) неравенство (38). Необходимость доказана. Теорема
доказана. ■
9. ИНЪЕКТИВНЫЕ ПРООБРАЗЫ. ПРОСТЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
Определение 3. Пусть заданы ПН ( )T,Y , множество X и функция
ϕ , инъективно отображающая множество X в множество Y . Тогда ПН
( )ϕT,X (соответственно, КС ϕT ) будем называть инъективным прообра-
зом пространства ( )T,Y (критерия T) при отображении ϕ . ■
Важным частным случаем инъективного прообраза ПН является его
простое подпространство. Пусть задано ПН ( )S,X . И пусть A есть непус-
тое подмножество множества X . Тождественное отображение Ai множест-
Прообразы пространств неопределенности. Простые подпространства
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 139
ва A на себя является также инъекцией A в X (эта инъекция называется
канонической).
Определение 4. Пусть заданы ПН ( )S,X и непустое множество
XA⊂ . Инъективный прообраз AiS критерия S при канонической инъек-
ции Ai множества A в X будем называть простым ограничением крите-
рия S на множество A и обозначать AS . ПН ( )AA S, будем называть про-
стым подпространством пространства ( )S,X . ■
Если задано ПН ( )S,X и некоторое его простое подпространство
( )AA S, , то для любой функции Ag +∈R в силу (25) получим
)( 0:)()()( |AxxgXgg
Xx
A ∈=↑=
∈
SSS . (44)
Итак, мы нашли способ, позволяющий исключать из рассмотрения некото-
рые точки заданного пространства неопределенности. Этот способ сводится
к построению простого подпространства исходного ПН.
10. ПРИМЕРЫ
Покажем, как аппарат построения простых подпространств ПН применяется
к различным частным типам неопределенности. С этой целью рассмотрим
несколько примеров простых подпространств. В каждом из них предполага-
ется, что носителем искомого подпространства должно быть непустое под-
множество XA⊂ .
1. Пространства Шеннона. Пусть на множестве X задано распреде-
ление вероятностей p и, следовательно, задано шенноновское пространство
вида ( )pX ∑, . Построим его простое подпространство ( )ApA )(, ∑ . Как сле-
дует из выражения (44), результат применения критерия Ap )(∑ к любой
функции Ag +∈R имеет вид
)()( 0:)()()( |AxxgXgg
Xx
pp pA ∈=↑∑=∑
∈
∑ . (45)
А воспользовавшись выражением (1) из работы [1], получим окончательный
результат
)()()( xpg
Xx
Ap ∑
∈
=∑ ⊙ )(0:)( )( | xpAxxg
Ax
∑
∈
=∈ ⊙ )(xg (46)
(где ⊙ — коммутативная ассоциативная операция, продолжающая на +R
обычное умножение действительных чисел и удовлетворяющая соглашению
0⊙ ∞=∞ ⊙ 00 = ).
2. Пространства Заде. Пусть задана функция принадлежности
)(XM∈µ некоторого нечеткого подмножества множества X , где
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 140
X
dfX ]1,0[)( =M . (47)
Соответствующее этому нечеткому подмножеству пространство Заде ( )µSUP,X имеет КС µSUP, характеризуемый дефиницией
)(sup xf
Xx
df µµ
∈
=SUP ⊙ )(xf ◊ X
+R (48)
(выражение (6) из работы [1]). Построим простое подпространство ( )AA )(, µSUP пространства Заде ( )µSUP,X . Ввиду (44) и (48) для каждой
функции Ag +∈R получим
)(sup0:)()()( )( |)( xAxxgg
AxXx
A Xg µµµµ
∈∈
=∈== ↑ SUPSUPSUP ⊙ )(xg . (49)
3. Бесструктурные пространства. Может представлять интерес также
один частный случай пространств Заде, когда исходная функция принад-
лежности X]1,0[∈µ нечеткого подмножества множества X постоянна и
имеет вид
1x=µ ◊ X . (50)
Известно, что этот случай соответствует описанию на языке нечетких мно-
жеств самого множества X (рассматриваемого как «обычное» множество).
А пространство неопределенности ( )µSUP,X в этом случае обозначается
( )XX SUP, и называется бесструктурным пространством ([1] , с. 131).
Легко видеть, что если исходное пространство Заде ( )µSUP,X является
бесструктурным пространством ( )XX SUP, (его функция принадлежности µ
описывается выражением (50)), то функция принадлежности A)(µ , соответ-
ствующая его простому подпространству ( )AXA )(, SUP , тоже окажется по-
стоянной (но уже определенной на множестве A ):
1)( xA =µ ◊ A . (51)
В самом деле, применение выражения (49) к этому случаю дает для каждой
функции Ag +∈R следующее:
)(sup)()()( xgXgg
Ax
XAX
∈
=↑= SUPSUP . (52)
А это означает, что простое подпространство ( )AXA )(, SUP будет иметь вид
( )AA SUP, и представлять собой описание множества A (рассматриваемого
как «обычное» множество).
4. «Экспоненциальные» суммирующие пространства. Рассмотрим
более сложный пример простого подпространства. В работах [10] и [11]
Прообразы пространств неопределенности. Простые подпространства
Системні дослідження та інформаційні технології, 2005, № 1 141
изучались свойства «экспоненциального» суммирующего ПН вида )( *, pX ∑ ,
критерий свертывания *
p∑ которого описывается выражением
)(* xpf
Xxdfp ∑
∈
=∑ ⊙ )(2 xf ◊ X
+R , (53)
где, по-прежнему, p — распределение вероятностей на множестве X ([10],
разд. 6; [11], разд. 2, пример 5).
Построим простое подпространство )( )(, *
ApA ∑ пространства )( *, pX ∑ .
Ввиду (44) для каждой функции Ag +∈R получим
)( 0:)()()()( |*** AxxgXgg
Xx
ppAp ∈∑=↑∑=∑
∈
. (54)
А в силу (53) выражение (54) можно преобразовать следующим образом:
)()()( * xpg
Xx
Ap ∑
∈
=∑ ⊙ )(2 )0|:)(( xp
Xx
Axxg ∑
∈
=∈ ⊙ ,)\(2 )( AXpxg + (55)
где
)()\(
\
xpAXp
AXx
∑
∈
= . (56)
Выражение (55) несет в себе своеобразный сюрприз, состоящий в том,
что результат )()( * gAp∑ применения критерия Ap )( *∑ к функции g со-
держит слагаемое )\( AXp , не зависящее от этой функции (в то время, как
исходный КС *
p∑ таким свойством не обладал).
ВЫВОДЫ
Как было показано выше, сформулированная в этой статье задача ограниче-
ния даже после ряда уточнений (включающих и требование преемственно-
сти) не стала в полном смысле математической задачей, так как подразуме-
вала изобретение некоторого семейства преобразований. Было сделано
предположение, что решение задачи ограничения должно быть как-то свя-
зано с (чисто математической) задачей построения подпространств ПН.
Эта задача в статье решена. Однако, как показывают выражения (2) и (46),
полученное ее решение не удовлетворяет требованию преемственности,
поскольку не выполняется условие (4). Таким образом, оказалось, что под-
пространства ПН, построенные с помощью методов теории структур
Н. Бурбаки (и названные простыми подпространствами) не являются ре-
шением задачи ограничения.
Однако наши труды не пропали, так как построение простых подпро-
странств является необходимым шагом на пути к решению задачи. Действи-
тельно, можно показать, что для получения искомого решения достаточно
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2005, № 1 142
простые подпространства подвергнуть дополнительному преобразованию,
ведущему к построению их равномерных версий (математический аппарат
для таких преобразований был предложен в работе [11]). Но это уже тема
для другой статьи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дидук Н.Н. Пространства неопределенности и изоморфизм // Системні
дослідження та інформаційні технології. — 2002. — № 4. — С. 128–143.
2. Дидук Н.Н. Теория неопределенности: назначение, первые результаты и
перспективы. I // Кибернетика и системный анализ. — 1993. — № 4. —
С. 160–168.
3. Дидук Н.Н. Теория неопределенности: назначение, первые результаты и пер-
спективы. II // Там же. 1993. — № 5. — С. 165–173.
4. Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, 1965. — 456 с.
5. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная ал-
гебра. — М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1962. — 516 с.
6. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука. Главн. ред.
физ.-мат. лит., 1966. — 272 с.
7. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с
ними группы и пространства. — М.: Наука. Главн. ред. физ.-мат. лит.,
1969. — 392 с.
8. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. — М.: Изд. иностр. лит.,
1959. — 410 с.
9. Дидук Н.Н. Система морфизмов для пространств неопределенности и ее при-
менение // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. —
№ 1. — С. 34–47.
10. Дидук Н.Н. Примеры вероятностной семантики основной теоремы кодирования
для пространств неопределенности // Кибернетика и системный анализ. —
1994. — № 4. — С. 129–140.
11. Дидук Н.Н. Понятие шкалы пространства неопределенности и его применение
// Системні дослідження та інформаційні технології. — 2004. — № 3. —
С. 115–127.
Поступила 29.06.2004
|
| id | journaliasakpiua-article-171359 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:18Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/ea/2b1a212d9acf0af8df996d7282f8c5ea.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1713592019-06-24T16:34:27Z Prototypes of uncertainty spaces. Simple subspaces Прообразы пространств неопределенности. Простые подпространства Прообрази просторів невизначеності. Прості підпростори Diduk, N. N. A semantic hypothesis and a demand on succession of the development of uncertainty apparatus are formulated. The restriction problem is described. The problem consists in having learned to exclude from consideration some points of uncertainty space. A conjecture that the restriction problem solution is connected with construction of subspaces is considered. The notions of uncertainty space prototype and subspace (as a particular case of prototype) is built with the help of methods of N. Bourbaki’s theory of mathematical structures. Examples of subspaces are given. Сформулированы семантическая гипотеза и требование преемственности к развитию аппарата неопределенности. Описана задача ограничения, состоящая в том, чтобы научиться исключать из рассмотрения некоторые точки пространства неопределенности. Рассмотрено предположение о том, что решение задачи ограничения связано с построением подпространств. С помощью методов теории математических структур Н. Бурбаки построены понятия прообраза и подпространства пространства неопределенности (как частного случая прообраза). Приведены примеры подпространств. Сформульовано семантичну гіпотезу та вимогу спадкоємності до розвитку апарату невизначеності. Описано задачу обмеження, яка полягає в тому, щоб навчитися вилучати з огляду деякі точки простору невизначеності. Розглянуто припущення, що рішення задачі обмеження пов’язане із побудовою підпросторів. За допомогою методів теорії математичних структур Н. Бурбакі побудовано поняття прообразу і підпростору (що є частковим випадком прообразу) простору невизначеності. Подані приклади підпросторів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-24 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171359 System research and information technologies; No. 1 (2005); 127-142 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2005); 127-142 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2005); 127-142 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171359/171014 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Diduk, N. N. Прообрази просторів невизначеності. Прості підпростори |
| title | Прообрази просторів невизначеності. Прості підпростори |
| title_alt | Prototypes of uncertainty spaces. Simple subspaces Прообразы пространств неопределенности. Простые подпространства |
| title_full | Прообрази просторів невизначеності. Прості підпростори |
| title_fullStr | Прообрази просторів невизначеності. Прості підпростори |
| title_full_unstemmed | Прообрази просторів невизначеності. Прості підпростори |
| title_short | Прообрази просторів невизначеності. Прості підпростори |
| title_sort | прообрази просторів невизначеності. прості підпростори |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171359 |
| work_keys_str_mv | AT diduknn prototypesofuncertaintyspacessimplesubspaces AT diduknn proobrazyprostranstvneopredelennostiprostyepodprostranstva AT diduknn proobraziprostorívneviznačenostíprostípídprostori |