Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем
Several methods of solving the task of synthesys of quality regulators for a nonlinear dynamic system with polynomial right-hand member of equation are offered. A modified quadratic quality functional with the integrand including components from the expression for the Lyapunov function is used.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171545 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302428847013888 |
|---|---|
| author | Glazok, O. M. |
| author_facet | Glazok, O. M. |
| author_sort | Glazok, O. M. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-06-25T17:03:13Z |
| description | Several methods of solving the task of synthesys of quality regulators for a nonlinear dynamic system with polynomial right-hand member of equation are offered. A modified quadratic quality functional with the integrand including components from the expression for the Lyapunov function is used. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.М. Глазок, 2004
102 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4
УДК 681.5
МЕТОДИ СИНТЕЗУ ЯКІСНИХ РЕГУЛЯТОРІВ ДЛЯ
НЕЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
О.М. ГЛАЗОК
Запропоновано методи розв’язання задачі синтезу якісних регуляторів для не-
лінійної динамічної системи з поліноміальною правою частиною. Використо-
вується модифікований квадратичний функціонал якості, до підінтегрального
виразу якого введено доданки з виразу функції Ляпунова.
ВСТУП
Сучасний розвиток технологій пред’являє дедалі зростаючі вимоги до сис-
тем керування технічними об’єктами. Для широкого класу сучасних динамі-
чних систем характерним є функціонування у великому експлуатаційному
діапазоні вихідних координат, де не виконуються умови можливості лінеа-
ризації. Незважаючи на значні досягнення сучасної теорії керування в галузі
синтезу керування для нелінійних систем, в багатьох випадках нелінійні ре-
гулятори не продемонстрували значних переваг перед лінійними. Тому ак-
туальною є розробка методів синтезу регуляторів для нелінійних об'єктів,
зокрема з поліноміальними правими частинами, які забезпечують задану
якість перехідних процесів. Підходи до розв’язання цієї задачі були запро-
поновані в роботах [1, 2].
ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ
Розглянемо синтез оптимального регулятора для динамічної системи,
поведінка якої в околі точки рівноваги описується системою диференційних
рівнянь у відхиленнях
)(XFBUAXX ++=
•
, (1)
де X — вектор з n змінних стану, описує відхилення динамічної системи
від стану рівноваги; U — вектор з m змінних, описує управляючий вплив
на систему; A та B — матриці ( nn × та mn × ) з постійними коефіцієнта-
ми. Доданок )(XF відображає нелінійності об'єкта.
На траєкторії руху системи (1) обчислюється функціонал якості
( ) ( )( )∫∫
∞
=
∞
=
+==
0
21
0
)(())(),()(),(
tt
dttXwtUtXwdttUtXwI , (2)
де
( ) RUUPXXtUtXw TT +=)(),(1 (3)
Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 103
— підінтегральний вираз звичайного квадратичного функціоналу якості, а
( ))(2 tXw — деяка функція, незалежна від U .
Запишемо рівняння Белмана для системи (1). Bраховуючи, що функція
Ляпунова є функцією лише X , використаємо вираз для )(
.
XV в силу систе-
ми (1).
( ) 0)()(min 2 =
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+++
Ω∈
XFBUAX
X
VXwRUUPXX
T
TT
U
. (4)
Мінімум в (4) досягається при керуванні, що є оптимальним для систе-
ми (1) з точки зору функціоналу якості (2), (3). Розглянемо для системи, яка
в момент руху t знаходиться в точці )(tX , задачу пошуку оптимального ке-
рування оптU як функції )(опт XU . Запишемо умову мінімуму (4) у дифере-
нційній формі. Розглядаючи в отриманому рівнянні ненульові доданки і
вважаючи матрицю R симетричною ( TRR = ), отримаємо вираз для опти-
мального керування. Незважаючи на те, що було використано модифікова-
ний функціонал якості, за формою цей вираз співпадає з виразом для опти-
мального керування в стандартній постановці задачі оптимального
конструювання.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−= −
X
VBRU T1
опт 2
1 . (5)
Доданок ))((2 tXw , який тут було введено до підінтегрального виразу
функціоналу якості, явним чином в (5) не присутній, хоча, звичайно, і впли-
ває на вигляд функції )(XV .
УЗАГАЛЬНЕНА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Нехай задано систему (1), тобто відомі матричні коефіцієнти BA, та
вектор-функція )(XF .
Задано також набір функцій компонентів вектора стану X
{ },)(,...),(),( ~21 XgXgXgG k= (6)
(причому, взагалі кажучи, kk ≠
~ ) та в аналітичному вигляді функцію
)),(,...),(),((),()( ~21 Θ=Θ=Θ XgXgXggGgXg k , (7)
де G представлено входження до виразу )(XgΘ функцій )(Xgi з набору
(6), а Θ — деякий набір (заздалегідь не заданих) коефіцієнтів, які відігра-
ють роль параметрів функції )(XgΘ і в загальному випадку можуть бути
числами чи функціями Х. Кожен набір коефіцієнтів Θ , підставлений до (7),
визначає певну функцію )(),( XgGg =Θ як функцію лише X . Отже, за до-
помогою виразу (7) будь-якій множині наборів коефіцієнтів Θ , при яких (7)
має сенс, ставиться у відповідність деяка множина функцій )(XgΘ компо-
О.М. Глазок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 104
нент вектора Х. Якщо задані аналітичний вигляд виразу (7) та множина на-
борів коефіцієнтів Θ , задачу оптимізації по множині функцій ),( ΘXg мо-
жна розглядати як задачу оптимізації по заданій множині наборів коефі-
цієнтівΘ .
Функціонал якості (2) задано як
( )∫
∞
Θ+=
0
21 ),,())(),(( dtGCwtUtXwI , (8)
причому функцію ))(),((1 tUtXw визначено виразом (3), а ),,(2 ΘGCw зада-
но як вираз, до складу якого входять функції )(Xgi з набору (6), позначе-
ні G . Коефіцієнти Θ — ті ж самі, що входять і до (7), а коефіцієнти зага-
сання — деякі числа, сукупність яких представлено у (8) вектором C .
Зокрема, далі ми розглянемо приклади, де (7) має вигляд суми
...),(),(),( 21 +Θ+Θ=Θ XgXgXg ,
а вираз )),,(2 ΘGCw визначений як лінійна комбінація доданків цієї суми з
компонентами вектора коефіцієнтів загасання C
...),(),()),,( 22112 +Θ+Θ=Θ XgcXgcGCw .
Ставиться задача — знайти функцію Ляпунова )(XV виду (7), яка на
траєкторії руху системи (1) з керуванням, визначеним формулою (5), мінімі-
зує функціонал якості (8).
Отже, практично задача знаходження )(XV полягає у знаходженні від-
повідних коефіцієнтів Θ , що визначають функцію )(XV як елемент заданої
множини функцій виду (7).
Слід зауважити, що в загальному випадку функція )(XV , яка мінімізує
функціонал (8) на траєкторії системи (1) з керуванням (5), не буде належати
до множини функцій виду (7). Введенням вимоги про те, що )(XV слід шу-
кати у вигляді (7), ми спрощуємо розв’язання задачі, але в той же час обме-
жуємо множину пошуку. Знайдену таким чином функцію Ляпунова можемо
розглядати як деяке наближення до оптимальної.
ОТРИМАННЯ ДОДАТКОВИХ УМОВ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ МЕТОДУ
ЗБУРЕНЬ
Розглянемо розв’язання сформульованої вище задачі у випадку, коли кожна
з компонент вектор-функції )(XF і вираз (7) для функції Ляпунова
представлено у вигляді відрізків ступеневих рядів по компонентам n -мір-
ного вектора X .
)()()()()(
1
2
)()1()3()2( XFXF...XFXFXF
k
i
ik ∑
+
=
+ =+++= , (9)
Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 105
∑
=
=
k
i
i XVXV
0
)()( , (10)
∑∑
=
+==
n
i
i
v
n
vv
vvv
vvvl lvxxxXV n
n
n
1
21
,...,,
,...,, 2 , ...)( 21
21
21
γ , kl ≤≤0 . (11)
Кількість доданків в розкладі (10) дорівнює 1+k і узгоджена з кількіс-
тю доданків у розкладі (9) нелінійної частини системи (1). В ролі функцій
)(Xgi з (6), (7) тут виступають добутки nv
n
vv xxx ,...,21
21 , а в ролі параметрів
Θ — числові коефіцієнти
pvvv ,...,, 21
γ виразів (11), які необхідно знайти, щоб
розв’язати задачу.
Визначимо доданок ))((2 tXw у функціоналі якості як
( ) )(...)()()( 11002 XVcXVcXVctXw kk+++= . (12)
Використаємо рівняння Белмана (4) для опису поведінки системи (1) з
урахуванням виразів (3), (12) у функціоналі якості. При оптUU = з (4) та (5)
отримуємо
0)()(
4
1
2
1 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++
∂
∂
∂
∂
− −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ XF
X
VAX
X
VXw
X
VΒΒR
X
VPXX
TT
T
T
T . (13)
Синтез регулятора почнемо з розгляду лише лінійної частини систе-
ми (1)
BUAXX +=
•
. (14)
Функцію Ляпунова будемо шукати у вигляді квадратичної форми
XQXXVXV T
00 )()( == . (15)
При цьому у виразах (2), (13) доданок )(2 Xw буде представлено як
)()( 002 XVcXw = . Рівняння (13) набуде вигляду
00
010
4
1 Vc
X
V
ΒΒR
X
V
PXX T
T
T +
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
− − 00 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+ AX
X
V T
. (16)
Використовуючи (15) і (16), знайдемо, що оптимальне керування (5)
набуває вигляду
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−= −
X
V
BR(X)U T 01
lin опт 2
1 XQBR T
0
1−−= , (17)
де 0Q — позитивно визначений розв’язок матричного рівняння Ріккаті
0
22
0
00
0
0
1
0 =−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−− PE
c
AQQE
c
AQBBRQ
T
T . (18)
При виборі в (12) значення 00 =c отримаємо як частковий випадок
розглянутої задачі відому ([3] т. ін.) задачу побудови оптимального регуля-
О.М. Глазок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 106
тора для системи керування, описаної системою рівнянь (14) із критерієм
якості, заданим квадратичним інтегральним функціоналом.
Слід відзначити, що на першому кроці синтезу для знаходження чис-
лових компонентів матриці 0Q квадратичної форми (15) або ж коефіцієнтів
nvvv ,...,, 21
γ першого з групи виразів (11) цілком достатньо одного матричного
рівняння (18), отриманого з рівняння Белмана (13). Знайшовши матрицю
0Q , оптимальне керування можна визначити за виразом (17).
Для синтезу нелінійної частини регулятора почнемо послідовно до-
повнювати систему рівнянь (14) нелінійними членами з ряду (9). Метою
розрахунків на кожному кроці є знаходження групи невідомих коефіцієнтів
чергового з послідовності виразів (11). Але з переходом до кожного наступ-
ного кроку кількість відповідних коефіцієнтів
nvvv ,...,, 21
γ комбінаторно зрос-
тає. Тому другий і всі наступні кроки синтезу суттєво відрізняються від
першого тим, що для розв’язання задачі одного лише рівняння Белмана не-
достатньо. З метою подолання цієї проблеми необхідно вводити співвідно-
шення, які б давали додаткові умови для знаходження невідомих величин.
Так, при застосуванні методу збурень розглядають додаткові рівняння, що
отримують як почленну різницю рівнянь поточного і першого кроків
синтезу.
ПРИКЛАД СИНТЕЗУ РЕГУЛЯТОРА
Розглянемо приклад синтезу регулятора за описаним методом. Для однови-
мірної системи на кожному кроці необхідно шукати лише один невідомий
коефіцієнт, тому розв’язок задачі неважко отримати в аналітичному вигляді.
Для багатовимірної динамічної системи процедура синтезу вимагає
провести більш складні обчислення. Так, розглянемо приклад синтезу регу-
лятора для системи (1) третього порядку з матричними коефіцієнтами лі-
нійної частини
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
=
967,20
0
215,0
396,00208,4
100
10877,0
, BA
при ненульових значеннях коефіцієнтів загасання. При значенні 10 =c ,
розв’язавши рівняння Ріккаті, знайдемо коефіцієнти 028,0002 =γ ;
121,0011 =γ ; 118,1020 =γ ; 034,0101 −=γ ; 940,0110 −=γ ; 427,0200 =γ і лі-
нійне оптимальне керування 321linопт 586,0170,1267,0 xxxU ++−= .
Тепер розглянемо другий крок синтезу. На цьому кроці введемо до
правої частини системи (1) нелінійний доданок другого ступеня =)2(F
( )Txxxxx 2
1
2
231
2
1 47,0;0;019,0088,047,0 −−−= і будемо вважати, що =)(XF
)()2( XF= , )()()( 10 XVXVXV += , )()())(( 11002 XVcXVctXw += . Рівняння
Белмана набуває вигляду
Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 107
( ) ( )
+++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
+∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
+∂
− −
1100
10110
4
1 VcVc
X
VV
ΒΒR
X
VV
PXX T
T
T
( ) ( )
0)(2
1010 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
+∂
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
+∂
+ XF
X
VV
AX
X
VV
)(
TT
. (19)
Додаткову умову для знаходження невідомих коефіцієнтів у даному
випадку отримуємо як почленну різницю рівнянь (19) та (16)). Вважаючи
відхилення системи від точки рівноваги малими, відкинемо доданки, що
містять ступені вищі за 3. Після підстановки відомих за умовою задачі
величин і вже знайдених коефіцієнтів отримаємо систему рівнянь, з якої
при 11 =c можемо знайти коефіцієнти 019,0021 −=γ ; 292,0030 −=γ ;
018,0111 =γ ; 715,0120 =γ ; 009,0201 −=γ ; 728,0210 −=γ ; 278,0300 =γ . Ще
три коефіцієнти ),,( 102012003 yyy можна виключити з подальшого розгляду
через малість їх значень. З урахуванням коефіцієнтів, що залишилися, від-
повідну частину керування знайдемо як
32
2
23121
2
1)2( 015,0117,0003,0037,0003,0)( xxxxxxxxXU −−++−= .
Для наступних кроків процедури виконаємо синтез у такий же спосіб, як і
для другого кроку.
ВВЕДЕННЯ АЛЬТЕРНАТИВНИХ ДОДАТКОВИХ УМОВ
Використовуючи додаткову умову, отриману як різницю двох наближених
рівнянь Белмана, зокрема рівнянь (19) і (16), ми виходимо з припущення, що
обидва ці рівняння є справедливими у деякому околі точки рівноваги. Отри-
мані коефіцієнти, проте, на жодному з кроків синтезу не забезпечують точ-
ного виконання ані рівностей типу (19), ані точного рівняння Белмана.
Розглянемо функцію
( ))()(
4
1)( 2
1
1 XFAX
X
VXw
X
VΒΒR
X
VPXXXs
T
T
T
T +⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−= − , (20)
що утворює ліву частину рівняння Белмана (13). Функція Ляпунова, яка від-
повідає оптимальному керуванню, забезпечує виконання рівності 0)(1 =Xs
при всіх допустимих Х. Тому, обравши деяку множину точок простору ста-
нів ...,2,1, == jXX j , можна розглянути в якості додаткових умов деяку
підмножину набору рівнянь
0)(1 =jXs , (21)
0
)(1 =
∂
∂
X
Xs
, 0
)(
2
1
2
=
∂
∂
X
Xs
і т. д. (22)
Оскільки число різних (без врахування перестановок) m -х часткових
похідних за компонентами вектора X дорівнює кількості різних комбінацій
О.М. Глазок
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 4 108
компонент вектора X сумарного ступеня m , в скалярному записі кожна з
умов (22) дає рівняння для кількості невідомих коефіцієнтів виразу (11) від-
повідного доданка з (10).
Практично розв’язання задачі з використанням умов (21) слід проводи-
ти наступним чином: записати вираз (10) для функції Ляпунова, де доданки
представлено виразами (11) з невідомими коефіцієнтами, і підставити його
до (21). Далі необхідно обрати точки { }jX в потрібній кількості і
розв’язувати систему рівнянь (21) щодо невідомих коефіцієнтів. З виразу
(20) бачимо, що невідомі коефіцієнти увійдуть до отриманих рівнянь в пер-
шому та другому ступенях.
При розв’язанні задачі з використанням умов (22) слід записати вираз
(10) для функції Ляпунова, де доданки представлено виразами (11) з невідо-
мими коефіцієнтами, і підставити його до виразу (20). Після цього виконати
в аналітичному вигляді диференціювання і отримати потрібну кількість
умов (22) у вигляді рівнянь, в лівих частинах яких знаходяться багаточлени
з невідомими коефіцієнтами. Обравши деяке значення Х, отримаємо систему
нелінійних рівнянь щодо невідомих коефіцієнтів. Для розв’язання таких си-
стем нелінійних рівнянь можна застосувати один із ітераційних методів уто-
чнення невідомих коефіцієнтів, а як початкові значення — коефіцієнти,
отримані за методом збурень.
Слід зауважити, що при отриманні додаткових умов (21), (22), на відмі-
ну від розглянутих раніше, не було використано вирази (10), (11), а це дає
можливість шукати функцію Ляпунова у вигляді, відмінному від (10), (11).
Так, наприклад, можемо шукати функцію Ляпунова )(XV як відрізок сту-
пеневого ряду
∑
+
=
=
1
0
)()(
kk
i
i XVXV ,
де доданки визначені, як в (11), але їх кількість перевищує кількість додан-
ків в розкладі (9) нелінійної частини системи (1).
Інший підхід полягає у пошуку функції Ляпунова у вигляді (10), (11),
але в (11) коефіцієнти
nvvv ,...,, 21
γ вважати функціями X . Змінні коефіцієнти
дозволять знайти точний розв’язок задачі. Проте такий підхід має ряд недо-
ліків: по-перше, функціональну залежність )(,...,, 21
X
nvvvγ необхідно врахо-
вувати при знаходженні виразів похідних функції Ляпунова та лівих частин
умов (22), і це приведе до ускладнення отримуваних рівнянь. По-друге,
функції )(,...,, 21
X
nvvvγ доведеться знайти чисельно, в табличному вигляді,
отже, розв’язання задачі вимагатиме великої кількості даних. По-третє, як-
що коефіцієнти
nvvv ,...,, 21
γ є функціями X , то виникає питання про доціль-
ність представлення функції Ляпунова у вигляді (10), (11).
Враховуючи ці зауваження, можна запропонувати ввести в просторі
станів сітку точок
niiiXX ,...,, 21
= і шукати функцію Ляпунова у вигляді одні-
єї невідомої функції )( ,...,,,...,, 2121 nn iiiiii XVVV == , розв’язуючи систему рі-
внянь (13), (21) або (13), (22) щодо значень цієї функції у вузлах сітки.
Оскільки при цьому )(2 Xw не може бути записано у вигляді (12), необхідно
Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 4 109
дати нове визначення для )(2 Xw так, щоб мати можливість керувати пове-
дінкою мод керованих процесів. Для початкового наближення можна запро-
понувати )()(2 XcVXw = .
ВИСНОВКИ
Побудова методів синтезу регуляторів має на меті забезпечити на етапі про-
ектування задану якість функціонування замкнутої системи. До розв'язання
задачі синтезу оптимальний регулятор невідомий. Він може бути отриманий
за допомогою різних методів. У даній роботі розглянуто варіанти підходів
до синтезу регулятора, паралельне використання яких дає можливість
розв’язати задачу забезпечення заданої якості перехідних процесів. Наперед
вказати, який з підходів дасть кращий результат, на даному етапі розробки
методики неможливо, оскільки процедура побудови регулятора носить по-
шуковий характер. Тому наявність кількох методів збільшує можливості
проектувальника в отриманні бажаного кінцевого результату.
Можна вказати кілька напрямків подальших досліджень. Чисельне мо-
делювання показало, що регулятори, синтезовані з модифікованим функціо-
налом якості, забезпечують в порівнянні із звичайними регуляторами значно
кращі показники швидкості перехідних процесів. Але серед траєкторій
отриманої керованої системи є такі, на яких знайдена в ході синтезу функція
(10), (11) є незнакопостійною, отже, вона не задовольняє визначення фу-
нкції Ляпунова. Тому було б бажано або деяким чином переосмислити по-
няття функції Ляпунова, розширивши його на клас знакозмінних функцій,
або ж дати нову трактовку функціям, які використовуються в процесі синте-
зу. Цікавим і практично важливим є питання про вибір шляху синтезу, оп-
тимального з точки зору обсягу необхідних обчислень. Потребують по-
дальшої розробки методики розв’язання систем нелінійних рівнянь, які
виникають у ході синтезу.
ЛІТЕРАТУРА
1. Антонов В.К. Методы синтеза регуляторов с заданным качеством переходных
процессов. — Киев: КМУГА, 1995. — 120 с.
2. Антонов В.К. Аналитическое конструирование качественных регуляторов //
Проблемы информатизации и управления. — Киев: КМУГА, 1997. — С. 77–80.
3. Шеридан Т.Б., Феррелл У.Р. Системы человек — машина: Модели обработки
информации, управления и принятия решений человеком-оператором. —
М.: Машиностроение, 1980. — 400 с.
Надійшла 13.06.2003
|
| id | journaliasakpiua-article-171545 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:22Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/20/cce545e8b32219e8f254f7942d127420.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1715452019-06-25T17:03:13Z Methods of synthesis of quality regulators for nonlinear dynamic systems Методы синтеза качественных регуляторов для нелинейных динамических систем Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем Glazok, O. M. Several methods of solving the task of synthesys of quality regulators for a nonlinear dynamic system with polynomial right-hand member of equation are offered. A modified quadratic quality functional with the integrand including components from the expression for the Lyapunov function is used. Предложены методы решения задачи синтеза качественных регуляторов для нелинейной динамической системы с полиномиальной правой частью. Используется модифицированный квадратичный функционал качества, в подынтегральное выражение которого введены слагаемые из выражения для функции Ляпунова. Запропоновано методи розв’язання задачі синтезу якісних регуляторів для нелінійної динамічної системи з поліноміальною правою частиною. Використовується модифікований квадратичний функціонал якості, до підінте-грального виразу якого введено доданки з виразу функції Ляпунова. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171545 System research and information technologies; No. 4 (2004); 102-109 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2004); 102-109 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2004); 102-109 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171545/171207 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Glazok, O. M. Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем |
| title | Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем |
| title_alt | Methods of synthesis of quality regulators for nonlinear dynamic systems Методы синтеза качественных регуляторов для нелинейных динамических систем |
| title_full | Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем |
| title_fullStr | Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем |
| title_full_unstemmed | Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем |
| title_short | Методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем |
| title_sort | методи синтезу якісних регуляторів для нелінійних динамічних систем |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171545 |
| work_keys_str_mv | AT glazokom methodsofsynthesisofqualityregulatorsfornonlineardynamicsystems AT glazokom metodysintezakačestvennyhregulâtorovdlânelinejnyhdinamičeskihsistem AT glazokom metodisintezuâkísnihregulâtorívdlânelíníjnihdinamíčnihsistem |