Про нелінійні диференціально-операторні рівняння в банахових просторах із відображеннями псевдомонотонного типу. Частина I

The proof for the existence theorem is constructed using Galyorkin's mehod. The functional-analythic properties of the solutions to nonlinear differential-operator equations in banach spaces with λ-pseudomonotonous mapping are investigated.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2019
Hauptverfasser:	Melnik, V. S., Toskano, L.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019
Online Zugang:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171690
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	System research and information technologies
Завантажити файл:

Institution

System research and information technologies

_version_	1867334371711647744
author	Melnik, V. S. Toskano, L.
author_facet	Melnik, V. S. Toskano, L.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "V. S. Melnik", "institution": null }, { "author": "L. Toskano", "institution": null } ]
author_sort	Melnik, V. S.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-06-27T14:30:07Z
description	The proof for the existence theorem is constructed using Galyorkin's mehod. The functional-analythic properties of the solutions to nonlinear differential-operator equations in banach spaces with λ-pseudomonotonous mapping are investigated.
first_indexed	2025-07-17T10:25:26Z
format	Article
fulltext	© В.С. Мельник, Л. Тоскано, 2004 Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 63 TIДC МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ УДК 517.9 О НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЯХ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С ОТОБРАЖЕНИЯМИ ПСЕВДОМОНОТОННОГО ТИПА. ЧАСТЬ I В.С. МЕЛЬНИК, Л. ТОСКАНО Методом Галеркина доказана теорема существования и изучены функцио- нально-аналитические свойства решений нелинейных дифференциально- операторных уравнений в банаховых пространствах с λ -псевдомонотонными отображениями. Пусть VV ,σ — рефлексивные банаховы пространства; H — гильбертово пространство, отождествленное с сопряженным H и HVV ⊂⊂σ , где каждое вложение непрерывное и плотное. Тогда имеем ⊂⊂⊂ HVVσ * σVV ⊂⊂ , где V — сопряженное пространство с V . Обозначим ],0[ TS = конечный интервал времени и положим );();( 10 VSLHSLX pp ∩= , );();( 10 σσ VSLHSLX pp ∩= , );();( * 10 σσ VSLHSLX qq += , где 11111 1100 =+=+ qpqp , ∞<< 11 p , ∞<≤ 01 pp . Множество { }XyXyW ∈′∈= (соответственно, { } σσ XyXyW ∈′∈= ) является банаховым пространством относительно нормы = σWy * σXX yy ′+= ( XXW yyy ′+= ), где y′ — производная элемента Xy∈ в смысле пространства распределений ));(( VSVS DLD =);( * σ (соот- ветственно, )( ** VS;D ). Для произвольных Xf ∈ и Xv∈ определим В.С. Мельник, Л. Тоскано ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, №3 64 dttvtfvf S VX ∫= )(),(, . Здесь R→×⋅⋅ VVV :, — каноническая двойственность. Причем, если 21 fff += , где );( 01 HSLf q∈ , );( * 2 1 VSLf q∈ , то полагаем ( ) ∫∫ += S V S X dttwtfdttwtfwf )(),()(),(, 21 , где ( )⋅⋅, — скалярное произведение в H . Пусть также U — некоторое ба- нахово пространство и );( HSLρ=U , ∞≤< ρ1 . Рассмотрим дифференциально-операторные уравнения вида fyyuAy =Λ++′ )(),( , (1) 0)0( yy = , (2) где : XXA →×U , : σXX →Λ — нелинейные отображения; Xf ∈ ; Hy ∈0 . Сначала при фиксированном U∈u исследуем условия разрешимости задачи Коши (1), (2), а затем определяем свойства разрешающего (вообще говоря, многозначного) оператора в зависимости от U∈u . Задача Коши для нелинейных дифференциально-операторных уравне- ний изучалась многими авторами. Для монотонных операторов результаты достаточно полно изложены в работах [1–3], псевдомонотоных— в [4], опе- раторов с полуограниченной вариацией в — [5], L -псевдомонотонных — в [6]. В работах [1–4] как рабочий инструмент использовался метод Фаэдо- Галеркина, в [5, 6] — метод сингулярных возмущений, а в [7] для параболи- ческих уравнений разрабатывается теория топологической степени. В [8, 9] метод регуляризации обобщен на дифференциально-операторные включения. В настоящей работе метод Фаэдо-Галеркина распространяется на класс λ -псевдомонотонных отображений, которые являются существенным рас- ширением псевдомонотонных операторов. Именно схема метода Галеркина важна в теории аттракторов нелинейных эволюционных уравнений и теории оптимального управления для объектов, описываемых (1), (2) [10–12]. Определение 1. Оператор : XXA → называется: 1) λ -псевдомонотонным на W (на σW ), если для произвольной последовательности yyn → слабо в X , yyn ′→′ слабо в X (в σX ) и не- равенства 0),(lim ≤− ∞→ Xnnn yyyA (3) можно выделить такую подпоследовательность }{ kny , что )(),(),(lim σWwWwwyyAwyyA XXnn n kk k ∈∈∀−≥− ∞→ ; (4) О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 65 2) 0λ -псевдомонотонным на W (на σW ), если из yyn → слабо в X , dyA n →)( слабо в X , yyn ′→′ слабо в X (в * σX ) и неравенства (3) име- ем (4). Замечание 1. λ -псевдомонотонные на W операторы в значительно более общей ситуации были введены в работах [10, определение 4.3.2], а также [13]. Переход в (4) к подпоследовательностям имеет здесь принципи- альное значение, и эта идея позаимствована нами из [14]. Очевидно также, что каждый λ -псевдомонотонный на W (на σW ) оператор является 0λ - псевдомонотонным на W (на σW ). Предложение 1. Пусть :, XXBA → — λ -псевдомонотонные на W (на σW ) операторы. Тогда оператор BA+=A ( XyyByA ∈+= ,(y)A )()( ) является λ -псевдомонотонным на W (на σW ). Замечание 2. Для 0λ -псевдомонотонных отображений аналогичное утверждение справедливо, если один из операторов ограничен. Доказательство предложения приведем для 0λ -псевдомонотонных ото- бражений. Пусть yyn → слабо в σW (т.е. yyn → слабо в X и yyn ′→′ слабо в σX ), dyA n →)( слабо в X , и для A справедлива оценка (3). Вы- делим такую подпоследовательность }{ kny , что =−=− ∞→∞→ Xnn nXnn n yyyyyy kk k ),(lim),(lim AA Xnn nXnn n yyyyyyA kk k kk k −+−= ∞→∞→ ),(lim),(lim B . Следовательно, либо 0),(lim ≤− ∞→ Xnn n yyyA kk k , либо 0),(lim ≤− ∞→ Xnn n yyyB kk k . (5) В силу ограниченности одного из операторов имеем (переходя при необходимости к подпоследовательности) 1)( dyA kn → слабо в X , 2)( dyB kn → слабо в X и 21 ddd += . Пусть для определенности выполня- ется первое из неравенств (5). Тогда ввиду 0λ -псевдомонотонности опера- тора A для некоторой подпоследовательности }{ kny ′ получаем XXnn n wyyAwyyA kk k −≥−′′ ∞→′ ),(),(lim σWw∈∀ , (6) откуда 0),( →−′′ Xnn yyyA kk , а значит 0),(lim ≤−′′ ∞→′ yyyB kk k nn n , →′ kny y′→ слабо в σX , 2)( dyB kn →′ слабо в X , следовательно, найдется такая подпоследовательность }{}{ kk nn yy ′′′ ⊂ , что В.С. Мельник, Л. Тоскано ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, №3 66 XXnn n wyywyy kk k −≥−′′′′ ∞→′ ),(),(lim BB σWw∈∀ . (7) Итак, из (6) и (7) находим +−≥− ′′′′ ∞→′′ ′′′′ ∞→′′ Xnn nXnn n wyyAwyy kk k kk k ),(lim),(lim A +−≥−+ ′′ ∞→′′ ′′′′ ∞→′′ Xnn nXnn n wyyAwyyB kk k kk k ),(lim),(lim XXnn n wyywyyB kk k −≥−+ ′′′′ ∞→′′ ),(),(lim A σWw∈∀ . Предложение доказано. Определение 2. Оператор : XXA → называется оператором с );( WX -полуограниченной вариацией, или 0>∀ R и Xyy ∈21, таких, что Ry Xi ≤ , 2,1=i справедливо неравенство ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′−−−≥− WXX yyRCyyyAyyyA 21212211 ;),(),( , где RRR →× ++:C — непрерывная функция, причем 0);( 21 1 →− rtrCt при 0+→t 0, 21 ≥∀ rr , а норма W ′⋅ — компактная относительно W⋅ . Замечание 3. Операторы с );( WX -полуограниченной вариацией были впервые введены Ю.А. Дубинским [5], а для многозначных отображений — в работах [4], [10], [13]. Определение 3. Оператор : XXA → называется оператором вариаци- онного исчисления на σW (на W ), если он представлен в виде ),()( yyAyA = , где отображение : XXXA →× обладает следующими свойствами: а) для каждого σWw∈ :),( XXwA →⋅ — радиально непрерывный оператор с );( σWX -полуограниченной вариацией (соответственно, );( WX - полуограниченной вариацией); б) при каждом фиксированном σWw∈ отображение yW −⊃σ ),( XwyA ∈ ограниченное; в) из того, что yyn → слабо в σW (в W ) и ),,(),( yyAyyA nnn − 0→− Xn yy , следует существование такой подпоследовательности }{ kny , что σWw∈∀ ),(),( wyAwyA kn → слабо в X ; г) если yyn → слабо в σW (в W ) и )(),( wdwyA n → слабо в ,X то найдется такая подпоследовательность }{ kny , для которой XXnn ywdywyA kk ),(),,( → . О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 67 Определение 4. Оператор : XXA → обладает свойством )(M на σW )(W , если из yyn → слабо в σW (в W ), dyA n →)( слабо в X и неравен- ства XXnnn ydyyA ,),(lim ≤ ∞→ , (8) имеем )(yAd = . Замечание 4. Операторы вариационного исчисления на X и обладаю- щие свойством )(M на X введены в монографии [1]. Приведенные выше обобщения описаны в работах [10, 13]. Предложение 2. Справедливы импликации: « A — радиально непрерывный оператор с );( σWX -полуограниченной ва- риацией» ⇒ « 0λ−A -псевдомонотонный на σW оператор» ⇒ « A обладает свойством )(M на σW ». Доказательство. Пусть yyn → слабо в σW , dyA n →)( слабо в X и справедливо неравенство (3). Тогда из );( σWX -полуограниченности вариа- ции находим 0;),(lim),(lim = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′−−−≥− ∞→∞→ σWnXn nXnn n yyRCyyyAyyyA , т.е. 0),( →− Xnn yyyA . Рассмотрим произвольный фиксированный элемент σWw∈ и положим )()( ywyv −+= ττ , где ),0[ ετ ∈ . При этом ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′−−−≥− σττττ WnXnXnn vyRCvyvAvyyA )(;)()),(()(),( или +−≥−+− XnXnXnn yyvAwyyAyyyA )),((),(),( ττ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′−−−+ στττ WnX vyRCwyvA )(;)),(( . Переходя в последнем неравенстве к пределу по ∞→n , получаем ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′−−−≥− ∞→ στττ WXXn n wyRCwyvAwyyA ;)),((),(lim . Следовательно, ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′−−−−+≥− ∞→ σττττ WXXnn n wyRCwyywyAwyyA ;)),((),(lim . Разделив последнее неравенство на τ и перейдя к пределу при 0+→τ , с учетом радиальной непрерывности имеем στ WwwyyAwyyA XXnn n ∈∀−≥− ∞→ ),(),(lim , что доказывает первую импликацию. В.С. Мельник, Л. Тоскано ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, №3 68 Для доказательства второй импликации рассмотрим yyn → слабо в σW , dyA n →)( слабо в X , причем XXnnn ydyyA ,),(lim ≤ ∞→ . Следова- тельно, 0),(lim ≤− ∞→ Xnnn yyyA , а значит для некоторой подпоследова- тельности }{ kny XXnn n X vyyAvyyAvyd kk k −≥−≥− ∞→ ),(),(lim, σWv∈∀ . Поскольку пространство σW плотно в X , то из последнего неравенст- ва получаем )(yAd = . Предложение доказано. Предложение 3. Пусть : XXA → — оператор вариационного исчис- ления на σW (на W ). Тогда он λ -псевдомонотонный на σW (на W ). Доказательство. Пусть yyn → слабо в σW и выполнена оценка (3), тогда в силу свойства б) для некоторой подпоследовательности }{ kny →),( yyA kn æ )(y слабо в X и согласно свойству г) вполне можем счи- тать, что XXnn yyyyyA kk ),(æ),,( → , поэтому 0),,(lim =− ∞→ Xnn n yyyyA kk k , что вместе с неравенством (3) дает 0),,(),(lim ≤−− ∞→ Xnnnnn yyyyAyyA kkkk k . С другой стороны, используя условие а), имеем 0;lim),,(),(lim =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ −−≥−− ∞→∞→ σWnnXnnnn n yyRCyyyyAyyA k k kkkk k , т.е. 0),,(),( →−− Xnnnn yyyyAyyA kkkk . Далее, согласно условию в), ),(),( vyAvyA kn → слабо в X σWv∈∀ , значит, (условие г)) 0),,( →− Xnn yyvyA kk , поэтому ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ −−−≥− σWnXnnXnnn yyRCyyyyAyyyyA kkkkkk ;),,(),,( , т.е. 0),,( →− Xnnn yyyyA kkk . (9) Далее, для каждого σWw∈ положим )()( ywyv −+= ττ , )1,0(∈τ . О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 69 Поскольку ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ −−≥−− σ τττ WnXnnnn vyRCvyvyAyyA kkkkk )(;)()),(,(),( , то +−−≥− XnnnXnn yyyyAwyyyA kkkkk ),,(),,(τ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ −−−+−+ σ ττττ WnXnnXn vyRCyyvyAwyvyA kkkk )(;)),(,()),(,( , откуда ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′−−−≥− ∞→ σ τ τ τ WXXnn n wyRCwyvyAwyyyA kk k ;1)),(,(),,(lim . Переходя в последнем неравенстве к пределу по +∞→τ , с учетом (9) окончательно получаем σWwwyyAwyyA XXnn n kk k ∈∀−≥− ∞→ ),(),(lim . Предложение доказано. Предложение 4. Пусть 21 :, XXAA → — операторы вариационного исчисления на σW (на W ). Тогда 21 AAA += является оператором вариаци- онного исчисления на σW (на W ). Доказательство. Очевидно, оператор A представлен в виде =)(yA ),(),(),( 21 yyAyyAyyA +== , причем :),( XXyA →⋅ радиально непрерыв- ный оператор с полуограниченной вариацией, где += );();( 2121 1 rrCrrC AA );( 212 rrC A+ . Условие б) очевидно. Пусть теперь yyn → слабо в σW и +−−=−− XnnnnXnnnn yyyyAyyAyyyyAyyA ),,(),(),,(),( 11 0),,(),( 22 →−−+ Xnnnn yyyyAyyA , следовательно, либо 0),,(),(lim 11 ≤−− ∞→ Xnnnnn yyyyAyyA , либо 0),,(),(lim 22 ≤−− ∞→ Xnnnnn yyyyAyyA . В первом случае благодаря свойству полуограниченной вариации 1A имеем 0;lim),,(),(lim 111 =⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ′−−≥−− ∞→∞→ σWnA nXnnnn n yyRCyyyyAyyA , В.С. Мельник, Л. Тоскано ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, №3 70 так что 0),,(),( 11 →−− Xnnnn yyyyAyyA , а, значит, и −),(2 nn yyA 0),,(2 →−− Xnn yyyyA . Но тогда найдется такая подпоследовательность }{ kny , что ),(),(),(),( 21 vyAvyAvyAvyA kkk nnn →+= слабо в X σWv∈∀ , что и доказывает свойство в). Остается рассмотреть условие г). Пусть yyn → слабо в σW и )(),( vdvyA n → слабо в X σWv∈∀ . Тогда в силу условия б) найдется такая подпоследовательность }{ kny , на которой )(),( 11 vdvyA kn → и )(),( 22 vdvyA kn → слабо в X , причем XiXnni yvdyvyA kk )),(),,( → , 2,1=i , т.е. → Xnn kk yvyA ),,( Xyvd )),(→ . Предложение доказано. Предложение 5. Пусть оператор : XXA → представим в виде )()()( 21 yAyAyA += , где 1A — оператор вариационного исчисления на σW (на W ), а оператор 2 : XWA →σ ограниченный, его график слабо замкнут в XW ×σ (в XW × ) и если yyn → слабо в σW (в W ), а dyA n →)(2 слабо в X , то XXnn ydyyA ),),(2 → . В этом случае A — оператор вариационного исчисления на σW (на W ). Доказательство. Все свойства определения 3 проверяются непосредст- венно, если оператор A представить в виде ),()( yyAyA = , где =),( vyA )(),( 21 yAvyA += . Предложение доказано. Замечание 5. Пусть 2 : YYA → — деминепрерывный оператор YX ⊂ , где вложение непрерывное и плотное, а σW вложено в Y компактно. Тогда оператор * 2 : XXA → удовлетворит всем условиям предложения 5. Условия разрешимости задачи (1), (2). Рассмотрим задачу Коши для нелинейного дифференциально-операторного уравнения fyyAy =Λ++′ )()( , (10) Hy ∈0 , (11) где : XXA → , : σXX →Λ , Xf ∈ . О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 71 Замечание 6. Уравнение (10) можно понимать как равенство в );( * σVSD , а поскольку )()( σXyyAfy ∈Λ−−=′ , то в силу непрерывности вложения );( * σσ VSCW ⊂ равенство (11) имеет смысл (например, в * σV ). Рассмотрим следующие условия: 1α ) оператор : XXA → — 0λ -псевдомонотонный на σW и ограни- ченный; 2α ) оператор * );(: XVSCA →σ — деминепрерывен; 3α ) оператор A — коэрцитивен, т.е. +∞→− XX yyAy ),(1 при +∞→Xy ; 1λ ) оператор : σXX →Λ — ограниченный; 2λ ) оператор );(: σσ XVSC →Λ — деминепрерывен; 3λ ) для произвольных Xvy ∈, )()( Vty ∈Λ п.в. St∈ и функция Vtvyyt )(),()(Λ класса )(1 SL ; 4λ ) для п.в. St∈ 0)(),()( ≥Λ Vtyty ; 4λ′ ) ∫ ≥Λ S V dttyty 0)(),()( ; 5λ ) если yyn → слабо в σW , yyn → -слабо в );( HSL∞ и ζ→Λ )( ny слабо в * σX , найдется подпоследовательность }{ kny такая, что ∫∫ Λ≥Λ ∞→ S V S Vnn n dyydyy kk k ττττττ )(),()()(),()(lim ; 6λ ) если yyn → слабо в σW , и -слабо в );( HSL∞ , ζ→Λ )( ny слабо в σX , то Vh∈∀ ∃ подпоследовательность }{ kny такая, что ∫∫ Λ=Λ ∞→ S V S Vn n dthtydthty k k ),()(),()(lim ; 6λ′ ) для каждого Xy∈ 0)(),()( =Λ Vtyty п.в. St∈ и график опера- тора Λ замкнут в ( ) );( σσ XWHSL ×∞ ∩ относительно слабых топологий; P) пространство σV (а, значит, и V ) сепарабельное (это требование не является существенным, однако оно упрощает доказательство), и пусть ...},,...,{ 1 nhh — полная система линейно независимых элементов; nH — линейная оболочка совокупности },...,,{ 21 nhhh , наделенная скалярным про- изведением из H . Предположим, что система }...,,{ 21 hh такая, что n∀ опе- ратор ортогонального проектирования nn HH →:π равномерно ограничен единицей в );( HHL , );( σσ VVL и );( * σσ VVL . В.С. Мельник, Л. Тоскано ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, №3 72 Теорема 1. Пусть выполнены условия )1α – )3α , )1λ – )6λ и P ). То- гда в каждом Xf ∈ и Hy ∈0 задача Коши (10), (11) имеет, по крайней мере, одно решение σWy∈ . Доказательство проведем, следуя [10]. Для каждого St∈ положим ( ) ( )HtLVtLtX pp ];,0[];,0[)( 01 ∩= , ( ) ( )HtLVtLtX pp ];,0[];,0[)( 01 ∩σσ = , ( ) ( )HtLVtLtX qq ];,0[];,0[)( 01 * += σσ , { })()()( * tXytXytW σσ ∈′∈= . Лемма 1. Для каждого St∈ справедливы следующие свойства: а) +∞=∫ − ∞→ t VtXy dyyAy tX 0 1 )( )(),()(lim )( τττ ; б) если yyn → слабо в )(tWσ , dyA n →)( слабо в )(* tX и 0)()(),()(lim 0 ≤−∫∞→ t Vn n dtyyyA τττ , (12) то найдется такая подпоследовательность }{ my , что ∫ ≥− ∞→ t Vmm m dwyyA 0 )()(),()(lim ττττ ∫ −≥ t V dwyyA 0 )()(),()( ττττ )(tWw σ∈∀ ; в) при выполнении 6λ ) 0)(),()( 0 ≥Λ∫ t V dyy τττ . Доказательство. Положим ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = ,],(,0 ,],0[),( )( Tt ty yt τ ττ τ тогда очевидно )(tXXt yy = , )()()()( ττ tyAyA = для п.в. ],0[ t∈τ и в силу коэрцитивности оператора A имеем =∫ − ∞→ t VtXy dyyAy tX 0 1 )( )(),)((lim )( τττ +∞== ∫ − ∞→ S VttXty dyyAy Xt τττ )(),)((lim 1 . О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 73 Пусть теперь yyn → слабо в )(tWσ и выполнена оценка (12), значит, )(* tXw∈∀ 0, )( →− tXn wyy и )(tXv σ∈∀ 0, )( →′−′ tXn vyy σ , т.е. 0)(),()()(),()( 0 ∫∫ →−=− S Vttnt t Vn dwyydwyy ττττττττ , 0)(),()()(),()( 0 ∫∫ →′−′=′−′ S Vttnt t Vn dvyydvyy ττττττττ σσ , ибо ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈′ =′ .],(,0 ,],0[),( )( Tt ty yt τ ττ τ Значит, tnt yy → слабо в )(tWσ , причем =− ∞→ Xtntntn yyyA ),(lim 0)()(),()(lim 0 ≤−= ∫∞→ t Vtntnt n dyyyA ττττ , поэтому в силу условия 1α ) найдется такая подпоследовательность }{ tnk y , для которой =− ∞→ Xttntn n wyyA kk k ),(lim =−=−= ∫ ∞→ Xttt t Vnn n wyyAdwyyA kk k ),()()(),()(lim 0 ττττ ∫ −= t V dwyyA 0 )()(),()( ττττ )(tWw σ∈∀ . И, наконец, 0)(),()()(),()( 0 ≥Λ=Λ ∫∫ S Vtt t V dyydyy ττττττ . Лемма доказана. Определим nn Hty ∈)( из решения следующей конечномерной систе- мы: ViVinVinVin htfhtyhtAyhty ),(),()(),()(),( =Λ++′ σ , ni ,1= (13) с начальными условиями 0)0( nn yy ∈ , (14) где 00 yyn → сильно в H , );( 0 npnn HSLXy =→ , );( 0 * nqn HSLX = . В.С. Мельник, Л. Тоскано ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, №3 74 В силу условия 2λ ) равенство (13) можно представить в эквивалент- ном виде nnnnnn fyyAy =Λ++′ )()( , (15) где операторы : nnn XXA → , : nnn XX →Λ и * nn Xf ∈ определяются соот- ношениями XnXnn wfwf n ,, = , XnnXnnn wyAwyA n ),(),( = , XnnXnnn wywy n ),(),( Λ=Λ nnn Xwy ∈∀ , . Лемма 2. При каждом ...,2,1=n задача (14), (15) имеет решение σWyn ∈ , последовательность }{ ny ограничена в X и );( HSC , а }{ ny′ огра- ничена в * σX . Доказательство. Обозначим 1S множество тех St ∈1 , для которых за- дача (14), (15) имеет решение из );],0([ 10 np HtL (возможно, }0{1 =S ). При этом 1S может иметь вид ),0[ 0t или ],0[ 0t . Для каждого ),0[ 01 tt ∈ система (15) имеет решение );],0([ 10 npn HtLy ∈ , );],0([ 10 nqn HtLy ∈′ , т.е. )()()()()()( tftytyAty nnnnnn =Λ++′ п.в. ],0[ 1tt∈ , (16) 0)0( nn yy ∈ . (17) Продолжим функцию ny на ],0[ 0t так, чтобы она удовлетворяла (16) для п.в. ],0[ 0tt∈ и ],0[ 01 tt ∈∀ продолженная функция )];,0([ 10 npn HtLy ∈ . Умножая (16) на ny и интегрируя, имеем ( ) =′=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ τττ dyyyty t nnHnHn 0 22 )(),()( 2 1 0 ∫ ∫ Λ−−= t S VnnVnn dyydyyAf 0 )(),()()(),()()( τττττττ . Здесь согласно условию 3λ ) все интегралы существуют. Тогда с уче- том 4λ′ ) 2 )( 0 2 01 * 2 1)()()()( 2 1 HntXnX t VnnHn yyfdyyAty +≤+ ∫ τττ . Отсюда выводим и свойства а) леммы 1: 1)( 1 ky tXn ≤ , (18) О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 75 где постоянная 1k не зависит от n и 1t . Следовательно, );],0([ 00 npn HtLy ∈ , а, значит, 10 St ∈ и ],0[ 01 tS = . Докажем, что решение ny продолжается на все S . Положим ltyn =)( 0 и ⎩ ⎨ ⎧ ≤< ≤≤ = ., ,0,)( )( 0 0 Tttl ttty t nξ Оператор : XXA → ограничен, поэтому ограниченным, и тем более локально ограниченным, будет и отображение : nnn XXA → . В самом деле, если 0ky nXn ≤ , то 0 11 ** )(),(sup),(sup)( lyAwyAwyAyA XnXnn w Xnnn w Xnn Xn n nXn n ≤≤== == . Следовательно, локально ограниченным будет оператор );();(: 0 nqnn HSLHSCA → . Аналогично и для локальной ограниченности оператора →Λ );(: nn HSC );( 0 nq HSL→ . Таким образом, найдутся числа 0)( >= ξεε , 0)( >= ξMM такие, что MfyyA nXnnn ≤−Λ+ )()( , (19) как только εξ ≤− );( nHSCy . Пусть функция );( nHSCy∈ задается соотношением ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >−≤< − − + ≤−≤< ≤≤ = ,)(,, )( )( ,)(,,)( ,0,)( )( 0 0 0 εη η η ε εηη n n n H H H n ltTtt lt ltl ltTttt ttty ty где { }ltwHTtCwC nl =∈=∈ )()],,([ 00η . Определим оператор );(: 0 nql HSLCG → равенством ( ) )()()()()( tfyyAtG nnn −Λ+=η , Ttt ≤≤0 . Очевидно, соответствие );( nl HSCyC ∈−⊃ η непрерывное, а из ус- ловий )), 22 λα следует деминепрерывность отображений * );(:,);(: nnnnnn XHSCXHSCA →Λ→ . В.С. Мельник, Л. Тоскано ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, №3 76 Следовательно, деминепрерывным будет и отображение : nl XCG → . Кроме того, благодаря (19) MfyyAG nn XnnX ≤−Λ−= * )()()(η lC∈∀η . Таким образом, мы попадаем в условия обобщенной теоремы Каратео- дори, доказательство которой имеется, например, в работе [2]. Лемма 3. Пусть : nl XCG → — деминепрерывный оператор и справед- лива оценка MG nX ≤)(η lC∈∀η . Тогда уравнение ∫−= t t dGlt 0 )()()( ττηη ],[ 0 Ttt∈∀ разрешимо в lC . Отсюда следует, что для достаточно малого 0>δ справедлива оценка εη ≤− nXlt)( , δ+≤≤ 00 ttt . Функцию )(tyn , определенную на ],0[ 0t , продолжим на интервал ],0[ 0 δ+t : )()( ttyn η= , δ+≤< 00 ttt . Тогда ( ) )()()()()( tfyyAtG nnnnn −Λ+=η , ],[ 00 δ+∈ ttt и ( )∫∫ =−Λ+−=−= t t nnnnnn t t n dfyyAtydGlty 00 )()()()()()()( 0 ττττη ( )∫ −Λ+−= t nnnnnn dfyyAy 0 0 )()()( ττ , поскольку ( )∫ −Λ+−= 0 0 00 )()()()( t nnnnnnn dfyyAyty ττ . Значит, решение задачи (16), (17) существует на ],0[ 0 δ+t , принадле- жит );],0([ 00 np HtL δ+ и, таким образом, продолжая этот процесс, прихо- дим к SS =1 , т.е. решение ny из );( 0 np HSL . Ограниченность последовательности }{ ny в пространстве X немед- ленно следует из оценки (18). Поскольку оператор : XXA → ограничен- ный, то из неравенства ∫ −−+= t VnnHnHn dyyAfyty 0 2 0 2 )(),()()( 2 1)( 2 1 ττττ XnXnHn t Vnn yyAfydyy )( 2 1)(),()( 2 0 0 −+≤Λ− ∫ τττ следует оценка 0);( ky nHSCn ≤ . Докажем ограниченность последователь- О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 77 ности }{ ny′ в * σX . Пусть nn HH →:π — оператор ортогонального проекти- рования, удовлетворяющий свойству Р). Тогда из (13) получаем fyyAy nnnnnn πππ =Λ++′ )()( . Из условий )), 11 λα вытекает, что последовательность )}({ nyA огра- ничена в X и в σX , последовательность )}({ nyΛ — в * σX , а, значит, )}({ nn yAπ и )}({ nn yΛπ ограничены в * σX в силу свойств оператора nπ . Также ограничена в * σX и последовательность }{ fnπ . Таким образом, за- ключаем, что }{ ny′ ограничена в * σX . Лемма доказана. Перейдем к пределу при ∞→n . Заметим, что найдется подпос- ледовательность }{ kny такая, что yy kn → слабо в X , и -слабо в );( HSL∞ , yy kn ′→′ слабо в σX , æ)( → knyA слабо в * σX , zTy kn →)( слабо в H . То- гда для произвольных )(SD∈ϕ и nHh∈ , используя свойства интеграла Бохнера, получаем при nnk ≥ ( ) =Λ++′∫ VS nnnnn hdttytyAtyt kkkkk ,)()()()()()(ϕ VS XXnnnnn hdttfthfhyyAy kkkkk ∫==Λ++′= ,)()(,),()( ϕϕϕ . Переходя к пределу в последнем равенстве, находим ( −=′ ∫ )()(, tftxy S X ϕϕ æ ) σ ξ V xdttt ,)(− ∪ n nHx∈∀ , а поскольку ∪ n nH плотно в σV (и в V ), то +′y æ f=+ ξ (20) как равенство в * σX , причем )(yΛ=ξ в силу условия ).6λ Докажем, что 0)0( yy = , zTy =)( . Для произвольного ∪ n nHh∈ , со- гласно (20), имеем =−−−=−′ ∫∫ dthtTtttfdthtTty V SS V σσ ξ )(),()(æ)()(),( ∫ =−Λ−−= ∞→ S Vknkn n dthtTtytyAtf k σ )(),()()()()(lim В.С. Мельник, Л. Тоскано ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, №3 78 ( ) ( ) = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−−′= ∫∫ ∞→∞→ hTydthtydthtTty k kk n S kn S nVkn n ),0(),(lim)()(lim σ ( ) ( ) ( )∫∫ −−−′=−= S V S ThyydthhTtyhTydthty ,)0()(),(,),( 00 σ . Но так как ∪ n nH плотно в σV , то отсюда получаем 0)0( yy = . Анало- гично для ∪ n nHh∈ имеем ( ) ∫∫ =′=′=− ∞→ S Vkn n S V dthtydthtyhyTy k σσ ),()lim),(,)( 0 ( ) ),(),0()(lim 0 hyzhyTy kk k nn n −=−= ∞→ и, таким образом, zTy =)( . Нам остается доказать, что )(æ yA= . Воспользуемся для этого усло- виями )1α и ).5λ Переходя, при необходимости, к подпоследовательности из (16), (17) и (20), получаем −′−≤ ∞→∞→ XnnnXnnn kkkk yyfyyA ,lim),(lim − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+≤Λ− ∞→∞→ 22 0 )( 2 1,lim),(lim HnHnXnnXnn n Tyyyfyy kkkkk σ ( )=−+Λ−≤Λ− ∫∫ S HHV S XV Tyydttytyyfdttyty 22 0 )( 2 1)(),()(,)(),()( =′−Λ−= ∫∫∫ S V S V S V dttytydttytydttytf )(),()(),()()(),( X S V dttyt yæ,)(),(æ == ∫ . Однако каждый псевдомонотонный на σW оператор обладает свойст- вом )(M на σW (предложение 2), откуда )(æ yA= . Таким образом, fyyAy =Λ++′ )()( , σWy∈ , 0)0( yy = . Теорема доказана. Замечание 7. Теорема 1 остается в силе, если условие псевдомонотон- ности на σW оператора A заменить формально более слабым условием )(M на σW , а также если вместо )4λ выполняется )4λ′ , а вместо )6λ — 6λ′ ). Замечание 8. Условие )3α (в предположении )3λ ) можно заменить следующим: О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 79 +∞→ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Λ+ ∫ − S VXX dttytyyyAy )(),()(),(1 , ∞→Xy . (21) В приложениях условие )3α или его вариант (21) могут оказаться слишком сильными. В этой связи, следуя [1, 4, 10], введем такой его вариант. Пусть V][⋅ — некоторая полунорма на V , и положим =Xy][ [ ] ττ dy p S p V 1 1 /1 )( ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ . Очевидно, X][⋅ — полунорма на X . Рассмотрим условие: найдутся 00 >δ , 0>β , 0>γ и R∈α такие, что Xy∈∀ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ +≥Λ+ ≥+ ∫ S p XVX XHSLX ydttytyyyA yyy p .][)(),()(),( ,][ 1 0 );(0 αγ βδ (22) Теорема 2. Пусть выполнены предположения теоремы 1, кроме усло- вия )3α (или (21)). Если при этом имеет место (22), то справедливы все ут- верждения теоремы 1. Доказательство. Нетрудно заметить, что St∈∀ и ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ +≥Λ+ ≥+ ∫∫∫ t p V t V t V tXHtLtX dydyydyyA yyy p 000 )()];,0([0)( ~)]([)(),()()(),()( ][ 1 0 αττγττττττ βδ , (23) где 1 1 /1 0 )( )]([][ pt p VtX dyy ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ττ — полунорма на )(tX . Тогда с учетом (23) приходим к неравенству ++≤+ ∫ )( 2 0 2 ),()( 2 1)]([)( 2 1 1 tXnnHn t p VHn yyAtydyty ττγ ∫∫ ++≤−Λ+ t VnVHn t Vnn dyfydyy 0 1 2 0 0 )()( 2 1~)(),()( * τττατττ ατττ ~)()( 0 2 −+ ∫ t HnH dyf , (24) где 21 fff += , );( * 1 1 VSLf q∈ , );( 02 HSLf q∈ . Правая часть (24) мажорируется выражением ≤− ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫∫ αττττ ~)()]([ 2 1 0 0 1 1 * /1 0 /1 0 1 2 0 pt p Hn pt p VnXHn dydyfCy В.С. Мельник, Л. Тоскано ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, №3 80 [ ] 0 01 /2 00 22 )()( 2 pt p Hn t p Vn dyCdyC ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤ ∫∫ ττττγ или 2 )];,0([33)( 2 0 1][)( HtLn p tXnHn p yCCyty +≤+ γ , откуда 0 0 0 )];,0([44)( p HtLn p Hn p yCCty +≤ , и в силу леммы Гронуолла имеем tCp Hn eCty 40 4)( ≤ , т.е. 5)( Cty Hn ≤ . То- гда 6)(][ Cy tXn ≤ , 7)( Cy tXn ≤ , где константы 5C , 6C , 7C не зависят от t . Таким образом приходим к оценке (18). Далее доказательство в точности воспроизводит доказательство теоремы 1. Замечание 9. Теорема 2 останется в силе, если условие (22) заменить локальным свойством: найдутся 00 >δ , 0>β , 0>γ , R∈α такие, что St∈∀ и Xy∈ , [ ] V pp HV tytyty )()()( 10 / 0 βδ ≥+ , [ ] αγ +≥Λ+ 1)()(),()()(),()( p VVV tytytytytyA . Действительно, в этом случае правая часть неравенства (24) оценивается [ ] + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫∫ 1 1 1 1 * /1 0 /1 0 11 2 0 )()( 2 1 pt P V qt q VHn dydfCy ττττ ≤− ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫∫ 1 /1 0 /1 0 2 0 0 0 0 )()( αττττ pt p H qt q H dydf 0 01 /2 0 2 0 2 )()]([ 2 pt p H t p V dyCdyC ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++≤ ∫∫ ττττγ . Далее доказательство завершается так же, как в теореме 2. ЛИТЕРАТУРА 1. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972. — 587 с. 2. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и опе- раторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир. — 1978. — 336 с. 3. Groger K. Zum Galerkin – Verfanhren fur Evolutions qleichungen. Theory of Nonlinear operators // Proceedings of a summer-school, held in October 1972 at Neuendorf (Hiddensee). — GDR. Berlin: Akademie — Verlag, 1974. — P. 85–104. О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 81 4. Иваненко В.И., Мельник В.С. Вариационные методы в задачах управления для систем с распределенными параметрами. — Киев: Наук. думка, 1988. — 255 с. 5. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Итоги науки и техники. Соврем. проблемы матем. — М.:ВИНИТИ. — 1976. — 9. — C. 5–130. 6. Brezis H. Perturbation non lineaire d’operateurs maximaux monotones, C.R. Acad. Sci. Paris. — 269 (1969). — Р. 566–569. 7. Kartsatos A.G., Scrypnik I.V. Topological degree theories for densely defined map- pings involving operator of type )( +S // Adv. Differential Equations. — 1999. — № 4. —Р. 413–456. 8. Мельник В.С. Об операторных включениях в банаховых пространствах с плот- но определенными операторами // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. — № 3. — С. 120–126. 9. Melnik V.S., Vakulenko A.N. Topological methods in the theory of operator inclu- sions with densely defined mappings in Banach spaces // Nonlinear Boundary Valued Problems. — 1999. — 10. — P. 132–145. 10. Згуровский М.З., Мельник В.С. Нелинейный анализ и управление бесконечно- мерными системами. — Киев: Наук. думка. — 1999. — 630 с. 11. Kapustyan A.V., Melnik V.S., Valero J. Attractors of multivalued dynamical proc- esses generated by phase-field equations // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2003. — 13, № 7. — P. 1969–1983. 12. Капустян А.В. Глобальные аттракторы неавтономного уравнения реакции- диффузии // Дифференциальные уравнения. — 2002. — 38, № 10. — C. 1378–1382. 13. Згуровский М.З., Мельник В.С., Новиков А.Н. Прикладные методы анализа и управления нелинейными процессами и полями. — Киев: Наук. думка, 2004. — 590 с. 14. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. — М.: Наука. — 1990. — 442 с. Поступила 29.03.2004
id	journaliasakpiua-article-171690
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Russian
last_indexed	2025-07-17T10:25:26Z
publishDate	2019
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/f4/ea5a03fa4ac2065700f5fc9feb444cf4.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1716902019-06-27T14:30:07Z Nonlinear differential-operator equations in banach spaces with mapping of pseudomonotonous type О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах с отображеннями псевдомонотонного типа. Часть I Про нелінійні диференціально-операторні рівняння в банахових просторах із відображеннями псевдомонотонного типу. Частина I Melnik, V. S. Toskano, L. The proof for the existence theorem is constructed using Galyorkin's mehod. The functional-analythic properties of the solutions to nonlinear differential-operator equations in banach spaces with λ-pseudomonotonous mapping are investigated. Методом Галеркина доказана теорема существования и изучены функционально-аналитические свойства решений нелинейных дифференциально-операторных уравнений в банаховых пространствах с λ-псевдомонотонными отображениями. Методом Гальоркіна доведено теорему існування та вивчені функціонально-аналітичні властивості розв’язків нелінійних диференціально-операторних рівнянь у банахових просторах із λ-псевдомонотонними відображеннями. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-27 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171690 System research and information technologies; No. 3 (2004); 63-81 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2004); 63-81 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2004); 63-81 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171690/171399 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Melnik, V. S. Toskano, L. Про нелінійні диференціально-операторні рівняння в банахових просторах із відображеннями псевдомонотонного типу. Частина I
title	Про нелінійні диференціально-операторні рівняння в банахових просторах із відображеннями псевдомонотонного типу. Частина I
title_alt	Nonlinear differential-operator equations in banach spaces with mapping of pseudomonotonous type О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых пространствах с отображеннями псевдомонотонного типа. Часть I
title_full	Про нелінійні диференціально-операторні рівняння в банахових просторах із відображеннями псевдомонотонного типу. Частина I
title_fullStr	Про нелінійні диференціально-операторні рівняння в банахових просторах із відображеннями псевдомонотонного типу. Частина I
title_full_unstemmed	Про нелінійні диференціально-операторні рівняння в банахових просторах із відображеннями псевдомонотонного типу. Частина I
title_short	Про нелінійні диференціально-операторні рівняння в банахових просторах із відображеннями псевдомонотонного типу. Частина I
title_sort	про нелінійні диференціально-операторні рівняння в банахових просторах із відображеннями псевдомонотонного типу. частина i
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171690
work_keys_str_mv	AT melnikvs nonlineardifferentialoperatorequationsinbanachspaceswithmappingofpseudomonotonoustype AT toskanol nonlineardifferentialoperatorequationsinbanachspaceswithmappingofpseudomonotonoustype AT melnikvs onelinejnyhdifferencialʹnooperatornyhuravneniâhvbanahovyhprostranstvahsotobražennâmipsevdomonotonnogotipačastʹi AT toskanol onelinejnyhdifferencialʹnooperatornyhuravneniâhvbanahovyhprostranstvahsotobražennâmipsevdomonotonnogotipačastʹi AT melnikvs pronelíníjnídiferencíalʹnooperatornírívnânnâvbanahovihprostorahízvídobražennâmipsevdomonotonnogotipučastinai AT toskanol pronelíníjnídiferencíalʹnooperatornírívnânnâvbanahovihprostorahízvídobražennâmipsevdomonotonnogotipučastinai

Про нелінійні диференціально-операторні рівняння в банахових просторах із відображеннями псевдомонотонного типу. Частина I

Institution

Ähnliche Einträge