Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях
Neurofuzzy model construction algorithm for nonlinear dynamic system identification is considered using Bernstein polynomials as fuzzy membership functions. A new analytical method for the inverse Castelzho mapping is proposed to determine barycentric coordinates in bivariate function approximation...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171811 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334371540729856 |
|---|---|
| author | Mytnik, О. Yu. Bidyuk, P. I. |
| author_facet | Mytnik, О. Yu. Bidyuk, P. I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Yu. Mytnik",
"institution": null
},
{
"author": "P. I. Bidyuk",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Mytnik, О. Yu. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-07-02T15:42:32Z |
| description | Neurofuzzy model construction algorithm for nonlinear dynamic system identification is considered using Bernstein polynomials as fuzzy membership functions. A new analytical method for the inverse Castelzho mapping is proposed to determine barycentric coordinates in bivariate function approximation by the Bezier surface. Examples of using new approach for the real problems of identification some equations in the simple macroeconometric model of Ukraine’s economy are shown. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
© О.Ю. Митник, П.І. Бідюк, 2004
24 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2
УДК 519.86
ОБЕРНЕНЕ ВІДОБРАЖЕННЯ КАСТЕЛЬЖО В НЕЧІТКИХ
НЕЙРОННИХ МОДЕЛЯХ
О.Ю. МИТНИК, П.І. БІДЮК
Розглянуто алгоритм побудови нечітких нейронних моделей для ідентифікації
нелінійних динамічних систем, в якому поліноми Бернштейна використову-
ються як функції приналежності. Запропоновано новий аналітичний метод по-
будови оберненого відображення Кастельжо для обчислення барицентричних
координат у частинній задачі наближення функції двох змінних поверхнею
Без’є. Наведено приклади застосування нового підходу у реальних задачах
ідентифікації деяких рівнянь із спрощеної моделі економіки України.
ВСТУП
Аналіз економічних процесів, задача їх ідентифікації і побудови відповідних
нелінійних моделей є актуальними, особливо в періоди економічних змін та
реформ. При цьому для постановки і розв’язання ряду важливих задач оче-
видна неефективність застосування лінійних моделей опису економічних
процесів, апарат яких добре розроблений. Область моделювання нелінійних
процесів в економіці, як і взагалі нелінійних динамічних процесів, залишаєть-
ся недостатньо вивченою, хоча і перспективною для наукових досліджень.
Нейронні мережі відкривають широкі можливості у розв’язанні задач
наближення нелінійних функцій. Загальною проблемою в моделюванні не-
лінійних процесів за допомогою нейронних мереж з асоціативною пам’яттю
є «прокляття вимірності». З метою подолання цієї проблеми для нечіткого
представлення змінних і побудови функцій приналежності пропонується
використовувати поліноміальні функції Без’є — Бернштейна.
ФОРМУЛЮВАННЯ ПРОБЛЕМИ
Розглядається алгоритм побудови нечітких нейронних моделей для неліній-
них динамічних систем, запропонований К. Харрісом [1, 2]. Основа цього
підходу полягає у використанні поліноміальних функцій Без’є — Бернш-
тейна декількох змінних як базисних для такого розкладу:
( ) ( ) ( ) ( ).,
11 112
2121
1
0 xexxfxffxf
n
k
n
kk
kkkk
n
k
kk +++= ∑ ∑∑
= +==
(1)
Ліва частина (функція n-змінних) відображає вихід динамічної системи,
вектор ( )Tnxxx …1= — відповідно входи системи. Для формування базис-
них поліноміальних функцій Без’є — Бернштейна 21, kkk ff використову-
ються лінійні комбінації поліномів Бернштейна від векторів барицентрич-
них координат )(s та ),( vu
Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 25
( ) ( ) ( )[ ],
0
∑
=
=
d
j
k
d
jjkk xsBwxf
( ) ( ) ( ) ( )[ ] .,,,
2
1
212121,,,,2121 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
== ∑
=++ k
k
kk
dkji
kkkk
d
kjikjikkkk x
x
xxvxuBwxxf (2)
Поліноми Бернштейна порядку d однієї і двох змінних відповідно ма-
ють вигляд
( ) ( ) ( )( ) ,1 jdjd
j ss
j
d
sB −−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
( ) ( ) ( ) .,1
,,
, dkjivuvu
kji
d
vuB kjid
I =++−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
Барицентричні координати, в свою чергу, отримуються за допомогою
оберненого алгоритму Кастельжо, який реалізує відображення
]1,0[))(()(: ∈→Ψ txstx kkk та
{ } { }1,0,0))(()),(()(: 2121
2
2121 =+==∆∈→∈Ψ vuvutxvtxutx kkkkkkkk R ,(3)
використовуючи ітераційний чисельний метод зворотного розповсюдження
помилки (back propagation) [3]. Відповідну структуру нейронної мережі зо-
бражено на рис. 1.
Недоліки такого підходу:
1. Барицентричні координати обчислюються не точно, а із заданим рів-
нем точності.
2. Ітеративність чисельного методу негативно впливає на швидкість
його роботи, особливо при великій кількості вхідних змінних і великому
розмірі вибірки.
Базисні функції
Без’є – Бернштейна
Вагові коефіцієнти
Вихід мережі
Вхідний простір
∆ {u=0, v=0, u+v=1}
Простір барицентричних
координат (u ,v )
ψ( ⋅) y( t)
x( t)
Рис. 1. Структура нечіткої нейронної мережі за К. Харрісом
О.Ю. Митник, П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 26
3. Залишається відкритим питання про розміщення базових керуючих
точок [4].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розробити метод побудови оберненого відображення Кастельжо, який за
рахунок спеціального вибору розміщення базових керуючих точок дозволяє
використовувати аналітичне обчислення барицентричних координат. Таким
чином, новий метод позбудеться всіх трьох недоліків методу зворотного
розповсюдження помилки. Застосувати повний алгоритм К. Харріса з новим
методом обчислення барицентричних координат для реальних задач іденти-
фікації деяких рівнянь спрощеної моделі економіки України.
АЛГОРИТМ КАСТЕЛЬЖО
Прямий алгоритм Кастельжо добре відомий як один із методів побудови
кривих та поверхонь Без’є [4, 5]. У випадку наближення поверхні Без’є по-
ліномами Бернштейна двох змінних ),( vu в ньому задається довільна мно-
жина базових керуючих точок 3R∈=++ )(}{ dkjiijkr , ( ) ( )vuijkijk ,0rr = . Для кож-
ної пари барицентричних координат u і v, використовуючи ітеративну
формулу лінійної інтерполяції кожних трьох керуючих точок
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )vuvuvuvvuuvu ijkkijjkiijk ,)1(,,, 1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
+ −−++= rrrr rrrr ,
rr −=++= dkjid;,...,2,1 ,
знаходиться точка — елемент поверхні Без’є ( ) ( )vud ,000r (рис. 2).
У роботі [5] показано, що будь-яка точка на трикутній кубічній порції
поверхні Без’є може бути представлена у вигляді лінійної комбінації полі-
номів Бернштейна
( ) ( ) ( ) ( )∑
=++
=
dkji
d
kjiijk
d vuBvu ,, ,,000 rr . (4)
Цей важливий наслідок випливає з властивості рекурсивного обчислення
поліномів Бернштейна. Для задачі (1) – (3) вектор ( ) ( )vur d ,000 розглядається як
( )⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
21
2
1
)(
000
, kk
k
k
d
xxf
x
x
r . (5)
У такому випадку рівність (4) можна переписати у вигляді такої систе-
ми рівнянь:
( ) ( ) ( )∑
=++
ℜ∈=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
dkji
ijk
d
kjiijk
k
k bvuBbvu
x
x 2
,,
2
1 ,,, ,
Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 27
де ijkb — проекція ijkr на площину ),( 21 kk xx ,
( ) ( ) ( )∑
=++
ℜ∈=
dkji
ijk
d
kjiijkkk wvuBwxxf ,,, ,,21 .
Тоді часткова задача наближення поліноміальної функції Без’є — Бер-
нштейна ),( 21 kk xxf поверхнею Без’є зводиться до визначення вагових ко-
ефіцієнтів ijkw . Для цього необхідно побудувати відображення простору
вхідних змінних ),( 21 kk xx у простір барицентричних координат ),( vu на
основі заданої множини базових контрольних точок }{ ijkb (рис. 3).
Рис. 3. Обчислення керуючих точок для побудови проекції поверхні Без’є на площині
Рис. 2. Робота алгоритму Кастельжо для трикутної кубічної порції поверхні Без’є
О.Ю. Митник, П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 28
У роботі запропоновано аналітичний метод визначення барицентрич-
них координат, який переважає існуючий в точності та швидкості. Основою
методу є теорема про обернене відображення Кастельжо.
Теорема. Нехай задана множина базових керуючих точок
2
)(}{ ℜ∈=++ dkjiijkb порядку d така, що задовольняє умови:
1. Множина }{ ijkb утворює многогранник S такий, що містить всі век-
тори x .
2. Визначник 0, 00000000 ≠−− dddd bbbb .
3. Виконуються рівності
;2;2 2211211 kijkkijkijjkikijkji ++++++++ +=+= bbbbbb
22112 ++++ += ijkjkijki bbb . (6)
Тоді обернене відображення Кастельжо має вигляд
)()(),()( 00
1
2121 d
T
kkkk vu bxBxxx −=≡=Ψ − , (7)
де матриця ),( 00000000 dddd bbbbB −−= .
ДОВЕДЕННЯ
Випишемо три кроки ітерації r )2;,...,2,1( rr −=+++= dkjid прямого
алгоритму Кастельжо побудови точки x=000b проекції поверхні Без’є по
заданим барицентричним координатам Tvu ),(
kijkijkjikij vuvu 111112 )1( ++++++ =−−++ bbbb , (8)
121111 )1( ++++++ =−−++ ijkijkjkikij vuvu bbbb , (9)
jkijkijkikji vuvu 111211 )1( ++++++ =−−++ bbbb (10)
та один крок ітерації 1+r )11( −−=+++ rdkji
ijkijkjkikij vuvu bbbb =−−++ +++ 111 )1( . (11)
Підставивши рівності (6, 8, 9, 10) в (11), в результаті спрощень отрима-
ємо вираз
ijkijkjkikij vuvu bbbb =−−++ +++ 221 )1( ,
який можна узагальнити у формі
xbbbb ==−−++ 000000000 )1( ddd vuvu . (12)
Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 29
За умови існування оберненої матриці (умова 2 теореми) маємо
)(),(),( 00
1
00000000 ddddd
T xvu bbbbb −−−= − .
Умова 1 теореми забезпечує невід’ємність барицентричних координат
vu, .
Теорему доведено.
Графічне зображення умови (6) наведено на рис. 4.
Аналогічну теорему легко сформулювати для оберненого відображення
Кастельжо однієї змінної kψ при побудові відображення ))(()( tst kk xx → .
У цьому випадку задається множина базових керуючих точок на відрізку,
що містить усі kx .
НАСЛІДОК
Рівність (11) можна переписати у вигляді системи рівнянь
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
,1
,2
2
00
2
00
2
00
,1
1
00
1
00
1
00
wvu
wvu
wvu
k
k
d
k
d
k
d
k
k
d
k
d
k
d
xbbb
xbbb
яку найпростіше розв’язати відносно u та v за допомогою правила Крамера.
ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРЕМИ
Розглянемо декілька рівнянь із спрощеної моделі економіки України, запро-
поновані у роботах [6, 7].
Рівняння динаміки ринкової відсоткової ставки
b020
b010
b011
b200
b002
b100
b001
b000
b101
b110
Рис. 4. Симетричне розташування керуючих точок проекції Без’є на площині
О.Ю. Митник, П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 30
( )11 ,,2 −= tttt RRGDPRMFR . (13)
Рівняння динаміки реального споживання
( )12 ,, −= tttt RCONRRDIFRCON . (14)
Рівняння динаміки реальних інвестицій
( )1213 ,,, −−−= ttttt RINVRRGDPRGDPFRINV . (15)
Рівняння динаміки податку на додану вартість
( )21214 ,,, −−−−= ttttt RGDPRGDPVATVATFVAT . (16)
Відповідно
tR — ринкова відсоткова ставка;
tRM 2 — реальні грошові залишки з M2;
tRGDP — реальний ВВП;
tRCON — реальне споживання;
tRDI — реальний дохід після виплати податків;
tRINV — реальні інвестиції;
tVAT — податок на додану вартість.
Розглянемо роботу повного алгоритму К. Харріса із застосуванням за-
пропонованого нового методу побудови оберненого відображення Кастельжо
на прикладі ідентифікації рівняння динаміки ринкової відсоткової ставки (13).
Позначимо tRf = , tRMx 21 = , tRGDPx =2 , 13 −= tRx . Процес динамі-
ки відсоткової ставки моделюється у вигляді
+++++= ),()()()(),( 2112332211032,1 xxfxfxfxffxxxf
),,(),(),( 32132233113 xxxexxfxxf +++ .
Для простоти будемо розглядати поліноми Бернштейна порядку 3. Тоді
поліноміальні функції 21, kkk ff шукаються у вигляді
)(),()()()( 332211 kkk xsssBwsBwsBwxf =++= , =),( 2121 kkkk xxf
++++= ),(),(),(),( 030030021021012012003003 vuBwvuBwvuBwvuBw
+++++ ),(),(),(),( 102102300300210210120120 vuBwvuBwvuBwvuBw
),(),,(,),(),( 2121111111201201 kkkk xxvvxxuuvuBwvuBw ==++ .
АНАЛІТИЧНИЙ МЕТОД ВИЗНАЧЕННЯ БАРИЦЕНТРИЧНИХ КООРДИНАТ
1. Для кожної змінної kx задається множина базових керуючих точок
ℜ∈),,,( 3210 bbbb на відрізку ],[ maxmin kk xx за правилом += minki xb
3/)( minmax ixx kk −+ .
Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 31
2. Обернене відображення Кастельжо визначається формулою
)(/)()( 030 bbbxxs kk −−= .
3. Для кожної пари змінних 21, kk xx задається множина базових керу-
ючих точок { } 2
111201102300210120030021003 ,,,,,,,, ℜ∈bbbbbbbbb на площині
),( 21 kk xx за такою схемою:
• вводимо поняття рівня керуючої точки )(L та номеру керуючої точ-
ки (N) на заданому рівні у відповідності значеннь L та N до кожної з базо-
вих керуючих точок таким чином:
L \ N 0 1 2 3
0 300b – – –
1 201b 210b – –
2 102b 111b 120b –
3 003b 012b 021b 030
b
• визначаємо значення проміжних допоміжних змінних
max1min1minmin1max1max 21,21 kkkk xxWkxxWk −=−= ,
3/)11(1 minmax WkWkWk −=δ ,
max2min2minmin2max2max 5,05,12,5,15,22 kkkk xxWkxxWk −=−= ,
3/)22(2 minmax WkWkWk −=δ ;
• визначаємо координати 2,1 XkXk кожної з керуючих точок за фор-
мулами
115,0)3(11 min),( WkNWkLWkXk Nl δδ +−+= ,
2)3(22 min),( WkLWkXk Nl δ−+= .
Можна показати, що таким чином задані керуючі точки задовольня-
ють всі три умови теореми.
4. Обернене відображення Кастельжо визначається за допомогою тео-
реми з формули (7).
5. Після обчислення барицентричних координат s та ),( vu знаходять-
ся вагові коефіцієнти ijki ww , . Для цього розв’язується відповідне рівняння
регресії (1) методом найменших квадратів.
Результати моделювання за алгоритмом К. Харріса і порівняльний ана-
ліз з алгоритмом, запропонованим у роботі [6] (трьохетапний метод най-
менших квадратів 3SLS), можна бачити на графіках (рис. 5, 6, 7, 8).
О.Ю. Митник, П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 32
Відносні середньоквадратичні похибки моделей Харріса відповідно станов-
лять:
%183,1MSE;%692,0MSE == RCONR ;
%03,0MSE;%001,0MSE == RVATRINV .
Відносні середньоквадратичні похибки 3SLS-моделей значно більші і коли-
ваються у межах 10%. Можна зробити висновок, що застосування алгорит-
му К. Харріса дозволяє в десятки разів покращити точність прогнозування
змінних спрощеної моделі економіки України. Крім того, застосування ана-
Рис. 5. Динаміка відсоткової ставки R, %: реальні дані; 3SLS-модель;
модель Харріса
Роки
Рис. 6. Динаміка реального споживання RCON, млрд грн: реальні дані;
3SLS-модель; модель Харріса
Роки
Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 33
літичного обчислення барицентричних координат зменшує час роботи
алгоритму в десятки разів.
ВИСНОВКИ
Застосування нового підходу до побудови оберненого відображення Касте-
льжо для обчислення барицентричних координат в задачі наближення фун-
кції двох змінних поверхнею Без’є дозволило значно покращити ідентифі-
каційні властивості алгоритму К. Харріса. Зокрема, аналітичність прямого
обчислення барицентричних координат забезпечує абсолютну точність і ви-
соку швидкість роботи алгоритму. Зникає і проблема невизначеності при
Рис. 8. Динаміка податку на додану вартість VAT, млрд грн: реальні дані;
модель Харріса
Рис. 7. Динаміка реальних інвестицій RINV, млрд грн: реальні дані;
3SLS-модель; модель Харріса
Роки
Роки
О.Ю. Митник, П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 34
виборі базових керуючих точок для побудови базисних поліноміальних
функцій Без’є – Бернштейна. Отримані результати дозволяють стверджува-
ти про ефективність досліджень в цьому напрямку. Планується розв’язання
задачі визначення системи контрольних точок, яка дозволить найкращим
чином побудувати наближення часткової поліноміальної функції поверхнею
Без’є.
ЛІТЕРАТУРА
1. X. Hong and C.J. Harris. Generalized neurofuzzy network modeling algorithms us-
ing Bezier Bernstein polynomial functions and additive decomposition // IEEE
Trans Neural Networks. — 2000. — 11, № 4. — P. 889–902.
2. Harris C.J. and Hong X.. Neurofuzzy network model construction using Bezier
Bernstein polynomial functions // IEE Proc. D Control Theory and
Applications. — 2000. — 147, № 3. — P. 337–343.
3. Harris C.J., Hong X. Data based constructive identification — overcoming the curse
of dimensionality // ISIS report, Dept of Electronic and Computer Science, Uni-
versity of Southampton. — 2000. — 12 p.
4. Hartmut Prautzsch, Wolfgang Boehm, Marco Paluszny. Bezier- and B-spline tech-
niques. — Berlin; New York: Springer. — 2002. — 58 p.
5. Денискин Ю.И. Геометрическое моделирование криволинейных объектов с
использованием барицентрических координат // Электронный журнал
«Прикладная геометрия». — 1999. — Вып. 1, № 1. — С. 1–20. —
http://www.mai.ru/~apg/Volume1/v1_n1.htm.
6. Sultan, Khwaja, Iryna Lukyanenko, Yuriy Gorodnicheko. The Methodological as-
pects of development and application of macroeconometric models: The Case of
Ukraine. — Kyiv: NaUKMA Publishing House. — 2000. — 150 с.
7. Кордзадзе Т.З. Коинтеграционные процессы и их применение в эконометриче-
ском анализе // Системні дослідження та інформаційні технології. —
2003. — № 1. — С. 97–111.
Надійшла 03.10.2003
|
| id | journaliasakpiua-article-171811 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:30Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/5e/d12833e229ed3a27583f69fb1efa6d5e.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1718112019-07-02T15:42:32Z The inverse Castelzho mapping in neurofuzzy models Обратное отображение Кастельжо в нечетких нейронных моделях Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях Mytnik, О. Yu. Bidyuk, P. I. Neurofuzzy model construction algorithm for nonlinear dynamic system identification is considered using Bernstein polynomials as fuzzy membership functions. A new analytical method for the inverse Castelzho mapping is proposed to determine barycentric coordinates in bivariate function approximation by the Bezier surface. Examples of using new approach for the real problems of identification some equations in the simple macroeconometric model of Ukraine’s economy are shown. Рассмотрен алгоритм построения нечетких нейронных моделей для идентификации нелинейных динамических систем, в котором полиномы Бернштейна используются в качестве функций принадлежности. Предложен новый аналитический метод построения обратного отображения Кастельжо для вычисления барицентрических координат в частной задаче приближения функции двух переменных поверхностью Безье. Приводятся примеры использования нового подхода для реальных задач идентификации некоторых уравнений упрощенной модели экономики Украины. Розглянуто алгоритм побудови нечітких нейронних моделей для ідентифікації нелінійних динамічних систем, в якому поліноми Бернштейна використовуються як функції приналежності. Запропоновано новий аналітичний метод побудови оберненого відображення Кастельжо для обчислення барицентричних координат у частинній задачі наближення функції двох змінних поверхнею Без’є. Наведено приклади застосування нового підходу у реальних задачах ідентифікації деяких рівнянь із спрощеної моделі економіки України. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-07-02 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171811 System research and information technologies; No. 2 (2004); 24-34 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2004); 24-34 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2004); 24-34 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171811/171521 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Mytnik, О. Yu. Bidyuk, P. I. Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях |
| title | Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях |
| title_alt | The inverse Castelzho mapping in neurofuzzy models Обратное отображение Кастельжо в нечетких нейронных моделях |
| title_full | Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях |
| title_fullStr | Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях |
| title_full_unstemmed | Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях |
| title_short | Обернене відображення Кастельжо в нечітких нейронних моделях |
| title_sort | обернене відображення кастельжо в нечітких нейронних моделях |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/171811 |
| work_keys_str_mv | AT mytnikoyu theinversecastelzhomappinginneurofuzzymodels AT bidyukpi theinversecastelzhomappinginneurofuzzymodels AT mytnikoyu obratnoeotobraženiekastelʹžovnečetkihnejronnyhmodelâh AT bidyukpi obratnoeotobraženiekastelʹžovnečetkihnejronnyhmodelâh AT mytnikoyu obernenevídobražennâkastelʹžovnečítkihnejronnihmodelâh AT bidyukpi obernenevídobražennâkastelʹžovnečítkihnejronnihmodelâh AT mytnikoyu inversecastelzhomappinginneurofuzzymodels AT bidyukpi inversecastelzhomappinginneurofuzzymodels |