Спроможність оцінок параметрів лінійних динамічних систем для випадку довільної матриці динаміки

A method for estimation of unknown dynamics matrix components under conditions of real time is proposed. The estimations are shown to coincide with real values with a probability of 1. Computer aided modelling of the algorithm proposed has been performed for different system parameters values.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2019
Автори:	Podladchikov, V. N., Suschuk-Slyusarenko, V. I.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019
Онлайн доступ:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172279
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	System research and information technologies
Завантажити файл:

Репозитарії

System research and information technologies

_version_	1867334373645221888
author	Podladchikov, V. N. Suschuk-Slyusarenko, V. I.
author_facet	Podladchikov, V. N. Suschuk-Slyusarenko, V. I.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "V. N. Podladchikov", "institution": null }, { "author": "V. I. Suschuk-Slyusarenko", "institution": null } ]
author_sort	Podladchikov, V. N.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-07-02T15:42:32Z
description	A method for estimation of unknown dynamics matrix components under conditions of real time is proposed. The estimations are shown to coincide with real values with a probability of 1. Computer aided modelling of the algorithm proposed has been performed for different system parameters values.
first_indexed	2025-07-17T10:25:35Z
format	Article
fulltext	© В.Н. Подладчиков, В.И. Сущук-Слюсаренко, 2004 128 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 TIДC МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ УДК 519.583.3 СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ ДИНАМИКИ В.Н. ПОДЛАДЧИКОВ, В.И. СУЩУК-СЛЮСАРЕНКО Предложен алгоритм оценивания неизвестных компонент матрицы динамики и матриц шумов в режиме реального времени. Показано, что оценки сходятся с вероятностью 1 к истинным. Выполнено компьютерное моделирование предложенного алгоритма для различных значений параметров системы. ВВЕДЕНИЕ Одной из важнейших и трудных задач теории и практики идентификации является задача оценивания матрицы динамики линейных стохастических систем. Среди исследований, относящихся к этой проблеме, особый интерес представляет работа Андерсона [1], в которой предлагается решение задачи совместного оценивания параметров и состояния. Задача нелинейная. Тем не менее, Андерсон показал, что для простых объектов возможны более простые задачи оценивания, и оценка матрицы динамики сходится с вероят- ностью 1 к ее истинному значению. Фильтр Калмана, построенный на этой основе, дает оценку, сходящуюся с вероятностью 1 к оценке истинного фильтра Калмана. Следовательно, как параметры, так и состояние оценива- ются правильно. Однако практическое применение этих методов ограничено условием наблюдаемости всех компонент вектора наблюдений и условием устойчивости системы. Цель данной статьи — расширение метода Андерсона для систем, в ко- торых не все компоненты наблюдаются. Предлагаемый метод основан на преобразовании измерений с неединичной матрицей наблюдений к уравне- ниям измерений с единичной матрицей наблюдений [2]. В разд. 2 показано, что оценки, получаемые на преобразованной модели измерений, – сильно состоятельные. Для доказательства применен математический аппарат, ис- пользуемый в работе Андерсона. В качестве практического применения предложенного метода рассмат- ривается задача идентификации динамических свойств и коэффициента корреляции шума состояния в задачах траекторного оценивания. Этот метод может быть распространен на задачи идентификации неизвестных ковариа- Состоятельность оценок параметров линейных динамических систем… Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 129 ционных матриц шумов модели для неединичной матрицы наблюдений. Яв- ный вид невязок субоптимального фильтра [3] позволяет получить линей- ную зависимость их ковариационной и корреляционной функций от кова- риационных матриц шумов модели. Так как ковариационные и корреляционные функции наблюдаемых значений невязок могут быть ста- тистически оценены, то полученные соотношения представляют основу для построения алгоритмов идентификации ковариационых матриц шумов мо- дели [3]. 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕРИТЕЛЯ В СИСТЕМАХ С НЕНАБЛЮДАЕМЫМИ КОМПОНЕНТАМИ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ Рассмотрим линейную стационарную модель, описываемую уравнениями kwxx kk +=+ Φ1 , (1) kkk vxy += H , (2) x — n-мерный вектор состояния системы; Φ — матрица динамики раз- мерности nn× ; w — n -мерный вектор входного шума: ,0][ =kwM )(][ kiWwwM ki −= δ ; ky — p -мерный вектор измерений; H — матрица наблюдений размерностью np × ; v — p -мерный вектор измерительного шума: 0][),(][,0][ =−== T kikik wvMkiVvvMvM δ . Система (1), (2) устойчива, т.е. спектральный радиус матрицы динами- ки 1)( <Фd . Предположим, что закон изменения вектора состояния неизвестен, т.е. не все элементы матрицы Φ могут быть вычислены. В работе [1] описана процедура получения оценок матрицы Φ и дока- зана состоятельность этих оценок для I=H . Методы идентификации мат- рицы динамики, ограниченные условием наблюдаемости всех компонент вектора состояния, могут быть расширены на случай произвольной матрицы наблюдений, если воспользоваться линейным преобразованием системы для построения модели системы с единичной матрицей наблюдений [2]. Пред- положим, что измеряется скалярная величина, т.е. 1=p . Учитывая, что 12 21 1 11 ... ........................................... , , −+−+ −− −+ ++ ++++= ++= += nknkk n k n nk kkkk kkk vwwxy vwxy vxy HHФHФ HФH H и вводя обозначения , ... .................. ,......, ....... 12 2 1* 1 * 1 1* ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++ + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = −+−+ − + − −+ + nknkk n kk k k n nk k k k vww vw v v y y y y HHФ H HФ HФ H H В.Н. Подладчиков, В.И. Сущук-Слюсаренко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 130 получаем уравнение измерения *** kkk vxy += H . Легко видеть, что матрица H является матрицей наблюдаемости и для наблюдаемой системы представляет собой невырожденную квадратную матрицу. Если ввести новый вектор состояния kk xx * H= , то уравнение со- стояния примет вид ** 1 kkk wxx +=+ Φ , где 1* )( −= HΦHΦ . Модель измерителя описывается уравнением со все- ми наблюдаемыми компонентами вектора состояния *** kkk vxy += . Если 1>p , то при формировании матрицы H выберем лишь первые n линейно независимых строк этой матрицы. В этом случае для построения нового вектора измерений используется лишь 0m последовательных изме- рений 11 0 ...,,, −++ mkkk yyy , где 0m — минимальная память фильтра, определяющаяся минимальным числом измерений, необходимых для построения оценки вектора состояния с конечной дисперсией. Таким образом, задача идентификации матрицы динамики системы (1), (2) сведена к задаче идентификации матрицы динамики системы с полно- стью наблюдаемыми компонентами вектора состояния * 1 kkk wxx +=+ Ф , (3) * kkk vxy += . (4) Во многих случаях матрица H неизвестна, поскольку для ее построе- ния требуется определить матрицы 1...,,2,1, 0 −= miiHФ , где 0m — па- мять фильтра. Поэтому для оценки элементов исходной матрицы Ф необ- ходимо иметь дополнительные соотношения, связывающие искомые элементы. При отсутствии какой-либо априорной информации о матрице Ф идентификация Ф обусловливает возможность фильтрации и экстраполя- ции только измеряемых компонент вектора состояния. Если известны все элементы iHФ , то идентификация Ф позволяет оценивать полностью век- тор состояния. В последнем случае решение задачи идентификации можно упростить и уменьшить ее размерность, исходя из возможности однозначно- го сопоставления (для наблюдаемых систем) p -размерному вектору изме- рения n –размерного вектора оценки состояния. Для этого в качестве модели Состоятельность оценок параметров линейных динамических систем… Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 131 измерителя с единичной матрицей наблюдений можно выбрать уравнение, связывающее вектор оценки состояния с его истинным значением. ** , * ˆ kkkkk vxxy +== . (5) Если память 0m вспомогательного фильтра фиксирована и минимальна, то последовательность * kv является стационарной. В качестве вектора изме- рения предлагается выбирать сглаженную оценку 10 −+ mk -го состояния свободной динамической системы (6) по последним 0m измерениям ky , поскольку для определения оценки kkx ,ˆ требуется знание обратной матрицы динамики kiki 〈− ,Ф . Таким образом, k -му измерению * ky ставится в соот- ветствие оценка вектора состояния )( 1, 0 0 ˆ m mkkx −+ , полученная по последователь- ности ky ( 1,..., 0 −+= mkki ), и новая модель измерителя запишется в виде )( 1, 0 0 ˆ kk m mkkk vxxy +== −+ , где * kv — ошибка оценки )( 1, 0 0 ˆ m mkkx −+ , полученная на основе 0m измерений ky и такая, что 0][ * =kvM . Однако в последнем случае методы идентификации неизвестной мат- рицы динамики имеют ряд особенностей. В первую очередь, это связано с изменением условий идентифицируемости элементов матрицы динамики. Так алгоритм, рассмотренный выше, гарантирует сходимость по вероятно- сти оценок матрицы Φ к ее истинным значениям. В то же время очевидно, что идентификация всех элементов матрицы Φ не может быть осуществле- на путем преобразования модели измерителя, если вектор состояния наблю- дается не полностью. Вследствие того, что при построении вектора y не- обходимо знание некоторых элементов матрицы Φ , необходимым условием идентифицируемости становится априорное знание части элементов матри- цы динамики. В качестве примера преобразования модели измерителя рассмотрим за- дачу траекторного оценивания движения объекта. Пусть движение объекта возмущается случайным коррелированным ускорением a с постоянным коэффициентом корреляции ρ . Для систем с наблюдаемой координатой объекта оптимальный фильтр строится для модели , ,1 kkk kkk vxy wxx += +=+ H Ф где ( )Tabcx = — вектор состояния; c — координата; b — скорость; a — ускорение движения объекта. В.Н. Подладчиков, В.И. Сущук-Слюсаренко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 132 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ρ00 10 21 2 t tt Φ , )001(=H . В реальных ситуациях корреляция ускорения объекта неизвестна. По- этому представляет интерес задача адаптивной оценки коэффициента кор- реляции ρ в процессе слежения за объектом. В этом случае минимальная память вспомогательного фильтра для получения последовательности ky равна 3, откуда следует, что для построения новой модели измерителя необ- ходимо вычислить матрицы ( ) ( ) ( )2 3,12,11,1 21;01;001 ttt === θθθ . Корреляционная матрица шума v определяется выражением ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − = ∑ 432 32 2 13 1 1,1,3,1 631 321 111 ttt ttt tt VVP i i T i θθ . Операторное представление оценки вектора состояния имеет вид ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == ++ − = + ∑ 2 2 1 1 3,1 3 1 1,3,12, 2 1 0 1 0 0 1 ˆ kkk i i T ikk y t tytyPVyPx θ . Таким образом, новый вектор псевдоизмерений ky , связанный с векто- ром состояния x единичной матрицей * 2, * ˆ kkkkk vxxy +== + , определяется следующим образом: ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− − = ++ + 2 12 1* 2 t yyy t yy y y kkk kk k k . (6) Шум псевдоизмерений ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− − = ++ + 2 12 1* 2 t vvv t vv v v kkk kk k k , 0])([ * 1 * 0 =−− T mkk vvM , 20 +≥ mk . Состоятельность оценок параметров линейных динамических систем… Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 133 Следовательно, задача оценки неизвестного коэффициента корреляции ρ для заданной системы с не полностью наблюдаемыми компонентами век- тора состояния сведена к задаче оценки ρ для системы с единичной матри- цей наблюдений. 2. СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ОЦЕНКИ МАТРИЦЫ ДИНАМИКИ Пусть линейный стационарный объект описывается уравнениями (1), (2). Как было показано, он может быть приведен к виду kwxx kk +=+ Φ1 ; * 2, * ˆ kkkkk vxxy +== + . Оценку матрицы динамики Φ рассчитаем по формуле + += −−− += −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑∑ k mi T mii k mi T miik yyyy 0 0 0 0 2 * 1 * 1 2 * 1 Φ̂ , где + означает псевдоинверсию. Воспользуемся методом доказательства сильной состоятельности этой оценки, предложенной в работе [1] для системы со всеми наблюдаемыми компонентами. Пусть 1 11 −−− −=−+= kkkkkk yyvwvz ΦΦ и + += −−− += −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑∑ k mi T mii k mi T miik yyyzR 0 0 0 0 2 * 1 * 1 2 * 1 * . Чтобы доказать, что с вероятностью 1 при ∞→k , ΦΦ →k ˆ ( kk R+=ΦΦ̂ ), покажем, что 01 0 0 2 1 * →∑ += −− k mi T mii yz k (7) и ψ→∑ += −−− k mi T mii yy k 0 0 2 * 1 * 1 1 , (8) где Ψ — невырожденная матрица. Доказательства утверждений (7) и (8) будет достаточно для доказатель- ства сходимости по вероятности 1. Чтобы доказать (7), необходимо показать, что существует предел кова- риационной матрицы ∑ − = −−++= 1 0 1 * 0 * k j jk j k k k wvxy ΦΦ . В.Н. Подладчиков, В.И. Сущук-Слюсаренко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 134 Тогда ][][ 0 * xMyM k k Φ= , →++= ∑ − = Tkk k j Tjj k xФWVy ))(cov()()cov( 0 1 0 ** ΦΦΦ .при)( 0 * ∞→Σ=+→ ∑ ∞ = kWV j Tjj ΦΦ (Действительно, )(1lim ΦΦ d n k k = ∞→ <1.) Далее, используя вышеизложенное, получаем соотношение ( ) =−+= ∑∑ += −−−− += −− k mi T miiii k mi T mii yvwvyz 0 0 0 0 2 * 1 * 11 * 2 * 1 * Φ ∑∑ += −−− += −− −+= k mi T niii k mi T mii yvwyv 00 0 2 ** 11 2 * 1 * )( Φ . Рассмотрим последовательности .)(1 ,1 0 0 0 0 2 * 1 * 112, 2 * 1 * 1, ∑ ∑ += −−−− += −− −= = k mi T miiik k mi T miik yvw i S yv i S Ф Пусть pR и pℜ — соответственно действительное пространство p - размерных векторов столбцов с действительными коэффициентами и про- странство матриц pp × с действительными элементами. Топологии pR и pℜ определяются евклидовыми нормами ( ) ( )[ ] pTpT GGGtrGRxxxx ℜ∈=∈= ,,, 2 1 2 1 . И пусть kF — наименьшая σ -алгебра, по отношению к которой kk wwvvx ,...,,,...,, 1 ** 00 измеримы. Используя определение мартингала пока- жем, что { }kk T FbSa ;1, и { }kk T FbSa ;2, — мартингалы. Если pRba ∈, , то − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− ∑ + += −−+ byv i MabSaFbSaM k mi T mii T k T kk T 1 2 * 1 * 1,1,1 0 0 1][ Состоятельность оценок параметров линейных динамических систем… Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 135 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑ += −− byv i a k mi T mii T 0 0 2 * 1 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ + = ∑ += −−−+ byvvM i yvM k a k mi T miii T mkk T 0 00 2 1 ** 1 )][(1][ 1 1 ( ) 0][ 1 1 1 0 = + = −+ byvMa k T mkk T . Аналогично показывается, что и { }kk T FbSa ;2, — мартингал. Как известно, мартингал является одновременно и супермартингалом. Одно из важнейших свойств супермартингала — существование предела при весьма общих предположениях об их ограниченности. Если { }kik T FbSa ;, ( )2,1=i — супермартингал, для которого ∞<][ , kik T FbSaM , то с вероятностью 1 существует { } )2,1(;lim , = ∞→ iFbSa kik T k . Найдем этот предел. По лемме Кронекера 01 0 0 2 * 1 * → ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ += −− byv k a k mi T mii T и 0)(1 0 0 2 * 1 * 11 → ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −∑ += −−−− byФvw k a k mi T miii T (9) с вероятностью 1 при ∞→k . Учитывая взаимную независимость nww ,...,1 от ** 1 ,..., kyy , получаем, что == −− += ∑ ])[(1])[( 2* 1 * 2 2 2 1, 0 0 byvaM i bSaM T mii T k mi n T byyMbaVa i T mimi k mi TT ][)(1 * 1 * 1 2 * 2 00 0 −−−− += ∑= — величина ограниченная. Аналогично byyMbaVWa i bSaM T mimi k mi TTT n T ][))((1])[( * 1 * 1 2 2 2 2, 00 0 −−−− += ∑ += ФФ тоже величина ограниченная. Соотношение (9) вытекает из произвольности a и b . Утверждение (7) доказано. Чтобы доказать (8), используем то, что * ky почти скользящее среднее * iv и jw . Пусть ,..., 21 −− ww — последовательность независимых случайных В.Н. Подладчиков, В.И. Сущук-Слюсаренко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 136 величин, имеющих такое же распределение, как iw , и при этом независимых от kk wwvvx ,...,,,...,, 1 ** 00 . Такая последовательность всегда может быть най- дена путем расширения пространства вероятностей. Пусть kkk quy −=* , где 1, 1 0 1 * ≥+= ∑ − = −− kwvu k j jk j kk Ф ; 00 1 0 1 qxwq k k j j jk k ФФФ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑ − = −− . Используя условие )(Фd <1, можно показать, что ku и kq — стацио- нарные последовательности, где ku — последовательность скользящего среднего величин * iv и jw , и что kq сходится к 0][ =kqM не только в среднеквадратичном, но и с вероятностью 1 при ∞→k . Тогда соотношение (7) — частный случай следующих лемм. Лемма 1. Пусть i ≥0 — целое. Тогда )(][][ 2 Σ=≤− truMuuM k T ikk < ∞, WWuuM ik iT ikk δ+−Σ=− )(][ Ф . Если Ф и V — невырожденные матрицы, то ][ T ikk uu −M также невы- рожденная. Лемма 2. Пусть 0≥i — целое. Тогда ][1lim1lim 11 T ikk n ik T ikk n n ik T ikk n uuMuu n yy n − += − ∞→+= − ∞→ == ∑∑ , ][1lim1lim 11 T ikk n ik T ikkn n ik T ikkn uuMuu n yy n − += − ∞→+= − ∞→ == ∑∑ . Доказательство лемм приведено в работе [1]. Таким образом, показано, что оценки матрицы динамики, полученные для системы не со всеми наблюдаемыми компонентами – сильно состоя- тельные, т.е. полученные оценки матрицы динамики сходятся с вероятно- стью 1 к ее истинным значениям, а субоптимальный фильтр Калмана – схо- дится к истинному тоже с вероятностью 1. 3. АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕИЗВЕСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МАТРИЦЫ Ф Этот алгоритм состоит из следующих этапов. 1. Построение последовательности псевдоизмерений * ky по форму- ле (6). Состоятельность оценок параметров линейных динамических систем… Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 137 2. Формирование сумм произведений измерений ∑∑ += −−− += −− == k mi T mii k mi T mii yySyyS 0 0 0 0 2 * 1 * 12 2 * 1 * 1 ; . 3. Вычисление оценки матрицы динамики Ф̂ по формуле + += −−− += −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑∑ k mi T mii k mi T miik yyyy 0 0 0 0 2 * 1 * 1 2 * 1 Ф̂ . Количество скалярных уравнений при идентификации матрицы дина- мики в задаче траекторного оценивания можно уменьшить, если учесть, что оцениванию подлежит только один элемент матрицы динамики — ρ . Опи- шем скалярную модель изменения состояния и измерения ускорения цели. , , * 1 kkk kkk vay waa += +=+ ρ где 2 12 2 t yyy y kkk k +− = ++ ; 2 12 2 t vvv v iii i +− = ++ , где kv — измерительный шум исходной модели системы. Состоятельная оценка коэффициента корреляции ускорения цели рассчитывается по фор- муле ∑ ∑ = −− = − = k i ii k i ii k yy yy 5 4 1 5 4 ** ρ̂ . Оценка точности и скорости сходимости предложенного алгоритма идентификации коэффициента корреляции осуществлена при помощи ста- тистического моделирования. Статистическая оценка среднеквадратической ошибки идентификации ρ определена по данным 100 реализаций случайной траектории. Исследо- вана скорость сходимости коэффициента корреляции от его величины, а также влияние начального значения ускорения на точность и скорость схо- димости алгоритма идентификации. Результаты моделирования показаны на рис. 1. Описанное выше обобщение методов идентификации матрицы дина- мики для случая произвольной матрицы наблюдений позволяет в качестве вектора измерений рассматривать оценку вектора состояния на выходе фильтра Калмана с упрощенной структурой. Доказано, что полученная оценка сходится к истинному значению с вероятностью 1. Таким образом, наличие неизмеряемых компонент вектора состояния не является помехой для получения состоятельных оценок ненаблюдаемых параметров. В.Н. Подладчиков, В.И. Сущук-Слюсаренко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 138 4. СОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ ОЦЕНОК КОВАРИАЦИОННЫХ МАТРИЦ ШУМОВ МОДЕЛИ Пусть ( ) 1<Фd , Ф , V и W — невырожденные матрицы. Определим ( )( ){ } TT kkkk yyyyMB ΦVΦVWΦΦ ++=−−= −− 111 , ( )( ) TTT kkkk WWyyyyMB 22 2 2 2 2 2 ФФФФVWФФ +++= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −−= −− . Тогда, если Ф невырожденная, то 21,BB и Ф однозначно определяют V и W по формулам ( )( ) TT VBBBB ФФVWФФV −−=−+= −− 1 1 21 1 1 , 2 1 . Следовательно, сильно состоятельные оценки Ф , 21, BB определяют сильно состоятельные оценки V и W . Значит, если Φ̂ — какая-либо сильно состоятельная оценка Ф то ( )( ) Tn k ik i kkik i kkin yyyy n B ∑ = −− −−= 3 , ˆˆ1ˆ ФФ , 3≥n , 2,1=i — сильно со- стоятельные оценки 21 , BB . Рис. 1. Статистическая оценка среднеквадратической ошибки идентификации ρ 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 x 10 -3 Зависимость скорости сходимости алгоритма от ρ ди сп ер си я оц ен ки ρ ρ=0.7 ρ=0.8 ρ=0.9 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.02 0 0.02 0.04 Сходимость при различных a a=15 a=50 a=100 Д ис пе рс ия о це нк и ρ Д ис пе рс ия о це нк и ρ Зависимость скорости сходимости алгоритма от ρ Сходимость при различных а ρ=0,7 ρ=0,8 ρ=0,9 а=15 а=50 а=100 0,04 0,02 -0,02 n n Состоятельность оценок параметров линейных динамических систем… Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 139 Воспользовавшись методикой доказательства, предложенной Андерсо- ном, попробуем доказать сильную состоятельность оценок матриц шумов модели для случая неединичной матрицы динамики. Ковариационная функ- ция невязок TT kkkk yyyyMB ФVФWVФФ ++=−−= −− ])()[( * 1 ** 1 * 1 (10) является линейной функцией матриц W и V . Для того чтобы функция, ана- логичная TTT kkkk yyyyMB 22* 2 2** 2 2* 2 ])()[( VФФФWФWVФФ +++=−−= −− , не зависела от W , ее следует выбирать следующим образом: ФV−=2B . Определяя статистические оценки 1B и 2B по формулам ( )( ) Tn k ik i kkik i kkin yyyy n B ∑ = −− −−= 3 ** , ˆˆ1ˆ ФФ , 3≥n , 2,1=i , (11) получаем уравнения для определения оценки kŴ матрицы W и уравнения для определения оценки kV̂ матрицы V ( ) .ˆˆˆˆˆˆ ,ˆ)ˆˆ(ˆˆ 2 1ˆ ,1 1 ,2,1 1 ,1 T kkkkkk T kkkkkk B BBB ФVФVW ФФV −−= ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −+= −− (12) Докажем, что если Ф̂ — какая-либо сильно состоятельная оценка Φ , то inB , ˆ в (11) являются тоже сильно состоятельными оценками 21 и BB . Пусть 2,1,3,)()(1 3 , =≥−−= − = −∑ inyyyy n B T ik i kk n k ik i kkin ΦΦ и, приме- нив эргодическую теорему, получаем, что iin BB →, с вероятностью 1 при ∞→n , поскольку последовательность ( )( )Tik i kkik i kk yyyy −− −− ΦΦ строго стационарна. Поэтому достаточно показать, что +−+−=− ∑∑ = − = − n k T kik T k n k T k T ikkinin yy n yy n BB 3 3 ,, )ˆ(1)ˆ(1 ФФФΦ ( ) T k T ikik n k k TT ikik n k k yy n yy n )ˆ(ˆ1)ˆ(1 3 3 ФФФФФФ −+−+ −− = −− = ∑∑ сходится к нулю при ∞→n ( 2,1=i ). Действительно, для любого 3≥m ( ) ≤−∑ = − ∞→ n k T k T ikk n yy n 3 ˆ1suplim ФФ В.Н. Подладчиков, В.И. Сущук-Слюсаренко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 140 [ ]T ikkk mk n k T ikk n k mk uuMyy n − ≥= − ∞→≥ −=−≤ ∑ ФФФФ ˆsup1suplimˆsup 3 ** , где 1, 1 0 1 * ≥+= ∑ − = −− kwvu k j jk j kk Ф , ∑ − = −−++= 1 0 1 * 0 * k j jk j k k k wvxy ФФ , может быть сколь угодно малым при правильном выборе m . Данное соот- ношение следует из лемм 1 и 2, приведенных выше. 5. АЛГОРИТМ ОЦЕНИВАНИЯ КОВАРИАЦИОННЫХ МАТРИЦ ШУМОВ МОДЕЛИ Этот алгоритм состоит из следующих этапов. 1. Построение последовательности псевдоизмерений * ky . 2. Формирование сумм произведений измерений 21, SS . 3. Вычисление оценки матрицы динамики Ф̂ . 4. Формирование сумм inB , ˆ по формуле (10). 5. Вычисление оценок ковариационных матриц шумов по форму- лам (11). Рассмотренный метод оценивания шумов модели для задачи траектор- ного оценивания можно существенно упростить, если воспользоваться од- номерной моделью состояния и измерения объекта. В этом случае функции inB , являются скалярными величинами. Скалярная модель изменения со- стояния и измерения ускорения цели , , ** 1 iii iii vay waa += +=+ ρ где 2 12 2 t yyy y iii i +− = ++ ; 2 12 2 t vvv v iii i +− = ++ , iv — измерительный шум исходной модели системы. Состоятельная оценка коэффициента корреляции ускорения цели рассчитывается по формуле ∑ ∑ = −− = − = k i ii k i ii k yy yy 5 4 1 5 4 ρ̂ . Разность псевдоизмерений ускорения объекта 11 1 1 ˆ −−−− −+=− iiiiii vvwyy ρ . Состоятельность оценок параметров линейных динамических систем… Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 141 Оценки функций 1̂b и 2b̂ получены суммированием произведений разностей скалярных псевдоизмерений ускорения объекта ∑ = −− − = i j jj i yy i b 3 2 1 )( )( 2 11̂ , ∑ = −−− −− − = i j jjjj i yyyy i b 3 2 1 1 **)( ))(( 2 12ˆ . Подставляя оценки )(2ˆ ib и )(1̂ ib в уравнения (11), записанные для ска- ляров, получаем 2 4)( )(2 ˆ4ˆ74 2ˆ)ˆ( ii i i tbv ρρ ++ −= , )ˆ1( )ˆ)(ˆ6ˆ86(1̂ )ˆ( 24 )(224)( )(2 i i ii i i t vtb w ρ ρρ − ++− = . Для оценки точности и скорости сходимости приведенного алгоритма идентификации дисперсий ошибок измерений модели проведено статисти- ческое моделирование. На рис.2 показано, что алгоритм идентификации дисперсии ошибок измерений 2v имеет свойство большей сходимости, чем алгоритм идентификации дисперсий ускорения 2w . Следует отметить, что алгоритм оценивания сильно зависит от дейст- вительных значений дисперсий шумов измерений и ускорения. При решении практических задач траекторного оценивания оказалось, что условие 1)( <Фd может быть заменено условием ( ) 1≤Фd . Это допуще- ние существенно не повлияло на сходимость алгоритмов оценивания. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 5 10 15 20 25 30 2ŵ _ _ _ _ 2v̂ Д ис пе рс ия ш ум а n Рис. 2. Скорость сходимости алгоритма идентификации шумов модели в зависимо- сти от количества измерений В.Н. Подладчиков, В.И. Сущук-Слюсаренко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 142 ВЫВОДЫ 1. Предложен метод эквивалентного преобразования корреляционной модели объекта и измерителя, позволяющий обобщить известные методы идентификации параметров модели, ограниченные условием наблюдаемо- сти всех компонент вектора состояния, на случай неединичной матрицы на- блюдений. 2. Рассмотрен алгоритм оценивания дисперсий шумов модели. Пока- зана сходимость этого алгоритма с вероятностью 1. 3. Рассмотрен также алгоритм совместного оценивания коэффициента корреляции ускорения и дисперсий шумов ускорения, показана его сходи- мость. 4. Проведено статистическое моделирование предложенных алгорит- мов, подтверждающее возможность их применения для корректировки мо- дели объекта. ЛИТЕРАТУРА 1. Anderson W.N., et al., Consistent Estimates of the Parameters of a Liner System, Ann. Math. Statist., 1969. — 40. — Р. 2064–2075. 2. Гроп Д. Методы идентификации систем. — М.: Мир, 1979. — 350 с. 3. Згуровский М.З., Подладчиков В.Н. Аналитические методы калмановской фильтрации для систем с априорной неопределенностью. — Киев: Наук. думка, 1995. — 283 с. Поступила 02.06.2003
id	journaliasakpiua-article-172279
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Russian
last_indexed	2025-07-17T10:25:35Z
publishDate	2019
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/c9/b41e1094fd2cc34343ed35fc91f4e0c9.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1722792019-07-02T15:42:32Z Ability of parameter estimation for linear dynamic systems with arbitrary dynamics matrix Состоятельность оценок параметров линейных динамических систем для случая произвольной матрицы динамики Спроможність оцінок параметрів лінійних динамічних систем для випадку довільної матриці динаміки Podladchikov, V. N. Suschuk-Slyusarenko, V. I. A method for estimation of unknown dynamics matrix components under conditions of real time is proposed. The estimations are shown to coincide with real values with a probability of 1. Computer aided modelling of the algorithm proposed has been performed for different system parameters values. Предложен алгоритм оценивания неизвестных компонент матрицы динамики и матриц шумов в режиме реального времени. Показано, что оценки сходятся с вероятностью 1 к истинным. Выполнено компьютерное моделирование предложенного алгоритма для различных значений параметров системы. Запропоновано алгоритм оцінювання невідомих компонент матриці динаміки і матриці шумів в режимі реального часу. Показано, що оцінки збігаються з ймовірністю 1 до істинних. Виконано комп’ютерне моделювання запропонованого алгоритму для різних значень параметрів системи. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-07-02 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172279 System research and information technologies; No. 2 (2004); 128-142 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2004); 128-142 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2004); 128-142 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172279/172022 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Podladchikov, V. N. Suschuk-Slyusarenko, V. I. Спроможність оцінок параметрів лінійних динамічних систем для випадку довільної матриці динаміки
title	Спроможність оцінок параметрів лінійних динамічних систем для випадку довільної матриці динаміки
title_alt	Ability of parameter estimation for linear dynamic systems with arbitrary dynamics matrix Состоятельность оценок параметров линейных динамических систем для случая произвольной матрицы динамики
title_full	Спроможність оцінок параметрів лінійних динамічних систем для випадку довільної матриці динаміки
title_fullStr	Спроможність оцінок параметрів лінійних динамічних систем для випадку довільної матриці динаміки
title_full_unstemmed	Спроможність оцінок параметрів лінійних динамічних систем для випадку довільної матриці динаміки
title_short	Спроможність оцінок параметрів лінійних динамічних систем для випадку довільної матриці динаміки
title_sort	спроможність оцінок параметрів лінійних динамічних систем для випадку довільної матриці динаміки
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172279
work_keys_str_mv	AT podladchikovvn abilityofparameterestimationforlineardynamicsystemswitharbitrarydynamicsmatrix AT suschukslyusarenkovi abilityofparameterestimationforlineardynamicsystemswitharbitrarydynamicsmatrix AT podladchikovvn sostoâtelʹnostʹocenokparametrovlinejnyhdinamičeskihsistemdlâslučaâproizvolʹnojmatricydinamiki AT suschukslyusarenkovi sostoâtelʹnostʹocenokparametrovlinejnyhdinamičeskihsistemdlâslučaâproizvolʹnojmatricydinamiki AT podladchikovvn spromožnístʹocínokparametrívlíníjnihdinamíčnihsistemdlâvipadkudovílʹnoímatricídinamíki AT suschukslyusarenkovi spromožnístʹocínokparametrívlíníjnihdinamíčnihsistemdlâvipadkudovílʹnoímatricídinamíki

Спроможність оцінок параметрів лінійних динамічних систем для випадку довільної матриці динаміки

Репозитарії

Схожі ресурси