Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень
The problem of practical stability for the right parts of differential inclusions is investigated. Optimal estimations are analysed on the basis of the properties of the optimal by inclusion set. For linear differential inclusions criteria are established and estimations in concrete classes of right...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172531 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334377954869248 |
|---|---|
| author | Garashchenko, F. G. Pichkur, V. V. |
| author_facet | Garashchenko, F. G. Pichkur, V. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "F. G. Garashchenko",
"institution": null
},
{
"author": "V. V. Pichkur",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Garashchenko, F. G. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-07-04T19:57:00Z |
| description | The problem of practical stability for the right parts of differential inclusions is investigated. Optimal estimations are analysed on the basis of the properties of the optimal by inclusion set. For linear differential inclusions criteria are established and estimations in concrete classes of right parts and convex phase constrains are obtained. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур, 2004
104 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 1
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 517.925.51
ОПТИМАЛЬНІ ОЦІНКИ ПРАКТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ ПРАВИХ
ЧАСТИН ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ ВКЛЮЧЕНЬ
Ф.Г. ГАРАЩЕНКО, В.В. ПІЧКУР
Досліджується задача оцінки практичної стійкості правої частини диференціа-
льного включення. На основі властивостей максимальної за включенням мно-
жини проведено аналіз оптимальних оцінок. Для лінійних диференціальних
включень обґрунтовано критерії та отриманo оцінки в окремих класах правих
частин та опуклих фазових обмежень.
При дослідженні математичних моделей реальних процесів необхідно вра-
ховувати невизначеність, що впливає на параметри системи. Як правило,
процес досліджується на скінченному інтервалі часу, фазові координати і
збурення є обмеженими. В математичному плані такі постановки є типови-
ми для задач практичної стійкості динамічних систем. Відправною точкою
теорії практичної стійкості cтали роботи Н.Г. Четаєва [1]. В подальшому ця
галузь розвивалась на основі другого методу Ляпунова, зокрема, завдяки
працям [2–7]. Виявляється, що значна кількість задач практичної стійкості
пов’язана з визначенням всієї множини початкових умов, при яких не пору-
шуються обмеження на заданому інтервалі часу. В роботах [8, 9]
досліджувались властивості максимальної за включенням множини почат-
кових умов, були побудовані алгоритми їх знаходження [8–10]. Невизна-
ченість формує у кожній точці фазового простору множину напрямків поля
системи [11]. Таким чином, приходимо до задачі аналізу практичної
стійкості диференціального включення [12]. Оцінка діючих на систему збу-
рюючих впливів пов’язана з оцінюванням правої частини включення. Така
постановка є важливою для аналізу технічних систем. Так, на етапі проекту-
вання постає задача розрахунку допустимих збурень і керуючих впливів,
при яких система функціонує в допустимому режимі [2, 13].
В даній роботі досліджується задача оцінки практичної стійкості правої
частини диференціального включення. На основі властивостей оптимальної
за включенням множини проводиться аналіз оптимальних оцінок, при яких
забезпечується практична стійкість незбуреного розв’язку диференціального
включення. Для лінійних диференціальних включень обґрунтовано критерій
та оцінки в окремих класах правих частин та опуклих фазових обмежень.
Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 1 105
Постановка задачі. В даній статті будемо використовувати наступні
позначення:
2/1
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= ∑
=
n
i
ixx — друга норма n -вимірного евклідового
простору, ( )Tnxxxx ...21= ; S — одинична сфера; Aint , A∂ ,
εA { }Aaaxx ∈≤−= ,: ε — відповідно множина внутрішніх точок, границя
і ε -розширення множини nRA⊂ ; baBA
BbAa
−=
∈∈
infsup),(β — напівметрика
Хаусдорфа; ( ) ( ){ }ABBABA ,,,min),( ββα = — метрика Хаусдорфа;
baBA
Bb
Aa
−=
∈
∈
inf),(ρ — метрика Евкліда; nRA⊂ , nRB ⊂ [14,15].
Нехай nRx∈ , ( ) Dtx ∈, , D — замкнена область у 1+nR . Розглянемо
багатозначне відображення ( ) ( )txFtxF ,,: , ( )tF ,00∈ , [ ]Ttt ,0∈ , що задо-
вольняє основні умови [16], тобто, є строгим компактозначним опуклознач-
ним напівнеперервним зверху на D відображенням. Крім того, припустимо,
що існує абсолютно неперервна додатна функція )(tL , для якої ),,(( tuFα
vutLtvF −≤ )()),( , Dtu ∈),( , Dtv ∈),( . Множину багатозначних відобра-
жень ( ) ( )txFtxF ,,: , що задовольняють зазначеним умовам, позначимо Ω .
Нехай задане напівнеперервне зверху компактозначне відображення
)(: tt ΦΦ , [ ]Ttt ,0∈ і його графік ( )ΦΓ належать області D , )(int0 tΦ∈ ,
множина )( 00 tG Φ⊆ — компакт, )(Φ∆ — трубка відображення Φ [12].
Розглянемо клас
[ ){ }∞∈=Ω∈=Σ ,0),,,(),(: pptxBtxFF ,
для якого виконуються такі умови:
1.1) { }0)0,,( =txB ; 1.2) ),,0(0 ptB∈ , [ )∞∈ ,0p ; 1.3) при 21 pp < існує
0>r таке, що ( ) ),,(),,( 21 ptxBptxB r ⊂ , ( ) Dtx ∈, ; 1.4) відображення
),,(: ptxBpΨ є неперервним; 1.5) існує число 0>h таке, що для кожно-
го 0>p можна вказати pq > , для якого ( ) ),,(),,( qtxBptxB h ⊂ .
Розв’язок диференціального включення ),,( ptxB
dt
dx
∈ , що відповідає по-
чатковій умові 0)( 0 =tx , назвемо незбуреним. Позначимо ),,,( 00 ptxtX
множину розв’язків задачі Коші ),,( ptxB
dt
dx
∈ , 00 )( xtx = . Якщо умова 1.1,
яка накладається на клас Σ , не справджується і елементи множини Σ допу-
скають представлення ),,(),(),,( 21 ptxBtxBptxB += , ∅≠),(1 txB ,
∅≠),,(2 ptxB , Dtx ∈),( , то клас Σ доцільно визначити у такий спосіб:
2.1) незбурений розв’язок диференціального включення +∈ ),(1 txB
dt
dx
)0,,(2 txB+ є { }TttG ,),(, 00 Φ -стійким [12]; 2.2) ),0(0 1 tB∈ , ),,0(0 2 ptB∈ ,
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 1 106
[ )∞∈ ,0p ; 2.3) при 21 pp < існує 0>r таке, що ( ) ),,(),,( 2212 ptxBptxB r ⊂ ,
( ) Dtx ∈, ; 2.4) багатозначне відображення ),,(: 2 ptxBpΨ є неперервним;
2.5) знайдеться 0>h таке, що для довільного 0>p існує pq > , для якого
виконується включення ( ) ),,(),,( 22 qtxBptxB h ⊂ .
Означення. Значення *p параметра p називається оптимальною
оцінкою правої частини диференціального включення в класі Σ відносно
{ }TttG ,),(, 00 Φ -стійкості незбуреного розв’язку, якщо для [ ]*,0 pp∈
незбурений розв’язок диференціального включення ),,( ptxB
dt
dx
∈ є
{ }TttG ,),(, 00 Φ -стійким і при *pp > зазначена якість практичної стійкості
не має місця.
Дослідимо властивості оптимальних оцінок правих частин диференціа-
льних включень у класі Σ .
Допоміжні твердження. Нехай права частина диференціального вклю-
чення
),( txF
dt
dx
∈ (1)
є багатозначним відображенням, визначеним в області D . Позначимо як
),,( 00 txtX множину розв’язків задачі Коші (1), 00 )( xtx = , ),,( 00 txtxx = —
деякий розв’язок (1) за умови, що 00 )( xtx = , ),,( 00 txtX ε — сукупність
розв’язків задачі Коші ( )ε),( txF
dt
dx
∈ , 00 )( xtx = і введемо відображення =X
),,,(:)( 000 txtXtxX= ),,,(:)( 000 txtXxtX :)( 0xX ε ),,( 00 txtXt ε ,
( ) :)( 0
εxX ( )ε),,( 00 txtXt , [ ]Ttt ,0∈ .
Лема 1. Якщо права частина диференціального включення (1) задово-
льняє основні умови і ( ) ( )ΦΓ⊆Γ )( 0xX , ( ) ( ) ∅=Φ∆∩∆ )( 0xX , то існує
0>ε таке, що ( ) ( )ΦΓ⊆Γ )( 0xX ε , ( ) ( ) ∅=Φ∆∩∆ )( 0xX ε .
Доведення. Згідно з властивостями трубки багатозначного відобра-
ження існує 0>ε таке, що ( )( ) ( )ΦΓ⊆Γ ε)( 0xX , ( )( ) ( ) ∅=Φ∆∩∆ ε)( 0xX .
З теореми про неперервну залежність розв’язків диференціального вклю-
чення від правої частини випливає, що для будь-якого розв’язку
),,( 00 txtxε задачі ( )ε),( txF
dt
dx
∈ , 00 )( xtx = існує розв’язок ),,( 00 txtx , що
відрізняється в рівномірній метриці від ),,( 00 txtxε не більше, ніж на
0>ε [16]. Таким чином, ( )εε ),,(),,( 0000 txtXtxtX ⊆ , [ ]Ttt ,0∈ . Тому
( ) ( )( ) )()()( 00 ΦΓ⊆Γ⊂Γ ε
ε xXxX і ( ) ( ) ∅=Φ∆∩∆ )( 0xX ε . Лему доведено.
Лема 2. Нехай права частина диференціального включення (1) нале-
жить класу Ω і для усіх 00 Gx ∈ виконуються умови ( ) ( )ΦΓ⊆Γ )( 0xX ,
( ) ( ) ∅=Φ∆∩∆ )( 0xX . Тоді існує 0>λ таке, що ( ) ( )ΦΓ⊆Γ )( 0xX ε ,
( ) ( ) ∅=Φ∆∩∆ )( 0xX ε для будь-яких 00 Gx ∈ і [ )λε ,0∈ .
Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 1 107
Доведення. Розглянемо функцію виду
( ) ( ) ( )( )Φ∆∆=
∈
,)(min 0
00
ερεσ xX
Gx
.
Вона є неперервною, ( ) 00 >σ [8]. Тому існує 0>λ таке, що ( ) 0>εσ ,
[ )λε ,0∈ . При цьому ( )( ) ( )ΦΓ⊆Γ ε)( 0xX , [ )λε ,0∈ . Оскільки ( )( )∩∆ ε)( 0xX
( ) ∅=Φ∆∩ і ( ) ( )( )εε )()( 00 xXxX Γ⊂Γ , то ( ) ( ) ∅=Φ∆∩∆ )( 0xX ε , [ )λε ,0∈ .
Лему доведено.
Властивості оптимальної оцінки правої частини. Позначимо
),,,(:),( 000 ptxtXtpxX , ),,,(:)( 000 ptxtXxtX багатозначні відобра-
ження, які визначені розв’язками диференціальних включень з правими час-
тинами, що належать класу Σ , [ ]Ttt ,0∈ .
Теорема 1. У класі Σ оптимальна оцінка *p є обмеженою.
Доведення. Позначимо ),,,( 00 ptxtX r множину розв’язків задачі Коші
( )rptxB
dt
dx ),,(∈ , 00 )( xtx = . Має місце оцінка ( ) ⊆− )(
00
0),,,( tthptxtX
),,,( 00 ptxtX h⊆ . З умови 1.5 існує послідовність { }ip , <<= 100 pp
...... <<< ip , для якої одержуємо ланцюжок включень
( ) ),,,()0,,,()0,,,( 10000
)(
00
0 ptxtXtxtXtxtX h
tth ⊂⊆− ,
( ) ⊂⊆⊆ − ),,,(),,,(),,,( 00
)(
0000
0
ih
tth
ii ptxtXptxtXptxtX
),,,( 100 +⊂ iptxtX , ,...2,1=i .
Для деякого номера k має місце співвідношення ),,,(0 00
)( 0
k
tthk ptxtX⊂− .
Виберемо k настільки великим, щоб ( ) ∅≠Φ− )(/)0,,,( )(
00
0 ttxtX tthk хоча
б для одного [ ]Ttt ,0∈ . Тоді ∅≠Φ )(/),,,( 00 tptxtX k . Таким чином,
*ppk > . Теорему доведено.
Теорема 2. Якщо значення *p є оптимальною оцінкою правої частини
диференціального включення в класі Σ для { }TttG ,),(, 00 Φ -стійкості незбу-
реного розв’язку, то ( ) ( )ΦΓ⊆Γ ),( *0 pxX при всіх 00 Gx ∈ і існує 00 Gu ∈
таке, що ( ) ( ) ∅≠Φ∆∩∆ ),( *0 puX .
Доведення. За означенням для [ ]*,0 pp∈ має місце співвідношення
( ) ( )ΦΓ⊆Γ ),( 0 pxX при всіх 00 Gx ∈ . Припустимо, що ( )∩∆ ),( *0 pxX
( ) ∅=Φ∆∩ , 00 Gx ∈ . За лемою 2 існує 0>ε таке, що ( )⊆Γ ),( *0 pxX ε
( )ΦΓ⊆ . З неперервності відображення ),,(: ptxBpΨ випливає, що мож-
на вибрати *pq > таке, що для зазначеного ε виконується включення
( )ε),,(),,( *ptxBqtxB ⊂ . Таким чином, ( ) ( )ΦΓ⊆Γ ),( 0 qxX . А це суперечить
визначенню оптимальної оцінки. Теорему доведено.
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 1 108
Теорема 3. Нехай при *pp = для всіх 00 Gx ∈ виконується включення
( ) ( )ΦΓ⊆Γ ),( *0 pxX і існує 00 Gu ∈ таке, що ( ) ( ) ∅≠Φ∆∩∆ ),( *0 puX , при-
чому ( ) ( )Φ∆∉00 , tu . Тоді *p є оптимальною оцінкою правої частини дифе-
ренціального включення в класі Σ для { }TttG ,),(, 00 Φ -стійкості незбурено-
го розв’язку.
Доведення. З умов теореми випливає, що існує пара ( )∈tz,
( ) ( )Φ∆∩∆∈ ),( *0 puX , причому 0tt ≠ . Оскільки ( ) ( )ΦΓ⊆Γ ),( 0 puX , то
можна побудувати послідовність ( ) ( )tutz kk ,, 0→ , ( )∉kk tz , ( )ΦΓ , ,...2,1=k .
Зафіксуємо довільне *pp > . Так як знайдеться 0>r таке, що
( ) ),,(),,( * ptxBptxB r ⊂ , то має місце включення ⊇),,,( *00 ptutX r
( ) )(
*00
0),,,( ttrptutX −⊇ . При цьому )(
*00
0),,,( ttr
r zptutX −⊃ . Виберемо
додатне 0tt −<δ . Тоді
( ) ( ) ( )( ) [ ]{ }⊃+−∈⊃Γ⊃Γ − δδ ttsszpuXpuX tsr
r ,:,),(),( 0
*00
( ) [ ] Ittz ttr ⊃+−×⊃ −− δδδ ,0 ,
де 1+⊂ nRI — брус, що має вигляд
( ) [ ]
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−∈=≤−∈= δδ ttsni
n
rzvRvsvI ii
n ,,,...,2,1,,:, , (2)
( )Tnzzzz ,,, 21 …= . Множина (2) є околом точки z . Тому існує номер 0>K
такий, що ( ) Itz kk ∈, при Kk > . Звідси випливає справедливість співвідно-
шення ( ) ( )ΦΓ⊄Γ ),( 0 puX для довільного *pp > . Теорему доведено.
Оптимальна оцінка правої частини для лінійних диференціальних
включень. Припустимо, що відображення Φ є опуклозначним і непере-
рвним; )(int 00 tG Φ⊂ — опуклий компакт. Позначимо ),( ψAc опорну фун-
кцію множини nRA⊂ , nR∈ψ [14]. Таким чином, з теорем 2, 3 випливає,
що для того, щоб оцінка *p була оптимальною в класі Σ , необхідно і доста-
тньо, щоб
( ) ( )ψψ ),(),,,,( *00 tcptxtXc Φ≤ (3)
при всіх [ ]Ttt ,0∈ , 00 Gx ∈ , S∈ψ та існували 00 Gy ∈ , S∈ξ , [ ]Tt ,0∈τ
такі, що
( ) ( )ξτξτ ),(),,,,( *00 Φ= cptyXc . (4)
Розглянемо структурний клас вигляду
{ }{ }0),,()(),(:),( ≥+==Σ pptUxtAtxFtxF , (5)
де відображення ),(),(: ptUptU є компактозначним опуклозначним
неперервним за 0≥p і напівнеперервним зверху за [ ]Ttt ,0∈ . Крім того,
Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 1 109
припустимо: 3.1) незбурений розв’язок диференціального включення
{ } )0,()( tUxtA
dt
dx
+∈ є { }TttG ,),(, 00 Φ -стійким; 3.2) точка ),(0 ptU∈ ;
3.3) для qp < можна вказати 0>r таке, що ( ) ),(),( qtUptU r ⊂ , [ ]Ttt ,0∈ ;
3.4) знайдеться 0>h таке, що для довільного 0>p існує pq > , при якому
( ) ),(),( qtUptU h ⊂ .
Тоді для класу Σ виконуються умови 2.1 – 2.5 визначення класу Σ . Для
множини ),,,( 00 ptxtX справедлива формула
{ } ∫Θ+Θ=
t
t
dspsUstxttptxtX
0
),(),(),(),,,( 0000 ,
де ),( 0ttΘ — фундаментальна матриця системи xtA
dt
dx )(= , нормована у
точці 0tt = , 00 )( xtx = . Позначимо ∫Θ=
t
t
dspsUstptQ
0
),(),(),( . Відображення
),(:)( ptQtpQ є опуклозначним неперервним на відрізку [ ]Tt ,0 [14]. Та-
ким чином, { } ),(),(),,,( 0000 ptQxttptxtX +Θ= . Із співвідношень (3), (4)
випливає, що оцінка *p оптимальна в класі Σ тоді і тільки тоді, коли для
всіх [ ]Ttt ,0∈ , 00 Gx ∈ , S∈ψ має місце нерівність
( )ψψψ ),()),(,),((),(
0
*00 tcdsstpsUcxtt T
t
t
T Φ≤Θ+Θ ∫ (6)
та існують 00 Gy ∈ , S∈ξ , [ ]Tt ,0∈τ такі, що
( )ξτξττξ
τ
),()),(,),((),(
0
*00 Φ=Θ+Θ ∫ cdsspsUcyt T
t
T . (7)
Припустимо, що справджується умова розділення
),(),()),,(( ψψψ thtpgptUc += , (8)
де ),( ψtg , )),0,((),( ψψ tUcth = є неперервними скалярними функціями,
0),( >ψtg , 0),( ≥ψth , [ ]Ttt ,0∈ , nR∈ψ . Тоді з (6) – (8) випливає
[ ]
( )
dsstsg
dsstshxtttc
p t
t
T
T
t
t
T
STttGx
∫
∫
Θ
Θ−Θ−Φ
=
∈∈∈
0
0
000
)),(,(
)),(,(),(),(
minminmin
00
,
*
ψ
ψψψ
ψ
.
Оскільки ( ) ( )ψψ ),(,),(min 0000
00
ttGcxtt TT
Gx
Θ−=Θ−
∈
, то
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 1 110
[ ]
( ) ( )
dsstsg
dsstshttGctc
p
t
t
T
T
t
t
T
STtt
∫
∫
Θ
Θ−Θ−Φ
=
∈∈
0
0
0
)),(,(
)),(,(),(,),(
minmin
00
,
*
ψ
ψψψ
ψ
. (9)
При цьому
[ ]
( ) ( ) 0)),(,(),(,),(minmin
0
0
00,
≥
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Θ−Θ−Φ ∫∈∈
dsstshttGctc T
t
t
T
STtt
ψψψ
ψ
. (10)
Умова (10) означає, що незбурений розв’язок диференціального вклю-
чення { } )0,()( tUxtA
dt
dx
+∈ є { }TttG ,),(, 00 Φ -стійким.
На основі співвідношень (9), (10) можна запропонувати такий метод
побудови оптимальної оцінки практичної стійкості правої частини
диференціального включення у класі Σ .
Алгоритм.
Введемо на [ ]Tt ,0 розбиття { }it=α , Tttt N =<< …10 та апроксиму-
ємо одиничну сферу сіткою S⊂ω . Один із методів побудови ω наведено у
роботах [8,10].
Крок 1. Обчислюємо фундаментальні матриці ),( stΘ лінійної системи
диференціальних рівнянь xtA
dt
dx )(= , α∈t , α∈s .
Крок 2. Визначаємо опорні функції ( )ψ),(tc Φ , ( )ψ,0Gc , =)),,(( ψptUc
),(),( ψψ thtpg += , α∈t , nR∈ψ .
Крок 3. Перевіряємо умову
( ) ( ) 0)),(,(),(,),(minmin
0
00 ≥
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
Θ−Θ−Φ ∫∈∈
dsstshttGctc T
t
t
T
t
ψψψ
ωψα
.
Якщо остання нерівність не виконується, то переходимо до кроку 5.
Крок 4. Обчислюємо
( ) ( )
dsstsg
dsstshttGctc
p
t
t
T
T
t
t
T
t
∫
∫
Θ
Θ−Θ−Φ
=
∈∈
0
0
)),(,(
)),(,(),(,),(
minminˆ
00
ψ
ψψψ
ωψα
.
Крок 5. Вихід.
В результаті роботи алгоритму отримаємо наближене значення опти-
мальної оцінки p̂ практичної стійкості правої частини диференціального
включення у класі (5).
Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 1 111
Побудова оптимальних оцінок правих частин для деяких класів.
Введемо позначення
{ }{ }0),,()(),(:),( ≥+==Σ pptUxtAtxFtxF ii , ,...2,1=i
для сукупності лінійних правих частин. Розглянемо окремі випадки побудо-
ви оптимальних оцінок для класів вигляду (5), що задовольняють умови
3.1 – 3.4 та співвідношення (8).
1. Нехай { }2
1 :),( puuRuptU Tn ≤∈= . Оскільки ψψ pptUc =)),,(( 1 ,
то ψψ =),(tg , 0),( =ψth , nR∈ψ , і оптимальна оцінка в класі 1Σ має ви-
гляд
[ ]
( ) ( )
dsst
ttGctc
p t
t
T
T
STtt
∫ Θ
Θ−Φ
=
∈∈
0
0
),(
),(,),(
minmin 00
,
*
ψ
ψψ
ψ
. (11)
При цьому із співвідношення (10) випливає, що ( ) −Φ ψ),(tc
( ) 0),(, 00 ≥Θ− ψttGc T , S∈ψ , [ ]Ttt ,0∈ .
З формули (11) для конкретних видів фазових обмежень і множини по-
чаткових умов можна одержати оптимальні оцінки правої частини в класі
1Σ . Так, наприклад, якщо { })(:)( 2 trxxRxt Tn ≤∈=Φ , де )(tr — неперервна
додатна функція, [ ]Ttt ,0∈ , то ψψ )()),(( trtc =Φ . У цьому випадку оптима-
льна оцінка в класі 1Σ відповідно до співвідношення (11) має вигляд
[ ]
( )
dsst
ttGctr
p t
t
T
T
STtt
∫ Θ
Θ−
=
∈∈
0
0
),(
),(,)(
minmin 00
,
*
ψ
ψ
ψ
. (12)
Крім того, з (10) випливає ( ) )(),(,max 00 trttGc T
S
≤Θ
∈
ψ
ψ
, [ ]Ttt ,0∈ . Якщо
{ }1:0 ≤∈= HxxRxG Tn , де H — симетрична додатновизначена матриця, то
з (12) отримуємо оптимальну оцінку правої частини в класі 1Σ у вигляді
[ ]
dsst
ttBtttr
p t
t
T
TT
STtt
∫ Θ
ΘΘ−
=
−
∈∈
0
0
),(
),(),()(
minmin 0
1
0
,*
ψ
ψψ
ψ
.
2. Розглянемо випадок { }2
2 )(:),( putBuRuptU Tn ≤∈= , де )(tB — не-
перервна додатновизначена симетрична матриця розмірності nn× ,
[ ]Ttt ,0∈ . Оскільки ψψψ )()),,(( 1
2 tBpptUc T −= , то виконується умова
розділення і ψψψ )(),( 1 tBtg T −= , 0),( =ψth , nR∈ψ . Тому, якщо має міс-
це нерівність ( ) ( ) 0),(,),( 00 ≥Θ−Φ ψψ ttGctc T , S∈ψ , [ ]Ttt ,0∈ , то значення
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 1 112
[ ]
( ) ( )
dssttBst
ttGctc
p t
t
TT
T
STtt
∫ ΘΘ
Θ−Φ
=
−
∈∈
0
0
),()(),(
),(,),(
minmin
1
00
,
*
ψψ
ψψ
ψ
є оптимальною оцінкою в класі 2Σ .
3. Нехай ( ){ }nitrpuRuptU ii
n ,...,2,1,:),(3 =⋅≤∈= , де функції
( ) 0>tri є неперервними, [ ]Ttt ,0∈ , ni ,...,2,1= . Тоді =)),,(( 3 ψptUc
∑
=
=
n
i
ii srp
1
)( ψ , ∑
=
=
n
i
ii trtg
1
)(),( ψψ , 0),( =ψth , nR∈ψ . Таким чином, оп-
тимальна оцінка в класі 3Σ обчислюється за формулою
[ ]
( ) ( )
dsstsr
ttGctc
p t
t
n
i
T
ii
T
STtt
∫∑
=
∈∈
Θ
Θ−Φ
=
0
0
1
00
,
*
),()(
),(,),(
minmin
ψ
ψψ
ψ
,
де ( ) ( ) 0),(,),( 00 ≥Θ−Φ ψψ ttGctc T , S∈ψ , [ ]Ttt ,0∈ , =Θ ),( st
( )),(),(),( 21 ststst nΘΘΘ= … , n
i Rst ∈Θ ),( , ni ,...,2,1= .
4. Виберемо деяку точку nRu ∈0 , { ×−∈= Tn uuRuptU )(:),( 04
}2
0 ))(( puutB ≤−× . У цьому випадку опорна функція =)),,(( 4 ψptUc
0
1 )( utBp TT ψψψ += − . Виходячи з (8), (9) за умови, що ( ) −Φ ψ),(tc
( ) 0),(),(, 000
0
≥Θ−Θ− ∫ dsustttGc
t
t
TT ψψ , S∈ψ , [ ]Ttt ,0∈ , отримуємо спів-
відношення
[ ]
( ) ( )
dssttBst
dsustttGctc
p t
t
TT
t
t
TT
STtt
∫
∫
ΘΘ
Θ−Θ−Φ
=
−
∈∈
0
0
0
),()(),(
),(),(,),(
minmin
1
000
,
*
ψψ
ψψψ
ψ
для обчислення оптимальної оцінки в класі 4Σ .
5. Розглянемо { }ZupuutBuuRuptU Tn ∈≤−−∈= 0
2
005 ,))(()(:),( , де
nRZ ⊂ — деякий компакт. У цьому випадку опорна функція =)),,(( 5 ψptUc
),()(1 ψψψ ZctBp T += − . Якщо
( ) ( ) 0)),(,(),(,),(
0
00 ≥Θ−Θ−Φ ∫ dsstZcttGctc T
t
t
T ψψψ , S∈ψ , [ ]Ttt ,0∈ ,
то оптимальна оцінка в класі 5Σ має вигляд
Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 1 113
[ ]
( ) ( )
dssttBst
dsstZcttGctc
p
t
t
TT
T
t
t
T
STtt
∫
∫
ΘΘ
Θ−Θ−Φ
=
−
∈∈
0
0
0
),()(),(
)),(,(),(,),(
minmin
1
00
,
*
ψψ
ψψψ
ψ
.
6. Припустимо, що відображення )(: tUtf є опуклозначним і ком-
пактозначним, nRtU ⊂)( , )(0 tU∈ , [ ]Ttt ,0∈ . Задамо ( )ptUptU )(),(6 = .
У цьому випадку )),(()),,(( 6 ψψψ tUcpptUc += , nR∈ψ , і має місце умо-
ва (8). Нехай виконується нерівність ( ) ( )−Θ−Φ ψψ ),(,),( 00 ttGctc T
0)),(),((
0
≥Θ− ∫ dssttUc T
t
t
ψ , S∈ψ , [ ]Ttt ,0∈ , яка забезпечує { }TttG ,),(, 00 Φ -
стійкість незбуреного розв’язку диференціального включення ∈
dt
dx
)()( tUxtA +∈ . Позначивши ψψ =),(tg , )),((),( ψψ tUcth = , з формули (9)
отримуємо співвідношення
[ ]
( ) ( )
dsst
dsstsUcttGctc
p
t
t
T
T
t
t
T
STtt
∫
∫
Θ
Θ−Θ−Φ
=
∈∈
0
0
0
),(
)),(),((),(,),(
minmin
00
,
*
ψ
ψψψ
ψ
для знаходження оптимальної оцінки в класі 6Σ .
ВИСНОВКИ
В статті досліджено властивості оптимальних оцінок практичної стійкості
правої частини диференціального включення. Для лінійних дифе-
ренціальних включень при опуклих фазових обмеженнях обґрунтовано кри-
терій оптимальності оцінки. У випадку виконання умови розділення запро-
поновано формулу для визначення оптимальної оцінки та чисельний
алгоритм. Наведено приклади побудови оптимальної оцінки для окремих
класів правих частин. Результати дослідження можуть застосовуватись при
побудові множин керувань, що забезпечують стабілізацію до практичної
стійкості систем керування, а також при оцінці областей постійно діючих
збурень на праву частину, які ще не порушують практичної стійкості
розв’язків динамічної системи.
ЛІТЕРАТУРА
1. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. —
М.: Изд-во АН СССР, 1962. — 535 с.
Ф.Г. Гаращенко, В.В. Пічкур
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 1 114
2. Бублик Б.Н., Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Структурно-параметрическая
оптимизация и устойчивость динамики пучков. — Киев: Наук. думка,
1985. — 304 с.
3. Зубов В.И. Устойчивость движения. — М.: Высшая шк., 1973. — 271 с.
4. Каменков Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени //
Прикладная математика и механика. — 1953. — 17, вып.5. — С. 529–540.
5. Карачаров К.А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости
движения. — М.: Физматиздат, 1962. — 244 с.
6. Кириченко Н.Ф. Введение в теорию стабилизации движения. — Киев: Выща
шк., 1978. — 184 с.
7. Мартынюк А.А. Практическая устойчивость движения. — Киев: Наук. думка,
1983. — 248 с.
8. Башняков О.М., Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Практична стійкість та структур-
на оптимізація динамічних систем. — Київ: Вид-во Київського ун-та
ім. Т.Г. Шевченка, 2000. — 197 с.
9. Гаращенко Ф.Г., Пичкур В.В. Об оптимальных множествах практической ус-
тойчивости // Проблемы управления и информатики. — 1998. — № 5. —
С. 5–18.
10. Гаращенко Ф.Г., Пічкур В.В. Чисельні методи побудови оптимальних множин
практичної стійкості динамічних систем // Комп’ютерна математика.
Оптимізація обчислень: Зб. наук. пр. — Київ: Ін-т кібернетики
ім. В.М. Глушкова НАНУ, Наук. рада НАНУ з проблеми «Кібернетика»,
2001. — 2. — С. 85–94.
11. Kurzhanski A., Vályi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. — Boston:
IIASA and Birkhäuser. — 1997. — 321 p.
12. Гаращенко Ф.Г., Пичкур В.В. Оптимальные множества практической устойчи-
вости дифференциальных включений // Проблемы управления и информа-
тики. — 2003. — № 2. — С. 10–19.
13. Бутковский А.Г., Самойленко Ю.И. Управление квантомеханическими процес-
сами. — М.: Наука, 1984. — 256 с.
14. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. Часть І. — М.:
Изд-во Московского ун-та, 1979. — 89 с.
15. Згуровский М.З., Мельник В.С. Нелинейный анализ и управление бесконечно-
мерными системами. — Киев: Наук. думка, 1999. — 630 с.
16. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. —
М.: Наука, 1985. — 224 с.
Надійшла 19.05.2003
|
| id | journaliasakpiua-article-172531 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:38Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/07/e6c4d0172540463bbfed2260b6ec2507.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1725312019-07-04T19:57:00Z Optimal estimations of practical stability for right parts of differential inclusions Оптимальные оценки практической устойчивости правых частей дифференциальных включений Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень Garashchenko, F. G. Pichkur, V. V. The problem of practical stability for the right parts of differential inclusions is investigated. Optimal estimations are analysed on the basis of the properties of the optimal by inclusion set. For linear differential inclusions criteria are established and estimations in concrete classes of right parts and convex phase constrains are obtained. Исследуется задача оценки практической устойчивости правой части дифференциального включения. На основе свойств максимального по включению множества проводится анализ оптимальных оценок. Для линейных дифференциальных включений обоснованы критерии и получены оценки в конкретных классах правых частей и выпуклых фазовых ограничений. Досліджується задача оцінки практичної стійкості правої частини диференціального включення. На основі властивостей максимальної за включенням множини проведено аналіз оптимальних оцінок. Для лінійних диференціальних включень обґрунтовано критерії та отриманo оцінки в окремих класах правих частин та опуклих фазових обмежень. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-07-04 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172531 System research and information technologies; No. 1 (2004); 104-114 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2004); 104-114 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2004); 104-114 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172531/172290 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Garashchenko, F. G. Pichkur, V. V. Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень |
| title | Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень |
| title_alt | Optimal estimations of practical stability for right parts of differential inclusions Оптимальные оценки практической устойчивости правых частей дифференциальных включений |
| title_full | Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень |
| title_fullStr | Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень |
| title_full_unstemmed | Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень |
| title_short | Оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень |
| title_sort | оптимальні оцінки практичної стійкості правих частин диференціальних включень |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172531 |
| work_keys_str_mv | AT garashchenkofg optimalestimationsofpracticalstabilityforrightpartsofdifferentialinclusions AT pichkurvv optimalestimationsofpracticalstabilityforrightpartsofdifferentialinclusions AT garashchenkofg optimalʹnyeocenkipraktičeskojustojčivostipravyhčastejdifferencialʹnyhvklûčenij AT pichkurvv optimalʹnyeocenkipraktičeskojustojčivostipravyhčastejdifferencialʹnyhvklûčenij AT garashchenkofg optimalʹníocínkipraktičnoístíjkostípravihčastindiferencíalʹnihvklûčenʹ AT pichkurvv optimalʹníocínkipraktičnoístíjkostípravihčastindiferencíalʹnihvklûčenʹ |