Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу
On the basis of system approach, some simplified electrodynamics regularities, their logical incompatibility and its further coordination by the introduction and optimum estimation of a small parameter are considered.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172534 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302492314173440 |
|---|---|
| author | Silvestrov, A. M. Spinul, L. Yu. Shefer, O. V. |
| author_facet | Silvestrov, A. M. Spinul, L. Yu. Shefer, O. V. |
| author_sort | Silvestrov, A. M. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-07-04T19:57:00Z |
| description | On the basis of system approach, some simplified electrodynamics regularities, their logical incompatibility and its further coordination by the introduction and optimum estimation of a small parameter are considered. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
© А.М. Сільвестров, Л.Ю. Спінул, О.В. Шефер, 2004
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 1 135
УДК 519.711
УТОЧНЕННЯ СПРОЩЕНИХ ЗАКОНОМІРНОСТЕЙ НА
ОСНОВІ СИСТЕМНОГО ПІДХОДУ
А.М. СІЛЬВЕСТРОВ, Л.Ю. СПІНУЛ, О.В. ШЕФЕР
На основі системного підходу розглянуто декілька спрощених закономірнос-
тей електродинаміки, їх логічна несумісність і подальше узгодження шляхом
введення та оптимального оцінювання малого параметру.
ВСТУП
При побудові математичних моделей фізичних об’єктів використовують
спрощені лінійні стаціонарні відображення, які (з точністю до малих пара-
метрів) відповідають динаміці процесів у об’єкті, що досліджується. Та іс-
нує безліч випадків, коли слід урахувати та експериментально визначити ці
малі параметри.
Оцінювання малого параметру уточнених (квазінелінійних, квазідина-
мічних) моделей реальних об’єктів — це специфічна задача, некоректності
[1] якої можна позбутися лише використовуючи цілеорієнтовані експери-
мент і оптимальну обробку його результатів [2]. Як приклад, розглянемо
найбільш поширені, досить прості об’єкти електродинаміки: конденсатор,
котушка індуктивності, резистор. Фундаментальні рівняння Максвела [2]
для опису електромагнітних процесів в цих об’єктах не містять фізичних
констант. Тому вони доповнюються відповідними матеріальними рівняння-
ми. Для спрощених закономірностей (ізотропне, неферомагнітне, несегнето-
електричне середовище) це такі рівняння:
,,, EjHBED γµε === (1)
де BHED ,,, — відповідно вектори електричного зміщення, напруженості
електричного і магнітного полів, магнітної індукції; γµε ,, — відповідно
діелектрична і магнітна проникливість, електрична провідність середовища.
Реальність полягає в тому, що у матеріальному середовищі все взаємо-
пов’язано і динамічно. Тому величини λµε ,, не будуть незмінними. На-
віть у нескінченно малих об’ємах середовища, хоч слабко, але будуть зале-
жати від змінних BHED ,,, . Тоді в конденсаторі ємність C як функція ε
залежить від E чи від напруги U :
( )
dt
dUUC
dt
dUU
dU
dCC
dt
dUCU
dt
dU
dU
dCCU
dt
di )(=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=+== . (2)
У котушці індуктивності L як функція µ залежить від H або від струму i :
( )
dt
diil
dt
dii
di
dLL
dt
diLi
dt
di
di
dLLi
dt
dU )(=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=+== . (3)
А.М. Сільвестров, Л.Ю. Спінул, О.В. Шефер
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 1 136
В резисторі опір R як функція γ залежить від струму i , тому що від
нього залежить температура t , а від неї опір
( ) .))(( 0
0 iitdRRU += (4)
Малими параметрами у виразах (2), (3), (4) є: )).((,, 0 itdRi
di
dLU
dU
dC
Далі як приклад розглянемо закони Ома, Джоуля — Ленца [2], рівняння
термодинаміки резистора та їх несумісність, подолати яку можливо, якщо
враховувати та оцінювати малий параметр dR .
АПРІОРНА МОДЕЛЬ
Як відомо [2], «Сила струму I на пасивній ділянці кола (резисторі) прямо
пропорційна напрузі U на її кінцях».
.UGI = (5)
Ця пряма пропорційність закону Ома ґрунтується на незмінності коефі-
цієнта (провідності) G , що залежить від γ .
Але в природі все взаємно пов’язано. За законом Джоуля — Ленца в ре-
зисторі з опором R за час t проходження постійного струму I електрична
енергія переходить в тепло
tRIQ 2= . (6)
Якщо m — маса, c — коефіцієнт теплоємності, TВK — коефіцієнт те-
пловіддачі з площі 0S охолодження резистора, то
,0TВ dtSKcmdPdtdQ θθ ∆+== (7)
де 0θθθ −=∆ — різниця температур тіла і навколишнього середовища.
Для усталеного стану ∞∞∞ ∆=== θθθ 0TВ,0, SKPdQ .
З виразу (3) отримаємо
θθ
∆+
∆
= 0TВ SK
dt
cmdP (8)
або якщо для спрощення прийняти ∞= PP , то
∞∆=∆+ θθ
θτ
dt
dT , (9)
де 0TВT / SKmc=τ — теплова стала часу резистора.
Розв’язок рівняння (9)
T
t
et τθθθθ
−
∞∞ −−= )()( 0 ,
0TВ
2
SK
RI ∞
∞ =θ . (10)
Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 1 137
Тобто температура резистора )(tθ змінюється у часі внаслідок прохо-
дження через нього струму I .
Відома [2] спрощена залежність опору R від температури для устале-
ного теплового режиму
[ ]∞∞ ∆+= θαθθ 1)()( 0RR . (11)
Як бачимо з (5), (6), (10), (11), встановлюється зворотний зв’язок: струм
створює тепло, тепло змінює опір і струм.
Опір R як функція струму I
∞∞∞ ∆=∆+= θθαθ 0TВ0
22 )1)(( SKRIRI . (12)
Звідси
α
θ
θ
−
=∆ ∞
)(
1
0
2
0TВ
RI
SK
. (13)
Далі
.
1
)(
11
)(
1)()(
0
0TВ
0
0
2
0TВ
0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+=
θα
α
θ
αθ
RI
SK
R
RI
SK
RIR (14)
Практично ,1
)( 0
2
0TВ >>
θα RI
SK
тому
[ ],1)(
)(
1)()( 2
0
0TВ
2
0
0 IR
SK
IR
RIR βθ
θα
θ +=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+≅ (15)
де
0TВ
0 )(
SK
R θα
β = — малий параметр, що враховує залежність )( 2IR .
Таким чином, отримаємо уточнені залежності законів Ома
UItGtI )),(()( 2θ= (16)
і Джоуля–Ленца
∫=
t
dIIRtQ
0
22 )()),(()( τττθ . (17)
У динаміці, якщо резистор з опором ( )0θR ввімкнено до постійної на-
пруги U ,
)),((
)( 2 tIR
UtI
θ
= , (18)
де
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−+=
−
∞ )1)((1)0()( T0
τθθα
t
eRtR , )( 2Iθθ =∞ .
А.М. Сільвестров, Л.Ю. Спінул, О.В. Шефер
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 1 138
Враховуючи, що 1<<∆θα , наближено маємо експоненціальний харак-
тер зміни струму і опору (рис. 1)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−∆−=
−
∞
T11)0()( τθα
t
eItI . (19)
Опір )(tR як відношення U до )(tI
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−∆+=
−
∞
T11)0()( τθα
t
eRtR . (20)
Рівнянню (20) відповідає модель (рис. 2) резистора, ввімкненого на по-
стійну напругу U .
Тут
∞
∞
+
==
RR
RR
I
UR
1
1
0 )0(
. Звідси опір
∞
∞
−
=
RR
RR
R
0
0
1 , ємність
R
C Tτ= .
Враховуючи (20), резистор можна розглядати, як безінерційний ліній-
ний елемент тільки в тих випадках, коли α або 2Iβ прямує до нуля. Оста-
точне рішення відносно незмінності отримаємо з експерименту.
R1
R∞
C
I
t=0
U
Резистор
Рис. 2. Модель резистора при U=const
Const
Рис. 1. Залежності ( ) ( ) ( )tUtRtI ,,
Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 1 139
АПОСТЕРІОРНА МОДЕЛЬ
Оцінювання теплової сталої Tτ . В момент 0=t підключимо резистор до
постійної напруги. З кроком t∆ будемо вимірювати стале )( ktU , змінний
nktkttI kk ,...,2,1,0,),( =∆= , T)53( τ…=∆tn .
,)()( T
0 k
k
k
k ReRRR
I
UtR
t
∧
∞∞∧
∧
∧
+−−==
−
δτ (21)
де kR̂δ — статично незалежні похибки відношень
k
k
I
R
ˆ
ˆ
.
Для отримання оцінки Tτ̂ прологарифмуємо (21).
)(ln))(ln( 0
T
RR
t
RRtR k
kk −+
−
=++− ∞∞ τ
δ (22)
або
klkk taayy +=+ 0δ , (23)
де
T
100
1),ln(
τ
−=−= ∞ aRRa .
Позбавимося 0a в (23)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−+ ∑
=
)(1
1 2
1
n
k
nkkkk ttay
n
yy δ . (24)
МНК-оцінка [3] 1â , невідомої la
2
1 2
21 1
1
1
ˆ
∑
∑ ∑
=
= =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
=
n
k
nk
nk
n
k
n
k
kkk
tt
tty
n
yy
a
δ
. (25)
Її математичне очікування дорівнює 1
T
−τ , дисперсія
∑
=
−
= n
k
nk
y
a
tt
1
2
2
2
2
1̂
)(
δσ
σ . (26)
Оцінювання малого параметру 1β . Статична нелінійна залежність )(IR
kk
k
k
k RIR
I
UIR
∧
∧
∧
∧
++== δβ )1()( 2
10 . (27)
А.М. Сільвестров, Л.Ю. Спінул, О.В. Шефер
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 1 140
В стандартному вигляді
2
10 kkk Iyy ββδ +=+ , (28)
де 0}{; =
−
≈ k
k
kk
k yM
I
IRU
y δ
δδ
δ , 0; 2
2
222
2 =
+
=
c
kk
yky
k
IU
ky
I
R
δδδ σ
σσ
σ ,
lk ≠ .
Якщо прийняти однакову точність вимірів kU
∧
і kI
∧
, то
.2
2
2
Iky
σσδ = (29)
При зменшенні kI до нуля похибка (29) зросте до нескінченності. Тому
оптимальною оцінкою вектора ),( 10 βββ = буде марківська [4]
yQy δδβ 1Tminarg −
∧
= , }{diag 21 −− =
kyQ σ . (30)
Реалізація (25) полягає у зважуванні змінних рівняння (28):
.,1,
3
10 nkIIyI kk
k
k =+=
σ
β
σ
β
σ
(31)
Скоротимо на σ і врахуємо, що kkk UyI = . Тоді замість рівняння для
опору (26) отримаємо рівняння для напруги
2
10 kkk IIU ββ += , (32)
а марківська оцінка (29) для (30) стає для (27) МНК-оцінкою [4]
,minarg Tεεβ = (33)
де ε — вектор-стовпець нев’язок 2
10 kkkk IIU ββε −−= .
Неточність вимірів kU і kI приводить до зміщення і розкиду компоне-
нтів 0β і 1β вектора β . Це особливо стосується 1β , як малого параметра [1].
ЦІЛЕОРІЄНТАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ
Проведемо цілеспрямований на визначення 1β експеримент [3]. Сутність
його планування полягає у використанні додаткової інформації про те, що
залежність )(IU проходить через точку )0;0( координат ),( IU . Обмеже-
ність на потужність резистора дає другу точку плану ),( maxmax IU . Щоб
визначити третю точку доповнимо нелінійну модель (32) )(IU n лінійною
III
I
UU )( 2
max10
max
max
л ββ +== , (34)
Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу
Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 1 141
яка співпадає з (32) у точках (0;0) і ( ), maxmax IU . Позбавимося від 0β
)()()( 22
max1нл IIIUIU −=− β . (35)
Третя точка I (рис. 3) оптимального плану
3
)()(maxarg max
нл
* IIUIUI =−= , [ ]max,0 II ∈ . (36)
Для точки ( ** , IU )
[ ]
3
max
*
нmax
*2*2
max
*
н
*
л
1 2
33
)( I
UU
III
UU −
=
−
−
=β . (37)
Відносна похибка maxIδ значно менша відносної похибки різниці
*
нmax 3UU − .
Тому
*
н
3
maxmax
3
max
*
н*
н
1
max
max
1
1 2
33
2
3 UIUIU
U
U
U
δδδ
β
δ
β
βδ −−
∧∧
∧
−=
∂
∂
+
∂
∂
≈ . (38)
Дисперсія оцінки 1β
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= +− 2
*
H
1 4
2726
max
2
4
9
U
UI σσσβ MAX
. (39)
Якщо maxU вимірюється nγ разів, а *
нU n)1( γ− разів ( 1<γ ) і похиб-
ки вимірів U мають однакову дисперсію Uσ , то дисперсії усереднених зна-
чень будуть менше відповідно в ny і n)1( γ− разів:
nn
Г
U
U
U
н )1(
,
2
2
2
2
*max γ
σ
σ
γ
σ
σ
−
== . (40)
U
maxU
*
лU
*
нU
max |Uл – Uн|
I
max
3/1* 3 II −= maxI
Рис. 3. Оптимальний план
0
А.М. Сільвестров, Л.Ю. Спінул, О.В. Шефер
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 1 142
Тоді
)1(
)21(
4
9
6
max
2
2
1 γγ
γσ
σ β
−
+
=
nI
U . (41)
Звідси оптимальне співвідношення *γ , за якого дисперсія (41) мініма-
льна, дорівнює *γ 366,0≅ .
Для заданого значення дисперсії (36) за умови, що *γγ = , розрахуємо
необхідну кількість *n статично незалежних дослідів.
6
max2
2
*
1
8,16 −≅ In U
βσ
σ . (42)
Чим лінійніша залежність )(IU , тим менший коефіцієнт 1β і, відповід-
но, його допустима дисперсія 2
1βσ . І тим більша величина *n . За умови од-
накових *n оцінка (37) 1β , якщо *γ 366,0≅ , має суттєво меншу дисперсію
(41), ніж компонент 1β оцінки (33).
ВИСНОВКИ
Розглянуто процес уточнення законів Ома і Джоуля–Ленца. При цьому ви-
никла проблема виміру малого параметра, яку було вирішено шляхом цілес-
прямованого планування експерименту і оптимального оцінювання його
результатів. У природі не існує лінійних стаціонарних залежностей внаслі-
док узагальненого взаємозв’язку елементів будь-якої реальної системи та
руху матерії. Урахування цих фундаментальних закономірностей вказує на
необхідність розв’язання задачі оцінювання малих параметрів більш точних
моделей шляхом цілеорієнтації експерименту та оптимальної обробки його
результатів.
ЛІТЕРАТУРА
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука,
1979. — 286 с.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 3. Электричество. — М.: Физматлит
МФТИ, 2002. — 654 с.
3. Сильвестров А.Н., Чинаев П.И. Идентификация и оптимизация автоматических
систем. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 200 с.
4. Сэйдж Э.П., Мелса Дж. Теория оценивания и ее применение в теории связи и
управления. — М.: Связь, 1976. — 300 с.
Надійшла 25.06.2003
|
| id | journaliasakpiua-article-172534 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:39Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/63/30f0f70b82070a81f564c2f15bbb7063.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1725342019-07-04T19:57:00Z Refinement of simplified regularities on the basis of system approach Уточнение упрощенных закономерностей на основе системного подхода Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу Silvestrov, A. M. Spinul, L. Yu. Shefer, O. V. On the basis of system approach, some simplified electrodynamics regularities, their logical incompatibility and its further coordination by the introduction and optimum estimation of a small parameter are considered. На основе системного подхода рассмотрено несколько упрощенных закономерностей электродинамики, их логическая несовместимость и дальнейшее ее согласование путем введения и оптимального оценивания малого параметра. На основі системного підходу розглянуто декілька спрощених закономірностей електродинаміки, їх логічна несумісність і подальше узгодження шляхом введення та оптимального оцінювання малого параметру. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-07-04 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172534 System research and information technologies; No. 1 (2004); 135-142 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2004); 135-142 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2004); 135-142 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172534/172293 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Silvestrov, A. M. Spinul, L. Yu. Shefer, O. V. Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу |
| title | Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу |
| title_alt | Refinement of simplified regularities on the basis of system approach Уточнение упрощенных закономерностей на основе системного подхода |
| title_full | Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу |
| title_fullStr | Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу |
| title_full_unstemmed | Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу |
| title_short | Уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу |
| title_sort | уточнення спрощених закономірностей на основі системного підходу |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/172534 |
| work_keys_str_mv | AT silvestrovam refinementofsimplifiedregularitiesonthebasisofsystemapproach AT spinullyu refinementofsimplifiedregularitiesonthebasisofsystemapproach AT sheferov refinementofsimplifiedregularitiesonthebasisofsystemapproach AT silvestrovam utočnenieuproŝennyhzakonomernostejnaosnovesistemnogopodhoda AT spinullyu utočnenieuproŝennyhzakonomernostejnaosnovesistemnogopodhoda AT sheferov utočnenieuproŝennyhzakonomernostejnaosnovesistemnogopodhoda AT silvestrovam utočnennâsproŝenihzakonomírnostejnaosnovísistemnogopídhodu AT spinullyu utočnennâsproŝenihzakonomírnostejnaosnovísistemnogopídhodu AT sheferov utočnennâsproŝenihzakonomírnostejnaosnovísistemnogopídhodu |