Теоретико-ігрова модель боротьби партій за электорат
А model to be used by parties during election campaign to define finances distribution among the regions to get a maximal advantage is proposed. Conditions under which the model can be referred to a convex game are defined. The conclusions resulted from the research proved true during the parliament...
Saved in:
| Date: | 2019 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173380 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302503912472576 |
|---|---|
| author | Nedashkivskya, N. I. Ostapenko, V. V. Ostapenko, O. S. |
| author_facet | Nedashkivskya, N. I. Ostapenko, V. V. Ostapenko, O. S. |
| author_sort | Nedashkivskya, N. I. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-07-12T16:05:01Z |
| description | А model to be used by parties during election campaign to define finances distribution among the regions to get a maximal advantage is proposed. Conditions under which the model can be referred to a convex game are defined. The conclusions resulted from the research proved true during the parliament elections in 2002. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.І. Недашківська, В.В. Остапенко, О.С. Остапенко, 2003
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 4 113
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 518. 9
ТЕОРЕТИКО-ІГРОВА МОДЕЛЬ БОРОТЬБИ ПАРТІЙ
ЗА ЕЛЕКТОРАТ
Н.І. НЕДАШКІВСЬКА, В.В. ОСТАПЕНКО, О.С. ОСТАПЕНКО
Пропонується модель, що може бути застосована партіями — учасницями реа-
льної передвиборної кампанії — для визначення розподілу капіталу між райо-
нами з метою отримання максимального виграшу. Визначаються умови, за
яких запропоновану модель можна віднести до випуклої гри. Висновки, зроб-
лені в результаті дослідження, мали підтвердження під час виборів до парла-
менту 2002 р.
ВСТУП
В статті розглядаються питання математичного моделювання у соціології.
На сьогоднішній день чільне місце при дослідженні соціологічних про-
цесів посідають математичні моделі та методи [1 – 7]. Важливе значення
відіграють теорія ймовірностей і математична статистика. На їх основі роз-
роблені стохастичні моделі [3, 7], наводиться статистичний аналіз соціоло-
гічної інформації [2, 3], дається оцінка надійності і валідності (обгрунтова-
ності) соціологічної інформації [2], описується процес формування
вибіркової сукупності у соціологічних дослідженнях [5].
Крім ймовірнісних методів у соціологічних дослідженнях застосовуєть-
ся також інший математичний апарат. Це теорія розпізнавання образів, імі-
таційне моделювання, теорія графів, кластерний аналіз, аналіз експертних
оцінок тощо [4, 6].
Оскільки в соціологічних процесах можуть виникнути конфліктні ситу-
ації, то для їх моделювання з успіхом використовується теорія ігор [4]. При
цьому розв’язуються задачі розподілу робочої сили за галузями виробницт-
ва й економічними районами, задачі розвитку виробничої та невиробничої
інфраструктур, а також інші подібні задачі. Ігрове моделювання намагають-
ся звести до матричних ігор, оскільки для їх розв’язання можна застосувати
методи лінійного програмування [4].
На сьогоднішній день в Україні розвивається багатопартійна система.
Тому актуальною є задача моделювання процесу боротьби партій в ході пе-
редвиборної кампанії. Таке моделювання допомагає передбачити результати
виборів, а також дати рекомендації зацікавленим партіям.
В статті запропонована ігрова модель такої боротьби, яка базується на
новому підході до побудови функціоналів виграшу для гравців. Гра є непе-
Н.І. Недашківська, В.В. Остапенко, О.С. Остапенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 4 114
рервною та безкоаліційною. Приводиться розв’язок такої гри та робляться
висновки відносно оптимальних стратегій.
Результати даної статті можуть бути перенесені на моделювання про-
цесу боротьби фірм за ринки збуту.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Нехай є n районів. Кожен з них характеризується кількістю населення, яке
має право голосу, тобто електоратом iA , ni ,,1 …= . В цих районах прово-
дять передвиборну кампанію дві партії. Перша і друга виділяють відповідно
капітал a та b на її проведення. Для кожної партії задача полягає в тому,
щоб визначити, як розподілити цей капітал за районами для отримання мак-
симального виграшу. Виграш для партії — кількість (або процент) виборців,
що віддають свої голоси за дану партію.
З точки зору теорії ігор маємо гру n×2 , два гравці — це дві партії.
Стратегії для кожного з гравців — величини вкладів в кожний район. Опти-
мальною стратегією для кожної партії буде такий розподіл капіталу за рай-
онами, що дає найбільший виграш.
Нехай ii xk
ii exf −−= 1)( — функція виграшу, який отримає перша
партія по і-му району при умові, що в цей район вкладено ix капіталу;
ii yl
ii eyg −−= 1)( — функція виграшу, який отримає друга партія по і-му
району при умові, що в цей район вкладено iy капіталу. Коефіцієнти ii lk ,
відображають пріоритет і-го району відповідно для першої та другої партій.
Функції ii xk
ii exf −−= 1)( та ii yl
ii eyg −−= 1)( вибрані таким чи-
ном, щоб спочатку з ростом капіталовкладень ix або iy в і-й район виграш
від величини вкладеного капіталу зростав, але щоб потім мало місце «пере-
насичення», тобто при подальшому збільшенні капіталовкладень в даний
район величина виграшу практично не мінялася (не збільшувалася).
Для кожної з партій сума вкладень у всі райони має дорівнювати вели-
чині загального капіталу, тобто
.,
11
byax
n
i
i
n
i
i == ∑∑
==
Опустимо індекс i біля функцій if та ig .
Вважаємо, що обидві партії одночасно «вибирають» електорат з кожно-
го району. Нехай u — кількість голосів, які «забрала» партія 1; v — кіль-
кість голосів, які «забрала» партія 2. Тоді «одночасний вибір» для партій
можемо записати у вигляді
,)()(
,)()(
uAygv
vAxfu
−=
−=
,
)()(1
))(1()( A
ygxf
ygxfu
−
−
=
Теоретико-ігрова модель боротьби партій за електорат
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 4 115
.
)()(1
))(1()( A
ygxf
xfygv
−
−
=
Загальний виграш першої партії для всіх районів позначимо
∑
=
=
n
i
iii yxFyxF
1
),(),( ,
для другої
∑
=
=
n
i
iii yxGyxG
1
),(),( ,
де
.
,
)()(1
))(1()(
),(
)()(1
))(1()(
),(
i
iiii
iiii
iii
i
iiii
iiii
iii
A
ygxf
xfyg
yxG
A
ygxf
ygxf
yxF
−
−
=
−
−
=
Перша партія намагається зробити свій виграш максимальним при за-
тратах капіталу x , тобто max),(
x
yxF → за умови .
1
ax
n
i
i =∑
=
Друга партія також намагається максимізувати свій виграш при влас-
них затратах y , тобто max),(
y
yxG → за умови .
1
by
n
i
i =∑
=
Запишемо необхідні умови пошуку відносного максимуму.
,0),(
,0),(
=−
∂
∂
=−
∂
∂
µ
λ
iii
i
iii
i
yxG
y
yxF
x
(1)
∑∑
==
==
n
i
i
n
i
i byax
11
,,
niiyix ,,10,0 …=≥≥ .
Зробимо перетворення в перших двох рівняннях (1).
,0
)()(1
))(1()(
=−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
∂
∂ λiA
iyigixif
iyigixif
ix
.0
)()(1
))(1()(
=−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
∂
∂ µiA
iyigixif
ixifiyig
iy
В результаті отримаємо систему для пошуку ix та iy .
Н.І. Недашківська, В.В. Остапенко, О.С. Остапенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 4 116
,
2
µ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−−−+−
−−
iiiii
iiii
ylxkiyilik
ylxk
ii
eexe
elA
,
2
λ=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−−−+−
−−
iiiii
iiii
ylxkiyilik
ylxk
ii
eexe
ekA
(2)
,0,0,,
11
≥≥== ∑∑
==
ii
n
i
i
n
i
i yxbyax
nilkA iii ,,10,, …=≥ .
АНАЛІЗ ІСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧІ
Перед тим як розв’язувати систему (2) перевіримо, чи буде взагалі існувати
розв’язок поставленої задачі.
Представлену модель будемо вважати грою з випуклими неперервними
функціями виграшів, тоді буде існувати єдиний розв’язок [8, 9].
Проведемо дослідження умов, за яких функції виграшів будуть непере-
рвними і випуклими вгору.
1. Перевіримо випуклість вгору функції ),( yxF по x . Тут ми опускає-
мо індекс i при ),( yxFi . Тоді
2))()(1(
)())(1(
ygxf
xfygAx
F
−
′
−=
∂
∂ ,
0
))()(1(
)()()(2))()(1()())(1(
2
2
3 ≤
−
′′+−′′
−=
∂
∂
ygxf
ygxfxfygxfxfygA
x
F .
Якщо підставити конкретні значення функцій f та g , матимемо
0
)( 3
0
2
2
2
≤
−−−−+−
−−−−=
∂
∂
−−−−
≥
ylxkeylexke
eeexkylekA
x
F
ylxkylxk
,
0>−+ −−−− ylxkylxk eee , тому що 1<− yle для 0, >yl .
Отже, для того щоб друга похідна була невід’ємною, необхідно:
0≤−− −−−− ylxkylxk eee ,
11 ≤−+− −−−− ylxkxkyl eee ,
1)1()1( ≤+− −− xkyl ee ,
Теоретико-ігрова модель боротьби партій за електорат
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 4 117
2
11 ≤− − ble ,
2
1
>− yle , 2ln10
b
l << .
2. Перевіримо випуклість вгору функції ),( yxG по y. Аналогічно
маємо
2))()(1(
)())(1(
ygxf
yg
xfA
y
G
−
′
−=
∂
∂
,
0
))()(1(
)()()(2))()(1()())(1( 32
2
≤
−
′′+−′′
−=
∂
∂
ygxf
xfygygygxfygxfA
y
G ,
0
)( 3
0
2
2
2
≤
−−−−+−
−−−−−−−−=
∂
∂
≥
ylxkeylexke
ylxkexkeylexkylelA
y
G ,
0>−+ −−−− ylxkylxk eee , тому що 1<− yle для 0, >yl .
Отже, для того щоб друга похідна була невід’ємною, необхідно:
0≤−− −−−− ylxkxkyl eee ,
1)1()1( ≤+− −− ylxk ee ,
2
11 ≤− − ake , 2ln10
a
k << .
В результаті отримали: представлена модель є грою з випуклими непе-
рервними функціями виграшів, якщо виконуються умови
2ln10
b
l << та 2ln10
a
k << . (3)
Отже, при цих умовах буде існувати єдиний розв’язок системи (2) [8 – 10].
РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ (ПОШУК ОПТИМАЛЬНОЇ СТРАТЕГІЇ)
Перейдемо до пошуку розв’язку системи (2). Це система із 22 +n не-
лінійних рівнянь із 22 +n невідомими.
Знаходимо набір чисел
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n
n
y
y
x
x
1
1
, (4)
які характеризують розподіл капіталу за районами (ще 2 невідомих — λ та µ ).
Н.І. Недашківська, В.В. Остапенко, О.С. Остапенко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 4 118
Система розв’язується в програмі MATHCAD-2000. На вході програми
параметрам niAi ,,1, …= , a і b , ii lk , надаються різні значення із об-
ласті допустимих (ОДЗ). Для niAi ,,1, …= ОДЗ: 0≥iA . Для a і b
ОДЗ: ,0≥a .0≥b ОДЗ для ii lk , визначається нерівностями (3). При зада-
них значеннях параметрів програмою обчислюється набір чисел (4).
Розглянемо розподіл капіталовкладень за районами між партіями для
таких варіацій параметрів:
1. При njilkAA iiji ,,1,, …=∀== капіталовкладення для кожної
партії рівномірно розподілені за районами, тобто ,
n
axi =
n
byi =
ni ,,1 …=∀ .
2. При iijijiji lkllkkAA ≠=== ,,, nji ,,1, …=∀ капіталовкладен-
ня для кожної партії теж рівномірно розподілені за районами, тобто
n
by
n
ax ii == , ni ,,1 …=∀ .
3. При jijiji llkkAA ≠≠= ,, nji ,,1, …=∀ найбільші вклади капі-
талу надходять у райони з найбільшими пріоритетами. Для різних варіацій
a та b — різні значення для ix та iy , але розподіл капіталу не змінюється
(тобто найбільший вклад капіталу — в райони з найбільшими пріоритетами).
4. При iiji lkAA =≠ , nji ,,1, …=∀ найбільші вклади надходять у
райони з найбільшою чисельністю електорату, зменшення вкладів — по мірі
зменшення чисельності електорату. Для різних варіацій a та b розподіл капі-
талу не змінюється.
5. При iijijiji lkllkkAA ≠==≠ ,,, nji ,,1, …=∀ розподіл такий
самий, що і в п. 4.
6. При ji AA ≠ nji ,,1, …=∀ , якщо розглядати в динаміці при фіксо-
ваному значенні ji lll == при збільшенні ik , для партії 1 вклад в най-
більш пріоритетні райони зменшується, а у менш пріоритетні — збільшу-
ється, причому тим більше, чим більший розмір району.
7. При ji AA ≠ nji ,,1, …=∀ , якщо розглядати в динаміці при фіксо-
ваному значенні ji kkk == при збільшенні il , для партії 2 вклад в най-
більш пріоритетні райони зменшується, а у менш пріоритетні — збільшу-
ється, причому тим більше, чим більший розмір району.
ВИСНОВКИ
1. Якщо всі райони мають однакову кількість електорату і всі райони
для обох партій мають рівні пріоритети, то капіталовкладення за районами
для кожної партії рівномірно розподілені.
2. Якщо всі райони мають однакову кількість електорату, а різні партії
мають різні пріоритети у кожному районі, і всі райони для кожної з партій
мають рівні пріоритети, то капіталовкладення за районами теж рівномірно
розподілені.
Теоретико-ігрова модель боротьби партій за електорат
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 4 119
3. Якщо всі райони мають однакову кількість електорату але пріорите-
ти цих районів для обох партій різні, то найбільші вклади капіталу слід ро-
бити в райони з найбільшими пріоритетами.
4. Якщо райони із різною кількістю електорату мають рівні пріорите-
ти, то найбільші вклади надходять у райони з найбільшою чисельністю
електорату, зменшуються вклади по мірі зменшення чисельності електо-
рату.
5. Для районів з різною кількістю електорату при фіксованих значен-
нях пріоритетів для другої партії та збільшуванні пріоритетів районів для
першої: для першої партії вклад в найбільш пріоритетні для неї райони зме-
ншується, у менш пріоритетні — збільшується.
Це можна пояснити тим, що в найбільш пріоритетних районах весь мо-
жливий для першої партії електорат був вибраний з самого початку і при
подальшому зростанні пріоритету цих районів немає сенсу вкладати в них
найбільшу (в порівнянні з іншими районами) кількість капіталу, адже елек-
торат в цих районах майже вичерпаний. Натомість більша частини капіталу
переміщується в менш пріоритетні райони, де існують невикористані резер-
ви.
6. Аналогічно для районів з різною кількістю електорату при фіксова-
них значеннях пріоритетів для першої партії та збільшуванні пріоритетів
районів для другої: для другої партії вклад в найбільш пріоритетні для неї
райони також зменшується, у менш пріоритетні — збільшується.
ЛІТЕРАТУРА
1. Ядов В.А. Социологические исследования: методология, программа, методы. —
Самара: Самарский ун-т, 1995. — 331 с.
2. Паниотто В.И. Качество социологической информации: методы, оценки и
процедуры, обеспечение. — Киев: Наук. думка, 1986. — 207 с.
3. Паниотто В.И., Максименко В.С. Количественные методы в социологических
исследованиях. — Киев: Наук. думка, 1982. — 272 с.
4. Опыт моделирования социологических процессов (вопросы методологии и ме-
тодики построения моделей) / В.И. Паниотто, Л.А. Закревская, А.В. Черно-
воленко и др. — Киев: Наук. думка, 1989. — 200 с.
5. Чурилов Н.Н. Проектирование выборочного социологического исследования:
Некоторые методологические и методические проблемы. — Киев: Наук.
думка, 1986. — 183 с.
6. Математическое моделирование в социологии: Методы и задачи: Сборник
статей / Отв.редакторы Ф.М. Бородкин, Б.Г. Миркин. — Новосибирск: Нау-
ка, Сиб. отд., 1977. — 240 с.
7. Бартоломью Д. Стохастические модели социальных процессов. — М.:
Мир,1985. — 250 с.
8. Крушевский А.В. Теория игр. — Киев: Вища шк., 1977. — 216 с.
9. Воробьев Н. Н. Теория игр: Лекции для экономистов-кибернетиков. — Л.: Изд-
во Ленингр. ун-та, 1974. — 272 с.
10. Бесконечные антагонистические игры / Под ред. Н.Н. Воробьева. — М.: Физ-
матгиз, 1963. — 504 с.
Надійшла 02. 07. 2003
|
| id | journaliasakpiua-article-173380 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:43Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/fb/0ba9d8173a1b7feeafc99c711be16bfb.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1733802019-07-12T16:05:01Z Theoretical game model struggle of parties for electorate Теоретико-игровая модель борьбы партий за электорат Теоретико-ігрова модель боротьби партій за электорат Nedashkivskya, N. I. Ostapenko, V. V. Ostapenko, O. S. А model to be used by parties during election campaign to define finances distribution among the regions to get a maximal advantage is proposed. Conditions under which the model can be referred to a convex game are defined. The conclusions resulted from the research proved true during the parliament elections in 2002. Предлагается модель, которая может быть использована партиями — участницами реальной предвыборной кампании — для определения распределения капитала между районами с целью получения максимального выигрыша. Определяются условия, при которых предложенную модель можно отнести к выпуклой игре. Выводы, сделанные в результате исследования, имели подтверждение во время выборов в парламент 2002 г. Пропонується модель, що може бути застосована партіями — учасницями реальної передвиборної кампанії — для визначення розподілу капіталу між районами з метою отримання максимального виграшу. Визначаються умови, за яких запропоновану модель можна віднести до випуклої гри. Висновки, зроблені в результаті дослідження, мали підтвердження під час виборів до парламенту 2002 р. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-07-12 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173380 System research and information technologies; No. 4 (2003); 113-119 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2003); 113-119 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2003); 113-119 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173380/173095 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Nedashkivskya, N. I. Ostapenko, V. V. Ostapenko, O. S. Теоретико-ігрова модель боротьби партій за электорат |
| title | Теоретико-ігрова модель боротьби партій за электорат |
| title_alt | Theoretical game model struggle of parties for electorate Теоретико-игровая модель борьбы партий за электорат |
| title_full | Теоретико-ігрова модель боротьби партій за электорат |
| title_fullStr | Теоретико-ігрова модель боротьби партій за электорат |
| title_full_unstemmed | Теоретико-ігрова модель боротьби партій за электорат |
| title_short | Теоретико-ігрова модель боротьби партій за электорат |
| title_sort | теоретико-ігрова модель боротьби партій за электорат |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173380 |
| work_keys_str_mv | AT nedashkivskyani theoreticalgamemodelstruggleofpartiesforelectorate AT ostapenkovv theoreticalgamemodelstruggleofpartiesforelectorate AT ostapenkoos theoreticalgamemodelstruggleofpartiesforelectorate AT nedashkivskyani teoretikoigrovaâmodelʹborʹbypartijzaélektorat AT ostapenkovv teoretikoigrovaâmodelʹborʹbypartijzaélektorat AT ostapenkoos teoretikoigrovaâmodelʹborʹbypartijzaélektorat AT nedashkivskyani teoretikoígrovamodelʹborotʹbipartíjzaélektorat AT ostapenkovv teoretikoígrovamodelʹborotʹbipartíjzaélektorat AT ostapenkoos teoretikoígrovamodelʹborotʹbipartíjzaélektorat |