Системний аналіз дуальності задач фільтрації та управління для одного класу динамічних систем
An analytical solution to problems of filtration and optimal control with a quadratic performance criterion for discrete time systems has been developed.
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173796 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302510485995520 |
|---|---|
| author | Pоdladchykov, V. N. Narodyckaya, N. A. |
| author_facet | Pоdladchykov, V. N. Narodyckaya, N. A. |
| author_sort | Pоdladchykov, V. N. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-07-23T14:06:21Z |
| description | An analytical solution to problems of filtration and optimal control with a quadratic performance criterion for discrete time systems has been developed. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.Н. Подладчиков, Н.А. Народицкая, 2003
46 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3
УДК 681.513
СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ ДУАЛЬНОСТИ ЗАДАЧ
ФИЛЬТРАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В.Н. ПОДЛАДЧИКОВ, Н.А. НАРОДИЦКАЯ
Рассматривается проблема построения аналитического решения задач фильт-
рации и оптимального управления с квадратичным критерием качества для
систем с дискретным временем.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема дуальности впервые была рассмотрена в основополагающей ра-
боте Калмана, Фалба, Арбиба «Очерки по математической теории систем»
[1]. Далее это направление исследовалось Ванемом, Остремом [2,3]. В дан-
ной статье на основе дуальности задачи фильтрации для одного класса ди-
намических систем ( свободных от шума состояния) и соответствующей за-
дачи управления будет описано аналитическое решение задач фильтрации и
оптимального управления с квадратичным критерием качества в системах с
дискретным временем. Предлагаемый авторами подход на основе принци-
пов системного анализа развивает направление, предложенное в работе [4].
Характерной особенностью фильтра Калмана, построенного для сво-
бодных динамических систем, является возможность полного аналитическо-
го исследования алгоритмов фильтрации, т.е. получения аналитического
решения уравнения Риккати для ковариационной матрицы ошибки оценки
вектора состояния и явного представления переходной матрицы фильтра. На
основании полученных соотношений в данной статье приводится полное
аналитическое решение задачи фильтрации для линейных стационарных
систем в общем случае. Также на основе принципа дуальности находится
полное аналитическое решение общей задачи управления с квадратичным
критерием качества, т.е. аналитическое решение уравнения Риккати и явный
вид переходной матрицы замкнутого контура регулирования.
Полученные результаты могут быть применены для исследования
асимптотических свойств регулятора и устойчивости замкнутого контура
регулирования.
1. ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ С ДИСКРЕТНЫМ
ВРЕМЕНЕМ
Рассмотрим модель линейной динамической стационарной системы, описы-
ваемой уравнениями состояния и измерения в виде
)()()1( kwkxkx +Φ=+ , (1)
Системный анализ дуальности задач фильтрации и управления для одного класса …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 47
)()()( kvkHxkz += . (2)
Здесь )(kx — n-мерный вектор состояния системы; Φ — nn× -
матрица; H — nm × -матрица; )(kw и )(kv — гауссовы случайные процес-
сы типа белого шума с нулевыми средними значениями. Их корреляцион-
ные матрицы имеют вид
)()]();([cov ikQiwkw −= δ , )()]();([cov ikRivkv −= δ , 0)]();([cov =ivkw ,
где Q — симметричная неотрицательно определенная rr× -матрица; R —
симметричная положительно определенная mm × -матрица; )( ik −δ —
дельта-функция Дирака.
Начальный n-мерный гауссов случайный вектор )( 0kx имеет нулевое
среднее 0)]([ 0 =kxE и корреляционную матрицу 000 )]()([ PkxkxE T = , при-
чем 0P — неотрицательно определенная матрица, которая предполагается
известной. Кроме того, )(kw и )( 0kx и )(kv независимы.
Задача оценки состояния системы решается на основе уравнений
фильтра Калмана [1]
)()()1,(),1( kvkKkkxkkx +−Φ=+
∧∧
, (3)
1))1,(()1,()( −+−−Φ= RHkkHPHkkPkK TT , (4)
где )1,()()( −−=
∧
kkxHkzkv ; ),1( kkP + — ковариационная матрица ошибки
оценки вектора состояния, удовлетворяющая разностному уравнению Риккати
−+Φ−Φ=+ QkkPkkP T)1,(),1(
[ ] TTT kkPHHkkPHRHkkP Φ−−+−Φ−
−
)1,()1,()1,(
1
(5)
при 000 ),( PkkP = .
Переходная матрица фильтра удовлетворяет уравнению
]))1,(()1,([),1( 1 HRHkkHPHkkPIkk TT −+−−−Φ=+Ψ . (6)
2. ЗАДАЧА ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ С КВАДРАТИЧНЫМ
КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
Рассмотрим линейную стационарную систему
)()()1( kBukxkx +Φ=+ , (7)
где )(kx — n-мерный вектор состояния системы; )(ku — r-мерный вектор
управления; Φ — nn × -матрица; B — rn × -матрица. Управление должно
быть выбрано так, чтобы минимизировать функционал
В.Н. Подладчиков, Н.А. Народицкая
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 48
[ ]∑
−
=
++=
1
210
0
)()()()()()(
K
ki
TTT iuQiuixQixKxQKxJ , (8)
где 0Q — симметричная неотрицательно определенная nn× -матрица;
1Q — симметричная неотрицательно определенная mm × -матрица; 2Q —
симметричная положительно определенная rr × -матрица.
Закон оптимального управления, минимизирующего функционал (8),
имеет вид [1]
)()()( kxkLku −= , Kkk ,...,0= , (9)
[ ] Φ+++=
−
)1,()1,()(
1
2 kkSBBkkSBQkL TT , (10)
где )1,( +kkS удовлетворяет разностному уравнению Риккати
[ ++Φ−+Φ+Φ=− 21 )1,()1,(),1( QBkkSQkkSkkS TT
] Φ+++
−
)1,()1,(
1
kkSBBkkSB TT (11)
при 0),( QKKS = .
Оптимальная траектория имеет вид
[ ] )()],1(),1([)1(
1
2 kxkkSBBkkSBQIkx TT Φ+++−=+
−
. (12)
Как видно из соотношений (5) и (11), задача оценки состояния (1) – (6)
двойственна задаче оптимального детерминированного управления(7) – (12)
[3]. Эквивалентность задач проиллюстрирована таблицей.
Дуальность задач фильтрации и оптимального управления
Задача оценки состояния Kkk …0= K 0k Φ H 0P Q R P K
Стандартная задача
оптимального управления 0kKk …= 0K K TΦ TB 0Q 1Q 2Q S TL
3. ФИЛЬТР КАЛМАНА ДЛЯ СВОБОДНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассмотрим модель линейной свободной динамической стационарной сис-
темы, описываемой уравнениями состояния и измерения.
)()1( kAxkx =+ , (13)
)()()(
~
kvkHxkz += . (14)
Уравнения фильтра Калмана для свободных систем аналогичны урав-
нениям (3) – (5), только 0=Q , т.е. уравнение Риккати принимает вид
Системный анализ дуальности задач фильтрации и управления для одного класса …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 49
[ +−−−=+ RHkkPAAkkPAkkP TT ~)1,()1,(),1(
~~~
] TT AkkPHHkkPH )1,()1,(~ ~1
−−+
−
(15)
при 0
~
00
~
),( PkkP = .
Как показано в работе [4], фильтр Калмана для свободных динамиче-
ских систем может быть представлен в аналитической форме. В частности,
оценки вектора состояния вычисляются следующим образом:
=+
∧
),1( kkx
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+= ∑
+=
−−
∧
−−
k
ki
TTkiTkk izRHAkxkkPAkkPA
1
1
000
1
~
0
0 )(~][)(),(~][),( . (16)
Аналитическое решение уравнения Риккати [4]
.
~][),(~][),(
1
1
1
00
1
~
0
00
−
−
+=
−−−−−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+= ∑ ki
k
ki
TTkikkTkk AHRHAAkkPAkkP (17)
Переходная матрица фильтра для свободных динамических систем
)1,(~))(,1(~),1( 11
~
−+=+Ψ −−− iiPAkkPik Tki . (18)
4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПЕРЕХОДНЫХ МАТРИЦ ФИЛЬТРА ДЛЯ ДЕТЕР-
МИНИРОВАННОЙ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ МОДЕЛЕЙ СОСТОЯНИЯ
Рассмотрим модели динамических систем, описываемых уравнениями (1),
(2) и (13),(14). Заметим, что матрицы динамики и шумы измерения в указан-
ных моделях различны.
Утверждение. Существует система, свободная от шума состояния, с
определенно выбранными матрицами A и R~ , переходная матрица фильтра
Калмана которой совпадает с переходной матрицей фильтра, построенного
для системы, возмущаемой шумом состояния (1), (2).
Доказательство.
Рассмотрим систему (1), (2). Пусть ),1( kkP + — решение уравнения
Риккати (5), а ∞P — решение алгебраического уравнения Риккати; )(kK —
коэффициент усиления фильтра, а ∞K — его установившееся значение.
Представим ),1( kkP + и )(kK в виде
∞++=+ PkkPkkP ),1(ˆ),1( , (19)
∞+= KkKkK )(ˆ)( . (20)
В.Н. Подладчиков, Н.А. Народицкая
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 50
Дискретное уравнение Риккати модели (1), (2) может быть представле-
но в виде
QkkPKHkkP T +Φ−−Φ=+ )1,(][),1( (21)
при 000 ),( PkkP = .
Установившееся решение имеет вид
QPHKP T +Φ−Φ= ∞∞∞ ][ . (22)
Подставляя (19), (20) в выражение (21) и вычитая (22), проведя ряд преобра-
зований, получаем
TT kkPHkKHKHPkKkkP Φ−−−Φ−Φ=+
∧∧
∞∞
∧∧
)1,())(()(),1( .
Введем матрицу
HKA ∞
∧
−Φ= , (23)
которую можно интерпретировать как переходную матрицу дискретного
фильтра Виннера. Тогда последнее выражение можно упростить и перепи-
сать в виде
TT kkPHkKAHPkKkkP Φ−−−Φ=+
∧∧∧
∞
∧∧
)1,())(()(),1( . (24)
Коэффициент усиления фильтра при ∞→k
1)( −
∞∞∞ +Φ= RHHPHPK TT . (25)
Введем матрицу
THHPRR ∞
∧
+= . (26)
Тогда (25) преобразуется к виду
1][ −
∧
∞∞ Φ= RHPK T .
Найдем выражение для )(kK
∧
.
−+−+−Φ=−= −
∧∧
∞
∧
∞
∧
1))1,(())1,(()()( RHkkPHHPkkPKkKkK TT
−+−Φ=Φ− −
∧∧
∞
−
∧
∞
11 ))1,([(][ RHkkPHHPRHP TTT
=+−−Φ+− −
∧∧∧
−
∧
11 ))1,(()1,(]][ RHkkPHHkkPR TT
++−−= −
∧
−−
∧
−
∧
∞
1111 ))1,(( RHHRHkkPHK TT
=+−−Φ+ −
∧∧∧
1))1,(()1,( RHkkPHHkkP TT
Системный анализ дуальности задач фильтрации и управления для одного класса …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 51
=+−−−Φ= −
∧∧∧
∞
1))1,(()1,()( RHkkPHHkkPHK TT
1))1,(()1,( −
∧∧∧∧
+−−= RHkkPHHkkPA TT .
Тогда первое слагаемое (24) представимо в виде
TTTT KHkkPHkKAKRkKHPkK ∞
∧∧
∞
∧∧
∞
∧
−−==Φ )1,(])([)()( .
Учитывая полученные соотношения, запишем
=Φ−−−−−=+
∧∧∧
∞
∧∧∧
TTT kkPHkKAKHkkPHkKAkkP )1,())(()1,(])([),1(
TTT
AkkPHkKAkkPAAkkPHkKA
∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧
−−−=−−= )1,()()1,()1,())(( ,
решение которого может быть представлено в виде
=+
∧
),1( kkP
1
1
1
00
1 )(])[())(,(])[(
0
00
−
−
∧
+=
∧
−−
∧
−
∧∧
−−
∧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+= ∑ ki
k
ki
TTkikkTkk AHRHAAkkPA .
Сравнивая последнее выражение с (17), заметим, что ),1( kkP +
∧
можно
рассматривать как ковариационную матрицу ошибок фильтрации для сво-
бодной системы с переходной матрицей, определяемой (23), ковариацион-
ной матрицей ошибок измерений (26) и матрицей начальной ковариации
000 ),( PkkP − . Покажем, что переходная матрица свободной системы с ука-
занными параметрами совпадает с переходной матрицей фильтра модели,
возмущаемой шумом состояния (1), (2).
)1,()()()1,( −Ψ=−Φ=−−Φ=−=−Ψ
∧
∞
∧∧∧
kkKHHkKHKHkKAkk .
Таким образом была построена свободная система, переходная матрица
которой совпадает с переходной матрицей полной системы для k∀ . Пара-
метры свободной системы, как видно из доказательства, имеют вид
HKA ∞−Φ= , THHPRR ∞+=
~
, 0000
~
),( PkkPP −= .
Следствие 1.
Связь коэффициентов усиления полной и свободной динамических
систем
∞+= KkKkK )()(
~
. (27)
Следствие 2.
∞+= PkkPkkP ),(),(
~
. (28)
В.Н. Подладчиков, Н.А. Народицкая
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 52
Решение уравнения Риккати (5) представимо в виде
+= ∞PkkP ),(
1
1
~
1
00
~
1
0
00 ][),(][
−
−
+=
−−−−−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++ ∑ ki
k
ki
TTkikkTkk AHRHAAkkPA . (29)
Следствие 3.
В общем случае переходная матрица фильтра Калмана
)1,())(,1(),1(
~
11
~
−+=+Ψ −−− iiPAkkPik Tki (30)
или
11 ))1,(())(),1((),1( −
∞
−−
∞ −−−+=+Ψ PiiPAPkkPik Tki , (31)
где ),1( kkP + определяется выражением (29).
Таким образом, выражение (31) определяет явный вид переходной мат-
рицы фильтра, оптимального для стационарной системы (1), (2).
5. ДУАЛЬНОСТЬ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ
ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОГО КЛАССА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассмотрим частный случай задачи оптимального управления
)()()1( kBukAxkx +=+ , (32)
когда 01 =Q . Следовательно, квадратичный критерий качества принимает вид
∑
−
=
+=
1
2
~
0
0
)()()()(
K
ki
TT iuQiuKxQKxJ . (33)
Закон оптимального управления, минимизирующего функционал (33),
и коэффициент обратной связи аналогичны задаче (7) – (12) , а уравнение
Риккати принимает вид
−+=− AkkSAkkS T ),1()1,(
~~
AkkSBBkkSBQBkkSA TTT ),1(]),1([),1(
~
1
~
2
~~
++++− − (34)
при 0
~
)( QKS = .
Оптимальная траектория
)(),1(),1()1(
~1~
2
~
kAxkkSBBkkSBQIkx TT
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−=+
−
. (35)
Как видно из соотношений (15) и (34), задача оценки состояния для
свободных систем (13) – (18) двойственна задаче оптимального детермини-
рованного управления при 01 =Q (32) – (35).
Системный анализ дуальности задач фильтрации и управления для одного класса …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 53
Учитывая указанную выше эквивалентность задач фильтрации и
управления, получим аналитическое решение задачи оптимального управ-
ления при 01 =Q .
1. Решение уравнения Риккати
1
1
1
2
~~
1
~
][])[,(][)1,(
−
−
−
=
−−−−−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+=+ ∑ Tik
K
ki
TikTKkKk ABQBAAKKSAkkS . (36)
2. Коэффициент усиления обратной связи
T
TT QBkkSBBkkSAkL ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++= −1
2
~~~
))1,(()1,()( или
AkkSBQBkkSBkL TT )1,())1,(()(
~
1
2
~~
+++= − . (37)
3. Оптимальное управление
)()()(
~~
kxkLku −= . (38)
4. Переходная матрица замкнутого контура регулирования
)1,()(),1()1,(
~
11
~~
+−=+Ω −−− kkSAiiSki Tki . (39)
6. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ МАТРИЦЫ
ЗАМКНУТОГО КОНТУРА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим модель линейной динамической стационарной системы (1), (2)
и задачу оптимального управления (7), (8). Эти задачи двойственны
(см. часть 2), следовательно:
1. Решение уравнения Риккати задачи оптимального управления
)1,(),1(),1()1,(
~~
++=++=+=+ ∞∞ kkSSkkPPkkPkkS , (40)
где ∞S — решение алгебраического уравнения Риккати в задаче о стацио-
нарном регуляторе. Решение уравнения Риккати (11) представимо в виде
+=+ ∞SkkS )1,(
11
1
2
~~
1 ][])[(][
−
−
−
=
−−−−−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++ ∑ Tik
K
ki
TikTKkKk ABQBAAKSA , (41)
где A — матрица динамики, удовлетворяющая уравнению ∞−Φ= BLA , а
2
~Q — уравнению BSBQQ T
∞+= 22
~ .
2. Коэффициент усиления задачи оптимального управления
∞+= LkLkL )()(
~
. (42)
В.Н. Подладчиков, Н.А. Народицкая
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 54
3. Оптимальное управление
∞∞ +=+= ukukxLkLku )()())(()(
~~
. (43)
4. Переходная матрица
)1,()(),1()1,(
~
11
~
+−=+Ω −−− kkSAiiSki Tki , (44)
где )(
~
tS определяется выражением (36).
Пример.
Рассмотрим задачу стабилизации угловой скорости объекта, состоящего из
двигателя постоянного тока, управляемого входным напряжением )(kµ , с
угловой скоростью вала )(kξ [5]. Входная переменная является кусочно-
постоянной на интервалах продолжительностью ∆ .
Система описывается разностным уравнением состояния
)(]1[)()1( kekek µ
α
χξξ αα ∆−∆− −+=+ ,
где α , χ — известные константы; ∆ — интервал дискретизации.
Критерий качества определяется выражением
∑
−
=
++=
1
0
222
1 )]()([)(
K
i
kiKJ ρµξξπ .
Рассчитаем установившееся решение уравнения Риккати для ковариа-
ционной матрицы ошибки оценки.
0]]1[[]1[
2
22
2
=−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−−+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ − ∞
∆−∆−
∞
∆− ρ
α
χρρ
α
χ ααα SeeSe .
+
−
+−
−−
=
∆−
∆−
∆−
∞
2
22
2
2
22
)1(2
)1(
α
χ
ρρ
α
χ
α
α
α
e
ee
S
2
22
2
222
2
2
22
)1(2
)1(4)1(
α
χ
α
ρχρρ
α
χ
α
α
α
α
∆−
∆−
∆−
∆−
−
−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−−
+
e
eee
.
Рассчитаем матрицу A и
~
Q вспомогательной задачи управления (32).
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
−=
∞
∆−
∞
∆−
∆−
Se
Se
eA
2
2
]1[
]1[
1
α
α
α
α
χ
ρ
α
χ
, ∞
∆−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+= SeQ
2
2
~
]1[ α
α
χ
ρ .
Системный анализ дуальности задач фильтрации и управления для одного класса …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 55
Теперь можно получить аналитическое представление уравнения Рик-
кати, учитывая, что ∞−= SKS 1
~
)( π .
1
1
)(2
2
2
1
)(2
]1[
]1[
)1,(
−
−
=
−
∆−
∆−
∞
−
∞
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
+
−
+=+ ∑
K
ki
ik
Kk
A
e
e
S
ASkkS
α
α
α
χ
ρ
α
χ
π
.
Оптимальное управление имеет вид
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+=
−
−∆−∆−
1
1
~~2~
)1,(]1[)1,()( RkkSeekkSAku αα
α
χ
)(]1[ 1
~
kxRSee
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−+ −
∞
∆−∆− αα
α
χ .
Переходная матрица замкнутого контура регулирования
1
1
)(2
2
1
2
)(
]1[
]][[]1[
),(
−
−
=
−
∆−
−
∞
∆−
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+
−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −
+=Ω ∑
K
ki
ik
kK
Kk A
e
ASe
AkK
α
α
α
χ
ρ
π
α
χ
.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе принципа дуальности задач фильтрации и оптимального управле-
ния в работе получено аналитическое решение общей задачи управления с
квадратичным критерием качества, которое может быть применено для ана-
лиза чувствительности систем управления, а также исследования устойчи-
вости замкнутого контура регулирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Калман Р., Фалб П., Ариб М. Очерки по математической теории систем. — М:
Мир, 1971. — 400 с.
2. Wonham W.M. Random Differential Equations in Control Theory, Probabilistic
Methods in Applied Mathematics, Academic Press. — New York, 1969. — 132 p.
3. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. — М: Мир,
1973. — 322с.
4. Згуровский М.З., Подладчиков В.Н. Аналитические методы калмановской
фильтрации для систем с априорной неопределенностью. — Киев: Наук.
думка, 1995. — 282с.
5. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М:
Мир, 1977. — 650 с.
Поступила 16.09.2003
|
| id | journaliasakpiua-article-173796 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:45Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/ec/0c71de85887e348bfdf306cb03e474ec.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1737962019-07-23T14:06:21Z System analysis of duality of filtration and control problems for one class of dynamic systems Системный анализ дуальности задач фильтрации и управления для одного класса динамических систем Системний аналіз дуальності задач фільтрації та управління для одного класу динамічних систем Pоdladchykov, V. N. Narodyckaya, N. A. An analytical solution to problems of filtration and optimal control with a quadratic performance criterion for discrete time systems has been developed. Рассматривается проблема построения аналитического решения задач фильтрации и оптимального управления с квадратичным критерием качества для систем с дискретным временем. Розглядається проблема побудови аналітичного розв’язку задач фільтрації і оптимального керування з квадратичним критерієм якості для систем з дискретним часом. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-07-23 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173796 System research and information technologies; No. 3 (2003); 46-55 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2003); 46-55 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2003); 46-55 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173796/173674 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Pоdladchykov, V. N. Narodyckaya, N. A. Системний аналіз дуальності задач фільтрації та управління для одного класу динамічних систем |
| title | Системний аналіз дуальності задач фільтрації та управління для одного класу динамічних систем |
| title_alt | System analysis of duality of filtration and control problems for one class of dynamic systems Системный анализ дуальности задач фильтрации и управления для одного класса динамических систем |
| title_full | Системний аналіз дуальності задач фільтрації та управління для одного класу динамічних систем |
| title_fullStr | Системний аналіз дуальності задач фільтрації та управління для одного класу динамічних систем |
| title_full_unstemmed | Системний аналіз дуальності задач фільтрації та управління для одного класу динамічних систем |
| title_short | Системний аналіз дуальності задач фільтрації та управління для одного класу динамічних систем |
| title_sort | системний аналіз дуальності задач фільтрації та управління для одного класу динамічних систем |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173796 |
| work_keys_str_mv | AT podladchykovvn systemanalysisofdualityoffiltrationandcontrolproblemsforoneclassofdynamicsystems AT narodyckayana systemanalysisofdualityoffiltrationandcontrolproblemsforoneclassofdynamicsystems AT podladchykovvn sistemnyjanalizdualʹnostizadačfilʹtraciiiupravleniâdlâodnogoklassadinamičeskihsistem AT narodyckayana sistemnyjanalizdualʹnostizadačfilʹtraciiiupravleniâdlâodnogoklassadinamičeskihsistem AT podladchykovvn sistemnijanalízdualʹnostízadačfílʹtracíítaupravlínnâdlâodnogoklasudinamíčnihsistem AT narodyckayana sistemnijanalízdualʹnostízadačfílʹtracíítaupravlínnâdlâodnogoklasudinamíčnihsistem |