Оптимізація і розв’язання опуклих варіаційних нерівностей
An approach to solving variational inequalities is considered. It reduces an input problem to solving an optimization problem. Further investigation of the problem makes it possible to construct a function in the space of initial variables, minimization of which is equivalent to the input problem so...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173798 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302510559395840 |
|---|---|
| author | Danilin, Yu. M. Shoubenkova, I. A. |
| author_facet | Danilin, Yu. M. Shoubenkova, I. A. |
| author_sort | Danilin, Yu. M. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-07-23T14:06:29Z |
| description | An approach to solving variational inequalities is considered. It reduces an input problem to solving an optimization problem. Further investigation of the problem makes it possible to construct a function in the space of initial variables, minimization of which is equivalent to the input problem solution. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ю.М Данилин, И.А. Шубенкова, 2003
66 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 519.8
ОПТИМИЗАЦИЯ И РЕШЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ
ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ
Ю.М. ДАНИЛИН, И.А. ШУБЕНКОВА
Рассматривается подход к решению вариационных неравенств, сводящий ис-
ходную задачу к задаче оптимизации. Дальнейшее иcследование позволяет по-
строить функцию в пространстве исходных переменных, минимизация кото-
рой эквивалентна решению исходной задачи.
Решение вариационного неравенства на множестве S n -мерного евклидова
пространства nE заключается в определении точки Sx ∈* , для которой вы-
полняется условие
( ) SxxxxF ∈∀≥− ,0, ** , (1)
где оператор nn EExF →:)( .
Символы ⋅⋅, и ⋅ обозначают скалярное произведение и норму в nE .
Будем считать, что ( )xF — непрерывный оператор; ( ){ ≤= xgxS j:
}tj ,...,1,0 =≤ , причем S ограничено и имеет непустую внутренность, а
( )xg j — выпуклые непрерывно дифференцируемые функции.
Если *x удовлетворяет неравенству (1), то, очевидно, ( )xfx minarg* = ,
( ) ( ) ** , xxxFxf −= , Sx∈ .
В точке *x выполняются следующие необходимые и достаточные ус-
ловия минимума функции )(xf на множестве S :
существуют такие множители 0* ≥
jλ , что
( ) ( ) ( ) tjxgxgxF j
j
t
j
j
j ,...,1,0,0 **
1
*** ===′+∑
=
λλ . (2)
С учетом (2) оказывается [1, 2], что решение вариационного неравенст-
ва (1) может быть сведено к задаче
( ) ( ) Qxx ∈λλϕ ,,,min , (3)
Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 67
( ){ }tjSxxQ j ,...,1,0,:, =≥∈= λλ ,
( ) ( ) ( ) ( )∑∑
==
−′+=
t
j
j
j
t
j
j
j xgxgxFx
1
2
12
1, λλλϕ . (4)
Функция ( )λϕ ,x (4) является двойственной к функции
( ) ( ) ( ) ( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ =≤′++=
∈
tjpxgxgppxFx jj
Ep n
,...,1,0,:
2
1,min 2ψ , (5)
и, в силу теоремы двойственности (при сделанных предположениях спра-
ведлива теорема Куна-Таккера)
( ) ( ) ( )( )xxxx λϕλϕψ
λ
,,min
0
==
≥
. (6)
При Sx∈ выполняется неравенство ( ) 0≥xψ .
Следовательно, при ( ) Qx ∈λ,
( )( ) ( )λϕλϕ ,,0 xxx ≤≤ ,
и для точки ( )** ,λx , удовлетворяющей соотношениям (2),
( )( ) ( ) 0,,0 **** =≤≤ λϕλϕ xxx ,
т.е.
( ) ( )( ) ( ) 0,, ***** === λϕλϕψ xxxx .
Таким образом, в точке *x реализуется абсолютный минимум функции
( )xψ на множестве S , и ,как вытекает из (4), в точке ( )( )** , xx λ выполняют-
ся условия (2). А это означает, что решение вариационного неравенства (1)
эквивалентно задаче
( ) Sxx ∈,minψ . (7)
Остановимся теперь на изучении некоторых свойств функции ( )xψ (6).
Теорема 1. На произвольном ограниченном множестве nE⊂Ω функ-
ция ( )xψ непрерывна.
Доказательство. По предположению множество S имеет непустую
внутренность, т.е. существует точка Sz∈ такая, что ( ) γ−≤zg j , 0>γ ,
tj ,...,1= . При этом задача (5) при любом x имеет единственное решение
( )xp , и выполняются следующие необходимые и достаточные условия экс-
тремума:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) .,...,1,0,
,0,0
1
tjxpxgxgx
xxgxxpxF
jj
j
j
t
j
j
j
==′+
≥=′++ ∑
=
λ
λλ
(8)
Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 68
Множители ( )xjλ , удовлетворяющие (8), одновременно реализуют и
решение задачи ( )λϕ
λ
,min
0
x
≥
, т.е. определяют функцию ( )xψ .
В работе [3] доказана оценка
( ) ( ) ( ) 2
1 2
1 xzxFx
t
j
j −+≤∑
= γ
λ .
С учетом непрерывности ( )xF это означает, что на ограниченном
множестве Ω множители ( )xjλ также ограничены, т.е. ( ) tEx ⊂Λ⊂λ , где
( )xλ — вектор с компонентами ( )xjλ , а множество Λ — компакт. Таким
образом, на ограниченном множестве Ω
( ) ( )λϕψ
λ
,min xx
Λ∈
= .
В силу непрерывности ( )λϕ ,x (по переменным x и λ ) следует и не-
прерывность функции ( )xψ (см., напр., [4], теорема 7.2). ■
При некоторых дополнительных предположениях можно установить
дифференцируемость ( )xψ в локальной окрестности точки *x .
Предварительно докажем следующий результат.
Лемма. Решение задачи (5) — вектор ( ) 0→xp при *xx→ .
Доказательство. На ограниченном множестве Ω величина ( )xp огра-
ничена — это следует из (8) в силу ограниченности ( )xF , ( )xjλ , ( )xg j′ .
Пусть { }kx — произвольная последовательность, сходящаяся к точке *x , и
{ }
ξkx — произвольная бесконечная подпоследовательность из { }kx . В силу
ограниченности ( ){ }
ξkxp , ( ){ }
ξ
λ kx существуют предельные точки этих по-
следовательностей p~ , λ
~
. Переходя в (8) к пределу при *xxk →
ξ
, получаем
( ) ( ) ,0~~
1
** =′++ ∑
=
t
j
j
j xgpxF λ
( ) ( )( ) tjpxgxg j
jj
j ,...,1,0~,0~,~
** =≥=′+ λλ . (9)
Условия (9) показывают, что p~ — решение задачи (5) в точке *x .
В силу единственности решения ( )*
~ xpp = . В силу непрерывности функций
( )xψ и ( )λϕ ,x
( ) ( ) ( )( ) ( )λϕλϕψψ
ξξ
ξ
ξ
ξ
~
,,limlim ** xxxxx kk
k
k
k
===
∞→∞→
.
Но ( ) 0* =xψ , т.е. ( ) 0
~
,* =λϕ x . Из этого следует (4), что
( ) ( ) 0
~
1
** =′+∑
=
t
j
j
j xgxF λ .
Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 69
Поэтому в силу (9) ( ) 0~
* == xpp .
Итак, предельной точкой любой бесконечной последовательности ( ){ }
ξkxp является нулевой вектор. Из этого следует, что ( ) 0→kxp , ∞→k .
Поскольку { }kx — произвольная последовательность (сходящаяся к *x ), то
( ) 0→xp при *xx→ .■
Далее будем считать, что выполняются условия:
а) оператор ( )xF дважды, а функции ( )xg j трижды непрерывно диф-
ференцируемы;
б) в точке *x , удовлетворяющей (2), градиенты ( )*xg j′ , ( )*xJj∈ —
линейно независимы и 0* >
jλ , ( )*xJj∈ .
Здесь
( ) ( ){ }tjxgjxJ j ,...,1,0: ** === .
Теорема 2. Пусть выполняются условия а, б. Тогда в локальной окре-
стности точки *x функция ( )xψ дважды непрерывно дифференцируема, и
( ) ( )( ),, xxx x λϕψ ′=′
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ).,,,, 1 xxxxxxxxx xxxx λϕλϕλϕλϕψ λλλλ ′′′′′′−′′=′′ − (10)
Доказательство. При выполнении условий б существует окрестность
( ) { }δδ ≤−=Ω ** :, xxxx , для всех точек которой выполняется условие
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ){ }.,...,1,0,:
,*
tjxpxgxgjxJ
xJxJ
jj ==′+=
=
(11)
Действительно, для ( )*xJj∉ будет ( ) ( ) 0** <−=→ j
jj xgxg β . В силу
леммы ( ) 0→xp ( *xx→ ). Следовательно, если окрестность ( )δ,*xΩ доста-
точно мала, в любой точке ( )δ,*xx Ω∈
( ) ( ) ( ) ( )*,0, xJjxpxgxg jj ∉<′+ , (12)
и в силу (8) ( ) 0=xjλ .
Пусть { }kx — произвольная последовательность, сходящаяся к *x .
Предположим, что при сколь угодно больших номерах k может оказаться
( ) ( )*xJxJ k ≠ . С учетом (12) это будет означать, что ( ) ( )*xJxJ k ⊂ . Посколь-
ку существует лишь конечное число различных множеств ( ) ( )*xJxJ ⊂ , най-
дется подпоследовательность { }
ξkx из { }kx такая, что ( ) ( )*xJJxJ k ⊂=
ξ
( ( )*xJJ ≠ ).
При этом, переходя в (8) к пределу ( *xxk →
ξ
, ( ) 0→
ξkxp , ( ) λλ
ξ
~
→kx ,
получаем
Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 70
( ) ( ) 0
~
** =′+∑
∈Jj
j
j xgxF λ ,
что противоречит условию б ( 0* >
jλ , ( )*xJj∈ ). Поэтому условие
( ) ( )*xJxJ k ≠ при ∞→k выполняться не может. В силу произвольного вы-
бора { }kx следует справедливость (11).
При выполнении (11) соотношения (8) представимы в виде
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0
*
=′++ ∑
⊂ xJj
j
j xgxxpxF λ ,
( ) ( ) ( ) ( )*,0, xJjxpxgxg jj ∈=′+ , (13)
( ) ( )*,0 xJjxj ∉=λ .
Полагая окрестность ( )δ,*xΩ настолько малой, что градиенты ( )xg j′ ,
( )*xJj∈ — линейно независимы при любом ( )δ,*xx Ω∈ , из (13) получаем
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ),
,
T
1T
xxgxFxp
xFxgxgxgxgx
J
J
λ
λ
′−−=
′−′′=
−
(14)
где ( )xJλ — вектор-столбец с компонентами ( )xjλ , ( )*xJj∈ ; ( )xg — век-
тор-столбец с компонентами ( )xg j , ( )*xJj∈ ; ( )xg ′ — матрица, строками
которой являются векторы ( )xg j′ , ( )*xJj∈ .
Поскольку в окрестности ( )δ,*xΩ множители ( ) 0≡xjλ , ( )*xJj∉ , да-
лее будем считать, что в этой окрестности Jλλ = и
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
∑∑
∈∈
−′+=
**
2
2
1,
xJj
j
j
xJj
j
j xgxgxFx λλλϕ .
Из (14), в силу условий а, следует, что ( )xJλ дважды непрерывно диф-
ференцируемая функция, и поэтому функция ( ) ( )( )xxx λϕψ ,= также дважды
непрерывно дифференцируема в окрестности ( )δ,*xΩ .
Установим теперь справедливость выражений (10).
Если ( )xλ′ — матрица, строками которой являются векторы ( )( )′xjλ , то
градиент функции ( )xψ
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =′′+′=′ xxxxxx x λϕλλϕψ λ ,, T
( )( ) ( )( )
( )
( )( )′′+′= ∑
∈
xxxxx j
xJj
x j λλϕλϕ
λ
*
,, . (15)
Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 71
Будем считать окрестность ( )δ,*xΩ настолько малой, что множители
( ) 0>xjλ , ( )*xJj∈ . При этом в силу необходимых условий экстремума (на
множестве 0≥λ )
( )( ) ( )( ) ,0,,
=′=
∂
∂ xxxx
jj λϕ
λ
λϕ
λ
( ) ( )** ,, xJjxx ∈Ω∈∀ δ . (16)
Следовательно (15), ( ) ( )( )xxx x λϕψ ,′=′ .
Определим теперь ( )xψ ′′ .
Обозначим
( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
=′′
jixx
xx
xx λϕλϕ ,,
2
, ( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
=′′
ji
xx
λλ
λϕλϕλλ
,,
2
,
i , j — индексы строки и столбца,
( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
=′′
jix
x
xx
λ
λϕλϕ λ
,,
2
, ( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
=′′
jix
x
xx
λ
λϕλϕλ
,,
2
.
Тогда
( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )xxxxxxxx xxxxx λλϕλϕλϕψ λ ′′′+′′=′′=′′ ,,, . (17)
Далее,
( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )xxxxxxx xx λλϕλϕλϕ λλλλ ′′′+′′=′′ ,,, . (18)
При выполнении (16) очевидно
( )( )[ ] ( )δλϕλ ,,0, *xxxx x Ω∈∀=′′ . (19)
В окрестности ( )δ,*xΩ матрица ( )( ) ( ) ( )xgxgxx T, ′′=′′ λϕλλ является не-
вырожденной, поэтому из (18), (19) следует
( ) ( )( ) ( )( )xxxxx x λϕλϕλ λλλ ,, 1 ′′′′−=′ − .
Таким образом, выражение (17) можно представить в виде
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )xxxxxxxxx xxxx λϕλϕλϕλϕψ λλλλ ,,,, 1 ′′′′′′−′′=′′ − .
Итак, равенства (10) справедливы. ■
Теорема 3. Пусть ( )** ,λx — точка, удовлетворяющая соотношениям
(2), и выполняются условия а, б.
Тогда
( ) ( )
( )
0
*
*** =′+′ ∑
∈ xJj
j
j xgx λψ . (20)
Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 72
Если к тому же оператор ( )xF — сильно монотонный, т.е. ( ) ≥′ ppxF ,
,2pm≥ nEp∈∀ , 0>m , то
( ) ( ) 0,*** >
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′′+′′ ∑ ppxgx
j
j
jλψ (21)
для любого вектора 0≠p такого, что
( ) ( )** ,0, xJjpxg j ∈=′ . (22)
Доказательство. Поскольку *x — точка минимума функции ( )xψ на
множестве S , существуют такие множители 0* ≥jµ , ( )*xJj∈ , что
( ) ( )
( )
0
*
*** =′+′ ∑
∈ xJj
j
j xgx µψ . (23)
Но, поскольку ( ) ( )
( )
0
*
*** =′+ ∑
∈ xJj
j
j xgxF λ , то (10)
( ) ( )( ) ( )
( )
∑
∈
′−=′=′
*
***** ,
xJj
j
j
x xgxxx λλϕψ .
Следовательно (23),
( ) ( )
( )
0
*
*** =′−∑
∈ xJj
j
jj xgλµ . (24)
В силу линейной независимости градиентов )( *xg j′ , ( )*xJj∈ из (24)
следует, что jj
** λµ = , ( )*xJj∈ , т.е. равенство (20) справедливо.
Установим справедливость (21).
Поскольку ( )( ) ( ) ( )*
T
***, xgxgxx ′′=′′ λϕλλ ,
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′′+′′=′′ ∑
∈
IxgxFxgxx
xJj
j
j
x
*
****** , λλϕλ ,
где I — единичная матрица; ( )( ) ( )( )[ ]T,, xxxx xx λϕλϕ λλ ′′=′′ , тогда
( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) =′′′′′′ −
**
1
**** ,,, xxxxxx xx λϕλϕλϕ λλλλ
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )×′′′′
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′′+′=
−
∈
∑ *
1
*
T
**
T
T
***
*
xgxgxgxgIxgxF
xJj
j
jλ
( ) ( )
( )
.
*
*** ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′′+′× ∑
∈
IxgxF
xJj
j
jλ
Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 73
Обозначим
( ) ( )
( )
∑
∈
′′+′=
*
****
xJj
j
j xgxFA λ ,
( ) ( ) ( )[ ] ( )*
1
*
T
**
T
* xgxgxgxgG ′′′′=
−
.
Тогда
[ ] [ ] **
T
*****
T
***
T
* GGAAGAGAIAGIA +−−=−− . (25)
Заметим, что *G — оператор проектирования на подпространство, об-
разованное векторами )( *xg j′ , ( )*xJj∈ . В силу свойств оператора проек-
тирования, если вектор p такой, что выполняются условия (22), то
,0,0
,0,,
**
T
*
****
==
==
pGpGA
pGpAppAG
(26)
=== pApAGGpApAGppAGA *********
T
* ,,,
2
****** , pAGpAGpAG == . (27)
По предположению, оператор ( )xF — сильно монотонный, а функции
( )xg j — выпуклы, поэтому матрица *A положительно определена, т.е.
0,* >ppA , nEp∈∀ , 0≠p . Если для вектора p выполняются условия
(22), то вектор pA* не может принадлежать подпространству, образован-
ному векторами )( *xg j′ , ( )*xJj∈ , в противном случае оказалось бы, что
0,* =ppA .
Из этого следует
pApAG *** < . (28)
Учитывая, что ( ) ( )
( )
∑
∈
′′−=′′
*
***
T
** ,
xJj
j
xx xgAAx λλϕ , в силу второго из ра-
венств (10) получаем
( ) ( ) [ ] [ ]IAGIAAAxgx j
j
j −−−=′′+′′ ∑ **
T
**
T
**** λψ .
Из (25) с учетом (26), (27) следует, что для любого вектора p , удовле-
творяющего условиям (22),
[ ] [ ] 2
****
T
* , pAGppIAGIA =−− .
Следовательно,
Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 74
( ) ( ) 2
**
2
**** , pAGpAppxgx
j
j
j −=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
′′+′′ ∑λψ .
С учетом (28) это означает справедливость (21). ■
Поскольку при выполнении условий а, б справедливо равенство (20), а
при условии, что ( )xF — сильно монотонный оператор, и неравенство (21),
то точка *x реализует невырожденный минимум функции ( )xψ .
Итак, решение вариационного неравенства (1) может быть сведено к
решению задачи минимизации функции ( )xψ на множестве S (т.е. к опти-
мизационной задаче в пространстве исходных переменных). Изученные в
данной работе свойства функции ( )xψ (теоремы 1, 2, 3) показывают, что, по
крайне мере, в локальной окрестности решения может быть использован
весь хорошо развитый аппарат численных методов оптимизации. В частнос-
ти, возможно использование ньютоновских и квазиньютоновских процес-
сов, базирующихся на методах последовательного квадратичного програм-
мирования [2, 5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Danilin Yu. M. On an approach to solution of variational inequalities // II Укр. конф.
«Автоматика-95». — Львів, 1995. — 1. — С. 20.
2. Данилін Ю.М., Шубенкова І.А. Про розв’язання варіаційних нерівностей в
скінченновимірних просторах // Праці міжнар. конф. «Питання оптимізації
обчислень». Київ. — 1997. — С. 86–89.
3. Пшеничный Б.Н., Калжанов М.У. Метод решения вариационных неравенств //
Кибернетика и системный анализ. — 1992. — №6. — С. 48–55.
4. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. — М.: Сов. радио, 1973. — 307 с.
5. Данилин Ю.М. Последовательное квадратичное программирование и модифи-
цированные функции Лагранжа // Кибернетика и системный анализ. —
1994. — №5. — С. 51–67.
Поступила 25.07.2003
|
| id | journaliasakpiua-article-173798 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:46Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/63/c2c1f65a49fd7a86f91b93194c4fe263.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1737982019-07-23T14:06:29Z Optimization and solving of convex variational inequalities Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств Оптимізація і розв’язання опуклих варіаційних нерівностей Danilin, Yu. M. Shoubenkova, I. A. An approach to solving variational inequalities is considered. It reduces an input problem to solving an optimization problem. Further investigation of the problem makes it possible to construct a function in the space of initial variables, minimization of which is equivalent to the input problem solution. Рассматривается подход к решению вариационных неравенств, сводящий исходную задачу к задаче оптимизации. Дальнейшее иcследование позволяет построить функцию в пространстве исходных переменных, минимизация которой эквивалентна решению исходной задачи. Розглядається підхід до розв’язання варіаційних нерівностей, що зводить початкову задачу до задачі оптимізації. Подальше вивчення проблеми дозволяє побудувати функцію у просторі вихідних змінних, мінімізація яких еквівалентна розв’язанню початкової задачі. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-07-23 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173798 System research and information technologies; No. 3 (2003); 66-74 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2003); 66-74 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2003); 66-74 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173798/173676 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Danilin, Yu. M. Shoubenkova, I. A. Оптимізація і розв’язання опуклих варіаційних нерівностей |
| title | Оптимізація і розв’язання опуклих варіаційних нерівностей |
| title_alt | Optimization and solving of convex variational inequalities Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств |
| title_full | Оптимізація і розв’язання опуклих варіаційних нерівностей |
| title_fullStr | Оптимізація і розв’язання опуклих варіаційних нерівностей |
| title_full_unstemmed | Оптимізація і розв’язання опуклих варіаційних нерівностей |
| title_short | Оптимізація і розв’язання опуклих варіаційних нерівностей |
| title_sort | оптимізація і розв’язання опуклих варіаційних нерівностей |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/173798 |
| work_keys_str_mv | AT danilinyum optimizationandsolvingofconvexvariationalinequalities AT shoubenkovaia optimizationandsolvingofconvexvariationalinequalities AT danilinyum optimizaciâirešenievypuklyhvariacionnyhneravenstv AT shoubenkovaia optimizaciâirešenievypuklyhvariacionnyhneravenstv AT danilinyum optimízacíâírozvâzannâopuklihvaríacíjnihnerívnostej AT shoubenkovaia optimízacíâírozvâzannâopuklihvaríacíjnihnerívnostej |