Система морфізмів для просторів невизначеності та її застосування
A system of morphisms — the main instrument for further development of the uncertainty theory is built. It is immediately used for search of uncertainty spaces images by given functions. Factorspaces and projections are the most important particular cases of images. It is proved that such projection...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175065 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334386171510784 |
|---|---|
| author | Diduk, N. N. |
| author_facet | Diduk, N. N. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "N. N. Diduk",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Diduk, N. N. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-08-07T15:26:01Z |
| description | A system of morphisms — the main instrument for further development of the uncertainty theory is built. It is immediately used for search of uncertainty spaces images by given functions. Factorspaces and projections are the most important particular cases of images. It is proved that such projections of two-dimensional uncertainty spaces in probability case are the Shannon uncertainty spaces which correspond common projections of two-dimensional probability distributions. It proves that the apparatus, which has been built, checks well with the probability theory apparatus. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Н.Н. Дидук, 2003
34 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1
УДК 519.7
СИСТЕМА МОРФИЗМОВ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
Н.Н. ДИДУК
Строится основной инструмент для дальнейшего развития теории неопреде-
ленности — система морфизмов, — которая сразу же применяется для нахож-
дения образов пространств неопределенности относительно заданных
функций. Наиболее важными частными случаями образов являются фактор-
пространства и проекции. Показано, что получаемые таким образом проекции
двумерных пространств неопределенности в вероятностном случае представ-
ляют собой шенноновские пространства неопределенности, соответствующие
обычным проекциям двумерных распределений вероятностей. Это доказывает
согласованность построенного аппарата с аппаратом теории вероятностей.
В статье [1] были рассмотрены некоторые свойства пространств неопреде-
ленности (ПН) и показано, как с помощью ПН можно описывать ситуации
неопределенности различных типов. Был построен род математических
структур, соответствующий понятию «пространство неопределенности», и
выведено понятие изоморфизма ПН.
Цель настоящей статьи состоит в нахождении некоторых способов пре-
образования пространств неопределенности, аналогичных известным пре-
образованиям для распределений вероятностей. Для построения искомых
преобразований сначала выбирается (и обосновывается) система морфизмов
для ПН, а затем применяются методы нахождения производных математи-
ческих структур.
Напомним смысл понятия пространство неопределенности. Оно опи-
рается на два числовых множества R и +R , представляющие собой попол-
нение «бесконечным числом» +∞ множеств действительных чисел соответст-
венно R и +R . Пусть задано множество X
+R всех функций, отображающих
множество X в множество +R , и пусть S есть функционал, отображаю-
щий множество функций X
+R в множество чисел R . Результат применения
функционала S к функции Xf +∈R обозначается )( fS или )(xf
Xx∈
S .
Функционал S называется критерием свертывания (КС) по множест-
ву X , если он является монотонным, т. е. если для любых функций
Xgf +∈R, соотношение gf ≤ влечет соотношение )()( gf SS ≤ . Множест-
во всех критериев свертывания по множеству X обозначается )(XT . Дис-
кретным пространством неопределенности называется всякая пара ( )S,X ,
где X (носитель пространства) — дискретное множество, а S (КС про-
странства) принадлежит множеству )(XT .
Система морфизмов для пространств неопределенности и ее применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 35
1. ИЗОМОРФИЗМ ПРОСТРАНСТВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В любом разделе математики основным инструментом для получения про-
изводных математических структур является система морфизмов. В отли-
чие от понятия изоморфизма система морфизмов однозначно не выводится
из рассматриваемого рода структур, а должна быть выбрана. Этот выбор,
однако, не может быть произвольным, так как любая система морфизмов
должна быть согласована с понятием изоморфизма (соответствующим рас-
сматриваемому роду структур). Выбранной системе морфизмов обычно
присваивают имя. Так, в общей алгебре основную систему морфизмов назы-
вают представлениями, а важный частный случай представлений называют
гомоморфизмами [2, гл. I, § 4, п. 4] (термин «гомоморфизм» иногда приме-
няется и в более узком смысле). Еще один частный случай представлений
называют линейными отображениями [там же, гл. II, § 2, п. 1], а частный
случай линейных отображений — линейными формами [там же, § 4, п. 1]. В
топологии основную систему морфизмов называют непрерывными функ-
циями, а в теории меры (и в теории вероятностей) — измеримыми функ-
циями.
Наша ближайшая цель состоит в выборе системы морфизмов для рода
структур КС (рода, соответствующего понятию «пространство неопреде-
ленности»). Но ввиду тесной связи системы морфизмов с понятием изомор-
физма, напомним сначала необходимые и достаточные условия изоморфиз-
ма двух ПН [1, следствие 1].
Пусть ( )S,X и ( )T,Y — два пространства неопределенности с равно-
мощными носителями X и Y . И пусть ϕ — биекция (взаимно однозначное
отображение) множества X на множество Y . Для того чтобы функция ϕ
была изоморфизмом ПН ( )S,X на ПН ( )T,Y , необходимо и достаточно вы-
полнения любого из следующих условий:
1) для любой функции Yg +∈R имеет место
(g))( TS =ϕg ; (1)
2) для любой функции Xf +∈R имеет место
)()( 1−= ϕff TS . (2)
2. СИСТЕМА МОРФИЗМОВ
Теперь переходим непосредственно к построению системы морфизмов для
пространств неопределенности. Для этого сначала дадим определение мор-
физмов для ПН, а затем и построим конкретную систему морфизмов, удов-
летворяющую данному определению. Наше определение морфизмов пред-
ставляет собой просто перевод на наш язык общего определения Н. Бурбаки
[3, гл. IV, § 2, п. 1].
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 36
Определение 1. Пусть заданы два ПН ( )S,X и ( )T,Y . Множество
σ ┊ TS,;,YX ┊ XY⊂ (3)
отображений множества X в Y называется (согласно Бурбаки) системой
морфизмов ПН ( )S,X в ПН ( )T,Y , если выполняются следующие два тре-
бования:
1) пусть множества X и Y равномощны и ϕ — биекция X на Y . То-
гда для того, чтобы функция ϕ была изоморфизмом пространства ( )S,X на
пространство ( )T,Y , необходимо и достаточно выполнения соотношения
σϕ ∈ ┊ TS,;,YX ┊ и σϕ ∈−1 ┊ ST,;, XY ┊; (4)
2) для любого ПН ( )U,Z и любых двух функций XY∈ϕ и YZ∈µ со-
отношение
σϕ ∈ ┊ TS,;,YX ┊ и σµ∈ ┊ UT,;,ZY ┊ (5)
влечет соотношение
σϕµ ∈ ┊ US,;,ZX ┊. ■ (6)
Теперь для любых двух пространств неопределенности ( )S,X и ( )T,Y
определим конкретное множество σ ┊ TS,;,YX ┊ как множество всех ото-
бражений ϕ множества X в Y , каждое из которых удовлетворяет требова-
нию: для любой функции Yg +∈R имеет место неравенство
(g))( TS ≤ϕg . (7)
Таким образом, формальная дефиниция множества σ ┊ TS,;,YX ┊ имеет вид
σ ┊ TS,;,YX ┊ ( )( ){ })()(: gggY YX
df TS ≤∈∀∈= + ϕϕ R . (8)
Теорема 1. Для любых двух ПН ( )S,X и ( )T,Y множество функций
σ ┊ TS,;,YX ┊, характеризуемое выражением (8), есть система морфизмов
пространства ( )S,X в пространство ( )T,Y . ■
Доказательство этой теоремы мы опускаем, так как оно сводится про-
сто к проверке того, что выбранная система функций удовлетворяет опреде-
лению 1.
Определение 2. Введенные здесь морфизмы для пространств неопре-
деленности будем называть и н ф о м о р ф и з м а м и . ■
Заметим, что если бы вместо неравенства (g))( TS ≤ϕg в (7) мы взяли
обратное неравенство (g))( TS ≥ϕg , то тоже получилась бы система мор-
физмов для ПН, но другая.
Система морфизмов для пространств неопределенности и ее применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 37
3. РЕШЕТКА КРИТЕРИЕВ СВЕРТЫВАНИЯ
Рассмотрим множество )(XT всех КС по множеству X . Пусть )(, XT∈TS ,
так что имеем два ПН ( )S,X и ( )T,X .
Следствие 1. Для того чтобы тождественное отображение множест-
ва X на себя было инфоморфизмом пространства ( )S,X на пространство
( )T,X , необходимо и достаточно, чтобы для каждой функции Xf +∈R вы-
полнялось неравенство
)()( ff TS ≤ . ■ (9)
То, что неравенство (9) выполняется для каждой функции Xf +∈R , мы
изображаем еще так: TS≤ . Нетрудно проверить, что соотношение TS≤
является соотношением порядка в множестве )(XT (оно рефлексивно,
транзитивно и антисимметрично). Покажем, что множество )(XT , наде-
ленное этим порядком, является решеткой [4].
Для любых )(, XT∈TS зададим следующие два функционала:
)}(),({min fffdf TSTS =∧ ◊ X
+R , (10)
)}(),({max fffdf TSTS =∨ ◊ X
+R . (11)
Лемма 1. Для любых )(, XT∈TS функционалы TS∧ и TS∨ являются
критериями свертывания по множеству X . ■
Для доказательства леммы достаточно показать, что для всяких двух
функций Xgf +∈R, соотношение gf ≤ влечет соотношение ≤∧ ))(( fTS
))(( gTS∧≤ и соотношение ))(())(( gf TSTS ∨≤∨ . Это доказательство здесь
опускаем. Следующая теорема тоже приводится без доказательства.
Теорема 2. Для любых двух КС )(, XT∈TS существуют (в множестве
)(XT , наделенном указанным выше порядком) нижняя грань },{inf TS и
верхняя грань },{sup TS , причем имеют место соотношения
TSTS ∧=},{inf , (12)
TSTS ∨=},{sup . ■ (13)
Следствие 2. Множество )(XT всех критериев свертывания по мно-
жеству X , наделенное соотношением порядка TS≤ (между его элемента-
ми), является решеткой. ■
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 38
4. ПОНЯТИЕ ФИНАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
Теперь приступаем к применению построенной системы морфизмов в каче-
стве инструмента для построения производных от пространств неопреде-
ленности математических структур. Производные структуры делятся на две
группы: начальные и финальные структуры. Н. Бурбаки в работе [3, гл. IV]
дает определения начальных и финальных структур (как и все прочие опре-
деления) в расчете на самый общий случай. В проблеме производных струк-
тур самым общим случаем являются начальные и финальные структуры для
семейств математических пространств. Нас же здесь интересуют гораздо
более простые частные случаи — начальные и финальные структуры для
отдельных ПН. Поэтому нам нужны и соответствующие более простые оп-
ределения. Заметим, что по этой причине наша терминология будет отли-
чаться от терминологии Бурбаки, но зато будет лучше подходить для рас-
сматриваемого здесь частного случая производных структур.
Мы начинаем с финальных структур ввиду того, что их построение для
ПН проще, чем построение начальных структур (в этой статье мы и ограни-
чимся финальными структурами).
Определение 3. Пусть заданы: два ПН ( )S,X и ( )T,Y и функция ϕ,
отображающая X в Y . КС T называется финальной структурой для про-
странства ( )S,X относительно функции ϕ, если он обладает следующим
свойством: для любого ПН ( )U,Z и любой функции ψ, отображающей Y в
Z, соотношение
σψ ∈ ┊ UT,;,ZY ┊ (14)
равносильно соотношению
σϕψ ∈ ┊ US,;,ZX ┊ (15)
[3, гл. IV, § 2, п. 5]. ■
Определение 4. Пусть ( )S,X — ПН, Y — дискретное множество и ϕ
— отображение X в Y . Будем говорить, что КС )(XT∈T согласован с
ПН ( )S,X на выходе функции ϕ, если ϕ есть инфоморфизм пространства
( )S,X в пространство ( )T,Y . ■
Множество всех КС из )(YT , согласованных на выходе функции ϕ с
пространством ( )S,X , будем обозначать ),|( SXYϕT . Из определения ин-
фоморфизма следует, что соотношение
),|( ST XYϕT∈ (16)
равносильно следующему утверждению: T есть КС по множеству Y , и для
любой функции Yg +∈R имеет место неравенство
(g))( TS ≤ϕg . (17)
Система морфизмов для пространств неопределенности и ее применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 39
Теорема 3. Если существует КС по множеству Y , являющийся фи-
нальной структурой для ПН ( )S,X относительно функции YX →:ϕ , то он
единствен и является наименьшим элементом множества ),|( SXYϕT [3,
гл. IV, § 2, п. 5, критерий CST18]. ■
5. СПОСОБ ПОСТРОЕНИЯ ПРЯМОГО ОБРАЗА ПН
Фактически рассмотренный выше частный случай финальных структур по
терминологии Н. Бурбаки есть так называемый прямой образ данной струк-
туры при данном отображении [3, гл. IV, § 2, п. 6]. Аналогичную термино-
логию будем применять и мы. Так, если существует КС T по множеству Y ,
являющийся финальной структурой для ПН ( )S,X относительно функции
YX →:ϕ , то мы будем говорить о пространстве ( )T,Y (соответственно о
критерии T) как о прямом образе пространства ( )S,X (соответственно о
прямом образе критерия S ) относительно функции ϕ.
Первая задача, связанная с понятием прямого образа ПН, состоит, ко-
нечно, в доказательстве существования прямых образов. А затем уже возни-
кает задача их построения. Но доказательство существования значительно
облегчается, если имеется единственный претендент и его можно предъя-
вить. Из теоремы 3 следует, что таким единственным претендентом является
наименьший элемент множества ),|( SXYϕT (существование которого то-
же еще нужно доказать). Таким образом, наш план таков: сначала строим
некоторый КС Sϕ по множеству Y , а затем доказываем, что он является,
во-первых, наименьшим элементом множества ),|( SXYϕT и, во-вторых,
прямым образом критерия S относительно функции ϕ.
Пусть заданы: ПН ( )S,X , дискретное множество Y и функция ϕ, ото-
бражающая X в Y . Для каждой функции Yg +∈R зададим следующее чи-
словое множество:
{ }ϕϕ gfffXgR X
df ≤∈= + и:)(),|( RSS . (18)
Множество ),|( SXgRϕ состоит, таким образом, из всех чисел вида )( fS ,
где f — любая функция, удовлетворяющая требованию
)и( ϕgff X ≤∈ +R .
Лемма 2. Для каждой функции Yg +∈R множество ),|( SXgRϕ имеет
наибольший элемент (относительно обычного порядка в R ), причем имеет
место
)(),|(max ϕϕ gXgR SS = . ■ (19)
Доказательство. Из дефиниции (18) следует, что
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 40
),|()( SS XgRg ϕϕ ∈ . (20)
Кроме того, в силу монотонности критерия S для всякой функции Xf +∈R
соотношение ϕgf ≤ влечет соотношение
)()( ϕgf SS ≤ . (21)
Лемма доказана. ■
Пусть ϕ есть некоторое отображение X в Y и имеет место )(XT∈S .
Зададим на множестве Y
+R функционал
)( ϕϕ ggdf SS= ◊ Y
+R . (22)
Для любых функций Yhg +∈R, соотношение hg ≤ влечет в силу (22) соот-
ношение )()( hg SS ϕϕ ≤ . Так что функционал Sϕ является критерием свер-
тывания по Y , а пара ( )Sϕ,Y представляет собой пространство неопреде-
ленности.
Теорема 4. КС Sϕ обладает следующими свойствами:
1) для любой функции Yg +∈R имеет место равенство
))(()()( xggg
Xx
ϕϕϕ
∈
== SSS ; (23)
2) КС Sϕ согласован на выходе функции ϕ с ПН ( )S,X , т.е. удовле-
творяет условию
),|( SS XYϕϕ T∈ ; (24)
3) для любого КС ),|( ST XYϕT∈ имеет место неравенство
TS≤ϕ . ■ (25)
Доказательство. Первое утверждение теоремы непосредственно сле-
дует из дефиниции (22).
Равенство (23) влечет неравенство
)()( gg SS ϕϕ ≤ . (26)
Утверждение же, что неравенство (26) выполняется для всех Yg +∈R , со-
гласно определению множества ),|( SXYϕT , равносильно соотношению
(24). Это доказывает второе утверждение теоремы.
Докажем третье утверждение. Пусть заданы: КС ),|( ST XYϕT∈ и
функция Yg +∈R . Тогда (ввиду определения множества ),|( SXYϕT ) имеет
место неравенство
Система морфизмов для пространств неопределенности и ее применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 41
)()( gg TS ≤ϕ . (27)
А ввиду (23) и (27) получим )()( gg TS ≤ϕ . Третье утверждение доказано.
Теорема доказана. ■
6. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЯМЫХ ОБРАЗОВ ПН
Теорема 5. Множество ),|( SXYϕT имеет следующие свойства: 1) оно не-
пусто; 2) оно обладает наименьшим элементом относительно порядка, ин-
дуцированного на нем из множества )(YT ; 3) его наименьший элемент име-
ет вид
SS ϕϕ =),|(min XYT . ■ (28)
Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из соотноше-
ния (24). Второе и третье утверждения следуют из третьего утверждения
теоремы 4. Теорема доказана. ■
Теорема 6. КС Sϕ является финальной структурой на множестве Y
для ПН ( )S,X относительно функции ϕ (отображающей X в Y ). ■
Доказательство. Согласно определению 3 нужно доказать следующее.
Пусть задано ПН ( )T,Z и некоторая функция ψ, отображающая Y в Z. Тогда
для выполнения соотношения
σψ ∈ ┊ TS,;, ϕZY ┊ (29)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
σϕψ ∈ � TS,;,ZX �. (30)
Достаточность. Пусть выполняется (30). Тогда для каждой функции
Zh +∈R должно выполняться неравенство
)()( hh TS ≤ϕψ . (31)
Так как для каждой функции Yg +∈R имеет место равенство
)()( gg SS ϕϕ = , (32)
ввиду Yh +∈Rψ получим
)()( ψϕϕψ hh SS = . (33)
Из (31) и (33) для каждой функции Zh +∈R получим
)()( hh TS ≤ψϕ , (34)
что равносильно соотношению (29). Достаточность доказана.
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 42
Необходимость. Пусть выполняется соотношение (29). Тогда для ка-
ждой функции Zh +∈R должно выполняться неравенство (34), а в силу ра-
венства (33) должно выполняться и неравенство (31), что равносильно соот-
ношению (30). Необходимость доказана. Теорема доказана. ■
7. СЮРЪЕКТИВНЫЕ ОБРАЗЫ ПН. ФАКТОРПРОСТРАНСТВА
Критерий свертывания Sϕ , построенный в предыдущем разделе (где ϕ есть
отображение X в Y ), обладает следующим свойством: для всяких двух
функций Yhg +∈R, , совпадающих на области значений ϕVal функции ϕ,
имеет место равенство )()( hg SS ϕϕ = . Таким образом, если функция ϕ ото-
бражает X в Y не сюръективно (т.е. если Y≠ϕVal ), то КС Sϕ имеет не-
пустую область безразличия ϕVal\Y , состоящую из тех элементов y мно-
жества Y , для которых значение )(yg каждой функции Yg +∈R в точке y
не влияет на результат )(gSϕ применения функционала Sϕ к функции g.
Но теперь мы предположим, что функция ϕ отображает X на Y , т.е.
что отображение ϕ сюръективно. Это предположение будет действовать до
конца настоящей статьи. Таким образом, дальше сосредоточим наше внима-
ние на сюръективных образах пространства ( )S,X , которые будем называть
просто образами.
Важным частным случаем (сюръективного) образа пространства ( )S,X
является его факторпространство. Пусть задано некоторое разбиение X
множества X . Как известно, задание разбиения множества равносильно за-
данию на нем некоторого отношения эквивалентности. Для каждого Xx∈
существует единственное множество X∈Y , такое, что Yx∈ . Это множест-
во Y (класс в разбиении X , в который попал элемент x ) будем обозначать
X][x . Функцию
X][xxdf
=ξ ◊ X (35)
называют обычно каноническим отображением множества X на его раз-
биение X . Так как каноническое отображение ξ сюръективно отображает
X на его разбиение X , то можно построить образ ( )Sξ,X пространства
( )S,X при отображении ξ.
Определение 5. Образ ( )Sξ,X пространства неопределенности ( )S,X
при каноническом отображении ξ будем называть факторпространством
пространства ( )S,X (по отношению эквивалентности, соответствующему
разбиению X ). ■
Для любой функции X
+∈Rg имеем
)][()()()( X
X
xggYgg
XxY ∈
===
∈
SS SS ξξξ . (36)
Система морфизмов для пространств неопределенности и ее применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 43
8. ПРИМЕРЫ ФАКТОРПРОСТРАНСТВ ПН
Пусть задано ПН ( )S,X (описывающее некоторую ситуацию неопределен-
ности на множестве X ). Может случиться, что в множестве X мы не хотим
(или не умеем) отличать некоторые элементы Xx∈ от некоторых других
элементов Xy∈ . Тогда обычно можно выделить такие подмножества мно-
жества X , внутри которых элементы неразличимы. Если набор всех таких
подмножеств неразличимости образует некоторое разбиение X множества
X , то можно перейти к факторпространству ( )Sξ,X пространства ( )S,X ,
сняв тем самым проблему неразличимости. Рассмотрим примеры.
Пусть задано шенноновское ПН ( )pX ∑, [1, п. 2], где p — некоторое
РВ (распределение вероятностей) на множестве X . И пусть X — разбиение
множества X . Построим факторпространство ( )p∑ξ,X пространства
( )pX ∑, . Согласно соотношению (36) для любой функции X
+∈Rg получим
)][()()()( X
X
xggYgg
Xx
pp
Y
pp
∈
∑=∑=∑=∑
∈
ξξξ . (37)
А ввиду выражения (1) из работы [1] для любой функции Xf +∈R имеет место
)()()( xpxff
Xx
pp
Xx
∑
∈
=∑=∑
∈
⊙ )(xf (38)
(где ⊙ — операция, продолжающая на +R обычное умножение действи-
тельных чисел). Поэтому из (37) получаем
)()( xpg
Xx
p ∑
∈
=∑ξ ⊙ )()][( Ygxg
Y
∑
∈
=
X
X ⊙ )(xp
Yx
∑
∈
. (39)
Для РВ p можно построить факторраспределение следующего вида:
)(xpYp
Yx
df ∑
∈
=ξ ◊X . (40)
Тогда из (39) для каждой функции X
+∈Rg получим
)()( Ypg
Y
p ξξ ∑
∈
=∑
X
⊙ )()( gYg pξ∑= . (41)
Таким образом, как следует из (41), факторпространство ( )p∑ξ,X
шенноновского пространства ( )pX ∑, тоже представляет собой шеннонов-
ское пространство (характеризуемое факторраспределением pξ ). Оно имеет
вид ( )pξ∑,X .
Рассмотрим аналогичный пример для пространств Заде [1, п. 4]. Пусть
( )µSUP,X пространство Заде, где µ — функция принадлежности некоторо-
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 44
го нечеткого подмножества множества X (т.е. является отображением
множества X в единичный интервал [0, 1] множества действительных чи-
сел R). И пусть снова X — разбиение множества X . Построим факторпро-
странство ( )µξSUP,X пространства ( )µSUP,X . Согласно соотношению
(36) для любой функции X
+∈Rg получим
)][(SUP)(SUP)(SUP)(SUP X
X
xggYgg
XxY ∈
===
∈
µµµµ ξξξ . (42)
А ввиду выражения (6) из работы [1] для любой функции Xf +∈R имеет место
)(sup)(SUP)(SUP xxff
XxXx
µµµ
∈
==
∈
⊙ )(xf . (43)
Поэтому из (42) получим
)(sup)(SUP xg
Xx
µξ µ
∈
= ⊙ )(sup)][( Ygxg
Y X
X
∈
= ⊙ )(sup x
Yx
µ
∈
. (44)
Зададим теперь на множестве X следующую функцию:
)(sup xY
Yx
df µξµ
∈
= ◊X . (45)
Функция ξµ , как нетрудно видеть, представляет собой отображение множе-
ства X в тот же единичный интервал [0, 1] и может, следовательно, рас-
сматриваться как функция принадлежности некоторого (нечеткого) под-
множества множества X . Используя функцию ξµ, получим
)(sup)(SUP Yg
Y
ξµξ µ
X∈
= ⊙ )(SUP)( gYg µξ= . (46)
Таким образом, как следует из выражения (46), факторпространство
( )µξSUP,X пространства Заде ( )µSUP,X тоже представляет собой про-
странство Заде. Оно имеет вид ( )ξµSUP,X .
9. ПРОЕКЦИИ ДВУМЕРНЫХ ПН
Теперь рассмотрим еще один частный случай понятия образа ПН. Предпо-
ложим, что задано некоторое двумерное пространство неопределенности
вида ( )W,YX × (где W — критерий свертывания по произведению YX × ). И
рассмотрим два (сюръективных) канонических отображения множества
YX × соответственно на множество X и на множество Y . Эти два отобра-
жения имеют вид
xyx ),(pr1 = ◊ YX × , (47)
yyx ),(pr2 = ◊ YX × (48)
Система морфизмов для пространств неопределенности и ее применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 45
и называются первой и второй проекциями.
Используя общее понятие образа, можно построить образы двумерного
ПН ( )W,YX × относительно канонических сюръекций 1pr и 2pr . В резуль-
тате будут получены два новых пространства ( )W1pr,X и ( )W2pr,Y , где кри-
терии W1pr и W2pr строятся в соответствии с общей дефиницией (22).
Так, для первой проекции 1pr и для любой функции Xf +∈R получаем
===
∈
)pr()((pr)(pr 111 fxff
Xx
WWW
)()),(pr(
),(),(
1 xfyxf
YXyxYXyx ×∈×∈
== WW . (49)
Ввиду особой важности для аппарата пространств неопределенности опера-
ций проектирования мы выписали в (49) все возможные способы записи
значения )(pr1 fW . Аналогичные выражения получим для второй проекции
2pr . Если задана функция Yg +∈R , то имеем равенство
)()(pr
),(
2 ygg
YXyx ×∈
= WW
(50)
(которое можно пополнить всеми остальными вариантами записи, анало-
гичными показанным в (49)).
Определение 6. Пространства неопределенности ( )W1pr,X и ( )W2pr,Y
будем называть соответственно первой и второй проекциями пространст-
ва ( )W,YX × . ■
Ясно, что построенный выше аппарат проектирования двумерного ПН
( )W,YX × нетрудно было бы обобщить на случай многомерных (и даже бес-
конечномерных) пространств, но мы здесь этого делать не будем.
10. ПРИМЕРЫ ПРОЕКЦИЙ ПН
Построенный аппарат для проектирования двумерных ПН предоставляет
нам еще одну возможность убедиться в наличии той преемственности но-
вого аппарата, которая подразумевается нашим вторым требованием к аппа-
рату [1] . Применим общее понятие проекции к вероятностному типу не-
определенности.
В элементарной теории вероятностей известны способы преобразова-
ния многомерных (в частности — двумерных) распределений вероятностей
в одномерные распределения, называемые проекциями или маргинальными
распределениями. Пусть на произведении YX × двух множеств X и Y за-
дано распределение вероятностей π (которое в этом случае называется дву-
мерным распределением). Первой и второй проекциями двумерного рас-
пределения π называются соответственно следующие две функции:
Н.Н. Дидук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 46
),(pr1 yxx
Yy
ππ ∑
∈
= ◊ X , (51)
),(pr2 yxy
Xx
ππ ∑
∈
= ◊Y . (52)
В теории неопределенности двумерному распределению π соответству-
ет двумерное шенноновское пространство вида ( )π∑× ,YX , а одномерным
распределениям π1pr и π2pr соответствуют одномерные шенноновские
пространства ( )π1pr, ∑X и ( )π2pr, ∑Y . Применим к двумерному шеннонов-
скому пространству ( )π∑× ,YX операции проектирования, описанные вы-
ше. Для функций Xf +∈R и Yg +∈R получим
)()(pr
),(
1 xff
YXyx ×∈
∑=∑ ππ , (53)
)()(pr
),(
2 ygg
YXyx ×∈
∑=∑ ππ . (54)
Ввиду выражения (1) в работе [1] равенства (53) и (54) можно раскрыть
следующим образом:
),()(pr1 yxf
YyXx
ππ ∑∑
∈∈
=∑ ⊙ )(xf , (55)
),()(pr2 yxg
YyXx
ππ ∑∑
∈∈
=∑ ⊙ )(yg . (56)
На основании же выражений (55) и (56) легко понять, что имеют место со-
отношения
ππ 1pr1pr ∑=∑ , (57)
ππ 2pr2pr ∑=∑ , (58)
которые как раз и означают, что в преобразованиях проектирования дву-
мерных ПН тоже выполняется упомянутое выше требование преемственно-
сти нового аппарата.
В дальнейшем необходимо будет рассмотреть примеры применения
выражений (49) и (50) ко всем типам пространств неопределенности, кото-
рые могут иметь практическое применение. Один из таких примеров мы
рассмотрим сейчас: применим построенный аппарат проектирования к не-
четким множествам. Итак, пусть задано двумерное пространство Заде
( )µSUP,YX × , где µ — функция принадлежности некоторого нечеткого
подмножества множества YX × . Для каждой функции Xf +∈R ввиду соот-
ношения (49) получим
Система морфизмов для пространств неопределенности и ее применение
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 47
)(SUP)(SUPpr
),(
1 xff
YXyx ×∈
= µµ . (59)
А согласно выражению (6) из работы [1] , соотношение (59) можно рас-
шифровать следующим образом:
),(supsup)(SUPpr1 yxf
YyXx
µµ
∈∈
= ⊙ =)(xf
)(sup xf
Xx∈
= ⊙ ),(sup yx
Yy
µ
∈
. (60)
Введем теперь следующие две новые функции:
),(suppr1 yxx
Yy
df µµ
∈
= ◊ X , (61)
),(suppr2 yxy
Xx
df µµ
∈
= ◊Y . (62)
Функции µ1pr и µ2pr представляют собой, очевидно, отображения в еди-
ничный интервал [0, 1] соответственно множеств X и Y . Поэтому их
можно рассматривать как функции принадлежности некоторых нечетких
подмножеств соответственно множеств X и Y . Легко понять, что исполь-
зование функции µ1pr позволяет получить следующее соотношение:
µµ 1pr1 SUPSUPpr = . (63)
Таким образом, первая проекция ( )µSUPpr, 1X двумерного простран-
ства Заде ( )µSUP,YX × снова представляет собой пространство Заде, кото-
рое имеет вид ( )µ1prSUP,X и характеризуется функцией принадлежности
µ1pr . Аналогично строится и вторая проекция пространства ( )µSUP,YX × .
Она имеет вид ( )µ2prSUP,Y и характеризуется функцией принадлежности
µ2pr .
ЛИТЕРАТУРА
1. Дидук Н.Н. Пространства неопределенности и изоморфизм // Системні
дослідження та інформаційні технології. — 2002. — № 4. — С. 128–143.
2. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная ал-
гебра. — М.: Гос. изд. физ.-мат. лит-ры, 1962. — 516 с.
3. Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, 1965. — 456 с.
4. Гретцер Г. Общая теория решеток. — М.: Мир, 1982. — 454 с.
Поступила 18.07.2002
|
| id | journaliasakpiua-article-175065 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:56Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/ad/de0c35e858fd335abd59308d7ad8f4ad.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1750652019-08-07T15:26:01Z System of morphisms for uncertainty spaces and its application Система морфизмов для пространств неопределенности и ее применение Система морфізмів для просторів невизначеності та її застосування Diduk, N. N. A system of morphisms — the main instrument for further development of the uncertainty theory is built. It is immediately used for search of uncertainty spaces images by given functions. Factorspaces and projections are the most important particular cases of images. It is proved that such projections of two-dimensional uncertainty spaces in probability case are the Shannon uncertainty spaces which correspond common projections of two-dimensional probability distributions. It proves that the apparatus, which has been built, checks well with the probability theory apparatus. Строится основной инструмент для дальнейшего развития теории неопределенности — система морфизмов, — которая сразу же применяется для нахождения образов пространств неопределенности относительно заданных функций. Наиболее важными частными случаями образов являются факторпространства и проекции. Показано, что получаемые таким образом проекции двумерных пространств неопределенности в вероятностном случае представляют собой шенноновские пространства неопределенности, соответствующие обычным проекциям двумерных распределений вероятностей. Это доказывает согласованность построенного аппарата с аппаратом теории вероятностей. Будується основний інструмент для подальшого розвитку теорії невизначеності — система морфізмів, яка зразу ж застосовується до пошуку образів просторів невизначеності відносно заданої функції. Найважливішими окремими випадками образів є факторпростори та проекції. Доведено, що отримувані таким чином проекції двомірних просторів невизначеності в ймовірносному випадку являють собою шеннонівські простори невизначеності, які відповідають пересічним проекціям двомірних розподілів ймовірностей. Це доводить, що побудований апарат узгоджується з апаратом теорії ймовірностей. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-08-07 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175065 System research and information technologies; No. 1 (2003); 34-47 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2003); 34-47 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2003); 34-47 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175065/174994 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Diduk, N. N. Система морфізмів для просторів невизначеності та її застосування |
| title | Система морфізмів для просторів невизначеності та її застосування |
| title_alt | System of morphisms for uncertainty spaces and its application Система морфизмов для пространств неопределенности и ее применение |
| title_full | Система морфізмів для просторів невизначеності та її застосування |
| title_fullStr | Система морфізмів для просторів невизначеності та її застосування |
| title_full_unstemmed | Система морфізмів для просторів невизначеності та її застосування |
| title_short | Система морфізмів для просторів невизначеності та її застосування |
| title_sort | система морфізмів для просторів невизначеності та її застосування |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175065 |
| work_keys_str_mv | AT diduknn systemofmorphismsforuncertaintyspacesanditsapplication AT diduknn sistemamorfizmovdlâprostranstvneopredelennostiieeprimenenie AT diduknn sistemamorfízmívdlâprostorívneviznačenostítaíízastosuvannâ |