Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі
Some statistical hypotheses testing about the belonging of the observed discrete time sampling of any real process to Markov Gauss consequence are performed.
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175335 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1867334386289999872 |
|---|---|
| author | Andreev, N. V. |
| author_facet | Andreev, N. V. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "N. V. Andreev",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Andreev, N. V. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-08-07T15:26:01Z |
| description | Some statistical hypotheses testing about the belonging of the observed discrete time sampling of any real process to Markov Gauss consequence are performed. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:25:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
© М.В. Андрєєв, 2003
112 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1
TIДC
ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ ПРОБЛЕМИ
ІНТЕЛЕКТУАЛЬНИХ СИСТЕМ ПІДТРИМКИ
ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 519.24
ПРИКЛАДНИЙ СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ МАРКОВСЬКИХ
ГАУССОВИХ ПРОЦЕСІВ У ДИСКРЕТНОМУ ЧАСІ
М.В. АНДРЄЄВ
Здійснено перевірки низки статистичних гіпотез щодо приналежності спостере-
жуваної в дискретному часі випадкової вибіркової реалізації будь-якого реаль-
ного процесу до марковської гауссової послідовності.
У практиці аналізу різних явищ у природі та суспільстві (фізичних, економі-
чних, соціальних та інших) широке розповсюдження мають статистичні ме-
тоди, які ґрунтуються, головним чином, на фундаментальних результатах
теорії ймовірностей і випадкових процесів у неперервному часі. Однак такі
процеси в деякому сенсі лише математична абстракція, неадекватна реа-
льним процесам у дискретні моменти впродовж досить значного відрізку
часу. Так, для процесів, які описують динаміку ризикових екстремальних
ситуацій або ризикових процесів обміну валют на фінансовому ринку [1],
страхових ризиків у процесі страхової діяльності [2], характерним є те, що
зміна їх станів відбувається у дискретному часі. У зв’язку з цим постає на-
гальна задача розвинення статистичного апарату дослідження випадкових
процесів у дискретному часі або випадкових послідовностей, зокрема мар-
ковських гауссових.
У статті досліджується задача статистики марковської гауссової послі-
довності за відомою її реалізацією на фіксованому інтервалі часу [3]. Роз-
глядається низка статистичних гіпотез, перевірка яких дозволяє робити
висновки про можливості опису процесу конкретної природи за допомогою
моделі стаціонарного марковського гауссового процесу у дискретному часі.
Процеси такого роду широко застосовуються у різних сферах людської дія-
льності завдяки порівняно простому конструктивному визначенню.
Як відомо, дійсний випадковий процес )(tX є стаціонарним, якщо гус-
тина його скінченномірного розподілу не змінюється за будь-якого зсуву
впродовж осі часу, тобто для любих n і τ
),...,(),...,( 1,...,1,..., 111 nttntt xxfxxf
nn ττ ++= , (1)
де nixi ,...,1, = — стан процесу відповідно у it та ( τ+it ) моменти часу.
З цього визначення з легкістю можна отримати основні властивості ха-
рактеристик стаціонарних процесів: математичне сподівання )(tMX та дис-
Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 113
персія )(tDX не залежать від часу, тобто постійні, а кореляційна функція
),( 21 ttRX залежить від різниці моментів часу 12 tt − , в яких розглядаються
значення
1tX та
2tX випадкового процесу )(tX .
СТАТИСТИКА ГАУССОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ
Випадковий процес )(tX називають гауссовим, якщо всі його скінченномірні
ймовірносні розподіли є гауссовими або нормальними, тобто для будь-
якого n
ki
kkii
n
i
n
k
ik
n
mxmxR
R
n
ntt e
R
xxf σσ
σσπ
)()(
2
1
1
1,...,
1 1
1 ...2
1),...,(
−−
− ∑ ∑
= == , (2)
де )(),( 2
kkkk tDXtMXm == σ ,
nnn
n
rr
rr
R
...
...........
...
1
111
= ;
kir — коефіцієнт кореляції дійсних випадкових величин )(),( ki tXtX ;
ikR — алгебраїчне доповнення елемента ikr у визначнику R , побудованого
за кореляційною функцією )(tRX , яку в дискретному часі можна отримати
за допомогою оберненого перетворення Фур’є спектральної густини дійсно-
го нормального процесу [4]
∫
−
Γ=
π
π
dffetR XX
tfi
X )()( , (3)
де )( fXXΓ — спектральна густина потужності процесу )(tX (інтеграл по
нескінченному інтервалу замінено інтегралом по відрізку довжини π2 ).
Отже, для визначення густини функції скінченномірного розподілу
будь-якого порядку для гауссового випадкового процесу достатньо знати його
математичне сподівання та кореляційну функцію, оцінки яких у часовій облас-
ті можна отримати таким чином.
Експериментальні дані, які використовують для визначення ймовірнос-
них характеристик оцінок процесу, отримують за допомогою лабораторного
експрес-аналізу в моменти часу nsts ,...,2,1, = . Оскільки це пов'язано із
значними затратами часу, то ймовірносні характеристики гауссового проце-
су можуть бути отримані за одною лише його вибірковою реалізацією. У
цьому випадку природно припустити, що процес ергодичний, тобто для ви-
значення оцінок числових характеристик його скінченномірного розподілу
користуються усередненням в часі їх вибіркових значень.
Для дійсного гауссового стаціонарного процесу умова
0)(lim
||
=
∞→
τ
τ
XR (4)
М.В. Андрєєв
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 114
є достатньою для того, щоб визначити секвенціальні та асимптотично не-
зміщені оцінки математичного сподівання та кореляційної функції за одною
його вибірковою реалізацією.
Якщо інтервал часу ),0( T , на якому спостерігається вибіркова реаліза-
ція )(tx процесу )(tX , розбити на N інтервалів довжини ∆=∆ nT, та вве-
сти позначення
,...,2,1,...,2,1, ===∆= ντsss (5)
то оцінки математичного сподівання Xm та кореляційної функції )(tRX
процесу )(tX можна визначити за формулами
∑
=
=
n
s
sx x
n
m
1
1 , (6)
∑
−
=
+
−−
=
νn
s
vssx xx
vn
vR
1
oo
1
1)( , (7)
де )( ∆= sxxs ; sss mxx −=
0
; xvs mvsxx −∆+=+ ])[(
0
.
При визначенні xm і )(vRx за формулами відповідно (6) та (7) виникає пи-
тання про те, який інтервал дискретності може бути прийнятий без істотно-
го зменшення точності отриманих оцінок. Зазвичай середній інтервал
дискретності гауссового стаціонарного процесу )(tX визначають за фор-
мулою
)](21[2 zz
e
Φ−
=∆
λ
π , (8)
де )(zΦ — функція Гаусса–Лапласа;
x
xx
z
σ
minmax −
= ;
minmax , xx — границі смуги, якій належить вибіркова реалізація )(tx про-
цесу )(tX ; xσ — його середньоквадратичне відхилення;
0)( =′′= tx tRλ . (9)
Після визначення достатньої кількості точок, які належать вибірковій
кореляційній функції )(tRx та побудови її графіка, необхідно апроксимува-
ти цю функцію простим аналітичним виразом, зручним для подальшого до-
слідження. Невідомі коефіцієнти в апроксимаційному виразі визначаються
за декількома найбільш характерними точками кривої )(tRx . Оскільки точ-
ність оцінки )(tRx , як правило, падає з ростом t , то в якості таких характе-
рних точок не беруться точки, розміщені порівняно далеко від початку
координат. Відтак перевіряється умова (4) спадання вибіркової кореляційної
Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 115
функції )(tRx до нуля, що дозволяє на емпіричному рівні переконатися в
ергодичності процесу )(tX .
СТАТИСТИКА МАРКОВСЬКИХ ГАУССОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ
Перейдемо до перевірки властивості марковості процесу )(tX . За визначенням
марковський процес )(tX задовольняє таку умову: якщо в момент часу 1t
відоме значення процесу )( 1tx , то будь-який ймовірносний прогноз щодо
процесу в майбутньому не залежить від того, як він протікав до моменту 1t ,
тобто майбутнє не залежить від минулого, коли нам відоме теперішнє. Для
марковських процесів у дискретному часі його скінченномірні ймовірносні
розподіли будь-якого порядку визначаються умовними перехідними ймо-
вірностями за один крок, так що густина n-мірного його розподілу
),...,( 1 nxxf у символьному вигляді визначається як
)(,...,)()(),...,( 11211 −= nnn xxpxxpxpxxf , (10)
де )( 1−ii xxp — задана умовна ймовірність переходу 1−ix у ix , ni ,...,1= за
один крок, а )( 1xp — задана ймовірність 1x -го стану.
Розглянемо статистичну задачу про приналежність спостереженої вибі-
ркової реалізації гауссового стаціонарного процесу марковському процесу.
Нехай на інтервалі часу ),0( T спостерігається реалізація )(tx деякого ста-
ціонарного гауссового процесу )(tX , ...,2,1,0=t із фазовим простором X .
Необхідно винести рішення про прийняття однієї з гіпотез.
• 1
0H : випадковий процес )(tX є марковським процесом.
• 1
1H : )(tX таким не являється.
За гіпотезою 1
0H процес має таку властивість: коли відомо, що itX =)(
( ntXi ,...,2,1, =∈ ), то випадкові величини )1( −tX та )1( +tX є незалежні
(позначимо їх для простоти відповідно 1
iX та 2
iX ). Прості гіпотези 1
iH ,
1,0=i є неповними щодо перевірки властивості марковості процесу )(tX .
Повна перевірка цієї властивості полягає у встановленні незалежності у да-
ному випадку двох сімейств випадкових величин )1(,...),1(),0( −tXXX та
)(,...),2(),1( TXtXtX ++ .
Обмежимось найпростішим випадком, з якого, одначе, стає ясною ме-
тодика збору статистичного матеріалу щодо перевірки складних гіпотез про
незалежність сімейств випадкових величин. Зведемо цю задачу до більш
простих задач, застосовуючи метод декомпозиції.
Для перевірки незалежності випадкових величин 2,1, =jX j
i введемо
дискретний фазовий простір I шляхом дискретизації неперервного фазового
М.В. Андрєєв
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 116
простору X . При цьому правило про прийняття гіпотез 2
1
2
0 , HH щодо мар-
ковості або немарковості )(tX можна сформулювати таким чином.
• 12
0 : iXH та 2
iX незалежні для всіх Ii∈ .
• 12
1 : iXH та 2
iX залежні хоча б при одному Ii∈ .
В силу стаціонарності процесу )(tX емпіричні розподіли величин 1
iX
та 2
iX , Ii∈ будуємо за частотою появи у вибірковій реалізації )(tx процеса
)(tX значень, які спостерігаються та безпосередньо передують стану i , а
також слідують за ним.
Емпіричний розподіл j
iX має вигляд
.,...,,:частоти
,,...,,:варіанти
21
21
j
s
jjj
i
j
s
jjj
i
nnnn
xxxx
(11)
Переходимо до перевірки гіпотез щодо гауссовості або нормальності
розподілів j
iX .
• iXH :3
0 розподілена за нормальним законом.
• iXH :3
1 розподілена за ненормальним законом.
Для перевірки гіпотези 3
0H за заданим рівнем значущості скористає-
мось критерієм погодження К.Пірсона, в якому поряд з емпіричними мають
бути обчислені і теоретичні частоти n′ . За припущенням, що справедлива
гіпотеза 3
0H , обчислимо теоретичні частоти у такий спосіб.
1. Весь інтервал спостережень X поділимо на s часткових інтервалів
( 1, +ii xx ) однакової довжини. Знайдемо середини часткових інтервалів
2
1* ++
= ii
i
xx
x і в якості частоти in варіанти *
ix приймемо число варіант, які
попали в i -й інтервал. В результаті отримаємо послідовність рівновіддале-
них варіант і відповідних їм частот.
.1
,...
,...
1
21
**
2
*
1
=∑
=
s
l
l
s
s
n
nnn
xxx
(12)
2. Обчислимо, наприклад, методом добутків, вибіркову середню *x та
вибіркове середньоквадратичне відхилення *σ .
3. Пронормуємо випадкову величину і обчислимо кінці інтервалів
( 1, +ii zz ).
*
*
1
1*
*
,
σσ
xx
z
xx
z i
i
i
i
−
=
−
= +
+ ,
Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 117
причому найменше значення z , тобто 1z , покладемо рівним ∞− , а найбі-
льше, тобто sz , — рівним ∞ .
4. Обчислимо теоретичні ймовірності iP попадання X в інтервали
( 1, +ii xx ) за рівністю )()( 1 iii zzP Φ−Φ= + , де dzez
z u
∫=Φ
0
2
2
2
1)(
π
— функ-
ція Гаусса–Лапласа, та , нарешті, знайдемо шукані теоретичні частоти
ii nPn =′ .
Після обчислення теоретичних частот обчислимо спостережуване зна-
чення критерію
( ) ∑
′
′−
=
i
j
i
j
i
j
ij
n
nn
)(
)(2
спостχ , (13)
а за таблицею критичних точок розподілу 2χ на даному рівні значущості α
та числі ступенів вільності 3−= sk знайдемо критичну точку ),(2
кр kαχ .
Якщо ( ) ( ) jj 2
кр
2
спост χχ < , то гіпотезу 3
0H приймають. Зазначимо, що об’єм
виборки має бути досить великим, принаймні, не меншим 50.
Отже, у випадку прийняття гіпотези 3
0H випадкові величини j
iX ,
2,1=j розподілені за нормальним законом і, згідно теореми Крамера, для
обгрунтування їх незалежності досить переконатись у рівності їх математи-
чних сподівань та дисперсій. Для порівняння числових характеристик роз-
поділів величин 2,1, =jX j
i користуються їх емпіричними функціями
розподілу.
Для порівняння дисперсій величин j
iX знайдемо виправлені вибіркові
дисперсії 2
1
ix
S та 2
2
ix
S . За виправленими дисперсіями на заданому рівні зна-
чущості α перевіримо гіпотези
• ( ) ( )214
0 : ii XDXDH = ,
• ( ) ( )214
1 : ii XDXDH ≠ .
В якості критерію перевірки нульової гіпотези 4
0H приймемо відношення
більшої виправленої дисперсії до меншої — критерій Фішера 2
2
м
Б
S
S
F = .
Статистика F за умови справедливості нульової гіпотези має розподіл
Фішера-Снедекора із ступенями вільності 121 −== skk . Цей розподіл за-
лежить тільки від числа ступенів вільності.
Побудуємо двосторонню критичну область, виходячи з того, що ймові-
рність попадання критерію в цю область за припущенням справедливості
гіпотези 0H має бути рівною прийнятому рівню значущості α . Виявляєть-
ся, що найбільша потужність (ймовірність попадання критерію в критичну
М.В. Андрєєв
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 118
область за справедливості альтернативної гіпотези 4
1H ) досягається тоді,
коли ймовірність попадання критерію в кожний із двох інтервалів критичної
області дорівнює
2
α . Відтак, за таблицею критичних точок розподілу Фіше-
ра-Снедекора, на рівні значущості
2
α і числі ступенів вільності
121 −== skk знайдемо критичну точку ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −− 2,1,
2кр ssF α .
Якщо j
кр
j
спост FF < , то немає жодних підстав відхиляти нульову гіпотезу
4
0H .
При порівнянні математичних сподівань величин ,2,1, =jX j
i диспер-
сії яких однакові і невідомі, користуються критерієм Стьюдента з
)1(2 −= nk ступенями вільності.
Для того аби за заданим рівнем значущості α перевірити гіпотезу
• 215
0 : ii XMXMH =
за альтернативної гіпотези
• 215
1 : ii XMXMH ≠ ,
обчислимо спостережуване значення критерію
)1(
)1( 22
21
спост
21
−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −−
−
= nn
SSn
xx
T
ii xx
ii , (14)
де 2,1,, =iSx jx
j
i — вибіркові математичні сподівання та дисперсії вели-
чин 2,1, =ix j
i . За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента, на за-
даному рівні значущості та числі ступенів вільності )1(2 −= nυ знаходимо
критичну точку ),(кр kt α . Якщо ),(крспост ktT α< , то відхиляти нульову гі-
потезу немає рації.
Якщо стаціонарний процес )(tX — гауссовий і одночасно марковсь-
кий, то його визначальною характеристикою являється умовна густина ймо-
вірності переходу за один крок
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∆
+
∆
+ 2
1
1
2
exp
2
1
σ
β
πσ
nn
nn
xxxxP , (15)
де 2
∆σ — дисперсія умовного розподілу; xnn mxx −= . Величина β дорів-
нює значенню нормованої кореляційної функції
2
)(
)(
k
x
x
R
r
σ
τ
τ = за 1=τ .
Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 119
ВИСНОВКИ
Означимо можливий напрям застосувань марковського гауссового процесу з
незалежними приростами у дискретному часі як математичної моделі ризи-
кового процесу ціноутворення цінних паперів, зокрема, котирування акцій
на фондовому ринку. Простота цієї моделі пояснюється порівняно простим
застосуванням центральної граничної теореми до реального випадкового
процесу котирування акцій як випадкового процесу з незалежними норма-
льними приростами, для якого стан процесу в будь-який момент часу
визначається сумою незалежних приростів процесу до цього моменту
часу. Відтак з незначними труднощами обгрунтовується нормальність
розподілів відповідних статистик або критеріїв перевірки гіпотез щодо при-
належності конкретної вибіркової реалізації цін акцій на фондовому ринку
до марковської гауссової послідовності.
Задача адаптивного, або дуального, керування (одночасного оцінюван-
ня невідомих станів і параметрів та вибору оптимальних рішень) керовани-
ми марковськими гауссовими послідовностями в умовах неповної
інформації розглянута в роботі [5]. При цьому марковська гауссова послідо-
вність, яка задається сім’єю перехідних ймовірностей (15), є математичною
моделлю одного технологічного процесу масообміну в хімічній промисловості.
Очевидно, що сім’єю перехідних ймовірностей (15) описується процес
автокореляції першого порядку, який широко застосовується в технічній,
економічній, фінансовій, страховій, соціальній та інших сферах людської
діяльності. Спектр цікавих застосувань процесу автокореляції першого по-
рядку продемонстровано в роботі [6], більшість з яких стосується дослі-
джень в області біології, зокрема, в генетиці, де розглянуто проблеми
механізму спадковості : успадкування дітьми ознак та властивостей, які при-
таманні їхнім батькам, тощо.
Марковські гауссові послідовності, які задаються сім’єю перехідних
ймовірностей (15), можуть бути використані як математичні моделі процесів
суспільного розвитку за умови, що у стані моделі, який характеризує рівень
суспільного розвитку, враховується набутий досвід або стратегія, завдяки
яким цей рівень досягнуто. Тим самим доходимо висновку, що математич-
ними моделями процесів суспільного розвитку можуть бути керовані мар-
ковські гауссові послідовності, стратегія керування якими має набутий
соціальний досвід.
ЛІТЕРАТУРА
1. Андреев Н.В. Управление риском обмена валют // Вісник АПСВ. Україна: по-
ступ у майбутнє. Спецвипуск до 290-річчя прийняття конституції Пилипа
Орлика. — 2000. — С. 88–92.
2. Андрєєв М.В. Деякі аспекти оптимізації страхової діяльності // Вісник АПСВ.
Україна: шляхами віків. Матеріали конференції, присвяченої 175-річчю з
дня народження Георгія Андрузького. Ч. № 2. — 2002. — С. 79–81.
3. Андреев Н.В., Караченец Д.В., Ткаченко Л.Н. К статистике гауссовских мар-
ковских последовательностей // Адаптивные системы управления. — Киев:
ИК АН УССР , 1975. — C. 23–31.
М.В. Андрєєв
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 120
4. Андрєєв М.В. Прикладний статистичний аналіз високочастотних випадкових
процесів у дискретному часі // Системні дослідження та інформаційні тех-
нології. — 2002. — № 4. — С. 61–79.
5. Караченец Д.В., Андреев Н.В., Массальский Г.Э. Массообменный процесс как
управляемый случайный процесс // Управляемые случайные процессы и
системы. — Киев : ИК АН УССР, 1973. — C. 158–175.
6. Бартлетт М.В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: ИЛ, 1958. —
384 с.
Надійшла 12.11.2002
|
| id | journaliasakpiua-article-175335 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:25:59Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/ce/fafedf134399fec4b6ec7c5960d862ce.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1753352019-08-07T15:26:01Z Applied statistical analysis of Markov Gauss processes in discrete time Прикладной статистический анализ марковских гауссовых процессов в дискретном времени Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі Andreev, N. V. Some statistical hypotheses testing about the belonging of the observed discrete time sampling of any real process to Markov Gauss consequence are performed. Осуществлены проверки ряда статистических гипотез о принадлежности наблюдаемой в дискретном времени выборочной реализации любого реального процесса марковской гауссовой последовательности. Здійснено перевірки низки статистичних гіпотез щодо приналежності спостережуваної в дискретному часі випадкової вибіркової реалізації будь-якого реального процесу до марковської гауссової послідовності. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-08-07 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175335 System research and information technologies; No. 1 (2003); 112-120 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2003); 112-120 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2003); 112-120 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175335/175267 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Andreev, N. V. Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі |
| title | Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі |
| title_alt | Applied statistical analysis of Markov Gauss processes in discrete time Прикладной статистический анализ марковских гауссовых процессов в дискретном времени |
| title_full | Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі |
| title_fullStr | Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі |
| title_full_unstemmed | Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі |
| title_short | Прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі |
| title_sort | прикладний статистичний аналіз марковських гауссових процесів у дискретному часі |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175335 |
| work_keys_str_mv | AT andreevnv appliedstatisticalanalysisofmarkovgaussprocessesindiscretetime AT andreevnv prikladnojstatističeskijanalizmarkovskihgaussovyhprocessovvdiskretnomvremeni AT andreevnv prikladnijstatističnijanalízmarkovsʹkihgaussovihprocesívudiskretnomučasí |