Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів та з різними типами поведінки споживачів

The equilibrium model of Walrassian type is applied to a description of a reaction of an economy system on an influence of selected factors. The research involves an adaptation of an equilibrium problem in case of an economy with different behaviours of consumers to use simpler solving methods that...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2019
Main Author:	Makhort, Andrii P.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019
Subjects:	рівновага попит пропозиція оподаткування монополісти ціноутворення
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175553
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1867334388242448384
author	Makhort, Andrii P.
author_facet	Makhort, Andrii P.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Andrii P. Makhort", "institution": "Лабораторія математичного моделювання відділу синергетики Інституту теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, Київ" } ]
author_sort	Makhort, Andrii P.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-08-27T22:12:50Z
description	The equilibrium model of Walrassian type is applied to a description of a reaction of an economy system on an influence of selected factors. The research involves an adaptation of an equilibrium problem in case of an economy with different behaviours of consumers to use simpler solving methods that correspond to the case of exclusively insatiable consumers in the economy. An application of iterative methods for solving the economy equilibrium problem is justified. The conditions on the specified model characteristics that lead to a convergence of the iterative methods are presented. The proposed algorithm that determines the equilibrium characteristics allows to determine the conditions for reaching equilibrium states with specified properties.
doi_str_mv	10.20535/SRIT.2308-8893.2019.2.06
first_indexed	2025-07-17T10:26:05Z
format	Article
fulltext	 А.П. Махорт, 2019 Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 65 УДК 519.86 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.2.06 АЛГОРИТМИ ВИЗНАЧЕННЯ СТАНІВ РІВНОВАГИ ЕКОНОМІЧНОЇ СИСТЕМИ ЗА НАЯВНОСТІ МОНОПОЛІСТІВ ТА З РІЗНИМИ ТИПАМИ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ А.П. МАХОРТ Анотація. Застосовано модель рівноваги вальрасового типу до опису реагу- вання економічної системи на впливи вибраних чинників. Дослідження поля- гає в адаптації задачі про економічну рівновагу у випадку економічної системи з різними типами поведінки споживачів до використання більш простих мето- дів розв’язування, які стосуються задачі з лише ненасичуваними споживачами. Обґрунтовано можливість застосування ітераційних методів до розв’язування задачі про економічну рівновагу. Указано умови на задані характеристики мо- делі, які забезпечуватимуть збіжність ітераційних методів. Наведено алгоритм знаходження рівноважних характеристик, який дозволяє з’ясувати умови вста- новлення станів рівноваги з вибраними властивостями. Ключові слова: рівновага, попит, пропозиція, оподаткування, монополісти, ціноутворення. ВСТУП Поведінку економічних систем аналізують за значеннями їх характеристик. Однією з основних характеристик, яку використовують в описі економічних систем, є ціна. Ціна будь-якого товару в економічній системі формується в результаті досягнення згоди між тим, хто його потребує, та тим, хто його має. Інакше кажучи, встановлюється рівновага попиту і пропозиції товарів. На підставі використання моделей рівноваги є можливість отримати інфор- мацію про дію на стан економічної системи різних чинників, яка допоможе оцінити сценарії майбутнього. Моделі рівноваги дають змогу виявляти при- чини виникнення негативних процесів в економічних системах [1,2]. Ті мо- делі, у яких безпосередньо конструюються вирази для попиту і пропозиції [1], виглядають більш ілюстративними, коли йдеться про з’ясування причин і наслідків появи дисбалансів. Причини розвитку несприятливих процесів є різними. Наприклад, мо- нопольні явища — це завжди потенційний чинник дестабілізації. Наявність споживачів з різними типами стратегій поведінки в економічній системі та- кож може створювати додаткові ризики [3]. Мета дослідження — порівняння і встановлення аналогії в описі рів- новаги економічної системи зі споживачами, які дотримуються подібних стратегій поведінки, та у випадку, коли ці стратегії різних типів. Ураховува- тиметься і наявність монополістів в економічній системі. Алгоритм визна- чення характеристик станів рівноваги економічної системи має включати контроль за якістю станів рівноваги і надавати можливість вибирати стани рівноваги із заданими властивостями. А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 66 МОДЕЛЬ ЕКОНОМІКИ І РІВНЯННЯ РІВНОВАГИ. ВИПАДОК НЕНАСИЧУВАНИХ СПОЖИВАЧІВ Нехай досліджувана економічна система складається з l суб’єктів, кожен з яких є споживачем товарів (послуги також є товаром). Спочатку вважати- мемо, що всі споживачі дотримуються схожої стратегії поведінки, яка поля- гатиме у прагненні повністю витратити отриманий прибуток на придбання нових товарів (ненасичувані споживачі). Нехай в економічній системі різно- видів товарів є n . Частина з l споживачів є водночас і виробниками, вони виготовляють на продаж один з n можливих типів товарів, щоб мати змогу здобути заплановані витрати на споживання. Решта nl  споживачів отри- мують фінансові надходження із зовнішніх джерел. Засобом їх утворення є перерозподіл капіталу, сформований в результаті оподаткування. Для опису економічної системи використаємо модель економіки з по- стійними інтересами споживачів [1]. Тоді структуру виробництва в економіч- ній системі задаватимемо технологічною матрицею у натуральних показни- ках вигляду n jkjkjkj xba 1,   зі складовою постійних витрат n jkkjb 1,  та вектором обсягів випуску товарів n iix 1}{  . Вважатимемо, що серед виробни- ків є і tn  монополістів. За такого вибору виробничих технологій та за обсягів імпорту товарів n iii 1}{  і експорту товарів за межі економічної систе- ми n iie 1}{  пропозиція товарів на ринку складатиме ,,1, 11 nkiebxax kk n i ki n i ikikk    (1) а чистий (або оподаткований) прибуток, що його зможуть отримати суб’єкти економічної системи в результаті реалізації на ринку своєї продук- ції, подаватиметься виразом ,,1,)( 11 njpbpapxpD n k kkjj n k kkjjjjj          (2) де n iipp 1}{  — вектор цін товарів. Вектор n ii 1}{  вказує рівні оподат- кування суб’єктів економічної системи. Структуру споживання в економічній системі визначатимуть елементи матриці попиту ln jkkjcC , 1,1   . Характеристика s n s sj pc 1 задаватиме вартість набору товарів, якими цікавиться j -й споживач, відповідно витрати (або ж величина прибутку, що йде на витрати) суб’єктів економічної системи пода- ватимуться формулою .,1,)( ~ 1 ljpcypD s n s sjjj    (3) У стані економічної рівноваги має бути баланс прибутків і витрат. Век- тор ступенів задоволення потреб споживачів l iiyy 1}{  вказуватиме, якою Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 67 мірою рівень отриманого прибутку дозволятиме здійснити заплановані ви- трати, тому компоненти цього вектора належатимуть інтервалу ]1,0( . Отже, для тих індексів, що нумерують виробників величини n jj pD 1)}( ~ {  у виразах (2) (3) повинні збігатися. А щодо величин l njj pD 1)}( ~ {  , то вони набувати- муть значень відповідно до перерозподілу прибутків, сформованому опода- ткуванням: .)()1()( ~ 11    n j jj l nj j pDpD За елементами матриці C формуватиметься і попит )( pik кожного i - го ненасичуваного споживача на k -й товар: .,1,,1,)( 1 nkli pc pc p n s ssi kki ik    (4) Економічна рівновага означає, що пропозиція перевищує попит на то- вари в економічній системі. Попит на k -й товар в економічній системі утворюється з попиту окремих споживачів і величини їх прибутку: .,1,)( ~ )( 1 1 nkpDp p l i iik k k    (5) Якщо брати до уваги лише ті стани рівноваги, які забезпечуватимуть прибуткове виробництво суб’єктам економічної системи, то умову економі- чної рівноваги достатньо звузити до рівності попиту і пропозиції [1]. Із ви- разів (1), (5) і (3) випливатиме .,1, 111 nkiebxaxyc kk n i ki n i ikik l j jkj    (6) А на підставі виразів (2) і (3) отримаємо баланс прибутків і витрат: .,1, 111 njpcypbpapx s n s sjjk n k kjjk n k kjjjj          (7) Рівняння рівноваги (6), (7) розв’язуватимемо відносно змінних t iip 1}{  , l iiy 1}{  , n tiix 1}{  і n tii 1}{  за решти заданих економічних характеристик. Їх розв’язки описуватимуть можливі рівноважні стани економічної системи з прибутковим виробництвом. Монополісти мають змогу впливати на рівень цін своїх товарів ),,( 00 1 nt pp  і можуть спричиняти негативний ефект на інших суб’єктів економічної системи і зменшувати їх спроможність забез- печувати належний рівень споживання. Рівні оподаткування n tii 1}{  будуть важелем впливу на монополістів, а рівні задоволення потреб суб’єктів еко- номічної системи l iiy 1}{  вказуватимуть на якість станів рівноваги. Якість визначатиметься спроможністю задовольнити свої потреби не нижче за пев- ний встановлений рівень для кожного суб’єкта економічної системи. А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 68 ЕКОНОМІЧНА СИСТЕМА З РІЗНИМИ ТИПАМИ СТРАТЕГІЇ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ У попередньому підрозділі розглядався випадок, коли всі споживачі в еко- номічній системі дотримувалися схожої стратегії поведінки. Зміна у виборі стратегії поведінки споживачів пов’язана насамперед з плануванням витра- чати весь свій прибуток на придбання нових товарів (ненасичуваний спожи- вач), або ж лише його частину. У випадку наявності різних стратегій поведі- нки споживачів зміниться і їх опис. Як і раніше всіх споживачів характеризуватимемо системою векторів ,,1,}{ 1 ljc n kkj  що утворює мат- рицю попиту ln jkkjcC , 1,1   . Кожен вектор з цієї системи (або ж стовпець матриці) задає максимальний набір товарів, бажаний для відповідного спо- живача. Якщо споживач відмовляється від наміру витратити весь свій при- буток на придбання нових товарів, він має переоцінити свій споживчий на- бір, який в цьому випадку задаватиметься системою векторів n kkjc 1}ˆ{  , lj ,1 , або ж, відповідно, матрицею ln jkkjcC , 1,1 ˆˆ   . Ненасичувані споживачі переоцінку не робитимуть, тому для них елементи матриць C і Ĉ збігати- муться. Загалом же стосовно елементів матриць C і Ĉ виконуватиметься умова .,1,1,ˆ ljnkcc kjkj  Оподаткований прибуток кожного споживача в економічній системі, як і раніше, можна записати у вигляді формули (3). Але на відміну від виразу (4) вектори попиту  n kiki 1 кожного окремого i -го суб’єкта економіч- ної системи залежатимуть тепер від елементів матриць C і Ĉ . Їх компонен- ти ik вказують на частку вартості, необхідної для придбання k -го товару, відносно вартості всього бажаного набору товарів, тому .,1,,1, ˆ )( 1 nkli pc pc p n s ssi kki ik    Справедливі нерівності ,,1,1)( 1 lip n k ik   (8) які не дозволяють умову рівноваги автоматично звузити до рівності попиту і пропозиції товарів в економічній системі для визначення станів рівноваги з прибутковим виробництвом. Пропозиція має перевищувати попит і знахо- дження рівноважних станів економічної системі полягатиме у розв’язанні системи нелінійних нерівностей .,1)( ~ )( 1 1 nkpDp p k l i iik k   (9) Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 69 Але цю задачу все ж можна звести до розв’язування системи рівнянь [1], якщо замість векторів попиту споживачів lii ,1,  , увести ефективні век- тори ,}{ 1 ** n kiki  ,,1 li  компоненти яких задовольнятимуть рівності .,1,1)( 1 * lip n k ik   Теорема 1. Нехай для векторів попиту споживачів виконуються нерівності .,1,1)( 1 lip n k ik   Вектор t iip 1}{  , який задовольнятиме умову економічної рівноваги (9) і забезпечуватиме прибутковість усіх суб’єктів економічної системи, є розв’язком системи рівнянь ,,1,)( ~ )( 1 1 * nkpDp p k l i iik k   (10) а компоненти векторів попиту lii ,1,*  , вибираються у вигляді .,1,,1, ˆ ˆ )( )( )( 11 * nkli pc pc p p p n s ssi kki n s is ik ik       Доведення. Нехай рівняння (10) розв’язне. Тоді, на підставі умови (9), для його довільно вибраного додатного розв’язку має виконуватись ,,1,)( ~ )()( ~ )( 1 * 1 nkpDppDp l i iik l i iik    або .,1)( ~ )( )( )( ~ )( )( )( 1 1 1 1 1 nkpD p p pD p p p l i in s is ik l i in s is n s is ik                  Очевидно, що за додатних цін t iip 1}{  і у випадку прибуткової діяльно- сті всіх суб’єктів економічної системи lipDi ,1,0)( ~  , ця вимога задовольнятиметься внаслідок справедливості нерівності (8): .,10)(1)( ~ )( )( 11 1 nkppD p p n s is l i in s is ik              Теорему доведено. А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 70 Отже, замість системи нерівностей (9) для знаходження станів рівнова- ги, у яких виробництво суб’єктів економічної системи прибуткове, достат- ньо розв’язати систему нелінійних рівнянь: ,,1, ˆ ˆ 111 1 1 nkiebxaxy pc pc c kk n i ki n i ikik l j jn m mmj n s ssj kj        (11) ,,1, 111 njpcypbpapx s n s sjjk n k kjjk n k kjjjj          (12) відносно невідомих t iip 1}{  , n tiix 1}{  , l iiy 1}{  і n tii 1}{  . Якщо ввести змінні ,,1, ˆ ˆ 1 1 ljy pc pc y jn m mmj n s ssj j      то рівняння (11), (12) набудуть вигляду (6), (7), де замість елементів матриці C міститимуться елементи матриці Ĉ , а замість ступенів задоволення по- треб споживачів l iiy 1}{  — величини l iiy 1}ˆ{  . Отже, задача рівноваги зво- диться до випадку ненасичуваних споживачів, що дає змогу використати всі напрацьовані алгоритми знаходження невідомих. Зробимо кілька зауважень стосовно розв’язування задачі рівноваги. За структурою рівняння (6), (7) мають більш простий вигляд, ніж рівняння (11), (12). Цей факт і наявність алгоритмів розв’язування схиляє до використання саме рівнянь (6), (7) з вектором l iiy 1}ˆ{  і матрицею Ĉ [4]. Але на відміну від вектора l iiy 1}{  , компоненти якого дозволяють оцінити прийнятність станів рівноваги для окремих суб’єктів економічної системи, вектор l iiy 1}ˆ{  є ефек- тивною величиною. Компоненти вектора l iiy 1}{  визначатимуться згодом за компонентами вектора l iiy 1}ˆ{  . Прийнятність станів рівноваги встановлю- ється за виконанням умов на рівноважний вектор l iiy 1}{  . Серед усіх можли- вих станів рівноваги вибираються лише ті, для яких виконуватимуться об- меження на компоненти вектора ступенів задоволення потреб споживачів M i m yyy  , li ,1 . На компоненти вектора l iiy 1}ˆ{  теж можна накласти подібні обмеження [4], щоб досягти виконання вказаних умов, але вони мо- жуть виявитись менш точними, ніж якщо б обмеження накладались безпо- середньо на компоненти вектора l iiy 1}{  . Крім того, вектор l iiy 1}ˆ{  залежить від цін і це необхідно враховувати, щоб вказати потрібні обмеження на його компоненти. Запропонуємо альтернативний підхід розв’язання задачі про економічну рівновагу без визначення вектора l iiy 1}ˆ{  . Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 71 ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАНІВ РІВНОВАГИ І АЛГОРИТМ ЇХ ЗНАХОДЖЕННЯ Якщо задати матричні елементи lnk pc pc cpc n m mmj n s ssj kjkj ,1,,,1, ˆ ˆ)( 1 1      , (13) то система рівнянь (11), (12) набуде вигляду: ;,1,)( 111 nkiebxaxypc kk n i ki n i ikik l j jkj    (14) .,1,)( 111 njppcypbpapx s n s sjjk n k kjjk n k kjjjj          (15) На матричні елементи )( pckj , означені виразом (13), накладемо обме- ження: .,1,,1,)(ˆ ljnkcpcc kjkjkj  (16) Задача знову звелась до випадку ненасичуваних споживачів, але тепер із залежними від вектора цін елементами матриці попиту. З усіх можливих станів рівноваги необхідно знайти характеристики лише тих, які належати- муть заданій області значень. Цю задачу розглянуто у праці [5]. Відповідно до раніше отриманих результатів вважатимемо, що матриця n jkkjaA 1,   продуктивна, тоді для знаходження рівноважного вектора цін використову- ватимемо рівняння ;,1),,( tkypPp kk  (17) ,,1, 1 )()(),( 1 111 01 tkpb x ppc x y paAEypP t j n s ssj j n s ssj jj j n ts ssjjkk                  яке розв’язуватимемо одночасно з рівнянням на рівноважні ступені задово- лення потреб споживачів tyy ,,1  :     ,,1,)( 1 1 tspdy t k kskksss    (18) де     n s sjkskj pcAEpd 1 1 )()( , та рівнянням на допоміжний вектор t iii 1}{  : ,,1),,,,( ~ 11 tkp ttkkk   (19) А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 72                        t j n i jikij n tj kjkttk pdpdpdbp 1 1 2 1 1 1 0 2 1 0 11 )()( 1 )(),,,( ~    ,,1,)()()()( 1 111 tkpdpd t j jjjk t j jjkjjj              де   . 1 1 100             n s ss n i sikskk iebAExb Рівняння (18), (19) випливають з екстремальної задачі [6]      n j jj yy yppp n 1 200 ,, ])([ 2 1 )(),(min 1 FF  за додаткових вимог ,,1,)( 0 01 1 tkbyypd kk n j jkj   та величини n ii p 1)}({  , які подаються виразами: ,,1,)()( 1 1 tspdp t k kskss    ntspdp t k kskss ,1,)()( 1 1 0    . Рівняння (17), (18), (19) мають розв’язок у множині додатних векторів [5], якщо справедлива оцінка ,1max 1 )( 1 1 ],1[0 1                t k t j sjsj j M tsj jk bc y x AE (20) і для заданих значень постійних 0 , 1 та величин m , M , вибраних з умови ,,1, 1 0 1 1 1 1 tsyddy M t k ks M t k ks mm                виконуються нерівності                      t i is t i si n k l i siki m k n tk sks dddddb 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 10 2 1 0 ;,1, tsM  (21)                        t i is t i si n j l i jisi M k n tk sks dddddb 1 0 1 1 0 1 1 1 00 2 1 1 1 00 2 1 0 .,1, tsm  (22) Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 73 де .)(,ˆ)( 1 10 1 11       n s sjkskj n s sjkskj cAEdcAEd Рівноважні ступені задоволення потреб споживачів nt yy ,,1  визнача- тимуться з рівняння .,1,)()( 1 1 0 ntspdy t k kskkss    У цьому випадку всі компоненти nyy ,,1  задовольнятимуть обмежен- ня M i m yyy  , ni ,1 . Решту рівноважних ступенів задоволення потреб споживачів ln yy ,,1  визначимо з екстремальної задачі   ;])([ 2 1~ ),( ~ min 1 211 ,,1     l nj jj yy ypp ln FF  (23) lnspdp t k ksks ,1,)(ˆ)( 1 1    за додаткових вимог .,1,)()( 1 01 1 tkypdyypd l j jkjk n j jkj    (24) Розв’язок задачі (23), (24) теж має задовольняти обмеження .,1, lnkyyy M k m  (25) Існування розв’язку рівнянь (17)–(19) доведено. Обґрунтуємо викорис- тання ітераційних методів для його знаходження. Побудуємо ітераційний процес ;,1,),( ][][]1[ tkypPp ss k s k  ;,1,)()()( 1 ][][][][][ 1 ]1[ tjpdy t k s kj s k s k s j s j s j     ,,1,),,,( ~ ][][][ 1 ][ 1 ][]1[]1[ tkp s t s t sss k s k s k    та з’ясуємо питання про його збіжність до розв’язку, де нульове наближення вибиратимемо з множин: ;,1, 22 ,              lkR mM kk mM kkM ;,1, 2 )( 2 )( ,               nk yy y yy Ry mM k mM kyM .,,1, 1 0           t k kk ptkpM А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 74 Кожна ітерація знову належатиме множинам M , yM , M [5]. Вважа- тимемо, що нерівності (16) виконуватимуться для всіх Mp , якщо пара- метр  вибрати з урахуванням обмеження [5] . max 1 )(1 1 )( 1 1 0 ],1[0 1 1 1 1 0 1 00 1 00 0 1                                   t k t j sjsj j M j tsj jk t k t j n ts ssj n ts ssj j M j n ts ssjj j jk bc y x AE pbpc y pax x AE Оцінимо різницю .,1,][]1[ tkpp s k s k  Уведемо допоміжну матрицю з елементами kj , такими, що .,1,,110,ˆ ljnkcycy kjkj M kjkj m  Відповідно до структури оператора n ii ypP 1)},({  отримаємо     t j j jk ss k ss k s k s k x AEypPypPpp 1 1]1[]1[][][][]1[ 1 )(),(),(        n i s i s iij ppb 1 ]1[][ )(           ))()(( 1 ]1[]1[]1[ 1 ][][][ s i s ij s j n i s i s ij s j j ppcyppcy          t j n i s i s iij j jk ppb x AE 1 1 ]1[][1 1 )(            n i s i s ij s j s i s ij s j j ppcyppcy 1 ]1[]1[]1[][][][ )()( 1          t j n i s i s iij j jk ppb x AE 1 1 ]1[][1 1 )(                    n i s iij ms iij M n i s iij ms iij M j pcypcypcypcy 1 ][]1[ 1 ]1[][ )ˆ(,)ˆ(max 1     t j j jk x AE 1 1 1 )(                 ))(),max((ˆ ][]1[]1[][ 11 ]1[][ s i s iij s i s iij n i ij j mn i s i s iij ppppc y ppb     t j j jk x AE 1 1 1 )( Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 75                 ))(),((max ][]1[]1[][ 11 ]1[][ s i s i s i s i n i ij j Mn i s i s iij ppppc y ppb                 ]1[][ 1 1 1 1 )( s i s i t j t i ij jj M ij j jk ppc x y b x AE                  t j t i s i s iij jj M ij jti jk ppc x y b x AE 1 1 ]1[][ ],1[ 1 1 max)( ,,1, 1 ]1[][ tkpp t i s i s ik     де враховано, що .,1,0]1[][ ntkppp k s k s k   З умови (20) випливають очевидні нерівності .,1,1 1 max)( 11 ],1[ 1 tkc x y b x AE t k k t j ij jj j ij jti jkk               Тому буде справедлива оцінка . 1 ]0[]1[ 11 ]1[][ 11 ][]1[             t k kk st k k t k s k s k t j j t k s k s k pppppp Оцінимо різницю .,1,)()( ]1[]1[][][ tjs j s j s j s j   Із виразу для оператора n ittk p 111 )},,,( ~ {   для кожної ітера- ції випливає оцінка                        t j n i jikij n tj kjkttk pdpddbp 1 1 2 1 1 1 10 2 1 0 11 )()( 1 ),,,( ~  .,1,))(())(( 1 )( 111 tkpdpd t j jjjk t j jjkjjj              Уведемо допоміжні матриці з елементами 0 kj , 0~ kj такими, що ;,1,,1,1~0,~ 0 1 000 1 11 njnkdddd kj n i jikikj n i jiki               .,1,,1,10, 0001 njnkdd kjkjkjkj  Звернемо також увагу, що для двох послідовних ітерацій is і 1is (де is і 1is може бути відповідно або 1s і s , або навпаки s і 1s ) завжди можна підібрати деяку сталу 1 , щоб виконувались А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 76  ),,,( ~ ][][][ 1 ][ 1 ][ iiiii s t s t sss k p                          )( 1 )()( ][][ 2 11 1 ][][1 1 10 2 1 0 iiii s j s j t j n i s ji s kij n tj kjk pdpddb .],1[,))(())(( 1 1 ][][][ 1 ][][][ 1 tkpdpd t j s j s j s jk t j s j s j s kj iiiiii                             1 1 00 2 1 0][][][ 1 ][ 1 ][ ),,,( ~ 11111 j n tj kjk s t s t sss k dbp iiiii               )( 1 )()( ][][ 2 11 1 ][][ 1111 iiii s j s j t j n i s ji s ki pdpd .],1[,))(())(( 1 1 ][][][ 1 ][][][ 1 111111 tkpdpd t j s j s j s jk t j s j s j s kj iiiiii               З очевидної нерівності   ),,,( ~ ][][][ 1 ][ 1 ][ 11111 iiiii s t s t sss k p   ),,,( ~ ][][][ 1 ][ 1 ][ iiiii s t s t sss k p                         )()()( 1 ][][ 1 1 ][][ 2 1 1 1 10 2 1 0 1111 iiii s j s j t j n i s ji s kij n tj kjk pdpddb               t j s j s j s jk t j s j s j s kj iiiiii pdpd 1 ][][][ 1 ][][][ 1 )()()()( 1 111111 ,],1[),,,,( ~ ][][][ 1 ][ 1 ][ tkp iiiii s t s t sss k   отримаємо   ),,,( ~ ][][][ 1 ][ 1 ][ 11111 iiiii s t s t sss k p   ),,,( ~ ][][][ 1 ][ 1 ][ iiiii s t s t sss k p                  )()()( 1 ][][ 1 1 ][][ 2 1 iiii s j s j t j n i s ji s ki pdpd                )()()( ][][ 1 1 ][][ 1111 iiii s j s j t j n i s ji s ki pdpd Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 77              t j s j s j s jk t j s j s j s kj iiiiii pdpd 1 ][][][ 1 ][][][ 1 )()()()( 1               t j s j s j s jk t j s j s j s kj iiiiii pdpd 1 ][][][ 1 ][][][ 1 )()()()( 1 111111                 )()()( 1 ][][ 1 1 ][][ 2 1 s j s j t j n i s ji s ki pdpd                 )()()( ]1[]1[ 1 1 ]1[]1[ s j s j t j n i s ji s ki pdpd              t j s j s j s jk t j s j s j s kj pdpd 1 ][][][ 1 ][][][ 1 )()())(( 1                 t j s j s j s jk t j s j s j s kj pdpd 1 ]1[]1[]1[ 1 ]1[]1[]1[ 1 ))(()()( 1             )()()( 1 ][][ 1 1 ][][ 2 1 s j s j t j n i s ji s ki pdpd             )()()( ]1[]1[ 1 1 ]1[]1[ s j s j t j n i s ji s ki pdpd              t j s j s j s jk t j s j s j s kj pdpd 1 ][][][ 1 ][][][ 1 ))(())(( 1               t j s j s j s jk t j s j s j s kj pdpd 1 ]1[]1[]1[ 1 ]1[]1[]1[ )()()()(                         t j n i jiki s j s j t j n i jiki dddd 1 1 11][][ 1 1 00 2 1 )(max 1                           )()(),( ][][ 1 1 11]1[]1[ 1 1 00]1[]1[ s j s j t j n i jiki s j s j t j n i jiki s j s j dddd                         t j s j s jkj t j s j s jjk t j s j s jkj ddd 1 ]1[]1[1 1 ][][0 1 ][][0 1 )()(max 1                     t j s j s jjk t j s j s jkj t j s j s jjk ddd 1 ]1[]1[0 1 ]1[]1[0 1 ]1[]1[1 )()(,)( А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 78                 t j s j s jjk t j s j s jkj dd 1 ][][1 1 ][][1 )()(  ,)()(~max 1 ]1[]1[][][0 1 1 11 2 1                  s j s j s j s jkj t j n i jikidd                  )()(~ ][][]1[]1[0 1 1 11 s j s j s j s jkj t j n i jikidd                         t j s j s jkj t j s j s jjkjk t j s j s jkjkj ddd 1 ]1[]1[1 1 ][][01 1 ][][01 1 )()()(max 1                     t j s j s jjkjk t j s j s jkjkj t j s j s jjk iiiiii ddd 1 ]1[]1[01 1 ]1[]1[01 1 ]1[]1[1 )()()(                              )(max 1 )()( ][][ 1 1 11 2 11 ][][1 1 ][][1 s j s j t j n i jiki t j s j s jjk t j s j s jkj dddd                     )()(~,)( ][][]1[]1[0 1 1 11]1[]1[ s j s j s j s jkj t j n i jiki s j s j dd                         t j s j s jkj t j s j s jjk t j s j s jkj ddd 1 ]1[]1[1 1 ][][1 1 ][][1 1 )()()(max 1                     t j s j s jjk t j s j s jkj t j s j s jjk ddd 1 ]1[]1[1 1 ]1[]1[1 1 ]1[]1[1 )()(,)(                          )( 1 )()( ][][ 1 1 11 2 11 ][][1 1 ][][1 s j s j t j n i jiki t j s j s jjk t j s j s jkj dddd               t j s j s jjk t j s j s jkj s j s j dd 1 ][][1 1 ][][1 1 ]1[]1[ )()( 1 )(               t j s j s jjk t j s j s jkj dd 1 ]1[]1[1 1 ]1[]1[1 )()(      )())((max ]1[]1[][][][][ ,1 s j s j s j s j s j s j tj .],1[, 111 1 1 11 1 11 1 11 2 1 tkdddd t j jk t j kj t j n i jiki                        Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 79 Остаточно          )()(max)2()()(max ]1[]1[][][ ,1 2][][]1[]1[ ,1 s j s j s j s j tj s j s j s j s j tj   ,)()(max)2( ]0[]0[]1[]1[ ,1 2 jjjj tj s   де   .max 1 1 ,1,1 kj njk dn   Вимагатимемо виконання .122  Тому величина  має задовольняти обмеження .120  (26) Цього можна досягти за рахунок вибору значення 1 , що не вплине на виконання встановлених вимог (20)–(22) (хіба що буде необхідно скоригу- вати значення сталої 0 ). Оцінимо і різницю .,1,][]1[ tkyy s k s k  Із виразу (18) випливає       t j s j s j s jk s k s k s j s k s k s k pdyy 1 ][][][ 1 ]1[]1[][][ 1 ][]1[ ))(( 1 )()(       )()()()( 1 ]1[]1[][][ 1 1 ]1[]1[]1[ 1 s k s k s k s k t j s j s j s jk pd                         t j s j s jjk t j s j s jjk t j s j s jjk ddd 1 ]1[]1[0 1 ]1[]1[1 1 ][][0 )(,)()(max             t j s j s jjkd 1 ][][1 )(             t j s j s jjkjk s k s k s k s k d 1 ][][01]1[]1[][][ 1 )(max)()(                        t j s j s jjk t j s j s jjkjk t j s j s jjk ddd 1 ][][1 1 ]1[]1[01 1 ]1[]1[1 )()(,)( А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 80             t j s k s kjk s k s k s k s k d 1 ][][1]1[]1[][][ 1 )(max)()(                       t j s j s jjk t j s j s jjk t j s j s jjk ddd 1 ][][1 1 ]1[]1[1 1 ][][1 )()(,)(     t j s j s j s j s jkj s k s k s k s k d 1 ]1[]1[][][1]1[]1[][][ 1 )()()()(   tkd s j s j s j s j tj t j kj ,1,)()(max ]1[]1[][][ ,11 1 1             . На підставі встановлених оцінок та теорем про нерухому точку опера- тора [7] справедлива теорема. Теорема 2. Нехай виконуються умови (20)–(22) існування розв’язку рів- нянь (17)–(19), а норма  матриці n jk kjd 1, 1 1 1  задовольняє обмеження (26), тоді розв’язок рівнянь (17)–(19) можна знайти за допомогою ітераційних процедур ,,1,1,0),,( ][][]1[ tksypPp ss k s k   зі швидкістю збіжності , 1 1 ]0[]1[ 1 1                      t k kkt k k st k k pp і ;,1,1,0,)()()( 1 ][][][][][ 1 ]1[ tjspdy t k s kj s k s k s j s j s j      ,,1,1,0),,,,( ~ ][][][ 1 ][ 1 ][]1[]1[ tksp s t s t sss k s k s k    зі швидкістю збіжності   .)()(max )2(1 )2( ]0[]0[]1[]1[ ,12 2 jjjj tj s     Щодо решти рівноважних характеристик, то за відомими векторами n iiy 1}{  і t iip 1}{  задачу (23)–(25) стосовно невідомих величин l niiy 1}{  мож- на розв’язати, використавши запропоновану у праці [5] формулу               n k n j j l ni jikikss pdpdpdy 1 1 1 1 ˆ)()()(~ 1 Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів … Системні дослідження та інформаційні технології, 2019, № 2 81 ,,1,)ˆ()(~ 1 1 1 1 0 0 0 lnsvybbpd n k kkkkks      де  ~ є найбільшим власним значенням матриці n jk l ns jsks pdpd 1,1 )()(   , а n iiiv 1 11 }ˆˆ)1{(  є власним вектором, який йому відповідає. Вибір значень величин n ii 1 1}{  і v має забезпечити виконання вимоги (25). Нарешті рівноважні рівні оподаткування монополістів визначатимуться за іншими рівноважними характеристиками, як і в моделі економіки з по- стійними інтересами споживачів [4], виразом .,1, )()( 0 11 0 0 11 ntj pbxapbxaxp pycpyc k n tk kjjkjk t k kjjkjjj s n ts jsjs t s jsj j         ВИСНОВКИ Розглянуто особливості встановлення рівноваги в економічній системі за наявності монополістів та зі споживачами, які дотримуються стратегії пове- дінки різних типів. Удосконалено метод розв’язування задачі про економіч- ну рівновагу. На відміну від попередніх результатів [4], де задача зводилась до випадку ненасичуваних споживачів та використання наближення еконо- міки з постійними інтересами споживачів з ефективним вектором l iiy 1}ˆ{  замість вектора ступенів задоволення потреб споживачів l iiy 1}{  , тепер зада- ча звелась теж до випадку ненасичуваних споживачів, але із залежними від вектора цін елементами матриці попиту [5] і вектором l iiy 1}{  . Процедура розв’язування задачі про економічну рівновагу для залежних від цін елемен- тів матриці попиту є більш складною, ніж для наближення економіки з по- стійними інтересами споживачів, але тепер завдяки наявності вектора l iiy 1}{  з’являється можливість гарантованого вибору стану рівноваги із за- даними властивостями. Запропоновано ітераційний алгоритм знаходження рівноважних характеристик із заданими властивостями. Зокрема, вказано межі, у яких мають міститись значення змінних рівноважних характеристик моделі. З’ясовано за допомогою яких модельних характеристик можна впливати на збіжність ітераційного алгоритму та знайдено обмеження на їх значення, що гарантуватимуть збіжність. Роботу виконано за часткової підтримки Програми фундаментальних досліджень Відділення фізики і астрономії НАН України (проект № 0117U000240). ЛІТЕРАТУРА 1. Гончар М.С. Математичні основи інформаційної економіки / М.С.Гончар. — К.: Ін-т теор. фізики, 2007. — 464 с. А.П. Махорт ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2019, № 2 82 2. Kehoe T.J. Computation and multiplicity of equilibria. Handbook of Mathematical Economics / Kehoe T.J.; ed. by W. Hildenbrand, H. Sonnenschein. — Amster- dam: Elsevier Science Publishers B.V., 1991. — Vol. IV. — P. 2049–2143. 3. Махорт А.П. Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності невикористаного капіталу та заданих рівнів споживання / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2015. — № 1. — С. 45–56. 4. Махорт А.Ф. Равновесие в экономической системе с разными типами страте- гий поведения потребителей / А.Ф. Махорт // Проблемы управления и ин- форматики. — 2009. — № 1. — С. 107–117. 5. Махорт А.П. Про рівновагу відкритої економічної системи за наявності монополістів та залежних від цін споживчих уподобань / А.П. Махорт // Математичне моделювання в економіці. — 2017. — № 1–2. — C. 159–171. 6. Махорт А.П. Про алгоритми визначення станів рівноваги відкритої економічної системи за наявності монополістів / А.П. Махорт // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2016. — № 4. — C. 95–107. 7. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. — М.: Наука, 1977. — 442 с. Надійшла 19.02.2019
id	journaliasakpiua-article-175553
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2025-07-17T10:26:05Z
publishDate	2019
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/8e/02b680f299904fdfa76f5cb2b3f8738e.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1755532019-08-27T22:12:50Z Аlgorithms for determining equilibrium states of an economy under the presence of monopolies and consumers with different behaviours Алгоритмы определения состояний равновесия экономической системы с монополистами и разными типами поведения потребителей Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів та з різними типами поведінки споживачів Makhort, Andrii P. equilibrium demand supply taxation monopolists pricing рівновага попит пропозиція оподаткування монополісти ціноутворення равновесие спрос предложение налогообложение монополисты ценообразование The equilibrium model of Walrassian type is applied to a description of a reaction of an economy system on an influence of selected factors. The research involves an adaptation of an equilibrium problem in case of an economy with different behaviours of consumers to use simpler solving methods that correspond to the case of exclusively insatiable consumers in the economy. An application of iterative methods for solving the economy equilibrium problem is justified. The conditions on the specified model characteristics that lead to a convergence of the iterative methods are presented. The proposed algorithm that determines the equilibrium characteristics allows to determine the conditions for reaching equilibrium states with specified properties. Применена модель равновесия вальрасового типа применена к описанию реакции экономической системы на влияние выбранных факторов. Исследование состоит в адаптации задачи об экономическом равновесии в случае экономической системы с разными типами поведения потребителей для использования более простых методов решения, относящихся к задаче с исключительно ненасыщающимися потребителями. Обоснована возможность применения итерационных методов к решению задачи об экономическом равновесии. Указаны условия на заданные характеристики модели, которые обеспечивают сходимость итерационных методов. Приведенный алгоритм определения равновесных характеристик позволит выяснить условия достижения состояний равновесия с заданными свойствами. Застосовано модель рівноваги вальрасового типу до опису реагування економічної системи на впливи вибраних чинників. Дослідження полягає в адаптації задачі про економічну рівновагу у випадку економічної системи з різними типами поведінки споживачів до використання більш простих методів розв’язування, які стосуються задачі з лише ненасичуваними споживачами. Обґрунтовано можливість застосування ітераційних методів до розв’язування задачі про економічну рівновагу. Указано умови на задані характеристики моделі, які забезпечуватимуть збіжність ітераційних методів. Наведено алгоритм знаходження рівноважних характеристик, який дозволяє з’ясувати умови встановлення станів рівноваги з вибраними властивостями. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-06-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175553 10.20535/SRIT.2308-8893.2019.2.06 System research and information technologies; No. 2 (2019); 65-82 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2019); 65-82 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2019); 65-82 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175553/175464 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	рівновага попит пропозиція оподаткування монополісти ціноутворення Makhort, Andrii P. Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів та з різними типами поведінки споживачів
title	Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів та з різними типами поведінки споживачів
title_alt	Аlgorithms for determining equilibrium states of an economy under the presence of monopolies and consumers with different behaviours Алгоритмы определения состояний равновесия экономической системы с монополистами и разными типами поведения потребителей
title_full	Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів та з різними типами поведінки споживачів
title_fullStr	Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів та з різними типами поведінки споживачів
title_full_unstemmed	Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів та з різними типами поведінки споживачів
title_short	Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів та з різними типами поведінки споживачів
title_sort	алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів та з різними типами поведінки споживачів
topic	рівновага попит пропозиція оподаткування монополісти ціноутворення
topic_facet	equilibrium demand supply taxation monopolists pricing рівновага попит пропозиція оподаткування монополісти ціноутворення равновесие спрос предложение налогообложение монополисты ценообразование
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/175553
work_keys_str_mv	AT makhortandriip algorithmsfordeterminingequilibriumstatesofaneconomyunderthepresenceofmonopoliesandconsumerswithdifferentbehaviours AT makhortandriip algoritmyopredeleniâsostoânijravnovesiâékonomičeskojsistemysmonopolistamiiraznymitipamipovedeniâpotrebitelej AT makhortandriip algoritmiviznačennâstanívrívnovagiekonomíčnoísistemizanaâvnostímonopolístívtazríznimitipamipovedínkispoživačív

Алгоритми визначення станів рівноваги економічної системи за наявності монополістів та з різними типами поведінки споживачів

Institution

Similar Items