Вплив апріорної інформації про початковий стан об’єкта на точність оцінювання параметрів моделі
The application of a Kalman’s filtering method is shown by development of algorithms of adaptive estimation in conditions of short sample. The technique of improvement of accuracy of estimation of the model’s parameters in the transitive period based on the account of the appriory information is des...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176052 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334390378397696 |
|---|---|
| author | Suschuk-Slusarenko, V. I. Podladchikov, V. N. |
| author_facet | Suschuk-Slusarenko, V. I. Podladchikov, V. N. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "V. I. Suschuk-Slusarenko",
"institution": null
},
{
"author": "V. N. Podladchikov",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Suschuk-Slusarenko, V. I. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-08-15T19:35:31Z |
| description | The application of a Kalman’s filtering method is shown by development of algorithms of adaptive estimation in conditions of short sample. The technique of improvement of accuracy of estimation of the model’s parameters in the transitive period based on the account of the appriory information is described. The application of this technique for autoregression models and some dynamic lines in conditions of short sample is shown. The results of modeling of the offered algorithms are given. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:26:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.И. Сущук-Слюсаренко, В.Н. Подладчиков, 2002
80 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4
УДК 007:681.3.06
ВЛИЯНИЕ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ О НАЧАЛЬНОМ
СОСТОЯНИИ ОБЪЕКТА НА ТОЧНОСТЬ ОЦЕНИВАНИЯ
ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
В.И. СУЩУК-СЛЮСАРЕНКО, В.Н. ПОДЛАДЧИКОВ
Показано применение метода калмановской фильтрации при разработке алго-
ритмов адаптивного оценивания в условиях короткой выборки. Описана мето-
дика улучшения точности оценивания параметров модели в переходный
период, основанная на учете априорной информации. Показано применение
этой методики для авторегрессионных моделей и некоторых динамических ря-
дов в условиях короткой выборки. Приведены результаты моделирования
предложенных алгоритмов.
ВВЕДЕНИЕ
Реальные рыночные условия часто имеют слишком большую динамику, ко-
торая не позволяет указать интервал времени с одинаковыми или повто-
ряющимися условиями для достаточности статистик. В этих условиях
весьма трудной является оценка экономических показателей, статистиче-
ское обследование которых затруднено небольшим объемом наблюдений. В
связи с этим разработано множество приемов, цель которых — высокая
точность прогноза. Основное условие анализа (извлечение из данной вы-
борки требуемой информации) — возможность принятия решения. Сле-
довательно, критерием понятия «малая выборка» может служить
достоверность принимаемого на её основе решения. Разумеется, выбор слу-
чайного эквивалентного процесса (модели) затруднен, сложна и дорогостоящая
разработка программно-технических комплексов [1]. Большинство опти-
мальных алгоритмов оценивания являются результатом решения соответст-
вующих модельных задач при наличии полной априорной статистической
информации. На практике приходится иметь дело с ситуациями, в которых
априорная информация либо известна приближенно, либо отсутствует пол-
ностью. В этом случае применяют параметрические адаптивные алгоритмы
оценивания, которые не только дают оценку требуемых параметров, но и
восстанавливают статистические характеристики априорного описания ди-
намической системы и измерений [1–5]. Ограниченный объем исходной ин-
формации, отсутствие априорных сведений о виде законов распределений
делают невозможным формальное применение традиционных методов по-
лучения оценок параметров [6], что требует привлечения нового подхода к
проблеме.
Перспективным подходом при разработке алгоритмов адаптивного
оценивания, даже в условиях короткой выборки, является метод калманов-
ской фильтрации.
Рассмотрим дискретную динамическую систему, описываемую в про-
странстве состояний уравнениями
Влияние априорной информации о начальном состоянии объекта на точность оценивания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 81
,11 −− += kkk GWФXX (1)
,11 −− += kkk GWФXX (2)
где
,}{,}{ ** qWMrVM kk == ),(}))({( *** ikRrVrVM T
ik −=−− δ
),(}))({( *** ikQqWqWM T
ik −=−− δ .0)})({( ** =−− rVqWM ik
Уравнения, описывающие оптимальный дискретный фильтр, имеют вид
,ˆˆ
1,,1 kkkkkk KXX ν+= −+
,)( 1
1,1,
−
−− += RHPHHPK T
kk
T
kkk
,)( 1,, −−= kkkkk PHKIP
где 1,
ˆ
−−= kkkk XHzν — невязка фильтра.
Учитывая актуальность задачи нахождения оценок вектора параметров,
формируемого рекурентными алгоритмами по заданной короткой выборке,
скорость сходимости оценок параметров модели к оптимальному решению
является существенной.
При оптимизации модели динамической системы важное значение
имеет максимально возможное использование априорной информации о её
начальном состоянии. Как правило, на практике фактическое значение кова-
риационной матрицы ошибок оценивания в переходном режиме работы
фильтра выбирают в виде диагональной матрицы с очень большими, прак-
тически бесконечными элементами. Асимптотически для устойчивых алго-
ритмов неточный выбор начальной ковариации не влияет на точность
оценок. Однако в переходном режиме точностные характеристики снижа-
ются. В условиях короткой выборки этот факт существенный. Поставим
задачу определения условий, при которых целесообразно учитывать апри-
орную информацию о начальных состояниях в условиях априорной неопре-
делённости, и выбора расчетного значения начальной ковариации, когда её
фактическое значение задается некоторой областью.
Поставим задачу определения тех допустимых границ неточности за-
дания расчетного значения 0,0P , которые гарантируют, что выбор конечного
значения этой матрицы в пределах указанных границ не приведет к сниже-
нию точности фильтрации в переходном режиме работы фильтра по сравне-
нию с условиями, когда выбирается 01
0,0 =−P и обеспечивается существенное
повышение точности, если фактическое значение *
0,0P близко к расчетному
[2]. Решим эту задачу для систем с постоянными параметрами, возмущае-
мыми шумом состояния.
В.И. Сущук-Слюсаренко, В.Н. Подладчиков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 82
Рассмотрим дискретную динамическую систему, определяемую урав-
нениями (1) – (2). Предположим, что расчетные значения статистических
характеристик шумов состояния и измерения q , rQ, и R совпадают с
фактическими значениями, однако фактическое *
0,0P отличается от расчет-
ного значения *
0,0P ковариационной матрицы ошибки оценки начального
состояния.
Определим явный вид ковариационной матрицы фактической ошибки
фильтрации.
Фактическую ошибку фильтрации kkkkk XXX ,,
ˆ~
−= системы (1) – (2) в
состоянии kX можно представить следующим образом:
∑∑
==
−
−
− −Ψ−−Ψ+Ψ=
k
i
iiik
k
i
iikkkk rVKqWGФXX
1
,
1
1
1
1,0,00,, )()(
~~ ,
где переходная матрица 1
,,, )())(( −− −−=Ψ PPBPP ii
Tki
kkik , P — установив-
шееся решение;
))(( 1 QФPФHRHPIP TT +−= − ,
ФHRHPIB T )( 1−−= , (3)
1
,
−= RHPK T
iii .
Отсюда следует, что расчетная ковариационная матрица ошибки фильтра-
ции может быть представлена соотношением
∑∑
==
−
−−
− ΨΨ+ΨΨ+ΨΨ=
k
i
T
ik
T
iiik
k
i
T
ik
TT
ik
T
kkkk RKKФGQGФPP
1
,,
1
1,
1
1,0,0,00,,
. (4)
Ковариационная матрица фактической ошибки фильтрации [2] имеет вид
∑∑
==
−
−−
− ΨΨ+ΨΨ+ΨΨ=
k
i
T
ik
T
iiik
k
i
T
ik
TT
ik
T
kkkk RKKФGQGФPP
1
,,
1
1,
1
1,0,
*
0,00,,факт .
Вычитая из последнего выражения соотношение (4), получаем явное пред-
ставление для ковариационной матрицы фактической ошибки фильтрации:
T
kkkkkk PPPP 0,0,0
*
0,00,,,факт )( Ψ−Ψ+= . (5)
Последнее выражение обобщает представление для ковариационной матрицы
фактической ошибки фильтрации [2].
kkk
T
kkkkkkk PФPPPPФPPP ,,0
1
0,00,0
*
0,0
1
0,0,0,,,факт )( −− −+= .
Из выражения (5) следует, что ковариационная матрица фактической
ошибки фильтрации может оказаться существенно больше расчетной в
Влияние априорной информации о начальном состоянии объекта на точность оценивания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 83
переходном режиме работы фильтра в зависимости от величины отклоне-
ния 0,0
*
0,0 PP − .
Определим условия, которым должна удовлетворять матрица 0,0
*
0,0 PP − ,
чтобы матрица kkP ,факт , не превышала ковариационную матрицу a
kkP , той
ошибки, которая соответствует фильтру без учета априорной информации о
начальном состоянии, т.е. выбору бесконечного расчетного значения
01
0,0 =−P .
Предварительно оценим выигрыш, который можно получить, если ис-
пользовать конечное значение 0,0P , и определим явное выражение для той
составляющей kkP ,∆ ковариационной матрицы a
kkP , , на которую она может
быть уменьшена, если расчетное значение 0,0P выбирать конечным при ус-
ловии, что расчетное 0,0P и фактическое значения *
,kkP совпадают.
Как следует из явного вида решения уравнения Риккати для систем с
дискретным временем [2]
( )∑
−
=
−−−−−−− +−=−
1
0
11
0,0
1
,
~
)()()(
k
k
iTTikTk
kk HBRHBBPPBPP .
Здесь B определяется выражением (3), THPHRR −=
~ и kk
k
PP ,lim
∞→
= , или
1
,
1
0,0
1
, )()()()( −−−−− −+−=− PPBPPBPP a
kk
kTk
kk . (6)
Используя лемму об обращении матриц, получаем
( ) ( )[ ] )()())(( ,
1
,0,0,,, PPBBPPBPPBPPPPPP a
kk
kTka
kk
kTka
kk
a
kkkk −−+−−−−−=− −−−−− ,
или
( ) ( )[ ] )()()( ,
1
,0,0,,,, PPPPBPPBPPPPP a
kk
a
kk
Tkka
kkkk
a
kkkk −−+−−=−=∆
− . (7)
Таким образом, ковариационная матрица a
kkP , ошибки фильтрации, ос-
нованной на предположении о наличии априорной информации о начальном
состоянии и соответствующем выборе начальной ковариации 01
0,0 =−P , мо-
жет быть уменьшена на положительно определенную матрицу kkP ,∆ , кото-
рая возрастает при уменьшении матрицы 0,0P . Однако, если фактическое
значение *
0,0P отличается от расчетного 0,0P , то kkP ,∆ отличается от выра-
жения, описываемого формулой (7). Определим, какое допустимо отклоне-
ние расчетной и фактической начальных ковариаций, оправдывающее риск
использования их конечных значений при построении фильтра, гаранти-
рующее выполнение условия a
kkkk PP ,,факт ≤ или
В.И. Сущук-Слюсаренко, В.Н. Подладчиков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 84
( ) ( )[ ] )()()()( ,
1
,0,0,0,0,0
*
0,00, PPPPBPPBPPPP a
kk
a
kk
Tkka
kk
T
kk −−+−−≤Ψ−Ψ
−
.
Умножим обе части неравенства на k,0Ψ слева, а справа — на T
k,0Ψ и,
учитывая выражение (6), после ряда преобразований получим
( ) ( ) ×−+−⋅−+−≤− −− 1
,0,0,0,00,0
*
0,0 ])([)]()([)( PPBPPBPPBBPPPP a
kk
Tkka
kk
kTk
( ) ];)()([ ,0,0
Tka
kk
k BPPPPB −−+−×
или
Tka
kk
k BPPBPPPP ))(()( ,0,00,0
*
0,0
−− −+−≤− . (8)
Подставляя ( )
11
0
1
,
~
−−
=
−−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=− ∑
k
k
iTTia
kk HBRHBPP перепишем последнее
неравенство в виде
( )
11
0
1
0,0
*
0,0
~2
−−
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−≤ ∑
k
k
iTTi HBRHBPPP . (9)
Таким образом, выбор расчетного значения начальной ковариации,
удовлетворяющий неравенству (1.9), гарантирует, что учет априорной ин-
формации не приводит к снижению точности фильтрации по сравнению с
оцениванием, основанным на выборе матрицы начальной ковариации
01
0,0 =−P . Если расчетное значение *
0,0P «угадано», то ковариационная мат-
рица ошибки фильтрации уменьшается на величину kkP ,∆ , определяемую
выражением (7). Заметим, что для простоты выражение (9) можно заменить
более жестким неравенством, гарантирующим выполнение требуемого ус-
ловия
PPP −≤ 0,0
*
0,0 2 . (10)
Методика определения установившегося решения P уравнения Рикка-
ти для систем с дискретным временем приведена в [2, прил. 1]. Рассмотрим
пример.
Пример 1. Найти установившееся решение уравнения Риккати для од-
номерной системы.
Рассмотрим одномерную систему kkkkkk VXzWXX +=+=+ ,1 , где
kW и kV - стационарные последовательности типа белого шума со следую-
щими статистическими свойствами:
{ } { } { } );(;0 2 ikWWMVMWM Wikkk −=== δσ
Влияние априорной информации о начальном состоянии объекта на точность оценивания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 85
{ } { } 0);(2 =−= kkik VWMikVVM δσ .
Используя уравнение (3) для P , определяем предельное значение
дисперсии ошибки оценивания: ;;1;1;1 2
2
1
WQФRH σ
σ
==== − тогда
( )2
21 Wppp σ
σ
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −= . Решая это уравнение относительно p , получаем:
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −+= WW
Wp σσσ
σ 22 4
2
.
На практике, исходя из физических соображений, можно установить
начальные ограничения на 0,0P . Если расчетное значение намного меньше
kP ,kфакт , то нарушается свойство монотонности kkP , , а если слишком завы-
шеное — то увеличивается длительность переходного процесса, что суще-
ственно влияет на работу алгоритма в условиях короткой выборки. Поэтому
из множества предполагаемых значений предлагается выбирать такую ми-
нимальную величину 0,0P , использование которой не ухудшает оценки в
переходном режиме по сравнению с оцениванием без учета априорной ин-
формации.
Пример 2. Повысить точность оценивания параметров авторегрессион-
ных моделей.
В примере изложены принципы применения методики выбора началь-
ных ковариаций для авторегрессионных моделей, предложенных в [2]. Про-
цесс называется процессом авторегрессии порядка n ( )(nAP ), если он
описывается выражением tntntt yayay ε=+++ −− ...11 , где все корни полино-
ма 0...1
1 =+++ −
n
nn azaz должны находиться внутри круга единичного ра-
диуса (условие стационарности), Tt∈ - дискретное время.
В пространстве состояний эта система описывается формулами
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+=
=+
,
,1
kkkk
kk
XHz
XX
ε
(11)
),(],[;0][ ikMM ikk −== δεεε
где ),...,,( 21 nk aaaX = — вектор оцениваемых параметров, ,...,( 21 −−= kkk yyH
)..., nky − — вектор состояния системы.
Проиллюстрируем вышеизложенную методику на примере процесса
АР(1): 1−⋅−= kkk yay ε , где a - параметр, ),0( 2σε N= .
Предположим, что отсутствует априорная информация о начальном со-
стоянии, т.е. 01
0,0 =−p . Тогда дисперсия ошибки оценки имеет вид
k
pa
kk
1
, = .
Если дисперсия начальной оценки конечная и равна 0,0p , то составляющая
В.И. Сущук-Слюсаренко, В.Н. Подладчиков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 86
дисперсии ошибки оценки, на которую можно уменьшить a
kkp , при учете
априорной информации,
1)1(
11
0,0
0,0
0,0
, +
=
+
−=
kp
p
kpkk
p kk .
Если фактическая начальная дисперсия *
0,0p отличается от расчетной
0,0p , то фактическая дисперсия kp ,kфакт также отличается от kkp , и имеет
вид
2
0,0
2
0,0
*
0,0
2
0,0
0,0
*
0,0
0,0
0,0
,kфакт
)1()1(1 +
+
=
+
−
+
+
=
kp
kpp
kp
pp
kp
p
p k .
Определим условия, при которых kkp ,факт не больше a
kkp , .
Рассмотрим неравенство kkp ,факт < a
kkp , или 2
0,0
2
0,0
*
0,0
)1( +
+
kp
kpp
<
k
1 .
Решая неравенство, получаем
k
pp 12 0,0
*
0,0 +≤ .
Таким образом, для того чтобы точностные характеристики фильтра не
выходили за пределы ошибок фильтра, построенного без учета априорной
информации, необходимо выбирать расчетное значение 0,0p не меньше, чем
2
*
0,0p
. Так, если известно, что начальная фактическая дисперсия
5,115,0 *
0,0 ≤≤ p , то в качестве ее расчетного значения целесообразно выби-
рать величину 75,00,0 =p .
Для иллюстрации методики был сгенерирован процесс АР(1)
18.0 −⋅+= kkk yy ε ,
где )1,0(N=ε .
Результаты тестовых прогонов показаны на рис. 1.
Применение методики выбора начальной ковариации в условиях апри-
орной неопределенности для известных динамических рядов, по крайней
мере, не ухудшает, а в большинстве случаев уменьшает фактическую дис-
персию в переходном режиме в 105,1 − раз. Так, для процесса, изображен-
ного на рис. 1, фактическая дисперсия модели, построенной без учета
априорной информации, составила величину 2,93671 =d , а для модели,
учитывающей априорную информацию, — величину 1,17982 =d .
Используя выборку из 50 значений динамического ряда биржевых цен
акций IBM, были получены результаты, показанные на рис. 2. Фактическая
дисперсия уменьшилась в 1,5 раза.
Влияние априорной информации о начальном состоянии объекта на точность оценивания…
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 87
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, полученные аналитические выражения для дисперсий до-
полнительных ошибок фильтрации, возникающих из-за неучета априорной
информации о начальном состоянии объекта, позволяют задавать при-
ближенные значения начальных ковариаций, оптимизирующие алгоритм
фильтрации в переходном режиме. Это обстоятельство позволяет сущест-
венно улучшить характеристики фильтрации в условиях короткой выборки.
Проведенное моделирование разработанных алгоритмов, подтверждающее
возможность их применения не только в технических, но и в экономических
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
2
4
6
8
Сходимость оцениваемых параметров
c учетом априорной информации
без учета априорной информации
2 4 6 8 10 12 14
0
5
10
Улучшение точностных характеристик идентификации процесса в пе-
реходном режиме
фильтрация с учетом априорной информации
фильтрация без учета априорной информации
тестовый процесс
Рис. 1. Сравнительный анализ работы алгоритмов фильтра-
ции (с учетом и без учета априорной информации) проведен-
В.И. Сущук-Слюсаренко, В.Н. Подладчиков
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 88
системах, позволит существенно улучшить характеристики фильтра уже на
этапе его проектирования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. — М.: Наука,
1984 . — 320 с.
2. Згуровский М.З.,. Подладчиков В.Н. Аналитические методы калмановской
фильтрации для систем с априорной неопределенностью. — Киев: Наук.
думка, 1995. — 283 с.
3. Марпл – мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. — М.:
Мир, 1990. — 584 с.
4. Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. — М.: Фи-
нансы и статистика, 1973. — 278 с.
5. Дж. Бокс, Г. Дженкинс Анализ временных рядов. Прогноз и управление. — М.:
Мир, 1974. —Вып. 1. — 406 с.
6. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Иванцов И.Б. Информационная микроэконо-
мика. Методы анализа и прогнозирования. — С.-Петербург: «Нордмед –
издат», 1998. — 157 с.
Поступила 04.11.2002
Рис. 2. Сравнительный анализ фильтрации с учетом и без учета априорной инфор-
мации для выборки из 50 значений динамического ряда биржевых цен акций IBM
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
400
420
440
460
480
500
���������� ��� ����� ��������� ����������
���������� � ������ ��������� ����������
�������� �������
|
| id | journaliasakpiua-article-176052 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:26:06Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/89/06a81eba785aceeeb4e39238841eee89.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1760522019-08-15T19:35:31Z Influence appriory information about the initial object’s condition on accuracy of estimation of the model’s parameters Влияние априорной информации о начальном состоянии объекта на точность оценивания параметров модели Вплив апріорної інформації про початковий стан об’єкта на точність оцінювання параметрів моделі Suschuk-Slusarenko, V. I. Podladchikov, V. N. The application of a Kalman’s filtering method is shown by development of algorithms of adaptive estimation in conditions of short sample. The technique of improvement of accuracy of estimation of the model’s parameters in the transitive period based on the account of the appriory information is described. The application of this technique for autoregression models and some dynamic lines in conditions of short sample is shown. The results of modeling of the offered algorithms are given. Показано применение метода калмановской фильтрации при разработке алгоритмов адаптивного оценивания в условиях короткой выборки. Описана методика улучшения точности оценивания параметров модели в переходный период, основанная на учете априорной информации. Показано применение этой методики для авторегрессионных моделей и некоторых динамических рядов в условиях короткой выборки. Приведены результаты моделирования предложенных алгоритмов. Розглятуто застосування методу калмановської фільтрації для створення алгоритмів адаптивного оцінювання в умовах короткої вибірки. Описано методику покращання точності оцінювання параметрів моделі в перехідний період. Запропоновано застосування методики вибору початкової коваріації для авторегресійних моделей першого порядку в умовах короткої вибірки. Наведено результати експериментальних досліджень. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-08-15 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176052 System research and information technologies; No. 4 (2002); 80-88 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2002); 80-88 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2002); 80-88 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176052/175892 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Suschuk-Slusarenko, V. I. Podladchikov, V. N. Вплив апріорної інформації про початковий стан об’єкта на точність оцінювання параметрів моделі |
| title | Вплив апріорної інформації про початковий стан об’єкта на точність оцінювання параметрів моделі |
| title_alt | Influence appriory information about the initial object’s condition on accuracy of estimation of the model’s parameters Влияние априорной информации о начальном состоянии объекта на точность оценивания параметров модели |
| title_full | Вплив апріорної інформації про початковий стан об’єкта на точність оцінювання параметрів моделі |
| title_fullStr | Вплив апріорної інформації про початковий стан об’єкта на точність оцінювання параметрів моделі |
| title_full_unstemmed | Вплив апріорної інформації про початковий стан об’єкта на точність оцінювання параметрів моделі |
| title_short | Вплив апріорної інформації про початковий стан об’єкта на точність оцінювання параметрів моделі |
| title_sort | вплив апріорної інформації про початковий стан об’єкта на точність оцінювання параметрів моделі |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176052 |
| work_keys_str_mv | AT suschukslusarenkovi influenceapprioryinformationabouttheinitialobjectsconditiononaccuracyofestimationofthemodelsparameters AT podladchikovvn influenceapprioryinformationabouttheinitialobjectsconditiononaccuracyofestimationofthemodelsparameters AT suschukslusarenkovi vliânieapriornojinformaciionačalʹnomsostoâniiobʺektanatočnostʹocenivaniâparametrovmodeli AT podladchikovvn vliânieapriornojinformaciionačalʹnomsostoâniiobʺektanatočnostʹocenivaniâparametrovmodeli AT suschukslusarenkovi vplivapríornoíínformacíípropočatkovijstanobêktanatočnístʹocínûvannâparametrívmodelí AT podladchikovvn vplivapríornoíínformacíípropočatkovijstanobêktanatočnístʹocínûvannâparametrívmodelí |