Оптимальне керування системою, що описується псевдопараболічним рівнянням з умовами спряження

New optimal control distributed system problems described by boundary condition problems for pseudoparabolic equations with conjugation conditions and quadratic cost function are considered. Unique existence optimal control theorems are proved for all analyzed cases.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2019
Hauptverfasser:	Sergienko, I. V., Deyneka, V. S.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch
Veröffentlicht:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019
Online Zugang:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176189
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	System research and information technologies
Завантажити файл:

Institution

System research and information technologies

_version_	1867334391302193152
author	Sergienko, I. V. Deyneka, V. S.
author_facet	Sergienko, I. V. Deyneka, V. S.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "I. V. Sergienko", "institution": null }, { "author": "V. S. Deyneka", "institution": null } ]
author_sort	Sergienko, I. V.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-08-20T18:16:43Z
description	New optimal control distributed system problems described by boundary condition problems for pseudoparabolic equations with conjugation conditions and quadratic cost function are considered. Unique existence optimal control theorems are proved for all analyzed cases.
first_indexed	2025-07-17T10:26:09Z
format	Article
fulltext	© И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека, 2002 Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 7 TIДC ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І УПРАВЛІННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ, ТЕХНІЧНИХ, ЕКОЛОГІЧНИХ І СОЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ УДК 519.6 ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМОЙ, ОПИСЫВАЕМОЙ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ С УСЛОВИЯМИ СОПРЯЖЕНИЯ И.В. СЕРГИЕНКО, В.С. ДЕЙНЕКА Рассмотрены новые задачи оптимального управления распределенными системами, описываемыми начально-краевыми задачами для псевдопараболи- ческого уравнения с условиями сопряжения и квадратичной функцией стоимости. Для всех рассмотренных случаев доказаны теоремы существования единственных оптимальных управлений. Пусть Ω — область, состоящая из двух открытых непересекающихся строго липшицевых областей 21 , ΩΩ из n-мерного вещественного линейного пространства nR ; ≠Ω∂∩Ω∂=Ω∂∪Ω∂=Γ 2121 ( \)( γγ ∅) — граница области iΩ∂Ω; — граница области ,2,1, =Ω ii ),0( TT ×Ω=Ω — составной цилиндр, ),0( TT ×Γ=Γ — боковая поверхность цилиндра TT γ∪Ω , ),0( TT ×= γγ . Предположим, что V — некоторое гильбертово пространство, а V′ — пространство, двойственное к нему. Введем, аналогично [1], пространство );,0(2 VTL функций )(tft → , отображающих интервал (0,Т) в пространство V измеримых функций и таких, что . 21 0 2 ∞< ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ dtf T V Аналогично определим пространство );,0(2 VTL ′ . Введем пространство )};,0(,:{),0( 2 VTL dt dfffTW ∈= . Это пространство, снабженное нормой ,)( 21 0 2 0 2 ),0( ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += ∫∫ ′ dt dt dfdttff T V T VTW становится гильбертовым. И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 8 1. РАСПРЕДЕЛЕННОЕ УПРАВЛЕНИЕ Пусть в области ΩТ определено псевдопараболическое уравнение [2] ),,()( 1, 2 1, txf x uk xt uxa tx ua x j ij n ji i ij n ji i j =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ∑∑ == (1) где ,)()( 1 lljiij CCaa ll Ω∩Ω∈= ΩΩ ,)()( 1 lljiij CCkk ll Ω∩Ω∈= ΩΩ ),(),( lTl CfCa lTl Ω∈Ω∈ ΩΩ ,0,\|\|;2,1 0 ∞<≤<∞<= aafl ,, 1 2 1 1,1 2 0 1, ∑∑∑∑ ==== ≥≥ n i iji n ji ij n i iji n ji ij ka ξαξξξαξξ ;,, 1Rx ji ∈∀Ω∈∀ ξξ (1′) .0,, 100 >= constααa На границе TΓ задано краевое условие ,),cos( 1, 2 βα +−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = yxn x yk tx ya i n ji ijij jj (2) где 0)( 0 >≥= ααα x ; const=Γ∈ 0 2 );(, αβα L ; n — внешняя нормаль. На Тγ условия сопряжения имеют вид ,0),cos()( 1, 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = iij n ji ij xn x yk tx ya jj (3) ],[),cos()( 1, 2 yrxn x yk tx ya iij n ji ij jj = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + ∂∂ ∂ ± = ∑ (4) где ;)(0 1 ∞<≤=≤ rxrr const 1 =r , ;][ −+ −= ϕϕϕ ),(}{ txϕϕϕ == ++ при );,0()(),( 2 Ttx T ×∩Ω∂=∈ + γγ ),(}{ txϕϕϕ == −− при =∈ − Ttx γ),( ),0()( 1 T×∩Ω∂= γ ; n − нормаль к γ (орт нормали к γ ), направленная в область 2Ω . При 0=t задано начальное условие ,),()0,( 210 ΩΩ∈= ∪xxyхy (5) где }.2,1),(:)({ 1 200 =Ω∈=∈ Ω iWvxvVy ii Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 9 Пусть заданы гильбертово пространство U управлений и оператор ∈B L (U; ));,0(2 VTL ′ . Для каждого управления и∈U состояние == )(uyy );,( utxy= системы определим как обобщенное решение задачи, заданной уравнением ,)()( BufyK t yA +=+ ∂ ∂ (6) где ),()( ,)()( 1,1, jj x zk x zKaz x za x zA ij n ji i ij n ji i ∂ ∂ ∂ ∂ −=+ ∂ ∂ ∂ ∂ −= ∑∑ == (7) и условиями (2)−(5). В дальнейшем, не нарушая общности, будем считать uBu ≡ и для удобства также пользоваться обозначением ),( txyy = . Hаблюдение зададим выражением ∈= С ),()( uyCuZ L );(0,( TW H). (8) Определим оператор .0const,),();;( 2 >=≥∈ νν UUNUULN uuu (9) Примем ,uau =N где ,0;2,1),( 10\| ∞<≤≤<=Ω∈Ω aaalCa ll =10 , aa .const= Функция стоимости имеет вид ,),()()( 2 UH N uuzuCyuJ g +−= (10) где gz — известный элемент пространства H. Задача оптимального управления состоит в нахождении такого элемента ∂∈Uu , что ),(inf)( vJuJ v ∂∈ = U (11) где ∂U — некоторое выпуклое замкнутое подмножество в U . Определение 1. Элемент ∂∈Uu , удовлетворяющий условию (11), называется оптимальным управлением. Обобщенная задача, соответствующая начально-краевой задаче (6), (2)−(5), состоит в поиске функции ),0();,( TWutxy ∈ , которая =∈∀ 0)( Vxw ),(:{ 1 2\| iWvv i Ω∈= Ω i=1,2}, где )(1 2 iW Ω — пространство функций Соболева, определенных на области 2,1, =Ω ii удовлетворяет уравнениям ),,0( ,),(),(),(),(0 TtГwdwuwfwyawya Г ∈++=+′ ∫ β (12) )),(),(())(),;0,(( 000 ⋅⋅=⋅⋅ wyawuya (13) И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 10 где при определении пространства W(0,T) пространство :),({ txvV = ),(1 2\| iWv i Ω∈Ω i=1,2; ∀t∈[0,T]}, ,,),(),(),( dt dyydxtxtx =′= ∫ Ω ψϕψϕ , ),( )( 1, 0 dxwya x w x yawya i n ji j ij ′+ ∂ ∂ ∂ ′∂ =′ ∫ ∑ Ω = (13′) .]][[ ),( 1, ∫∫∫ ∑ ++ ∂ ∂ ∂ ∂ = Ω = Гi n ji j ij aywdГdwyrdx x w x ykwya γ γ (13′′) Изучим вопрос существования единственного решения задачи (12), (13). Поскольку Bи, f∈L2(0,T; V′ ), )},0(,),(:),({ TtvvtxvV ∈∀∞<=′ , то без нарушения общности примем Bи ≡ 0. Пространство V0 − полное сепарабельное, рефлексивное [3−5]. Следуя [3, 6], выберем произвольную фундаментальную в V0 систему линейно независимых функций ,...,2,1),( =kxwk и будем считать ее ортонормированной в )(2 ΩL , так что 0,1(),( === l k k k l klk ww δδδ при ,...2,1,; =≠ klkl ). Согласно [4], при )(20 Ω∈Ly имеем ,)( 1 0 ∑ ∞ = = i ii xwy ξ (14) где ...,2,1),,( 0 == iwy iiξ . Замечание 1. Функции )(xw j могут быть выбраны как собственные функции, соответствующие собственным значениям jλ , ,...,2,1=j спект- ральной задачи: найти .),,(),(:}0,{),( 000 1 VwwuwuauVRu ∈∀=≠×∈ λλ Определим приближенное решение ∑ = = m i iimm xwtgtxy 1 )()(),( (15) задачи (12), (13), где функции )(tgim выбираются так, чтобы выполнялись соотношения ∫ =+=+ ∂ ∂ Г jjjmj m mjdГwwfwyaw t y a ,,1,),(),(),(0 β (16) .,1)),(),(())(),0,(( 000 mjwyawya jjm =⋅⋅=⋅⋅ (17) Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 11 Равенства (16), (17) определяют задачу Коши для системы m линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относи- тельно )(tgim : ),(tFgK dt dg M mmm m m =+ (18) ,)0( 00 mmm FgM = (19) где { } { } , ),,(, 1,01, m ji m ijmji m ij m ji m ijm kKwwaMMM == === { } ∫+=== = Г ii m i m i m imji m ij dГwwftftftFwwak ,),()(,)( )(),,( 1 β { } { } ).,(, ),,(, 0 0 1, 00 0010 0 jimij m jimijmi m i m i m im wwaMMMwyffF ==== == Поскольку билинейная форма ),(0 ⋅⋅a — V-эллиптична на V0, то симметричная матрица mM положительно определена. Здесь . 2 1 212 )( }{ 1 2∑ = Ω= i WV i vv Следовательно, решение задачи Коши (18), (19) существует и единственно. Докажем, что при ∞→m yym → , где ),( txyy = — решение задачи (12), (13). Умножим равенство (16) на )(tg jm и просуммируем полученный результат по j. Тогда ,),(),(),(0 ∫+=+ ∂ ∂ Г mmmmm m dГyyfyyay t y a β т.е. .),(),(),( 2 1 0 ∫+=+ Г mmmmmm dГyyfyyayya dt d β (20) С учетом условий (1′) и обобщенного неравенства Фридрихса [7] имеем ,),(,),( 2 1 2 0 2 00 VmmmmVmmm ycyyaycycyya ≥≥≥ (21) где ),1min( };,min{ 12 1 1000 µαα == cac ; µ — положительная постоянная обобщенного неравенства Фридрихса, 2/122/1 )),((),( ∫ Ω == dxtxϕϕϕϕ . Используя неравенства (21), Коши-Буняковского, теорем вложения [5], ε-неравенство, из (20) получаем И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 12 +≤+ ∫ )0)(,(2)( 0 0 2 1 2 0 mm T Vmm yyadtycTyc ++′≤∫++ ∫∫∫ dtyycdtdГydtyf T VmVm T Г m T m 0 22 0 00 2)0(2),(2 \|\| εβ , 2 12 2 1 0 2 )( 10 2 11 0 2 2 dtdtycdtf T ГL T Vm T ∫∫∫ +++ β ε ε ε (22) где , cmax,),( 1,2 1 22 )(2 l l Г ГL cdГtx = == ∫ϕϕ постоянная lc получена из неравенства теоремы вложения, примененной к области lΩ . С учетом первого условия (1′), ограниченности функций aaij , на lΩ , 2,1=l , неравенства Коши-Буняковского на основании (17) заключаем ),0()0( 00 0 0 VmVVm yycyc ′≤ т.е. .)0( 0 0 0 VVm y c c y ′ ≤ (23) Учитывая (23), из (22) имеем ).()( 0 2 )( 0 22 0 0 2 2 dtdtfycdtty T ГL T V T Vm ∫∫∫ ++≤ β Следовательно, элементы my находятся в некотором ограниченном подмножестве );,0(2 VTL . Поэтому существует подпоследовательность {yχ}, которая слабо сходится к элементу );,0(2 VTLz∈ . Не нарушая общности считаем, что вся последовательность { }my слабо сходится к z. Равенство (16) можно записать так: .,1,),(),(),(0 mjdГwwfwyawy dt d Г jjjmjma =+=+ ∫ β Умножим обе части этого равенства на функцию 0,)( ]),,0([)( 1 =∈ TTCt ϕϕ (24) и проинтегрируем результат от 0 до Т: =+⋅′⋅−∫ dtyattya jm T jm }{ ),()),(),,(( 0 0 ϕϕ Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 13 ),0)(,(),( 0 00 jm T Г j T j yadГdtf ϕβϕϕ ++= ∫ ∫∫ (25) где ).()(),( ),()(),( xw dt tdtxxwttx jjjj ϕϕϕϕ =′= Переходя в (25) к пределу при ∞→m (что возможно в силу упомянутой слабой сходимости), получаем ).0)(,(),(),(),( 0 000 0 }{ j T Г j T jj T j zadГfzaza dtdtdt ϕβϕϕϕϕ ++= ∫ ∫∫∫ +′− (26) С учетом предположений относительно { }jw матрица 0 mM из (19) — диагональная ( ),(0 0 iiiim wwaM = , 00 =mijM при ji ≠ , mji ,1, = ). Из (19) следует ),(/),()0( 000 iiiim wwawyag = , т.е. img ( mi ,1= ) — коэффициенты Фурье функции 0y . Согласно [4], )()()0()0,( 0 1 xyxwgxy m i iimm ∑ = →= при ∞→m . Следовательно, )()0,( 0 xyxz = . Равенство (26) верно для произвольной функции ϕ , удовлетворяющей условиям (24). Поэтому можно взять ),0( TD∈ϕ [1]. Тогда из (26) имеем . 000 0 ),(),(),( }{ dt T Г j T jj T j dГdtfdtzawza ∫ ∫∫∫ +=+′− βϕϕϕϕ Таким образом, 0)(),(),(),( }{ 0 0 =−−+ ∫∫ dttdГwwfwzawza dt d Г jjj T j ϕβ , т.е. ∫ ∈+=+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Г jjjj TtdГwwfwzaw dt dza ).,0(,),(),(,0 β (26′) С учетом пространства V0, предположений о функциях jw и равенства (26′) устанавливаем, что ∀ w∈V0 справедливо равенство .),(),(,0 ∫+=+⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Г wdГwfwzaw dt dza β (27) Из (17) вытекает .)),(),(())(),0,(( 0000 Vwwyawza ∈∀⋅⋅=⋅⋅ (28) И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 14 Следовательно, функция );,0(2 VTLz∈ является решением задачи (12), (13) );,0(2 VTLf ′∈∀ , 0=Bu (задачи (27), (28)). Покажем единственность решения задачи (27), (28) от противного. Пусть существуют два решения );,0(),(),,( 2 21 VTLtxztxz ∈ . Тогда на основании (27) получаем ,0),(2),(0 =+ zzazza dt d (29) где .021 ≠−= zzz Учитывая (28), из (29) получаем противоречие .0const,0))(,(0 0 0 2 00 >=≤+< ∫ αα T V dtzTzza Тем самым доказано следующее утверждение. Теорема 1. Начально-краевая задача (1)−(5) имеет единственное обоб- щенное решение );,0(),( 2 VTLtxy ∈ . На основании (29) легко видеть, что при 21 uu ≠ ( 21 BuBu ≠ ) )()( 21 uyuy ≠ . Пусть ),(~~ uyy ′=′ )(~~ uyy ′′=′′ — решения из );,0(2 VTL задачи (12), (13) при 0=f , 0=β и функции ),( txuu = , равной соответственно uu ′′′, . Тогда .''~'~'''''~'~)''~'~,''~'~(2 1 2 00 VV yyuuyyyyyyadt d −−≤−+−− α (30) Следовательно, ,'''1''~'~ 222 0 LLLV uuyy ×× −≤− α (30′) где .,),(, 2222222 22222 dtdxtxdt T VLVL T LLL ∫∫∫ ==== × Ω × 00 ϕϕϕϕϕϕϕ Представим функционал (10) в виде ,)0()(2),()( 0 2 dtyzuLuuuJ T g∫ −+−=π (31) где ,),())0()( ),0()((),( UH vuayvyyuyvu +−−=π (32) .))0()( ),0(()( HyvyyzvL g −−= В рассматриваемом случае ∫ ∫ Ω === T zvdxvzdtvzvzvz 0 .),( ,),(),(),( UH Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 15 Неравенство (30′) обеспечивает непрерывность линейного функционала L(⋅) и билинейной формы π(⋅,⋅) на U. На основании [1, гл.1, теорема 1.1] доказано следующее утверждение. Теорема 2. Пусть состояние системы определяется как решение задачи (12), (13). Тогда существует единственный элемент и выпуклого замкнутого в U множества U∂ , для которого ).(inf)( vJuJ v ∂∈ = U (33) Управление ∂∈Uu оптимально тогда и только тогда, когда ,,0))(( ∂∈∀≥−′ UvuvuJ (33′) т.е. если .0),())()( ,)(( ≥−+−− UH N uvuuyvyzuy g (34) Сопряженное состояние p(v) для управления v ∈ U определим соотношениями: ,),(,)()()( 1, 2 1, Tg j ij n ji ij ij n ji i txzvy x pk x p t a tx pa x Ω∈−= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∑∑ == ,),(,),cos()( 1, 2 Ti n ji j ij j ij Гtxapxn x pk tx pa ∈−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = ,),(,0)],cos()([ 1, 2 Ti n ji j ij j ij txxn x pk tx pa γ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = (35) ,),(],[)},cos()({ 1, 2 Ti n ji j ij j ij txprxn x рk tx pa γ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ − ± = ∑ .,0),( 21 Ω∪Ω∈= xTxp Заменяя время t на tT − , на основании теоремы 1 заключаем, что начально-краевая задача (35) имеет единственное обобщенное решение );,0()( 2 VTLp ∈ν как решение следующей системы равенств: ,),,)((),()),(( 00 Vwwzvywpawvp dt da g ∈∀−=+− (36) .,0),(0 Ttwpa == (37) Выберем вместо w разность )()( uyvy − . С учетом (12) и равенства dtuyvy dt dupadtuyvy dt udpa TT )))()((),(())()(,)(( 0 0 0 0 −−=− ∫∫ (37′) И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 16 из (36) получаем .) ),(())()(,)(( 00 dtuvupdtuyvyzuy T g T −=−− ∫∫ (38) Следовательно, неравенство (34) имеет вид .,0) ,)(( 0 ∂∈∀≥−+∫ Uvdtuvuaup T (39) Таким образом, оптимальное управление u∈U∂ определяется соотношениями (12), (13), (36), (37), (39). При U∂ = U (случай отсутствия ограничений) из (39) вытекает .),(,/ Ttxаpu Ω∈−= (40) В случае, когда решение (y, p)T задачи (12), (13), (36), (37), (40) достаточно гладкое на lTΩ , а именно ∩Ω∩Ω∈Ω )()(, 0,20,1 lTlT CCpy lT ,2,1),(1,0 =Ω∩ lC lT то ей соответствует дифференциальная задача нахождения вектор-функции (y,p)T, удовлетворяющей равенствам ,),(,/)()( 1,1, 2 T j ij n ji i n ji j ij i txfap x yk xt ya tx ya x Ω∈=+ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ∑∑ == ,),(,)()( 1, 1, 2 T n ji g j ij n ji ij ij i txzy x pk xt pa tx pa x Ω∈−=− ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑ = = ,),(,),cos()( 1, 2 T n ji i j ij j ij Гtxyxn x yk tx ya ∈+−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = βα ,),(,),(cos)( 1, 2 Ti n ji j ij j ij Гtxpxn x pk tx pa ∈−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = α ,),(,0)],cos()([ 1, 2 Ti n ji j ij j ij txxn x yk tx ya γ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = ,),(],[)},cos()({ 1, 2 Ti n ji j ij j ij txyrxn x yk tx ya γ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ ± = ∑ ,),(,0)],cos()([ 1, 2 Ti n ji j ij j ij txxn x pk tx pa γ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 17 .),(],[)},cos()({ 1, 2 Ti n ji j ij j ij txprxn x pk tx pa γ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ − ± = ∑ 2. УПРАВЛЕНИЕ В УСЛОВИИ СОПРЯЖЕНИЯ Предположим, что в области TΩ определено уравнение (1). На границе TΓ краевое условие имеет вид (2). Для каждого управления ),0()( 22 TLLu ×=∈ γU состояние )(uyy = определим как обобщенное решение начально-краевой задачи, заданной уравнением (1), краевым условием (2), начальным условием (5) и условиями сопряжения ,),(,0][ Ttxy γ∈= ∑ = ∈+= ∂ ∂ + ∂∂ ∂n ji Ti j ij j ij txuxn x yk tx ya 1, 2 ,),(,),(cos)( ][ γω (41) где ),0()(),( 22 TLLtx ×∈= γωω . Так как существует обобщенное решение ),0()( TWuy ∈ начально- краевой задачи (1), (2), (5), (41), то оно на )2,1( =Ω llT имеет смысл. Соответствующая начально-краевой задаче (1), (2), (5), (41) обобщенная задача состоит в поиске функции ),0();,( TWutxy ∈ , удовлетворяющей }0][ ;2,1 ),(\|:{)( 1 20 ==Ω∈=∈∀ Ω viWvvVxw ii уравне- ниям ),,0(,),(),(),(0 TtdГwduwwdwfwyaw dt dya Г ∈∀+−−=+ ∫∫∫ βγγω γγ (42) ,0)),(),(())(),;0,(( 000 =⋅⋅=⋅⋅ twyawuya (43) где }),0( ,0][ ;2,1 ),(\|:),({ 1 2 TtviWvtxvV ii ∈∀==Ω∈= Ω , билинейная форма ),(0 ⋅⋅a определена формулой (13′), а .),( 1, ∫∫ ∑ Γ+ ∂ ∂ ∂ ∂ = Ω = Гij n ji ij ddx xx ka ψϕαψϕψϕ (43′) Имеет место теорема. Теорема 3. Начально-краевая задача (1), (2), (5), (41) имеет единственное обобщенное решение у(x,t;u)∈W(0,Т) ∀и∈U. Cправедливость теоремы устанавливается аналогично доказательству теоремы 1. И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 18 На основании (42), (43) легко видеть, что при )()( 2121 uyuyuu ≠≠ . Если )(~~),(~~ uyyuyy ′′=′′′=′ — решения из W(0,Т) задачи (42), (43) при f , β, 0=ω и функции u, равной соответственно uu ′′′, , то ≤−−≤−+−− )()( 2 00 22 ''~'~'''''~'~)''~'~,''~'~( 2 1 γγα LLV yyuuyyyyyya dt d VL yyuuc ''~'~''' )(0 2 −−≤ γ . Откуда имеем 2222 ''~'~'''''~'~))(''~'~,''~'~( 2 1 )(0 2 00 LVLLLV yyuucyyTyyyya ××× −−≤−+−− γα . Следовательно, 22222 )( 0 0 '''''~'~''~'~ LLLVLL uu c yyyy ××× −≤−≤− γα , (44) где . , 22 )( 0 2 )( 2 )( 2222 γϕϕϕϕ γ γγγ ddt L T LLL ∫∫ ==× Полученное неравенство обеспечивает непрерывность на U линейного функционала L(⋅) и билинейной формы ),( ⋅⋅π , заданных выражениями (32), где =H),( ψϕ ∫ ∫∫ == TT dtddt 00 .),( ,),( γ γϕψψϕψϕ U Наблюдение зададим в виде (8), где )()( uyuCy ≡ . Каждому управлению u∈U поставим в соответствие значение функции стоимости (10), принимающей вид ,)(()( 0 2 0 2) ∫ ∫∫ ∫ += − Ω ТТ g dtduadtdxzuyuJ γ γ (45) где gz — известный элемент из ,)(0 ),;,0( 10 2 ∞<≤≤< axaaVTL ).( const,, 210 γLaaa ∈= На основании [1, гл.1, теорема 1.1] доказана справедливость следующей теоремы. Теорема 4. Если состояние системы определяется как решение задачи (42), (43), то существует единственный элемент и выпуклого замкнутого в U множества ∂U , для которого справедливо выражение (11), где функция стоимости имеет вид (45). Для управления U∈v определим сопряженное состояние )(vp соотношениями Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 19 .),(,)()()( 1, 2 1, Tg n ji j ij ij ij n ji i txzvy x pk xt pa tx pa x Ω∈−= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∑∑ == ,Г),( ,),cos()( 1, 2 Ti n ji j ij j ij txpxn x p k tx p a ∈−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = α ,),( ,0][ Ttxp γ∈= (46) ,),(,00),(cos)( 1, 2 T n ji i j ij j ij txxn x p k tx p a γ∈= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = .,0),( 21 Ω∪Ω∈= xTxp Задача (46) имеет единственное обобщенное решение );,0()( 2 VTLp ∈ν как решение системы равенств вида (36), (37), где билинейная форма ),(0 ⋅⋅a записывается в виде (13′), а ),( ⋅⋅a определена выражением (43′). Полагая )()( uyvyw −= , из (36) с учетом (42), (43) имеем .)( )())()(,)(( 00 dtduvupdtuyvyzuy T g T γ γ −−=−− ∫ ∫∫ Следовательно, управление u∈U∂ оптимально тогда и только тогда, когда .,0)( ))(( 0 ∂∈∀≥−+−∫ ∫ Uvdtduvuaup T γ γ (47) Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется соотношениями (36), (37), (42), (43), (47), где билинейные формы ),(0 ⋅⋅a , ),( ⋅⋅a имеют соответственно вид (13′), (43′). При U∂ = U (случай отсутствия ограничений) из (47) получаем .),(,0)( Ttxuаup γ∈=+− Из этого равенства находим управление .),(,/ Ttxаpu γ∈= (48) Если решение (y, p)T достаточно гладкое на lTΩ , а именно ∈ΩlT py, ),( )()( 1,00,20,1 lTlTlT CCC Ω∩Ω∩Ω∈ 2,1=l , то задаче (36), (37), (42), (43), (48) соответствует дифференциальная задача поиска вектор-функции Tpy ),( , удовлетворяющей равенствам И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 20 ,),(,)()( 1,1, 2 T j ij n ji i n ji j ij i txf x yk xt ya tx ya x Ω∈= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂∂ ∂ ∂ ∂ − ∑∑ == ,),(,)()( 1,1, 2 Tg j n ji ij i n ji j ij i txzy x pk xt pa tx pa x Ω∈−=− ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∑∑ == ,),(,),cos()( 1, 2 Ti n ji j ij j ij Гtxyxn x yk tx ya ∈+−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = βα ,),(,),(cos)( 1, 2 Ti n ji j ij j ij Гtxpxn x pk tx pa ∈−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = α ,),(,0][,0][ Ttxpy γ∈== ,/)],cos()([ 1, 2 apxn x yk tx ya i n ji j ij j ij += ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = ω ∑ = ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ − n ji Ti j ij j ij txxn x pk tx pa 1, 2 ,),(,0)],cos()([ γ .,0),(),()0,( 210 Ω∪Ω∈== xTxpxyxy .),(,/ Ttxаpu γ∈= 3. УПРАВЛЕНИЕ В УСЛОВИИ СОПРЯЖЕНИЯ C ГРАНИЧНЫМ НАБЛЮДЕНИЕМ Пусть в области ΩТ определено уравнение (1). На границе ГТ краевое условие имеет вид (2). Для каждого управления u∈U =L2(γ) × L2(0,Т) состояние )(uyy = системы определим как обобщенное решение начально- краевой задачи, заданной уравнением (1), краевым условием (2), начальным условием (5) и условиями сопряжения ,),(,0][ Ttxy γ∈= (49) ,),(,)],(cos)([ 1, 2 Ti n ji j ij j ij txuxn x yk tx ya γω ∈+= ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = (50) где ),0()(),( 22 TLLtx ×∈= γωω . Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 21 Функцию стоимости определим выражением .)(()( 0 2 0 2) dtduadtdГzuyuJ ТТ g Г ∫ ∫∫ ∫ += − γ γ (51) Обобщенная задача, соответствующая начально-краевой (1), (2), (5), (49), (50), состоит в нахождении функции у(x,t;u)∈W(0,Т), которая ∀w(x)∈V0 удовлетворяет уравнениям (42), (43), где билинейные формы ),(),,(0 ⋅⋅⋅⋅ aa , пространство V, используемое при определении W(0,Т), и V0 определены в п.2. В соответствии с теоремой 3 начально-краевая задача (1), (2), (5), (49), (50) имеет единственное обобщенное решение у(x,t;u)∈W(0,Т) ∀и∈U. На основании (42), (43) легко видеть, что при )()( 2121 uyuyuu ≠≠ . Пусть )(~~ uyy ′=′ , )(~~ uyy ′′=′′ — решения из W(0,Т) задачи (42), (43) при f , β, 0=ω и функции u, равной соответственно u′, u′′. Тогда , учитывая теоремы вложения, из (44) вытекает справедливость неравенства .'''''~'~ 2222 )(2)( LLLГL uuсyy ×× −≤− γ Полученное неравенство обеспечивает непрерывность на U линейного функционала L(⋅) и билинейной формы ),( ⋅⋅π (32) представления, аналогичного (31), функции стоимости (51). На основании [1, гл.1, теорема 1.1] доказана такая теорема. Теорема 5. Пусть состояние системы определяется как решение задачи (42), (43). Тогда существует единственный элемент и выпуклого замкнутого в U множества U ∂, для которого справедливо выражение (11), где функция стоимости имеет вид (51). Сопряженное состояние p(v) для управления v∈U определим равенствами ,),(,0)()( 1, 2 1, T j ij n ji ij ij n ji i tx x pk xt pa tx pa x Ω∈= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∑∑ == ,),(,)(),(cos)( 1, 2 Tgi n ji j ij j ij Гtxzvypaxn x pk tx pa ∈−+−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = ,),(,0][ Ttxp γ∈= (52) Ti n ji j ij j ij txxn x pk tx pa γ∈= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ ),(,0),(cos)( , 2 .,0),( 21 Ω∪Ω∈= xTxp И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 22 Задача (52) имеет единственное обобщенное решение p(v)∈W(0,Т) как решение системы равенств ,,))((),()),(( 00 VwwdГzvywpawvp dt da g Г ∈∀−=+− ∫ (53) . , ,0),( 00 TtVwwpa =∈∀= (54) Выберем вместо w разность y(v)−y(и). С учетом (37′), (42) из (53) имеем .)(()( )( 00 ))()()( dtdГzuydtduvup Т g Г T uyvy∫ ∫∫ ∫ −−=−− γ γ Следовательно, неравенство (34) применительно к рассматриваемой опти- мизационной задаче имеет вид .,0) )(( 0 ∂∈∀≥−+−∫ ∫ Uvdtduvuap T γ γ (55) Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется соотношениями (42), (43), (53), (54), (55), где билинейные формы ),(),,(0 ⋅⋅⋅⋅ aa имеют соответственно вид (13′), (43′). При UU ∈∂ (случай отсутствия ограничений) из (55) получаем ,),( ,0 Ttxuаp γ∈=+− т.е. .),( ,/ Ttxаpu γ∈= (56) В случае, когда решение (y, p)T задачи (42), (43), (53), (54), (56) достаточно гладкое на lTΩ , 2,1=l , этой задаче соответствует дифференциальная задача нахождения вектор-функции (y, p)T, удовлетво- ряющей равенствам ,),( ,)()( 1,1, 2 ∑∑ == Ω∈= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂∂ ∂ ∂ ∂ − n ji T j ij i n ji j ij i txf x yk xt ya tx ya x ,),( ,0)()( 1,1, 2 ∑∑ == Ω∈= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ n ji T j ij i n ji j ij i tx x pk xt pa tx pa x ,),(,),cos()( 1, 2 Ti n ji j ij j ij Гtxyxn x yk tx ya ∈+−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = βα Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 23 ,),(,),(cos)( 1, 2 Tgi n ji j ij j ij Гtxzypxn x pk tx pa ∈−+−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = α ,),(,0][,0][ Ttxpy γ∈== ,),( ,/),cos()( 1, 2 Ti n ji j ij j ij txаpxn x yk tx ya γω ∈+= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = ,),( ,0),cos()( 1, 2 Ti n ji j ij j ij txxn x pk tx pa γ∈= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = .,0),(),()0,( 210 Ω∪Ω∈== xTxpxyxy 4. УПРАВЛЕНИЕ В УСЛОВИИ СОПРЯЖЕНИЯ C ФИНАЛЬНЫМ НАБЛЮДЕНИЕМ Для каждого управления ),0()( 22 TLLu ×=∈ γU состояние )(uyy = системы определим как обобщенное решение начально-краевой задачи, заданной уравнением (1), краевым условием (2), начальным условием (5) и условиями сопряжения (49), (50). Функция стоимости имеет вид ,);,(,;,(()( 0 2 0 dtduazuTxyzuTxyauJ Т gg ∫ ∫+−)−)= γ γ (57) где .,const, ,)(0 01010 Vzaaaxaa g ∈=∞<≤≤< Функционал (57) может быть записан в виде ),0;()(,0;()(()(2),()( 0 )⋅−⋅)⋅−⋅+−= ,Tyz,TyzauLuuuJ ggπ (57′) где ,)0;,(;,(,0;,(;,((),(π 0 0 dtduvaTyvTyTyuTyavu Т ∫ ∫+)⋅−)⋅)⋅−)⋅= γ γ ).0;,(;,(,0;,()(()( 0 )⋅−)⋅)⋅−⋅= TyvTyTyzavL g Соответствующая начально-краевой задаче (1), (2), (5), (49), (50) обобщенная задача состоит в нахождении функции ),0(),,( TWutxy ∈ , удовлетворяющей ∀w(x)∈V0 уравнениям (42), (43), где билинейные формы ),(0 ⋅⋅a , ),( ⋅⋅a определены соответственно выражениями (13′), (43′), а пространство V0 определено в п. 2. И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 24 В силу теоремы 3 существует единственное обобщенное решение задачи (1), (2), (5), (49), (50). В п. 2 установлено, что при 21 uu ≠ )()( 21 uyuy ≠ . Если )(~~),(~~ uyyuyy ′′=′′′=′ — решения из ),0( TW задачи (42), (43), где билинейные формы ),(),,(0 ⋅⋅⋅⋅ aa определены формулами (13′), (43′), при 0,0,0 === ωβf и функции u, равной соответственно u′, u′′, то справедливы неравенства ≤−+−− × 2 00 2 ''~'~))(''~'~,''~'~( 2 1 LVyyTyyyya α ,''~'~''' 222 )(0 LVLL yyuuc ×× −−≤ γ (58) 2222 ''~'~'''''~'~ )(0 2 0 LVLLLV yyuucyy ××× −−≤− γα . На основании этих неравенств получаем .'''''~'~ 222 )( 0 0 LLLV uu c yy ×× −≤− γα (59) Учитывая (59), из (58) имеем .''' 2 ))(''~'~,''~'~( 2 )( 0 2 0 0 22 LLuu c Tyyyya ×−≤−− γα Тогда на основании неравенства Фридрихса находим .const ,''')(''~'~ 0)(0 22 =′−′≤− × cuucTyy LLV γ Полученное неравенство обеспечивает непрерывность на U линейного функционала L(⋅) и билинейной формы ),( ⋅⋅π на U. На основании [1, гл.1, теорема 1.1] доказана следующая теорема. Теорема 6. Если состояние системы определяется как решение задачи (42), (43), где билинейные формы ),(),,(0 ⋅⋅⋅⋅ aa определены соответственно формулами (13′), (43′), то существует единственный элемент и выпуклого, замкнутого в U множества U∂, для которого имеет место выражение (11) с функцией стоимости (57). Для управления ∈ν U определим сопряженное состояние )(νp соотношениями ,),(,0)()( 1,1, 2 T j n ji ij i n ji j ij i tx x pk xt pa tx pa x Ω∈= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∑∑ == ,),(,),(cos)( 1, 2 Ti n ji j ij j ij Гtxpxn x pk tx pa ∈−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = α Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 25 ,),(,0][ Ttxp γ∈= (60) ,),(,0)],(cos)([ 1, 2 T n ji i j ij j ij txxn x pk tx pa γ∑ = ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ − .,);,();,( 21 Ω∪Ω∈−= xzvTxyvTxp g Задача (60) имеет единственное обобщенное решение p(v)∈W(0,Т), как решение системы , ,0),()),(( 00 Vwwpawvp dt da ∈∀=+− (61) . ),,((),;(( 000 Vwwzvyawv,Tpa g ∈∀−)=)⋅ (62) Выберем вместо w разность )()( uyy −ν . С учетом (42) и равенства =−− ∫ dtuyvy dt udpa T ))()(,)(( 0 0 Tt T uyvypadtuyvy dt dupa =−−−)= ∫ ))()(,()))()((,(( 0 0 0 из (61) следует .0))()(,(()()( 0 0 =−)−−− =∫ ∫ Tt T uyvyupadtduvup γ γ Используя (62), из полученного равенства имеем ∫ ∫ ∂∈∀−−=−−) T g vdtduvupuyvyzuya 0 0 . ,))(( ) )()( ,(( U γ γ (63) С учетом (63), применительно к рассматриваемой оптимизационной задаче, неравенство (33′) принимает вид .,0) )()(( 0 ∂∈∀≥−+−∫ ∫ Uvdtduvuaup T γ γ (64) Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется соотношениями (42), (43), (61), (62), (64). При UU =∂ (случай отсутствия ограничений) из (64) получаем И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 26 Ttxuap γ∈=+− ),(,0 (64′) и управление .),(,/ Ttxаpu γ∈= (65) Если решение (y, p)T достаточно гладкое на ,2,1, =Ω llT задаче (42), (43), (61), (62), (64′) соответствует дифференциальная, заданная равенствами (1), (2), (5), (49), (50), где управление u имеет вид (65). 5. УПРАВЛЕНИЕ В КРАЕВОМ УСЛОВИИ C ФИНАЛЬНЫМ НАБЛЮДЕНИЕМ Для каждого управления ),0()( 22 TLLu ×Γ∈ состояние )(uyy = системы определим как обобщенное решение начально-краевой задачи, заданной уравнением (1), условиями сопряжения (3), (4), начальным условием (5) и краевым условием .),(,),cos()( 1, 2 Tiij n ji ij Гtxuyxn x yk tx ya jj ∈++−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = βα (66) Функция стоимости имеет вид .);,(,;,(()( 0 2 0 dtduazuTxyzuTxyauJ Т Г gg ∫ ∫+−)−)= γ (66′) Соответствующая начально-краевой задаче (1), (3)−(5), (66) обобщенная задача состоит в нахождении функции ),0(),,( TWutxy ∈ , удовлетворяющей ∀w(x)∈V0 уравнениям ,),(),(),(0 ГuwdГwdwfwyaw dt dya ГГ ∫∫ ++=+ β (67) ,0 )),(),(())(),;0,(( 000 =⋅⋅=⋅⋅ twyawuya (68) где пространства ),0( TW , V0 определены в п.1, а билинейные формы ),(),,(0 ⋅⋅⋅⋅ aa , соответственно, — выражениями (13′), (13′′). Теорема 7. Начально-краевая задача (1), (3)−(5), (66) имеет единственное обобщенное решение ∈∀ uutxy );,( U. На основании (67) легко видеть, что при )()( 2121 uyuyuu ≠≠ . Если y ′~ = )(~ uy ′ , y ′′~ = )(~ uy ′′ — решения из ),0( TW задачи (67), (68) при 0,, =ωβf и функции u, равной соответственно u′, u′′, то .''~'~'''''~'~)''~'~,''~'~( 2 1 )(0 2 00 2 VГLV yyuucyyyyyya dt d −−≤−+−− α Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 27 Отсюда имеем .''~'~'''''~'~))(''~'~,''~'~( 2 1 222 )(0 2 00 LVLГLV yyuucyyTyyyya ×× −−≤−+−− α Следовательно, .''')(''~'~ 22 )(1 LГLV uucTyy ×−≤− Полученное неравенство обеспечивает непрерывность на U линейного функционала )0;(;(,0;()(()( 0 )⋅−)⋅)⋅−⋅= ,Tyv,Ty,TyzavL g и билинейной формы dtГTyvTyTyuTyavu Т Г uvda∫ ∫+)⋅−)⋅)⋅−)⋅= 0 0 )0;,(;,(,0;,(;,((),(π представления (57′) функции стоимости (66′). На основании [1, гл.1, теорема 1.1] доказана следующая теорема. Теорема 8. Пусть состояние системы определяется как решение задачи (67), (68). Тогда существует единственный элемент и выпуклого, замкнутого в U множества U∂, для которого справедливо выражение (11), где функция стоимости имеет вид (66′). Сопряженное состояние p(v) для управления v∈U определим равенствами ,),(,0)()( 1,1, 2 T j n ji ij i n ji j ij i tx x pk xt pa tx pa x Ω∈= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∑∑ == ,),(,),(cos)( 1, 2 Ti n ji j ij j ij Гtxpxn x pk tx pa ∈−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = α ,),(,0)],(cos)([ 1, 2 T n ji i j ij j ij txxn x pk tx pa γ∑ = ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ − (69) ,),(],[)},(cos)({ 1, 2 T n ji i j ij j ij txprxn x pk tx pa γ∑ = ± ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ − .,);,();,( 21 Ω∪Ω∈−= xzvTxyvTxp g Задача (69) имеет единственное обобщенное решение как решение системы И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 28 , ,0),()),(( 00 Vwwpawvp dt da ∈∀=+− (70) . ),,((),;(( 000 Vwwzvyawv,Tpa g ∈∀−)=)⋅ (71) Выберем вместо w разность )()( uyy −ν С учетом (67), (68) находим .0)())( )((,( 0 ∫ ∫ =−+−) T Г dtdГuvpTuyvypa C учетом (71) имеем ∫ ∫ −=−−) = T Г Ttg dtdГuvupuyvyzuya 0 0 .))(())()(,(( Следовательно, применительно к рассматриваемой оптимизационной задаче, неравенство (33′) принимает вид . ,0) )()(( 0 ∂∈∀≥−+∫ ∫ UvdtdГuvuaup T Г (72) Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu определяется соотношениями (67), (68), (70), (71), (72). При UU =∂ (случай отсутствия ограничений) из (72) получаем TГtxuаup ∈=+ ),( ,0)( и управление .),( ,/ TГtxаpu ∈−= (73) Если решение Tpy ),( достаточно гладкое на lTΩ , 2,1=l , то задаче (67), (68), (70), (71), (73) соответствует дифференциальная задача, заданная равенствами (1), (3), (4), (5), (66), (69), где оптимальное управление u имеет вид (73). 6. УПРАВЛЕНИЕ В КРАЕВОМ УСЛОВИИ C НАБЛЮДЕНИЕМ В УСЛОВИИ СОПРЯЖЕНИЯ Для каждого управления ),0()( 22 TLLu ×Γ∈ состояние )(uyy = системы определим как обобщенное решение начально-краевой задачи, заданной уравнением (1), начальным условием (5), краевым условием (66) и условиями сопряжения ,),( ,0][ Ttxy γ∈= (74) Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 29 .),( ,),cos()( ][ 1, 2 Tiij n ji ij txxn x yk tx ya jj γω ∈= ∂ ∂ + ∂∂ ∂∑ = (75) Функция стоимости имеет вид .)(()( 0 2 0 2) dtdГuadtdzuyuJ Т Г Т g ∫ ∫∫ ∫ += − γ γ (76) Соответствующая начально-краевой задаче (1), (5), (66), (74), (75) обобщенная задача состоит в нахождении функции ),0();,( TWutxy ∈ , удовлетворяющей ∀w(x)∈V0 уравнениям ,),(),(),(0 ГuwdГwdwfwyaw dt dya ГГ ∫∫ ++=+ β (77) ,0 )),(),(())(),;0,(( 000 =⋅⋅=⋅⋅ twyawuya (78) где пространства ),0( TW , V0 определены в п.2, а билинейные формы ),(),,(0 ⋅⋅⋅⋅ aa , соответственно — выражениями (13′), (43′). Теорема 9. Начально-краевая задача (1), (5), (66), (74), (75) имеет единственное обобщенное решение ),0(),,( TWutxy ∈ U∈∀u . На основании (77) легко видеть, что при )()( 2121 uyuyuu ≠≠ . Если )(~~ uyy ′=′ , )(~~ uyy ′′=′′ — решения из W(0,Т) задачи (77), (78) при 0,, =ωβf и функции u, равной соответственно u′, u′′, то .~~~~)~~,~~( 2 1 )(000 2 VГLV yyuucyyayyyya dt d ′′−′′′−′≤′′−′+′′−′′′−′ Следовательно, .~~ 2222 )(1)( LГLLL uucyy ×× ′′−′≤′′−′ γ Полученное неравенство обеспечивает непрерывность на U линейного функционала 22 )())0()(),0(()( LLg yvyyzvL ×−−= γ и билинейной формы dtГyvyyuyvu Т Г LL uvda∫ ∫+−−= × 0 )( 22 ))0()(),0()((),( γπ представления 2 )( 22 )0()(2),()( π LLg yzuLuuuJ × −+−= γ функции стоимости (76). И.В. Сергиенко, В.С. Дейнека ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 30 На основании [1, гл.1, теорема 1.1] доказана следующая теорема. Теорема 10. Пусть состояние системы определяется как решение задачи (77), (78). Тогда существует единственный элемент и выпуклого замкнутого в U множества U∂, для которого справедливо выражение (11), где функция стоимости имеет вид (76). Сопряженное состояние p(v) для управления U∈ν определим равенствами ,),( ,0)()( 1, 2 1, T n ji j ij ij ij n ji i tx x pk xt pa tx pa x Ω∈= ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∑∑ == ,),( , ), (cos) ( 1, 2 Ti n ji j ij j ij Гtxpxn x pk tx pa ∈−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = α ,),(,0][ Ttxp γ∈= (79) ,),( ,)(), (cos)( ][ 1, 2 Tgi n ji j ij j ij txzvyxn x pk tx pa γ∈−= ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −∑ = .,0);,( 21 Ω∪Ω∈= xvTxp Задача (79) имеет единственное обобщенное решение как решение системы ),,0( , ,),)((),()),(( 0)(0 2 TtVwwzvywpawvp dt da Lg ∈∈∀−−=+− γ (80) . ,0))(),;,(( 00 VwwvTpa ∈∀=⋅⋅ (81) Выберем вместо w разность )()( uyy −ν . С учетом (77), (78) находим .)(()( )( 00 ))()()( dtdzuydtdГuvup Т g T Г uyvy∫ ∫∫ ∫ −−−=− γ γ Следовательно, применительно к рассматриваемой оптимизационной задаче, неравенство (33′) принимает вид . ,0) )(( 0 ∂∈∀≥−+−∫ ∫ UvdtdГuvuap T Г (82) Таким образом, оптимальное управление ∂∈Uu .определяется соотношениями (77), (78), (80)−(82). При UU =∂ (случай отсутствия ограничений) из (82) получаем TГtxuap ∈=+− ),( ,0 Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением… Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 31 и управление .),( ,/ TГtxаpu ∈= (83) Если решение Tpy ),( достаточно гладкое на lTΩ , 2,1=l то задаче (77), (78), (80), (81), (83) соответствует дифференциальная задача, заданная равенствами (1), (5), (66), (74), (75), (79), где оптимальное управление u имеет вид (83). ЛИТІЕРАТУРА 1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с. 2. Ляшко С.И. Обобщенное управление линейными системами. —Киев: Наук. думка, 1998. — 465 с. 3. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с. 4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 с. 5. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с. 6. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. — 736 с. 7. Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Модели и методы решения задач в неоднородных средах. — Киев: Наук. думка, — 2001. — 606 с. Поступила 12.07.2002
id	journaliasakpiua-article-176189
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Russian
last_indexed	2025-07-17T10:26:09Z
publishDate	2019
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/fe/269d746f1a253b004bfe29150cb35ffe.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-1761892019-08-20T18:16:43Z Оptimal system control described by pseudoparabolic equation with conjugation conditions Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением с условиями сопряжения Оптимальне керування системою, що описується псевдопараболічним рівнянням з умовами спряження Sergienko, I. V. Deyneka, V. S. New optimal control distributed system problems described by boundary condition problems for pseudoparabolic equations with conjugation conditions and quadratic cost function are considered. Unique existence optimal control theorems are proved for all analyzed cases. Рассмотрены новые задачи оптимального управления распределенными системами, описываемыми начально-краевыми задачами для псевдопараболического уравнения с условиями сопряжения и квадратичной функцией стоимости. Для всех рассмотренных случаев доказаны теоремы существования единственных оптимальных управлений. Розглянуто нові задачі оптимального керування розподіленими системами, які описуються початково-крайовими задачами для псевдопараболічного рівняння з умовами спряження та квадратичною функцією вартості. Для всіх розглянутих випадків доведені теореми існування єдиних оптимальних керувань. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-08-20 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176189 System research and information technologies; No. 3 (2002); 7-31 Системные исследования и информационные технологии; № 3 (2002); 7-31 Системні дослідження та інформаційні технології; № 3 (2002); 7-31 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176189/175990 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	Sergienko, I. V. Deyneka, V. S. Оптимальне керування системою, що описується псевдопараболічним рівнянням з умовами спряження
title	Оптимальне керування системою, що описується псевдопараболічним рівнянням з умовами спряження
title_alt	Оptimal system control described by pseudoparabolic equation with conjugation conditions Оптимальное управление системой, описываемой псевдопараболическим уравнением с условиями сопряжения
title_full	Оптимальне керування системою, що описується псевдопараболічним рівнянням з умовами спряження
title_fullStr	Оптимальне керування системою, що описується псевдопараболічним рівнянням з умовами спряження
title_full_unstemmed	Оптимальне керування системою, що описується псевдопараболічним рівнянням з умовами спряження
title_short	Оптимальне керування системою, що описується псевдопараболічним рівнянням з умовами спряження
title_sort	оптимальне керування системою, що описується псевдопараболічним рівнянням з умовами спряження
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176189
work_keys_str_mv	AT sergienkoiv optimalsystemcontroldescribedbypseudoparabolicequationwithconjugationconditions AT deynekavs optimalsystemcontroldescribedbypseudoparabolicequationwithconjugationconditions AT sergienkoiv optimalʹnoeupravleniesistemojopisyvaemojpsevdoparaboličeskimuravneniemsusloviâmisoprâženiâ AT deynekavs optimalʹnoeupravleniesistemojopisyvaemojpsevdoparaboličeskimuravneniemsusloviâmisoprâženiâ AT sergienkoiv optimalʹnekeruvannâsistemoûŝoopisuêtʹsâpsevdoparabolíčnimrívnânnâmzumovamisprâžennâ AT deynekavs optimalʹnekeruvannâsistemoûŝoopisuêtʹsâpsevdoparabolíčnimrívnânnâmzumovamisprâžennâ

Оптимальне керування системою, що описується псевдопараболічним рівнянням з умовами спряження

Institution

Ähnliche Einträge