Багатокритеріальні задачі прийняття рішень в нечітких умовах і методи їх розв’язання
Problems of decision-making with (using) multiple criteria under uncertainty, when parameters of goal functions and constants are fuzzy sets, are considered. For multi-criteria linear programming problem suggested is the method which enables to find compromise solution for a pair of pessimist and op...
Gespeichert in:
| Datum: | 2019 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Online Zugang: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176502 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302590092836864 |
|---|---|
| author | Zaychenko, Ju. P. |
| author_facet | Zaychenko, Ju. P. |
| author_sort | Zaychenko, Ju. P. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-08-21T15:53:44Z |
| description | Problems of decision-making with (using) multiple criteria under uncertainty, when parameters of goal functions and constants are fuzzy sets, are considered. For multi-criteria linear programming problem suggested is the method which enables to find compromise solution for a pair of pessimist and optimist tasks. For general multi-criteria non-linear programming problem with fuzzy parameters the method based on finding of the Pareto-optimal solution of α-level is suggested. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:26:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
© Ю.П. Зайченко
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 2 53
TIДC
ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І
УПРАВЛІННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ, ТЕХНІЧНИХ,
ЕКОЛОГІЧНИХ І СОЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
УДК 519
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В НЕЧЕТКИХ УСЛОВИЯХ И
МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Ю.П. ЗАЙЧЕНКО
Рассматриваются задачи многокритериальной оптимизации (МКО) в нечетких
условиях, когда параметры целевой функции и ограничений являются
нечеткими числами. Для задачи МКО линейного программирования
предложен метод, сводящий ее к решению компромиссного решения для пары
задач оптимиста и пессимиста. Для общего случая МКО задачи нелинейного
программирования с нечеткими параметрами введено понятие Парето-
оптимального решения уровня α и предлагается алгоритм, позволяющий
находить эти решения. Приведены результаты экспериментальных исследо-
ваний разработанных алгоритмов.
ВВЕДЕНИЕ
Одним из наиболее интересных современных направлений теории принятия
решений (ПР) в сложных системах являются многокритериальные задачи
принятия решений. Его актуальность определяется тем, что многие практические
задачи планирования и управления в социально-экономических системах
сводятся к задачам МКО.
Современная теория оптимизации накопила достаточно широкий
арсенал решения подобных задач, основанных на различных идеях и
подходах, большинство из которых сводится к нахождению некоторого
наилучшего компромиссного решения задачи МКО, одного из Парето-
оптимальных решений [1, 2]. Все эти подходы и методы базируются на
допущении, что лицо, принимающее решение (ЛПР), обладает полной
информацией, необходимой для принятия решений (решение принимается в
условиях определенности). Однако задача принятия решений значительно
усложняется, если решения необходимо принимать в условиях неопреде-
ленности (неполной информированности ЛПР о целевых функциях и
ограничениях). Именно эта ситуация чаще всего и встречается на практике.
Целью настоящей статьи является изложение моделей и методов
принятия многокритериальных решений в условиях неполноты информации
(при различных формах задания неопределенности). При этом рассмат-
риваются как линейные, так и нелинейные задачи оптимизации.
Ю.П. Зайченоко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 2 54
1. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИ-
РОВАНИЯ (ЛП) С НЕЧЕТКИМИ ЦЕЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ
1.1. Однокритериальные задачи ПР с интервально-заданными нечеткими
параметрами целевых функций. Пусть задача ПР с несколькими
критериями сводится к многокритериальной задаче линейного програм-
мирования (МКЛП-задача) следующего вида:
Kixcz
n
j
ijiji ,1 ,max
1
===∑
=
Τxc (1)
при условиях
BAx ≤ , (2)
0≥x , (3)
где все коэффициенты целевых функций Cij являются нечеткими числами,
заданными на интервале [ ]ijuijlij ccc ,∈ .
Рассмотрим сначала случай, когда ЛПР неизвестна функция
принадлежности нечеткого параметра )( ijij Cµ , а известны только концы
интервала, нижний — )( ijlC и верхний )( ijuC . Для такой степени
информированности ЛПР предлагается следующий метод решения.
Составляем и решаем так называемую задачу пессимиста вида
∑
=
Τ==
n
j
ljill xcz
1
max xc (4)
при условиях
BAx ≤ , (5)
0≥x . (6)
Найденное решение обозначим через *
lx , а оптимальное значение
целевой функции **
max )( lll zzz
l
== x .
Одновременно решаем соответствующую задачу минимизации
ll zz =)(min x (7)
при условиях (5), (6).
Затем решаем так называемую задачу оптимиста (для наилучших
условий внешней среды)
∑
=
Τ==
n
j
ujjuu xcz
1
)(max xcx (8)
при условиях (5), (6) и найдем оптимальное ее решение *
ux , а
также )(maxz *
u xuz= .
Многокритериальные задачи принятия решений в нечетких условиях и методы их решения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 2 55
Далее определяем нижнюю границу критерия оптимиста
)(min xuu zz = (9)
при условиях (5), (6).
Тогда задачу нахождения оптимального решения в условиях с
интервально-заданными параметрами целевой функции можно свести к
задаче нахождения компромиссного решения следующей МК-задачи:
)(
)(
max
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
Τ
Τ
xcx
xcx
uu
ll
z
z
(10)
при условиях (2),(3).
Для нахождения ее решения применим такой подход. Перейдем от
критерия )(xlz к нечеткому критерию )(xlϕ с функцией принадлежности
)(xlf , задаваемой так:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<<
−
−
≤
=
.z)(z 1,
,z)(z
)(
,)(z если ,0
)(
*
*
*
ll
lll
ll
ll
ll
l z
zz
zz
z
f
x
x
x
x
x
если
если, (11)
Аналогичным образом для критерия оптимальности )(xuz перейдем к
нечеткой целевой функции с функцией принадлежности )(xuf , которая
определяется так:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<<
−
−
≤
=
*
uu
*
uu*
u
)(если,1
,)(z если,
)(
,)(zесли,0
)(
zz
zz
zz
zz
z
f u
uu
uu
u
u
x
x
x
x
x (12)
Далее применяем подход Белмана-Заде и ищем такое компромиссное
решение 0x , для которого
{ } max)(),(min →xx ul ff (13)
при условиях (2), (3).
Данная минимаксная задача запишется в следующем эквивалентном виде:
x
λmax (14)
при условиях
,)()(
,)()(
*
*
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−≤−−
−≤−−
uuuu
llll
zzzz
zzzz
x
x
λ
λ
(15)
Ю.П. Зайченоко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 2 56
BAx ≤ , (16)
0≥x . (17)
Величина [ ])1,0(0 ∈λλ характеризует достигнутую степень удовлетво-
рения каждого из нечетких критериев ( lf и uf ).
1.2. Задача ЛП с нечеткими параметрами критериев с известными
функциями принадлежности. Рассмотрим теперь случай большей
информированности ЛПР о нечетких параметрах. Пусть ЛПР знает
функцию принадлежности )( ijij cµ нечетких параметров jc . Тогда он может
задаться некоторым уровнем ))1,0(( ∈αα и определить подмножество
уровня α α
jC нечеткого числа jc : [ ]ααα
jujlj ccc ,= .
Тогда можно сформировать два критерия — пессимиста )(xα
lz для
левого конца интервала и оптимиста — )(xα
uz для правого конца интервала,
и перейти к решению двух критериальных задач вида
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
=
Τ
Τ
xcx
xcx
αα
αα
uu
ll
z
z
)(
)(
max .
Для нахождения наилучшего компромиссного решения этой задачи
необходимо перейти к линейной задаче вида
λmax (18)
при условиях
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−≤−−
−≤−−
,)()(
,)()(
*
*
a
u
a
u
a
u
a
u
a
l
a
l
a
l
a
l
zzzz
zzzz
x
x
λ
λ
(19)
BAx ≤ , (20)
0≥x . (21)
Она является обычной ЛП-задачей и решается стандартными методами
ЛП (симплекс-методом, методом обратной матрицы и т.д.).
При необходимости более полного учета информации о виде функции
принадлежности )( jj cµ ЛПР может задаться несколькими уровнями
Rαααα ,...,,: 21 , и тогда ограничения минимаксной задачи (18) запишутся в
виде
R,r
zzzz
zzzz
rrrr
rrrr
uuuu
llll
1
,)()(
,)()(
*
*
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−≤−−
−≤−−
αααα
αααα
λ
λ
x
x
, (22)
т.е. получим 2R ограничений (обычно 43 •
•⎯=R ).
Многокритериальные задачи принятия решений в нечетких условиях и методы их решения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 2 57
1.3. Многокритериальная задача ЛП с нечеткими параметрами в
целевой функции. Рассмотрим теперь общий случай МКЛП-задачи с
нечеткими целевыми функциями. Она запишется в виде
,k ixc
n
j
ijij 1 ,max
1
==∑
=
Τxc (23)
при условиях
x
BAx
, 0
,
≥
≤
(24)
где ijс — нечеткие числа с известными функциями принадлежности
)( ijij c µ .
Зададимся несколькими уровнями Rαααα ,...,,: 21 и найдем соответ-
ствующие интервалы неопределенности ],[ rr
ijuijl cc αα .
Далее, используя подход, описанный в разделе 1.2. , приводим задачу
(23), (24) к следующей МК-задаче:
)(
)(
.........
)(
)(
max
1
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
x
x
x
r
r
r
r
ku
kl
u
l
z
z
z
z
α
α
α
α
, Rr ,1=
при условии (24).
Она приводится к следующей однокритериальной задаче:
λmax (25)
при условиях
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
−≤−−
−≤−−
,)()(
,)()(
*
*
rrrr
rrrr
iuiuiuiu
ilililil
zzzz
zzzz
αααα
αααα
λ
λ
x
x
, ki ,1= , Rr ,1= , (26)
. x
BAx
0
,
≥
≤
(27)
Заметим, что число добавляемых ограничений вида (26) составляет
2RK, поэтому число уровней α нечетких чисел следует ограничивать
43 •
•⎯=R .
Ю.П. Зайченоко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 2 58
2. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРО-
ВАНИЯ (МКНП) С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ
Рассмотрим теперь самый общий случай многокритериальных задач в
условиях неопределенности — так называемые МКНП-задачи с нечеткими
параметрами, когда нечеткость присутствует как в описании целевой
функции, так и в ограничениях.
Они имеют следующий вид.
Найти
[ ]),(,...,),(),(min 11 kkfff axaxAx = (28)
при условиях
{ }mjg jj ,1,0),(:)( =≤=∈ bxxBXx , (29)
где [ ] [ ]mk bbaaA ,...,,,..., 11 == B — нечеткие матрицы; [ ]ipi a=a Pp ,1= ,
[ ]jsj b=b , Ss ,1= , — векторы нечетких параметров, включенных соответ-
ственно в целевые функции ),( iif ax и ограничения ),( jjg bx .
Предположим далее, что ipa и isb — нечеткие числа с известными
функциями принадлежности )( ipip aµ и )( jsjs bµ .
Введем следующее определение.
Определение. Множеством уровня α нечетких матриц [ ]ira=A и
[ ]jsb=B называется множество ),( BAαL таких элементов [ ] ira и [ ]jsb ,
для которых степень их принадлежности не ниже величины α , т.е.
,)(:,),( ⎢⎣
⎡ ≥= αµα irjsir abaL BA
]Ssmjbprki js ,1,,1,)(,,1,,1 ==≥== αµ .
Ясно, что множества уровня α обладают следующим свойством:
21 αα ≤ тогда и только тогда, когда ),(),(
21
BABA αα LL ⊇ .
Используя множество уровня α нечетких чисел, введем понятие
Парето-оптимальных решений для нечетких α -МКНП-задач.
Вектор )( ** Bx X∈ называют α -Парето-оптимальным решением задачи
(26), (27), тогда и только тогда, когда не существует другого )
~
(~ BXx∈ , где
),()
~
,
~
( BABA αL∈ , такого, что
kiff iiii ,1),,()~,~( ** =≤ axax (30)
и строгое неравенство выполняется по крайней мере для одного i, где
( ), ** BA называются оптимальными значениями параметров уровня α .
Многокритериальные задачи принятия решений в нечетких условиях и методы их решения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 2 59
Другими словами, не существует ни одного решения x~ и
соответствующих ему параметров )
~
,
~
( BA уровня α , которое бы доми-
нировало *x .
Заметим, что из свойства множества уровня α ),( BAαL вытекает
следующее утверждение.
Утверждение. Пусть 1x и 2x — Парето-оптимальные решения уровней
1α и 2α соответственно, а ( ), 11 BA и ),( 22 BA — соответствующие
оптимальные параметры уровней 1α и 2α . Если 21 αα ≥ , то ≥),( 11 Axf
),( 22 Axf≥ для любого 1x и набора ),( 11 BA . Как и в четких МК-задачах,
α -Парето-оптимальные решения состоят из множества точек и ЛПР должен
выбрать из них компромиссное решение, исходя из своих субъективных
суждений.
Чтобы осуществить выбор такого компромиссного решения, ЛПР для
каждой целевой функции if устанавливает желательную верхнюю границу
if , называемую эталонным уровнем.
Для указаных ЛПР степени α и эталонных уровней if , ki ,1=
соответствующее Парето-оптимальное решение, близкое к его требованиям,
отыскивается путем решения следующей минимаксной задачи:
[ ]iii
iBXx
ff −
∈
),(maxmin
)(
ax , (31)
),(L),( BABA α∈ . (32)
Эта задача записывается в следующем эквивалентном виде:
υmin (33)
при условиях
kiff iii ,1,),( =≤− υax , (34)
),(),( ),( BABABXx αL∈∈ . (35)
Взаимосвязь между оптимальными решениями минимаксной задачи и
α -Парето-оптимальными решениями устанавливается в следующих теоремах.
Теорема 1. Если ),,,( **** BAx υ — единственное оптимальное решение
минимаксной задачи для некоторого вектора ],...,[ 1 kff=f , то точка *x —
α -Парето-оптимальное решение МКНП-задачи, а ** , BA — оптимальные
значения соответствующих нечетких параметров.
Теорема 2. Если *x — α -Парето-оптимальное решение и ** , BA —
оптимальные значения α -уровня в МКНП-задаче, то существует такой
вектор ],...,[ 1 kff=f , что ),,,( **** BAx υ — оптимальное решение
минимаксной задачи (33) – (35).
Ю.П. Зайченоко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 2 60
Доказательства теорем 1, 2 приводятся в работе [4].
Итак, из теоремы 1 следует, что если решение минимаксной задачи
),,,( **** BAx υ единственное, то оно является α -Парето-оптимальным
решением. Если же оно не единственно, то можно проверить α -Парето-
оптимальность для *x , решив следующую вспомогательную задачу.
Найти
∑
=
n
i
i
1
max ε (36)
при условиях
kiff iiiii ,1),,(),( ** ==+ axax ε , (37)
где
)(,0 BXx∈≥iε , ),(L),( BABA α∈ . (38)
Пусть ( )
~
,
~
,~ BAx — оптимальное решение (36) – (38). Если все 0=iε , то
тогда *x — α -Парето-оптимальное решение. Если же хотя бы одно 0>iε ,
то можно легко показать, что α -Парето-оптимальным решением
является x~ .
3. ИНТЕРАКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МКНП
На основе изложенного выше подхода предлагается интерактивный алгоритм
отыскания α -Парето-оптимального решения, которое бы удовлетворяло
требованиям ЛПР.
Шаг 1. Вычислить индивидуальные минимум и максимум для каждой
целевой функции ),( iif ax при заданных ограничениях для 0=α и 1=α .
Шаг 2. ЛПР просят выбрать значения α и начальные значения эталонных
уровней kifi ,1 ),0( = .
Шаг 3. Для выбранных значений α и )0(if на ЭВМ решается
соответствующая минимаксная задача и выполняется тест на проверку его
α-Парето-оптимальности.
Шаг 4. Анализ полученного решения. ЛПР сообщаются соответствующее
α -Парето-оптимальное решение *X , значение целевой функции ),( **
iif ax ,
текущие эталонные уровни if и ряд других параметров. Если ЛПР удовлетворен
полученными результатами, то конец, иначе он может изменить значения для
некоторых if , а также уровень α . В этом случае переходим снова на шаг 3.
При этом для ЛПР следует подчеркнуть, что:
1) любое улучшение одной целевой функции может быть достигнуто
только за счет ухудшения значений по крайней мере одной другой целевой
функции;
2) увеличение уровня α приводит к ухудшению значений целевой
функции при некоторых фиксированных значениях эталонных уровней if .
Многокритериальные задачи принятия решений в нечетких условиях и методы их решения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 2 61
Сходимость интерактивного алгоритма решения МКНП задач
определяется сходимостью используемого алгоритма решения минимаксной
задачи, эквивалентной исходной задаче МКНП, на шаге 3.
В качестве такого алгоритма могут быть использованы алгоритмы
метода штрафных функций, например, метод барьерных поверхностей или
метод штрафных функций.
3.1. Экспериментальные исследования алгоритма решения задач
МКНП. Для экспериментального исследования интерактивного алгоритма
решения задачи МКНП была выбрана такая задача [4]:
2
133
2
122
2
1111 )~(5)~()~()~(min axaxaxf −+−+−=1ax, , (39)
2
23322
2
221
2
12 )~(2~)5(~)10()~(min axaxaxf −+⋅++⋅−=2ax, (40)
при ограничениях
100
~~~ 2
33
2
22
2
11 ≤++ xbxbxb , (41)
где 3,1,
~
,~,~
21 =ibaa iii — нечеткие числа с функциями принадлежности
треугольного вида, имеющими параметры 321 ,, ppp и 4p , значения
которых приведены в табл. 1.
Т а б л и ц а 1
Нечеткие
параметры 11a 12a 13a 21a 22a 23a 1b 2b 3b
1p 3, 8 48, 5 1, 85 18, 2 2, 9 4, 7 0, 9 0, 8 0, 85
32 pp = 4, 0 50, 0 2, 0 20, 0 3, 0 5, 0 1, 0 1, 0 1, 1
4p 4, 3 52, 0 2, 2 22, 5 3, 15 5, 35 1, 1 1, 2 1, 15
Для нахождения решения минимаксной задачи вида (39) – (41)
используется метод барьерных поверхностей (МБП), для применения
которого строится барьерная функция вида
∑
=
−=
m
i iki
kk bg
rrp
1 ),(
1),(
x
x , (42)
где k — номер текущей итерации, 5,1,0 0 == rβ .
Условия останова алгоритма такие:
,
),(
1
1
ε≤−∑
=
m
i iki
k bg
r
x
(43)
где 410−=ε ; kx — оптимальное решение после k -й итерации. При
оптимизации барьерной функции используется градиентный метод с
переменным шагом. Эксперименты проводились при различных уровнях α .
В качестве эталонных уровней использовались значения 1f и 2f ,которые
приняты ЛПР. В табл.2 приведены результаты экспериментальных
Ю.П. Зайченоко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 2 62
исследований в зависимости от вариаций α и значений эталонных уровней
20001 =f , 25002 =f ( 1F и 2F — достигнутые значения критериев 1f , 2f ;
iTN — число итераций оптимизации).
Т а б л и ц а 2
α 1F 2F 0x=ϑ 1x 2x 3x iTN
0,50 1635,4 2133,9 –364,2 1,542 9,807 1,136 177
0,60 1657 2156 –343,0 1,507 9,714 1,1402 113
0,80 1702 2200 –297,9 1,443 9,5339 1,1454 120
В последующих экспериментах было изучено влияние выбора нечетких
параметров ib из интервала )(],[ iii bLbb α
αα = на область допустимых решений
(ОДР) и достигнутые значения критериев при 5,0=α . Понятно, что при
α
ii bb = получим максимальную ОДР, а при α
ii bb = – минимальную.
Соответствующие результаты приведены в табл. 3.
Т а б л и ц а 3
Вид эксперимента 1F 2F ϑ
Увеличение ОДР 1598 2089 –409,8
Уменьшение ОДР 1748 2248 –251,5
Проанализировав полученные экспериментальные результаты,
приходим к выводам.
Увеличение уровня α приводит к ухудшению достигнутых значений
критериев 1F и 2F , что понятно, так как сужается интервал )( iL aα , на
котором ищется )(min if
i
ax,
ax,
.
Увеличение ОДР приводит к улучшению значений критериев, а ее
уменьшение наоборот — к обратному эффекту. Уменьшая заданные
значения эталонных уровней 1f и 2f , можно достичь улучшения значения
соответствующего критерия вследствие оптимизации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокрите-
риальных задач. — М.: Наука, 1982. — 254 с.
2. Михалевич В.С., Волкович В.Л. Вычислительные методы исследования и
проектирования сложных систем. – М.: Наука, 1982. — 256 с.
3. Зайченко Ю.П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация. — Київ: Вища
шк., 1991. — 191 с.
4. Зайченко Ю.П. Многокритериальные задачи нелинейного программирования с
нечеткими параметрами. Альтернативный подход // Проблемы управления
и информатики. — 1996. — № 6. — С. 145–151.
Поступила 23.02.2002
|
| id | journaliasakpiua-article-176502 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:26:16Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/66/249abb6ef55071bda320e676cb36a766.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1765022019-08-21T15:53:44Z Multi-criteria decision-making problems under fuzzy conditions and methods of their solution Многокритериальные задачи принятия решений в нечетких условиях и методы их решения Багатокритеріальні задачі прийняття рішень в нечітких умовах і методи їх розв’язання Zaychenko, Ju. P. Problems of decision-making with (using) multiple criteria under uncertainty, when parameters of goal functions and constants are fuzzy sets, are considered. For multi-criteria linear programming problem suggested is the method which enables to find compromise solution for a pair of pessimist and optimist tasks. For general multi-criteria non-linear programming problem with fuzzy parameters the method based on finding of the Pareto-optimal solution of α-level is suggested. Рассматриваются задачи многокритериальной оптимизации (МКО) в нечетких условиях, когда параметры целевой функции и ограничений являются нечеткими числами. Для задачи МКО линейного программирования предложен метод, сводящий ее к решению компромиссного решения для пары задач оптимиста и пессимиста. Для общего случая МКО задачи нелинейного программирования с нечеткими параметрами введено понятие Парето-оптимального решения уровня α и предлагается алгоритм, позволяющий находить эти решения. Приведены результаты экспериментальных исследований разработанных алгоритмов. Розглядаються задачі багатоканальної оптимізації (БКО) в нечітких умовах, коли параметри цільової функції та обмеження є нечіткими числами. Для задачі БКО лінійного програмування пропонується метод, який зводить її до розв’язку компромісного рішення для пари задач песиміста та оптиміста. Для загального випадку БКО задачі нелінійного програмування з нечіткими параметрами введено поняття Парето-оптимального рішення рівня α та пропонується алгоритм, який дозволяє знайти ці рішення. Наведено результати експериментальних досліджень розроблених алгоритмів. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-08-21 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176502 System research and information technologies; No. 2 (2002); 53-62 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2002); 53-62 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2002); 53-62 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176502/176263 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Zaychenko, Ju. P. Багатокритеріальні задачі прийняття рішень в нечітких умовах і методи їх розв’язання |
| title | Багатокритеріальні задачі прийняття рішень в нечітких умовах і методи їх розв’язання |
| title_alt | Multi-criteria decision-making problems under fuzzy conditions and methods of their solution Многокритериальные задачи принятия решений в нечетких условиях и методы их решения |
| title_full | Багатокритеріальні задачі прийняття рішень в нечітких умовах і методи їх розв’язання |
| title_fullStr | Багатокритеріальні задачі прийняття рішень в нечітких умовах і методи їх розв’язання |
| title_full_unstemmed | Багатокритеріальні задачі прийняття рішень в нечітких умовах і методи їх розв’язання |
| title_short | Багатокритеріальні задачі прийняття рішень в нечітких умовах і методи їх розв’язання |
| title_sort | багатокритеріальні задачі прийняття рішень в нечітких умовах і методи їх розв’язання |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176502 |
| work_keys_str_mv | AT zaychenkojup multicriteriadecisionmakingproblemsunderfuzzyconditionsandmethodsoftheirsolution AT zaychenkojup mnogokriterialʹnyezadačiprinâtiârešenijvnečetkihusloviâhimetodyihrešeniâ AT zaychenkojup bagatokriteríalʹnízadačíprijnâttâríšenʹvnečítkihumovahímetodiíhrozvâzannâ |