Узагальнена теорема про мінімакс та критичні точки багатозначних відображень
The classical asymmetric minimax theorem for the class of continuous mappings of sets of two players’ strategies is generalized on the class of multiciphered semicontinuous on the top mappings with compact images. The generalized minimax theorem is applied to prove theorems about existence and prope...
Збережено в:
| Дата: | 2019 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2019
|
| Онлайн доступ: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176506 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | System research and information technologies |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
System research and information technologies| _version_ | 1866302590263754752 |
|---|---|
| author | Melnik, V. S. |
| author_facet | Melnik, V. S. |
| author_sort | Melnik, V. S. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-08-21T15:53:44Z |
| description | The classical asymmetric minimax theorem for the class of continuous mappings of sets of two players’ strategies is generalized on the class of multiciphered semicontinuous on the top mappings with compact images. The generalized minimax theorem is applied to prove theorems about existence and properties of multiciphered mappings critical points in topologic spaces. |
| first_indexed | 2025-07-17T10:26:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
© В.С. Мельник
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 2 89
TIДC
МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ
УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР
УДК 517.9
ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА О МИНИМАКСЕ И
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ1
В.С. МЕЛЬНИК
В работе классическая несимметричная теорема о минимаксе для класса
непрерывных отображений между множествами стратегий двух игроков
обобщается на класс множествозначных полунепрерывных сверху отбражений
с компактными образами. Обобщенная теорема о минимаксе применяется при
доказательстве теоремы о существовании и свойствах критических точек
многозначных отображений в топологических пространствах.
Хорошо известна глубокая связь между теорией игр и общими вариацион-
ными принципами с одной стороны и операторными включениями с другой.
Используя неравенство Ки Фаня и несимметричную теорему о минимаксе, в
[1, 2] получены теоремы о нулях многозначных отображений и, как
следствие, — классическая теорема Какутани.
В настоящей работе несимметричная теорема о минимаксе обобщена
на класс многозначных полунепрерывных сверху отображений между
множествами стратегии. Это позволяет существенно ослабить условия
существования критических точек отображений в топологических
пространствах и, как следствие, получить дальнейшие обобщения результатов
по разрешимости операторных включений и мультивариационных
неравенств в банаховых пространствах [3–5].
Пусть X — топологическое хаусдорфово пространство; Y —
топологическое хаусдорфово векторное пространство, N — выпуклое
подмножество в Y; R→× NXf : — некоторая функция; X2 — совокупность
всех подмножеств пространства X. Многозначное отображение XND 2: →
называется строгим, если { } NyDNyD =∅≠∈= )(|Dom . Обозначим через
);( XNcB совокупность строгих полунепрерывных сверху многозначных
отображений с компактными образами и для );( XND cB∈ положим
)),((infsup)(# yydfDf
DdNy ∈∈
= , )),((supinf)( yydfDf
NyDd ∈∈
=⎤⎣ .
1
Робота виконувалась при підтримці Державного фонду фундаментальних досліджень та
ФТІ НТУУ «КПІ».
В.С. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 2 90
Здесь и далее запись Dd ∈ означает, что d — селектор отображения D,
т.е. XNd →: — такое однозначное отображение, что )()( yDyd ∈ ,
Ny∈∀ .
Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:
1) найдется Ny ∈0 такое, что R∈∀λ множество { }λ≤∈ ),(| 0yxfXx
относительно компактно в X;
2) Ny∈∀ функция ),( yxfxX ∋ полунепрерывна снизу, а Xx∈∀
функция ),( yxfyN ∋ вогнута.
Тогда существует Xx∈ такой, что
)()(),(sup # DfDfyxf
Ny
⎤⎣
≤≤
∈
);( XND cB∈∀ .
Справедливо следующее утверждение.
Предложение 1. Пусть X, Y — хаусдорфовы топологические прос-
транства и YXG 2: → — компактнозначное отображение.
Тогда следующие свойства равносильны:
а) отображение G полунепрерывно сверху в точке Xx ∈0 ;
в) для произвольной направленности { }αx , сходящейся к 0x и
)( ααξ xG∈ , можно выделить такую поднаправленность { }νξ
направленности { }αξ , что 0ξξν → в Y и )( 00 xG∈ξ .
Пусть Y и *Y — дуальная пара топологических векторных
пространств; *YP ⊂ — замкнутый выпуклый конус; −⊃ PY — его
отрицательный полярный конус, т.е. { }PpypYyP Y ∈∀≤∈=− 0,| ,
где R→ו• YYY
*:, — каноническая двойственность; K — компактное
пространство; )(YCV — совокупность всех замкнутых выпуклых
подмножеств Y.
Теорема 2. Пусть
*
2: YKF → — строгое многозначное отображение и
выполнены следующие условия:
1) отображение F P-хеминепрерывно сверху, т.е. −∈∀ Py — веще-
ственная функция [ ] Y
Fg
yxgyxFxK ),(sup),(
∈
+ =∋ полунепрерывна сверху;
2) )()( *YCPxF V∈+ Kx∈∀ ;
3) существует );(B c KPD −∈ , для которого
[ ] 0)),((sup ≥+
∈
yydF
Dd
−∈∀ Py .
Тогда найдется такое Kx∈ , что
PxF +∈ )(0 . (1)
Обобщенная теорема о минимаксе и критические точки многозначных отображений
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 2 91
Определение 1. Точка Kx∈ называется P-критической точкой
отображения F, если она удовлетворяет соотношению (1).
Теорема 3. Пусть выполнены условия 1), 2) теоремы 2 и все
P-критические точки в K отображения F изолированы. Тогда их число
конечно.
Теорема 4. Пусть выполнены условия 1), 2) теоремы 2, и 0>∀ε
найдется );( KPD −∈ cBε , для которого
[ ] εε
εε
−≥+
∈
)),((sup yydF
Dd
−∈∀ Py .
Тогда существует, по крайней мере, один элемент Kx∈ такой, что
PxF +∈ )(0 .
Обозначим через *
wY пространство Y с топологией );( * YYσ .
Теорема 5. Пусть Y, *Y — отделимые локально выпуклые
пространства в двойственности, причем каноническая форма
R→ו• YYwY
*:, непрерывная; K — компактное пространство; P —
выпуклое множество в Y;
*
2: YKF → — строгое отображение, удовлет-
воряющее условиям:
1) )(: *YCKF V→ , )(xF — равностепенно непрерывное множество в
*Y , Kx∈∀ .
2) для произвольного Py∈ функция [ ]+∋ yxFxK ),( полунепре-
рывна сверху;
3) существует такое );( KPD cB∈ , что
[ ] 0)),((sup ≥+
∈
yydF
Dd
Py∈∀ .
Тогда найдется такой Kx∈ , что
−+∈ PxF )(0 ,
где { }PyypYpP Y ∈∀≤∈=− 0,|* .
В доказательстве используется следующее утверждение, являющееся
обобщением на случай локально выпуклых пространств классической
теоремы Вейерштрасса (см. [6, теорема 3].
Лемма 1. Пусть Y — отделимое локально выпуклое пространство и *Y
— его топологически сопряженное, *YE ⊂ — замкнутое множество в
топологии );( * YYσ , а ∪ }{ˆ: ∞+=→ RREL — полунепрерывный снизу
функционал в );( * YYσ -топологии. Пусть также или множество E
равностепенно непрерывно в *Y , или же выполнено следующее условие
коэрцитивности:
В.С. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 2 92
для произвольного множества *YU ⊂ , не являющегося равностепенно
непрерывным, и произвольного R∈α , существует такое Up ∈∃ α , что
αα ≥)( pL .
При этих условиях функционал L ограничен снизу на E и достигает на
E своей нижней грани.
Теорема 2+. Пусть YKF 2: → — строгое отображение; P — выпуклый
конус в пространстве Y и выполнены следующие условия:
1) для произвольного −∈Py функция [ ]+∋ yxFxK ),( полунепре-
рывна сверху;
2) для произвольного Kx∈ )()( YCPxF V∈+ ;
3) найдется такое );( KPD −∈ cB , что
[ ] 0)),((sup ≥+
∈
yydF
Dd
−∈∀ Py . (2)
В этом случае существует Kx∈ , для которого
PxF +∈ )(0 .
Теорема 5+. Пусть Y — рефлексивное отделимое локально выпуклое
пространство и каноническая двойственность R:, * →ו• wY YY
непрерывна, где wY — пространство Y с топологией *);( YYσ ; P —
выпуклое множество в *Y . Пусть, кроме того, )()( YCxF V∈ , множество
)(xF ограничено в Y Kx∈∀ и выполнены условия 1), 3) теоремы 2+ (с
заменой −P на P).
Тогда найдется Kx∈ такое, что −+∈ PxF )(0 .
Доказательство основано на утверждении, уточняющем лемму 1.
Лемма 2. Пусть Y — рефлексивное локально выпуклое пространство;
YE ⊂ — замкнутое выпуклое множество; R→EL : — слабо полунепре-
рывный снизу функционал.
Если при этом или множество E ограничено, или функционал L
коэрцитивен в том смысле, что для произвольного неограниченного YU ⊂
и произвольного 0>α найдется такое Uy ∈α , для которого αα ≥)( yL ,
тогда функционал L ограничен снизу на E и достигает на E своей нижней
грани.
Следствие 1. Пусть выполнены условия 1), 2) теоремы 2 (или
теоремы 5 ) и
[ ] 0),(sup ≥+
∈
yxF
Kx
−∈∀ Py ( Py∈∀ ).
Тогда Kx∈∃ такой, что )()(0 −+∈ PPxF .
Обобщенная теорема о минимаксе и критические точки многозначных отображений
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 2 93
Следствие 2. Пусть выполнены условия 1), 3) теоремы 2+ (или теоремы
5+) и
[ ] 0),(sup ≥+
∈
yxF
Kx
−∈∀ Py ( Py∈∀ ).
В этом случае найдется такой Kx∈ , что )()(0 −+∈ PPxF .
Замечание 1. Для доказательства следствий достаточно рассмотреть
постоянное отображение KPD 2: →− , KyD ≡)( (соотв. KPD 2: → ),
которое принадлежит классу );( KP−
cB (соотв. );( KPcB ).
Замечание 2. Пусть K — выпуклый компакт в Y и YKF 2: → . В этом
случае естественным примером отображения KYD 2: * → служит
K )()( ∩ppD Kσ∂= , где Kσ∂ — субдифференциал опорной функции Kσ
множества K, при этом );( * KYD cB∈ . Однако поскольку многозначное
отображение D может не обладать непрерывным селектором, поэтому в [2]
вместо условия (2) вводится альтернативное условие нормальности (или
двойственное ему тангенциальное условие):
Kx∈∀ , )(xNp K∈∀ [ ] 0),( ≥+pxF , (3)
где )(xN K — нормальный конус к множеству K в точке Kx∈ .
Используя предыдущие результаты, условие нормальности (3) можно
существенно ослабить.
Предложение 2. Пусть YKF 2: → , KK ⊂0 — некоторое подмно-
жество, )(: *
0 YCKL V→ — многозначное отображение и
[ ] 0)(),( 00 ≥+xlxF 00 Kx ∈∀ и Ll∈∀ .
Тогда существует );( * KYD cB∈ такое, что
[ ] 0)),((sup ≥+
∈
yydF
Dd
)( 0KLy∈∀ .
Теорема 6. Пусть YKF 2: → строгое отображение KK ⊂0 —
некоторое подмножество, )(: *
0 YKL Con→ , где )( *YCon — совокупность
всех замкнутых выпуклых конусов пространства *Y и справедливы
следующие свойства:
1) )( 0KLy∈∀ функция [ ]+∋ yxFxK ),( полунепрерывна сверху;
2) для произвольных Kx∈ , 00 Kx ∈
)()()( 0 YCxLxF V∈+ − ,
где { })(0,|)( 00 xLyvyYvxL Y ∈∀≤∈=− ;
В.С. Мельник
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 2 94
3) для каждого 00 Kx ∈
[ ] 0)(),( 00 ≥+xlxF Ll∈∀ .
Тогда 00 Kx ∈∀ Kx∈∃ такой, что
)()(0 0xLxF −+∈ .
Следствие 3. Пусть K — компактное подмножество в Y, имеющее
многозначную ретракцию );( KYD cB∈ . Пусть также )(: *YCKF V→ —
хеминепрерывное сверху отображение и
[ ] 0)),((sup ≥+
∈
yydF
Dd
Yy∈∀ . (4)
Тогда существует Kx∈ такой, что )(0 xF∈ .
Следующее утверждение является многозначным аналогом «леммы об
остром угле».
Следствие 4. Пусть Y — конечномерное пространство; )(: YCBF Vr →
— строгое полунепрерывное сверху отображение, { }ryYyB Yr ≤∈= | .
Если при этом
[ ] 0),( ≥+yyF { }rvYvBy Yr =∈=∂∈∀ | , (5)
то rBx∈∃ , для которого )(0 xF∈ .
В следствии 4 рассмотрим отображение rBYD 2: → , которое является
многозначной ретракцией на rB∂ и действует по правилу
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=∂
≠
=
.0,
,0,
)(
yB
y
y
ry
yD
r
Y
Отображение D принадлежит классу cB ( )rBY ; и из условия (5)
вытекает условие (4).
В пространстве Rn рассмотрим симплекс
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=∈= ∑
=
++
n
i
i
nn xxS
1
1|R .
Следствие 5. Пусть )(: n
V
n CSF R→+ — строгое хеминепрерывное
сверху отображение и
[ ] 0),( ≥+yyF nSy +∈∀ . (6)
Обобщенная теорема о минимаксе и критические точки многозначных отображений
Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 2 95
Тогда существует nSx +∈ такой, что
nxF +−∈ R)(0 . (7)
►Положим nYY R== * , nP +−= R , nP +
− = R , nSK += и определим
многозначное отображение
nSnD +→+ 2: R по формуле
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
≠
=
+
=
∑
.0,
,0,
)(
1
yS
y
y
y
yD
n
n
i
i
При этом );(B c
nn SD ++∈ R и нетрудно убедиться, что из (6) следует
условие 3) теоремы 2, а значит и справедливо (7).◄
ЛИТЕРАТУРА
1. Обэн Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. — М.: Мир, 1988. —
510 с.
2. Auben J.-P., Frankovska. H. Set-Valued Analysis.- Birkhouser. — 1990. — 461 p.
3. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационных неравенств с
многозначными отображениями // Кибернетика и системный анализ. ч. I. —
2000.— № 4.— С. 57–69; ч. II. — 2000.— № 5.— С. 41–53; ч. III. — 2001.—
№ 2. — С. 70–83.
4. Мельник В.С. Мультивариационные неравенства и операторные включения в
банаховых пространствах с отображениями класса (S)+ // Укр.мат. журн.—
2000.— 52, № 11. — С. 1513–1523.
5. Згуровский М.З., Мельник В.С. Нелинейный анализ и управление бесконечно-
мерными системами. — Киев: Наук. думка, 1999. — 630 с.
6. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. — М.:
Наука, 1972. — 416 с.
Поступила 12.01.2002
|
| id | journaliasakpiua-article-176506 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:26:18Z |
| publishDate | 2019 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/63/fddb93f56d12054879c7a2d543f22863.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-1765062019-08-21T15:53:44Z General minimax theorem and critical points for multivalued maps Обобщенная теорема о минимаксе и критические точки многозначных отображений Узагальнена теорема про мінімакс та критичні точки багатозначних відображень Melnik, V. S. The classical asymmetric minimax theorem for the class of continuous mappings of sets of two players’ strategies is generalized on the class of multiciphered semicontinuous on the top mappings with compact images. The generalized minimax theorem is applied to prove theorems about existence and properties of multiciphered mappings critical points in topologic spaces. В работе классическая несимметричная теорема о минимаксе для класса непрерывных отображений между множествами стратегий двух игроков обобщается на класс множествозначных полунепрерывных сверху отображений с компактными образами. Обобщенная теорема о минимаксе применяется при доказательстве теоремы о существовании и свойствах критических точек многозначных отображений в топологических пространствах. В роботі класична несиметрична теорема про мінімакс для класу неперервних відображень між множинами стратегій двох гравців узагальнюється на клас множиннозначних напівнеперервних зверху відображень з компактними образами. Узагальнена теорема про мінімакс застосовується при доведенні теорем про існування і властивості критичних точок багатозначних відображень в топологічних просторах. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2019-08-21 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176506 System research and information technologies; No. 2 (2002); 89-95 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2002); 89-95 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2002); 89-95 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176506/176267 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | Melnik, V. S. Узагальнена теорема про мінімакс та критичні точки багатозначних відображень |
| title | Узагальнена теорема про мінімакс та критичні точки багатозначних відображень |
| title_alt | General minimax theorem and critical points for multivalued maps Обобщенная теорема о минимаксе и критические точки многозначных отображений |
| title_full | Узагальнена теорема про мінімакс та критичні точки багатозначних відображень |
| title_fullStr | Узагальнена теорема про мінімакс та критичні точки багатозначних відображень |
| title_full_unstemmed | Узагальнена теорема про мінімакс та критичні точки багатозначних відображень |
| title_short | Узагальнена теорема про мінімакс та критичні точки багатозначних відображень |
| title_sort | узагальнена теорема про мінімакс та критичні точки багатозначних відображень |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/176506 |
| work_keys_str_mv | AT melnikvs generalminimaxtheoremandcriticalpointsformultivaluedmaps AT melnikvs obobŝennaâteoremaominimakseikritičeskietočkimnogoznačnyhotobraženij AT melnikvs uzagalʹnenateoremapromínímakstakritičnítočkibagatoznačnihvídobraženʹ |