Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування
A rigorous mathematical model is used for analyzing the contact interaction of two transversally isotropic elastic half-spaces with different properties under compression in the presence of a hard disk-like inclusion between them and pressure in the region of material separation. The solution to the...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/209141 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334405051121664 |
|---|---|
| author | Kirilyuk, Vitaly S. Levchuk, Olga I. |
| author_facet | Kirilyuk, Vitaly S. Levchuk, Olga I. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Vitaly S. Kirilyuk",
"institution": "Відділ механіки стохастично-неоднорідних середовищ Інституту механіки імені С.П.Тимошенка НАН України, Київ"
},
{
"author": "Olga I. Levchuk",
"institution": "Відділ механіки стохастично-неоднорідних середовищ Інституту механіки імені С.П.Тимошенка НАН України, Київ"
}
] |
| author_sort | Kirilyuk, Vitaly S. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-11T08:50:57Z |
| description | A rigorous mathematical model is used for analyzing the contact interaction of two transversally isotropic elastic half-spaces with different properties under compression in the presence of a hard disk-like inclusion between them and pressure in the region of material separation. The solution to the problem is obtained by presenting a general solution of the system of equilibrium equations for a transversely isotropic body through harmonic functions, reducing the boundary-value problem to considering the integral equation, expanding the desired function in a small parameter. As a special case, the found contact results for the main contact parameters for two elastic isotropic half-spaces (in the presence of inclusion between them and pressure in the region of separation). Numerical results are obtained, the influence of the elastic properties of half-spaces, the geometric dimensions of the inclusion and loads on the parameters of contact interaction are studied. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.1.10 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:26:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, 2020
107 Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 539.3
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.1.10
МОДЕЛЮВАННЯ КОНТАКТНОЇ ВЗАЄМОДІЇ
ДВОХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ІЗОТРОПНИХ ПРУЖНИХ
ПІВПРОСТОРІВ ЗА НАЯВНОСТІ ЖОРСТКОГО
ДИСКОПОДІБНОГО ВКЛЮЧЕННЯ МІЖ НИМИ І ТИСКУ
НА ДІЛЯНЦІ РОЗШАРУВАННЯ
В.С. КИРИЛЮК, О.І. ЛЕВЧУК
Анотація. Використано строгу математичну модель для аналізу контактної
взаємодії двох різних за властивостями трансверсально-ізотропних пружних
півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного вклю-
чення між ними і тиску в ділянці розшарування матеріалів. Розв’язок задачі
отримано на основі подання загального розв’язку системи рівнянь рівноваги
для трансверсально-ізотропного тіла через гармонічні функції, зведення кра-
йової задачі до розгляду інтегрального рівняння, розкладу шуканої функції по
малому параметру. Як окремий випадок зі знайдених виразів випливають ос-
новні параметри контакту для двох пружних ізотропних півпросторів (за наяв-
ності включення між ними і тиску в ділянці розшарування). Отримано числові
результати, вивчено вплив пружних властивостей півпросторів, геометричних
розмірів включення і навантажень на параметри контактної взаємодії.
Ключові слова: математичне моделювання, трансверсально-ізотропний мате-
ріал, пружний півпростір, жорстке дископодібне включення, тиск на ділянці
розшарування, параметри контактної взаємодії.
ВСТУП
У різних галузях промисловості для створення елементів конструкцій широ-
ко застосовуються біматеріали, складові яких мають різні фізичні властиво-
сті, зокрема анізотропні. Це, у свою чергу, стимулює інтерес до вивчення і
аналізу розподілу напружень у таких тілах поблизу концентраторів напру-
жень, а також під час контактної взаємодії. Водночас розв’язання просторо-
вих задач теорії пружності для анізотропних тіл ускладнюється, оскільки
у цьому випадку необхідно розв’язувати крайову задачу для система рівнянь
рівноваги анізотропного тіла, яка має складнішу структуру (порівняно з від-
повідною системою для ізотропного пружного тіла).
Натепер для трансверсально-ізотропних тіл з концентраторами напру-
жень ґрунтовно досліджено двовимірні задачі теорії пружності та електро-
пружності [9, 16, 17, 27]. Для задач у тривимірній постановці для трансвер-
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1 108
сально-ізотропних пружних та електропружних матеріалів подання загальних
розв’язків систем рівнянь рівноваги через гармонічні функції запропоновано
у працях [11] та [24, 28] відповідно, а подання розв’язків системи рівнянь
гідропружності для трансверсально-ізотропного тіла — у праці [30]. Важли-
ві результати визначення напруженого стану тривимірних трансверсально-
ізотропних пружних та електропружних тіл отримано у працях [3, 4–6, 8,
10–12, 15, 18, 22, 23, 26, 29, 30] та [1, 2, 7, 19, 20, 24, 31, 32] відповідно.
Відзначимо, що задачі контактної взаємодії для двох пружних ізотроп-
них півпросторів під час стискання (з урахуванням наявності між півпросто-
рами жорсткого дископодібного включення) досліджувались у працях [14,
21, 25]. Але задача контактної взаємодії для двох трансверсально-ізотропних
півпросторів (або хоча б одного з них) за наявності жорсткого включення
між контактними тілами і тиску на ділянці розшарування досі не вивчалась.
У роботі на основі математичного моделювання досліджено контактну
взаємодію двох різних за властивостями пружних трансвесально-ізотропних
півпросторів під час стискання за наявності між ними жорсткого дископодіб-
ного включення сталої товщини та тиску на ділянці розшарування контакт-
них тіл. Для постановки задачі вважається, що поверхня поділу двох пруж-
них тіл розташована на площині ізотропії трансверсально-ізотропних
матеріалів півпросторів. Припускається також, що між тілами наявний
гладкий (без тертя) контакт. За допомогою подання розв’язку рівнянь рівно-
ваги для трансвесально-ізотропного тіла (подання Еліота) через гармонічні
функції, подальшого зведення задачі до розгляду інтегрального рівняння та
розкладу шуканої функції за малим параметром отримано наближений ана-
літичний розв’язок задачі. Знайдено основні параметри контактної взаємодії
різних за властивостями трансверсально-ізотропних пружних півпросторів
(за наявності жорсткого включення між ними і тиску на ділянці розшару-
вання). Як окремий випадок з отриманих виразів випливають параметри
контактної взаємодії двох пружних ізотропних півпросторів за наявності
включення [7].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянемо математичну модель, на основі якої вивчимо контактну взаємо-
дію двох різних за властивостями трансверсально-ізотропних пружних пів-
просторів за наявності жорсткого дископодібного включення сталої товщи-
ни між ними та тиску на ділянці розшарування матеріалів (рис. 1).
Припускаємо, що площина 0z (рис. 1), яка обмежує два півпростори,
є площиною ізотропії трансверсально-ізотропних матеріалів кожного з пів-
просторів, тобто вісь z0 є віссю симетрії обох трансверсально-ізотропних
матеріалів. Також вважаємо, що на площині контактної взаємодії 0z ви-
конуються умови гладкого (без тертя) контакту пружних тіл. Розміри ділян-
ки розшарування двох пружних півпросторів (рис. 1) є невідомими і визна-
чаються у процесі розв’язання задачі. Параметри контактної взаємодії
пружних тіл залежать від значення стискальних зусиль p , значення тиску
0P на ділянці розшарування, пружних властивостей двох трансверсально-
ізотропних матеріалів півпросторів (усього десять незалежних величин) і
двох геометричних параметрів жорсткого включення (значень його радіуса і
товщини).
Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1 109
Для визначення напружено-деформованого стану у кожному з трансве-
рсально-ізотропних пружних півпросторів на поверхні поділу тіл (на пло-
щині 0z ) отримуємо такі граничні умови:
arruz 0,)0,( 1
)1( ;
braPrzz ,)0,( 0
)1( ;
rrr rzrz 0,0)0,()0,( )2()1( ; (1)
arruz 0,)0,( 2
)2( ;
braPrzz ,)0,( 0
)2( ;
rbrr zzzz ),0,()0,( )2()1( ; (2)
rbruru zz ),0,()0,( )2()1( ; (3)
21 ,
де індекси «1» і «2» відповідають першому і другому півпросторам; 0P —
величина тиску на ділянці розшарування; і a — товщина і радіус диско-
подібного жорсткого включення відповідно; значення ab відповідає роз-
міру зони розшарування між півпросторами. З наведених граничних умов
на площині поділу умови (1) відповідають умовам відсутності дотичних на-
пружень на всій поверхні поділу, умови (2), (3) – умовам ідеального механіч-
P0 P0
(a–b) b a
Δ1
r
z
p
Δ2
p
p p
Рис. 1. Контактна взаємодія двох пружних півпросторів за наявності жорсткого
дископодібного включення між ними та тиску у зоні розшарування
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1 110
ного контакту поза зоною розшарування матеріалу. Крім того, маємо такі
умови на нескінченності:
pzz )1( (якщо z ); pzz )2( (якщо z ).
Подамо напружений стан у кожному з пружних півпросторів суперпо-
зицією основного стану (простого стискання pzz )1( ; pzz )2( ) та збу-
реного стану. Для знаходження збуреного стану в кожному з півпросторів
на площині 0z маємо такі граничні умови:
arruz 0,)0,( 1
)1( ;
braPprzz ,)0,( 0
)1( ;
rrr rzrz 0,0)0,()0,( )2()1( ; (4)
arruz 0,)0,( 2
)2( ;
braPprzz ,)0,( 0
)2( ;
rbrr zzzz ),0,()0,( )2()1( ; (5)
rbruru zz ),0,()0,( )2()1( ; (6)
21 .
Умови (4), (5), (6) мають той же зміст, що й умови (1), (2), (3), але для
збуреного стану. Для того щоб дослідити задачу на основі використовуваної
строгої математичної моделі, необхідно знайти розв’язки рівнянь теорії
пружності у кожному з трансверсально-ізотропних півпросторів, що задово-
льняють граничні умови на поверхні поділу матеріалів.
Основні рівняння і співвідношення. Статичні рівняння теорії пруж-
ності для трансверсально-ізотропного тіла у переміщеннях набувають ви-
гляду [3, 4]:
2
2
442
2
12112
2
11 )(
2
1
z
u
c
y
u
cc
x
u
c xxx
0)()(
2
1
44131211
z
u
cc
y
u
cc
x
zy ;
2
2
442
2
112
2
1211 )(
2
1
z
u
c
y
u
c
x
u
cc yyy
0)()(
2
1
44131211
z
u
cc
x
u
cc
y
zx ;
0)( 44132
2
332
2
2
2
44
y
u
x
u
z
cc
z
u
c
x
u
y
u
c yxzzz , (7)
де 4433131211 ,,,, ccccc — незалежні пружні сталі трансверсально-
ізотропного матеріалу.
Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1 111
Розв’язок системи рівнянь (7) згідно із працею [11] можна виразити че-
рез три потенціальні функції i ( i =1,2,3) таким чином:
yxxux /// 321 ;
xyyuy /// 321 ;
zmzmuz // 2211 , (8)
де 321 ,, — функції, що містяться в системі (8) , задовольняють рів-
няння
,0)///( 222222 jj zyx (9)
а також 211211443 ,;)/(2 ccc — корені квадратного рівняння
;0])([ 4433
2
44131133
2
44
2
4411 ccccccccc (10)
).2,1(
)(
4433
4413
4413
4411
j
cc
cc
cc
cc
m
j
jj
j (11)
Увівши позначення )3,2,1(2/1 jzz jj з використанням виразів
(9)–(11), легко встановити, що функції ),,,(),,,( 2211 zyxzyx ),,( 33 zyx
будуть гармонічними функціями у відповідній системі координат ),,( izyx .
Надалі скористаємось позначеннями
1
4413
44111
11
cc
cc
mk ; 1
4413
44211
22
cc
cc
mk ;
)1(44 jj mca ).2,1( j (12)
МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ
Для побудови розв’язку граничної задачі теорії пружності скористає-
мося поданням (8), виразами (9)–(12). Функції ),,( ii zyx (для кожного
трансверсально-ізотропного півпростору з урахуванням властивостей мате-
ріалу) візьмемо у вигляді
),,(),,( **
iiii zyxFzyx , ( i =1, 2); 03 . (13)
Сталі *
i у виразах потенціальних функцій (13) визначимо з такої сис-
теми лінійних алгебричних рівнянь:
;1))1(( 44
2
1
*
j
j
j kc 0/))1(( 44
2
1
*
jj
j
j kc . (14)
У результаті визначення сталих *
i за системою (14) задовольняються
граничні умови по дотичних напруженнях уздовж всієї поверхні поділу для
трасверсально-ізотропного півпростору, а також умови рівності нормальних
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1 112
компонентів напружень поза зоною розшарування матеріалів. Для гранич-
них умов, що залишились, з використанням потенціальних функцій на осно-
ві функцій ),,(*
1 izyxF і ),,(*
2 izyxF (функцій для першого та другого пруж-
них півпросторів) та з урахуванням системи рівнянь (14) отримуємо умови
на площині 0z для визначення невідомих гармонічних функцій
),,(*
1 zyxF і ),,(*
2 zyxF :
arr
z
Fk
j j
j
i
0,)0,( 1
*
1
2
1 )1(
)1(
*)1( ; braPpr
z
F
,)0,( 02
*
1
2
;
arr
z
Fk
j j
j
i
0,)0,( 2
*
2
2
1 )2(
)2(
*)2( ; braPpr
z
F
,)0,( 02
*
2
2
;
rb
z
Fk
z
Fk
j j
j
i
j j
j
i ,
*
2
2
1 )2(
)2(
*)2(
*
1
2
1 )1(
)1(
*)1( ;
rbr
z
F
r
z
F
),0,()0,(
2
*
2
2
2
*
1
2
, 21 . (15)
Розглянемо для порівняння більш просту задачу теорії пружності про
стискання двох пружних ізотропних півпросторів, між якими розташоване
жорстке дископодібне включення сталої товщини. За допомогою подання
Папковича–Нейбера визначення зони розшарування стосовно збуреного
стану зводиться до пошуку двох гармонічних функцій ),,(*
1 zyxf і
),,(*
2 zyxf , для знаходження яких отримуємо на площині поділу матеріалів
0z граничні умови, які структурно подібні до формул (15). Єдина відмін-
ність полягає у тому, що в цих виразах (для ізотропних матеріалів) замість
множників )1()1(
2
1
*)1( / jj
j
i k
і )2()2(
2
1
*)2( / jj
j
i k
використовуються вирази
11 /)1( і 22 /)1( , де 21, — коефіцієнти Пуассона, а 21, — мо-
дулі зсуву для ізотропних матеріалів пружних півпросторів. Виходячи з та-
кої відповідності граничних задач контактної взаємодії двох ізотропних та
двох трансверсально-ізотропних півпросторів для визначення двох гар-
монічних функцій, надалі використаємо схему розгляду більш простої зада-
чі теорії пружності для ізотропних півпросторів.
На основі результатів [25] для двох пружних ізотропних тіл (за наявно-
сті дископодібного включення) та встановленої відповідності задач кон-
тактної взаємодії у випадку двох трансверсально-ізотропних пружних пів-
просторів (за наявності жорсткого дископодібного включення між ними та
тиску на ділянці розшарування) задачу зводимо до розв’язку інтегрального
рівняння до невідомого значення abc / , тобто відношення розміру неві-
домої ділянки розшарування до радіуса жорсткого дископодібного вклю-
чення. Отримуємо
Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1 113
d
c
c
c
c
lnln
)(
)(2
)(
1
0
222
10,
1
1
)1(
2
)1(
2
2
12
2
1 )1(
)1(
*)1(
c
tg
k
ap
j j
j
i
(16)
з додатковою умовою, що вказує на відсутність сингулярної складової у зоні
розшарування матеріалів, якщо br :
0)1(
)(
)(2 2/12
1
0
22
cd
c
c
,
де ar / , abc / ,
2
1 )1(
)1(
*)1(
2
1 )2(
)2(
*)2( /
j j
j
i
j j
j
i
kk
.
Далі, на основі розкладу за малим параметром 1/1/ cba шуканої
функції, що входить до інтегрального рівняння (16) (цілком аналогічно ви-
падку контакту двох пружних ізотропних півпросторів [25]), наближений
розв’язок інтегрального рівняння з додатковою умовою можна отримати за
допомогою розв′язку алгебричного рівняння п’ятого порядку
0
)(
)(2
1
)( 2
2
1 )1(
)1(
)1(
)1(
0
1
j j
jj
v
k
Pp
a
, (17)
де використано позначення
3
464164
)(
5
32
31
)(
5
41024
9
448256
9
80 6
95
5
73
4
O ;
36224
4
6
32
422
9
464
9
8
24
14
3
16
8
164164
1)(
).(
15
4
9
256
9
8
9
864
24
116 6
262364
5
O (18)
Знайдене з алгебричного рівняння (17) та з урахуванням формул (18)
значення ba / визначає розміри зони розшарування між двома транс-
версально-ізотропними пружними півпросторами (за наявності жорского
дископодібного включення між ними) за стискання та врахування тиску на
ділянці розшарування матеріалів. Розміри заглиблення включення
у відповідний трансверсально-ізотропний півпростір залежать від пружних
властивостей матеріалів обох півпросторів і визначаються співвідно-
шенням
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1 114
2
2
1 )2(
)2(
)2(
)2(
1
2
1 )1(
)1(
)1(
)1(
11
j j
jj
j j
jj kk
,
21 .
Тобто заглиблення включення у перший півпростір пропорційне зна-
ченню
2
1 )1(
)1(
)1(
)1(
j j
jj k
, а заглиблення у другий півпростір — значенню
2
1 )2(
)2(
)2(
)2(
j j
jj k
.
Із формул (17) дістаємо співвідношення, що пов’язує значення стиска-
льних навантажень p і тиску на ділянці розшарування 0P з розміром зони
розшарування між півпросторами у вигляді
aNa
v
k
v
k
Pp
j j
jj
j j
jj
*
21
2
1 )2(
)2(
)2(
)2(2
1 )1(
)1(
)1(
)1(
21
0
)(/)(
2
1)(/)(
2
1
, (19)
де
2
1 )2(
)2(
)2(
)2(2
1 )1(
)1(
)1(
)1(
*
j j
jj
j j
jj
v
k
v
k
N . (20)
За допомогою виразів (19), (20) можна знайти значення різниці наван-
тажень 0Pp , що для відомих геометричних параметрів дископодібного
включення, пружних властивостей трансверсально-ізотропних матеріалів
півпросторів відповідає фіксованому розміру зони розшарування пружних
трансверсально-ізотропних півпросторів.
Перетворимо вирази, що входять до формул (19), (20), для більш зруч-
ного їх використання. Для цього скористаємось формулами (10)–(12). У ре-
зультаті маємо
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
Trans v
m
v
a
v
m
v
a
v
k
A
j j
jj
21
1
1
2
2
1
21
2
21
21
1221
1
)(
vv
a
m
a
m
v
aa
v
aa
vv
mama
Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1 115
)1()1()(
1
144
1
244
2
21 mc
m
mc
m
vv
)()(
)()(
)1()1()(
1
1321113111
4413
2/1
2
2/1
1
44
11
21
21
2/1
2
2/1
144 cccc
cc
c
c
mm
mm
c
. (21)
Після переходу від трансверсально-ізотропного до ізотропного ма-
теріалу отримуємо
1;;;2 21441311 ccc ;
.
1
)(2
22
1
j j
jjIso k
A
У результаті подальших перетворень виразу (21) (з використанням тео-
реми Вієта) згідно з працею [20] дістаємо
2
1
Trans
j j
jj
v
k
A
3311441344
2
133311
44
2
133311
11 22
)(
cccccccc
cccc
c
. (22)
Отриманий вираз (22), на відміну від формули (21), дозволяє одразу
знаходити шукане значення безпосереднім підставленням у нього пружних
сталих трансверсально-ізотропного матеріалу, не знаходячи попередньо ко-
рені квадратного рівняння (9).
Зазначимо, що в кутовій зоні жорсткого плоского включення (уздовж
контуру ar ) спостерігається сингулярність напруженого стану, характер-
на для задач контактної взаємодії плоских жорстких штампів з пружним пів-
простором, водночас уздовж контуру зони розшарування двох півпросторів
напруження не містять сингулярної складової (саме з цієї умови і визнача-
ються розміри зони розшарування матеріалів, яка перебуває під тиском).
АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ ЧИСЛОВИХ ДОСЛІДЖЕНЬ
Зв’язок діючих навантажень, розміри яких відповідають ділянці розшару-
вання (за фіксованого відношення товщини включення до її радіуса a/ ),
зображено на рис. 2. Для розрахунків значення a/ становили 0,15 (лі-
нія 1), 0,25 (лінія 2) , 0,35 (лінія 3). Видно, що зі збільшенням відносної тов-
щини дископодібного включення для досягнення такого самого розміру зо-
ни розшарування, як і для більш тонкого включення, необхідно прикласти
навантаження.
Дослідимо вплив діючих навантажень (різницю стискальних зусиль і
тиску на ділянці розшарування матеріалів) на розміри зони розшарування,
фіксуючи відносну товщину жорсткого включення. Покладемо для роз-
рахунків відносну товщину дископодібного включення 1,0/ a .
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1 116
Результати виконаних розрахунків нелінійної залежності зони розша-
рування між трансверсально-ізотропними пружними півпросторами від різ-
ниці діючих навантажень подано у вигляді рис. 3. Множник *N залежить від
властивостей кожного з трансверсально-ізотропних пружних матеріалів згід-
но з формулами (20).
Отримані результати контактної взаємодії дають змогу знайти
розв’язок задачі для випадку контакту трансверсально-ізотропного пружно-
го півпростору з ізотропним пружним півпростором (за наявності жорст-
кого дископодібного включення між ними). Тоді у формулах (20) вираз
*N потрібно замінити значенням ISOTRANSN . , де ISOTRANSN .
2
0 10)( NPp0
a/b
Рис. 3. Залежність зони розшарування від діючих навантажень (за фіксованої
відносної товщини включення)
3
2
0 10)( NPp
2
0
1
a/b
Рис. 2. Зв’язок діючих навантажень з розмірами зони розшарування
Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1 117
2
2
2
1 )1(
)1(
)1(
)1(
)1(
j j
jj k
; 22 , — коефіцієнт Пуассона та модуль зсуву
ізотропного пружного півпростору відповідно.
Дослідимо відношення 12 / (відношення глибин проникнення жорс-
ткого включення у пружні півпростори) для реальних трансверсально-
ізотропних матеріалів. Використаємо дані праці [13] стосовно пружних вла-
стивостей 10 різних матеріалів (див. таблицю). Номери, за якими трансвер-
сально-ізотропні матеріали подано у таблиці, будемо використовувати для
позначень параметрів контакту півпросторів з цих матеріалів.
Пружні властивості трансверсально-ізотропних матеріалів
ijc , ГПа Номер
матеріалу Матеріал 11c 33c 44c 12c 13c
1 Be 292,3 336,4 162,5 26,7 14,0
2 C (graphite) 1160,0 46,6 2,3 290,0 109,0
3 Cd 115,8 51,4 20,4 39,8 40,6
4 Co 307,0 358,1 78,3 165,0 103,0
5 Hf 181,1 196,9 55,7 77,2 66,1
6 Mg 59,7 61,7 16,4 26,2 21,7
7 Ti 162,4 180,7 46,7 92,0 69,0
8 Zn 161,0 61,0 38,3 34,2 50,1
9 Zr 143,4 164,8 32,0 72,8 65,3
10 ZnO 209,7 210,9 42,5 121,1 105,1
У результаті проведених досліджень маємо такі відношення глибин
проникнення жорсткого дископодібного включення у трансверсально-
ізотропні матеріали:
218.18/ 12 ; 974.6/ 13 ; 213.1/ 14 ;
022.2/ 15 ; 587.6/ 16 : 319.2/ 17 ;
882.4/ 18 ; 862.2/ 19 ; 274.2/ 110 .
Тобто глибина проникнення жорсткого включення у матеріал 1 у 18,2
разу менша, ніж у матеріал 2 (у разі контакту півпросторів з цих матеріалів),
а також у 6,97 разу менша, ніж у матеріал 3 (у разі контакту півпросторів з
матеріалів 1 і 3) і т.д. Наведені значення дозволяють легко знайти відносні
глибини проникнення для будь-якої вибраної пари з наведених у таблиці
матеріалів.
ВИСНОВОК
У роботі за допомогою строгої математичної моделі отримано аналі-
тичний розв’язок задачі про контактну взаємодію двох трансверсаль-
В.С. Кирилюк, О.І. Левчук
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1 118
но-ізотропних пружних півпросторів під час стискання (за наявності
жорсткого плоского дископодібного включення сталої товщини між
ними). Виконано числові розрахунки і досліджено вплив відносної
товщини жорсткого включення та силових навантажень (стискальних
зусиль і тиску на ділянці розшарування півпросторів) на розміри зони
розшарування.
ЛІТЕРАТУРА
1. Kirilyuk V.S. Modeling of contact interaction of piezoelectric half-space and elastic iso-
tropic base with surface groove of circular section / V.S. Kirilyuk, O.I Levchuk //
System research and information technologies. — 2016. — № 4. — P. 120–132.
2. Kirilyuk V.S. Mathematical modeling of contact interaction of two electroelastic half-
spaces under compression with rigid disc-shaped inclusion between them / V.S.
Kirilyuk, O.I. Levchuk, O.V. Gavrilenko // System research and information
technologies. — 2018. — № 2. — P. 89–98. DOI: 10.20535/SRIT.2308-
8893.2018.2.09
3. Podil’chuk Yu.N. Boundary value problems of statics of elastic bodies [in Russian] /
Yu.N. Podil’chuk. — K.: Nauk. dumka, 1984. — 304 p.
4. Podil’chuk Yu.N. Exact analytic solutions of three-dimensional boundary-value prob-
lems of the statics of a transversely isotropic body of canonical form (Survey) /
Yu.N. Podil’chuk // International Applied Mechanics. — 1997. — 33, № 10. —
P. 763–787.
5. Borodich F.M. The JKR-type adhesive contact problems for transversely isotropic
elastic solids / F.M. Borodich , B.A. Galanov , L.M. Keer , M.M. Suarez-Alvarez
// Mechanics of Materials. — 2014. — 75. — P. 34–44.
6. Chai Y.S. Local tangential contact of elastically similar, transversely isotropic elastic
bodies / Y.S. Chai, I.I. Argatov // Meccanica. — 2018. — 53, N 11–12. —
P. 3137–3143.
7. Chen W.Q. 3D point force solution for a permeable penny-shaped crack embedded in
an infinite transversely isotropic piezoelectric medium / W.Q. Chen, C.W. Lim //
Int. J. Fract. — 2005. — 131, N 3. — P. 231–246.
8. Chen W.Q. General solutions for elasticity of transversely isotropic materials with
thermal and other effects: A review / W.Q. Chen, J. Zhu, X.Y. Li // Int. J. Mech.
Sciencis. — 2019. — 151. — P. 471–497.
9. Dai L. Stress concentration at an elliptic hole in transversely isotropic piezoelectric
solids / L. Dai, W. Guo, X. Wang // Int. J. Solids and Struct. — 2006. — 43,
N 6. — P. 1818–1831.
10. Davtyan D.B. Action of an elliptic punch on a transversally isotropic half-space/
D.B. Davtyan , D.A. Pozharskii // Mechanics of Solids. — 2014. — 49, N 5. —
P. 578–586.
11. Elliott H.A. Three-dimensional stress distributions in hexagonal aeolotropic crystals /
H.A. Elliott, N.F. Mott // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philoso-
phical Society. — 1948. — 44, N 4. — P.522–533.
12. Fabrikant V.I. Contact problem for an arbitrarily oriented transversely isotropic half-
space/ V.I. Fabrikant // Acta Mechanca. — 2017. — 228, N 4. — P. 1541–1560.
13. Freund L.B. Thin Film Materials / L.B. Freund, S. Suresh. — Cambridge: Cam-
bridge University Press, 2003. — 802 p.
14. Gladwell G.M.L. On Inclusions at a Bi-Material Elastic Interface / G.M.L. Gladwell
// Journal of Elasticity. — 1999. — 54, N 1. — P.27–41.
15. Hou P.F. Three-dimensional exact solutions of homogeneous transversely isotropic
coated structures under spherical contact / P.F. Hou, W.H. Zhang, J.-Y. Chen //
Int. J. Solids Structures. — 2019. — 161. — P. 136–173.
Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних …
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1 119
16. Kaloerov S.A. Problem of Electromagnet viscoelasticity for Multiply Connected
Plates / S.A. Kaloerov, A.A. Samodurov // International Applied Mechanics. —
2015. — 51, N 6. — P. 623–639.
17. Kaloerov S.A. Determining the intensity factors for stresses, electric-flux density,
and electric-field strength in multiply connected electroelastic anisotropic media /
S.A. Kaloerov // Int. Appl. Mech. — 2007. — 43, N 6. — P. 631–637.
18. Kirilyuk V.S. On stressed state of transversely isotropic medium with an arbitraly
orientated spheroidal void or penny-shaped crack under internal pressure /
V.S. Kirilyuk, O.I. Levchuk // Strength of Materials. — 2005. — 37, N 5. —
P. 480–488.
19. Kirilyuk V.S. Elastic state of a transversely isotropic piezoelectric body with an arbi-
trarily oriented elliptic crack / V.S. Kirilyuk // Int. Appl. Mech. — 2008. — 44,
N 2. — P. 150–157.
20. Kirilyuk V.S. Stress state of a piezoceramic body with a plane crack opened by
a rigid inclusion / V.S. Kirilyuk // Int. Appl. Mech. — 2008. — 44, N 7. —
P. 757–768.
21. Kotousov A. On a rigid inclusion pressed between two elastic half spaces / A. Kotou-
sov, L.B. Neto, A. Khanna // Mechanics of Materials. — 2014. — 68, N 1. —
P. 38–44.
22. Kumar R. Green's function for transversely isotropic thermoelastic diffusion bimate-
rials / R. Kumar , V. Gupta // Journal of Thermal Stresses. — 2014. — 37, N 10.
— P. 1201–1229.
23. Marmo F. Analytical formulas and design charts for transversely isotropic half-
spaces subject to linearly distributed pressures / F. Marmo, F. Toraldo, L. Rosati
// Meccanica. — 2016. — 51, N 11. — P. 2909–2928.
24. Podil’chuk Yu.N. Representation of the general solution of statics equations of the
electroelasticity of a transversally isotropic piezoceramic body in terms of
harmonic functions / Yu.N. Podil’chuk // International Applied Mechanics. —
1998. — 34, N 7. — P. 623–628.
25. Selvadurai A.P.S. A unilateral contact problem for a rigid disc inclusion embedded
between two dissimilar elastic half-spaces / A.P.S. Selvadurai // Q. J. Mech.
Appl. Math. — 1994. — N 3. — P. 493–509.
26. Tokovyy Yu.V. Three-Dimensional Elastic Analysis of Transversely-Isotropic Com-
posites / Yu.V. Tokovyy, C.C. Ma // Journal of Mechanics. — 2018. — 33, N 6.
— P. 821–830.
27. Wang Y.J. The anti-plane solution for the edge cracks originating from an arbitrary
hole in a piezoelectric material / Y.J. Wang, C.F. Gao, H.P. Song // Mechanics
Research Communications. — 2015. — Vol. 65. — P. 17–23.
28. Wang Z.K. The general solution of three-dimension problems in piezoelectric media
/ Z.K. Wang, B.L. Zheng // Int. J. Solids Structures. — 1995. — 32, N 1. —
P. 105–115.
29. Yu H.Y. A concise treatment of indentation problems in transversely isotropic half-
spaces / H.Y. Yu // Int. J. Solids Struct. — 2001. — 38, N 7. — P. 2213–2232.
30. Zhao M. Three-dimensional steady-state general solution for transversely isotropic
hygrothermoelastic media / M. Zhao, H. Dang, C. Fan, Z. Chen // Journal of
Thermal Stresses. — 2018. — 41, N 8. — P. 951–972.
31. Zhao M.H. Singularity analysis of planar cracks in three-dimensional piezoelectric
semiconductors via extended displacement discontinuity boundary integral equa-
tion method / M.H. Zhao, Y. Li, Y. Yan, C.Y. Fan // Engineering Analysis with
Boundary Elements. — 2016. — Vol. 67. — P. 115–125.
32. Zhao M.H. Extended displacement discontinuity method for analysis of cracks in 2D
piezoelectric semiconductors / M.H. Zhao, Y.B. Pan, C.Y. Fan, G.T. Xu // Interna-
tional Journal of Solids and Structures. — 2016. — Vol. 94–95. — P. 50–59.
Надійшла 02.09.2019
|
| id | journaliasakpiua-article-209141 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:26:46Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/cd/d5bf5c0b64d6f10c0d867d98ebcb3acd.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2091412020-08-11T08:50:57Z Modeling the contact interaction of two transversally isotropic elastic half-spaces in the presence of a hard disk-like inclusion between them and pressure in the region of separation Моделирование контактного взаимодействия двух трансверсально-изотропных упругих полупространств при наличии жесткого дискообразного включения между ними и давления в области расслоения Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування Kirilyuk, Vitaly S. Levchuk, Olga I. математичне моделювання трансверсально-ізотропний матеріал пружний півпростір жорстке дископодібне включення тиск в області розшарування параметри контактної взаємодії математическое моделирование трансверсально-изотропный материал упругое полупространство жесткое дискообразное включение давление в области расслоения параметры контактного взаимодействия mathematical modeling transversely isotropic material elastic half-space hard disk-like inclusion pressure in the region of delamination contact interaction parameters A rigorous mathematical model is used for analyzing the contact interaction of two transversally isotropic elastic half-spaces with different properties under compression in the presence of a hard disk-like inclusion between them and pressure in the region of material separation. The solution to the problem is obtained by presenting a general solution of the system of equilibrium equations for a transversely isotropic body through harmonic functions, reducing the boundary-value problem to considering the integral equation, expanding the desired function in a small parameter. As a special case, the found contact results for the main contact parameters for two elastic isotropic half-spaces (in the presence of inclusion between them and pressure in the region of separation). Numerical results are obtained, the influence of the elastic properties of half-spaces, the geometric dimensions of the inclusion and loads on the parameters of contact interaction are studied. Использована строгая математическая модель для анализа контактного взаимодействия двух различных по свойствам трансверсально-изотропных упругих полупространств при сжатии при наличии жесткого дискообразного включения между ними и давления в области расслоения материалов. Решение задачи получено на основе представления общего решения системы уравнений равновесия для трансверсально-изотропного тела с помощью гармонических функций, сведения краевой задачи к рассмотрению интегрального уравнения, разложения искомой функции по малому параметру. Как частный случай из найденных выражений вытекают основные параметры контакта для двух упругих изотропных полупространств (при наличии включении между ними и давления в области расслоения). Получены численные результаты, изучено влияние упругих свойств полупространств, геометрических размеров включения и нагрузок на параметры контактного взаимодействия. Використано строгу математичну модель для аналізу контактної взаємодії двох різних за властивостями трансверсально-ізотропних пружних півпросторів під час стискання за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску в ділянці розшарування матеріалів. Розв’язок задачі отримано на основі подання загального розв’язку системи рівнянь рівноваги для трансверсально-ізотропного тіла через гармонічні функції, зведення крайової задачі до розгляду інтегрального рівняння, розкладу шуканої функції по малому параметру. Як окремий випадок зі знайдених виразів випливають основні параметри контакту для двох пружних ізотропних півпросторів (за наявності включення між ними і тиску в ділянці розшарування). Отримано числові результати, вивчено вплив пружних властивостей півпросторів, геометричних розмірів включення і навантажень на параметри контактної взаємодії. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2020-06-23 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/209141 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.1.10 System research and information technologies; No. 1 (2020); 107-119 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2020); 107-119 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2020); 107-119 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/209141/209660 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | математичне моделювання трансверсально-ізотропний матеріал пружний півпростір жорстке дископодібне включення тиск в області розшарування параметри контактної взаємодії Kirilyuk, Vitaly S. Levchuk, Olga I. Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування |
| title | Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування |
| title_alt | Modeling the contact interaction of two transversally isotropic elastic half-spaces in the presence of a hard disk-like inclusion between them and pressure in the region of separation Моделирование контактного взаимодействия двух трансверсально-изотропных упругих полупространств при наличии жесткого дискообразного включения между ними и давления в области расслоения |
| title_full | Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування |
| title_fullStr | Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування |
| title_full_unstemmed | Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування |
| title_short | Моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування |
| title_sort | моделювання контактної взаємодії двох трансверсально-ізотропних пружних півпросторів за наявності жорсткого дископодібного включення між ними і тиску на ділянці розшарування |
| topic | математичне моделювання трансверсально-ізотропний матеріал пружний півпростір жорстке дископодібне включення тиск в області розшарування параметри контактної взаємодії |
| topic_facet | математичне моделювання трансверсально-ізотропний матеріал пружний півпростір жорстке дископодібне включення тиск в області розшарування параметри контактної взаємодії математическое моделирование трансверсально-изотропный материал упругое полупространство жесткое дискообразное включение давление в области расслоения параметры контактного взаимодействия mathematical modeling transversely isotropic material elastic half-space hard disk-like inclusion pressure in the region of delamination contact interaction parameters |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/209141 |
| work_keys_str_mv | AT kirilyukvitalys modelingthecontactinteractionoftwotransversallyisotropicelastichalfspacesinthepresenceofaharddisklikeinclusionbetweenthemandpressureintheregionofseparation AT levchukolgai modelingthecontactinteractionoftwotransversallyisotropicelastichalfspacesinthepresenceofaharddisklikeinclusionbetweenthemandpressureintheregionofseparation AT kirilyukvitalys modelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâdvuhtransversalʹnoizotropnyhuprugihpoluprostranstvprinaličiižestkogodiskoobraznogovklûčeniâmeždunimiidavleniâvoblastirassloeniâ AT levchukolgai modelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâdvuhtransversalʹnoizotropnyhuprugihpoluprostranstvprinaličiižestkogodiskoobraznogovklûčeniâmeždunimiidavleniâvoblastirassloeniâ AT kirilyukvitalys modelûvannâkontaktnoívzaêmodíídvohtransversalʹnoízotropnihpružnihpívprostorívzanaâvnostížorstkogodiskopodíbnogovklûčennâmížnimiítiskunadílâncírozšaruvannâ AT levchukolgai modelûvannâkontaktnoívzaêmodíídvohtransversalʹnoízotropnihpružnihpívprostorívzanaâvnostížorstkogodiskopodíbnogovklûčennâmížnimiítiskunadílâncírozšaruvannâ |