Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем
A theorem which gives a rigorous justification for using the differential model to obtain an original system that describes a real physical process is proved. The theorem can be used to reconstruct the model from a single observed variable, the presence of which allows us to obtain a differential mo...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/209145 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1866302680357404672 |
|---|---|
| author | Gorodetskyi, Viktor G. |
| author_facet | Gorodetskyi, Viktor G. |
| author_sort | Gorodetskyi, Viktor G. |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-08-11T08:50:57Z |
| description | A theorem which gives a rigorous justification for using the differential model to obtain an original system that describes a real physical process is proved. The theorem can be used to reconstruct the model from a single observed variable, the presence of which allows us to obtain a differential model. In the differential model, the variables that are missing are replaced by the time derivatives of the observed variable. The existence of relations that connect the original system and the differential model allows the transition from the differential model to the original system. In this case, several original candidate models can be obtained. As a result, the researcher can choose the model that most fully reflects the physics of the process. The proved theorem can also be used to simplify the previously obtained model, which probably contains redundant terms. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.1.11 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:26:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.Г. Городецький, 2020
120 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1
УДК 517.925
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.1.11
ТЕОРЕМА ПРО РЕКОНСТРУКЦІЮ
ДЕЯКИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ
В.Г. ГОРОДЕЦЬКИЙ
Анотація. Доведено теорему, яка дає строге обгрунтування застосування ди-
ференціальної моделі для створення оригінальної системи, що описує реаль-
ний фізичний процес. Теорема може бути використана для реконструкції мо-
делі за єдиною спостережуваною змінною, наявність якої дозволяє отримати
диференціальну модель. У диференціальній моделі змінні, яких бракує, замі-
нюються похідними за часом спостережуваної змінної процесу. Існування
співвідношень, які пов’язують оригінальну систему та диференціальну модель,
дає змогу здійснити перехід від диференціальної моделі до оригінальної сис-
теми. При цьому можна отримати декілька оригінальних моделей-кандидатів.
У результаті дослідник може вибрати ту модель, яка якомога повніше відо-
бражує фізику процесу. Теорему можна використовувати і для спрощення уже
наявної моделі, яка, ймовірно, містить надлишкові складові.
Ключові слова: оригінальна система, диференціальна модель, реконструкція,
спостережувана змінна, модель-кандидат.
ВСТУП
Ідентифікація математичної моделі будь-якого фізичного процесу за даними
вимірювань є актуальним завданням багатьох досліджень [1]. Якщо відома
структура певної моделі, то таке завдання зводиться до її параметричної
ідентифікації [2,3]. Якщо структура невідома, задача істотно ускладнюється,
оскільки в загальному випадку передбачає наявність декількох можливих
структур-кандидатів [4] у межах заданого класу. Додаткові труднощі мо-
жуть виникнути під час пошуку адекватних моделей для систем з детермі-
нованим хаосом [5]. Ці труднощі зумовлено істотною залежністю динаміки
моделі від початкових умов [6], що накладає додаткові вимоги до точності
визначення параметрів моделі.
Важливим окремим випадком проблеми ідентифікації є задача реконс-
трукції моделі за єдиною спостережуваною змінною [7, 8]. У цих дослі-
дженнях для моделювання нелінійних систем використувалися співвідно-
шення, що зв'язують різні моделі, які мають однакові спостережувані змінні.
У працях [9, 10] показано, що такі співвідношення можна використати для
отримання множини моделей-кандидатів, які мають задані властивості.
Мета роботи — доведення теореми, яка є строгим обгрунтуванням ви-
користовуваного підходу і може бути корисною для розв’язання задачі ре-
конструкції нелінійних систем.
ТЕОРЕМА ПРО РЕКОНСТРУКЦІЮ
Нехай шукана модель має вигляд
Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1 121
),,...,(
),,...,(
1
111
nnn
n
xxpx
xxpx
(1)
де ip — поліноми, ni ,...,1 . Будемо вважати відомою тільки змінну )(1 tx
системи (1), яку назвемо спостережуваною, а саму систему (1) — оригіналь-
ною системою (ОС). Під час аналізу поведінки нелінійних систем часто не-
відомі змінні замінюються похідними за часом спостережуваної змінної.
Така заміна ґрунтується на теоремі Такенса [11], згідно з якою ОС (1) і сис-
тема, що має як змінні спостережувану і її похідні, мають ряд загальних вла-
стивостей.
Розглянемо систему вигляду
,,,...,, 13221 DNnnn PPyyyyyyy (2)
де NP і DP — поліноми:
n
n
l
n
l
m
L
l
lllN yyyNP
21
21 2
0
1... , n
n
l
n
l
m
L
l
lllD yyyDP
21
21 2
0
1...
де
nn llllll DN ...... 2121
, — сталі коефіцієнти; nlllL 21 , m — найвищий
степінь поліномів. Зауважимо, що права частина останнього рівняння (2)
має дріб, що може призвести до неоднозначності у визначенні його коефіці-
єнтів. Для запобігання цьому можна зафіксувати один з коефіцієнтів моделі,
наприклад, поділивши всі коефіцієнти поліномів NP і DP на перший коефі-
цієнт знаменника 0...00D . Тоді система (2) набуде вигляду
,,,...,, 13221 DNnnn ppyyyyyyy (3)
де
n
n
l
n
l
m
L
l
lllN yyynp
...21
21 2
0
1... ; n
n
l
n
l
m
L
l
lllD yyydp
...1 21
21 2
1
1... ;
0...00...... /
2121
DNn
nn llllll , 0...00...... /
2121
DDd
nn llllll , 1/ 0...000...00 DD .
Визначення 1. Будемо називати систему (2) диференціальною модел-
лю (ДМ) для системи (1) за змінною )(1 tx , якщо існують співвідношення,
які зв'язують коефіцієнти систем (1) і (2), за яких
)()( 11 txty . (4)
Визначення 2. Будемо називати систему (3) нормованою диференціа-
льною моделлю (НДМ) для системи (1) за змінною )(1 tx , якщо існують
співвідношення, які зв'язують коефіцієнти систем (1) і (3), за яких викону-
ється (4).
Розглянемо систему, що належить до того ж класу, що і система (1):
В.Г. Городецький
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1 122
),,...,(
),,...,(
1
111
nnn
n
uuqu
uuqu
(5)
де iq — поліноми.
Теорема. Якщо ОС (1) має НДМ за змінною )(1 tx , а ОС (5) має НДМ за
змінною )(1 tu і виконується співвідношення
)()( 11 txtu , (6)
то ці НДМ збігаються.
Доведення. Перетворимо останнє рівняння системи (3), перемноживши
його праву і ліву частини на Dp , і перенесемо всі доданки, крім ny , у праву
частину. Тоді
n
l
n
l
m
L
l
lll
l
n
l
m
L
l
llln yyyydyyyny n
n
n
n
...... 21
21
21
21 2
1
1...2
0
1... . (7)
Нехай права частина (7) містить усього K доданків. Подамо вираз (7)
у вигляді
K
j
jjn fCy
1
, (8)
де
nlllj nC ...21
або
nlllj dC ...21
, а nl
n
ll
j yyyf ...21
21 або
n
l
n
ll
j yyyyf n ...21
21 .
Оскільки вважатимемо спостережувані )(1 tx і )(1 tu відомими, то мож-
на обчислити всі їх похідні за часом. Тобто у рівнянні (8) залишаються неві-
домими сталі коефіцієнти jC . Для їх визначення сформуємо систему алгеб-
ричних рівнянь для K моментів часу:
).(...)(...)()()(
),(...)(...)()()(
),(...)(...)()()(
2211
2211
111221111
KKKKjjKKKn
jKKjjjjjjn
KKjjn
tfCtfCtfCtfCty
tfCtfCtfCtfCty
tfCtfCtfCtfCty
(9)
Розв’язком цієї системи буде вектор сталих коефіцієнтів НДМ (3):
KCC ,...,1 .
Сформуємо систему алгебричних рівнянь, аналогічну (9), для НДМ за
змінною )(1 tu системи (5). Оскільки за умовою теореми виконується спів-
відношення (6), тобто )()( 11 txtu , то величини )(),( jjjn tfty
для змінної
)(1 tu будуть збігатися з аналогічними значеннями в системі (9). Отже, і
розв’язок цієї алгебричної системи — вектор KCC ,...,1 — також збігати-
меться з розв’язком системи (9). Таким чином, обидві НДМ збігаються, тоб-
то теорему доведено.
Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1 123
РЕЗУЛЬТАТИ
Теорему можна проілюструвати, використовуючи деякі результати з робо-
ти [12]. Розглянемо ОС вигляду
.
,
,
21433221103
112
33221101
xxcxcxcxccx
xbx
xaxaxaax
(10)
Згідно із працею [12] їй відповідає ДМ за змінною )(1 tx :
.
,
,
110
3
110328
2
27316
2
14332211
3
32
21
yDD
yNyyNyNyyNyNyNyNyN
y
yy
yy
(11)
або НДМ:
.
1
,
,
11
3
110328
2
27316
2
14332211
3
32
21
yd
ynyynynyynynynynyn
y
yy
yy
(12)
У праці [12] отримано співвідношення
,
),(
,
,
),(
),(
),(2
),)((
),)(()(
,)(
81
233230
2
41
3
310
4
2
38
134
2
37
134
2
36
233241
2
34
23321333
1213312332303304
2
32
2
2332131
ND
cacaaD
cbaN
caN
accaN
accaN
cacacbaN
cacaacaN
bacacacacaacacacaN
cacabaN
(13)
які пов’язують коефіцієнти ОС (10) і ДМ (11) і за яких виконується рів-
ність (4).
Якщо надати деяким коефіцієнтам системи (10) нульові значення,
отримаємо її окремий випадок, наприклад, систему
В.Г. Городецький
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1 124
.
,
,
214333
112
3322111
xxcxcx
xbx
xaxaxax
(14)
Для того щоб отримати НДМ, яка відповідає системі (14), треба в сис-
темі (13) дорівняти до нуля коефіцієнти, яких немає в системі (14). Щоб пе-
рейти від ДМ до НДМ, можна вирази для всіх коефіцієнтів (13) поділити на
вираз для 0D . Тоді маємо 10 d , а НДМ для ОС (14) набуде вигляду
.,1),/()(
),/(),/()(
),/()(,2
,),(,
81032
2
41
2
310
324383213437
32134364134
133123123121
nddcacban
cacancaaccan
caaccancban
acnbacancban
15)
Система (14) досліджувалась за таких значень коефіцієнтів:
,147,11 a ,786,222 a ,13 a 143,147,11,1 431 ccb . (16)
При цьому значення коефіцієнтів НДМ (15) склали:
,2541 n ,102 n ,103 n ,2864 n 62992,56 n ,
,62992,57 n ,56299,08 n ,50787,8010 n .56299,01 d (17)
За значень коефіцієнтів (16) ОС (14) має режим детермінованого хаосу.
Часовий ряд змінної )(1 tx системи (14) зображено на рис. 1.
Варто зауважити, що ОС (14) — не єдиний окремий випадок системи
(10), який може мати таку саму спостережувану змінну 1( )x t , і якій відпові-
дає НДМ (12) з коефіцієнтами (17). Якщо розглядати тільки системи вигляду
(10), які мають в правих частинах рівнянь по 6 доданків (тобто стільки ж,
скільки в системі (14)), то таких ОС виявиться 5. Числові значення
коефіцієнтів таких систем наведено в таблиці, у якій ОС (1) відповідає си-
стемі (14). Усі системи з таблиці здатні за відповідних початкових умов то-
чно відтворити часовий ряд змінної )(1 tx , поданий на рис. 1.
x1
t
Рис. 1. Часовий ряд спостережуваної змінної 1( )x t ОС (14)
Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1 125
Числові значення коефіцієнтів ОС
Значення коефіцієнтів
ОС
0a 1a 2a 3a 1b 0c 1c 2c 3c 4c
1 – 1,147 –22,786 1 1 – – – –11,147 –143
2 – – –25,4 1 1 – 15,4 – –10 –143
3 –2,735 – –25,4 1 1 – – – –10 –143
4 – – –25,4 1 1 –27,354 – – –10 –143
5 – – –10 1 1 – – –154 –10 –143
.,1),/()(
),/(,/
,/,2
,,,
81032
2
4110
32482437
24364134
33121323121
nddcacbn
cacnacan
acancban
cnbacancban
(18)
.,1),/()(
),/(,/
,/,2,
,/)(,
81032
2
41
2
310
324382437
2436413433
21
2
243023121
nddcacban
cacanacan
acancbancn
abacaancban
(19)
.,1),/()(
),/(,/
,/,2,
),/()(,
81032
2
41
2
310
324382437
2436413433
3231
2
240
2
323121
nddcacban
cacanacan
acancbancn
cacbaccancban
(20)
.,1),/()(
),/(),/(
),/(,2
,,),(
8102332
2
41
2
310
233243823324337
233243364134
33122233211
nddcacacban
cacacancacaccan
cacaccancban
cnbancacabn
(21)
Співвідношення між коефіцієнтами ОС (2–5), наведеними у таблиці,
і коефіцієнтами НДМ (12), подано системами (18)–(21). Ці співвідношен-
ня виведено на основі залежностей (13) аналогічно співвідношенням (15)
для ОС (14).
Фазові портрети ОС 1–5 з таблиці показано на рис. 2 в тій самій
послідовності, що і в таблиці. З рисунка видно, що ці портрети відрізняють-
ся один від одного, оскільки в них збігаються тільки спостережувані змінні
)(1 tx , а )(2 tx і )(3 tx можуть відрізнятися. Також для порівняння на рис. 3
наведено фазовий портрет НДМ (12).
В.Г. Городецький
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1 126
x2 x3
x2
x3
x2 x3
x2 x3
x2 x3
x1 x2
Рис. 2. Фазові характеристики систем 1–5
Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 1 127
ВИСНОВКИ
Доведена в роботі теорема обґрунтовує можливість переходу від досліджу-
ваної оригінальної нелінійної системи до системи спеціального типу, так
званої диференціальної моделі, яку можна отримати на підставі єдиної спо-
стережуваної змінної. Наявність такої моделі дає змогу отримати в загаль-
ному випадку деяку множину оригінальних систем-кандидатів. Маючи та-
кий набір ОС, дослідник може вибрати ту модель, яка якомога повніше
відображує фізику процесу.
Теорема може бути застосована для спрощення вже наявних моделей,
які можуть мати надлишковість [10]. В обох випадках теорема є строгим
математичним обгрунтуванням для задач такого типу, що дозволяє уникну-
ти некоректності, яка можлива за інтуїтивного підходу.
ЛІТЕРАТУРА
1. Aguirre L.A. Modeling nonlinear dynamics and chaos: A review / L.A. Aguirre,
C. Letellier // Mathematical Problems in Engineering. — 2009. — 238960. –
URL: https://www.hindawi.com/journals/mpe/2009/238960/
2. Nyarko E. K. Solving the parameter identification problem of mathematical models
using genetic algorithms / E. K. Nyarko, R. Scitovski // Applied Mathematics and
Computation. — 2004 . — Vol. 153. – P. 651–658.
3. Kabanikhin S. A parameter identification problem for the mathematical model of
HIV dynamics / S. Kabanikhin, O. Krivorotko, D. Yermolenko // 2017 Interna-
tional Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences
(SIBIRCON). — IEEE. — Novosibirsk.
4. Ljung L. System Identification – Theory For the User / L. Ljung. — N.J.: PTR Pren-
tice Hall, 1999. — 609 p.
5. Shvets A.Yu. Peculiarities of Transition to Chaos in Nonideal Hydrodynamics
Systems / A.Yu. Shvets V.O. Sirenko // Chaotic Modeling and Simulation
(CMSIM) Journal. — 2012. — N 2. — P. 303–310.
6. Moon F.C. Chaotic Vibrations: An introduction for applied scientists and Engineers /
F.C. Moon. — John Wiley & Sons, 1987. — 309 p.
Рис. 3. Фазові характеристики НДМ (12)
y1 y2
y2 y3
В.Г. Городецький
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 1 128
7. Gouesbet G. Reconstruction of standard and inverse vector fields equivalent to
the Rössler system / G. Gouesbet // Phys. Rev. A. — 1991. — Vol. 44. —
P. 6264–6280.
8. Gouesbet G. Reconstruction of the vector fields of continuous dynamical systems
from numerical scalar time series / G. Gouesbet // Phys. Rev. A. — 1991. —
43. — P. 5321–5331.
9. Lainscsek C. A class of Lorenz-like systems / C. Lainscsek // Chaos. — 2012. —
22. — P. 013126.
10. Gorodetskyi V. Simplification of a reconstructed model / V. Gorodetskyi, M. Osad-
chuk // International Journal of Dynamics and Control. — 2019. — DOI:
10.1007/s40435-019-00579-w.
11. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence / F. Takens // Lec. Notes in
Math. — 1981 . — Vol. 898. — P. 366—381.
12. Gorodetskyi V. Reconstruction of chaotic systems of a certain class / V. Gorodetskyi,
M. Osadchuk. // International Journal of Dynamics and Control. — 2015. —
N 3. — P. 341–353.
Надійшла 16.01.2020
|
| id | journaliasakpiua-article-209145 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:26:47Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/2d/16f0138fa282c6d419c34b926a78862d.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2091452020-08-11T08:50:57Z Reconstruction theorem for certain dynamical systems Теорема о реконструкции некоторых динамических систем Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем Gorodetskyi, Viktor G. оригінальна система диференціальна модель реконструкція спостережувана змінна модель-кандидат оригинальная система дифференциальная модель реконструкция наблюдаемая переменная модель-кандидат original system differential model reconstruction observed variable candidate model A theorem which gives a rigorous justification for using the differential model to obtain an original system that describes a real physical process is proved. The theorem can be used to reconstruct the model from a single observed variable, the presence of which allows us to obtain a differential model. In the differential model, the variables that are missing are replaced by the time derivatives of the observed variable. The existence of relations that connect the original system and the differential model allows the transition from the differential model to the original system. In this case, several original candidate models can be obtained. As a result, the researcher can choose the model that most fully reflects the physics of the process. The proved theorem can also be used to simplify the previously obtained model, which probably contains redundant terms. Доказана теорема, которая дает строгое обоснование применения дифференциальной модели для получения оригинальной системы, описывающей реальный физический процесс. Теорема может быть использована при реконструкции модели по единственной наблюдаемой переменной, наличие которой позволяет получить дифференциальную модель. В дифференциальной модели отсутствующие переменные заменяются производными по времени наблюдаемой переменной процесса. Существование соотношений, которые связывают оригинальную систему и дифференциальную модель, позволяет осуществить переход от дифференциальной модели к оригинальной системе. При этом может быть получено несколько оригинальных моделей-кандидатов. В результате исследователь может выбрать ту модель, которая наиболее полно отражает физику процесса. Также теорему можно использовать при упрощении ранее полученной модели, которая может содержать избыточные слагаемые. Доведено теорему, яка дає строге обгрунтування застосування диференціальної моделі для створення оригінальної системи, що описує реальний фізичний процес. Теорема може бути використана для реконструкції моделі за єдиною спостережуваною змінною, наявність якої дозволяє отримати диференціальну модель. У диференціальній моделі змінні, яких бракує, замінюються похідними за часом спостережуваної змінної процесу. Існування співвідношень, які пов’язують оригінальну систему та диференціальну модель, дає змогу здійснити перехід від диференціальної моделі до оригінальної системи. При цьому можна отримати декілька оригінальних моделей-кандидатів. У результаті дослідник може вибрати ту модель, яка якомога повніше відображує фізику процесу. Теорему можна використовувати і для спрощення уже наявної моделі, яка, ймовірно, містить надлишкові складові. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2020-06-23 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/209145 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.1.11 System research and information technologies; No. 1 (2020); 120-128 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2020); 120-128 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2020); 120-128 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/209145/209252 Copyright (c) 2021 System research and information technologies |
| spellingShingle | оригінальна система диференціальна модель реконструкція спостережувана змінна модель-кандидат Gorodetskyi, Viktor G. Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем |
| title | Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем |
| title_alt | Reconstruction theorem for certain dynamical systems Теорема о реконструкции некоторых динамических систем |
| title_full | Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем |
| title_fullStr | Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем |
| title_full_unstemmed | Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем |
| title_short | Теорема про реконструкцію деяких динамічних систем |
| title_sort | теорема про реконструкцію деяких динамічних систем |
| topic | оригінальна система диференціальна модель реконструкція спостережувана змінна модель-кандидат |
| topic_facet | оригінальна система диференціальна модель реконструкція спостережувана змінна модель-кандидат оригинальная система дифференциальная модель реконструкция наблюдаемая переменная модель-кандидат original system differential model reconstruction observed variable candidate model |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/209145 |
| work_keys_str_mv | AT gorodetskyiviktorg reconstructiontheoremforcertaindynamicalsystems AT gorodetskyiviktorg teoremaorekonstrukciinekotoryhdinamičeskihsistem AT gorodetskyiviktorg teoremaprorekonstrukcíûdeâkihdinamíčnihsistem |