Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском)

The stress state of an orthotropic electro-elastic space with an arbitrary oriented spheroidal cavity under internal pressure is investigated based on mathematical modeling. The problem's solution is obtained by using the Eshelby equivalent method, generalized to the case of orthotropic piezoel...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2020
Main Authors:	Kirilyuk, Vitaly S., Levchuk, Olga I., Gavrilenko, Olena V., Viter, Mykhailo B., Kharytonova, Lesia V.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2020
Subjects:	математичне моделювання ортотропний п’єзоелектричний матеріал сфероїдальна порожнина довільна орієнтація зв’язана система рівнянь електропружності внутрішній тиск напружений стан
Online Access:	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/216241
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	System research and information technologies
Download file:

Institution

System research and information technologies

_version_	1867334409461432320
author	Kirilyuk, Vitaly S. Levchuk, Olga I. Gavrilenko, Olena V. Viter, Mykhailo B. Kharytonova, Lesia V.
author_facet	Kirilyuk, Vitaly S. Levchuk, Olga I. Gavrilenko, Olena V. Viter, Mykhailo B. Kharytonova, Lesia V.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "Vitaly S. Kirilyuk", "institution": "Відділ механіки стохастично-неоднорідних середовищ Інституту механіки імені С.П.Тимошенка НАН України, Київ" }, { "author": "Olga I. Levchuk", "institution": "Відділ механіки стохастично-неоднорідних середовищ Інституту механіки імені С.П.Тимошенка НАН України, Київ" }, { "author": "Olena V. Gavrilenko", "institution": "Кафедра автоматизованих систем обробки інформації та управління Факультета інформатики та обчислювальної техніки Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ" }, { "author": "Mykhailo B. Viter", "institution": "Кафедра інформаційних систем та технологій факультету транспортних та інформаційних технологій Національного транспортного університету, Київ" }, { "author": "Lesia V. Kharytonova", "institution": "Кафедра інформаційних систем та технологій факультету транспортних та інформаційних технологій Національного транспортного університету, Київ" } ]
author_sort	Kirilyuk, Vitaly S.
baseUrl_str	http://journal.iasa.kpi.ua/oai
collection	OJS
datestamp_date	2021-01-19T13:44:38Z
description	The stress state of an orthotropic electro-elastic space with an arbitrary oriented spheroidal cavity under internal pressure is investigated based on mathematical modeling. The problem's solution is obtained by using the Eshelby equivalent method, generalized to the case of orthotropic piezoelectric material, and the integral representation of the Green function for an anisotropic electroelastic space. Testing the algorithm for solving the problem on a special case (for a transversely isotropic electrical-elastic material with a spheroidal cavity) confirms its effectiveness. The numerical studies of the stress state in an orthotropic electroelastic material with a cavity under internal pressure were carried out, characteristic patterns of stress distribution were revealed.
doi_str_mv	10.20535/SRIT.2308-8893.2020.2.10
first_indexed	2025-07-17T10:26:57Z
format	Article
fulltext	 В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко, М.Б. Вітер, Л.В. Харитонова, 2020 Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 2 137 TIДC МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ, ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ СКЛАДНИХ СИСТЕМ УДК 539.3 DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.2.10 МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НАПРУЖЕНОГО СТАНУ В ОРТОТРОПНОМУ ЕЛЕКТРОПРУЖНОМУ ПРОСТОРІ З ДОВІЛЬНО ОРІЄНТОВАНОЮ СФЕРОЇДАЛЬНОЮ ПОРОЖНИНОЮ (ПІД ВНУТРІШНІМ ТИСКОМ) В.С. КИРИЛЮК, О.І. ЛЕВЧУК, О.В. ГАВРИЛЕНКО, М.Б. ВІТЕР, Л.В. ХАРИТОНОВА Анотація. На основі математичного моделювання досліджено напружений стан ортотропного електропружного простору з довільно орієнтованою сферо- їдальною порожниною під внутрішнім тиском. Розв’язок задачі отримано за допомогою використання узагальненого на випадок ортотропного п’єзоелектричного матеріалу методу еквівалентного включення Ешелбі та ін- тегрального подання функції Гріна для анізотропного електропружного прос- тору. Тестування алгоритму розв’язання задачі виконано на частинному випадку (для трансервально-ізотропного електропружного матеріалу зі сфероїдальною порожниною) підтверджує його ефективність. Проведено числові дослідження напруженого стану в ортотропному електропружному матеріалі з порожниною під внутрішнім тиском, виявлено характерні закономірності розподілу напружень. Ключові слова: математичне моделювання, ортотропний п’єзоелектричний матеріал, сфероїдальна порожнина, довільна орієнтація, зв’язана система рів- нянь електропружності, внутрішній тиск, напружений стан. ВСТУП Останнім часом значно зріс інтерес до вивчення зв’язаних полів у електро- пружних тілах, про що свідчить суттєве збільшення кількості публікацій у цій галузі [1–10]. Праці [1, 4, 6, 8–16] присвячені пошуку електричного та напруженого станів п’єзоелектричних тіл з концентраторами напружень. Ряд важливих результатів для п’єзоелектричних тіл отримано у працях [11, 17, 18]. Для форми порожнини або включення у вигляді сфероїда (еліпсоїда обертання), розташованого у трансверсально-ізотропному електропружному просторі, точний розв’язок задачі отримано лише у випадку, коли вісь обер- тання концентратора напружень орієнтована вздовж осі симетрії матеріалу [11, 14–16]. Для ортотропного електропружного матеріалу, що містить трі- щину круглої або еліптичної форми, розташовану в одній з площин симетрії матеріалу, для деяких типів навантажень у [19, 20] отримано аналітично- числовий розв’язок, для шаруватого ортотропного електропружного матері- В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко, М.Б. Вітер, Л.В. Харитонова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 2 138 алу при згині задача досліджувалась у праці [21]. Розв’язок задачі про триві- сне еліпсоїдальне включення в ортотропному електропружному просторі при розтязі знайдено у праці [22]. У роботі вперше розглянуто задачу про ортотропний п’єзоелектричний простір, що містить довільно орієнтовану сфероїдальну порожнину під ста- лим внутрішнім тиском. Під час розгляду припускається, що нормальна складова вектора електричної індукції на поверхні порожнини дорівнює ну- лю. Це відповідає відсутності електричних навантажень на поверхні порож- нини, на якій немає електродного покриття. Також вважається, що у п’єзоелектричному ортотропному матеріалі відсутні зовнішні силові та електричні навантаження. Для розв’язання задачі математичного моделювання використано під- хід, який базується на методі еквівалентного включення Ешелбі (узагальне- ному на випадок ортотропного електропружного матеріалу). Під час вико- нання обчислень поверхневі інтеграли, що розглядаються у ході розв’язання задачі, обчислюються за допомогою квадратурних формул Гаусса. Алго- ритм розв’язання задачі апробовано на частинному випадку — для трансве- рсально-ізотропного електропружного матеріалу зі сферичною порожни- ною, вісь обертання якої збігається з віссю симетрії матеріалу (задача має точний розв’язок). Порівняння результатів досліджень у частинних випадках з даними інших авторів праць [11, 15] підтверджує ефективність використано- го підходу. Досліджено розподіл напружень у ортотропному електропружному просторі з довільним чином орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском) за її різних геометричних параметрів. ОСНОВНІ РІВНЯННЯ І ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Нехай ортотропний електропружний простір містить довільно орієнтовану сфероїдальну порожнину (з півосями 321 ,aaa  ), поверхня якої перебуває під внутрішнім тиском 0P . Процес деформування електропружного матеріа- лу для зв’язаних силових та електричних полів описується такою системою рівнянь: рівняння рівноваги за відсутності об’ємних сил 0,  jij ; (1) рівняння електростатики iiii ED ,, ;0  ; (2) співвідношення Коші )( 2 1 ,, ijjiij uu  ; рівняння стану nnijmnijmnij eC , ; ninmnimni keD , , (3) де ij , ij , iu , iD , iE ,  — компоненти напружень, деформацій, перемі- щень, електричних переміщень (індукції), напруженості електричного поля Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному  Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 2 139 та електричний потенціал відповідно. Система рівнянь (1)–(3) є повною сис- темою зв’язаних рівнянь електропружності. Уведемо такі позначення тензо- рів: ijmnC , imne , ijk — пружні модулі, п’єзомодулі, діелектричні проник- ності. Перший з цих тензорів вимірюється за сталого значення електричного поля, а два останні — за сталої деформації. Для п’єзоелектричних тіл, які є ортотропними за пружними та електричними властивостями, пружні влас- тивості характеризуються дев’ятьма незалежними сталими ,,,, 12332211 cccc 6655442313 ,,,, ccccc , п’єзомодулі — п’ятьма сталими ,15e ,24e ,31e ,31e 33e , діелектричні проникності — трьома незалежними сталими ,11k ,22k 33k . Компоненти введених тензорів пов’язані з відповідними незалежними ста- лими таким чином: 111111 cC  ; 222222 cC  ; 333333 cC  ; 1222111122 cCC  ; 23332222331333111133 ; cCCcCC  ; 443223323223322323 cCCCC  ; 551313133131133131 cCCCC  ; 662112212112211212 cCCCC  ; (4) 15131113 eee  ; 24232223 eee  ; 31311 ee  ; 32322 ee  ; 33333 ee  ; 11k ; 22k ; 33k . Не наведені у формулах (4) компоненти трьох тензорів набувають ну- льових значень. Для дослідження задачі зручно ввести нову систему координат, у якій одна з осей збігається з віссю обертання сфероїдальної порожнини. Вважає- мо, що вихідна система координат Oxyz пов’язана з новою (локальною) си- стемою 111 zyOx таким чином, що нову систему можна отримати з вихідної системи за допомогою обертання навколо осі Ox на кут  (рис. 1). Тоді тензори пружних модулів, п’єзомодулів і діелектричних сталих у новій сис- темі координат дістаємо за допомогою перетворень тензорів відповідних порядків: lqkpjnimmnpkijkl CC  , kpjnimmnpijk ee  , jnimmnij kk  , де ij — матриця перетворення вигляду             cossin0 sincos0 001 ij . Довільну орієнтацію сфероїдальної порожнини можна отримати послі- довним обертанням на кути  ,, навколо осей старої системи координат OzOyOx ,, відповідно. Знаходимо матрицю перетворення ijT :               coscoscoscossinsinsinsinsincossincos cossincoscossinsinsinsincoscossinsin sinsincoscoscos ijT . В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко, М.Б. Вітер, Л.В. Харитонова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 2 140 Матриця є результатом послідовного перемноження трьох матриць, що відображають праві обертання навколо кожної з осей координат:             cossin0 sincos0 001 ij ;              cos0sin 000 sin0cos ij ;              100 0cossin 0sincos ij . Тоді нові тензори пружних модулів, п’єзомодулів і діелектричних ста- лих ),,(  ijklC , ),,(  ijke , ),,(  ijk отримаємо за допомогою перетворень тензорів відповідних порядків: lqkpjnimmnpkijkl TTTTCC  ),,( ; kpjnimmnpijk TTTee  ),,( ; jnimmnij TTkk  ),,( , де за індексами, що повторюються, виконується підсумовування. Надалі ви- користовується традиційний тензорний запис. Відзначимо, що нічого не змінюючи у схемі розв’язання задачі, замість перетворення ijT , зумовленого обертанням навколо трьох осей координат, можна вводити інше перетво- рення, наприклад, на основі кутів Ейлера. Для опису електричного і напруженого станів використаємо більш уні- фіковані позначення [13]. У результаті маємо пружні переміщення та електричний потенціал       ;4, ,3,2,1, M Mu U m M (5) пружні деформації та напруженості електричного поля        ;4, ,3,2,1, M M Z n mn Mn (6) напруження та електричні переміщення (індукцію) x, x1 y A y1 B  z z1 Рис. 1. Орієнтація сфероїдальної порожнини за обертання навколо осі Ox на кут  Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному  Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 2 141        ;4, ,3,2,1, JD J i ij iJ (7) електропружні модулі                  .4,, ;3,2,1;4, ;4;3,2,1, ;3,2,1,, ),,( ),,( ),,( ),,( ),,( MJk MJe MJe MJC E in imn nij ijmn iJMn (8) За допомогою формул (5)–(8) рівняння стану (3) можна отримати у ви- гляді MniJMniJ ZE ),,(  , (9) де у лівій частині рівняння (9) використано позначення (7). МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ Сама схема розгляду задачі на основі методу Ешелбі така. Спочатку розгля- дається тривісний розтяг 0 11 = 0 0 33 0 22 P (за відсутності вектора електрич- ної індукції основного поля) в ортотропному п’єзоелектричному просторі зі сфероїдальною порожниною. Електропружні властивості включення покла- даються близькими до нульових значень (моделюється порожнина). Далі на основі узагальненого методу еквівалентного включення Ешелбі обчислю- ються силове і електричне поля, які є суперпозицією основного поля (триві- сний розтяг) і збуреного стану (викликаного наявністю порожнини). Після цього із суперпозиції станів (основного і збуреного) віднімається тривісний розтяг (основний напружений стан). У результаті отримуємо тільки збуре- ний стан, що відповідає навантаженню порожнини внутрішнім тиском. Електричний і напружений стани у п’єзоелектричному просторі подамо суперпозицією основного поля і збурення, викликаного наявністю порож- нини. Для пошуку збуреного стану скористаємося методом еквівалентного включення Ешелбі, узагальненим на випадок електропружності [13]. Рів- няння еквівалентності в області включення (неоднорідності) мають такий вигляд: )()( 0),,(0),,(1 KlKlKliJKlKlKliJKl ZZZEZZE   ( x  ), (10) де ),,(),,(1 ,  iJKliJKl EE — електропружні модулі неоднорідності та матриці відповідно (для випадку порожнини ),,(1  iJKlE спрямуємо до близьких до нуля значень); MnZ — значення «вільних» деформацій (за термінологією Ешелбі) і напруженості електричного поля, які визначаються з умов еквіва- лентності включення. Значення 0 KlZ (деформації і значення електричної ін- дукції основного поля) отримуємо зі співвідношень 0),,(0 KliJKliJ ZE  . Аналогічно пружному випадку маємо В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко, М.Б. Вітер, Л.В. Харитонова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 2 142 ),,( AbMnAbMn ZSZ  , (11) де ),,(  MnAbS — п’єзоелектричний аналог тензора Ешелбі, який залежить від геометричної форми включення і електропружних властивостей п’єзо- електричного простору. Скориставшись Фур’є-образом функції Гріна для нескінченного електропружного матеріалу, подамо його у вигляді                         ,4,)( ;3,2,1,)()( 2 1 4 3 1 1 2 0 4 3 1 1 2 0 ),,( ),,( MddzI MmddzIzI E S Jin nJimmJin iJAb MnAb   (12) де iii az / ;  cos1 2 31 ;  sin1 2 32 . Крім цього, маємо ),,(  iMJnniMJ EzzK . За допомогою співвідношень (10)–(12) для знаходження невідомих зна- чень KlZ отримуємо систему лінійних алгебричних рівнянь. Коефіцієнти цієї системи залежать від подвійних інтегралів типу (12), які не мають особ- ливостей в області інтегрування. Для знаходження розподілу напружень у електропружному просторі з еліпсоїдальним включенням потрібно спочатку за формулами (12) обчисли- ти аналог тензора Ешелбі ),,(  MnAbS , а потім з рівнянь еквівалентності (10) ви- значити значення * KlZ . У роботі компоненти ),,(  MnAbS обчислювались за ква- дратурними формулами Гаусса. Після знаходження невідомих значень * KlZ визначався електричний та напружений стани в середині м’якого включен- ня. Для обчислення значень напружень та характеристик електричного поля у точках п’єзоелектричного простору, що межують з поверхнею включення, використовувались формули для стрибка напружень та електричної індукції при переході через межу включення [13]: })({][ 1),,(),,( KlQKlpMnpQMniJKl in iJ out iJiJ ZnKnnZEE    , (13) де in — компоненти нормалі до поверхні включення. АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ ЧИСЛОВИХ ДОСЛІДЖЕНЬ Спочатку для тестування алгоритму розв’язання задачі розглянемо випадок сфероїдальної порожнини, що міститься у трансверсально-ізотропному електропружному просторі. Припускаємо, що вісь обертання сфероїда збіга- ється з віссю симетрії п’єзоелектричного матеріалу Oz. Нехай основний еле- ктричний та напружений стани у нескінченному електропружному просторі мають вигляд: ;0;0  yzxzxyzyxx ;0)0(  0 31 )0()0()0( ;0 xzyx dDDD  , (14) Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному  Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 2 143 де 31d — п’єзоелектрична стала [17]. Розглянемо п’єзокерамічні матеріали PXE-5 і ЦТС-19, властивості яких наведено у праці [17]. Після обчислень для стиснутої сфероїдальної порожнини отримуємо результати, що узго- джуються з даними праці [15] (отримані криві накладаються на лінії рис. 1, 2 із праці [15]). Для діапазону співвідношень півосей сфероїда 9,02,0/ ac у розрахунках використовувались квадратурні формули Гаусса за 48 вузлами (за кожною зі змінних), а для діапазону співвідношень 2,01,0/ ac — за 96 вузлами. Знайдені в результаті обчислень значення напружень узгоджуються з даними праці [15]. Так, концентрація напружень 0/ xx  за заданого основного поля (14) і співвідношення півосей сфероїда 5,0/ ac для п’єзокерамічного матеріалу ЦТС-19 на поверхні порожнини досягає значень 1,418 (1,42 у праці [15]) у вершині сфероїдальної порожни- ни на осі Oy і 1,887 (1,89 у праці [15]) у вершині на осі Oz. Отже, тестування підходу на задачі для трансверсально-ізотропного п’єзоелектричного простору зі сфероїдальною порожниною, яка має точний розв’язок, підтверджує узгодженість результатів досліджень з даними інших авторів. Проведемо дослідження напруженого стану в ортотропному електро- пружному матеріалі Ba2NaNb5O15 з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною під внутрішнім тиском (за відсутності електричних впливів на поверхні порожнини 0zD ) і за відсутності основних силових і електрич- них полів у електропружному матеріалі. Відзначимо, що властивості матері- алу Ba2NaNb5O15 характеризуються значеннями 17 незалежних електропру- жних сталих, значення яких наведено у праці [18]. Спочатку розглянемо випадок спеціальної орієнтації стиснутої сфе- роїдальної порожнини, коли її вісь обертання збігається з віссю Oz (однією з головних осей симетрії ортотропного електропружного матеріалу), а дві інші осі ортотропії п’єзоелектричного матеріалу збігаються з осями Oy і Oz (рис. 1). Розподіл напружень 0/ Pzz уздовж поверхні порожнини у перерізі XZ (від вершини сфероїда на осі Ox до його вершини на осі Oz) за різних співвідношень півосей порожнини зображено на рис. 2, на якому криві 1, 2, 3 відповідають таким співвідношенням півосей сфероїдальної порожнини: 9,0;7,0;5,0/ ca . Видно, що зі зменшенням значень ca / (збільшенням кривизни сфероїдальної поверхні) зростають максимальні значення напру- жень 0/ Pzz (на поверхні порожнини у вершині сфероїда на осі Ox ). Вод- ночас у вершині С (на осі 0z) 0/ Pzz = -1, що відповідає граничним умовам перебування порожнини під тиском 0P . Розподіл напружень уздовж поверхні порожнини у перерізі xz для трьох матеріалів з різними властивостями (за попередньої орієнтації осей обертання) за співвідношення півосей сфероїдальної порожнини 6,0/ ca зображено на рис. 3, на якому крива 1 відповідає електропружному ортот- ропному матеріалу Ba2NaNb5O15, лінії 2 і 3 — пружним ортотропним мате- ріалам СТЕТ і АСТТ [23, с. 66]. Найбільші значення напружень виникають для пружного ортотропного матеріалу CTET, а найменші значення макси- В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко, М.Б. Вітер, Л.В. Харитонова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 2 144 мальних напружень маємо для електропружного ортотропного матеріалу Ba2NaNb5O15. Розподіл напружень у перерізі xz для чотирьох різних орієнтацій стис- нутої сфероїдальної порожнини у матеріалі Ba2NaNb5O15 зображено на рис. 4, на якому лінії 1, 2, 3, 4 відповідають випадкам обертання стиснутої сфероїдальної порожнини навколо осі Ox (див. рис. 1) на кути 0 , 2/,3/,6/  . Видно, що найменше значення напружень досягається за 0 (вісь обертання стиснутого сфероїда направлена вздовж однієї з осей ортотропії п’єзоелектричного матеріалу), найбільше – за 2/ . 3 2 1 Рис. 2. Розподіл напружень уздовж поверхні порожнини у перерізі xz (за спеціальної орієнтації порожнини) z/c 0P zz Рис. 3. Розподіл напружень у перерізі xz (уздовж поверхні порожнини) для трьох різних матеріалів 2 3 1 z/c 0P zz Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному  Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 2 145 ВИСНОВКИ За допомогою математичної моделі досліджено розподіл напруженого стану в ортотропному п’єзоелектричному матеріалі, що містить довільно орієнто- вану порожнину сфероїдальної форми, яка перебуває під внутрішнім тис- ком. Вивчено вплив електропружних властивостей ортотропного матеріалу, геометрії порожнини і її орієнтації на розподіл напружень. ЛІТЕРАТУРА 1. F. Dinzart and H. Sabar, “Electroelastic ellipsoidal inclusion with imperfect interface and its application to piezoelectric composite materials”, Int. J. Solids and Struct., vol. 136–137, pp. 241–249, 2018. 2. C. Hwu, W.-R. Chen, and T.-H. Lo, “Green’s function of anisotropic elastic solids with piezoelectric or magneto-electro-elastic inclusions”, Int. J. Fracture, vol. 215, no. 1–2, pp. 91–103, 2019. 3. G. Iovane and A. V. Nasedkin, “Numerical modelling of two-phase piezocomposites with interface mechanical anisotropic effects”, Advanced Structured Materials, vol. 103, pp. 293–304, 2019. 4. S.A. Kaloerov and E.S. Glushankov, “Determining the Thermo-Electro-Magneto- Elastic State of Multiply Connected Piecewise-Homogeneous Piezoelectric Plates”, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, vol. 59, no. 6, pp. 1036–1048, 2018. 5. H.B. Li, Y.D. Li, and X. Wang, “Effects of inclusion on the creep rate of piezoelec- tric films”, Mechanics of Advanced Materials and Structures, vol. 26, no. 4, pp. 300–306, 2019. 6. V.V. Loboda, A.G. Kryvoruchko, and A.Y. Sheveleva, “Electrically plane and me- chanically antiplane problem for an inclusion with stepwise rigidity between piezo- electric materials”, Advanced Structured Materials, vol. 94, pp. 463–481, 2019. 7. G. Martínez-Ayuso, M.I. Friswell, H. Khodaparast Haddad, J.I. Roscow, and C.R. Bowen, “Electric field distribution in porous piezoelectric materials during po- larization”, Acta Materialia, vol. 173, pp. 332–341, 2019. Рис. 4. Вплив орієнтації порожнини на розподіл напружень 4 3 2 1 z/c 0P zz В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко, М.Б. Вітер, Л.В. Харитонова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 2 146 8. X. Peng, M. Yu, and Y. Yang, “Interaction between a generalized screw dislocation in the matrix and an inhomogeneity containing an elliptic hole in piezoelectric– piezomagnetic composite materials”, Mathematics and Mechanics of Solids, vol. 24, no. 10, pp. 3080–3091, 2019 9. J. Shi and A.H. Akbarzadeh, “Architected cellular piezoelectric metamaterials: Thermo-electro-mechanical properties”, Acta Materialia, vol. 163, pp. 91–121, 2019. 10. Y. Solyaev and S. Lurie, “Numerical predictions for the effective size-dependent properties of piezoelectric composites with spherical inclusions”, Composite Struc- tures, vol. 202, pp. 1099–1108, 2018. 11. Yu.N. Podil'chuk, “Exact Analytical Solutions of Static Electroelastic and Thermoe- lectroelastic Problems for a Transversely Isotropic Body in Curvilinear Coordinate Systems”, Int. Appl. Mech., vol. 39, no. 2, pp. 132 – 170, 2003. 12. L. Dai, W. Guo, and X. Wang, “Stress concentration at an elliptic hole in trans- versely isotropic piezoelectric solids”, Int. J. Solids and Struct., vol. 43, no. 6, pp. 1818–1831, 2006. 13. M.L. Dunn and M. Taya, “Electroelastic Field Concentrations In and Around Inho- mogeneities In Piezoelectric Solids”, J. Appl. Mech.,vol. 61, no. 4, pp. 474– 475, 1994. 14. Y. Mikata, “Explicit determination of piezoelectric Eshelby tensors for a spheroidal inclusion”, Int. J. Solids and Struct., vol. 38, no. 40–41, pp. 7045–7063, 2001. 15. Yu.N. Podil’chuk and I.G. Myasoedova, “Stress State of a Transversely Isotropic Piezoceramic Body with Spheroidal Cavity”, Int. Appl. Mech., vol. 40, no. 11, pp. 1269–1280, 2004. 16. C.R. Chiang and G.J. Weng, “The nature of stress and electric-displacement concen- trations around a strongly oblate cavity in a transversely isotropic piezoelectric mate- rial”, Int. J. Fract., vol. 134, no. 3–4, pp. 319–337, 2005. 17. В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, и Н.А. Шульга, “Электроупругость”, Механика связанных полей в элементах конструкций: в 6-ти т., т. 1. Киев: Наукова дум- ка, 1989. 18. М.О. Шульга и В.Л. Карлаш, Резонансні електромеханічні коливання п′єзоелектричних пластин. Київ: Наукова думка, 2008. 19. V.S. Kirilyuk, O.I. Levchuk, and H. Altenbach, “Calculation of Stress Intensity Fac- tors for an Arbitrary Oriented Penny-shaped Crack Under Inner Pressure in an Orthotropic Electroelastic Material”, Advanced Structured Materials, vol. 108, pp. 211–222, 2019. 20. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Stress State of an Orthotropic Piezoelectric Mate- rial with an Elliptic Crack”, Int. Appl. Mech., vol. 53, no. 3, pp. 305–312, 2017. 21. Y.Y. Zhou, W.Q. Chen, and C.F. Lu, “Semi-analytical solution for orthotropic pie- zoelectric laminates in cylindrical bending with interfacial imperfections”, Compos- ite Structures, vol. 92, no. 4, pp. 1009–1018, 2010. 22. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Stress State of an Orthotropic Piezoelectric Body with a Triaxial Ellipsoidal Inclusion Subject to Tension”, Int. Appl. Mech., vol. 55, no. 3, pp. 305–310, 2019. 23. S.G. Lekhnitskii, Theory of Elasticity of an Anisotropic Body. Мoscow: Mir, 1981. Надійшла 11.12.2019 INFORMATION ON THE ARTICLE V.S. Kirilyuk, ORCID: 0000-0002-8513-0378, S.P. Timoshenko Insitute of mechanics of NAS of Ukraine, e-mail: kirilyuk_v@ukr.net. O.I. Levchuk, ORCID: 0000-0002-6514-6225, S.P. Timoshenko Institute of mechanics of NAS of Ukraine, e-mail: 2013levchuk@gmail.com. O.V. Gavrilenko, ORCID: 0000-0003-0413-6274, National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: iem.gavrilenko@meta.ua. Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному  Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 2 147 M.B. Viter, ORCID: 0000-0003-4109-005X, National Transport University of Ukraine, e-mail: mbviter@gmail.com L.V. Kharytonova, ORCID: 0000-0002-0108-6702, National Transport University of Ukraine, e-mail: kharytonova-lv@ukr.net. MATHEMATICAL MODELING OF THE STRESS STATE IN AN ORTHOTROPIC ELECTROELASTIC SPACE WITH AN ARBITRARY ORIENTED SPHEROIDAL CAVITY UNDER INTERNAL PRESSURE / V.S. Kirilyuk, O.I. Levchuk, O.V. Gavrilenko, M.B. Viter, L.V. Kharytonova Abstract. The stress state of an orthotropic electro-elastic space with an arbitrary oriented spheroidal cavity under internal pressure is investigated based on mathe- matical modeling. The problem's solution is obtained by using the Eshelby equiva- lent method, generalized to the case of orthotropic piezoelectric material, and the in- tegral representation of the Green function for an anisotropic electroelastic space. Testing the algorithm for solving the problem on a special case (for a transversely isotropic electrical-elastic material with a spheroidal cavity) confirms its effective- ness. The numerical studies of the stress state in an orthotropic electroelastic mate- rial with a cavity under internal pressure were carried out, characteristic patterns of stress distribution were revealed. Keywords: mathematical modeling, orthotropic piezoelectric material, coupled sys- tem of equations of electroelasticity, spheroidal cavity, arbitrary orientation, inner pressure, stress state. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ОРТОТРОПНОМ ЭЛЕКТРОУПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ С ПРОИЗВОЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННОЙ СФЕРОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ (ПОД ВНУТРЕННИМ ДАВЛЕНИЕМ) / В.С. Кирилюк, О.И. Левчук, Е.В. Гавриленко, М.Б. Витер, Л.В. Харитонова Аннотация. На основе математического моделирования исследовано напря- женное состояние ортотропного электроупругого пространства с произвольно ориентированной сфероидальной полостью под внутренним давлением. Реше- ние задачи получено с помощью использования обобщенного на случай орто- тропного пьезоэлектрического материала метода эквивалентного включения Эшелби и интегрального представления функции Грина для анизотропного электроупругого пространства. Тестирование алгоритма решения задачи на частном случае, для которого существует точное решение, и подтверждает его эффективность. Проведены численные исследования напряженного состояния в ортотропном электроупругом материале с полостью под внутренним давле- нием, выявлены характерные закономерности распределения напряжений. Ключевые слова: математическое моделирование, ортотропный пьезоэлек- трический материал, связанная система уравнений электроупругости, сферои- дальная полость, произвольная ориентация, внутреннее давление, напряжен- ное состояние. REFERENCES 1. F. Dinzart and H. Sabar, “Electroelastic ellipsoidal inclusion with imperfect interface and its application to piezoelectric composite materials”, Int. J. Solids and Struct., vol. 136–137, pp. 241–249, 2018. 2. C. Hwu, W.-R. Chen, and T.-H. Lo, “Green’s function of anisotropic elastic solids with piezoelectric or magneto-electro-elastic inclusions”, Int. J. Fracture, vol. 215, no. 1–2, pp. 91–103, 2019. 3. G. Iovane and A. V. Nasedkin, “Numerical modelling of two-phase piezocomposites with interface mechanical anisotropic effects”, Advanced Structured Materials, vol. 103, pp. 293–304, 2019. 4. S.A. Kaloerov and E.S. Glushankov, “Determining the Thermo-Electro-Magneto-Elastic State of Multiply Connected Piecewise-Homogeneous Piezoelectric Plates”, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, vol. 59, no. 6, pp. 1036–1048, 2018. В.С. Кирилюк, О.І. Левчук, О.В. Гавриленко, М.Б. Вітер, Л.В. Харитонова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 2 148 5. H.B. Li, Y.D. Li, and X. Wang, “Effects of inclusion on the creep rate of piezoelectric films”, Mechanics of Advanced Materials and Structures, vol. 26, no. 4, pp. 300–306, 2019. 6. V.V. Loboda, A.G. Kryvoruchko, and A.Y. Sheveleva, “Electrically plane and mechani- cally antiplane problem for an inclusion with stepwise rigidity between piezoelectric ma- terials”, Advanced Structured Materials, vol. 94, pp. 463–481, 2019. 7. G. Martínez-Ayuso, M.I. Friswell, H. Khodaparast Haddad, J.I. Roscow, and C.R. Bowen, “Electric field distribution in porous piezoelectric materials during polariza- tion”, Acta Materialia, vol. 173, pp. 332–341, 2019. 8. X. Peng, M. Yu, and Y. Yang, “Interaction between a generalized screw dislocation in the matrix and an inhomogeneity containing an elliptic hole in piezoelectric– piezomagnetic composite materials”, Mathematics and Mechanics of Solids, vol. 24, no. 10, pp. 3080–3091, 2019. 9. J. Shi and A.H. Akbarzadeh, “Architected cellular piezoelectric metamaterials: Thermo- electro-mechanical properties”, Acta Materialia, vol. 163, pp. 91–121, 2019. 10. Y. Solyaev and S. Lurie, “Numerical predictions for the effective size-dependent proper- ties of piezoelectric composites with spherical inclusions”, Composite Structures, vol. 202, pp. 1099–1108, 2018. 11. Yu.N. Podil’chuk, “Exact Analytical Solutions of Static Electroelastic and Thermoelectroelastic Problems for a Transversely Isotropic Body in Curvilinear Coordinate Systems”, Int. Appl. Mech., vol. 39, no. 2, pp. 132 – 170, 2003. 12. L. Dai, W. Guo, and X. Wang, “Stress concentration at an elliptic hole in transversely isotropic piezoelectric solids”, Int. J. Solids and Struct., vol. 43, no. 6, pp. 1818–1831, 2006. 13. M.L. Dunn and M. Taya, “Electroelastic Field Concentrations In and Around Inhomogeneities In Piezoelectric Solids”, J. Appl. Mech.,vol. 61, no. 4, pp. 474– 475, 1994. 14. Y. Mikata, “Explicit determination of piezoelectric Eshelby tensors for a spheroidal inclusion”, Int. J. Solids and Struct., vol. 38, no. 40–41, pp. 7045–7063, 2001. 15. Yu.N. Podil’chuk and I.G. Myasoedova, “Stress State of a Transversely Isotropic Piezoceramic Body with Spheroidal Cavity”, Int. Appl. Mech., vol. 40, no. 11, pp. 1269–1280, 2004. 16. C.R. Chiang and G.J. Weng, “The nature of stress and electric-displacement concentrations around a strongly oblate cavity in a transversely isotropic piezoelectric material”, Int. J. Fract., vol. 134, no. 3–4, pp. 319–337, 2005. 17. V.T. Grinchenko, A.F. Ulitko, and N.A. Shulga, “Electroelasticity”, Mechanics of coupled fields in structural elements: in 6 volumes., vol. 1. Kyiv: Naukova Dumka, 1989. 18. M.O. Shulga and V.L. Karlash, Resonant electromechanical vibrations of plates. Kyiv: Naukova Dumka, 2008. 19. V.S. Kirilyuk, O.I. Levchuk, and H. Altenbach, “Calculation of Stress Intensity Factors for an Arbitrary Oriented Penny-shaped Crack Under Inner Pressure in an Orthotropic Electroelastic Material”, Advanced Structured Materials, vol. 108, pp. 211–222, 2019. 20. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Stress State of an Orthotropic Piezoelectric Material with an Elliptic Crack”, Int. Appl. Mech., vol. 53, no. 3, pp. 305–312, 2017. 21. Y.Y. Zhou, W.Q. Chen, and C.F. Lu, “Semi-analytical solution for orthotropic piezoelectric laminates in cylindrical bending with interfacial imperfections”, Composite Structures, vol. 92, no. 4, pp. 1009–1018, 2010. 22. V.S. Kirilyuk and O.I. Levchuk, “Stress State of an Orthotropic Piezoelectric Body with a Triaxial Ellipsoidal Inclusion Subject to Tension”, Int. Appl. Mech., vol. 55, no. 3, pp. 305–310, 2019. 23. S.G. Lekhnitskii, Theory of Elasticity of an Anisotropic Body. Мoscow: Mir, 1981.
id	journaliasakpiua-article-216241
institution	System research and information technologies
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2025-07-17T10:26:57Z
publishDate	2020
publisher	The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
record_format	ojs
resource_txt_mv	journaliasakpiua/68/652be11914a776841cfe4929ca668568.pdf
spelling	journaliasakpiua-article-2162412021-01-19T13:44:38Z Mathematical modeling of the stress state in an orthotropic electroelastic space with an arbitrary oriented spheroidal cavity under internal pressure Математическое моделирование напряженного состояния в ортотропном электроупругом пространстве с произвольно ориентированной сфероидальной полостью (под внутренним давлением) Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском) Kirilyuk, Vitaly S. Levchuk, Olga I. Gavrilenko, Olena V. Viter, Mykhailo B. Kharytonova, Lesia V. математичне моделювання ортотропний п’єзоелектричний матеріал сфероїдальна порожнина довільна орієнтація зв’язана система рівнянь електропружності внутрішній тиск напружений стан математическое моделирование ортотропный пьезоэлектрический материал связанная система уравнений электроупругости сфероидальная полость произвольная ориентация внутреннее давление напряженное состояние mathematical modeling orthotropic piezoelectric material coupled system of equations of electroelasticity spheroidal cavity arbitrary orientation inner pressure stress state The stress state of an orthotropic electro-elastic space with an arbitrary oriented spheroidal cavity under internal pressure is investigated based on mathematical modeling. The problem's solution is obtained by using the Eshelby equivalent method, generalized to the case of orthotropic piezoelectric material, and the integral representation of the Green function for an anisotropic electroelastic space. Testing the algorithm for solving the problem on a special case (for a transversely isotropic electrical-elastic material with a spheroidal cavity) confirms its effectiveness. The numerical studies of the stress state in an orthotropic electroelastic material with a cavity under internal pressure were carried out, characteristic patterns of stress distribution were revealed. На основе математического моделирования исследовано напряженное состояние ортотропного электроупругого пространства с произвольно ориентированной сфероидальной полостью под внутренним давлением. Решение задачи получено с помощью использования обобщенного на случай ортотропного пьезоэлектрического материала метода эквивалентного включения Эшелби и интегрального представления функции Грина для анизотропного электроупругого пространства. Тестирование алгоритма решения задачи на частном случае, для которого существует точное решение, и подтверждает его эффективность. Проведены численные исследования напряженного состояния в ортотропном электроупругом материале с полостью под внутренним давлением, выявлены характерные закономерности распределения напряжений. На основі математичного моделювання досліджено напружений стан ортотропного електропружного простору з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною під внутрішнім тиском. Розв’язок задачі отримано за допомогою використання узагальненого на випадок ортотропного п’єзоелектричного матеріалу методу еквівалентного включення Ешелбі та інтегрального подання функції Гріна для анізотропного електропружного простору. Тестування алгоритму розв’язання задачі виконано на частинному випадку (для трансервально-ізотропного електропружного матеріалу зі сфероїдальною порожниною) підтверджує його ефективність. Проведено числові дослідження напруженого стану в ортотропному електропружному матеріалі з порожниною під внутрішнім тиском, виявлено характерні закономірності розподілу напружень. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2020-09-25 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/216241 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.2.10 System research and information technologies; No. 2 (2020); 137-148 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2020); 137-148 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2020); 137-148 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/216241/219294 Copyright (c) 2021 System research and information technologies
spellingShingle	математичне моделювання ортотропний п’єзоелектричний матеріал сфероїдальна порожнина довільна орієнтація зв’язана система рівнянь електропружності внутрішній тиск напружений стан Kirilyuk, Vitaly S. Levchuk, Olga I. Gavrilenko, Olena V. Viter, Mykhailo B. Kharytonova, Lesia V. Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском)
title	Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском)
title_alt	Mathematical modeling of the stress state in an orthotropic electroelastic space with an arbitrary oriented spheroidal cavity under internal pressure Математическое моделирование напряженного состояния в ортотропном электроупругом пространстве с произвольно ориентированной сфероидальной полостью (под внутренним давлением)
title_full	Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском)
title_fullStr	Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском)
title_full_unstemmed	Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском)
title_short	Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском)
title_sort	математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском)
topic	математичне моделювання ортотропний п’єзоелектричний матеріал сфероїдальна порожнина довільна орієнтація зв’язана система рівнянь електропружності внутрішній тиск напружений стан
topic_facet	математичне моделювання ортотропний п’єзоелектричний матеріал сфероїдальна порожнина довільна орієнтація зв’язана система рівнянь електропружності внутрішній тиск напружений стан математическое моделирование ортотропный пьезоэлектрический материал связанная система уравнений электроупругости сфероидальная полость произвольная ориентация внутреннее давление напряженное состояние mathematical modeling orthotropic piezoelectric material coupled system of equations of electroelasticity spheroidal cavity arbitrary orientation inner pressure stress state
url	https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/216241
work_keys_str_mv	AT kirilyukvitalys mathematicalmodelingofthestressstateinanorthotropicelectroelasticspacewithanarbitraryorientedspheroidalcavityunderinternalpressure AT levchukolgai mathematicalmodelingofthestressstateinanorthotropicelectroelasticspacewithanarbitraryorientedspheroidalcavityunderinternalpressure AT gavrilenkoolenav mathematicalmodelingofthestressstateinanorthotropicelectroelasticspacewithanarbitraryorientedspheroidalcavityunderinternalpressure AT vitermykhailob mathematicalmodelingofthestressstateinanorthotropicelectroelasticspacewithanarbitraryorientedspheroidalcavityunderinternalpressure AT kharytonovalesiav mathematicalmodelingofthestressstateinanorthotropicelectroelasticspacewithanarbitraryorientedspheroidalcavityunderinternalpressure AT kirilyukvitalys matematičeskoemodelirovanienaprâžennogosostoâniâvortotropnomélektrouprugomprostranstvesproizvolʹnoorientirovannojsferoidalʹnojpolostʹûpodvnutrennimdavleniem AT levchukolgai matematičeskoemodelirovanienaprâžennogosostoâniâvortotropnomélektrouprugomprostranstvesproizvolʹnoorientirovannojsferoidalʹnojpolostʹûpodvnutrennimdavleniem AT gavrilenkoolenav matematičeskoemodelirovanienaprâžennogosostoâniâvortotropnomélektrouprugomprostranstvesproizvolʹnoorientirovannojsferoidalʹnojpolostʹûpodvnutrennimdavleniem AT vitermykhailob matematičeskoemodelirovanienaprâžennogosostoâniâvortotropnomélektrouprugomprostranstvesproizvolʹnoorientirovannojsferoidalʹnojpolostʹûpodvnutrennimdavleniem AT kharytonovalesiav matematičeskoemodelirovanienaprâžennogosostoâniâvortotropnomélektrouprugomprostranstvesproizvolʹnoorientirovannojsferoidalʹnojpolostʹûpodvnutrennimdavleniem AT kirilyukvitalys matematičnemodelûvannânapruženogostanuvortotropnomuelektropružnomuprostorízdovílʹnooríêntovanoûsferoídalʹnoûporožninoûpídvnutríšnímtiskom AT levchukolgai matematičnemodelûvannânapruženogostanuvortotropnomuelektropružnomuprostorízdovílʹnooríêntovanoûsferoídalʹnoûporožninoûpídvnutríšnímtiskom AT gavrilenkoolenav matematičnemodelûvannânapruženogostanuvortotropnomuelektropružnomuprostorízdovílʹnooríêntovanoûsferoídalʹnoûporožninoûpídvnutríšnímtiskom AT vitermykhailob matematičnemodelûvannânapruženogostanuvortotropnomuelektropružnomuprostorízdovílʹnooríêntovanoûsferoídalʹnoûporožninoûpídvnutríšnímtiskom AT kharytonovalesiav matematičnemodelûvannânapruženogostanuvortotropnomuelektropružnomuprostorízdovílʹnooríêntovanoûsferoídalʹnoûporožninoûpídvnutríšnímtiskom

Математичне моделювання напруженого стану в ортотропному електропружному просторі з довільно орієнтованою сфероїдальною порожниною (під внутрішнім тиском)

Institution

Similar Items