Узагальнені розв’язки задач оптимального керування
The problems of optimal control of systems of algebraic-integro-differential equations and partial differential equations are considered, which describe controlled processes with concentrated and distributed parameters. Generalized optimal solutions that exist for a wide range of optimal control app...
Saved in:
| Date: | 2020 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2020
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/228525 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334411778785280 |
|---|---|
| author | Beyko, Ivan Furtel, Olesya Spivak, Julia |
| author_facet | Beyko, Ivan Furtel, Olesya Spivak, Julia |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ivan Beyko",
"institution": "Національний технічний університет України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
},
{
"author": "Olesya Furtel",
"institution": "Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, Кам’янець-Подільський"
},
{
"author": "Julia Spivak",
"institution": "Національний технічний університет України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
}
] |
| author_sort | Beyko, Ivan |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2021-04-08T14:17:06Z |
| description | The problems of optimal control of systems of algebraic-integro-differential equations and partial differential equations are considered, which describe controlled processes with concentrated and distributed parameters. Generalized optimal solutions that exist for a wide range of optimal control applications are identified. Methods for constructing approximate generalized solutions are considered. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.4.08 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:27:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
І.В. Бейко, О.В. Фуртель, Ю.В. Співак, 2020
104 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 4
УДК 519.6
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.4.08
УЗАГАЛЬНЕНІ РОЗВ’ЯЗКИ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО
КЕРУВАННЯ
І.В. БЕЙКО, О.В. ФУРТЕЛЬ, Ю.В. СПІВАК
Анотація. Розглянуто задачі оптимального керування системами алгебро-
інтегро-диференціальних рівнянь та рівнянь із частинними похідними, які
описують керовані процеси із зосередженими та розподіленими параметрами.
Визначено узагальнені оптимальні розв’язки, які існують для широких класів
прикладних задач оптимального керування. Запропоновано методи побудови
наближених узагальнених розв’язків.
Ключові слова: оптимальне керування, математичне моделювання, процеси із
зосередженими параметрами, процеси з розподіленими параметрами.
ВСТУП
Задачі оптимізації та методи оптимального керування системами з частин-
ними похідними є важливими для розв’язання задач математичного моде-
лювання, прогнозування і системного аналізу [1–4]. Труднощі їх розв’язання
часто виникають через відсутність у вибраному просторі шуканого оптима-
льного керування. Наприклад, за відомими умовами Каруша–Куна–Такера
для регулярного мінімізатора
)(minArg
)(
* xJx
Kxg
у банаховому просторі X із двічі диференційовними (за Фреше) функціями
,: RXJ ZXg : та опуклим у банаховому просторі Z конусом K
існує елемент
} ,0,: {: * KkklZlKl ,
за яким необхідні умови оптимальності визначаються рівняннями
0)()( ** lxgxJ , ,0)(, * xgl
але проблема полягає в тому, що розв’язок х* виявляється регулярним тіль-
ки у випадку 1LX , а друга похідна )( *xL обмежена тільки у випадку
XL 2 . Інша проблема зумовлена нестійкими керованими системами, для
яких різницеві моделі також є нестійкими і непридатними для обчислення
фазових траєкторій. Наприклад, для стійкої керованої системи її спряжена
система, за якою визначається оптимальне керування, є нестійкою, і навпа-
ки — у випадку стійкої спряженої системи нестійкою виявляється вихідна
система, а це потребує використанням адекватних стійких неявних схем і
неявних алгоритмів Рунге–Кутти для інтегрування екстремальних траєкто-
Узагальнені розв’язки задач оптимального керування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 4 105
рій керованих систем [4–6]. Важливо що навіть збіжні для диференціальних
рівнянь неявні алгоритми Рунге–Кутти можуть виявитися незбіжними для
екстремалей в задачах оптимального керування [7]. Особливі труднощі
з’являються в задачах керування системами із взаємодійними керованими
підсистемами, які описуються узагальненими алгебро-інтегро-диферен-
ціальними рівняннями і для яких може не існувати оптимального керуван-
ня. У роботі визначаються узагальнені розв’язки таких задач і розгляда-
ються можливості наближених методів їх побудови.
УЗАГАЛЬНЕНІ ЗАДАЧІ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
Прикладом задачі оптимального керування, яка не розв’язується за принци-
пом максимуму, є макроекономічна задача відшукання оптимальних темпів
виробництва засобів виробництва m(t) і товарів споживання )(tc , які для
заданих коефіцієнтів )),(),,(( tt використання наявних ресурсів
)))(1)((),()(( ymym максимізують значення «функціонала суспільного
добробуту»
T
dttcyJ
0
)()( на траєкторіях макромоделі
t
ta
dymttm
)(
,)()(),()(
t
ta
dymttc
)(
,))(1)((),()(
t
ta
dytL
)(
)()( ,
де за функцією ],0[)( tta визначаються терміни )(tat використання за-
собів виробництва, створені до моменту часу t. Узагальненням цієї задачі є
задача оптимізації багатосекторної макроекономіки за критерієм максиміза-
ції «загального добробуту»
T M
j
t
ta jjij
j
dymtaJ
0
1
)(
)()(),()( у макро-
економічній моделі
M
i
t
ta
ijij
j
tFdmtK
1 )(
,)()(),( ,,...,1 Ni ],,0[)( tta j .,...,1 Nj
Подібні задачі нестандартних керованих систем є частинними випад-
ками узагальненої задачі 1.
Узагальнена задача 1. Знайти розв’язок ,)( nRtx rRtu )( системи
алгебро-інтегро-диференціальних рівнянь
;),(),(),(,),((),,( 0
0 ttutxtxutxfuxtf
;0)),(),(,),(),(
),,(
1
xutD
dsttutxssusxf (1)
T
t
ttutxtxFuTxtxFuxF
0
;),(),(),(,),(),((),( 1
0
0
,0)),(),(),(,),(),(),(
0
2
T
t
dsttutxtxssusxsxF
І.В. Бейко, О.В. Фуртель, Ю.В. Співак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 4 106
який максимізує функціонал
;),(),(),(,),(),((),(
0
2
0
0
T
t
ttutxtxBuTxtxBuxB
.0)),(),(),(,),(),(),(
0
2
T
t
dsttutxtxssusxsxB (2)
До такої задачі зводяться широкі класи прикладних задач оптимального
керування процесами із зосередженими параметрами і різними типами зви-
чайних та інтегральних запізнень, таких як, наприклад, у згаданих вище за-
дачах оптимального керування взаємопов’язаними макроекономічними
процесами. Аналогічна узагальнена задача оптимального керування склад-
ними системами алгебро-інтегро-диференціальних рівнянь із частинними
похідними формулюється як узагальнена задача 2.
Узагальнена задача 2. Знайти вектор-функції rDu R: , ,R: nDx
,RR snD які належать множині розв’язків узагальненої керованої
системи із підсистемами, які описуються алгебро-інтегро-диференціальниими
рівняннями із частинними похідними
;0)),,,(),,(),,(,,(:),,,( stuxFstustxstfuxstf
k
ifk
i
k
i
),,(),( uxDst i kik NiNk ,1,,1 (3)
і максимізують значення функціонала
D
dsdtstuxFstustxstuxB )),,,(),,(),,(,,(),( 0
0 , (4)
де k
if — задані функції; DuxDi ),( — задані підмножини;
DuxsuxtuxD iq
q
i
q
i
q
i 10 )},(),,({),( – задані дискретні підмножини;
k
ifF ,
k
igF і 0F — задані композиції операторів ),(),,,,(1 stx
st
stxF
та
визначених за заданими множинами
n
i
iiii stssttst 1},),,(),,({),( ,
snuxst RR),,,(
~
операторів
),,,,( 12 stxFF ;),),,(),,(,(( 1111
1 txsstxttxF
),,),,(),,(,( 2222
1 txsstxttxF …, )),),,(),,(,(1
nnnn txsstxttxF ;
.)),,,,(),,(,,()
~
,,,,,(
),,,(
~
13
ddstxFstuststuxF
uxst
У загальному випадку задача 2 може не мати розв’язку
),,(minarg),(
),(
** uxBux
ux
зокрема, може виявитися порожньою множи-
на . Для таких випадків будується узагальнений оптимальний розв’язок
Узагальнені розв’язки задач оптимального керування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 4 107
з використанням множини )( розв’язків системи ,|),,,(| uxstf k
i
),(),( uxDst i , .,1,,1 kik NiNk
У випадку
),(minarg))(),((
)(),(
** uxBux
ux
значення ))(),(( ** ux
називають наближеним невласним -розв’язком задачі 2, а узагальнений
розв’язок задачі 2 визначається як послідовність ),,( kk ux ,...,2,1k яка за-
довольняє умови
)(),( kkk ux , ,lim, 0
k
k
k ,),(inf),(
)(),(
k
ux
kk uxBuxB
k
де — мінімальне значення, для якого при множина )( є непорож-
ньою.
Методи побудови узагальненого розв’язку реалізуються з
використанням узагальненої апроксимаційної системи ,),,( puxA скла-
деної з апроксимаційних моделей kikki NiNkpuxA ,1,,1,)),,( для
кожної підсистеми (3) з адекватно вибраними параметричними функціями
,: WPUXAki заданими у параметризованих просторах фазових трає-
кторій )( pX та керувань )( pU із заданими множинами P допустимих зна-
чень параметрів. До основних характеристик адекватності узагальненої па-
раметричної моделі ),,( puxA належать мажорантні або осереднені
оцінки часу ),( p необхідного для обчислення наближеного оптимального
керування ),(* pu та оцінки точності )( p отриманого наближеного опти-
мального керування ).(* pu За наявності таких оцінок можна було б визна-
чати параметри ))()),((()),((max:)( ** pupuxBuuxBp
u
оптимізованої за
точністю робочої моделі ),,( puxA , параметри )(minarg pp
Pp
оптимі-
зованої моделі за критерієм мінімізації часу реалізації алгоритма для обчис-
лення ),(* pu а також важливі для практики параметри Kp
))()((minarg ppK
Pp
K-оптимальної, або визначеної нижче асимпто-
тично K-оптимальної моделі.
Особливо важливим є вибір множини P допустимих значень парамет-
рів ,p які мають забезпечувати обчислювальну стійкість робочої моделі,
використовувати наявну розрідженність для оптимізації необхідних проце-
дур, зокрема для обчислення градієнтів і потрібних похідних вищих поряд-
ків, а також забезпечувати адекватне узгодження вибраних у моделі шкал
для числово-аналітичного подання усіх змінних, яке реалізується багатьма
різними способами, починаючи з прямої дискретної апроксимації всіх похід-
них у рівняннях (1), (3) з урахуванням того, що стійкі та збіжні алгоритми
числового розв’язання задач Коші для диференціальних рівнянь можуть
втрачати потрібну стійкість та збіжність у задачах оптимального керування
[4–7]. Це пов’язано з тим, що в задачах оптимального керування диференці-
альні рівняння для екстремалей, які включають рівняння керованої системи
І.В. Бейко, О.В. Фуртель, Ю.В. Співак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 4 108
разом з рівняннями спряженої до неї підсистеми майже завжди є нестійки-
ми, оскільки у випадку стійкої керованої системи її спряжена система на
екстремалі є нестійкою, і навпаки, якщо спряжена є стійкою, то нестійкою є
вихідна керована система. Розв’язання таких проблем потребує адекватного
вибору адекватної числово-аналітичної апроксимації шуканих функцій
),( ux та їх шуканих значень ),( kk ux і значень їх похідних у вузлах ),( kk st
вибраних дискретних множин }..1), ,{( MkstD kk
M для апроксимації
кожної підсистеми. Шукані значення )),(), ,((),( kkkkkk stustxux обчис-
люються як розв’язок }..1, { MkxX k , }..1, { MkuU k задачі максимі-
зації відповідного (параметризованого) значення функціонала ),( UXB на
траєкторіях X робочої моделі .),( UXA Побудова відповідного узагаль-
неного розв’язку ),,( kk UX ...,2,1k реалізується або за субградієнтними
алгоритмами ,),(),( 11 k
k
kkkk ZUXUX де kZ — субградієнт функці-
онала ),( UXB у точці ),(),( kk UXUX у випадку k
kk dUXA |),(| і суб-
градієнт функціонала |),(| kk UXA в інших випадках. Монотонно спадна
послідовність ,0kd ,...2,1k є регулювальним параметром для реалізації
належного збільшення точності апроксимації параметричного подання
),( kk ux функцій ),( ux , зокрема завдяки збільшенню кількості вузлових то-
чок ),( kk st дискретної множини MD у зонах з більшими значеннями мажо-
рантної оцінки похибки вибраної числово-аналітичної апроксимації функцій
),( ux . Із властивостей субградієнтних методів випливає, що в задачах опук-
лої оптимізації їх збіжність, а отже і побудова визначеного узагальненого
розв’язку, теоретично забезпечується класичними умовами 0s ,
,0lim ,
1
s
ss
s а прискорення збіжності досягається використанням
гладких ньютонівських алгоримів внутрішньої точки.
У цій роботі привертаємо увагу до можливостей підвищення ефектив-
ності методів побудови узагальненого розв’язку з використанням асимпто-
тично розв’язувальних операторів ),,,( uuxB які визначаються [8] в околі
довільно заданих значень ),( ux асимптотичним рівнянням
)),((),,()),(( uuouuxBuuxB . (5)
Для задачі 1 оператор ),,( uuxB будується у вигляді
T
t
dtuwtfttxuMuxFuxBuuxB
0
,),,()(*)(),,(),(),(),,( 01
де ),,(1 uM — оператор, знайдений у вигляді
T
t
stBAtBAtBABABAuM
0
),,(),((),()()(),,( 0
1
50
1
50
1
1
0
5
0
11
)(),()([)),,(),()( 0*
30
1*
1
0*
10
2
1
1
5
0
3 FAtFAFAdsstBAsBABA
Узагальнені розв’язки задач оптимального керування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 4 109
]))(),(),,(),,((
0
0*
3
1*
50
2*
10
2*
5 dsFAsFAstFAstFA
T
t
;)(),()(),( 00
0*
3
2*
1
0
ttfAdtttfA
T
t
)(t — розв’язок системи
),,(*
0*
2
1*
1
),,(*
0*
1 )(),(),,()(),(
xutDxutD
dsssfAstfAdtttfA
),(),(),( 0*
7
1*0*
1 tfAtfAtfA D
)(),(),(),,(
),,(*
0*
3
0*
7
1*
1 ttfAdstfAstfA
xutD
T
t
dsFAtFAstBAFAtFA
0
)(),(),,()(),( 0*
3
1*
5
2*
6
0*
1
1*
2
T
t
dsdttFAstFAdFAtFA
0
}/)),(),,(({)(),( 1*
5
2*
5
0*
3
1*
1
T
t
dsFAsFAstFA
0
)(),(),,( 0*
3
1*
5
2*
1
),()()(),(),,( 1
2
0
3
0*
3
1*
5
2*
2
0
tBABAdsFAsFAstFA
T
t
T
t
T
t
dsstBABAtBAtBAdsstBAtBABA
00
),,()(),(),(),,(),()( 2
5
0
3
1
1
1
3
2
6
0
5
0
3
0),,(),()(),,(),()(
00
2
2
1
5
0
3
2
1
1
5
0
3
T
t
T
t
dstsBAsBABAdstsBAsBABA
з крайовими умовами
))(),()(()(),()(),( 0*
3
1*
1
0*
2
0*
2
0*
3
0
FATFAFAdtTtfATTfA
T
t
dsFAsFATsFAdsTFAsTFA
T
t
T
t 00
)(),(),,(),(),,( 0*
3
1*
5
2*
1
1*
5
2*
5
,0)),,(),()(),,(),((
0
2
1
1
5
0
3
2*
5
1*
5 dssTBAsBABAsTFATFA
T
t
І.В. Бейко, О.В. Фуртель, Ю.В. Співак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 4 110
),( fAk — похідна Фреше від функції f за k -ю змінною; )( fAD — похід-
на Фреше від
),,(
)(
zutD
dttf а за ,z ),,(* zutD є спряженою множиною до мно-
жини ),,,( zutD яка задовольняє умову
))},,(),,(/()),,(),,(({mes xxuutDxutDxxuutDxutD
||},||||,{||max xuL
T
t zutD
T
t zutD
dtdsstfdsdttsf
00 ),,(*),,(
,),(),(
L — константа, яка виражається через константи Ліпшиця для похідних
., Dk AA
Із рівняння (3) випливає, що рівність ),,(maxarg uuxBu
u
є необхід-
ною умовою оптимальності керування u і з’являється очевидна можливість
знаходити розв’язок задачі 1 також і для випадку, коли не існує градієнта
),),(( kk
u uuxB і тому замість обчислення 1ku за градієнтним методом
)),((1 kk
uk
kk uuxBuu можемо знаходити наближені розв’язки 1ku
допоміжних оптимізаційних задач ),,(maxarg
),(
1 uuxBu kk
uu
k
k
за алгорит-
мом ),),((maxarg
]1,0[
1
uuxBuk .)1( 1
kk uuu
Інші способи підвищення ефективності алгоритмів побудови оптима-
льного керування з використанням асимптотично розв’язувальних операто-
рів для підвищення потребують більш ефективних для конкретних приклад-
них задач методів числово-аналітичної апроксимацій шуканих розв’язків
),( ux [5–8], зокрема із застосуванням псевдоспектральних методів з отри-
манням оцінок для спряжених змінних [9], які дозволяють підвищити ефек-
тивність процесів паралельної оптимізації параметрів робочих числово-
аналітичних моделей за допомогою оптимізованого збільшення кількості
вузлів ),( kk st у множині .MD
Із застосуванням асимптотично-розв’язувального оператора будується
послідовність ,kx ,...2,1k прискореної збіжності до розв’язку *x керова-
ної системи ,)),,(,,(),,( 1 puxCuxApuxA для якої існує алгоритм обчис-
лення розв’язку ),,( vpux спрощеної системи ),,(1 vuxA і для оператора
C існує асимптотично-розв’язувальний оператор mC m-го порядку, тобто
.)),(O())),,(,,,(),,,(( kmk
m xxpuxApuxCpuxC
Якщо для v в околі ),,,( puxC k
m виконується рівність
)),,,,(,(O()),,,(),,,(( puxCvpuxCvpux k
m
sk
m
то отримуємо алгоритм )),,,(,,(1 puxCpuxx k
m
k із прискореною швидкі-
стю збіжності
Узагальнені розв’язки задач оптимального керування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 4 111
)).,(O(),( **1 xxxx ksmk
Унаслідок цього отримуємо твердження для розв’язку )(x системи ал-
гебро-диференціальних рівнянь 0),,( xxA з неперервними частинними
похідними xA і xA : якщо функції )(x і )(l задовольняють рівняння
;))O(()()( stxx
),)O(()(),,()(),,( q
xx tlxxAlxxA ,)(),,( htlhtxxA T
x
то для sq 0 виконується рівність
))()(()(),,()()( txtxtltxxAhtxhtx T
x
)()),(),(()( qs
ht
t
hOdxxAl
,
яка визначає алгоритм обчислення фазової траєкторії htx з високою
точністю ).( qshO
Із використанням неперервних за часом апроксимаційних моделей
)),(),((
)(
ttUtXf
dt
tdX
можемо побудувати узагальнений оптимальний
розв’язок також і для тих задач, для яких оптимального керування не існує.
Наприклад, у випадку неопуклої множини векторів ))),(,(),(( ttXtUtXf для
допустимих значень ))(,()( tXtUtU у фазовому стані ))(,( tXt оптималь-
ного керування може не існувати, але узагальнений розв’язок знаходиться за
допомогою обчислення таких значень ,},{ 1
21 N
iii XX які максимізують набли-
жене до функціоналів (2) або (4) значення )(XB за обмежень
,)( 2
ii
i Xtx )),(co( 1
1
1 i
i
i txX ).)),(,(),((co(
)(
ttxtUtxf
dt
tdx ii
i
(6)
Очевидно задача відшукання максимізатора )(maxarg XBX
X
на до-
пустимій множині (6) є оптимізаційною задачею меншої розмірності ніж
вихідна задача відшукання функцій ),( UX .
Із теореми принципу максимуму відомо, що оптимальне керування
,)(* tu яке максимізує функціонал
,)),(),,(()),(() (
0
0
T
t
dtttuutxfuTxFuI
є розв’язком крайової задачі
)),),(),((),((
)( * tttytxutxf
dt
tdx
, ];[ 0 Ttt ; (7)
),),),(),((),(()(
)),),(),((),((
)( *
0
*
tttytxutxfty
x
tttytxutxf
dt
tdy
x
T
(8)
І.В. Бейко, О.В. Фуртель, Ю.В. Співак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 4 112
)),,),(()),),((),(((maxarg)),(),(()( 0
** tutxftutxftyttytxutu
u
(9)
0
0 )( xtx , )).(()( TxFTy
Проте практична побудова цього розв’язку часто виявляється надто
трудомісткою через те, що зазвичай система (7), (8) є нестійкою, або опти-
мізаційна задача (9) є надто трудомісткою. У таких випадках практично
більш ефективними можуть виявитися ітераційні методи [3] побудови уза-
гальненого оптимального розв’язку:
або за методом проекції градієнтів
)))(()((П )( )( 11 tuItututu k
uk
kkk
||)))(()((||minarg tuItuu k
uk
k
u
,
або за методом умовних градієнтів
))()),)(((maxarg()()(1 tuutuItutu kk
u
u
k
kk
,
або за локальним принципом максимуму
));,),,(()),),,((),(((maxarg),(= )( 0
||u||,
11 tuutxftuutxftytutu kk
uu
k
kk
k
),),(),,(()(
)),(),,((
)(
0 ttuutxfty
x
ttuutxf
dt
tdy kk
x
Tkk
)),(()( kuTxFTy ,
або за умовним принципом максимуму
))()(()()( 11 tutututu kk
k
kk
;
))(,((maxarg kkk
k uzuTxF
з використанням різних алгоритмів для обчислення k , наприклад, як мак-
симальних на послідовності } ,2,1,2/{ 1
1
qq
kk значень k , для
яких виконується нерівність 21 )()()( k
kk suIuI [3], або з використан-
ням прискорених алгоритмів асимптотично-розв’язувальних операторів. За
наявності додаткових обмежень
0),,( 0 TtxFi , ,,1 mi ))(),(,,()),((),,( 000
0
TxtxTtgdtttxhTtxF i
T
t
ii
узагальнений розв’язок будуємо за описаним вище способом розпаралеле-
ного обчислення фазової траєкторії на множині
],[, ,),(co
)(
| 0 Tttttxf
dt
tdx
xX .
Узагальнені розв’язки задач оптимального керування
Системні дослідження та інформаційні технології, 2020, № 4 113
Узагальнений розв’язок x~ такої задачі характеризується тим, що для
кожного числа 0 існує допустиме керування rRTtu ],[: 0 , для
якого розв’язок x задачі Коші
,)(], ,[), ),(),((
)( 0
00
nRxtxTttttutxf
dt
tdx
задовольняє нерівність
),,~(),,( 0000 TtxFTtxF , ),,( 0 TtxFi , mi ,1 .
Практичною перевагою побудованого розв’язку nRTx ],0[: є те, що
він існує і в тих випадках, коли оптимального керування у класі вимірних
функцій не існує. Іншою важливою перевагою є менша розмірність оптимі-
заційної задачі побудови такого узагальненого розв’язку (порівняно з роз-
мірністю вихідної оптимізаційної задачі для відшукання вектор-функцій
)],0[:,],0[:( rn RTuRTx ).
ВИСНОВКИ
Практична побудова узагальнених оптимальних розв’язків для складних за-
дач оптимального керування зводиться до розв’язання задач паралельної
оптимізації керованих підсистем у фазовому просторі параметризованих
функцій менших розмірностей. Сформульовані узагальнені задачі охоплю-
ють широкі класи прикладних задач оптимального керування складними
системами, а визначені узагальнені розв’язки завжди існують і будуються
числовими алгоритмами з використанням асимптотично-розв’язувальних
операторів, або принципу максимуму, або прямими методами з викорис-
танням числово-аналітичних апроксимацій наближених розв’язків.
ЛІТЕРАТУРА
1. M.Z. Zgurovsky and N.D. Pankratova, System analysis: problems, methodology, ap-
plications. Kiev: Publishing house of Nauk.dumka, 2011, 728 p.
2. Eugene A. Feinberg, Pavlo O. Kasyanov, and Michael Z. Zgurovsky, “Partially Ob-
servable Total-Cost Markov Decision Processes with Weakly Continuous Transition
Probabilities”, Mathematics of Operations Research 41(2), pp. 656–681, 2016.
3. I. Beyko, P. Zinko, and A. Nakonechny, Problems, methods and algorithms of opti-
mization. Kyiv: Kyiv University Publishing and Printing Center, 2012, 799 p.
4. F. Troltzsch, Optimal Control of Partial Differential Equations: Theory, Methods
and Applications. Amer Mathematical Society, 2010.
5. E. Polak, Optimization: Algorithms and Consistent Approximations. Heidelberg,
Germany: Springer-Verlag, 1997.
6. R. Becker and M. Braack, “A Finite Element Pressure Gradient Stabilization for the
StokesEquations Based on Local Projections”, Calcolo, 38(4), pp. 173–199, 2001.
7. W.W. Hager, “Runge-Kutta Methods in Optimal Control and the Transformed Ad-
joint Systems”, Numerishe Mathematik, vol. 87, pp. 247–282, 2000.
8. I. Beyko and M. Beyko, “On the numerical construction of optimal controls”, Model-
ing of nonstationary processes. Kiev: IM AN UkrSSR, 1977, pp. 173–190.
І.В. Бейко, О.В. Фуртель, Ю.В. Співак
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2020, № 4 114
9. F. Fahroo and I.M. Ross, “Pseudospectral Methods for Infinite-Horizon Nonlinear
Optimal Control Problems”, Journal of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 31,
no.4, pp. 927–936, 2008.
10. I. Beyko, “Development of methods of solving and asymptotically-solving operators
for construction of optimal and asymptotically-optimal mathematical models”, Vis-
nyk of Kyiv National University. Series: Cybernetics, vol. 3, pp. 10–15, 2002.
11. M. Ulbrich, Semismooth Newton Methods for Variational Inequalities and Con-
strained Optimization Problems. SIAM Philadelphia, 2011.
Надійшла 01.12.2020
INFORMATION ON THE ARTICLE
Ivan V. Beyko, National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv
Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: ivan.beyko@gmail.com
Olesya V. Furtel, Kamianets-Podilskyi National Ivan Ohiienko University, Ukraine, e-
mail: lesya.shchyrba@gmail.com
Julia V. Spivak, National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Politech-
nic Institute”, Ukraine, e-mail: spivak_julia@ukr.net
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ /
И.В. Бейко, O.В. Фуртель, Ю.В. Спивак
Аннотация. Рассмотрены задачи оптимального управления системами алгеб-
ро-интегро-дифференциальных уравнений и уравнений с частными производ-
ными, которые описывают управляемые процессы с сосредоточенными и рас-
пределенными параметрами. Определены обобщенные оптимальные решения,
которые существуют для широких классов прикладных задач оптимального
управления. Предложены методы построения приближенных обобщенных
решений.
Ключевые слова: оптимальное управление, математическое моделирование,
процессы с сосредоточенными параметрами, процессы с распределенными па-
раметрами.
GENERALIZED SOLUTIONS OF OPTIMAL CONTROL PROBLEMS / I.V. Beyko,
O.V. Furtel, Ju.V. Spivak
Abstract. The problems of optimal control of systems of algebraic-integro-
differential equations and partial differential equations are considered, which de-
scribe controlled processes with concentrated and distributed parameters. General-
ized optimal solutions that exist for a wide range of optimal control applications are
identified. Methods for constructing approximate generalized solutions are con-
sidered.
Keywords: optimal control, mathematical modeling, processes with concentrated
parameters, processes with distributed parameters.
|
| id | journaliasakpiua-article-228525 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:27:06Z |
| publishDate | 2020 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/e2/81c4fb72ab1b75409e1472d17a4126e2.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2285252021-04-08T14:17:06Z Generalized solutions of optimal control problems Обобщенные решения задач оптимального управления Узагальнені розв’язки задач оптимального керування Beyko, Ivan Furtel, Olesya Spivak, Julia оптимальне керування математичне моделювання процеси із зосередженими параметрами процеси з розподіленими параметрами оптимальное управление математическое моделирование процессы с сосредоточенными параметрами процессы с распределенными параметрами optimal control mathematical modeling processes with concentrated parameters processes with distributed parameters The problems of optimal control of systems of algebraic-integro-differential equations and partial differential equations are considered, which describe controlled processes with concentrated and distributed parameters. Generalized optimal solutions that exist for a wide range of optimal control applications are identified. Methods for constructing approximate generalized solutions are considered. Рассмотрены задачи оптимального управления системами алгебро-интегро-дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, которые описывают управляемые процессы с сосредоточенными и распределенными параметрами. Определены обобщенные оптимальные решения, которые существуют для широких классов прикладных задач оптимального управления. Предложены методы построения приближенных обобщенных решений. Розглянуто задачі оптимального керування системами алгебро-інтегро-диференціальних рівнянь та рівнянь із частинними похідними, які описують керовані процеси із зосередженими та розподіленими параметрами. Визначено узагальнені оптимальні розв’язки, які існують для широких класів прикладних задач оптимального керування. Запропоновано методи побудови наближених узагальнених розв’язків. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2020-12-29 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/228525 10.20535/SRIT.2308-8893.2020.4.08 System research and information technologies; No. 4 (2020); 104-114 Системные исследования и информационные технологии; № 4 (2020); 104-114 Системні дослідження та інформаційні технології; № 4 (2020); 104-114 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/228525/227579 |
| spellingShingle | оптимальне керування математичне моделювання процеси із зосередженими параметрами процеси з розподіленими параметрами Beyko, Ivan Furtel, Olesya Spivak, Julia Узагальнені розв’язки задач оптимального керування |
| title | Узагальнені розв’язки задач оптимального керування |
| title_alt | Generalized solutions of optimal control problems Обобщенные решения задач оптимального управления |
| title_full | Узагальнені розв’язки задач оптимального керування |
| title_fullStr | Узагальнені розв’язки задач оптимального керування |
| title_full_unstemmed | Узагальнені розв’язки задач оптимального керування |
| title_short | Узагальнені розв’язки задач оптимального керування |
| title_sort | узагальнені розв’язки задач оптимального керування |
| topic | оптимальне керування математичне моделювання процеси із зосередженими параметрами процеси з розподіленими параметрами |
| topic_facet | оптимальне керування математичне моделювання процеси із зосередженими параметрами процеси з розподіленими параметрами оптимальное управление математическое моделирование процессы с сосредоточенными параметрами процессы с распределенными параметрами optimal control mathematical modeling processes with concentrated parameters processes with distributed parameters |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/228525 |
| work_keys_str_mv | AT beykoivan generalizedsolutionsofoptimalcontrolproblems AT furtelolesya generalizedsolutionsofoptimalcontrolproblems AT spivakjulia generalizedsolutionsofoptimalcontrolproblems AT beykoivan obobŝennyerešeniâzadačoptimalʹnogoupravleniâ AT furtelolesya obobŝennyerešeniâzadačoptimalʹnogoupravleniâ AT spivakjulia obobŝennyerešeniâzadačoptimalʹnogoupravleniâ AT beykoivan uzagalʹnenírozvâzkizadačoptimalʹnogokeruvannâ AT furtelolesya uzagalʹnenírozvâzkizadačoptimalʹnogokeruvannâ AT spivakjulia uzagalʹnenírozvâzkizadačoptimalʹnogokeruvannâ |