Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем з імпульсним збуренням
The authors consider the pulsed dynamical systems generated by evolutionary processes. The trajectories of these processes undergo the pulsed perturbation when the energy functional reaches some fixed limit value. The generalization of the classical theory of global attractors of infinite dimension...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2021
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/231825 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334413818265600 |
|---|---|
| author | Kapustyan, Oleksiy Gorban, Nataliia |
| author_facet | Kapustyan, Oleksiy Gorban, Nataliia |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Oleksiy Kapustyan",
"institution": "Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ"
},
{
"author": "Nataliia Gorban",
"institution": "Навчально-науковий комплекс \"Інститут прикладного системного аналізу\" Національного технічного університету України \"Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського\", Київ"
}
] |
| author_sort | Kapustyan, Oleksiy |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2021-09-16T11:48:22Z |
| description | The authors consider the pulsed dynamical systems generated by evolutionary processes. The trajectories of these processes undergo the pulsed perturbation when the energy functional reaches some fixed limit value. The generalization of the classical theory of global attractors of infinite dimensional dynamical systems in case of systems with impulse actions is carried out. It is established that for the dissipative pulsed dynamical system generated by the asymptotically compact semigroup, there exists a uniform attractor, i.e., a compact uniformly attracting set, minimal among all such sets in the phase space of the system. The result is applied to the weakly nonlinear wave equation with dissipation, the trajectories of which are subjected to impulsive perturbations upon attainment of a certain fixed subset in the phase space, so called the impulse set. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.2.11 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:27:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
О.В. Капустян, Н.В. Горбань, 2021
140 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 2
УДК 517.9
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.2.11
ПРИТЯГУВАЛЬНІ МНОЖИНИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ
АСИМПТОТИЧНО КОМПАКТНИХ СИСТЕМ
З ІМПУЛЬСНИМ ЗБУРЕННЯМ
О.В. КАПУСТЯН, Н.В. ГОРБАНЬ
Анотація. Розглянуто імпульсні динамічні системи, породжені еволюційними
процесами, траєкторії яких зазнають імпульсного збурення із досягненням
енергетичним функціоналом деякого фіксованого порогового значення. Уза-
гальнено класичну теорію глобальних атракторів нескінченновимірних дина-
мічних систем на випадок систем з імпульсною дією. Установлено, що для ди-
сипативної імпульсної динамічної системи, породженої асимптотично компактною
півгрупою, існує рівномірний атрактор — компактна рівномірно притягувальна
множина, мінімальна серед усіх таких множин у фазовому просторі системи.
Отриманий результат застосовано до слабонелінійного хвильового рівняння з ди-
сипацією, траєкторії якого зазнають імпульсних збурень із досягненням певної
фіксованої підмножини фазового простору задачі — імпульсної множини.
Ключові слова: динамічна система, атрактор, імпульсне збурення, хвильове
рівняння.
ВСТУП
У теорії імпульсних еволюційних систем важливе місце займають розривні
динамічні системи [1–4], породжені автономними рівняннями, траєкторії
яких зазнають миттєвих (імпульсних) впливів з досягненням ними деякої
підмножини фазового простору. Поряд зі скінченновимірним якісним аналі-
зом [5–7] в останні роки з’явилися результати узагальнення теорії атракторів
[8–18] : на випадок нескінченновимірних імпульсних систем [19–23] та ево-
люційних систем без єдиності [24–26]. Зокрема встановлено умови існуван-
ня та стійкості рівномірних атракторів для імпульсних процесів, породже-
них компактними та експоненційно затухаючими півгрупами. У роботі
вперше розглянуто імпульсні системи, породжені асимптотично компакт-
ними півгрупами. Доведено теорему про існування рівномірного атрактора
та розглянуто її застосування до імпульсно збуреного слабонелінійного хви-
льового рівняння.
РІВНОМІРНІ АТРАКТОРИ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ
Імпульсна динамічна система у нормованому фазовому просторі E буду-
ється за допомогою неперервної півтрупи EEV : , імпульсної мно-
жини M E , та імпульсного відображення EMI : . Рух уздовж імпуль-
сної траєкторії, яку вважатимемо неперервною справа, відбувається по
траєкторіях V до моменту часу , коли фазова точка )(tz досягає множини
M . У цей момент вона миттєво переводиться в нове положення )(Iz . Для
коректності побудови такої системи припускатимемо, що:
Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 2 141
M — замкнена множина та M IM ; (1)
MztVtzMz ),() ,0(:0)( . (2)
Кожну імпульсну траєкторію визначено на ),0[ . (3)
Згідно з умовами (1)–(3) розглянемо лише імпульсні системи, що «не
залипають» на імпульсній множині і не мають «ефекту биття» [1]. Уведемо
позначення:
.),( )(,
0
MztVzMIzz
t
Якщо )(zM , то з неперервності V та умов (1)–(3) отримуємо, що
існує такий момент часу )(zss , що
MzsVMztVst ),(, ),() ,0( . (4)
У випадку, коли )(zM , вважатимемо, що )(zs .
Імпульсна півгрупа задається формулою
,
,),[), , (
),(
1 , 1
1
nn
nnnn
Ttz
TTtzTtV
ztG (5)
де 00 T , 1
0
n
n k
k
T s
, ), ( 1
nnn zsIVz ; zz
0 , )(
kk zss — моменти
імпульсного збурення зі співвідношення (4). Вважатимемо, що 1nT ,
якщо )( nzM .
Відомо [20, 22], що за виконання умов (1)–(3) формула (5) визначає пів-
групу EEG : , яку називатимемо імпульсною динамічною системою.
Означення. Компактну множину EΘ назвемо рівномірним атракто-
ром імпульсної динамічної системи G , якщо:
1) Θ — рівномірно притягувальна множина, тобто для довільної обме-
женої множини EB справедливо, що tBtG , 0Θ)), ,((dist ;
2) Θ — мінімальна з усіх замкнених множин, що задовольняють умову
1 означення.
Лема [15]. Нехай імпульсна динамічна система G є дисипативною,
тобто існує така обмежена підмножина EB 0 , що для будь-якої обмеженої
підмножини EB існує таке значення )(BTT , що
0),(:)( BBtGBTt . (6)
Тоді для імпульсної динамічної системи G існує рівномірний атрактор
тоді і лише тоді, коли G асимптотично компактна, тобто для будь-якої об-
меженої послідовності Ezn }{ та }{ nt справедливо, що послідов-
ність )},({ nn ztG передкомпактна в E .
При цьому для рівномірного атрактора Θ справедлива формула
0
0 ),(Θ
T Tt
BtG .
О.В. Капустян, Н.В. Горбань
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 2 142
Теорема. Нехай виконуються умови (1)–(3), імпульсна система (5) є
дисипативною. Нехай існує компактно вкладений простір EE 1 такий, що
півгрупа V допускає подання у вигляді ),(),(),( 21 ztVztVztV , де відо-
браження 1V і 2V задовольняють умови:
0, ||||:0)( 0 1 trzrcr E ;
)(||),(|| 11 1
rcztV E ; (7)
t
EL ectVEELtVztVztV 2)(2222 ||), ||,()(, )(),( . (8)
Крім того, нехай імпульсне відображення :I M E та імпульсна
множина M E задовольняють умови:
rzMzrcrEz E ||||, 0)( 0 3 ;
)(|||| 31
rczIz E ; (9)
,)( 0 szsIMzs (10)
де функція )(zs визначена у співвідношенні (4). Тоді імпульсна система (5)
має рівномірний атрактор.
Зауваження. Умови (7), (8) означають, що півгрупа V є асимптотично
компактною [8].
Доведення теореми. Нехай EEG : — імпульсна динамічна си-
стема, задана формулою (5). З умови дисипативності (6) отримуємо:
00 ||),() ||( |||| )( 0 0 RztGrTtrzrTrR EE . (11)
Розглянемо послідовність )},, ({ nnn ztG nt , rz En |||| . Дове-
демо передкомпактність послідовності }{ n в E . Нехай )( nzs — момент
імпульсного збурення зі співвідношення (4). Розглянемо випадки:
1. Якщо )( nn zst , то
.)(), (), (), ( 21 nnnnnnnnn ztVztVztVztG
Унаслідок умови (7) виконується, що з точністю до підпослідовності
справедлива збіжність
. при в ), ( 1
1 nEztV nn
Крім того, з умови (8) випливає, що
., 0||)(|| 22 nrecztV nt
Enn
Таким чином, з точністю до підпослідовності отримуємо, що 1n
в . при nE
2. Якщо )( nn zst , то
)., ( nnn ztVI
Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 2 143
У цьому випадку 1||||||), (|| 1
EEnn ztV при досить великих 1.n
Таким чином, передкомпактність послідовності n випливає з оцінки (9).
3. Якщо )( nn zst , то
.))),(( ),(( ))),((),(( nnnnnnnnn zzsVIzstGzzsGzstG
Окільки ,||||||||
1EE zz то з умов (7) і (8) виводимо оцінку:
rcrczzsV nn 21 )(||)),((|| .
Тоді з точністю до підпослідовності справедлива збіжність
. при в )),(( nEzzsVI nnn
Якщо , при 0)(: nzst nnn то внаслідок (10)
. при в ), ( nEV nnn
Інакше ), [ )(
1)(
)(
)(
n
ni
n
nin TT ), ( )(
)(
)(
)(
n
ni
n
ninn TV . Унаслідок умови (10)
на проміжку )](, 0[ rT імпульсна траєкторія, що стартує із nz , зазнає не біль-
ше, ніж
s
rT )(
імпульсних збурень. Тоді, ураховуючи умову (11), маємо
.)(||),(|| 0:)( 444 rcztGtrcc En
Тоді з умови (9) виводимо оцінку
,))((|| || 43
)(
)( 1
rccz E
n
ni
яка означає збіжність з точністю до підпослідовності
. при в )(
)( nEn
ni
Таким чином, якщо 0)(
)( n
nin T при n , то передкомпакт-
ність послідовності }{ n є наслідком неперервності V . Якщо ж
)(
)(
n
nin T при n , то передкомпактність послідовності }{ n уста-
новлюється аналогічно випадку 1. Теорему доведено.
ЗАСТОСУВАННЯ ДО ІМПУЛЬСНО ЗБУРЕНОГО СЛАБОНЕЛІНІЙНОГО
ХВИЛЬОВОГО РІВНЯННЯ З ДИСИПАЦІЄЮ
В обмеженій області nΩ розглянемо задачу:
.0
;0
Ω
u
ufuuu ttt
(12)
Тут 0 — коефіцієнт дисипації; )1,0( — малий параметр;
cuufuf }| )(||)(|{ sup .
О.В. Капустян, Н.В. Горбань
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 2 144
Ці умови гарантують [8] однозначну глобальну розв’язність задачі (12)
у фазовому просторі )Ω()Ω( 21
0 LHE в такому сенсі: для будь-яких поча-
ткових даних E
v
u
z
0
0
0 існує єдиний розв’язок задачі (12)
tu
u
z
);),0[( EC , а відповідна півгрупа EEV : , )(),( 0 tzztV є непе-
рервною, задовольняє для деяких сталих 01 К , 02 К , 01 оцінку
,||)0(||||)( ||0 2
2
1
2 1 KezKtzt t
EE (13)
і допускає декомпозицію вигляду (7), (8) з простором ))Ω()Ω(( 1
0
2
1 HHE
)Ω(1
0H .
;}),(),({ )(
2/1
22
1
E
v
u
zvuzl iii
p
i
p
,
де ),0(}{ 1
ii , )Ω()Ω(}{ 1
0
2
1 HHii
— власні числа та власні век-
тори оператора у просторі )Ω(1
0H .
На траєкторіях задачі (12) розглянемо таку імпульсну задачу: фазова
точка
)(
)(
)(
tu
tu
tz
t
з досягненням імпульсної множини
auazlE
v
u
zM
Hp
, ||||, )(:
)Ω(1
0
. (14)
переводиться в нове положення Izz , що належить множині
,)}1()(: { azlEzM p (15)
де імпульсне відображення MMI : має вигляд для
z
d
c
IzM
d
c
z i
i
i
p
i
i
i
i
i
'
11
: , (16)
де ) 1(}{
2/1
22
1
adc iii
p
i
, Ez — фіксоване;
i
i
i
pi d
c
z
1
.
Тобто імпульсне відображення I змінює перші p координат, збіль-
шуючи в 1 разів цільовий функціонал, і фіксує всі інші координати, по-
чинаючи з 1p .
Теорема. Імпульсно-збурена система (12), (14)–(16) за достатньо малих
0 породжує імпульсну динамічну систему EEG : , для якої існує
рівномірний атрактор Θ .
Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 2 145
Доведення. Перевіримо виконання умов (1)–(3). Умова (1) очевидно
виконується. Доведемо справедливість умови (2). Для )),(()( ii tutu , де
)(u — розв’язок (12), маємо:
1i : .)()),(())(()))(()((
2
1 222 tuuftututu
dt
d
iiiiii (17)
Зокрема
;))(())(())((
2
1
2/1
2
1
1
2
1
2
tuctutzl
dt
d
i
p
i
i
p
i
p
0t : t
c
zldssutzl pi
p
i
t
p
2
1
2
22
10
2 ))0(( ))(())(( . (18)
Якщо Mz )0( , то
.)0())0(( 222
1
22
1
auau ii
p
i
i
p
i
Тоді з неперервності )(tui випливає, що для деякого 0 справедливо,
що ],0[ t
.
2
))((
22
2
1
a
tui
p
i
Тоді з нерівності (18) для довільного ],0[ t маємо
.)(
2
))((
2
1
2
2222 t
c
atatzl p
Таким чином, для достатньо малих 0 для всіх ),0( t : atzl p ))(( ,
отже, отримуємо умову (2).
Для перевірки умови (3) доведемо умову (10). Відомо [8], що )(tui за-
довольняє оцінку типу (13):
2
22
1
22 1))0())0((()())( (0 KeuuKtutut t
iiiiii . (19)
Тепер нехай IMz 0 і )( 0zs — момент першого потрапляння траєкто-
рії (12) на .M Тоді з нерівності
))0(())(( 0 2
2
1
2 1 pKezlKtzlt t
pp
дістаємо .)1())(( 0 2
22
1
2
1
pKaKtut i
p
i
Використаємо рівність (17) для )( 0zss . Маємо:
dttuaa i
p
i
s
))((2)1( 2
10
222
spKaKdttutuf ii
p
i
s
)1(2)())),(((2 2
22
1
10
О.В. Капустян, Н.В. Горбань
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 2 146
,))1(( 2
22
1
2
1
2
spKaKs
c
тобто s
c
pKaK
aa
s :
))1((3
)1(
2
1
2
2
22
1
222
. (20)
Нерівність (20) означає, що виконується умова (3), тобто система (12),
(14)–(16) породжує імпульсну динамічну систему EEG : , для якої
виконуються умови (1)–(3) та (7)–(10). Залишилось довести дисипативність
імпульсної динамічної системи G . За відсутності імпульсних збурень з оці-
нки (13) виводимо, що для rz E )0( існує таке значення )(11 rTT , що для
всіх 1Tt 2||)(|| Etz . Якщо Msz )( , то з оцінки (19)
pKerKa s
2
2
1
2 1 ,
звідки
.
2
ln
1
)(
2
2
1
1
22
a
rK
rTTs
Тоді ],0[ 2Tt 2
2
1
2||)(|| KrKtz E , і оскільки
,: || ||)1(|||| 2
0
2222 RzaIz EE
то для всіх 2t T
},{max||).(|| 2
2
01
2
0
2
0 KRKRztG E ,
що і доводить дисипативність G . Теорему доведено.
Дослідження виконані за підтримки НФДУ.
ВИСНОВКИ
Для одного класу нескінченновимірних імпульсних динамічних систем, що
породжуються асимптотично-компактними еволюційними півгрупами, ус-
тановлено умови існування рівномірного атрактора. На основі отриманих
абстрактних результатів доведено існування рівномірного атрактора для
слабонелінійного хвильового рівняння з дисипацією, розв’язки якого зазна-
ють імпульсних збурень із досягненням ними деякої фіксованої підмножини
фазового простору.
ЛІТЕРАТУРА
1. A.M. Samoilenko and N.A. Perestyuk, Impulsive differential equations. Кyiv: Vysch.
shkola, 1987, 287 p.
2. V. Lakshmikantham, D.D. Bainov, and P.S. Simeonov, Theory of Impulsive Differen-
tial Equations. Singapore: World Scientific, 1989, 288 p. Available:
https://doi.org/10.1142/0906
3. A.M. Samoilenko and N.A. Perestyuk, Impulsive differential equations. Singapore:
World Scientific, 1995, 462 p.
4. M. Akhmet, Principles of Discontinuous Dynamical Systems. New York: Springer, 2010,
176 p. doi: 10.1007/978-1-4419-6581-3.
5. S.K. Kaul, “Stability and asymptotic stability in impulsive semidynamical systems”,
Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, vol. 7, no. 4, pp. 509–523,
1994. Available: https://doi.org/10.1155/S1048953394000390
Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 2 147
6. K. Ciesielski, “On Stability in Impulsive Dynamical Systems”, Bulletin of the Polish
Academy of Sciences Mathematics, vol. 84, no. 1, pp. 81–91, 2004. doi:
10.4064/ba52-1-9.
7. E.M. Bonotto, “Flows of characteristic 0+ in impulsive semidynamical systems”, Journal
of Mathematical Analysis and Applications, vol. 332, pp. 81–96, 2007. doi:
10.1016/j.jmaa.2006.09.076.
8. R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer,
1988, 500 p. Available: https://doi.org/10.11540/bjsiam.1.4_350
9. O.V. Kapustyan, P.O. Kasyanov, and J. Valero, “Pullback attractors for a class of
extremal solutions of the 3D Navier-Stokes equations”, Journal of Mathematical
Analysis and Applications, vol. 373, iss. 2, pp. 535–547, 2011. doi:
10.1016/j.jmaa.2010.07.040.
10. M.Z. Zgurovsky, P.O. Kasyanov, and N.V. Zadoianchuk, “Long-time behavior of
solutions for quasilinear hyperbolic hemivariational inequalities with application
to piezoelectricity problem”, Applied Mathematics Letters, vol. 25, iss. 10,
pp. 1569–1574, 2012. doi: 10.1016/j.aml.2012.01.016.
11. O.V. Kapustyan, P.O. Kasyanov, and J. Valero, “Structure and regularity of the global
attractor of a reaction-diffusion equation with non-smooth nonlinear term”, Discrete and
Continuous Dynamical Systems, vol. 34, no. 10, pp. 4155–4182, 2014. doi:
10.3934/dcds.2014.34.4155.
12. O.V. Kapustyan, P.O. Kasyanov, and J. Valero, “Regular Solutions and Global Attractors
for Reaction-Diffusion Systems without Uniqueness”, Communications on Pure and
Applied Analysis, vol. 13, no. 5, pp. 1891–1906, 2014. doi: 10.3934/cpaa.2014.13.1891.
13. O.V. Kapustyan, P.O. Kasyanov, and J. Valero, “Structure of the Global Attractor for
Weak Solutions of a Reaction-Diffusion Equation”, Applied Mathematics & Information
Sciences, vol. 9, no. 5, pp. 2257–2264, 2015. Available: http://dx.doi.org/10.12785/
amis/090506.
14. N. Gorban and L. Paliichuk, “Uniform Global Attractor for Nonautonomous Reaction–
Diffusion Equations with Carathéodory’s Nonlinearity”, Advances in Dynamical Systems
and Control. Springer Series: Studies in Systems, Decision and Control, vol. 69,
pp. 265–272, 2016. doi: 10.1007/978-3-319-40673-2_13.
15. M. Zgurovsky, M. Gluzman, N. Gorban, P. Kasyanov, L. Paliichuk, and O. Khomenko,
“Uniform global attractors for non-autonomous dissipative dynamical systems”, Discrete
and Continuous Dynamical Systems. Ser. B, vol. 22, iss. 5, pp. 2053–2065, 2017. doi:
10.3934/dcdsb.2017120.
16. M.Z. Zgurovsky, P.O. Kasyanov, N.V. Gorban, and L.S. Paliichuk, “Qualitative and
quantitative analysis of weak solutions of energy-balance climate models”, Cybernetics
and Systems Analysis, vol. 55, no. 4, pp. 552–560. Available: https://doi.org/10.1007/
s10559-019-00164-1
17. N.V. Gorban, O.V. Khomenko, L.S. Paliichuk, and A.M. Tkachuk, “Long-time behavior
of state functions for climate energy balance model”, Discrete & Continuous Dy-
namical Systems. Ser. B, vol. 22, iss. 5, pp. 1887–1897, 2017. doi: 10.3934/dcdsb.2017112.
18. N.V. Gorban et. al., “Uniform attractors for vanishing viscosity approximations of non-
autonomous complex flows”, JODEA, vol. 26, iss. 2, pp. 1–12, 2018. doi:
10.15421/141807.
19. E.M. Bonotto, M.C. Bortolan, A.N. Carvalho, and R. Czaja, “Global attractors for impul-
sive dynamical systems – a precompact approach”, Journal of Differential Equations,
vol. 259, iss. 7, pp. 2602–2625, 2015. Available: https://doi.org/10.1016/
j.jde.2015.03.033
20. O.V. Kapustyan and M.O. Perestyuk, “Global Attractors in Impulsive Infinite-
Dimensional Systems”, Ukrainian Mathematical Journal, vol. 68, pp. 583–597, 2016.
Available: https://doi.org/10.1007/s11253-016-1243-0
21. E.M. Bonotto, M.C. Bortolan, R. Collegari, and R. Czaja, “Semicontinuity of attractors
for impulsive dynamical systems”, Journal of Differential Equations, vol. 261, iss. 8, pp.
4338–4367, 2016. Available: https://doi.org/10.1016/j.jde.2016.06.024
22. S. Dashkovskiy, P. Feketa, O. Kapustyan, and I. Romaniuk, “Invariance and stability of
global attractors for multi-valued impulsive dynamical systems”, Journal of Mathemati-
cal Analysis and Applications, vol. 458, iss. 1, pp. 193–218, 2018. Available:
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2017.09.001
О.В. Капустян, Н.В. Горбань
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 2 148
23. O.V. Kapustyan, M.O. Perestyuk, and I.V. Romanyuk, “Stability of Global Attractors of
Impulsive Infinite-Dimensional Systems”, Ukrainian Mathematical Journal, vol. 70,
pp. 30–41, 2018.
24. O. Kapustyan and D. Shkundin, “Global attractor of one nonlinear parabolic equation”,
Ukrainian Mathematical Journal, vol. 55, no. 4, pp. 446–455, 2003.
25. A.V. Kapustyan, “Global attractors of a nonautonomous reaction-diffusion equation”,
Differential Equations, vol. 38, no. 10, pp. 1467–1471, 2002. doi: 10.1023/A:1022378831393.
26. N. Gorban and P. Kasyanov, “On regularity of all weak solutions and their attractors for
reaction-diffusion inclusion in unbounded domain”, Solid Mechanics and its Applica-
tions, vol. 211, pp. 205–220. doi: 10.1007/978-3-319-03146-0_15.
Надійшла 25.03.2021
INFORMATION ON THE ARTICLE
Nataliia V. Gorban, Educational and Scientific Complex “Institute for Applied System
Analysis” of the National Technical University of Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv
Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail: nataliia.v.gorban@gmail.com
Oleksiy V. Kapustyan, Taras Shevchenko National University of Kyiv, Ukraine, e-mail:
kapustyanav@gmail.com
ATTRACTING SETS FOR ONE CLASS OF ASYMPTOTICALLY COMPACT
SYSTEMS WITH PULSED PERTURBATION / O.V. Kapustyan, N.V. Gorban
Abstract. The authors consider the pulsed dynamical systems generated by evolu-
tionary processes. The trajectories of these processes undergo the pulsed perturba-
tion when the energy functional reaches some fixed limit value. The generalization
of the classical theory of global attractors of infinite dimensional dynamical systems
in case of systems with impulse actions is carried out. It is established that for the
dissipative pulsed dynamical system generated by the asymptotically compact semi-
group, there exists a uniform attractor, i.e., a compact uniformly attracting set, min-
imal among all such sets in the phase space of the system. The result is applied to
the weakly nonlinear wave equation with dissipation, the trajectories of which are
subjected to impulsive perturbations upon attainment of a certain fixed subset in the
phase space, so called the impulse set.
Keywords: dynamical system, attractor, impulse perturbation, wave equation.
ПРИТЯГИВАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА АСИМПТО-
ТИЧЕСКИ КОМПАКТНЫХ СИСТЕМ С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ
/ А.В. Капустян, Н.В. Горбань
Аннотация. Рассмотрены импульсные динамические системы, порожденные
эволюционными процессами, траектории которых испытывают импульсные
возмущения при достижении энергетическим функционалом некоторого фик-
сированного порогового значения. Обобщена классическая теория глобальных
аттракторов бесконечномерных динамических систем на случай систем с им-
пульсным воздействием. Установлено, что для диссипативной импульсной
динамической системы, порожденной асимптотически компактной полу-
группой, существует равномерный аттрактор — компактное равномерно при-
тягивающее множество, минимальное среди всех таких множеств в фазовом
пространстве системы. Полученный результат применен к слабо нелиней-
ному волновому уравнению с диссипацией, траектории которого испыты-
вают импульсные возмущения при достижении определенного фиксированно-
го подмножества фазового пространства задачи — импульсного множества.
Ключевые слова: динамическая система, аттрактор, импульсное возмущение,
волновое уравнение.
|
| id | journaliasakpiua-article-231825 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:27:10Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/bd/5ba9b010bc611ab9f7fb9a79a755fbbd.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2318252021-09-16T11:48:22Z Attracting sets for one class of asymptotically compact systems with pulsed perturbation Притягивающие множества для одного класса асимптотически компактных систем с импульсным возмущением Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем з імпульсним збуренням Kapustyan, Oleksiy Gorban, Nataliia динамическая система аттрактор импульсное возмущение волновое уравнение dynamical system attractor impulse perturbation wave equation динамічна система атрактор імпульсне збурення хвильове рівняння The authors consider the pulsed dynamical systems generated by evolutionary processes. The trajectories of these processes undergo the pulsed perturbation when the energy functional reaches some fixed limit value. The generalization of the classical theory of global attractors of infinite dimensional dynamical systems in case of systems with impulse actions is carried out. It is established that for the dissipative pulsed dynamical system generated by the asymptotically compact semigroup, there exists a uniform attractor, i.e., a compact uniformly attracting set, minimal among all such sets in the phase space of the system. The result is applied to the weakly nonlinear wave equation with dissipation, the trajectories of which are subjected to impulsive perturbations upon attainment of a certain fixed subset in the phase space, so called the impulse set. Рассмотрены импульсные динамические системы, порожденные эволюционными процессами, траектории которых испытывают импульсные возмущения при достижении энергетическим функционалом некоторого фиксированного порогового значения. Обобщена классическая теория глобальных аттракторов бесконечномерных динамических систем на случай систем с импульсным воздействием. Установлено, что для диссипативной импульсной динамической системы, порожденной асимптотически компактной полугруппой, существует равномерный аттрактор — компактное равномерно притягивающее множество, минимальное среди всех таких множеств в фазовом пространстве системы. Полученный результат применен к слабо нелинейному волновому уравнению с диссипацией, траектории которого испытывают импульсные возмущения при достижении определенного фиксированного подмножества фазового пространства задачи — импульсного множества. Розглянуто імпульсні динамічні системи, породжені еволюційними процесами, траєкторії яких зазнають імпульсного збурення із досягненням енергетичним функціоналом деякого фіксованого порогового значення. Узагальнено класичну теорію глобальних атракторів нескінченновимірних динамічних систем на випадок систем з імпульсною дією. Установлено, що для дисипативної імпульсної динамічної системи, породженої асимптотично компактною півгрупою, існує рівномірний атрактор — компактна рівномірно притягувальна множина, мінімальна серед усіх таких множин у фазовому просторі системи. Отриманий результат застосовано до слабонелінійного хвильового рівняння з дисипацією, траєкторії якого зазнають імпульсних збурень із досягненням певної фіксованої підмножини фазового простору задачі — імпульсної множини. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2021-09-14 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/231825 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.2.11 System research and information technologies; No. 2 (2021); 140-148 Системные исследования и информационные технологии; № 2 (2021); 140-148 Системні дослідження та інформаційні технології; № 2 (2021); 140-148 2308-8893 1681-6048 uk https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/231825/238501 |
| spellingShingle | динамічна система атрактор імпульсне збурення хвильове рівняння Kapustyan, Oleksiy Gorban, Nataliia Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем з імпульсним збуренням |
| title | Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем з імпульсним збуренням |
| title_alt | Attracting sets for one class of asymptotically compact systems with pulsed perturbation Притягивающие множества для одного класса асимптотически компактных систем с импульсным возмущением |
| title_full | Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем з імпульсним збуренням |
| title_fullStr | Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем з імпульсним збуренням |
| title_full_unstemmed | Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем з імпульсним збуренням |
| title_short | Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем з імпульсним збуренням |
| title_sort | притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем з імпульсним збуренням |
| topic | динамічна система атрактор імпульсне збурення хвильове рівняння |
| topic_facet | динамическая система аттрактор импульсное возмущение волновое уравнение dynamical system attractor impulse perturbation wave equation динамічна система атрактор імпульсне збурення хвильове рівняння |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/231825 |
| work_keys_str_mv | AT kapustyanoleksiy attractingsetsforoneclassofasymptoticallycompactsystemswithpulsedperturbation AT gorbannataliia attractingsetsforoneclassofasymptoticallycompactsystemswithpulsedperturbation AT kapustyanoleksiy pritâgivaûŝiemnožestvadlâodnogoklassaasimptotičeskikompaktnyhsistemsimpulʹsnymvozmuŝeniem AT gorbannataliia pritâgivaûŝiemnožestvadlâodnogoklassaasimptotičeskikompaktnyhsistemsimpulʹsnymvozmuŝeniem AT kapustyanoleksiy pritâguvalʹnímnožinidlâodnogoklasuasimptotičnokompaktnihsistemzímpulʹsnimzburennâm AT gorbannataliia pritâguvalʹnímnožinidlâodnogoklasuasimptotičnokompaktnihsistemzímpulʹsnimzburennâm |