Про деякі статистики фрактального броунівського руху
Fractional Brownian motion as a method for estimating the parameters of a stochastic process by variance and one-step increment covariance is proposed and substantiated. The root-mean-square consistency of the constructed estimates has been proven. The obtained results complement and generalize the...
Saved in:
| Date: | 2021 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute"
2021
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/236934 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | System research and information technologies |
| Download file: |  |
Institution
System research and information technologies| _version_ | 1867334415964700672 |
|---|---|
| author | Bondarenko, Viktor |
| author_facet | Bondarenko, Viktor |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Viktor Bondarenko",
"institution": "Учебно-научный комплекс \"Институт прикладного системного анализа\" Национального технического университета Украины \"Киевский политехнический институт имени Игоря Сикорского\", Киев"
}
] |
| author_sort | Bondarenko, Viktor |
| baseUrl_str | http://journal.iasa.kpi.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2021-07-13T11:01:37Z |
| description | Fractional Brownian motion as a method for estimating the parameters of a stochastic process by variance and one-step increment covariance is proposed and substantiated. The root-mean-square consistency of the constructed estimates has been proven. The obtained results complement and generalize the consequences of limit theorems for fractional Brownian motion, that have been proved in the number of articles. The necessity to estimate the variance is caused by the absence of a base unit of time and the estimation of the covariance allows one to determine the Hurst exponent. The established results let the known limit theorems to be used to construct goodness-of-fit criteria for the hypothesis “the observed time series is a transformation of fractional Brownian motion” and to estimate the error of optimal forecasting for time series. |
| doi_str_mv | 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.1.11 |
| first_indexed | 2025-07-17T10:27:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
В.Г. Бондаренко, 2021
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 1 131
TIДC
НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ,
ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
УДК 519.2
DOI: 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.1.11
О НЕКОТОРЫХ СТАТИСТИКАХ ФРАКТАЛЬНОГО
БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
В.Г. БОНДАРЕНКО
Аннотация. Предложен и обоснован метод оценивания параметров стохасти-
ческого процесса — фрактального броуновского движения — дисперсии и од-
ношаговой ковариации приращений. Доказана среднеквадратичная конси-
стентность построенных оценок. Полученные результаты дополняют и
обобщают следствия из предельных теорем для фрактального броуновского
движения, доказанных в ряде работ. Необходимость оценивания дисперсии
вызвана отсутствием эталонной единицы времени, а оценка ковариации позво-
ляет определить показатель Харста. Установленные результаты позволяют ис-
пользовать известные предельные теоремы при построении критериев согла-
сия для гипотезы «наблюдаемый временной ряд является реализацией
фрактального броуновского движения» и оценить ошибку оптимального про-
гноза временного ряда.
Ключевые слова: фрактальное броуновское движение, оценивание парамет-
ров, проверка статистических гипотез.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
При построении стохастических моделей временных рядов в ряде случаев
целесообразно использовать в качестве базового процесса фрактальное бро-
уновское движение (fractional Brownian motion — fBm). Этот процесс обо-
значается )(tBH , 0t , 0)0( HB , где H — показатель Харста, 10 H , и
определяется как гауссовский случайный процесс с нулевым средним и кор-
реляционной функцией
)(
2
1
))()((E),(
222 HHH
HH ststsBtBstR ,
т.е. n -мерное распределение определяется плотностью вероятностей
kj
jk
nn xxrcxxttp
2
1
exp),..,,..,( 11 ,
где jkr — элементы матрицы, обратной к корреляционной ),( kj
jk ttRr .
Заметим, что при 5,0H получаем стандартный винеровский про-
цесс )(tw .
В.Г. Бондаренко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 1 132
Фрактальное броуновское движение обладает свойством автомодель-
ности (самоподобия), что означает совпадение распределений случайных
величин:
)( tBH и )(tBH
H , 0 (обозначение )()( tBtB H
H
H ).
Вследствие этого свойства в выражении )(tBH можно положить ко-
эффициент 1 , и отсутствие эталона для единицы времени требует оце-
нивания временного интервала.
Приращения фрактального броуновского движения
))1(()( sktBkstB HHk , nk ,...,2,1 (1)
образуют гауссовский случайный вектор );0( B , где элементы jkb кор-
реляционной матрицы B имеют вид
)211(
2
222
2
HHH
H
jk kjkjkj
s
b , (2)
т.е. последовательность }{ k стационарна.
Свойства фрактального броуновского движения рассмотрены в работах
[1, 2]; в частности, обобщена формула Ито для фрактальной диффузии.
В работах [3–8] доказан ряд предельных теорем для функций от при-
ращений
n
k
tB
n
k
tB HHk
1
фрактального броуновского движения, соответствующих временному ин-
тервалу
n
s
1
. Используя автомодельность, эти результаты можно обоб-
щить для произвольного s , что позволяет использовать их для статистиче-
ской обработки данных. При этом необходимо оценить дисперсию
приращения Hs2 и показатель Харста H , который находится из равенства
12 12
1 H ,
где 1 — одношаговый коэффициент корреляции приращений, определен-
ных равенством (1):
H
kk
s2
1
1
),(cov
.
Обозначим ),cov( 1 kk . В данной работе доказана консистент-
ность (состоятельность) в среднеквадратичном смысле следующих несме-
щенных оценок:
оценки дисперсии
n
k kn
Hs
1
212
;
оценки одношаговой ковариации
1
1 11
1ˆ n
j jjn
.
Полученные результаты позволяют проверить ряд статистических ги-
потез для исследуемых временных рядов.
О некоторых статистиках фрактального броуновского движения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 1 133
При доказательстве используются следующие факты:
1. Для гауссовского вектора );0( B момент четвертого порядка вы-
ражается формулой
),)(,(),)(,(),)(,(),)(,)(,)(,(E hBkvBuhBukBvhBvkBuvukh
или в координатной форме
klijikjljkillkji bbbbbb E .
2. Для функции
2)1()1()( xxxf , 20
справедлива оценка
24)( xxf , если
2
1
x , (3)
которая следует из тейлоровского разложения )(xf .
3. Частная сумма ряда зета-функции Римана p
m tp
m
t 1
1
)( , 10 t
удовлетворяет оценке
t
p
t
t
p
1
)(
1
; pCp ln)1( . (4)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ
Теорема. Для статистик
Hs2 , ̂ справедливы предельные соотношения:
0)(E 222
1
H
s
H
n s
, n ;
0)ˆ(E 2
2 n , n .
Иначе, если n ,...,1 наблюдаемы, то
n
k kn 1
21
является состоятельной
оценкой дисперсии приращения Hs2 ,
1
1 11
1 n
j jjn
— состоятельной
оценкой одношаговой ковариации.
Доказательство. Исходные выражения приводятся к виду ( H
kk sb 2 ):
n
jk
jk
H
n b
n
s
n
2
2
4
1
42
;
1
1
1
1
)1()1(
1
2
2
4
2 2
)1(
1
1
1 n
j
n
k
jkkj
n
jk
jk
H
n bbb
n
s
n
.
Подставляя jkb из формулы (2) в сумму
n
jk jkb2 , получаем
n
k
k
j
HHH
Hn
jk
jk jkjkjk
s
b
2
1
1
2222
4
2 ))(2)1()1((
4
,
В.Г. Бондаренко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 1 134
и заменой ),(),( kmkj , jkm , приведем это выражение к виду
n
k
HHH
k
m
H
mmm
s
1
2222
1
1
4
)2)1()1((
4
n
k
k
m
H
H
m
f
m
s
1
1
1
2
2
4 11
4
,
где функция 2)1()1()( 22 HH xxxf , 10 H .
Оценим слагаемые внутренней суммы.
Из неравенства (3) для слагаемых внутренней суммы
1
1
2
2
11k
m
Hk m
f
m
I
вытекает оценка
HH mm
f
m 222
411
, т.е.
HH mm
f
m 44
2
2
1611
в силу неравенства (4)
CIk ,
4
3
H ; kCIk ln ,
4
3
H ; 34
34
1
H
k k
H
I , 1
4
3
H ,
и окончательно
)( 2
1
noI
n
k
k
, n , т.е. 0
1
lim 2
2
jk
jk
n
b
n
.
Далее оценим выражение
1
1
1
1
)1()1(
n
j
n
k
jkkj bb ,
представив его в виде суммы трех слагаемых ( kj , 1 kj , 2 kj ):
1
2
)1)(1(
1
1
2
)1(
1
1
1
1
)1()1( 2
n
k
kkkk
n
k
kk
n
j
n
k
jkkj bbbbb
1
3
2
1
2222
4
))(()1(2)()2((
2
n
k
k
j
HHHH
H
jkjkjkjk
s
))1(2)2( 22 HH jkjk
1
4
4
12242124
2
)213()2(
2
1
)12()1(
n
k
k
H
HHHHH J
s
snsn ,
где
1
2
22
1
1
1
1
)1()1(k
m
HH
k m
f
m
fmmJ .
Из неравенства (3) для слагаемых в kJ следует оценка
HHH
HH
m
C
mmm
f
m
fmm
442222
22
)1(
1
)1(
1
16
1
1
1
1
)1()1(
,
О некоторых статистиках фрактального броуновского движения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 1 135
что, как и в предыдущем случае, приводит к соотношению
)( 2
1
4
noJ
n
k
k
, n .
ПРИЛОЖЕНИЯ К СТАТИСТИКЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
В процессе обработки временных данных рассматриваются, в частности,
задачи оценивания параметров и проверки гипотез. В работе [3] доказана
предельная теорема для абсолютных моментов приращений фрактального
броуновского движения. Для приращений, определенных формулой (1), этот
результат выглядит следующим образом.
Для последовательности случайных величин
n
k
q
HH
n
k
q
kqn sktBkstB
nn
R
11
)1(()(
11
, q — натуральное,
справедливо утверждение: с вероятностью 1
)(E qRgn , n , где
2
1
2
1
E)(E 2 q
sRq qH
q
qn .
Из доказанной предельной теоремы следует среднеквадратичная схо-
димость nR2 .
При моделировании временных рядов актуальной является задача иден-
тификации данных. В работах [4–8] доказан ряд предельных теорем для
фрактального броуновского движения. Для значений процесса )(ksBH и
приращений (1) утверждения теорем принимают вид: статистики nA , nB ,
nD , nF , которые удовлетворяют предельным соотношениям:
n
k
kHHn skB
sn
A
1
3
4 2
3
))1((
11
,
2
1
;0H ;
n
k
kHsHHn skB
sn
B
1
32
1
3)))1(((
11
,
22
1
;0
H
,
2
1
;0H ;
n
k
kHHHn skB
sn
D
1
23
42 2
3
))1((
11
, )1;0( ,
1;
2
1
H ;
n
k
kHHn
sn
F
1
3
3
3
11
,
1;
2
1
H .
Здесь сходимость понимается в среднеквадратичном
n , если 0)( 2 nE .
При известных значениях параметра H и дисперсии Hs2 эти соотно-
шения можно использовать для проверки гипотезы T : «наблюдаемые дан-
ные являются реализацией фрактального движения».
Стандартный алгоритм (согласно двустороннему критерию) такой про-
верки при известном H состоит в следующем: предполагаем, что гипотеза
T выполнена, задаемся уровнем значимости и сравниваем значение ста-
тистики с табличными значениями 1 , 2 , где )( 1F , 1)( 2F .
В.Г. Бондаренко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 1 136
В частности, для предельной функции распределения статистики nD
( 5,0H )
1
3
2
2)(
xxF , где — функция Лапласа.
Соответствующие уровню значимости 05,0 критические значения
01 , 62 и гипотеза T принимается, если 60 nD .
Рассмотрим задачу прогноза фрактального броуновского движения.
Пусть априорно известно, что наблюдаемые m значений временного ряда
имеют вид
)(sBH , )(,),2( msBsB HH ,
т.е. являются реализацией фрактального броуновского движения. Вслед-
ствие гауссовости оптимальный r -шаговый прогноз (условное среднее) ли-
неен и строится следующим образом.
Представим корреляционную матрицу Q в виде:
DC
BAs
Q
H
2
2
;
)(
2
)()(E
222
2
HHH
H
HHjk kjkj
s
ksBjsBq , j1 , rmk ,
где индексы матрицы A удовлетворяют неравенству j1 , mk . Оценкой
оптимального прогноза являются значения
))((ˆ,),)1((ˆ srmBsmB HH ,
определенные равенством
)(
)(
))((ˆ
))1((ˆ
1
msB
sB
CA
srmB
smB
H
H
H
H
.
Погрешность оптимального прогноза вычисляется по формуле
)(
2
1
2
BCADtr
s H
.
Таким образом, для конструкции оптимального прогноза необходим
параметр Харста H , для определения погрешности — дисперсия Hs2 .
Приведенные в работе результаты могут быть применены для оценивания
параметров стохастических уравнений с последействием ([9–11]).
Модель, использующая фрактальное броуновское движение в качестве
базового процесса, применена для анализа реальных медико-биологических
временных данных )(ksxxk , 204,...,2,1k . Представим наблюдаемую
траекторию )(tx в виде «сигнал шум»:
kkk ymxtytmtx )()()( ,
где )(tm — тренд, полученный полиномиальной аппроксимацией, компо-
ненты шума }{ ky удовлетворяют соотношению n
k kyn 1 0)/1( . Значения
оценки 1̂ одношагового коэффициента корреляции для приращений
1 kkk yyz , вычисленные в шести временных окнах:
О некоторых статистиках фрактального броуновского движения
Системні дослідження та інформаційні технології, 2021, № 1 137
}34,026,0{ˆ1 ,
что позволяет считать последовательность приращений }{ kz стационарной.
Полагая 3,01 , из равенства 12 12
1 H находим 69,0ˆ H . Tестирова-
ние данных с помощью статистик
n
k
kkHHn zy
sn
D
1
3
142
11
,
n
k
kHHn z
sn
F
1
3
3
11
подтверждает гипотезу: «последовательность }{ ky является реализацией
фрактального броуновского движения» (персистентный случай).
Анализ данных }{ kx проводился двумя способами:
1) с использованием модели ARIMA ;
2) в виде композиции «сигнал+шум», т.е. значения второй модели фор-
мировались в виде jjj ymx ˆˆˆ , где jm̂ вычислялись по ARIMA , а для шума
применялась формула
mrm
m
y
y
CA
y
y
1
1
1
ˆ
ˆ
.
В обоих случаях критерием качества модели выбрано нормированное
среднеквадратичное отклонение
2/1
1
2
1
2)ˆ(
rm
mj
j
rm
mj
jj
x
xx
,
где 10r , во второй модели объем обучающей выборки составил
}180,120,50{m . Результат вычислений: 88,0
1
2
, т.е. по данному крите-
рию модель, использующая фрактальное движение, дает выигрыш %12 .
ЛИТЕРАТУРА
1. Y. Mishura, “Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related
Processes. Lecture Notes in Mathematics 1929”, Springer, 393 p., 2008. doi:
10.1007/978-3-540-75873-0.
2. F. Biagini, Y. Hu, B. Øksendal, and T. Zhang, “Stochastic Calculus for Fractional
Brownian Motion and Applications”, Springer, 329 p., 2013. doi: 10.1007/978-1-
84628-797-8.
3. R.F. Peltier and J. Levy Vehel, “A new method for estimating the parameter of frac-
tional Brownian motion”, Rapport de recherché de l’INRIA, no. 2396, 27 p., 1994.
4. I. Nourdin, “Asymptotic behavior of weighted quadratic and cubic variations of frac-
tional Brownian motion”, Ann. Probab., 36, no. 6, pp. 2159–2175, 2008. doi:
10.1214/07-AOP38.
5. I. Nourdin, “Noncentral convergence of multiple integrals”, Ann. Probab., vol. 37,
no. 4, pp. 1412–1426, 2009. doi: 10.1214/08-AOP435.
6. M. Gradinaru and I. Nourdin, “Milstein's type schemes for fractional SDEs”, Ann.
Inst H. Poincaré Probab. Statist, vol. 45, no. 4, pp. 1085–1098, 2009. doi:
10.1214/08-AIHP196.
В.Г. Бондаренко
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2021, № 1 138
7. I. Nourdin, D. Nualart, and C. Tudor, “Central and non-central limit the orems for
weighted power variations of fractional Brownian motion”, Ann. Inst H. Poincaré
Probab. Statist., vol. 46, no. 4, pp. 1055–1079, 2010. doi: 10.1214/09-AIHP342.
8. I. Nourdin, “Selected Aspects of fractional Brownian motion”, Springer, 124 p.,
2012. doi: 10.1007/978-88-470-2823-4.
9. K. Kubilius, Yu. Mishura, and K.Ralchenko, “Parameter Estimation in Fractional
Diffusion Models”, Bocconi & Springer Series, 380 p., 2017. doi: 10.1007/978-3-
319-71030-3.
10. Y. Mishura, K. Ralchenko, and G. Shevchenko, “Existence and uniqueness of a mild
solution to the stochastic heat equation with white and fractional noises”, Theor.
Probability and Math. Statist., 98(2019), pp. 149–170. Available: https://doi.org/
10.1090/ tpms/1068
11. O. Banna, Yu. Mishura, K. Ralchenko, and S. Shklyar, Fractional Brownian Motion.
Approximations and Projections. Wiley-ISTE, 2019. 288 p. doi: 10.1002/9781119476771.
Поступила 29.01.2021
INFORMATION ON THE ARTICLE
Viktor G. Bondarenko, ORCID: 0000-0003-1663-4799, Educational and Scientific
Complex “Institute for Applied System Analysis” of the National Technical University of
Ukraine “Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute”, Ukraine, e-mail:
bondarenvg@gmail.com
ON SOME STATISTICS OF FRACTIONAL BROWNIAN MOTION /
V.G. Bondarenko
Abstract. Fractional Brownian motion as a method for estimating the parameters of
a stochastic process by variance and one-step increment covariance is proposed and
substantiated. The root-mean-square consistency of the constructed estimates has
been proven. The obtained results complement and generalize the consequences of
limit theorems for fractional Brownian motion, that have been proved in the number
of articles. The necessity to estimate the variance is caused by the absence of a base
unit of time and the estimation of the covariance allows one to determine the Hurst
exponent. The established results let the known limit theorems to be used to con-
struct goodness-of-fit criteria for the hypothesis “the observed time series is a trans-
formation of fractional Brownian motion” and to estimate the error of optimal fore-
casting for time series.
Keywords: fractional Brownian motion, parameter estimation, statistical hypothesis
testing.
ПРО ДЕЯКІ СТАТИСТИКИ ФРАКТАЛЬНОГО БРОУНІВСЬКОГО РУХУ /
В.Г. Бондаренко
Анотація. Запропоновано й обґрунтовано метод оцінювання параметрів сто-
хастичного процесу — фрактального броунівського руху — дисперсії та одно-
крокової коваріації приростів. Доведено середньоквадратичну консистентність
побудованих оцінок. Отримані результати доповнюють та узагальнюють
наслідки з граничних теорем для фрактального броунівського руху, які дове-
дено в ряді праць. Необхідність оцінювання дисперсії зумовлено відсутністю
еталонної одиниці часу, а оцінка коваріації дозволяє визначити показник Хар-
ста. Установлені результати дозволяють використовувати відомі граничні тео-
реми в побудові критеріїв згоди для гіпотези «спостережуваний часовий ряд є
реалізацією фрактального броунівського руху» та оцінити похибку оптималь-
ного прогнозу часового ряду.
Ключові слова: фрактальний броунівський рух, оцінювання параметрів, пе-
ревірка статистичних гіпотез.
|
| id | journaliasakpiua-article-236934 |
| institution | System research and information technologies |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-07-17T10:27:18Z |
| publishDate | 2021 |
| publisher | The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | journaliasakpiua/05/c7e238d9b49e3703a19e7b6ad33eb805.pdf |
| spelling | journaliasakpiua-article-2369342021-07-13T11:01:37Z On some statistics of fractional Brownian motion О некоторых статистиках фрактального броуновского движения Про деякі статистики фрактального броунівського руху Bondarenko, Viktor фрактальний броунівський рух оцінювання параметрів перевірка статистичних гіпотез фрактальное броуновское движение оценивание параметров проверка статистических гипотез fractional Brownian motion parameter estimation statistical hypothesis testing Fractional Brownian motion as a method for estimating the parameters of a stochastic process by variance and one-step increment covariance is proposed and substantiated. The root-mean-square consistency of the constructed estimates has been proven. The obtained results complement and generalize the consequences of limit theorems for fractional Brownian motion, that have been proved in the number of articles. The necessity to estimate the variance is caused by the absence of a base unit of time and the estimation of the covariance allows one to determine the Hurst exponent. The established results let the known limit theorems to be used to construct goodness-of-fit criteria for the hypothesis “the observed time series is a transformation of fractional Brownian motion” and to estimate the error of optimal forecasting for time series. Предложен и обоснован метод оценивания параметров стохастического процесса — фрактального броуновского движения — дисперсии и одношаговой ковариации приращений. Доказана среднеквадратичная консистентность построенных оценок. Полученные результаты дополняют и обобщают следствия из предельных теорем для фрактального броуновского движения, доказанных в ряде работ. Необходимость оценивания дисперсии вызвана отсутствием эталонной единицы времени, а оценка ковариации позволяет определить показатель Харста. Установленные результаты позволяют использовать известные предельные теоремы при построении критериев согласия для гипотезы “наблюдаемый временной ряд является реализацией фрактального броуновского движения” и оценить ошибку оптимального прогноза временного ряда. Запропоновано й обґрунтовано метод оцінювання параметрів стохастичного процесу — фрактального броунівського руху — дисперсії та однокрокової коваріації приростів. Доведено середньоквадратичну консистентність побудованих оцінок. Отримані результати доповнюють та узагальнюють наслідки з граничних теорем для фрактального броунівського руху, які доведено в ряді праць. Необхідність оцінювання дисперсії зумовлено відсутністю еталонної одиниці часу, а оцінка коваріації дозволяє визначити показник Харста. Установлені результати дозволяють використовувати відомі граничні теореми в побудові критеріїв згоди для гіпотези “спостережуваний часовий ряд є реалізацією фрактального броунівського руху” та оцінити похибку оптимального прогнозу часового ряду. The National Technical University of Ukraine "Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute" 2021-07-13 Article Article application/pdf https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/236934 10.20535/SRIT.2308-8893.2021.1.11 System research and information technologies; No. 1 (2021); 131-138 Системные исследования и информационные технологии; № 1 (2021); 131-138 Системні дослідження та інформаційні технології; № 1 (2021); 131-138 2308-8893 1681-6048 ru https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/236934/235491 |
| spellingShingle | фрактальний броунівський рух оцінювання параметрів перевірка статистичних гіпотез Bondarenko, Viktor Про деякі статистики фрактального броунівського руху |
| title | Про деякі статистики фрактального броунівського руху |
| title_alt | On some statistics of fractional Brownian motion О некоторых статистиках фрактального броуновского движения |
| title_full | Про деякі статистики фрактального броунівського руху |
| title_fullStr | Про деякі статистики фрактального броунівського руху |
| title_full_unstemmed | Про деякі статистики фрактального броунівського руху |
| title_short | Про деякі статистики фрактального броунівського руху |
| title_sort | про деякі статистики фрактального броунівського руху |
| topic | фрактальний броунівський рух оцінювання параметрів перевірка статистичних гіпотез |
| topic_facet | фрактальний броунівський рух оцінювання параметрів перевірка статистичних гіпотез фрактальное броуновское движение оценивание параметров проверка статистических гипотез fractional Brownian motion parameter estimation statistical hypothesis testing |
| url | https://journal.iasa.kpi.ua/article/view/236934 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkoviktor onsomestatisticsoffractionalbrownianmotion AT bondarenkoviktor onekotoryhstatistikahfraktalʹnogobrounovskogodviženiâ AT bondarenkoviktor prodeâkístatistikifraktalʹnogobrounívsʹkogoruhu |